Pablo Loza Álvarez - ICFO · de Titanio-Zafiro del tipo Self-Modelocking, con una frecuencia de...

Universitat Politècnica de Catalunya

Escola Tècnica Superior d'Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona

Caracterización de Pulsos de Luz Láser Ultracortos

Eduardo Pérez González

Proyecto Final de Carrera dirigido por

Pablo Loza Álvarez

Dedicado a mis padres, Isabel y Ángel

Gracias al 'Institut de Ciències Fotòniques' y a la 'UPC'. Gracias a Pablo

Loza, David Artigas, Iván Amat, Iain Cormack, Lluís Torner, Basilio Florentino,

Felip Palou, David García, David Guillamet, Víctor Moreno, Joaquina García y

Antonio González. Un agradecimiento especial para Verónica, a mis hermanos

Maria y Xavi y a mis padres.


Índice Introducción

1. Aplicaciones de los pulsos ultracortos............................................. 5

2. Motivación del proyecto y objetivos planteados.............................. 6

3. Estructura del proyecto....................................................................... 7

4. Referencias.......................................................................................... 8

Capítulo 1 – Pulsos ultracortos 1.1 El pulso ultracorto............................................................................. 9

1.1.1 Pulsos con chirp.................................................................... 12

1.1.2 Pulsos limitados por Transformada de Fourier...................... 15

1.1.3 Dispersión del material.......................................................... 16

1.2 Generación de segundo armónico.................................................. 20

1.3 El láser de pulsos ultracortos.......................................................... 23 1.3.1 El efecto Kerr óptico.............................................................. 24

1.3.2 Modelocking........................................................................... 26

1.3.3 Self-modelocking................................................................... 29

1.3.4 El láser de Titanio-zafiro........................................................ 30

1.4 Conclusiones..................................................................................... 34

1.5 Referencias........................................................................................ 35

Capítulo 2 – La técnica de autocorrelación 2.1 Respuesta no lineal.......................................................................... 36

2.1.1 Absorción de dos fotones...................................................... 37

2.1.2 Generación de segundo armónico......................................... 39

2.2 El autocorrelador colineal................................................................ 41 2.2.1 Autocorrelación de intensidad............................................... 45

2.2.2 Autocorrelación interferométrica............................................ 49

2.2.3 Resultados experimentales................................................... 51

2.3 El autocorrelador no-colineal........................................................... 56

2.4 Conclusiones..................................................................................... 60

2.5 Referencias........................................................................................ 61

3


Capítulo 3 – Frequency-resolved optical gating (FROG) 3.1 La técnica de frequency-resolved optical gating........................... 62 3.1.1 Teoría de SHG-FROG........................................................... 65

3.1.2 Consideraciones experimentales........................................... 67

3.1.3 El algoritmo para SHG-FROG............................................... 68

3.1.4 Resultados experimentales................................................... 70

3.2 La técnica de X-FROG..................................................................... 79

3.3 Conclusiones..................................................................................... 83

3.4 Referencias........................................................................................ 84

Capítulo 4 – Medida y automatización 4.1 Instrumentos de laboratorio............................................................. 85 4.1.1 La mesa traslacional.............................................................. 86

4.1.2 El amplificador de lock-in....................................................... 88

4.1.3 El espectrómetro.................................................................... 91

4.1.4 La cámara CCD..................................................................... 94

4.2 Control de los instrumentos............................................................. 96 4.2.1 Movimiento de la mesa traslacional....................................... 97

4.2.2 Medidas con el osciloscopio.................................................. 100

4.2.3 Medidas con el amplificador de lock-in.................................. 101

4.2.4 Control del espectrómetro..................................................... 102

4.3 Captura de datos............................................................................... 103 4.3.1 Obtener una autocorrelación................................................. 104

4.3.2 Obtener un espectro.............................................................. 106

4.3.3 Obtener una traza FROG...................................................... 108

4.4 Conclusiones..................................................................................... 112

4.5 Referencias........................................................................................ 113

Capítulo 5 – Conclusiones y trabajo futuro 5.1 Conclusiones..................................................................................... 114

5.2 Trabajo futuro.................................................................................... 116

5.3 Referencias........................................................................................ 118

Apéndice – Algoritmo para SHG-FROG............................................... 119

4


INTRODUCCIÓN

El pulso ultracorto es un pulso de luz láser con una duración

extremadamente corta. De hecho, su duración es tan pequeña que no existe

ningún otro fenómeno generado por el ser humano que lo supere. Con el fin de

caracterizar los pulsos ultracortos a la salida de un láser es necesario utilizar

métodos de medida indirectos. Está claro que si con un simple osciloscopio

-también fabricado por el hombre- pudiéramos medirlos directamente, entonces

significaría que los pulsos no son realmente tan cortos. Disponer de una

herramienta que permita conocer las características de dichos pulsos es

fundamental en cualquier laboratorio de pulsos ultracortos y el tema principal

de este proyecto.

1. Aplicaciones de los Pulsos Ultracortos

Los pulsos ultracortos tienen una duración menor que muchos procesos

atómicos y moleculares. Algunos de estos procesos ocurren en tiempos del

orden de picosegundos y femtosegundos, permitiendo así su estudio con

dichos pulsos. Por ejemplo, los láseres de pulsos ultracortos han sido utilizados

para estudiar el conjunto de procesos que da lugar a la fotosíntesis.

Las técnicas convencionales para tomar imágenes en bio-medicina

también se han mejorado utilizando sistemas basados en pulsos ultracortos. En

microscopía no lineal la alta intensidad de los pulsos hace posible que

procesos de absorción de dos o más fotones sean significativos.1 En tal caso

se pueden emplear fotones menos energéticos, por ejemplo en el infrarrojo,

que penetran más en el tejido y son menos dañinos para las células. Además

como la fluorescencia se localiza únicamente en el foco del haz se pueden

tomar imágenes en tres dimensiones y con una mejor resolución.

Introducción 5


En la técnica de Fluorescence Life-time Imaging (FLIM) el análisis de la

fluorescencia de una muestra excitada por un pulso ultracorto permite

diferenciar entre el tejido sano y el cancerígeno.2

En el ámbito de las comunicaciones ópticas el gran ancho de banda de

las fibras permitiría combinar la técnica de transmisión OTDM (Optical Time-

Division Multiplexing) con la de WDM (Wavelength-Division Multiplexing).3

La alta intensidad de los pulsos también los hace ideales para ablacionar

y modelar materiales con una precisión de hasta 1 µm. Si los pulsos son

demasiado largos, la región de interacción (enfoque) se verá fuertemente

afectada debido a la conducción del calor. Para evitar precisamente esto se

utilizan pulsos de duración ultracorta.4

Otra aplicación es la que hace referencia a una técnica conocida como

Chirped Pulse Amplification (CPA), en la que un único pulso es amplificado y, al

ser enfocado, puede generar intensidades del orden de 1020 W/cm², con las

que se ha conseguido la fusión nuclear en un laboratorio.5

Pero no sólo la intensidad y duración de los pulsos es importante en la

interacción de la luz con la materia sino también la cantidad de chirp. Por

ejemplo, se ha demostrado que es posible seleccionar el estado cuántico de

una molécula utilizando pulsos con chirp positivo, o bien negativo.6 De aquí la

necesidad de conocer exactamente tanto la intensidad temporal y espectral

como la fase del pulso.

2. Motivación del Proyecto y Objetivos Planteados

La mayor parte de las aplicaciones que acabamos de ver requieren

trabajar con pulsos tan cortos como sea posible. En tal caso, es lógico pensar

que una de las principales prioridades en cualquier laboratorio de pulsos

ultracortos es conocer la duración de los pulsos a la salida del láser

Introducción 6


correspondiente. Cuando dicha duración es óptima (la más corta posible) la

fase depende linealmente del tiempo. Así, resulta especialmente útil, no sólo en

aquellas aplicaciones que de por sí lo requieren, disponer de un sistema que

permita conocer tanto la forma de los pulsos (perfil de intensidad) como su

fase. El objetivo principal de este proyecto es, precisamente, poner en marcha

un sistema que permita la caracterización completa (módulo y fase) de un pulso

ultracorto arbitrario. También es objetivo del proyecto la automatización de

dicho sistema para que el proceso de obtención de medidas resulte lo más

simple posible.

3. Estructura del Proyecto

Este proyecto está compuesto de cinco capítulos más un apéndice. El

primero de ellos sirve para entrar con más detalle en las características de un

pulso ultracorto, la técnica de generación y el láser de pulsos ultracortos que se

utilizó en el laboratorio. En el segundo capítulo se presenta la primera de las

dos técnicas (Autocorrelación) que se utilizaron en el laboratorio, con el objetivo

de caracterizar dichos pulsos. La técnica de FROG es la segunda técnica

utilizada y a la cual está dedicada por completo el tercer capítulo. En el capítulo

cuarto se detalla el proceso de automatización que se llevó a cabo para que

ambos sistemas funcionaran de forma totalmente automatizada. En el quinto

capítulo ("Conclusiones y trabajo futuro") se destacan los resultados más

significativos del proyecto y se sugieren algunas direcciones hacia las que

podría continuar el trabajo en el futuro. Finalmente, encontramos un apéndice

del algoritmo que se utilizó en la técnica de FROG (ver cap. 3).

Introducción 7


4. Referencias

1. W. Denk, J. H. Strickler, and W. W. Webb, “2-photon laser scanning fluorescence microscopy”, Science 248, 73 – 76 (1990).

2. R. Jones, K. Dowling, M. J. Cole, and D. Parsons-Karavassilis, “Fluorescence lifetime

imaging using a diode-pumped all-solid-state laser system”, Electron. Lett. 35, 256 (1999).

3. W. H. Knox, “Ultrafast technology in telecommunications”, IEEE J. Quantum Electron. 6,

1273 – 1278 (2000).

4. H. K. Tonshoff, C. Momma, A. Ostendorf, S. Nolte, and G. Kamlage, “Microdrilling of metals with ultrashort laser pulses”, J. Laser Appl. 12, 23 – 27 (2000).

5. K. W. D. Ledingham, I. Spencer, T. McCanny, R. P. Singhal, M. I. K. Santala, E. Clark,

I. Watts, F. N. Beg, M. Zepf, Krushelnick, M. Tatarakis, A. E. Dangor, P. A. Norreys, R. Allot, D. Neely, R. J. Clark, A. C. Machacek, J. S. Wark, A. J. Cresswell, D. C. W. Sanderson, and J. Magill, “Photonuclear physics when a multiterawatt laser pulse interacts with solid targets”, Physical Review Lett. 84, 899 – 902 (2000).

6. B. Kohler, V. V. Yakovlev, J. W. Che, J. L. Krause, M. Messina, K. R. Wilson, N.

Schwentner, R. M. Whitnell, and Y. J. Yan, “Quantum control of wave-packed evolution with tailored femtosecond pulses”, Physical Review Lett. 74, 3360 – 3363 (1995).

Introducción 8


CAPÍTULO 1

PULSOS ULTRACORTOS

Antes de ver las técnicas utilizadas en el laboratorio para caracterizar

pulsos ultracortos es necesario que conozcamos qué es exactamente un pulso

ultracorto. Ese es precisamente el objetivo de este capítulo, en el que además

hablaremos de las características que los hace tan singulares y del método

para generarlos. Se introducirán los conceptos de pulso con chirp, pulso

Limitado por Transformada de Fourier y dispersión del material. También

analizaremos el proceso de generación de segundo armónico, utilizado tanto

por nuestro sistema láser de pulsos ultracortos, como en los capítulos 2 y 3. La

última sección hace referencia a la técnica self-modelocking con la que se

generan los pulsos ultracortos. Veremos los dos efectos no lineales que utiliza,

self-focusing y self-phase modulation, el caso más general de la técnica

(modelocking) y finalmente, el sistema láser concreto que se utilizó en el

laboratorio.

1.1 El Pulso Ultracorto

A diferencia de lo que ocurre en el funcionamiento usual de un láser,

donde se tiene una onda continua de luz casi monocromática, los láseres de

pulsos ultracortos generan una secuencia de pulsos con un ancho de banda

asociado de algunos nanómetros. Esto significa un ancho de banda enorme,

teniendo en cuenta que estamos tratando con frecuencias ópticas. Por ejemplo,

para un ancho de banda ∆λ de 2 nm centrado a λc = 400 nm (luz azul)

estaríamos hablando de 3.75 THz (1 Terahercio = 1012 Hz). Si además

suponemos que la frecuencia de repetición de los pulsos es de 100 MHz (108

Pulsos Ultracortos 9


pulsos por segundo) y que la duración de cada uno de ellos es de tan solo 100

fs (1 femtosegundo = 10-15 segundos), entonces la potencia pico de cada pulso

será del orden de cien mil veces la potencia media a la salida del láser. En tal

caso, para una potencia media típica de 1 W tendremos pulsos cuya potencia

pico se moverá alrededor de 105 W.

El objetivo de este proyecto es precisamente la caracterización de los

pulsos ultracortos a la salida de uno de estos láseres. En concreto, de un láser

de Titanio-Zafiro del tipo Self-Modelocking, con una frecuencia de repetición de

76 MHz y una duración de los pulsos alrededor de los 150 fs (ver sección

1.3.4). Pero antes de intentar medir dichos pulsos es necesario que

conozcamos algún aspecto más acerca de sus características y de cómo se

generan.

El campo eléctrico asociado a un pulso ultracorto se puede expresar

matemáticamente como

tjtj eetEtE 0)(0 )()( ωφ= , (1.1)

donde E0(t) representa la envolvente del campo eléctrico, φ(t) la variación de

fase a lo largo del pulso y ω0 la frecuencia portadora. La envolvente de los

pulsos con los que vamos a trabajar a lo largo de este proyecto se puede

aproximar por la función secante hiperbólica1, resultando

)(sech)( 00 atEtE = , (1.2)

donde E0 es la amplitud real del campo eléctrico y el parámetro a está

relacionado con la duración del pulso τp, según el criterio de Full Width at Half

Maximum (FWHM), por

ap76.1

≈τ . (1.3)



En otras palabras, τp se obtiene midiendo la anchura total del pulso, a la

mitad del máximo de su perfil de intensidad. La forma o perfil de intensidad del

pulso se obtiene directamente a partir de

)(sech)()( 2200

2 atEtEtI =∝ . (1.4)

En adelante nos referiremos a este tipo de pulsos como sech²(t). La

figura 1 muestra un ejemplo de uno estos pulsos con una duración de 150 fs,

comparado con el perfil de intensidad de un pulso gaussiano de la misma

duración.

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

Figura 1. Perfil de intensidad de un pulso sech²(t)de 150 fs (línea continua), comparado con el de unpulso gaussiano de la misma duración (líneadiscontinua).

Existen dos razones que justifican dicha comparación. Por una parte,

esto nos permite apreciar el gran parecido entre los dos tipos de pulso, aunque

el motivo principal se debe a que, por lo general, el análisis matemático cuando

se trabaja con pulsos gaussianos es más sencillo. En este sentido, el desarrollo

que veremos a continuación para tratar los conceptos de pulso con chirp, pulso



Limitado por Transformada de Fourier (LTF) y dispersión del material se realiza

para el caso particular de pulsos gaussianos.

1.1.1 Pulsos con Chirp

En un pulso sin chirp la frecuencia instantánea es una constante a lo

largo del tiempo, de valor igual a la frecuencia portadora del pulso ω0. Un pulso

con chirp se define como aquel pulso cuya frecuencia instantánea cambia a lo

largo del tiempo (ver fig. 2). Para entender mejor el concepto de chirp

procedamos a calcular la frecuencia instantánea del siguiente pulso

)( 20

2

)( bttjat eetE +−= ω, (1.5)

donde el parámetro b está relacionado con el chirp del pulso. En este caso, la

fase tiene un término que varía de forma cuadrática con el tiempo. La fase total

del pulso viene dado por

2

0)( bttttot +=ωφ . (1.6)

Entonces, a partir de la definición de frecuencia instantánea,

dttdt tot

i)()( φω ≡ , (1.7)

obtenemos que

btbttdtdti 2)()( 0

20 +=+≡ ωωω . (1.8)



Como se puede apreciar, una variación cuadrática de la fase debida al

término bt² ha supuesto una variación lineal de la frecuencia instantánea de la

forma 2bt. Por lo general b será el parámetro para medir la cantidad de chirp.

En este caso (ec. 1.8) se trata de chirp lineal aunque es posible extender

el término a chirp cuadrático ó cúbico para variaciones cuadráticas ó cúbicas

de la frecuencia instantánea.

Cuando el término b es igual a cero la expresión matemática que

describe el pulso resulta ser

. (1.9) tjat eetE 0

2

)( ω−=

Si calculamos su frecuencia instantánea en radianes por segundo,

también a partir de la definición (ec. 1.7), se obtiene que

00 )()( ωωω =≡ tdtdti , (1.10)

de donde vemos que la frecuencia instantánea es constante a lo largo del

tiempo e igual a la frecuencia portadora ω0. En este caso se habla de que el

pulso (ec. 1.9) no tiene chirp.

Analicemos un último caso para variaciones lineales de fase como la del

siguiente pulso

. (1.11) )( 0

2

)( bttjat eetE +−= ω



Su frecuencia instantánea es

bbttdtdti +=+≡ 00 )()( ωωω (1.12)

De inmediato nos damos cuenta de que sólo se produce un

desplazamiento en frecuencia, pero que en ningún caso la frecuencia

instantánea depende del tiempo. En consecuencia un pulso con una variación

lineal de fase tampoco tiene chirp.

Finalmente en la figura 2 vemos lo que podría ser la representación de

un pulso gaussiano de 150 fs con chirp lineal positivo.

-300 -150 0 150 300

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Tiempo (fs)

Figura 2. Pulso gaussiano con chirp lineal positivo.La duración del pulso medida sobre su intensidades de 150 fs. Los valores de la frecuencia ω0 y delparámetro b se eligieron para poder apreciar lavariación de la frecuencia instantánea.

En este caso la frecuencia instantánea aumenta linealmente respecto ω0

para valores positivos del tiempo, debido a que b es un valor positivo.



1.1.2 Pulsos Limitados por Transformada de Fourier

Un pulso Limitado por Transformada de Fourier (LTF) es aquel cuyo

producto duración por ancho de banda es mínimo. En otras palabras, un pulso

LTF será aquel que, con un ancho de banda y un perfil de intensidad

determinados tenga la menor duración posible.

Para analizarlo tomemos el pulso gaussiano

, (1.13) )( 2

02

)( bttjat eetE +−= ω

cuya Transformada de Fourier es directamente otro pulso gaussiano y donde el

término bt² en la fase representa el caso particular de un pulso con chirp.

Entonces se puede llegar a que la duración del pulso τp según el criterio de Full

Width at Half Maximum (FWHM) es

ap2ln2

=τ . (1.14)

Téngase en cuenta que esta duración se mide sobre I(t) ∝ E(t)².

Análogamente en el dominio frecuencial podemos calcular el ancho de banda

del pulso. Primero calculando la Transformada de Fourier de E(t) y después

tomando su módulo al cuadrado. El ancho de banda ∆fp de la densidad

espectral de potencia del pulso, siguiendo el mismo criterio de FWHM, resulta

ser

( ) ]/1[2ln2 2abaf p +=∆π (1.15)

Dado que en 1.14 la duración del pulso τp no depende de b, minimizar

τp∆fp es equivalente a minimizar ∆fp. Esto ocurre cuando b = 0 y el pulso no

tiene chirp. En ese caso, en el que se aprovecha al máximo el ancho de banda,



hablaremos de pulsos LTF. A la práctica, como el ancho de banda es limitado,

un pulso con chirp siempre tendrá una duración mayor que otro LTF con el

mismo ancho de banda y perfil de intensidad.

A partir de 1.14 y 1.15 se puede calcular el producto duración del pulso

por ancho de banda como

22 )/(144.0)/(12ln2 ababf pp +×≈+×

=∆

πτ , (1.16)

de donde vemos que el mínimo valor de τp∆fp para un pulso gaussiano según el

criterio de FWHM es 0.44 (b = 0). En el caso más general posible este producto

dependerá del criterio para medir ∆fp y τp, de la forma exacta del pulso y de su

fase. Diremos que un pulso es LTF en sentido amplio cuando su producto

duración por ancho de banda (τp∆fp) sea ≈ 0.5.2 De algún modo esta será una

medida de la calidad de los pulsos. Si lo que pretendemos es que τp sea lo

menor posible será necesario trabajar con pulsos LTF ó como mínimo cercanos

a ser LTF.

El perfil de intensidad de los pulsos que vamos a caracterizar no es

exactamente gaussiano, sino que se aproxima mejor a la forma sech²(t). Un

dato que consultaremos habitualmente en el laboratorio es el producto duración

por ancho de banda teórico de un pulso LTF y que para el caso de pulsos

sech²(t) es τp∆fp = 0.315.

