Los números complejos

¿Para qué necesitamos los números complejos?

Quiero resolver la siguiente ecuación... Creamos el conjunto...

Una ecuación de tipo:x+1=5, x+3=8,

Natural:

Una ecuación es:x+5=1, x+8=3

Entero:

Una ecuación de tipo:2x=5, 2x=7

Racional:

Una ecuación es: Real:

Una ecuación del tipo: Complejo:

x =1± √ 5

2

ℕ

ℤ

ℝ

ℚ

x = √ −1 , x = √ −15 ℂ

Algunos nombres...

A Leonard Euler, matemático suizo, se le debe gran parta de las definiciones que veremos posteriormente sobre los números complejos. Incluidos el definir como unidad de los números imaginarios i.

El número i

El número i se denomina unidad imaginaria y se asocia al número√-1.

Algunas potencias de i son:

i= √-1

i2=-1

i3=i2i=-√-1

A Carl F. Gauss, se le debe la aplicación d ellos números complejos para resolver ecuaciones de segundo grado con raíces negativas.

También los aplico en la geometría, con el fin de estudiar fenómenos como rotaciones, simetría en polígonos, etc. Además de concluir algunos resultados en teoría de números.

Algunas definiciones de número complejo

Sean a y b dos números reales. Decimos que z es un número complejo sí y solo sí:

z=a+bi

Decimos que z es el conjugado de un número complejo z si lo definimos como:

z=a-bi

Y que -z es el inverso de z sí y solo sí:

-z=-a-bi

Representación vectorial de un número complejo (Wessel, Argand,

Gauss)

Los números complejos se pueden sumar, multiplicar, dividir y elevar a n-potencias como si fueran números reales, y en ocasiones vectores. Con ellos también podremos hallar las n-raices de un número complejo, y esto conllevará a representaciones gráficas muy interesantes.

Para todas estas cosas haremos uso de sus componentes polares, y hemos de tener cierto dominio de las razones trigonométricas.

Representación de un número complejo por sus componentes

polares

¿Qué haremos con ellos? Plan de trabajo para 1º de Bachillerato

● Resolveremos ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo y aceptaremos todas las soluciones.

● Hallaremos las n-raices de un número complejo.

● Los usaremos para trabajar con la representación algebraica de superficies planas.

● Trabajaremos con ellos de forma vectorial.