1.1.3 Dispersión del Material

En un medio dispersivo la constante de propagación β(ω) se puede

desarrollar en serie de potencias como



K+−×+−×+= 20

''0

'0 )(

21)()()( ωωβωωβωβωβ (1.17)

Si ω0 es la frecuencia central en radianes por segundo de una señal pulsada,

entonces los términos β, β’ y β’’, de la serie de potencias de β(ω), son

responsables de la velocidad de fase vφ(ω0), de la velocidad de grupo vg(ω0) y

de la dispersión de la velocidad de grupo respectivamente. La relación con

cada uno de los términos de la serie es la siguiente:

fasedevelocidadv0

0

0

)()(

0

ωωωωββφ

ωω≡=≡

=

grupodevelocidadvdd

g

1)(

1

0

'

0

≡=≡= ωω

ββωω

(1.18)

grupodevelocidadladedispersión

vdd

dd

g

≡

=≡

=)(

1

0

2

2''

ωωωββ

ωω

La envolvente del pulso viajará a una velocidad vg evaluada a la

frecuencia central ω0, mientras que las oscilaciones de la luz dentro del pulso

se moverán hacia delante a una velocidad de fase vφ. La forma del pulso

también cambiará debido a la dispersión de la velocidad de grupo β’’ o

dispersión del material. En tal caso la velocidad de grupo será una función de la

frecuencia o longitud de onda.

Tomemos de nuevo el pulso gaussiano con chirp de la ecuación 1.5. El

parámetro gaussiano inicial que lo define inequívocamente es2



000 jba −=Γ . (1.19)

Después de propagarse por un medio dispersivo una distancia z el pulso

que tendremos será

zjeEzE )(0 )(),( ωβωω −×= , (1.20)

y dependerá del pulso inicial E0(t), la constante de propagación β(ω) y la

distancia recorrida z. Así mismo se puede establecer que el parámetro

gaussiano del nuevo pulso, el cual define inequívocamente su forma, duración

y cantidad de chirp, satisface la relación

zjz

''

0

21)(

1 β+Γ

=Γ . (1.21)

Para un pulso Limitado por Transformada de Fourier el parámetro b,

inicialmente igual a cero, crecerá o decrecerá monótonamente al propagarse

por un medio dispersivo, por lo que se ensanchará independientemente del

signo de β’’. En cambio cuando el pulso tiene chirp (b≠0) es posible disminuir su

duración si el signo de la dispersión y la distancia recorrida son los adecuados.

La relación que se debe cumplir para reducir al mínimo la duración de un pulso

con un parámetro inicial Γ0 es

20

20

0'' )2(ba

bz opt +−=β

, (1.22)

de donde comprobamos que cuando b0 = 0 (pulso LTF) la distancia óptima de

propagación también debe de ser igual a cero. Si en cambio, y como sucede

habitualmente después de propagarse por un medio dispersivo, el pulso tiene

chirp positivo, la parte derecha de la ecuación 1.22 será un valor negativo. Para



que la relación se pueda cumplir necesitaremos un sistema con dispersión

negativa (β’’ < 0) y que además, permita ajustar el valor de β’’ y/o la distancia de

propagación z.

La secuencia formada por un par de prismas de la figura 3 es un sistema

muy utilizado para compensar la dispersión en los láseres de pulsos

ultracortos.3 El primer prisma dispersa angularmente el haz, para que distintas

longitudes de onda del pulso recorran distintos caminos ópticos, con el fin de

recomprimir la envolvente temporal del pulso. Al incrementar la distancia L

entre los dos prismas aumenta la dispersión negativa del sistema, lo que

permite compensar la dispersión positiva, o dispersión normal, que introduce el

medio láser. Una vez ajustada la distancia L se puede realizar un ajuste fino de

la dispersión actuando sobre la inserción de los prismas en el haz. Introducir

más un prisma aumenta la dispersión positiva, mientras que el hecho de

retirarlo la estará disminuyendo. Los valores concretos de L y de la inserción de

cada prisma dependerán, en cualquier caso, de la geometría de los prismas,

así como de las propiedades físicas del material del que estén hechos

(dispersión angular y β’’).

L

M’

M

II

I

En esta

lo que M-M’

secuencia de

una rejilla de

velocidad de g

Figura 3. Secuencia de prismas con dispersión negativa.

configuración el haz debe pasar dos veces por cada prisma por

puede ser un espejo ó bien el eje de simetría para repetir la

prismas. La dispersión angular de un prisma, menor que la de

difracción, permite pequeñas correcciones de la dispersión de la

rupo. A cambio, las pérdidas que introduce el sistema son mucho



menores que las de un par de rejillas de difracción. Este arreglo de prismas es

el responsable del ajuste de la dispersión en muchos de los láseres de pulsos

ultracortos (ver sección 1.3.4).

En la siguiente sección, que además sirve como introducción a la óptica

no lineal, se describe el proceso de generación de segundo armónico, utilizado

tanto por el láser de bombeo de nuestro láser de pulsos ultracortos, como en

las técnicas que veremos en los capítulos 2 y 3 para caracterizar dichos pulsos.

1.2 Generación de Segundo Armónico

Cuando la luz que incide en un material es suficientemente intensa se

comienzan a manifestar una serie de fenómenos no lineales, en el sentido de

que la respuesta óptica del material deja de depender linealmente con el

campo eléctrico aplicado. En tal caso la Polarización Eléctrica que se induce en

el material es

L+++= )()()()( 33

221 tEtEtEtP χχχ (1.23)

donde χ2 es la susceptibilidad no lineal de segundo orden, χ3 la de tercer orden

y así sucesivamente. La respuesta no lineal del material es evidente cuando

algún término χi, a partir de i = 2, es distinto de cero y la amplitud del campo

eléctrico incidente es suficientemente grande como para hacerlo evidente.

La susceptibilidad de segundo orden χ2 es responsable del proceso de

generación de segundo armónico (SHG), en el que la intensidad de la luz de

segundo armónico generada aumenta cuadráticamente con la intensidad

incidente del haz fundamental. La figura 4 muestra la geometría básica del

proceso de generación de segundo armónico.



2ν

ν ν

χ2

Figura 4. Diagrama de bloques del proceso degeneración de segundo armónico (SHG).

La figura 5 es un esquema de lo que sucedería a nivel energético, donde

dos fotones de energía hν se funden en el medio para dar lugar a un fotón de

energía 2hν. En el capítulo 2 veremos un ejemplo concreto de generación de

segundo armónico, mediante el uso de un cristal no lineal (el coeficiente χ2 es

muy grande) excitado con un láser de pulsos ultracortos (altas intensidades).

hν 2hν

hν

Figura 5.Diagrama de los niveles energéticosque describen el proceso de SHG.

Bajo ciertas condiciones el proceso de SHG puede ser muy eficiente,

llegando a convertir gran parte de la potencia de fundamental a segundo

armónico. Por ejemplo el láser de Nd:YVO4 (Nd:Vanadate) que veremos más

adelante (sección 1.3.4) utiliza un cristal de generación de segundo armónico

para convertir la longitud de onda de 1064 nm, en el infrarrojo cercano, a 532

nm en el espectro visible, con una eficiencia del 25%.



En realidad la eficiencia del proceso de SHG depende altamente de la

fase relativa entre las ondas que interactúan en el cristal. Dicho proceso puede

entenderse como la suma de dos fotones, y como tal, tiene que conservar tanto

la energía como el momento. La conservación de la energía da lugar a hν3 =

hν1 + hν2. Teniendo en cuenta que para SHG ν1 = ν2 es la frecuencia de las dos

ondas de fundamental que inciden en el cristal y ν3 la del segundo armónico, la

relación que resulta es hν3 = 2hν1. Por otra parte, la conservación del momento

implica que k3 = k1 + k2, lo que se conoce también como condición de phase-

matching. Cuando las dos ondas de fundamental tienen ambas la misma

polarización (phase-matching de Tipo I), entonces k1 = k2 y la condición de

phase-matching se puede escribir como k3 = 2k1. Dicha relación es equivalente

a n(ν) = n(2ν), y que en principio no es posible conseguir teniendo en cuenta

que en un material con dispersión normal el índice de refracción crece

monótonamente con la frecuencia. Sin embargo, podemos hacer uso de la

birrefringencia que muestran muchos cristales4, es decir, de la dependencia del

índice de refracción con la dirección de propagación y/o polarización del haz

incidente, para que n(ν) sea igual, o prácticamente igual, a n(2ν). En tal caso, la

onda de segundo armónico se polariza siempre en la dirección que da un

índice de refracción menor, para que la birrefringencia del material pueda

compensar la dispersión. El phase-matching de Tipo II se da cuando las ondas

de fundamental tienen distinta polarización, una ordinaria y la otra

extraordinaria.

Más adelante, en el segundo capítulo, se describirá el uso de un cristal

de BBO (Beta-Barium Borate) para generar el segundo armónico de dos haces

de luz fundamental que interfieren en el cristal. En este caso el BBO es un

cristal uniaxial negativo, por lo que el segundo armónico corresponde a

polarización extraordinaria.

A la práctica existen dos métodos para conseguir que la condición de

phase-matching se cumpla.5 En primer lugar, el ángulo del cristal θ con

respecto a la dirección de propagación de los rayos incidentes permite un

ajuste fino del phase-matching. Siguiendo en el caso de un cristal uniaxial



negativo como el BBO, la luz polarizada perpendicularmente al plano que

contiene el vector de propagación k y el eje óptico del cristal experimenta un

índice de refracción ordinario no. En cambio la luz polarizada en el mismo plano

que contiene k y el eje óptico del cristal experimenta un índice de refracción

extraordinario ne, que depende del ángulo θ entre el eje óptico y k. Ajustando el

ángulo del cristal es posible entonces obtener la condición de phase-matching.

El segundo método para obtener phase-matching es el que utiliza el

láser de Nd:YVO4 (Nd:Vanadate) con un cristal SHG de LBO (Lithium

Triborate), en el que la birrefringencia del cristal es una función de la

temperatura. Entonces es posible fijar el ángulo θ entre k y el eje óptico del

cristal a 90º, mientras ajustamos la condición de phase-matching variando la

temperatura. En el caso del láser de Nd:Vanadate el cristal de LBO se calienta

a 148ºC para la que la generación de segundo armónico a 532 nm sea

máxima. Esta técnica presenta una ventaja respecto a la anterior,

especialmente cuando se quiere convertir gran cantidad de potencia. Si el

ángulo θ es distinto de 0 ó 90º, como ocurre en el primer método, los rayos

ordinario y extraordinario con vectores de propagación paralelos divergirán el

uno del otro a medida que se propaguen por el cristal. Este efecto, que en

principio limita el solapamiento espacial de las dos ondas y reduce la eficiencia

del proceso, no afecta al método de la temperatura porque θ = 90º.

1.3 El Láser de Pulsos Ultracortos

Para que el láser del laboratorio (ver sección 1.3.4) funcione en modo

pulsado, en vez de producir la típica onda continua de luz casi monocromática,

se utiliza una técnica conocida como modelocking. Antes de introducir esta

técnica y de entrar en detalle en el funcionamiento del láser es necesario hablar

de dos efectos no lineales importantes para la generación de pulsos ultracortos,

ambos derivados del efecto Kerr óptico.



1.3.1 El Efecto Kerr Óptico

La susceptibilidad de tercer orden χ3 que aparece en la ecuación 1.23 es

responsable de una serie de efectos no lineales de tercer orden, entre ellos el

de generación de tercer armónico (THG) y el efecto Kerr óptico. Este último es

el que da lugar a dos fenómenos muy interesantes en el contexto de la

generación de pulsos ultracortos: Self-Focusing y Self-Phase Modulation

(SPM).6

Cuando se tienen altas intensidades en un medio, el índice de refracción

dependerá de una parte lineal y de otra no-lineal según

, (1.24) )()( 20 tInntn I ⋅+=

donde n2I es el coeficiente Kerr, y que depende únicamente de las propiedades

del material como

00

32

86cn

n I

εχ

= , (1.25)

donde n0 es el índice de refracción lineal, χ3 la susceptibilidad dieléctrica de

tercer orden del material, ε0 la constante de permisividad dieléctrica y c la

velocidad de la luz en el vacío. En tal caso el índice de refracción en un medio

láser cambiará en función de la intensidad del pulso que se propaga.

Asumiendo que n2I es un valor positivo, la parte central del haz experimentará

un índice de refracción mayor que en los extremos, donde la intensidad es

menor. El resultado es que el haz tenderá a enfocarse en la dirección

transversal a medida que se propaga por el material. Este es el primero de los

efectos interesantes que hemos presentado como Self-Focusing.

Si además asumimos que el efecto Kerr óptico es instantáneo, el índice

de refracción cambiará a su vez con el perfil de intensidad del pulso, siendo



máximo en la parte central de éste. La variación del camino óptico ∆n(t)L da

lugar a un cambio de fase de

λπφ )(2)( 2 tInLt I=∆ , (1.26)

y que a su vez da lugar a ensanchamiento espectral del pulso. Esto es lo que

se conoce como Self-Phase Modulation (SPM). El incremento de la frecuencia

instantánea que resulta de SPM se puede escribir como

−=∆dttdInLt I )(2)( 2

λπω

. (1.27)

En la figura 6 se muestra la representación gráfica de ∆ω(t) y ∆φ(t) para

un pulso gaussiano de 150 fs.

-450 -300 -150 0 150 300 450

-0,5

0,0

0,5

1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0 Fase Frec. Inst.

Fre

cuen

cia

Inst

antá

nea

(u.a

)

Fase

(u.a

)

Tiempo relativo al centro del pulso (fs)

Figura 6. Variación de la fase (línea continua) y de la frecuenciainstantánea (línea discontinua) debida a SPM, para un pulsogaussiano de 150 fs. Las unidades de la fase y la frecuenciainstantánea son arbitrarias, y dependen del índice de refracción nolineal, de la longitud de onda central del pulso y de la longitud delmaterial.



Para compensar aproximadamente la SPM deberemos tratarla como un

efecto dispersivo equivalente a chirp lineal positivo en la posición central del

pulso.

1.3.2 Modelocking

Modelocking es la técnica más utilizada hoy en día para generar pulsos

ultracortos en un láser. En principio la fase entre los modos que pueden oscilar

en una cavidad láser es totalmente aleatoria. La condición de resonancia

2λnL = , (1.28)

así como el ancho de banda de emisión del medio láser determinan qué modos

pueden propagarse. Para que todos ellos estén en fase es necesario introducir

algún tipo de modulación. En tal caso tendremos un pulso E(t) formado por N

modos según

[ ]∑−=

∆+=2/

2/

0 )(exp)(N

Nn

tnjtE ωω , (1.29)

donde ω0 es la pulsación central y ∆ω la separación entre modos. Además para

simplificar los cálculos hemos supuesto que la ganancia es igual en todo el

ancho de banda de emisión. En ese caso podemos escribir E(t) como un

sumatorio de cosenos en la forma

. (1.30)

∆+= ∑

=

)cos(21)exp()(2/

1

0

N

n

tntjtE ωω

Tomando su módulo llegamos a una expresión final de E(t) como



∆

∆+

=∆+= ∑=

2

2)1(

)cos(21)(2/

1 tsen

tNsentntE

N

n ω

ω

ω (1.31)

La altura del pulso resultante es proporcional a N mientras que su

anchura es proporcional a N-1, llegando a la conclusión de que cuanto mayor

sea el ancho de banda, tendremos más modos y en consecuencia, los pulsos

serán más cortos.

Dentro de la cavidad se tiene un solo pulso que, en cada pasada o

round-trip, transmite parte de la potencia al exterior. A la salida tendremos un

tren de pulsos cuyo tiempo de separación viene determinado por

cnLtsep 2

=∆ , (1.32)

donde nL es la longitud efectiva de la cavidad. En efecto este es el tiempo que

el pulso tarda en recorrer la cavidad en ambos sentidos.

Modelocking Activo

Si la modulación que fuerza el funcionamiento pulsado se introduce por

medio de una fuente externa hablaremos de modelocking activo. La frecuencia

de la modulación deberá ser un múltiplo de la frecuencia de repetición de los

pulsos de modo que, cada vez que el pulso pase por el modulador, la ganancia

o transmisión del dispositivo sea máxima. Los métodos y/o dispositivos que se

utilizan a la práctica son básicamente la modulación de la ganancia, el bombeo

síncrono y los moduladores acústico y electro-ópticos.



Modelocking Pasivo

Si por el contrario el elemento que introduce la modulación es un

dispositivo pasivo hablaremos de modelocking pasivo. Esta técnica es más

efectiva y permite obtener pulsos más cortos que en modelocking activo.

Utilizando un elemento no lineal con unas pérdidas que dependan de la

intensidad conseguiremos que las componentes más intensas del campo

eléctrico experimenten mayor ganancia neta y se vean favorecidas sobre el

modo continuo.

Un absorbedor saturable introduce unas pérdidas selectivas que

suprimen las componentes de baja intensidad o de continua del campo

eléctrico, mientras que para las componentes de mayor intensidad se satura y

las pérdidas son mucho menores. Podemos distinguir entre dos tipos de

dispositivo según se comporte como absorbedor saturable lento o rápido.7 En

el primer caso el absorbedor sólo atenúa la parte frontal del pulso. A partir de

cierta intensidad el absorbedor se satura y como el tiempo de recuperación es

grande, el resto del pulso se transmite prácticamente igual. Hace falta un

mecanismo adicional para atenuar la amplitud de la cola del pulso. Si la

ganancia del medio láser se satura con la llegada de la parte delantera del

pulso, entonces la parte trasera verá una ganancia mucho menor (o nula) y no

será amplificada. De este modo se obtienen pulsos de duración menor que el

tiempo de recuperación del absorbedor saturable.

El funcionamiento con absorbedores saturables rápidos es más sencillo.

En este caso el absorbedor atenúa tanto la parte delantera como la parte

trasera del pulso. Como la ganancia del medio no se satura la duración final de

los pulsos será, en el mejor de los casos, igual al tiempo de recuperación del

absorbedor. Si lo que queremos son pulsos muy cortos será preciso que el

tiempo de recuperación del absorbedor sea igualmente corto.



1.3.3 Self-Modelocking

Veamos ahora el mecanismo por el cual nuestro láser funciona en modo

pulsado. En primer lugar hemos visto que en el medio se produce una

modulación espacial del perfil de intensidad transversal del haz debida al efecto

Kerr. Ajustando la cavidad correctamente el haz sufrirá más ganancia cuanto

mayor sea el Self-Focusing, favoreciendo así las componentes de ruido más

intensas. Con Self-Focusing aseguramos que el haz pulsado queda adentro del

haz de bombeo. Después de algunas pasadas un pico de ruido será más

intenso y descargará más el medio que los demás. También se enfocará más y

experimentará mayor ganancia. Finalmente se convertirá en un pulso ultracorto

cuya duración final dependerá del ancho de banda y de la dispersión total

dentro de la cavidad.

Self-Phase Modulation (SPM) es otro efecto fundamental en Self-

Modelocking.8 Al aumentar el ancho de banda hace posible que pulsos más

cortos puedan oscilar en la cavidad, mientras que un par de prismas aportan la

dispersión negativa necesaria para compensar la dispersión introducida por el

material y la SPM. En nuestro caso, aunque es correcto asumir que la SPM

aumenta el ancho de banda de los pulsos, el principal promotor del largo ancho

de banda es que el espectro de emisión es muy grande (ver figura 7).

Si añadimos una apertura circular mordiendo el haz en su periferia

eliminaremos las componentes de baja intensidad (la continua), favoreciendo

así el modo pulsado. La ajustaremos de modo que el haz enfocado, de

diámetro menor que el de continua, pase por la ranura.

Self-Focusing y SPM son los dos fenómenos que dan nombre a Self-

Modelocking. Podemos incluir esta técnica de generación de pulsos ultracortos

dentro de modelocking pasivo y a su vez dentro de absorbedores saturables

rápidos. Utilizar un efecto no lineal instantáneo para modular en amplitud es

equivalente utilizar un absorbedor saturable rápido, en este caso un absorbedor

saturable virtual.



1.3.4 El Láser de Titanio-Zafiro

En lo que sigue describiremos el láser de Ti:Zafiro que se utilizó en el

laboratorio (Mira Optima 900-F, Coherent)9 y el láser de bombeo (Verdi-V10),

basado en un láser de Nd:YVO4 (Nd:Vanadate). El láser de Ti:Zafiro es un láser

del tipo Self-Modelocking sintonizable entre 700 y 980 nm y con una frecuencia

de repetición de los pulsos es de 76 MHz. En cuanto al láser de bombeo, se

trata de un láser de Nd:YVO4 (Nd:Vanadate), doblado en frecuencia a partir de

un cristal SHG de LBO (Lithium Triborate). La potencia a su salida es de 10 W

a una longitud de onda de 532 nm. Esta configuración permite obtener a la

salida del láser de Ti:Zafiro hasta 1,8 W en modo pulsado y 2,3 W en modo

continuo. Ajustando la inserción de un par de prismas es posible minimizar la

dispersión total de la cavidad para obtener los pulsos más cortos (ver sección

1.2.3). Según el fabricante el láser es capaz de emitir pulsos con una duración

de hasta 130 fs. El objetivo del proyecto es precisamente la caracterización de

dichos pulsos.

El ión Ti+3 incluido en un cristal de Zafiro (Al2O3) forman el medio activo

del láser de Titanio-Zafiro (Ti:Al2O3).10 La cantidad de iones de titanio es de

alrededor del 0,1% y se encuentran remplazando a átomos de aluminio en el

cristal. El láser de Ti:Zafiro tiene el rango de sintonizabilidad más amplio de los

láseres conocidos hoy en día, con longitudes de onda posibles entre 670 y

1100 nm. También son muy eficientes con un rendimiento cuántico de hasta el

80% a temperatura ambiente. Los picos del espectro de absorción están cerca

de 500 nm y pueden operar de forma continua o pulsada. En la figura 7 se

muestran los espectros de absorción y de emisión del láser de Ti:Zafiro.



Figura 7. Espectros de absorción y de emisión del láser

de Titanio-Zafiro.

La figura 8 muestra el diagrama de la cavidad del láser de Ti-Zafiro que

se utilizó en el laboratorio.

Figura 8. Diagrama de la cavidad del láser de Titanio-Zafiro utilizado en el laboratorio.

El haz de bombeo entra por la izquierda y se enfoca con una lente (L),

pasa por un espejo cóncavo (M4) y de ahí al cristal de Ti:Zafiro. La

fluorescencia emitida es colectada por el espejo cóncavo M5, y dirigida hacia el



prisma P1, el espejo M6, el prisma P2, el espejo M7 y regresa por el mismo

camino hasta el cristal. Finalmente se refleja en los espejos M4 y M3, pasa por

el filtro birrefringente (BF), se refleja en M2, pasa entre la apertura (SLIT), y una

parte de la potencia se transmite al exterior por el acoplador de salida OC

(Output Coupler). Los espejos M8 y M9 forman una cavidad auxiliar cuya

función es facilitar la alineación de la cavidad principal.

Como parte del trabajo del proyecto, se procedió a medir el rango de

sintonización del láser de Ti:Zafiro. Para ello se utilizó un Analizador de

Espectros Láser de la marca IST. En la figura 9 se muestra la relación entre la

longitud de onda central de los pulsos y la posición del filtro birrefringente

(indicada por un tornillo micrométrico) que permite sintonizar el láser. La línea

continua corresponde a medidas experimentales mientras que la discontinua es

la que especifica el fabricante. Como se puede ver las dos son prácticamente

iguales. Esta grafica resulta de mucha utilidad pues nos permite conocer la

longitud de onda de trabajo sin necesidad de utilizar el analizador de espectros

(Laser Spectrum Analizer), simplemente consultando la posición del tornillo

micrométrico.

760 780 800 820 840 860 880

500

510

520

530

540

550

500

510

520

530

540

550

Mic

rom

eter

Set

tings

(in)

Mic

rom

eter

Set

tings

(in)

Wavelength (nm)

Figura 9. Relación entre la longitud de onda central de los pulsos yla posición del filtro birrefringente medido por su tornillomicrométrico, según las especificaciones (línea discontinua) ymedida experimentalmente (línea continua).



Así mismo, se procedió a medir la potencia máxima del láser en función

de la longitud de onda. La figura 10 muestra el resultado así como la

comparación con las especificaciones.

Observamos que sólo para las longitudes de onda de 760, 770 y 800 nm

se han obtenido potencias iguales o superiores a las especificadas. Esto se

debe a que durante el proceso de maximización se actuó sobre la posición de

los espejos y únicamente para las longitudes de onda más cortas se corrigió la

posición de los prismas, que inicialmente estaba ajustada para 800 nm.

765 780 795 810 825 840 855 8701,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0500 505 510 515 520 525 530 535 540 545

Micrometer Settings (in)

Inte

nsid

ad (W

)

Longitud de Onda (nm)

En

especific

la posici

longitud

por el fa

onda, en

un mejor

Figura 10. Relación entre la longitud de onda central de lospulsos y la potencia máxima en modo pulsado, según lasespecificaciones (línea discontinua) y medida experimentalmente(línea con círculos).

general, las medidas experimentales se ajustan bastante bien a las

aciones del fabricante. La relación obtenida experimentalmente, entre

ón del tornillo micrométrico que controla el filtro birrefringente y la

de onda de emisión del láser es prácticamente idéntica a la facilitada

bricante. Respecto a la potencia máxima en función de la longitud de

algunos casos no se alcanzan los niveles especificados, aunque con

ajuste de los espejos del láser y del par de prismas deberíamos de



aproximarnos más a dichos niveles. En ambos aspectos los resultados

obtenidos han sido bastante satisfactorios.

1.4 Conclusiones

En este capítulo se ha introducido el concepto de pulso ultracorto,

hemos visto que su forma es la de una sech², las unidades más apropiadas

para dar su duración (fs), ancho de banda (THz) y frecuencia de repetición

(MHz), y también su gran intensidad pico. Todas estas características que los

hace tan especiales pueden ser aprovechadas por un gran número de distintas

aplicaciones (ver introducción), entre las que podríamos destacar la

microscopía no lineal, debido al creciente interés que está generando

actualmente.

Por otra parte, se explicó el proceso de generación de segundo

armónico y los dos métodos básicos para conseguir la condición de phase-

matching, cambiando el ángulo del cristal y ajustando la temperatura. Vimos

que el láser de bombeo de nuestro láser de pulsos ultracortos utiliza este último

sistema para conseguir una eficiencia de conversión del 25%.

En la última sección se explicó la técnica de generación de pulsos

ultracortos (self-modelocking) y vimos que podíamos incluirla dentro de los

láseres modelocking pasivos con absorbedor saturable rápido, más

concretamente con absorbedor saturable rápido virtual. También vimos la

modulación de amplitud que tiene lugar en el medio láser, debida a self-

focusing, que hace posible el funcionamiento pulsado, y que aunque la SPM

aumenta el ancho de banda, el principal promotor del largo ancho de banda y

por tanto, de pulsos más cortos, es el gran espectro de emisión del medio

activo (Ti:Zafiro). Por último, se explicaron las características del láser de

pulsos ultracortos utilizado en el laboratorio, así como las del láser de bombeo,

y comparamos algunas de las especificaciones con medidas obtenidas

experimentalmente. El resultado de estas comparaciones, referentes a la



potencia máxima en función de la longitud de onda, y a la longitud de onda en

función de la posición del filtro birrefringente, fueron bastante satisfactorios.

Más adelante haremos un análisis más exhaustivo de los parámetros del

láser. En particular, estaremos interesados en conocer con exactitud la forma

(perfil de intensidad) y la fase de los pulsos. Así, las técnicas de

autocorrelación y Frequency-Resolved Optical Gating (FROG) serán

introducidas. En los capítulos siguientes de describirán estas técnicas, así

como los diferentes procesos de automatización para realizarlos en el

laboratorio de manera rutinaria.

1.5 Referencias

1. H. A. Haus, J. G. Fujimoto, and E. P. Ippen, "Structures for additive pulse modelocking", J. Opt. Soc. Am. B 8, 2068 – 2076 (1991).

2. A. E. Siegman, Lasers (University Science Books, 1986), Chap. 9. 3. R. L. Fork, O. E. Martinez, and J. P. Gordon, “Negative dispersion using pairs of

prisms”, Opt. Lett. 9, 150 – 152 (1984).

4. E. Hecht, Optics (Addison – Wesley Pub. Co., 3rd ed. 1997), Chap. 8.

5. R. W. Boyd, Nonlinear optics (Academic Press, 1991), Chap 1.

6. A. E. Siegman, Lasers (University Science Books, 1986), Chap. 10.

7. A. E. Siegman, Lasers (University Science Books, 1986), Chap. 28.

8. D. E. Spence, P. N. Kean, and W. Sibbett, “60-femtosecond pulse generation from a self-modelocked Ti:sapphire laser”, Opt. Lett. 16, 42 – 44 (1991).

9. Coherent, Inc., Mira 900, in Modelocked Ti:sapphire lasers (2002),

http://www.coherent.com/Downloads/Mira900_DS.pdf

10. R. Arieli, The laser adventure (Kansas State University, Phys. Edu. Group), Chap. 6, http://web.phys.ksu.edu/vqm/laserweb


http://www.coherent.com/Downloads/Mira900_DS.pdf

http://web.phys.ksu.edu/vqm/laserweb


CAPÍTULO 2

LA TÉCNICA DE AUTOCORRELACIÓN

En este capítulo se presenta la técnica de autocorrelación, con el

objetivo de caracterizar los pulsos ultracortos del láser de Titanio-Zafiro que se

utilizó en el laboratorio (ver sección 1.3.4). Se comenzará describiendo los dos

tipos de dispositivo no lineal que se utilizaron para implementar el

autocorrelador, un fotodiodo de Arseniuro de Galio y Fósforo (GaAsP), y un

cristal de generación de segundo armónico (SHG). A continuación se introduce

en sí la autocorrelación a partir de su definición matemática, se muestran los

dos tipos de autocorrelación que podemos encontrar (de intensidad e

interferométrica) y cómo obtener una u otra. Después se describe físicamente

el primer autocorrelador que se implementó (colineal), se explica cómo estimar

la duración de los pulsos a partir de las medidas experimentales y se muestran

los resultados obtenidos. Finalmente veremos otro tipo de autocorrelador que

se implementó, utilizando una geometría no-colineal, y describiremos sus

ventajes e inconvenientes respecto al primero.

2.1 Respuesta No Lineal

La autocorrelación es uno de los métodos más básicos para medir

pulsos ultracortos. En esta técnica el pulso E(t) y una réplica del mismo

retardado un tiempo t = τ se mezclan en un elemento no lineal.1 Si el elemento

no lineal es un cristal de generación de segundo armónico, bastará con poner

un fotodetector trabajando en su zona lineal para detectar la señal generada.

En caso de que el detector que utilicemos tenga un comportamiento de

Capítulo 2: La Técnica de Autocorrelación 36


absorción de dos fotones, el mismo detector por sí solo será suficiente

aportando, además de la funcionalidad de detector, la de elemento no lineal.

En el laboratorio se trabajó en primer lugar con un fotodiodo de arseniuro

de galio y fósforo (GaAsP) funcionando como dispositivo no lineal y a su vez

como detector. Más tarde se utilizó el mismo detector, como elemento lineal,

junto con un cristal de generación de segundo armónico (SHG). Los dos

sistemas de detección son equivalentes.

2.1.1 Absorción de Dos Fotones

Los dispositivos semiconductores pueden proporcionar la respuesta

cuadrática que necesita un autocorrelador cuando trabajan como absorbedores

de dos fotones. En la figura 1 se muestra el proceso que tiene lugar a nivel

energético. Un primer fotón de energía hν es el encargado de excitar electrones

de la banda de valencia a un nivel virtual de energía. El segundo fotón, también

de energía hν, termina por llevar el electrón excitado a la banda de conducción.

La respuesta resultante del semiconductor es una fotocorriente que depende

cuadráticamente de la intensidad óptica incidente.

ν

ν

Figura 1. Proceso de absorción de dos fotones.



En el laboratorio se trabajó con un fotodiodo de arseniuro de galio y

fósforo (GaAsP) a una longitud de onda alrededor de 800nm. Un fotón a dicha

longitud de onda no es lo suficientemente energético como para excitar

electrones de la banda de valencia a la banda de conducción del GaAsP. Sin

embargo, si la intensidad de la luz es muy grande, lo cual se consigue en

régimen pulsado, entonces es posible excitar electrones de la banda de

valencia a la banda de conducción mediante la absorción de dos fotones (700 –

1400 nm).2 Con el fin de comprobar la respuesta del fotodiodo de GaAsP a

800nm se midió la fotocorriente generada para distintos valores de la potencia

incidente. En la figura 2 se muestran los resultados.

0 50 100 150 2000

100

200

300

400

500

Foto

corri

ente

(nA)

Potencia Promedio Relativa (u.a)

En la sig

para mostrar dic

puntos de la fig

Figura 2. Relación entre potencia incidente y fotocorrientegenerada por el fotodiodo de GaAsP a 800nm. Entre el medidorde potencia y el fotodiodo se colocaron varios filtros para atenuarla señal, por lo que la potencia que aparece representada es unamedida relativa de la potencia que realmente incide sobre eldetector.

uiente figura se ha escogido una escala con ejes logarítmicos

hos resultados. Una recta de pendiente m = 2 trazada sobre los

ura 3 demuestra el comportamiento cuadrático del fotodiodo.



100

10

100

Foto

corri

ente

(nA)

Potencia Promedio Relativa (u.a)

2.1.2 Gener

La gen

únicamente se

estas caracter

un valor distin

lineales, entre

nuestro caso

convertir luz d

alrededor de

lineal de 2 pm

Cuando

800nm se co

detector de G

estos fotones,

banda de val

Figura 3. Relación entre potencia incidente y fotocorrientegenerada por el fotodiodo de GaAsP a 800nm en escalalogarítmica. La recta de pendiente igual a 2 pone de manifiestola respuesta cuadrática del detector.

ación de Segundo Armónico

eración de segundo armónico (SHG) es un efecto no lineal que

manifiesta en materiales no centro-simétricos. En un cristal de

ísticas la susceptibilidad dieléctrica de segundo orden χ2 tendrá

to de cero y será responsable de un conjunto de efectos no

ellos el de generación de segundo armónico (ver cap. 1). En

se utilizó un cristal de BBO (Beta-Barium Borate) diseñado para

e 800 a 400nm, por lo que los pulsos tenían que estar centrados

800 nm. El grosor del cristal era de 300 µm y su coeficiente no

V-1.

el haz fundamental incide en el cristal de SHG, dos fotones a

mbinarán en dicho cristal para dar lugar a otro de 400nm. El

aAsP tiene una respuesta lineal a 400 nm, así que uno sólo de

doblemente energéticos, será capaz de excitar un electrón de la

encia a la banda de conducción. Los dos sistemas descritos



(absorción de 2-fotones y SHG) se comportan del mismo modo, por lo que la

medición de los pulsos con uno u otro sistema será equivalente.

Para que la generación de segundo armónico sea significativa es

necesario un nivel de intensidad alto. Para ello el láser debe funcionar en

régimen pulsado, y concentrar así toda la energía de un round-trip en un único

pulso con una gran intensidad de pico. Además también es imprescindible que

se cumplan las condiciones de phase-matching que vimos en el capítulo 1. En

efecto observamos como el efecto desaparece cuando el láser pasa a

funcionar de modo pulsado a modo continuo, o bien cambiamos el ángulo del

cristal respecto al haz incidente. La señal de segundo armónico generada

satisface la relación

)()()( tEtEtESHG ×∝ , (2.1)

sin embargo, si la intensidad en el cristal, y en consecuencia la eficiencia de

conversión SHG, es demasiado grande, la relación entre la señal de segundo

armónico y el fundamental se convierte en3

[ ])(tanh)()( tEktEtESHG ⋅×∝ . (2.2)

En este caso k es una constante proporcional a la longitud del cristal y a

la eficiencia de conversión efectiva. Cuando la intensidad es excesiva la

eficiencia de conversión disminuye y el término con la tangente hiperbólica se

aleja del comportamiento lineal. Cuando el argumento de la tanh es 0.174 nos

desviamos un 1% respecto al comportamiento lineal. Estar por debajo de este

valor no es una condición tan restrictiva.



2.2 El Autocorrelador Colineal

Si medimos la señal de autocorrelación tendremos un máximo cuando

los dos pulsos coincidan exactamente en tiempo. Análogamente, cuando el

retardo aumente y los pulsos coincidan cada vez menos, la señal de

autocorrelación irá decreciendo. Como la variación del retardo es lenta con

respecto a la frecuencia de repetición de los pulsos, la señal de autocorrelación

estará formada por un promedio de los pulsos que interfieren para cada valor

del retardo. Matemáticamente podemos expresar la autocorrelación como

[ ]∫

∫∞

∞−

∞

∞−++

=dttE

dttEtERE

4

22

)(

)()()(

ττ

. (2.3)

Sustituyendo la expresión para el campo eléctrico E(t)=E0(t)exp(jω0t) en

2.3 y desarrollando llegamos a

∫∞

∞−+++++∝ )()(4)()()( 2244

0000 τττ tEtEtEtERE

++ )2cos()()(2 000

22 τωτtEtE (2.4)

[ ] dttEtEtEtE )cos()()()()(4 00000

33 τωττ +++ .

La señal de autocorrelación oscila de máximo a mínimo cuando τ cambia

±π/ω0. Para valores grandes del retardo los pulsos dejan de coincidir, por lo que

los términos cruzados con E0(t) y E0(t+τ) serán cero. El nivel de continua

(background) se puede obtener como

∫∞

∞−∝∞ dttERE )(2)( 4

0 . (2.5)



En cambio cuando el retardo es cero (τ = 0) la señal de autocorrelación

es máxima. Como los dos pulsos son iguales se llega fácilmente a

∫∞

∞−∝ dttERE )(16)0( 4

0 . (2.6)

La relación entre máximo y background resulta ser de 16/2 es decir 8 a 1

(ver figuras 7 y 9). La autocorrelación resultante se conoce como

autocorrelación interferométrica, debido a que hemos podido resolver las

franjas de interferencia de los términos coseno.

Si por el contrario la electrónica en detección no es capaz de resolver los

cosenos de la ecuación 2.4 las aportaciones correspondientes serán cero y

tendremos que

13

)(2

)(6

)()0(

4

4

0

0==

∞ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dttE

dttE

RRE

E

. (2.7)

En este caso estaremos ante una autocorrelación de intensidad con una

relación entre máximo y background de 3 a 1 (ver figuras 5, 8 y 10). Es posible

alternar entre los dos tipos de autocorrelación modificando la constante de

integración del sistema de detección. Por ejemplo, si conectamos una

resistencia en paralelo a la entrada del osciloscopio estaremos disminuyendo el

tiempo de integración y podremos resolver las franjas de interferencia, mientras

que si la quitamos el tiempo de integración aumentará y estaremos

promediando los cosenos de la ecuación 2.4 para obtener una autocorrelación

de intensidad. La resistencia que se utilizó en nuestro caso era de 5 kΩ,



aunque en general el valor concreto lo determina la impedancia de entrada del

osciloscopio.

Es importante tener en cuenta que las técnicas basadas en la

autocorrelación únicamente permiten inferir la duración de los pulsos

asumiendo que estos tienen un perfil de intensidad determinado. Además, en

ningún caso nos dan información cuantitativa de la fase, con lo que no

podemos tener una medida de la calidad de nuestros pulsos. Sin embargo, la

simpleza de la técnica nos permite estimar, de una manera rápida, la duración

de los pulsos

El montaje más usual está basado en el interferómetro de Michelson de

la figura 4. En este montaje uno de los dos espejos está fijo, mientras que el

otro está montado sobre un dispositivo que controla su posición. El

autocorrelador que se utilizó en este proyecto consistía en dos espejos de

aluminio, un divisor de haz o beam splitter (50 / 50) y un fotodiodo de

Arseniuro de Galio y Fósforo (GaAsP), actuando simultáneamente como

dispositivo no lineal y detector.

Figura 4. Montaje genérico de un autocorrelador basado en elinterferómetro de Michelson. El divisor de haz divide el haz de entrada endos haces mientras que el espejo móvil aporta los distintos retardosnecesarios para obtener la autocorrelación del pulso.



El 50% de la potencia que entra al autocorrelador se refleja en el beam

splitter y luego en el espejo fijo. Una parte de esta potencia (50%) se refleja de

nuevo en el beam splitter y regresa hacia el láser, mientras que el otro 50% (un

25% del total) se transmite y termina incidiendo sobre el GaAsP. Un pulso que

sigue esta trayectoria (beam splitter - espejo fijo - beam splitter - detector)

tardará siempre el mismo tiempo en llegar al dispositivo no lineal (GaAsP). En

cambio el pulso que sigue la trayectoria beam splitter - espejo móvil - beam

splitter - detector, y que es una réplica exacta del pulso anterior, llegará al

GaAsP con distintos retardos en función de la posición del espejo móvil. Si

llamamos τ al retardo, la fotocorriente que se genera en el GaAsP depende

cuadráticamente de la interferencia entre los dos pulsos para distintos valores

de τ, lo que formalmente es igual a la definición matemática de autocorrelación

(ver ec. 2.3), salvo por una constante de proporcionalidad.

El espejo móvil del autocorrelador se montó sobre un altavoz excitado

por un generador de funciones, para que oscilara a una frecuencia de 10 Hz.

En realidad, al variar la posición del espejo estamos actuando sobre τ. Cuando

el altavoz se encuentra en la posición central de oscilación, los dos pulsos

deben llegar al mismo tiempo al dispositivo no lineal si queremos que la

autocorrelación aparezca centrada en τ = 0. Esto ocurre cuando la longitud de

los dos brazos del autocorrelador es la misma y ambos pulsos recorren igual

distancia hasta el GaAsP. Por este motivo el espejo fijo se montó sobre una

mesa traslacional micrométrica que permitía ajustar manualmente la posición

de τ = 0. Por último, al montar el espejo móvil sobre un altavoz podremos ver

las autocorrelaciones en tiempo real en la pantalla del osciloscopio.

En el proceso para alinear el beam splitter y los espejos del

autocorrelador tenemos que asegurarnos de que los dos haces viajan

perfectamente colineales antes de incidir en el GaAsP. Para conseguirlo

comprobaremos que el haz de entrada viaja a una altura fija. Después

ajustaremos el beam splitter de modo que el haz reflejado siga una trayectoria

perpendicular a la del haz de entrada, según el eje del autocorrelador.

Análogamente, el haz transmitido por el beam splitter es reflejado 180º por uno



de los espejos del autocorrelador y posteriormente reflejado por el beam splitter

en la misma dirección que el otro haz. Finalmente ajustaremos los espejos

hasta conseguir que los dos haces sigan exactamente la misma trayectoria

(viajen colinealmente) hacia el detector, manteniendo siempre una altura fija.

El motivo por el que se comenzó por este montaje es que la alineación

es relativamente sencilla comparada con la de un autocorrelador no colineal.

También es más sencillo utilizar un fotodiodo que un cristal de SHG porque los

cristales requieren alineación extra para satisfacer la condición de phase-

matching.

2.2.1 Autocorrelación de Intensidad

En la sección anterior hemos visto que existen dos tipos de

autocorrelación (de intensidad e interferométrica) y que obtendremos una u otra

en función de la constante de integración del detector. Si se resuelven las

franjas de interferencia obtendremos una autocorrelación interferométrica con

una relación entre máximo y background de 8 a 1. En caso contrario

obtendremos una autocorrelación de intensidad y la relación será de 3 a 1.

En lo que sigue describiré el procedimiento para obtener la duración de

los pulsos a partir de las medidas experimentales, en primer lugar para el tipo

de autocorrelación de intensidad, y en la siguiente sección para la

autocorrelación interferométrica.

En primer lugar tendremos que asegurar que realmente estamos

obteniendo una correcta autocorrelación de intensidad comprobando que existe

una relación de 3 a 1 entre el valor máximo y el nivel de continua (background).

Una vez que haya sido comprobada esta relación se procederá a medir la

anchura temporal (FWHM) de la traza de autocorrelación. El FWHM de la

autocorrelación está relacionado con el FWHM del pulso en función del perfil de

intensidad que supongamos. En la tabla 1 se muestran los factores de

conversión para el caso de pulsos gaussianos o sech²(t).



Tipo de pulso p

R

ττ

gauss(t) 1.414

sech²(t) 1.543

Tabla 1. Factores teóricos de conversión paraautocorrelaciones de intensidad. Permite pasar deτR (duración de la autocorrelación) a τp (duracióndel pulso) para pulsos gaussianos o sech²(t).

Para obtener el FWHM del pulso será necesario realizar una calibración

de la escala de tiempos en la pantalla del osciloscopio. Si al encontrarnos en la

posición central de oscilación de la bocina los caminos ópticos entre ambos

brazos del autocorrelador son idénticos, podremos ver la señal de

autocorrelación tal y como se muestra en la figura 5(a).

El siguiente paso consiste en desplazar el espejo fijo mediante la mesa

traslacional micrométrica, primero en una dirección y luego en la otra. Nos

fijaremos en el segundo pico y anotaremos cual es su desplazamiento en

milisegundos en la pantalla del osciloscopio. Igualmente anotaremos el

desplazamiento total de la mesa micrométrica. En las figuras 5(b) y 5(c) se

muestran ambos desplazamientos, primero hacia la izquierda y después hacia

la derecha.



0

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

0

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

-50 0 50 100 1500

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (ms)

(a)

(b)

(c)

Figura 5. Ajustando la escala de tiempos del osciloscopio podemosver varias autocorrelaciones. (a), (b) y (c) muestran la posición de laautocorrelación, en función del retardo dado por diferentesposiciones de la mesa traslacional micrométrica.



En este ejemplo un desplazamiento total de la mesa micrométrica de 0.1

mm (fig. 5(b) y 5(c)) hizo que el segundo pico se desplazara en la pantalla del

osciloscopio 15.25 ms. Entonces podemos calcular que 1 ms en la pantalla del

osciloscopio se corresponde en realidad con una duración de

fscmsmmms 7.43

25.151.021

=⋅

⋅⋅. (2.8)

El término 2 en el numerador se explica por el hecho de que al alejar 0.1

mm el espejo que esta montado sobre la mesa traslacional, la luz recorre 0.1

mm a la ida y 0.1 mm a la vuelta, es decir 0.2 mm.

A continuación medimos en la pantalla del osciloscopio el FWHM de la

autocorrelación resultando ser de 5.5 ms. En tal caso, la duración real de la

traza de autocorrelación τR es

fsms

fsmsR 240

17.435.5

=⋅

=τ . (2.9)

Finalmente aplicamos el factor de corrección bajo la hipótesis de que los

pulsos tienen un perfil de intensidad sech²(t) y para el tipo de autocorrelación

de intensidad (ver tabla 1). En tal caso la duración de los pulsos τp resulta ser

de

fsfsp 155

543.1240

==τ . (2.10)



2.2.2 Autocorrelación Interferométrica

En caso de que el autocorrelador pueda distinguir las franjas de

interferencia obtendremos el otro tipo de autocorrelación conocida como

autocorrelación interferométrica. La señal detectada irá oscilando de máximo a

mínimo para una variación del retardo de τ = π / ω. En efecto, la separación

entre franjas se corresponde con media oscilación de la luz a la frecuencia

central del pulso. En este caso, para verificar que la señal que obtenemos es

realmente una autocorrelación interferométrica deberemos verificar que la

relación entre máximo y background sea de 8 a 1 (ver ec. 2.5 y 2.6).

Es importante tener en cuenta que, mientras que la autocorrelación de

intensidad detecta únicamente la intensidad de los pulsos, la interferométrica

depende de cómo las distintas longitudes de onda que componen el pulso

interfieren entre sí.

Si el pulso está Limitado por Transformada de Fourier (no tiene chirp), la

frecuencia instantánea es constante y la interferencia se produce tanto para

retardos cercanos al máximo de la autocorrelación, como para retardos más

grandes correspondientes a las colas del pulso. Cuando el pulso tiene chirp la

frecuencia instantánea varía a lo largo del pulso, originando una pérdida de

coherencia que aumenta a medida que el retardo se aleja de τ = 0. En tal caso

la interferencia de los dos pulsos (original y réplica) se pierde progresivamente,

debido a que sus frecuencias instantáneas difieren cada vez más. Esto supone

una disminución del número de franjas de interferencia por pérdida de

visibilidad, que a su vez se traduce en una estimación errónea de la duración

de los pulsos. Dado que la medida se obtiene básicamente contando franjas el

pulso parecerá más corto de lo que en realidad es.

La autocorrelación interferométrica no es fiable para determinar τp, pero

permite determinar cualitativamente si los pulsos tienen o no chirp. Con la

autocorrelación de intensidad conocemos la duración real de los pulsos pero no



tenemos información cualitativa de su fase. Nos encontramos pues ante dos

medidas que se complementan a la perfección.

Al igual que antes la tabla 2 muestra los factores de conversión entre la

duración de la autocorrelación y la duración de los pulsos, en este caso para

autocorrelaciones interferométricas.

Tipo del pulso p

R

ττ

gauss(t) 1.697

sech²(t) 1.897

El método

autocorrelación inte

lugar procederemo

FWHM de la auto

duración de la auto

donde N es el núm

del pulso y c, la vel

Finalmente

corresponda, segú

muestra en detalle

del osciloscopio.

Tabla 2. Factores teóricos de conversión paraautocorrelaciones interferométricas. Permite pasarde τR (duración de la autocorrelación) a τp (duracióndel pulso) para pulsos gaussianos ó sech²(t).

para obtener la duración de los pulsos a partir de una

rferométrica es distinto que en el caso anterior. En primer

s a contar las franjas de interferencia que hay dentro del

correlación. A partir del número de franjas se obtiene la

correlación τR como

cN

Rλτ ⋅

= , (2.11)

ero de franjas de interferencia, λ la longitud de onda central

ocidad de la luz en el vacío.

dividiremos esta duración por el factor de corrección que

n el perfil de intensidad que supongamos. La figura 6

las franjas de interferencia que podemos ver en la pantalla



26,4 26,6 26,8 27,0 27,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (ms)

Figura 6. Detalle de las franjas de interferencia de unaautocorrelación interferométrica. Es posible determinar ∆τR

contando el número de franjas.

En las figuras 7 y 9 se pueden ver ejemplos de autocorrelación

interferométrica. Ambas trazas están formadas por franjas de interferencia

como las que se muestran en la figura 6.

2.2.3 Resultados Experimentales

Una resistencia de 5 kΩ conectada en paralelo a la entrada del

osciloscopio reducía el tiempo de integración del detector y, de ese modo, se

resolvían las franjas de interferencia. Después de alinear minuciosamente y

encontrar la posición de retardo cero se pudo ver en la pantalla del osciloscopio

la primera autocorrelación interferométrica. Se trataba de una autocorrelación

de pulsos centrados a 790 nm y con 97 franjas dentro del FWHM. Haciendo

uso de la ecuación 2.11 y de la tabla 2 resulta una duración τp de 135 fs para

pulsos sech²(t).

El siguiente paso fue obtener una autocorrelación de intensidad. Para

ello desconectamos la resistencia de 5 kΩ. Después de realizar algunos ajustes



y obtener una relación entre máximo y background de 3 a 1 se midió la

duración de la autocorrelación según el criterio de FWHM. Aplicando los

factores de corrección de la tabla 1 para pulsos sech²(t) resultaba una duración

τp de 160 fs. Existe una fuerte discordancia entre ambas medidas que muy

probablemente se debe a que los pulsos tienen algún tipo de distorsión en la

fase (chirp). En tal caso los resultados más fiables son los obtenidos a partir de

la autocorrelación de intensidad.

La figura 7 muestra una autocorrelación interferométrica de pulsos

centrados a 830 nm que fue tomada posteriormente. Se puede observar cómo

las franjas de interferencia correspondientes a las colas del pulso se elevan

sobre el nivel de background, lo que en principio parece indicar que los pulsos

tienen chirp. La figura 8 muestra la autocorrelación de intensidad de estos

mismos pulsos. En el primer caso la duración estimada de los pulsos es de 115

fs mientras que en el segundo τp es igual a 155 fs.

-300 -200 -100 0 100 200 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 115 fs

Figura 7. Autocorrelación interferométrica de pulsos de 115fs de duración estimada. Suponemos un perfil deintensidad sech²(t).



-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 155 fs

Figura 8. Autocorrelación de intensidad de pulsos de155 fs de duración estimada. Suponemos un perfil deintensidad sech²(t).

Con el objetivo de verificar que la presencia de chirp en los pulsos era

responsable de la diferencia entre las medidas interferométricas y las medidas

de intensidad se procedió a compensar la dispersión del láser. Ajustando la

posición de los espejos de la cavidad se maximizó la potencia mientras que

actuando sobre la inserción de los prismas fue posible compensar mejor la

dispersión y obtener pulsos más cortos. Las figuras 9 y 10 muestran la

autocorrelación interferométrica y de intensidad bajo estas condiciones.

La autocorrelación de intensidad es consistente y estima τp en 140 fs. En

efecto los pulsos son ahora más cortos. Pero no pasa lo mismo con la medida

interferométrica. La duración de los pulsos ha disminuido y sin embargo la

estimación de τp ha aumentado pasando de 115 a 130 fs. Lo que está

sucediendo es que al disminuir la cantidad de chirp ha aumentado la visibilidad

de las franjas de interferencia y la estimación de τp se acerca más al valor real.



-300 -200 -100 0 100 200 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 130 fs

Figura 9. Autocorrelación interferométrica después decompensar la dispersión del láser. La duración estimada delos pulsos es ahora de 130 fs.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 140 fs

Figura 10. Autocorrelación de intensidad después decompensar la dispersión del láser. La duración estimada delos pulsos ha disminuido hasta los 140 fs.



La autocorrelación interferométrica en presencia de chirp nos conduce a

una estimación errónea de la duración de los pulsos. Aunque por una parte

permite detectar la existencia de chirp, en ningún caso se obtiene información

cuantitativa de la fase de los pulsos. La autocorrelación de intensidad, en

cambio, aporta información cuantitativa y fiable sobre τp y el perfil de intensidad

de los pulsos, lo que permite, por lo menos, la caracterización parcial de los

pulsos. Por este motivo en adelante ya no se utilizará la autocorrelación

interferométrica para estimar τp.

El siguiente paso consistió en añadir al sistema un cristal de generación

de segundo armónico (SHG) como elemento no lineal. La figura 11 muestra la

autocorrelación de intensidad que se obtuvo utilizando el cristal de SHG.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

1

2

3

Inte

nsid

ad (u

.a)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 140 fs

Figura 11. Autocorrelación obtenida mediante generaciónde segundo armónico.

La autocorrelación resultante es idéntica a la obtenida mediante el

proceso de absorción de dos fotones (fig. 10), confirmando que la respuesta de

un cristal de SHG es igualmente válida para obtener autocorrelaciones.



2.3 El Autocorrelador No-Colineal

El autocorrelador no-colineal es una variación del autocorrelador descrito

en la sección 2.2. En este caso los dos haces viajan de forma no colineal antes

de que una lente los enfoque sobre un cristal de generación de segundo

armónico (SHG). Los haces deben viajar equidistantes del eje de la lente de

modo que se enfoquen exactamente en el mismo punto del cristal. Únicamente

la señal generada correspondiente a la interacción entre pulsos continuará en

la dirección del eje óptico, siendo entonces necesario el uso de otra lente para

colimar el haz de SHG, que finalmente será detectado por el fotodiodo (ver fig.

12). La componente de continua (background) se perderá con un cierto ángulo

que dependerá de la distancia focal de la lente que utilicemos.

Un aspecto a tener en cuenta es que cuando estemos trabajando con

este modelo las relaciones entre máximo y background que vimos en la sección

2.2 ya no serán válidas. Sin embargo los métodos de calibración de la duración

de los pulsos siguen siendo los mismos.

Figura 12. Autocorrelador no colineal utilizando un cristal de SHG.



En un primer momento al no contar con reflectores disponibles se trabajó

con un prisma de reflexión total interna. Debíamos tener en cuenta que se

introducía un elemento dispersivo en una de las ramas del interferómetro. La

figura 13 muestra una autocorrelación de intensidad correspondiente a pulsos

de 140 fs.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

λc = 830 nm

τp = 140 fs

Figura 13. Autocorrelación de intensidad para pulsos de140 fs centrados a 830nm.

El sistema funcionaba correctamente. La duración de los pulsos se

mantenía en 140 fs después de haber introducido el prisma y el cristal de SHG.

El nivel de continua como era de esperar había desaparecido.

El siguiente paso consistió en realizar dos pequeñas modificaciones. En

primer lugar cambiar el altavoz por una mesa traslacional, controlada por el

ordenador, sobre la que se montó el espejo móvil y en segundo lugar, sustituir

el prisma por un reflector para evitar el uso de elementos dispersivos. La idea

que hay detrás de estas modificaciones es tener un sistema automatizado,

controlando todos los parámetros desde el PC, para la medición de los pulsos

ultracortos de forma sistemática. Con este nuevo modelo ya no es necesario



calibrar cada vez la escala de tiempos. Dado que conocemos la distancia

exacta que se mueve la mesa entre muestra y muestra (∆x) podemos calcular

su equivalencia en tiempo como

cxt ∆⋅

=∆2

, (2.12)

donde c representa la velocidad de la luz en el vacío y ∆x dicha distancia.

Sin embargo ya no será posible ver la autocorrelación en tiempo real. El

espejo móvil efectuará un único barrido con incrementos de ∆x. Se tomará una

medida de la intensidad después de cada desplazamiento hasta completar un

total de N muestras. Una vez finalizado el proceso podremos ver en la pantalla

del ordenador una gráfica con los resultados.

Al principio se comenzó trabajando con autocorrelaciones de 300 puntos

e incrementos de 5 fs. La figura 14 muestra un ejemplo para pulsos de 140 fs

centrados a 825 nm.

-400 -200 0 200 4000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

λc = 825 nm

τp = 140 fs
Figura 14. Autocorrelación de 300 puntos con unaseparación entre muestras de 5 fs. La duración estimadade los pulsos es de 140 fs.


Más adelante se modificaron estos parámetros. Para N igual a 100

muestras e incrementos de 10 fs era posible obtener autocorrelaciones en una

tercera parte del tiempo y con una definición igualmente válida. La figura 15

muestra un ejemplo para pulsos de 165 fs centrados a 800 nm.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

λc = 800 nm

τp = 165 fs

Figura 15. Autocorrelación de 100 puntos con una separaciónentre muestras de 10 fs. La duración estimada de los pulsoses de 165 fs.

Al cambiar la longitud de onda y no ajustar los prismas del láser ha

aumentado la dispersión en la cavidad. En cualquier caso obtenemos las

autocorrelaciones correctamente pero ahora de forma más rápida.

Como se había mencionado anteriormente, el conjunto de medidas de

autocorrelaciones de intensidad e interferométricas nos dan sólo una

estimación de la duración del pulso (asumiendo un cierto perfil de intensidad) y

una medida cualitativa de su fase. Para obtener estos parámetros, en el

siguiente capítulo se introduce la técnica de FROG. El montaje para esta

técnica es prácticamente idéntico al que acabamos de ver. La única diferencia

es que para cada retardo, en vez de tomar una medida de intensidad de la

señal de autocorrelación, se mide su espectro. La mesa traslacional nos

permitirá variar el retardo y esperar el tiempo necesario para capturar el

espectro correspondiente.



2.4 Conclusiones

En este capítulo hemos comprobado que la autocorrelación es un

método válido para determinar la duración de los pulsos ultracortos de un láser

de Titanio-Zafiro. Sin embargo, la información que tenemos de la fase es

cualitativa y no permite la caracterización completa (módulo y fase) del campo

eléctrico asociado a los pulsos. Tampoco hay que olvidar que la exactitud con

la que se estima τp depende de cuanto se parecen los pulsos reales al perfil de

intensidad que hemos supuesto.

Se comenzó viendo que tanto el proceso de absorción de dos fotones,

como el de generación de segundo armónico, son igualmente válidos para

implementar un autocorrelador. El uso de un cristal de SHG nos permitió dar el

paso hacia el interferómetro no-colineal, en el que desaparece la componente

de continua o background. También vimos que los dos tipos de autocorrelación

posibles se complementan a la perfección. La autocorrelación de intensidad

permite estimar con fiabilidad τp, mientras que a partir de la autocorrelación

interferométrica conocemos la existencia de chirp en los pulsos. Finalmente, se

modificó el autocorrelador no-colineal añadiendo una mesa traslacional

micrométrica, controlada desde el PC, y que permitía una variación fina y

automatizada del retardo. Este fue el paso previo hacia la técnica de

caracterización de pulsos ultracortos conocida como FROG, y que veremos a

continuación.



2.5 Referencias

1. P. Loza-Alvarez, “Ultrashort pulse generation using quasi-phasematched crystals” (University of St. Andrews, North Haugh, St. Andrews, Scotland, 2000), Chap. 3.

2. Y. Takagi, T. Kobayashi, K. Yoshihara, and S. Imamura, “Multiple-shot and single-shot autocorrelator based on 2-photon conductivity in semiconductors”, Opt. Lett. 17, 658 – 660 (1992).

3. K. W. DeLong, R. Trebino, J. Hunter, and W. E. White, “Frequency-resolved optical

gating with the use of second-harmonic generation”, J. Opt. Soc. Am. B 11, 2206 – 2215 (1994).



CAPÍTULO 3

FREQUENCY-RESOLVED OPTICAL GATING

En este capítulo se presenta la técnica de Frequency-Resolved Optical

Gating (FROG) con el objetivo de caracterizar los pulsos ultracortos a la salida

del láser de Titanio-Zafiro que se utilizó en el laboratorio (ver sección 1.3.4). La

técnica de FROG es una poderosa herramienta ya que, al contrario de lo que

sucede en la técnica de autocorrelación, no se presupone un perfil de

intensidad determinado, sino que es calculado y además, permite obtener una

medida de la evolución temporal de la fase de los pulsos.

Se comenzará introduciendo la técnica de FROG y comentando sus

ventajas respecto la técnica de autocorrelación. Veremos la implementación

concreta de nuestro sistema FROG, utilizando la respuesta no lineal de un

cristal de generación de segundo harmónico y basado en el autocorrelador no

colineal descrito en el capítulo 2. También hablaremos del algoritmo que

permite obtener el pulso a partir de las medidas experimentales o traza FROG,

y de algunas consideraciones, entre las que se encuentra la ambigüedad

temporal que afecta al pulso reconstruido. Se mostrarán los resultados

obtenidos aplicando el algoritmo de FROG y, en la última sección, los que se

obtuvieron con un algoritmo distinto (X-FROG).

3.1 La Técnica de Frequency-Resolved Optical Gating

Para caracterizar un campo eléctrico arbitrario E(t) es necesario conocer

tanto su módulo como su fase. Si lo que se pretende es caracterizar un pulso

Capítulo 3: Frequency-Resolved Optical Gating 62


ultracorto será preciso trabajar con sistemas que permitan obtener medidas de

ambas magnitudes.

La técnica de autocorrelación no aporta ninguna medida de la fase de

los pulsos, mientras que las medidas del módulo están condicionadas por la

hipótesis sobre su perfil de intensidad.

La técnica de la que hablaremos en adelante, conocida como

Frequency-Resolved Optical Gating (FROG)1, permite caracterizar la evolución

temporal del módulo y de la fase de un pulso ultracorto arbitrario. La técnica de

FROG no presupone una forma de pulso determinada y su montaje en el

laboratorio es relativamente sencillo. Además el sistema de detección, montado

a la salida de un interferómetro, puede constar simplemente de un

espectrómetro, un fotodiodo y un osciloscopio.

Para obtener la intensidad y la fase del pulso mediante la técnica de

FROG podemos distinguir dos partes. La primera de ellas es experimental y se

encarga de tomar una serie de medidas. En nuestro caso esta parte funciona

de forma totalmente automática. En la segunda parte un algoritmo reconstruye

el pulso a partir de los datos experimentales capturados en la primera parte.

El montaje de laboratorio es muy similar al del autocorrelador no-colineal

que vimos en la sección 2.3, con la única diferencia de que en este caso la

señal generada se envía a un espectrómetro para ser resuelta en frecuencia

(ver fig. 1). En principio parece más sencillo aplicar la técnica de FROG sobre

el autocorrelador colineal, substraer el nivel de background de las medidas y

finalmente aplicar el algoritmo. A la práctica el autocorrelador colineal tiene,

además del nivel de continua, un nivel de interferencia que no conocemos. Por

esta razón es más factible basar la técnica de FROG en el autocorrelador no-

colineal, libre del nivel de background (continua + interferencia), aunque resulte

algo más complicado de alinear. Al igual que el autocorrelador no-colineal, el

sistema FROG estará libre de cualquier componente de continua o background.



intera

igual

gener

para

dirigid

retard

forma

distin

mism

datos

partir

fase

labora

coloc

GaAs

hacie

orient

versió

tiemp

Figura 1. Implementación del sistema FROG mediante generación de segundoarmónico (SHG-FROG).

En el sistema FROG el pulso E(t) y una réplica retardada t = τ

ccionan en el cristal de generación de segundo armónico, exactamente

que en el autocorrelador no-colineal.2 La señal de segundo armónico

ada, o señal de autocorrelación, es colimada y filtrada espacialmente

eliminar la componente de fundamental. Entonces la señal filtrada es

a al espectrómetro con el fin de obtener su espectro en función del

o del autocorrelador. Si anteriormente las autocorrelaciones estaban

das por medidas de intensidad de la señal generada en el cristal, para

tos valores del retardo τ, ahora obtendremos medidas del espectro de esa

a señal, también para distintos valores de τ. El resultado es una matriz de

o traza FROG que dependerá de λ en una dirección y de τ en la otra. A

de la traza FROG y de un algoritmo es posible reconstruir el módulo y la

del pulso E(t). La figura 1 muestra el montaje que se utilizó en el

torio. Al principio se comenzó trabajando con un sistema de detección,

ado a la salida del espectrómetro, que incluía un fotodiodo lineal de

P y el osciloscopio o el amplificador de lock-in. Cada espectro se obtenía

ndo un barrido en longitud de onda, lo cual se conseguía variando la

ación de la rejilla de difracción del espectrómetro. En una segunda

n se utilizó una cámara CCD a la salida del espectrómetro para reducir el

o de adquisición de datos (ver sección 3.1.4).



3.1.1 Teoría de SHG-FROG

Un sistema SHG-FROG es aquel que utiliza, como elemento no lineal, la

respuesta cuadrática de un cristal de generación de segundo armónico (SHG).

Si además el sistema está basado en un autocorrelador no-colineal (libre de

background) la señal generada en el cristal de SHG se puede escribir como

, (3.1) )()(),( ττ −⋅= tEtEtEsig

donde E(t) es el campo eléctrico asociado a un pulso arbitrario y E(t-τ) una

réplica exacta del mismo pulso, pero retardada un tiempo t = τ. Nótese que la

ecuación relaciona la envolvente compleja (sin la frecuencia portadora) de

Esig(t) con la de E(t), en función de τ. La relación entre las frecuencias

portadoras de Esig(t), E(t) y E(t-τ) ya la conocemos. Si ω0 es la frecuencia

portadora o frecuencia central del pulso E(t), entonces la frecuencia central del

pulso retardado E(t-τ) será igualmente ω0, y la de la señal Esig(t) será 2ω0, pues

ha sido generada en cristal de SHG.

A la salida del espectrómetro se detecta la intensidad de las distintas

componentes que forman el espectro de Esig(t,τ), lo que podemos expresar

matemáticamente como

2

2

),(

)exp(),(),(

τω

ωττω

sig

sigFROG

E

dttjtEI

=

== ∫∞

∞−

. (3.2)



El resultado es la función IFROG(ω,τ) igual a la intensidad de Esig(ω,τ), que

a su vez depende de la frecuencia ω y del retardo τ, y a partir de la cual se

construye la traza FROG correspondiente. Basta con tomar valores discretos

de ω y τ para obtener una matriz de datos que permite reconstruir el módulo y

la fase del pulso E(t). Una consideración a tener en cuenta es que Esig(t,τ) es

invariante con respecto al signo del retardo, por lo que las trazas SHG-FROG

son siempre simétricas respecto τ.

Veamos ahora el parecido de FROG con otra técnica. El espectrograma

de una señal E(t) se define como

2

)exp()()(),( ∫∞

∞−−≡ dttjtgtESE ωττω , (3.3)

donde g(t) es una ventana independiente de E(t), en el dominio temporal y cuya

forma, normalmente rectangular o gaussiana, es bien conocida. La técnica de

FROG es equivalente al espectrograma de E(t) para el caso en que g(t) = E(t),

pero no la podemos considerar como tal porque desconocemos la forma de la

ventana; además tampoco es independiente de E(t). La ventaja de la técnica de

FROG respecto a la de espectrograma es que no necesitamos de una fuente

externa para generar una ventana de duración ultracorta, pues nos basta con

una replica retardada del mismo pulso. En cualquier caso el espectrograma es

una técnica utilizada en acústica desde hace tiempo3, y de la que se conocen

muy bien todas sus propiedades. Algunas de estas propiedades (ver sección

3.1.2), también válidas para FROG, nos serán de gran utilidad para interpretar

los resultados que obtendremos.



3.1.2 Consideraciones Experimentales

La simetría de las trazas SHG-FROG nos conduce a una ambigüedad

temporal en el campo eléctrico reconstruido: los pulsos E(t) y E*(-t) generan

trazas idénticas, por lo que no es posible distinguirlos. Esto significa que no

conocemos en que dirección avanza el eje de tiempos, y que tampoco

sabemos si el signo de la fase es el correcto. Para entender el problema

tomemos el siguiente pulso gaussiano con chirp lineal (ver cap. 1)

)exp()( 22 jbtattE +−= . (3.4)

Introduciendo la expresión de E(t) para un pulso con chirp lineal (ec. 3.4)

en la ecuación 3.2 se obtiene la traza FROG correspondiente1

+

−+−=

)(4)(4exp),( 22

2223

baaabaIFROG ωττω

. (3.5)

La traza es independiente del signo de b por lo que no es posible

distinguir un pulso con chirp lineal positivo de otro con chirp lineal negativo.

Para averiguar la dirección temporal y distinguir entre E(t) y E*(-t) es necesario

aplicar algún tipo de conocimiento a priori. Por lo general se introduce un medio

con dispersión positiva conocida y se compara el cambio de fase con y sin el

medio. En cualquier caso la ambigüedad temporal sólo afecta a distorsiones de

fase de orden par.

Algunas de las propiedades del espectrograma, entre las que se

encuentran el marginal de tiempo y el de frecuencia, pueden utilizarse como

herramientas para interpretar las trazas FROG obtenidas.4 El marginal de

tiempo de una traza SHG-FROG se define como



∫ ∫∞

∞−

∞

∞−−⋅=≡ dttItIdIM FROG )()(),()( τωτωττ . (3.6)

Mτ(τ) es igual a la autocorrelación de intensidad del pulso, por lo que

deberá coincidir con la autocorrelación de intensidad medida

experimentalmente. El marginal de frecuencia de la traza FROG se define

como

∫∞

∞−≡ ττωωω dIM FROG ),()( . (3.7)

En este caso deberemos verificar que el ancho de banda de Mω(ω) sea

la mitad del ancho de banda del fundamental.

3.1.3 El Algoritmo para SHG-FROG

Una vez obtenida la traza FROG experimentalmente aplicaremos un

algoritmo para obtener el módulo y la fase del pulso E(t). Los algoritmos para

reconstruir el pulso con la técnica de espectrograma necesitan conocer la

forma de la ventana g(t), por lo que no es posible su uso en SHG-FROG. La

figura 2 muestra el algoritmo utilizado en nuestro caso.

),(' τtE sig ∫∞

∞−= ττ dtEtE sig ),()( ' )()(),( ττ −⋅= tEtEtEsig

),(' τωsigE ),( τωsigE

TF respecto t

TF-1 respecto ω

Cambiar el módulo de Esig(ω,τ) por √IFROG(ω,τ)
Figura 2. Diagrama del algoritmo para invertir la traza FROG y obtener el módulo yla fase del pulso.


El objetivo del algoritmo es encontrar una señal Esig(t,τ) que cumpla dos

condiciones. En primer lugar, su traza FROG calculada como en la ecuación

3.2 debe coincidir con los datos experimentales (primera condición). En

segundo lugar, tiene que tratarse una señal generada a partir de E(t) según la

ecuación 3.1 (segunda condición).5 Una vez conocemos la señal Esig(t,τ) que

satisface ambas condiciones, podemos conocer directamente E(t),

simplemente integrando Esig(t,τ) respecto τ.

A continuación se detalla el funcionamiento del algoritmo según la figura

2. En primer lugar se toma un pulso E(t) arbitrario, al que aplicaremos la

segunda condición para obtener Esig(ω,τ). Entonces hacemos la Transformada

de Fourier de Esig(t,τ) respecto t para obtener Esig(ω,τ). Cambiando el módulo

de Esig(ω,τ) por el módulo (raíz cuadrada) de la traza experimental forzamos a

que se cumpla la primera condición. Finalmente se toma la transformada

inversa respecto ω para obtener E’sig(t,τ) e integramos respecto τ para obtener

E(t).

Nótese que si el algoritmo converge, Esig(t,τ) cumplirá a la fuerza la

primera y segunda condición, y también que es necesario alternar entre TF y

TF-1 porque la primera condición está en el dominio de la frecuencia, y la

segunda en el dominio temporal. Aunque el algoritmo siempre ha funcionado

correctamente, su convergencia no está demostrada matemáticamente.1,5

Por último, cabe mencionar que en nuestro caso, el algoritmo está

escrito en lenguaje Matlab, y que se aplica sobre una traza de 128 por 128

obtenida mediante interpolación de la traza original. Trabajando con potencias

de dos (27 = 128) podemos recurrir a la Fast Fourier Transform (FFT) para

agilizar el proceso considerablemente (ver apéndice).



3.1.4 Resultados Experimentales

La técnica de FROG se utilizó en el laboratorio para caracterizar los

pulsos ultracortos a la salida de un láser de Ti:Zafiro Mira Optima 900-F de

Coherent, bombeado por un láser Verdi-V10, también de Coherent, de 10 W de

potencia (ver cap.1).

En un primer momento se comenzó trabajando con un fotodiodo a la

salida del espectrómetro, trabajando como monocromador (rendija de salida

muy pequeña). Para obtener un espectro, la rejilla de difracción efectuaba un

barrido de 60 muestras separadas 0.3 nm para cada uno de los 100 valores del

retardo τ. La mesa traslacional se movía con incrementos equivalentes a 10 fs.

El siguiente paso consistió en convertir la traza de 60 x 100 puntos a una nueva

traza de 128 x 128 a la que finalmente se aplicaba el algoritmo. Si tenemos en

cuenta que el tiempo entre muestra y muestra es de medio segundo a un

segundo, podemos calcular el tiempo total necesario para obtener una traza

FROG, en el caso optimista de medio segundo por muestra, como

[ ] min503000601005.0 ==×× segmuestrasmuestraseg

. (3.8)

Vemos que como mínimo son necesarios 50 minutos para obtener una

traza FROG completa. Después de obtener algunas trazas y verificar que el

programa FROG.vi funcionaba correctamente se reemplazó el detector a la

salida del espectrómetro (ahora con la rendija de salida completamente abierta)

por una cámara CCD y se pasó a utilizar el programa FROG_CCD.vi. De este

modo el espectro se capturaba de una sola vez para cada uno de los 100

valores distintos del retardo. Si tenemos en cuenta que ahora capturar un

espectro es equivalente a tomar una medida, el tiempo que necesitamos para

obtener una traza FROG completa es 60 veces menor.



segmedidasmedidaseg 501005.0 =× (3.9)

En la ecuación de arriba vemos que el tiempo total cuando utilizamos la

cámara CCD es de sólo 50 segundos. Podríamos preguntarnos por qué utilizar

el sistema espectrómetro más detector, que tarda del orden de una hora en

obtener una traza, cuando disponemos del sistema espectrómetro más cámara

CCD, 60 veces más rápido y que permite obtener la traza en menos de 1

minuto. La respuesta es que utilizaremos la cámara siempre que podamos, es

decir, cuando ésta sea sensible a la longitud de onda de trabajo (ver cap. 4).

Para el resto de longitudes de onda será preciso utilizar un detector adecuado y

que el espectrómetro realice un barrido para cada valor del retardo. Con el

sistema que he implementado aquí, dado el detector y el cristal no lineal

adecuados, será posible caracterizar un pulso ultracorto a cualquier longitud de

onda.

Los resultados que se muestran a continuación fueron tomados con la

cámara CCD y en todos los casos los pulsos estaban centrados a 805 nm. Por

otra parte se eliminaron las variaciones de fase de orden cero y de primer

orden de los pulsos obtenidos con el algoritmo. Las únicas variaciones de fase

significativas son a partir de segundo orden (ver cap. 1). En adelante cuando

hablemos de resultados numéricos nos estaremos refiriendo a resultados

calculados o reconstruidos por el algoritmo.

En la figura 3 se muestra una primera traza medida experimentalmente,

así como la traza reconstruida o numérica. Si nos fijamos en la parte más clara

de la gráfica se puede apreciar que la traza original tiene un poco de ruido.

Como las trazas FROG tienen que ser simétricas respecto al eje del retardo el

algoritmo tiende a ignorar las componentes asimétricas, como es el caso del

ruido. La traza numérica es prácticamente igual a la experimental en las partes

más intensas del pulso, salvo que el algoritmo ha eliminado la parte

correspondiente al ruido de fondo.



-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

(a) (b)

al

ex

te

Figura 3. Traza FROG #1 medida en el laboratorio (a) y calculada por el algoritmo (b)de pulsos centrados a 805 nm.

A continuación en la figura 4(a) se muestra el pulso calculado por el

goritmo junto con su fase y en la 4(b), el espectro del fundamental medido

perimentalmente y calculado por el algoritmo.

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

Fas

e (ra

d)

790 795 800 805 810 815 8200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)


(a) (b)

τp = 155 fs

Figura 4. (a) Intensidad (línea continua) y fase (línea discontinua) del pulso con τp = 155fs y b = -1E-6 fs-2. (b) Espectro del láser medido experimentalmente (línea 5 nm) ycalculado por el algoritmo (círculos). El producto duración del pulso por ancho de bandaes de 0.358.

La duración del pulso, estimada en 155 fs, coincide con la duración

órica calculada a partir de la duración de la autocorrelación τR (240 fs / 1.543)



y el factor de conversión para pulsos sech²(t). Por otra parte, al ver la ligera

curvatura de la fase del pulso se llega a la conclusión de que los pulsos tienen

un poco de chirp. En efecto, el producto duración por ancho de banda (0.358),

algo mayor que el de un pulso sech²(t) Limitado por Transformada de Fourier

(0.315), confirma este hecho.

En cuanto al espectro reconstruido vemos que es ligeramente más

ancho que el experimental. La calibración de la cámara CCD puede no ser tan

precisa como era de esperar. También es posible que las condiciones de

phase-matching no se cumplan para todo el ancho de banda del pulso o que el

ruido esté afectando en cierta medida al algoritmo.

Para salir de dudas se comparó el ancho de banda del fundamental con

el marginal de frecuencia de la traza experimental. Dos veces Mλ(λ) es igual a

4.5 nm, medio punto por debajo de los 5 nm del fundamental. En tal caso el

phase-matching en el cristal de SHG es del 90%. Otra comparación que

podemos hacer es la de autocorrelación SHG con absorción de dos fotones. En

la figura 5(b) vemos que las dos autocorrelaciones coinciden bastante bien, por

lo que el phase-matching parece no ser tan crítico. En la 5(a) se muestra la

autocorrelación SHG comparada con la que ha calculado el algoritmo,

ligeramente más estrecha.

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)-450 -300 -150 0 150 300 450

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

(a) (b) τp = 155 fs τp = 155 fs

Figura 5. (a) Autocorrelación SHG de 240 fs medida experimentalmente (línea) ycalculada por el algoritmo (círculos). En (b) la misma autocorrelación SHG de 240 fs(línea) comparada con la de absorción de dos fotones (círculos), también medidaexperimentalmente.



Hasta ahora hemos visto que tanto el espectro del fundamental como la

autocorrelación experimental están muy cerca de los obtenidos numéricamente

a partir de los resultados de FROG. También que podemos confiar en la

estimación de la duración del pulso porque coincide con el valor teórico

calculado a partir de la duración de la autocorrelación. El siguiente paso

consistió en corregir la posición del cristal de SHG para que el phase-matching

fuera del 100% y capturar dos trazas, un detrás de otra, para verificar que los

resultados sean consistentes.

Las figuras 6(a) y 6(b) muestran las trazas #2 y #3 medidas

experimentalmente y debajo, en la 6(c) y 6(d), están las trazas numéricas

calculadas por el algoritmo. Como las dos trazas se tomaron una detrás de otra

es de esperar que los resultados obtenidos sean muy parecidos.

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

(a) (b)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

(c) (d)

Figura 6. (a) Traza FROG #2 y (b) #3 medidas experimentalmente y calculadas por elalgoritmo por el algoritmo, (c) y (d), de pulsos centrados a 805 nm.



La primera traza, la #2, presenta una ligera asimetría debida al ruido que

ha sido eliminada en la traza numérica. En la segunda traza la simetría es más

evidente y el ruido no afecta tanto a las componentes de mayor intensidad. La

duración del pulso reconstruido es, en ambos casos, de 155 fs y al igual que

antes tenemos un poco de chirp (ver figura 7).

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

Fas

e (ra

d)

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

Fas

e (ra

d)

(a) (b)

τp = 155 fs τp = 155 fs

Figura 7. (a) Intensidad (línea continua) y fase (línea discontinua) del pulso reconstruidoa partir de la traza #2, con τp = 155 fs y b = -2E-6 fs-2. En (b) intensidad (línea continua)y fase (línea discontinua) del pulso reconstruido a partir de la traza #3, con τp = 155 fs yb = -2E-6 fs-2.

Los espectros numéricos también son ligeramente más anchos que los

experimentales. En este caso dos veces el marginal de frecuencia sí coincide

con el ancho de banda del fundamental, de 5 nm según el criterio de FWHM

(ver figura 8).

790 795 800 805 810 815 8200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Longitud de Onda (nm)790 795 800 805 810 815 820

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)


(a) (b)

Figura 8. En (a) el espectro del láser medido experimentalmente (línea 5 nm) ycalculado por el algoritmo (círculos), para la traza #2. El producto duración del pulso porancho de banda es de 0.358. En (b) el espectro del láser medido experimentalmente(línea 5 nm) y calculado por el algoritmo (círculos), para la traza #3. El productoduración del pulso por ancho de banda es igualmente 0.358.



Al ajustar el cristal de SHG hemos conseguido que el phase-matching

sea del 100%. En cuanto al producto duración por ancho de banda, continúa

siendo el mismo de antes (0.358), lo cual es lógico si tenemos en cuenta que

no le hemos hecho ningún ajuste al láser. Como ahora no se ha medido la

autocorrelación, en la figura 9 comparamos el marginal de tiempo Mτ(τ) de la

traza experimental con la autocorrelación numérica, ligeramente más estrecha.

La duración teórica del pulso calculada a partir del marginal de tiempo es en

ambos casos de 240 fs / 1.543 = 155 fs.

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)-450 -300 -150 0 150 300 450

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0In

tens

idad

Nor

mal

izad

a (u

.a)

Retardo (fs)

(a) (b)

τp = 155 fs τp = 155 fs

tra

re

m

qu

co

co

Figura 9. (a) Time marginal de la traza experimental #2 (línea 240 fs) yautocorrelación calculada por el algoritmo. (b) Time marginal de la traza experimental#3 (línea 240 fs) y autocorrelación calculada por el algoritmo.

El algoritmo para SHG-FROG ha reconstruido correctamente ambas

zas a pesar de la diferencia en el ruido que les afectaba. Además los

sultados también coinciden con los de la traza #1, en la que el phase-

atching era del 90%, a excepción de la medida de chirp o parámetro b. Ahora

e el phase-matching es total podemos afirmar que el sistema funciona

rrectamente y que por tanto, deberíamos de estar obteniendo el valor

rrecto de b.



La traza #4 fue tomada en ausencia del aislador óptico, un elemento que

evita que las reflexiones puedan desestabilizar el láser. En nuestro caso es

posible utilizar el láser sin el aislador óptico. Esto es conveniente ya que dicho

dispositivo introduce mucha dispersión a los pulsos. En la figura 10 se muestra

la traza que fue tomada sin el aislador óptico, para la cual esperamos

parámetros del pulso (∆τ y b) distintos a los que obtuvimos a partir de las trazas

#1, #2 y #3.

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

(a) (b)

nu

la

pa

la

ha

de

va

Figura 10. Traza FROG #4 medida en el laboratorio sin que los pulsos pasen por elaislador óptico (a) y calculada por el algoritmo (b) a 805 nm.

Observamos que el algoritmo ha reconstruido sin problemas la traza

mérica, así como el pulso y el espectro del fundamental (ver fig. 11 y 12). En

figura 11 se puede ver que b ha pasado de -2E-6 fs-2 a -7E-7 fs-2. El

rámetro que determina la cantidad de chirp se ha reducido prácticamente a

tercera parte y en consecuencia la duración del pulso ha disminuido 10 fs

sta situarse en 145 fs. Se puede apreciar incluso que la curvatura de la fase

ntro del FWHM del pulso ha disminuido. Decir curvatura es igual que decir

riación cuadrática de la fase, que es exactamente lo que medimos con b.



-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

Fas

e (ra

d)

τp = 145 fs

Figura 11. Intensidad (línea continua) y fase (línea discontinua) delpulso con τp = 145 fs y b = -7E-7 fs-2.

El espectro numérico continúa siendo algo más ancho que el

experimental, aunque en este caso el marginal de tiempo coincide exactamente

con la autocorrelación numérica (ver figura 12). En cuanto al marginal de

frecuencia se comprobó que su valor fuera la mitad (2.5 nm) del ancho de

banda del fundamental (5 nm). El producto duración por ancho de banda es

ahora τp∆fp = 0.335 y se aproxima más al de un pulso sech²(t) Limitado por

Transformada de Fourier (0.315).

790 795 800 805 810 815 8200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Longitud de Onda (nm)-450 -300 -150 0 150 300 450

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

(b) (a)

τp = 145 fs


Figura 12. (a) Espectro del láser medido experimentalmente (línea 5 nm) y calculadopor el algoritmo (círculos). El producto duración del pulso por ancho de banda resulta0.335. En (b) el time marginal de la traza FROG medida experimentalmente (línea) y laautocorrelación calculada por el algoritmo (círculos).


Los resultados son consistentes, por lo que se puede afirmar que el

sistema FROG funciona correctamente, y que estamos obteniendo una

caracterización muy buena del módulo y la fase de los pulsos. Hemos

comprobado que cuando se cumple la condición de phase-matching podemos

confiar en la intensidad y la fase del pulso reconstruido, y también que para un

mismo ancho de banda de 5 nm obtendremos pulsos más cortos cuanto menor

sea la cantidad de chirp. En este sentido, el aislador óptico estaba aumentando

en 10 fs la duración de los pulsos. A continuación se muestran los resultados

obtenidos para la traza #1 utilizando un algoritmo distinto, en concreto para la

técnica de X-FROG.

3.2 La técnica de X-FROG

La técnica de X-FROG es una alternativa a la de SHG-FROG que

permite caracterizar dos haces de pulsos ultracortos distintos de manera

simultánea. En tal caso, el campo eléctrico asociado a dichos pulsos será E1(t)

y E2(t-τ), y estará centrado a una longitud de onda λ01 y λ02, respectivamente.

Una situación en la que X-FROG resulta especialmente útil se da cuando el

segundo armónico de alguno de los dos haces queda lejos del espectro visible.

Por ejemplo, si λ01 = 4000 nm y λ02 = 800 nm, con la técnica de SHG-FROG

deberemos trabajar de forma independiente con pulsos a 2000 nm (IR) y a 400

nm. Será especialmente complicado, tanto desde el punto de vista técnico

como práctico, trabajar con una señal en el infrarrojo. Sin embargo, si

utilizamos la técnica de X-FROG trabajaremos con una única señal, como

resultado de la suma de frecuencias de los dos haces en el cristal de SHG, a

666 nm dentro del espectro visible. Además, a partir dicha señal se

caracterizan simultáneamente los pulsos E1(t) y E2(t).

El montaje de laboratorio es el mismo que para la técnica de SHG-

FROG, aunque ahora los pulsos que interfieren en el cristal de SHG son dos

pulsos distintos, y el algoritmo se ha adaptado para X-FROG. En realidad

FROG es un caso particular de esta técnica, por lo que el algoritmo para X-



FROG debería de funcionar igualmente. Respecto al algoritmo de SHG-FROG

además de la traza necesitamos conocer el espectro de los dos pulsos que

queremos caracterizar.

La figura 13 muestra la traza #1 que vimos en la sección anterior, esta

vez reconstruida por el algoritmo de X-FROG. La convergencia de la traza

numérica es correcta.

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

-450 -300 -150 0 150 300 450395

400

405

410

Retardo (fs)

Long

itud

de O

nda

(nm

)

(a) (b)

do

Figura 13. Traza FROG #1 medida en el laboratorio (a) y calculada por el algoritmopara X-FROG (b) de pulsos centrados a 805 nm.

A continuación en la figura 14 se puede ver el módulo y la fase de los

s pulsos reconstruidos.

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-2

-1

0

1

2

Fas

e (ra

d)

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-2

-1

0

1

2

Fas

e (ra

d)

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Tiempo (fs)

(b) (a)

τp = 175 fs τp = 125 fs

Figura 14. (a) Intensidad (línea continua) y fase (línea discontinua) del primer pulsocon τp = 175 fs. (b) Intensidad (línea continua) y fase (línea discontinua) del segundopulso con τp = 125 fs.



Los pulsos, que en principio deberían de ser idénticos, tienen anchuras

temporales distintas de 175 y 125 fs respectivamente. Además, tanto el perfil

de intensidad como la fase aparecen muy afectados por el ruido, y se hace

difícil determinar su curvatura dentro del FWHM del pulso (parámetro b). Los

espectros correspondientes son los que se muestran en la figura 15.

790 795 800 805 810 815 8200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad E

spec

tral


790 795 800 805 810 815 8200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad E

spec

tral


(a) (b)

Figura 15. Espectro del láser medido en el laboratorio (línea continua) y calculado por elalgoritmo (círculos), para el primer pulso (a) y para el segundo pulso (b). Todos ellos de5 nm según FWHM.

Es una condición del algoritmo que ambos espectros, experimental y

numérico, coincidan para cada pulso. Los resultados prueban que esta

condición se está cumpliendo.

Finalmente en la figura 16 se compara el marginal de tiempo de la traza

experimental con la correlación cruzada de los dos pulsos numéricos. En este

caso la correspondencia entre puntos es realmente buena.



-450 -300 -150 0 150 300 4500,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Inte

nsid

ad N

orm

aliz

ada

(u.a

)

Retardo (fs)

Aparen

la traza num

coincide con e

duraciones de

acerca más al

La técn

errores de ca

como las traz

FROG tiende

para X-FROG

tiende a hace

obstante, en a

los resultados

se puede utiliz

Figura 16. Autocorrelación SHG de 240 fs medidaexperimentalmente (línea) y correlación cruzada de los dospulsos calculada por el algoritmo (círculos).

temente el algoritmo de X-FROG ha reconstruido correctamente

érica y ha encontrado dos pulsos cuya correlación cruzada

l marginal de tiempo de la traza experimental. Sin embargo, las

los pulsos son incorrectas y es la media entre ellas la que se

valor real (155 fs).

ica de SHG-FROG es menos sensible al ruido y a posibles

libración del espectrómetro. De hecho esto es así debido a que,

as tienen que ser simétricas respecto τ, el algoritmo para SHG-

a ignorar las componentes asimétricas como el ruido. El algoritmo

es menos robusto frente al ruido y a errores de calibración, y

r los pulsos desiguales, aunque en realidad sean idénticos. No

usencia de ruido y con una buena calibración del espectrómetro,

deberían de ser los mismos que para SHG-FROG. En tal caso

ar X-FROG y SHG-FROG de manera indistinta.



3.3 Conclusiones

La técnica de FROG nos ha permitido caracterizar completamente

(módulo y fase) los pulsos ultracortos a la salida del láser de Titanio-Zafiro.

Además, no ha sido necesario asumir un perfil de intensidad de los pulsos

determinado, a diferencia de lo que ocurría con la técnica de autocorrelación.

La ambigüedad temporal que aparecía como consecuencia de la

simetría de las trazas FROG resultó ser, de hecho, una ambigüedad trivial. Los

aspectos más influyentes sobre los resultados fueron aquellos relacionados con

la calibración espectral y con el phase-matching en el cristal de SHG. Sin

embargo, las cantidades como el marginal de tiempo y de frecuencia, derivadas

de la técnica del espectrograma, permitían detectar y corregir posibles

desajustes en nuestro sistema FROG. La técnica de autocorrelación también

se utilizó satisfactoriamente como herramienta para contrastar los resultados

que íbamos obteniendo. Especialmente útil fue la autocorrelación de dos

fotones para comprobar el phase-matching en el cristal de SHG.

Una prueba más de que el sistema FROG estaba funcionando

correctamente la tuvimos al capturar dos trazas simultáneamente y obtener

idénticos resultados, y al retirar un elemento dispersivo del montaje y

comprobar su efecto sobre la fase del pulso y su duración (parámetro b y τp).

En este sentido se comprobó que para un mismo ancho de banda se obtenían

pulsos más cortos cuanto menor era la cantidad de chirp.

En último lugar se realizó una prueba reconstruyendo una de las trazas

experimentales con un algoritmo para la técnica de X-FROG, y de la que FROG

es un caso particular. Los pulsos reconstruidos con dicho algoritmo, y que en

principio deberían de ser idénticos, aparecieron muy afectados por el ruido y

con duraciones distintas. Sin embargo, X-FROG puede representar, en

situaciones de bajo nivel de ruido y con una buena calibración espectral, no

sólo una técnica alternativa a SHG-FROG, sino la más indicada en aquellas



situaciones en las que la señal de segundo armónico está lejos del espectro

visible.

Llegados a este punto podemos concluir que, habiendo implementado

un sistema capaz de caracterizar completamente un pulso ultracorto arbitrario,

se ha alcanzado el objetivo de este proyecto.

3.4 Referencias

1. K. W. DeLong, R. Trebino, J. Hunter, and W. E. White, “Frequency-resolved optical gating with the use of second-harmonic generation”, J. Opt. Soc. Am. B 11, 2206 – 2215 (1994).

2. P. Loza-Alvarez, “Ultrashort pulse characterisation techniques”, in Ultrashort pulse

generation using quasi-phasematched crystals (University of St. Andrews, North Haugh, St. Andrews, Scotland, 2000), Chap. 3.

3. W. Koeing, H. K. Dunn, and L.Y. Lacy, “The sound spectrograph”, J. Acoust. Soc. Am.

18, 19 – 49 (1946).

4. K. W. DeLong, R. Trebino, and D. J. Kane, “Comparison of ultrashort-pulse frequency-resolved-optical-gating traces for three common beam geometries”, J. Opt. Soc. Am. B 11, 1595 – 1608 (1994).

5. R. Trebino and D. J. Kane, “Using phase retrieval to measure the intensity and phase of

ultrashort pulses: frequency-resolved optical gating”, J. Opt. Soc. Am. A 10, 1101 – 1111 (1993).



CAPÍTULO 4

MEDIDA Y AUTOMATIZACIÓN

En este capítulo se describe el proceso que se siguió para automatizar la

adquisición de datos, con el fin de obtener una autocorrelación, un espectro o

una traza FROG de manera metódica, rápida y sencilla. Comenzaré

describiendo el principio de funcionamiento y características de algunos

instrumentos que se utilizaron en los sistemas correspondientes. A

continuación veremos como se conectó el PC con los instrumentos y las

distintas rutinas de control que se utilizaron en cada caso. Finalmente, se

explican los programas que permiten obtener la autocorrelación, espectro y

traza FROG de cualquier pulso ultracorto.

4.1 Instrumentos de Laboratorio

La respuesta y características de algunos de los instrumentos que se

utilizaron en el laboratorio puede ser distinta a la de otros dispositivos que en

principio realizan la misma función. Por ejemplo, la eficiencia cuántica de la

cámara CCD, en función de la longitud de onda, dependerá del modelo y tipo

de cámara, así como la respuesta del espectrómetro dependerá de la rejilla de

difracción que utilicemos. Para reproducir de nuevo los experimentos es

importante conocer las características de estos instrumentos.

En lo que sigue se describe el principio de funcionamiento y

características de la mesa traslacional, el amplificador de lock-in, el

espectrómetro y la cámara CCD.

Capítulo 4: Medida y Automatización 85


4.1.1 La Mesa Traslacional

La mesa traslacional M-505 de PI (Physik Instrumente)1 permitía una

variación fina y automatizada de la posición del espejo móvil en el

autocorrelador, así como en el montaje de FROG (ver capítulos 2 y 3). El

sistema mesa traslacional está formado por un motor de control y por la mesa

traslacional en sí. La posición a la que nos queremos mover se indica al motor

de control mediante cuentas, en un sistema de referencia absoluto o bien

relativo a la posición actual. Cada cuenta equivale a una distancia de 16.47 nm

que a su vez es equivalente a introducir un retardo de 0.11 fs.

El principio de funcionamiento de la mesa se puede explicar a partir del

diagrama de bloques la figura 1. Los parámetros que determinan la respuesta

del sistema son la ganancia proporcional KP, la ganancia de integración KI y la

ganancia derivativa KD.2 Si los tres parámetros son distintos de cero el motor

funcionará como un controlador PID.

- +

X(t) s(t) e(t) Mesa Motor Y(t)

la pos

de co

del m

KD se

Figura 1. Diagrama de bloques del sistema equivalente a la mesa traslacional.

La variable e(t) representa el error entre posición actual de la mesa Y(t) y

ición a la que queremos que se mueva X(t). Este error se envía al motor

ntrol que calcula su integral y su derivada. La señal s(t) es la responsable

ovimiento de la mesa y se relaciona con los parámetros de control KP, KI y

gún

dttdeKdtteKteKts DIP)()()()( ++= ∫

∞

∞− . (4.1)



Una vez enviada s(t) la mesa se mueve a una nueva posición Y(t). El

error e(t) se vuelve a calcular como la diferencia entre la salida Y(t) y la entrada

X(t) y el proceso se repite.

Veamos como afectan los parámetros de control a la respuesta del

sistema. El controlador proporcional KP tiene el efecto de disminuir la

estabilidad del sistema, mejorar el tiempo de respuesta y reducir el error final

(aunque nunca lo elimina por completo). El controlador de integración KI elimina

el error final pero empeora el tiempo de respuesta. Por último el controlador

derivativo KD aumenta la estabilidad del sistema y mejora el tiempo de

respuesta.

Determinar los valores óptimos de KP, KI y KD no es nada sencillo. Existe

una fuerte dependencia entre ellos y cambiar el valor de alguno de los

parámetros también afectará a los otros dos. Además no tenemos por qué

utilizar los tres controladores a la vez si no es necesario. Por ejemplo, un

controlador PI (Proporcional – Integral) puede tener una respuesta muy buena,

en cuyo caso no es necesario un controlador diferencial. Si mantenemos el

sistema de control tan simple como sea posible, el ajuste de los parámetros

PID resultará igualmente sencillo.

La tabla 1 muestra los valores para KP, KI y KD que el fabricante

considera apropiados.

Mínimo Propuesto Máximo

KP 80 120 300

KI 0 20 50

KD 0 150 400

Los val

propuestos, a

posibles reco

Tabla 1. Rango de valores posibles y propuestos para KP, KI y KD según el fabricante.

ores que finalmente se tomaron difieren un poco de los valores

unque en cualquier caso están dentro del rango de valores

mendados por el fabricante. Después de algunas pruebas se



encontró que para KP = 80, KI = 50 y KD = 0 el sistema el sistema mejoraba su

tiempo de respuesta (respecto al caso KP = 120, KI = 20 y KD = 150), por lo que

la toma de muestras era más rápida. Además, se eliminaba el error final, por lo

que la mesa se posicionaba exactamente en la posición solicitada. El motor en

este caso funcionaba como un controlador Proporcional y de Integración (PI)

debido al término KD = 0. Estos valores no son necesariamente los óptimos y

no se descarta una respuesta más rápida para otros valores de KP, KI y KD.

4.1.2 El Amplificador de Lock-in

El amplificador de lock-in es el modelo SR830 de Stanford Research

Systems3 y se utilizaba junto con un chopper opto-mecánico MC1000 de la

marca Thorlabs4. El sistema de detección incluía el fotodiodo ya mencionado

trabajando en su zona de respuesta lineal (400 – 700 nm, ver capítulo 2). El

SR830 puede medir señales AC de unos pocos nanovoltios incluso en

situaciones en las que el ruido es mucho mayor que la propia señal. Vale la

pena detenerse en este punto para entender como funciona.

Imaginemos que se quiere medir una señal sinusoidal de 10 nV cuya

frecuencia es de 10 kHz. Entonces la primera etapa en detección podría ser un

buen amplificador de bajo ruido con 5 nV/√Hz de ruido a la entrada, un ancho

de banda de 100 kHz y una ganancia típica de 1000. La relación señal a ruido

(SNR) que resulta es5

mVV

kHzHznVnVSNR

6.110

1000100/5100010 µ

=××√

×= . (4.2)

Está claro que no tendríamos mucho éxito en medir 10 µV de señal

enmascarados por 1.6 mV de ruido. Supongamos que la segunda etapa en

detección es un buen filtro paso banda con Q = 100 y centrado a 10 kHz.

Entonces el ancho de banda de ruido pasa a ser de 100 Hz (10 kHz/Q) y la

nueva SNR se calcularía como



VV

HzHznVnVSNR

µµ

5010

1000100/5100010

=××√

×= . (4.3)

El ruido sigue siendo mucho mayor que la señal que queremos detectar.

Supongamos ahora que en vez del filtro utilizamos un detector sensible a la

fase (PSD), capaz de detectar la señal de 10 kHz en un ancho de banda de

0.01 Hz. La relación señal a ruido resultante es

205.010

100001.0/5100010

==××√

×=

VV

HzHznVnVSNR

µµ

. (4.4)

En este caso sí es posible realizar la medida, incluso con una buena

SNR. El amplificador de lock-in SR830 funciona igualmente con un amplificador

y un detector sensible a la fase (PSD). La tensión a la salida del PSD viene

dada por

)sin()sin( LLLSSSPSD tVtVV θωθω +×+= , (4.5)

donde VS(t) es la señal que queremos medir y VL(t) es la señal de lock-in.

Desarrollando la ecuación 4.5 se llega a

[ ][ ]LSLSLS

LSLSLSPSD

tVVtVVV

θθωωθθωω

+++−−+−=

)(cos2/1)(cos2/1

, (4.6)

de donde vemos que la tensión VPSD(t) está formada por dos señales AC, una a

la frecuencia ωS - ωL y la otra a ωS + ωL.

Si hacemos que ωL sea igual a ωS entonces tendremos una de las

señales a 2ωS, mientras que la otra será una señal de continua. Con un filtro

paso bajo apropiado la tensión a la salida del PSD será



)cos(2/1 LSLSPSD VVV θθ −= , (4.7)

obteniéndose una señal proporcional a VScos(θS-θL). Para eliminar la

dependencia con la fase tan sólo en necesario añadir un segundo PSD con la

señal de lock-in desfasada 90º, en cuyo caso obtendremos una señal

proporcional a VSsin(θS-θL). La tensión medida calculada como

SPSDPSDM VVVV ∝+∝ 22

21 (4.8)

será directamente proporcional a VS, independientemente de las fases θS y θL.

En nuestro caso el SR830 construye la señal de lock-in a partir de la

señal de referencia del chopper.

Figura 2. Chopper opto-mecánico MC1000, visto de frente.

La figura 3 muestra los distintos elementos que forman el sistema de

detección. El chopper se coloca cortando el haz, de modo que la luz

únicamente pasa cuando encuentra una ranura.



Haz

Láser

SR830 Detector

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de detección cuando se utiliza el amplificador de lock-in SR830.

El detector verá una señal con una frecuencia que depende de la

velocidad a la que gira el chopper y del número de ranuras de éste. Así mismo

el chopper envía una señal de referencia al amplificador de lock-in,

exactamente a la misma frecuencia, a partir de la cual se genera la señal de

lock-in. Finalmente la medida se obtiene tal y como hemos visto anteriormente.

4.1.3 El Espectrómetro

El espectrómetro utilizado en el laboratorio es el modelo MS257 de

Thermo Oriel.6 Gracias a él era posible resolver espectralmente la señal

generada en el cristal de SHG para obtener las distintas trazas FROG. La

figura 4 muestra la trayectoria que sigue la luz en su interior y nos ayuda a

comprender el principio de funcionamiento del aparato.

La rejilla de difracción dispersa el haz de entrada angularmente por lo

que en el puerto de salida tendremos las distintas componentes espectrales

distribuidas transversalmente a la dirección de propagación. Si trabajamos con

un detector a la salida será preciso tener las ranuras de entrada y salida tan

estrechas como sea posible. De este modo estaremos enventanando el

espectro de la señal de entrada. Variando la posición angular de la rejilla

seleccionaremos entre cada una de esas porciones del espectro y mediremos

su intensidad.



Puerto de Entrada

M3

Ranura de Entrada

M2

M1

Puerto Axial

Rejilla de Difracción

Ranura de Salida

Figura 4. Interior del espectrómetroMS257 de Thermo Oriel utilizado en ellaboratorio. M3 espejo plano, M1 y M2espejos cóncavos.

En caso de trabajar con la cámara CCD no será necesario efectuar un

barrido del espectro. Simplemente abriremos la ranura de salida

completamente para que distintas componentes espectrales incidan sobre

distintos píxeles de la cámara CCD.

Una rejilla de difracción está compuesta por un substrato y un

recubrimiento de algún material reflectante, típicamente aluminio. La superficie

del substrato está grabada con líneas paralelas que actúan de forma

equivalente a la geometría en forma de diente de sierra de la figura 5.

Si analizamos lo que les sucede a dos rayos de cierta longitud de onda

cuando inciden en la rejilla veremos que únicamente se produce interferencia

constructiva cuando la diferencia de caminos entre los rayos difractados es un

múltiplo de la longitud de onda.7 Teniendo en cuenta la geometría del

espectrómetro es posible determinar la longitud de onda que tendremos a la

salida cuando las ranuras de entrada y salida están prácticamente cerradas.



Figura 5. Detalle de la geometríaequivalente a una rejilla dedifracción.

Cada rejilla de difracción funciona dentro de un cierto rango de

longitudes de onda. En este sentido, el blaze wavelength es el parámetro que

indica la longitud de onda para la cual la rejilla es más eficiente. La densidad de

líneas es otro parámetro característico de cada rejilla de difracción. En este

caso, la dispersión angular de una rejilla es proporcional al número de líneas

por milímetro, o densidad de líneas de la rejilla.

El espectrómetro del laboratorio dispone de cuatro rejillas de difracción

distintas para utilizar según la longitud de onda. En la tabla 2 se muestran las

características de cada una de ellas.

Rejilla Blaze wavelength (nm) λ (nm) Líneas / mm

#1 350 200 – 1400 1200

#2 200 180 – 500 600

#3 2000 1100 – 5000 300

#4 4000 2500 – 12000 150

Tabla 2. Características de las rejillas de difracción según las especificacionesdel fabricante.



4.1.4 La Cámara CCD

La cámara CCD que se utilizó es el modelo 1007 de la serie S7031 de

Hamamatsu.8 Su superficie fotosensible está compuesta por un total de 1044 x

128 píxeles, tal y como muestra la figura 6. Las dimensiones del área activa

son de 24.576 mm(H) x 2.928 mm(V) y el tamaño de cada píxel de 24 x 24 µm.

1044 píxeles

128

píxeles

Figura 6. Dimensiones de la superficie sensible de la cámara CCD.

La CCD, además de ser capaz de detectar una imagen en el área activa

(1044 x 128 píxeles) de manera independiente, existe la posibilidad de utilizarla

con la opción de binning vertical. En este formato la medida que obtenemos es

el de un array (secuencia de números) de longitud 1044, y donde cada posición

representa la intensidad media de los 128 píxeles de la columna

correspondiente. En la figura 7 se puede ver un espectro de 1044 muestras

capturado con el espectrómetro, la cámara CCD y la opción de binning vertical.

0 200 400 600 800 1000

0,0

0,5

1,0

Inte

nsid

ad

# píxel

Figura 7. Ejemplo de un espectro capturado con el espectrómetro y lacámara CCD.



Probablemente la conversión de píxeles a nanómetros sea uno de los

pasos más importantes. Si suponemos que la relación entre una y otra

magnitud es lineal, entonces podemos calcular su equivalencia a partir de dos

puntos distintos de la gráfica. Si además suponemos que el valor máximo del

espectro se sitúa sobre el píxel #829 cuando movemos la rejilla de difracción

del espectrómetro a 780 nm, y sobre el píxel #285 cuando la movemos a 820

nm, entonces a partir de estos dos puntos podemos calcular el factor de

conversión para pasar de nanómetros a píxeles y viceversa como

nmpíxeles

nmpíxeles

nmpíxeles 6.13

40544

780820285829

==−−

. (4.9)

Este valor será válido para la rejilla #1 siempre y cuando estemos

trabajando alrededor de 800 nm. A otra longitud de onda la calibración puede

variar ligeramente, mientras que si cambiamos de rejilla será necesario una

nueva calibración. Formalmente necesitaríamos una lámpara espectral, por

ejemplo de mercurio, para calibrar el espectrómetro.

El rango de utilización de la cámara CCD se puede obtener a partir de la

figura 8, en la que se muestra su respuesta espectral.

Figura 8. Respuesta espectral de la cámara CCD utilizada enel laboratorio (back-thinned).



La curva válida en nuestro caso es la que aparece marcada como back-

thinned. Como se ve en esta figura, su rango espectral va desde el UV (200

nm) hasta el IR (1200 nm) y su eficiencia cuántica máxima es superior al 90%.

4.2 Control de los Instrumentos

Una parte fundamental del proyecto consistió en la automatización y

control de los instrumentos desde el PC. Los programas escritos en Labview

permitían modificar cualquier parámetro de entrada al sistema así como

analizar los resultados obtenidos en la pantalla del ordenador. Para que todo

esto fuera posible se instalaron un total de tres tarjetas controladoras. La mesa

traslacional incluía su propia tarjeta a la que iba conectada. La cámara CCD se

conectó a una tarjeta de adquisición de datos DAQ Serie AT E de National

Instruments. Finalmente el osciloscopio, el amplificador de lock-in y el

espectrómetro se conectaron a una tarjeta controladora IEEE-488, mediante el

bus correspondiente, para ser controladas vía comunicación GPIB. En la figura

9 se pueden ver las conexiones entre el PC y los instrumentos.

Espectrómetro SR830 Osciloscopio

Mesa Traslacional

Cámara CCD

PC

Tarjeta IEEE-488

Tarjeta Mesa

Tarjeta NI-DAQ

Figura 9. Conexiones entre el PC y los distintos instrumentos.

El lenguaje de programación Labview suprime el código fuente de los

programas tradicionales por elementos gráficos que representan y realizan los

distintos comandos. Es posible construir un módulo (sub-vi) a partir de

cualquier rutina y utilizarla cuando sea necesario, del mismo modo en que se



utilizan las funciones en los lenguajes de programación tradicionales. Se trata

pues de un lenguaje visual y modular, diseñado exclusivamente para controlar

instrumentos de laboratorio.

El conjunto de sub-programas que veremos a continuación realiza las

funciones básicas de mover la mesa traslacional, obtener medidas con el

osciloscopio o el amplificador de lock-in y mover la rejilla de difracción del

espectrómetro. Otros programas más complejos (ver sección 4.3) utilizarán

estas funciones cuando las necesiten, llamando al sub-vi correspondiente.

Entre las rutinas que hacen referencia a la mesa traslacional se

encuentran la de inicialización (se definen parámetros como velocidad y

aceleración), una rutina para moverla (esperando hasta que la mesa llega a la

posición ordenada) y otra que convierte la posición de la mesa, inicialmente en

cuentas, a su equivalente en fs (teniendo en cuenta el recorrido de ida y vuelta

de la luz en el autocorrelador del capítulo 2). En cuanto al osciloscopio y

amplificador de lock-in encontramos las rutinas de inicialización (sólo para el

osciloscopio) y las que permiten obtener las medidas en cada caso. Por último

veremos la rutina que mueve la rejilla de difracción del espectrómetro

(esperando hasta que ésta se sitúa en la posición ordenada).

4.2.1 Movimiento de la Mesa Traslacional

El sub-programa ini_mesa.vi es el encargado de inicializar la mesa

traslacional por lo que se ejecuta al principio de todos los programas que la

utilizan. La rutina está basada en un programa de inicialización que facilita el

fabricante de la mesa, aunque con algunas modificaciones como la del bloque

que inicializa IL (Integration Limit). La estructura del sub-vi se muestra en el

diagrama de bloques de la figura 10. Con el fin de que no se pierdan datos

esperamos 100 ms entre comando y comando, aunque por simplicidad no

aparece en el diagrama.



IL = 2000

PCI PID

SET MOTOR MODE

SET OUTPUT MOTOR ON

PCI AUTO DETECT

PCI INIT BOARD

Figura 10. Estructura del sub-programa ini_mesa.vi.

Los dos primeros módulos se encargan de inicializar la tarjeta y de

establecer la comunicación con la mesa. Los dos siguientes encienden el motor

y seleccionan el modo de funcionamiento. PCI PID asigna los valores de la

ganancia proporcional KP, la ganancia de integración KI y la ganancia derivativa

KD, así como de la velocidad y la aceleración de la mesa. Por último el

parámetro IL (Integration Limit) se inicializa con el valor 2000 tal y como

especifica el fabricante. Este último paso es muy importante para que la mesa

se sitúe exactamente en la posición solicitada.

Para asegurar que la toma de datos se realiza de forma correcta es

necesario que cada medida se tome una vez que la mesa traslacional ha

llegado a la posición correspondiente y no antes. El sub-programa

movA_sinc.vi es el encargado de que esto suceda, sincronizando el

movimiento de la mesa con la captura de datos. La implementación que diseñé

utiliza dos librerías de bajo nivel facilitadas por el fabricante, una para conocer

la posición actual de la mesa (PCI POS?) y la otra que espera hasta que la

mesa finaliza un movimiento (PCI WAIT STOP). La posición a la que nos

queremos mover se indica de forma absoluta respecto al origen, mientras que

el origen es la posición en la que se encuentra la mesa cuando la inicializamos.

El sub-vi no termina hasta que la mesa se sitúa en la posición ordenada, por lo

que la medida posterior se toma para el retardo que le corresponde (ver

capítulo 2). En la figura 11 podemos ver el diagrama de bloques del sub-vi.



Y = X

SALIR

PCI WAIT STOP

Y ≠ X MOV ABS X

PCI POSICIÓN?

Y

X

Figura 11. Diagrama de bloques del sub-programa movA_sinc.vi.

La posición solicitada X se pasa como parámetro al programa. El primer

paso es solicitar a la mesa su posición actual Y. Si ésta coincide con la posición

solicitada X el programa finaliza puesto que ya nos encontramos en la posición

que queremos. En caso contrario se le indica a la mesa que se mueva a la

posición X y esperamos a que el sensor de movimiento indique que la mesa se

ha detenido. Entonces solicitamos de nuevo la posición actual y la volvemos a

comparar con la posición deseada. El proceso continúa hasta que la mesa se

posiciona correctamente, es decir, X = Y. Normalmente son necesarias dos o

tres iteraciones, aunque si los parámetros del controlador PID no son los

adecuados, incluido el parámetro Integration Limit, la mesa no llegará nunca a

la posición X y el programa quedará en un bucle cerrado.

Finalmente implementé un sub-vi para convertir las dimensiones de X,

inicialmente en cuentas, a su equivalente en tiempo teniendo en cuenta la

velocidad de propagación de la luz, y que la mesa controla la posición del

espejo móvil de un interferómetro como el descrito en el capítulo 2. En la figura

12 se muestra el sub-programa cuentas_fs.vi encargado de realizar tal función.

÷ ÷ × × S

CUENTA
3E8 1E15 2 16.47nm
Figura 12. Diagrama de bloques del sub-programa cuentas_fs.vi.

Capítulo 4: Medida99

FS

y Automatización


La única entrada del sub-vi es el incremento de la mesa traslacional en

cuentas. El primer bloque realiza la conversión a metros mientras que el

segundo tiene en cuenta que la luz recorre dos veces esa distancia. El

siguiente bloque encuentra su equivalente en tiempo y el último lo convierte a

unidades de fs. Para simplificar el diagrama de bloques de los programas que

veremos a continuación, el módulo cuentas_fs.vi no aparece implícitamente,

aunque en realidad se utiliza en la mayoría de ellos.

4.2.2 Medidas con el Osciloscopio

El osciloscopio con el que se trabajó en el laboratorio (Tektronix TDS

3032B)9 se utilizaba junto con un fotodiodo para ver autocorrelaciones en

tiempo real y también para obtener trazas FROG. Gracias al sub-programa

movA_sinc.vi (ver sección anterior), cuya función es mover la mesa traslacional

y esperar hasta que esta llegue a la posición indicada, ya no tenemos que

preocuparnos por el sincronismo entre la toma de datos y el movimiento de la

mesa. El sub-vi que diseñé, cuya función es obtener una medida de tensión del

osciloscopio, se limita prácticamente a enviar una orden solicitando la medida,

y a leer la respuesta con la medida correspondiente del búfer del osciloscopio.

Para la inicialización del osciloscopio implementé el sub-programa ini_osc.vi, el

cual se limita a especificar que deseamos tomar medidas de tensión. El

diagrama de bloques del sub-vi de inicialización se muestra a continuación en

la figura 13.

SEND measu:imm:type mean

GPIB ADDRESS

Figura 13. Diagrama de bloques del sub-programa ini_osc.vi.

El bloque SEND envía un comando al osciloscopio especificando que

deseamos tomar medidas de la tensión media. A partir de entonces llamaremos



al sub-programa medida_osc.vi para obtener cada una de las medidas. En la

figura 14 se muestra el diagrama de bloques correspondiente.

RECEIVE

SEND measu:imm:value?

GPIB ADDRESS V(t)

Figura 14. Diagrama de bloques del sub-programa medida_osc.vi.

En este caso el bloque SEND envía un comando al osciloscopio

solicitando una medida del tipo especificado en la inicialización. El bloque

RECEIVE espera hasta que la medida está disponible.

4.2.3 Medidas con el Amplificador de Lock-in

Las medidas con el amplificador de lock-in (SR830) son tan sencillas

como con el osciloscopio. Tan sólo es necesario tener el chopper funcionando

y asegurarse de que la ganancia y la fase de la señal de lock-in sean las

adecuadas. Para ello el SR830 cuenta con un procedimiento automático para

detectar la frecuencia de lock-in a partir de la señal que el chopper le envía

(auto-phase), y ajustar la ganancia según el nivel de la señal de entrada (auto-

gain). Cada vez que queramos obtener una medida ejecutaremos el sub-

programa medida_SR830.vi cuyo diagrama de bloques es el de la figura 15.

RECEIVE

SEND OUTR?1

GPIB ADDRESS V(t)

Figura 15. Diagrama de bloques del sub-programa medida_SR830.vi.

Se puede ver que el programa que escribí es bastante sencillo. El único

parámetro de entrada es la dirección del amplificador de lock-in en el bus.

Enviando el comando OUTR?1 solicitamos la tensión del canal 1, que es al que

se conecta el fotodetector. El módulo RECEIVE espera hasta que el



amplificador envía la respuesta, garantizando así el sincronismo. La salida del

sub-vi es la tensión o medida solicitada.

4.2.4 Control del Espectrómetro

Para capturar espectros correctamente cuando no utilizamos la cámara

CCD es necesario mantener el sincronismo entre el movimiento de la rejilla de

difracción y las medidas. En este caso gw_sinc.vi (Go Wavelength síncrono) es

el encargado de esperar a que la rejilla llegue a la posición solicitada para

tomar la medida correspondiente. Para implementar esta rutina utilicé dos

librerías (suministradas por el fabricante) que permitían mover la rejilla de

difracción y conocer su posición actual. El diagrama de bloques del sub-

programa es parecido al de movA_sinc.vi que controla los movimientos de la

mesa traslacional.

Y = X

SALIR

Y ≠ X GW X

POSICIÓN? Y

X

Figura 16. Diagrama de bloques del sub-programa gw_sinc.vi.

La longitud de onda X es uno de los dos parámetros de entrada junto

con la dirección GPIB del espectrómetro. La secuencia básica consiste en

comparar la posición actual de la rejilla de difracción, con la posición solicitada.

En caso de que no coincidan se envía el comando GW X para que la rejilla se

mueva a la posición X, mientras que si son iguales el programa termina. Existe

una resolución máxima (mínimo incremento) para especificar la longitud de

onda de 0.1 nm, es decir, el programa permite mover la rejilla de difracción en



décimas de nanómetro. Aunque en realidad la resolución del aparato es mayor

a la décima de nanómetro, no llega a la centésima, por lo que no es posible

añadir un segundo decimal para especificar la longitud de onda.

Un dato interesante cuando se programa el espectrómetro es que todas

las respuestas finalizan con el carácter >, por lo que la rutina para leer del

buffer correspondiente debería tenerlo en cuenta.

En nuestro caso se utilizó un módulo RECEIVE de bajo nivel que leía

hasta encontrar el carácter 62, correspondiente al código ASCII de >, y hasta

un máximo de 256 caracteres. Posteriormente se eliminaba el carácter > del

string (secuencia de caracteres) recibido para convertirlo a formato numérico.

Otro dato igualmente interesante es que cuando se enciende el

espectrómetro, éste también responde con un carácter >. Si queremos que los

comandos enviados se correspondan con las respuestas recibidas será

necesario leer ese primer carácter cada vez que encendamos el aparato.

4.3 Captura de Datos

La implementación de funciones complejas, como por ejemplo capturar

una autocorrelación, precisa del control simultáneo de más de un instrumento

de forma ordenada y perfectamente sincronizada. Los programas que veremos

a continuación realizan funciones complejas, a partir de sub-programas de

control más sencillos (ver sección 4.2), para obtener autocorrelaciones,

espectros o trazas FROG de forma totalmente automatizada. En el lado

opuesto se encontraría el control manual de los instrumentos y adquisición

también manual de las medidas. Es fácil tener una idea del tiempo y trabajo

que emplearíamos en obtener una autocorrelación de cien muestras, moviendo

la mesa a mano y anotando la medida correspondiente en una hoja, hasta un

total de cien veces. Capturar alguna de las trazas FROG que vimos en el



capítulo 3 (de dimensiones 60 x 100 = 6000 muestras) mediante este

procedimiento resulta impensable.

A continuación se describen cuatro programas que realizan las funciones

de obtener una autocorrelación, obtener un espectro, obtener una traza FROG

y obtener una traza FROG utilizando la cámara CCD.

4.3.1 Obtener una Autocorrelación

El programa autoco.vi permite obtener la autocorrelación de los pulsos

del láser de Ti:Zafiro (ver cap. 1) a partir de los sub-programas que controlan la

mesa traslacional, el osciloscopio y el amplificador de lock-in. En lo que sigue

se describe el programa que diseñé y escribí prácticamente en su totalidad, a

excepción del sub-vi que controla la mesa traslacional y que utiliza varias

librerías facilitadas por el fabricante. En el panel frontal podemos modificar los

parámetros de entrada al sistema.

Figura 17. Panel frontal del programa autoco.vi.



La siguiente tabla muestra cuales son los valores de entrada por defecto.

SV 180000 SA 400

Axis 2 osc address 10

KP 80 sr830 address 8

KI 50 N 100

KD 0 incremento 91

Tabla 3. Valor por defecto de los parámetros de entrada del programa autoco.vi.

Es posible especificar la velocidad de la mesa traslacional SV (Set

Velocity), el canal de la tarjeta controladora al que está conectada (Axis), los

tres parámetros PID del motor de control y su aceleración SA (Set

Acceleration). Otros parámetros de entrada son la dirección en el bus del

osciloscopio y del amplificador de lock-in, y los de mayor interés, el número de

muestras total de la autocorrelación N y el incremento entre muestras dado en

cuentas. En la figura 18 se muestra el diagrama de bloques del programa

principal.

En primer lugar se inicializan la mesa traslacional y el osciloscopio

llamando al sub-vi correspondiente. Como la llamada a los dos sub-programas

de inicialización no se realiza de forma secuencial, en el diagrama aparecen los

dos bloques en paralelo. A continuación se repite la secuencia mover mesa y

tomar medida N veces. Las medidas se pueden tomar con el osciloscopio o

bien con el amplificador de lock-in (SR830). Cuando el programa termina se

encarga de dibujar la autocorrelación y de regresar la mesa a la posición de

retardo cero, es decir, la correspondiente al valor máximo de la autocorrelación

(por simplicidad no aparece en el diagrama de bloques). Esta característica se

puede aprovechar para encontrar la posición de retardo cero cuando la mesa

está totalmente descentrada, siempre y cuando los parámetros N e incremento

sean adecuados. Algunos datos de interés que podemos ver en el panel frontal

cuando la rutina termina son la duración del pulso τp, para pulsos gaussianos o

sech²(t) y el equivalente en fs del incremento en cuentas.



medida_SR830.vi medida_osc.vi

i = 0

ini_osc.vi ini_mesa.vi

movA_sinc.vi

(-N/2+i)*inc

i = i +1

mientras i < N

Figura 18. Funcionamiento básico del programa autoco.vi. La secuencia movermesa y tomar medida se repite N veces.

4.3.2 Obtener un Espectro

El programa espectro.vi permite medir el espectro de la señal de

entrada, efectuando un barrido de la rejilla de difracción del espectrómetro, a la

vez que el osciloscopio o el amplificador de lock-in toma medidas de la

intensidad a su salida. El programa, que inicialmente escribí con el objetivo de

resolver las autocorrelaciones en frecuencia y obtener la correspondiente traza

FROG, también se puede emplear para capturar simplemente un espectro. A

continuación se puede ver el panel frontal del programa espectro.vi.



Figura 19. Panel frontal del programa espectro.vi.

En la figura 20 se muestra el diagrama de bloques básico del programa.

i = 0

ini_osc.vi

medida_SR830.vi medida_osc.vi

gw_sinc.vi

λ0+(-N/2+i)*inc

i = i +1

mientras i < N

Figura 20. Diagrama de bloques del programa espectro.vi.



En primer lugar se inicializa el osciloscopio. Entonces se repite la

secuencia mover rejilla de difracción y tomar medida N veces. Cuando el

programa termina obtenemos un espectro formado por N muestras alrededor

de la longitud de onda central λ0 con una separación de inc (en nm) entre

muestra y muestra. El valor por defecto de N es 60 y el incremento de 0.3 nm.

Al igual que con el programa autoco.vi es posible decidir entre tomar las

medidas con el osciloscopio o con el amplificador de lock-in. Algunos datos de

interés que podemos ver en el panel frontal son la posición de la rejilla de

difracción, el valor actual de la medida correspondiente y, una vez que finaliza

el programa, la longitud de onda para la que el espectro es máximo.

4.3.3 Obtener una Traza FROG

El programa FROG.vi utiliza los dos programas anteriores, autoco.vi y

espectro.vi, para medir el espectro de la señal Esig(t,τ) para cada valor del

retardo τ. De este modo se obtiene IFROG(λ,τ) o traza FROG correspondiente. El

programa también lo diseñé y escribí íntegramente, con la excepción de

algunas librerías que se utilizan para controlar la mesa traslacional.

En la figura 21 se puede ver el panel frontal del programa FROG.vi.

Figura 21. Panel frontal del programa FROG.vi.



A continuación se muestra el diagrama de bloques del programa

principal.

i = 0

espectro.vi N2 inc2

movA_sinc.vi (-N1/2+i)*inc1

ini_osc.vi ini_mesa.vi

i = i + 1

mientras

i < N1

Figura 22. Diagrama de bloques del programa FROG.vi.

En primer lugar se inicializan la mesa traslacional y el osciloscopio. A

continuación se repite la secuencia mover mesa y capturar espectro un total de

N1 veces. Aunque el programa autoco.vi no aparece como bloque, su

estructura sí forma parte de FROG.vi. La tabla 4 muestra los parámetros de

entrada por defecto.

SV 180000 osc

address 10 N1 100

Axis 2 sr830

address 8 Inc1 91

KP 80 espec

address 6 N2 60

KI 50 Inc2 0.3

KD 0 λ0 400

SA 400

Tabla 4. Valores de entrada por defecto del programa FROG.vi.



En la primera columna aparecen los parámetros que hacen referencia a

la mesa traslacional. En la segunda están la direcciones GPIB del osciloscopio,

el amplificador de lock-in y el espectrómetro. Finalmente a la derecha se

encuentran los parámetros más relevantes del sistema. Inc1 y N1 hacen

referencia al eje del retardo de la traza FROG, donde el primero es la

separación entre muestras y el segundo el número total de muestras. Sus

equivalentes en el eje de la frecuencia o longitud de onda son Inc2 y N2, y λ0

para especificar la longitud de onda central del pulso. Podemos calcular el

número total de muestras que se requieren simplemente haciendo el producto

de N1 por N2. Cuando el proceso termina el programa guarda la matriz de datos

resultante en el archivo frogtrace.dat, a la espera de aplicar el algoritmo. Al

igual que con los programas anteriores en el panel frontal aparece la

información en tiempo real del número de medida y del voltaje correspondiente.

También podemos elegir entre tomar las medidas con el osciloscopio o con el

amplificador de lock-in.

La segunda versión que se hizo de FROG.vi funciona igualmente con el

espectrómetro, pero utiliza la cámara CCD en vez del fotodiodo. El programa

se llama FROG_CCD.vi y es parecido al anterior, aunque ahora se obtienen las

medidas a partir de la rutina que controla la cámara y que facilita el fabricante.

Por este motivo, es necesario que dicha rutina esté funcionando en el momento

de capturar una traza FROG. El aspecto de FROG_CCD.vi (panel frontal) es el

que podemos ver a continuación en la figura 23.

En este caso veremos una gráfica de la intensidad por píxel para cada

una de las N iteraciones del bucle principal, resultando un total de 1044

muestras por iteración actualizadas en tiempo real.



Figura 23. Panel frontal del programa FROG_CCD.vi.

La figura 24 muestra el diagrama de bloques básico del programa

FROG_CCD.vi.

i = 0

intensidad_CCD.vi

movA_sinc.vi (-N/2+i)*inc

ini_mesa.vi

i = i + 1

mientras

i < N

Figura 24. Diagrama de bloques del programaFROG_CCD.vi.



En primer lugar se inicializa la mesa traslacional llamando al sub-vi

correspondiente. Luego se repite la secuencia mover mesa y leer intensidad de

la cámara un total de N veces. Lo que hace el módulo intensidad_CCD.vi es

leer de una variable global un array (secuencia de números) con la intensidad

de la cámara y guardarlo en el archivo frogtrace.dat. El programa que controla

la cámara actualiza continuamente esta variable, además de eliminar el ruido

de fondo. Cuando FROG_CCD.vi termina el archivo de datos contiene una

traza de N x 1044.

Al igual que antes en el panel frontal se pueden modificar los parámetros

que hacen referencia a la mesa traslacional y al eje del retardo, mientras que

han desaparecido aquellos relacionados con el osciloscopio, el amplificador de

lock-in y el espectrómetro. Este último ya no tiene que realizar un barrido y tan

sólo es necesario que la rejilla de difracción esté centrada a la longitud de onda

λ0. El valor por defecto de N es de 100 iteraciones y el de inc de 91 cuentas,

equivalente a 10 fs teniendo en cuenta el camino de ida y vuelta de la luz.

4.4 Conclusiones

En este capítulo hemos visto el proceso de automatización que se siguió

para la adquisición de autocorrelaciones, espectros y trazas FROG. Se

comenzó describiendo el principio de funcionamiento y características de

algunos de los instrumentos que se utilizaron en el laboratorio. En primer lugar

la mesa traslacional y la importancia de los parámetros PID que definen su

comportamiento. Después el amplificador de lock-in (SR830) y como es capaz

de obtener medidas de tensión AC de unos pocos nanovoltios. También vimos

el funcionamiento del espectrómetro, las características de sus cuatro rejillas

de difracción y por último, la cámara CCD y el método para calibrar los píxeles

con las distintas longitudes de onda.

En la siguiente sección (4.2) se mostraron las conexiones entre el PC y

los distintos instrumentos, mediante las correspondientes tarjetas



controladoras. Vimos también las rutinas que implementé para controlar los

distintos instrumentos. En primer lugar las que hacían referencia a la mesa

traslacional, una para su inicialización y otra para moverla manteniendo el

sincronismo entre su posición y las medidas. Después las que permitían

obtener medidas con el osciloscopio y el SR830 y por último, la rutina que

controlaba el movimiento de la rejilla de difracción del espectrómetro.

Finalmente se explicaron los programas (diagrama y panel frontal) que

realizaban funciones más complejas como obtener una autocorrelación, un

espectro o una traza FROG de forma automática. Vimos que el programa para

obtener autocorrelaciones se podía utilizar además para encontrar la posición

de retardo cero del autocorrelador. Entonces se describió el programa para

obtener espectros y su aplicación en la primera implementación de FROG. Por

último vimos las dos implementaciones para obtener una traza FROG, la

segunda de ellas utilizando la cámara CCD.

Con estas rutinas será posible la caracterización completa de cualquier

pulso ultracorto, de una manera metódica, sistemática, rápida y sencilla.

4.5 Referencias

1. Physik Instrumente (PI), M-505 in MicroPositioning, www.physikinstrumente.de 2. Control tutorials for Matlab: PID tutorial (University of Michigan, Michigan, Ohio),

http://rclsgi.eng.ohio-state.edu/matlab/PID/PID.html

3. Standford Research Systems, Inc., www.srsys.com/products/SR810830.htm

4. Thor Labs, Inc., Laser Lab Instrumentation, in Electronic Instruments, www.thorlabs.com

5. Standford Research Sys., Inc., www.srsys.com/downloads/PDFs/Manuals/SR830m.pdf

6. Spectra-Physics Thermo Oriel, monochromators in featured products, www.oriel.com

7. E. Hecht, Optics (Addison – Wesley Pub. Co., 3rd ed. 1997), Chap. 10.

8. Hamamatsu Photonics K. K., S7030/S7031 series, in CCD area image sensor (2003),

http://usa.hamamatsu.com/hcpdf/parts_S/S7030_series.pdf 9. Tektronix, Inc., TDS3000B Series, in real-time (DFO/DSO) oscilloscopes,

www.tektronix.com


http://www.physikinstrumente.de/

http://rclsgi.eng.ohio-state.edu/matlab/PID/PID.html

http://www.srsys.com/products/SR810830.htm

http://www.thorlabs.com/

http://www.srsys.com/downloads/PDFs/Manuals/SR830m.pdf

http://www.oriel.com/

http://usa.hamamatsu.com/hcpdf/parts_S/S7030_series.pdf

http://www.tektronix.com/


CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

En este capítulo se hace un breve repaso de las conclusiones a las que

se llegó en los cuatro capítulos anteriores. Después de este repaso veremos en

que dirección continúa actualmente el trabajo emprendido con este proyecto,

en el ámbito de la microscopía no lineal, y por último hablaré de algunos

aspectos que considero importantes y sobre los que se podría continuar

investigando.

5.1 Conclusiones

Si tuviera que destacar alguna de las conclusiones alcanzadas en los

capítulos anteriores, sin duda alguna destacaría aquella a la que se llegó en el

capítulo 3 con el sistema FROG funcionando: habiendo caracterizado

perfectamente los pulsos (módulo y fase) se había cumplido el objetivo del

proyecto.

El primer capítulo sirvió para introducir los pulsos ultracortos, viendo sus

posibles aplicaciones, características y método de generación. En este sentido,

el cristal de Titanio:Zafiro es un medio activo excelente debido a su gran ancho

de banda de emisión. Finalmente se compró que la potencia y la longitud de

onda de emisión del láser coincidieran con las especificadas por el fabricante,

obteniendo un resultado satisfactorio.

En el segundo capítulo obtuvimos, con la técnica de autocorrelación, las

primeras estimaciones acerca de la duración de los pulsos a la salida del láser.

Capítulo 5: Conclusiones y Trabajo Futuro 114


Sin embargo, el principal problema resultó ser la falta de información

cuantitativa referente al perfil de intensidad y a la fase de dichos pulsos. Se

comenzó viendo la geometría del autocorrelador colineal y los dos tipos de

autocorrelación que podíamos tener, de intensidad e interferométrica, en

función de si el detector resolvía las franjas de interferencia de la señal de

autocorrelación. También se utilizó indistintamente la respuesta cuadrática de

un cristal de SHG (BBO) y el comportamiento de absorción de dos fotones de

un fotodiodo de GaAsP. En cuanto a los resultados obtenidos a partir de dos

tipos de autocorrelación posibles, comprobamos que eran perfectamente

complementarios: la autocorrelación de intensidad permitía estimar con

fiabilidad la duración de los pulsos, mientras que a partir de la interferométrica

se podía detectar la presencia de chirp. El último paso consistió en modificar el

autocorrelador para obtener una geometría no colineal, en la que desaparecía

la componente de background, y en introducir una mesa traslacional

micrométrica controlada por el ordenador, con el fin de tener un control más

preciso sobre el retardo (variable τ).

Ya en el capítulo 3 se comprobó que la técnica de FROG permitía

caracterizar tanto el módulo como la fase de los pulsos, independientemente

del perfil de intensidad de estos. Se prestó especial atención en la calibración

del espectrómetro y el phase-matching en el cristal de SHG. Además los

marginales de tiempo y frecuencia, así como la autocorrelación de intensidad

de dos fotones, sirvieron para comprobar en cada momento los resultados que

íbamos obteniendo. Un indicio más de que el sistema funcionaba

correctamente lo obtuvimos al retirar un elemento dispersivo del montaje y

comprobar su efecto sobre la fase del pulso. Efectivamente, al retirar dicho

elemento dispersivo disminuía la curvatura de la fase (chirp), con lo que la

caracterización de los pulsos se había hecho de manera adecuada. Finalmente

realizamos una prueba con un algoritmo distinto, concretamente para la técnica

de X-FROG. Se encontró que esta técnica es altamente sensible a la

calibración y al ruido en los datos experimentales. Además, el algoritmo

entrega inherentemente dos pulsos distintos, por lo que su utilización en lugar

de FROG debe ser hecha más cuidadosamente.



En el último capítulo vimos los programas que implementé para obtener

las medidas experimentales de forma automática, controlando cualquier

parámetro desde el PC. Podría destacar la importancia de los parámetros PID

en el momento de inicializar la mesa traslacional micrométrica, y de la correcta

calibración de la cámara CCD y del espectrómetro. El programa para obtener

autocorrelaciones, así como los dos que permitían obtener trazas FROG,

funcionaban correctamente: el objetivo de caracterizar los pulsos de forma

rápida, sencilla y automatizada también se había alcanzado. Con las técnicas y

los programas desarrollados es posible entonces hacer una completa

caracterización de los pulsos ultracortos de cualquier láser de Ti:Zafiro de una

manera fiable y sistemática.

5.2 Trabajo Futuro

El trabajo realizado representa una herramienta fundamental en

cualquier laboratorio de pulsos ultracortos. De hecho, los autocorreladores y

programas que desarrollé han sido utilizados de manera exitosa en el campo

de la microscopía no lineal. Por ejemplo, durante la preparación de este trabajo

se han utilizado los programas aquí desarrollados y, mediante una variación del

montaje de FROG para hacerlo colineal (CFROG), se ha procedido a

caracterizar los pulsos que llegan a una muestra después de haber pasado por

un objetivo de microscopio.1,2 Con esta geometría, notablemente más sencilla

que la no-colineal, se procesan los datos experimentales para seleccionar

únicamente la contribución correspondiente a la interacción entre los pulsos, y

que contiene la información útil. El resultado es una traza FROG como la que

se obtendría con una geometría no-colineal y a la cual se aplica el mismo

algoritmo descrito en este proyecto para obtener el módulo y la fase de los

pulsos. El hecho de tener un sistema robusto para la caracterización de pulsos

ultracortos ha permitido el estudio de bio-materiales para ser aplicados en

óptica no lineal. Así, se ha comprobado que una solución de almidón puede

sustituir al habitual cristal no lineal, para generar la señal de segundo armónico

en dicho sistema FROG. Las ventajas que ofrece este medio no lineal son



muchas: se trata de un material fácil de obtener, de almacenar y manipular, no

tóxico, barato, con un alto coeficiente no lineal que es independiente de la

polarización y del ángulo de incidencia de la luz, y con un ancho de banda que

va de 700 a 1300 nm. La solución de almidón se sitúa exactamente en el

mismo lugar donde colocaríamos la muestra de estudio, utilizando igualmente

un portaobjetos y un cubreobjetos, y permitiéndonos la caracterización de los

pulsos tal y como realmente llegan a la muestra.

Por otra parte, hay algunos aspectos relacionados con el proyecto sobre

los que considero que se podría seguir investigando. Por ejemplo, se puede

trabajar en algoritmos más robustos tanto para FROG como para X-FROG. En

el primer caso se puede añadir la condición relacionada con el espectro de los

pulsos, y que ya se utiliza para X-FROG. Además, en ambos casos, el

conocimiento previo de la forma de los pulsos puede servir para añadir una

condición adicional extra, que permita aumentar la robustez del algoritmo o

bien, capturar menos datos experimentales hacia un sistema más cercano a

trabajar en tiempo real. En este mismo sentido sería interesante realizar una

nueva búsqueda de los parámetros PID óptimos, parámetros que determinan el

tiempo de respuesta de la mesa traslacional, con el fin de reducir el tiempo

necesario para capturar una traza FROG.

Otro aspecto a tener en cuenta tiene que ver con la portabilidad del

sistema de medida de pulsos ultracortos. Sería interesante disponer de un

montaje para FROG móvil y con algún tipo de mecanismo que permitiera una

alineación rápida y sencilla del sistema respecto al haz de entrada, en cuyo

caso el montaje CFROG parece ser el más indicado. Finalmente, el

funcionamiento del sistema de medida en tiempo real es otro de los puntos

importantes y además un objetivo futuro. Especialmente útil en aquellas

aplicaciones que requieren una optimización de los pulsos, y donde el tiempo

real permite realizar correcciones y ajustes monitorizando al mismo tiempo el

efecto que dichos cambios producen.



5.2 Referencias

1. I. Amat-Roldán, I. G. Cormack, P. Loza-Alvarez, and D. Artigas, “Multipurpose pulse

characterisation using a straightforward collinear FROG geometry”, submitted to CLEO,

San Francisco, 2004.

2. I. Amat-Roldán, I. G. Cormack, P. Loza-Alvarez, and D. Artigas, “Starch solutions based

SHG-FROG pulse characterisation in a nonlinear microscope”, submitted to CLEO, San

Francisco, 2004.



Apéndice – Algoritmo para SHG-FROG %clear all n=128; %load parameters. load dt; load df128; load lcfun; load lcshg; f=[-64:63]*df128; timestep=[-64:63]*dt; fundamental_wave=lcfun; harmonic_wave=lcshg; fundamental_freq=0.3/fundamental_wave; harmonic_freq=0.3/harmonic_wave; f_wave=0.3./(f+fundamental_freq); h_wave=0.3./(f+harmonic_freq); load 'shg'; load 'fun'; pump_spec=nor(abs(shg)); idlr_spec=nor(abs(fun)); % LOAD LAB DATA INTO labs HERE %load 'labs' %load labsnonoise.dat %labs=labsnonoise; ok=1 l2=sqrt(labs); figure (1) pcolor (labs) shading interp figure (2) pcolor (abs(l2)) shading interp % Retrieval rand('state',1); num_iter=100; % Guess field and gate: for nn=1:n ek(nn)=exp(2.*pi*i*rand-.02*(nn-(n/2))^2);%+exp(2.*pi*i*rand-.08*(20+nn-(n/2+1))^2);

Apéndice: Algoritmo para SHG-FROG 119


end gk=ek; figure(3) for ialg=1:num_iter % Make shg-frog: op=(conj(ek))'*gk+(conj(gk))'*ek; op=row_rot_for(op); op=fft(op); op=fftshift(op); %SHG-FROG before intensity constraint: frogk=abs(op).*abs(op); pcolor(frogk); shading interp title(strcat('Iteration number=',int2str(ialg))) xlabel('Delay (fs)') ylabel('Frequency (1/fs)') pause(.01) % Intensity constraint - NOTE using labdata not labs op=(op./1.e-10+abs(op)).*l2; % Reverse Fourier transform (time->freq): op=fftshift(op); op=ifft(op); op=row_rot_rev(op); % Principal Component Decomposition: dume=ek*op; ek=dume*op'; dumg=gk*op'; gk=dumg*op; % dume=ek*op;%and again: % ek=dume*op'; % dumg=gk*op'; % gk=dumg*op; ek=conj(ek); % gk=conj(gk); ek=ek/max(abs(ek)); gk=gk/max(abs(gk)); end load xt128;



load y128; figure(3) pcolor(xt128,y128,frogk); shading interp title('Retrieved FROG') xlabel('Delay (fs)','fontsize',13) ylabel('Frequency (fs^-1)','fontsize',13) save frogk.dat frogk -ascii; absgk=abs(gk).*abs(gk); anglegk=unwrap(angle(gk)); figure(4) plotyy(timestep,absgk,timestep,anglegk); title('\it Temporal intensity profile and phase of Fundamental pulses ') xlabel('\bf Time (fs)') ylabel('\bf Intensity (a.u.)') absek=abs(ek).*abs(ek); angleek=unwrap(angle(ek)); eiw=fftshift(fft(gk)); epw=fftshift(fft(ek)); abseiw=abs(eiw).*abs(eiw); angleeiw=unwrap(angle(eiw)); absepw=abs(epw).*abs(epw); angleepw=unwrap(angle(epw)); figure(5) eiw=eiw/max(eiw); plot(f_wave,idlr_spec,f_wave,abs(eiw).*abs(eiw),'o') title('fundamental') %Intensity Autocorrelations % Method: Convolution of I(t) & time-reversed I(t) %Fundamental a=fft(absgk); b=fft(fliplr(absgk)); gf=a.*b; g=ifft(gf); g=fftshift(g); g=real(g);



g=g/max(g); figure (6); plot(timestep,g); title('Fundamental Autocorrelation'); xlabel('Time (fs)');ylabel('Intensity (a.u.)'); %Saving data files timestep=timestep'; absgk=absgk'; anglegk=anglegk'; absek=absek'; angleek=angleek'; g=g'; %save temporal profiles as: % timestep, fun int., fun phase, shg int., shg phase p=[timestep, absgk, anglegk, absek, angleek]; save pulses.dat p -ascii; %save intensity correlations: % timestep, fun, shg, xcorrelation ac=[timestep, g]; save correlations.dat ac -ascii;


Pablo Loza Álvarez - ICFO · de Titanio-Zafiro del tipo Self-Modelocking, con una frecuencia de...

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