Paginas 651 a 656 (Antonio Crespo Martinez)

8/16/2019 Paginas 651 a 656 (Antonio Crespo Martinez)

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De (30.28) y (30.32) y una integración numérica, se obtiene:

Y este espesor, según veremos, est asocia!o a "a #uer$a !e #ricción sobre "a

p"aca.

%ara ca"cu"ar "a #uer$a !e #ricción, se va a ca"cu"ar "o &ue va"e e" es#uer$o cortante

en "a pare!:

Don!e se 'an uti"i$a!o "as ecuaciones (30.28) y (30.32) y &ue #(0) 0.**+2

0.332. -ntegran!o a "o "argo !e "a p"aca, se obtiene "a #uer$a sobre una so"a cara

!e "a misma por uni!a! !e enverga!ura:

cuación &ue se !ebe con "a (30.22). /a #uer$a !e #ricción a!imensiona"i$a!a

seria:

FORMA ALTERNATIVA DE CALCULAR LA FUERZA DE FRICCION

'ora vamos a comprobar &ue entre "a #uer$a sobre "a p"aca y e" espesor !e

canti!a! !e movimiento e1iste una re"ación. %ara e""o ap"i&uemos "a ecuación !e

conservación !e canti!a! !e movimiento, en #orma integra", a" vo"umen #io 4D

!e "a #igura 30.5, !on!e 4 es una "6nea !e corriente a través !e "a cua" no pasa

#"ui!o. es un punto aguas arriba !e "a p"aca. 7o"o entra o sa"e #"ui!o !e" vo"umen

!e contro" #io por y 4D, y "o 'ace en to!os "os sitios con "a ve"oci!a! ,

e1cepto "a capa "imite en 4D.


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%or continui!a!, observamos &ue "a masa es igua" a "a &ue sa"e:

%ero como 4D "a ve"oci!a! es en to!os "os sitios e1cepto "a capa "imite, "a

u"tima integra" seria, !e acuer!o a "a ecuación (30.38):

Y entonces:

9ue corrobora nuestra interpretación !e espesor !e !esp"a$amiento. %ara ap"icar

"a ecuacion !e canti!a! !e movimiento, observamos &ue "a presión es igua" en

to!os "os sitios y por tanto !a resu"tante nu"a. simismo suponemos &ue "os

es#uer$os viscosos en "a super#icie !e" vo"umen !e contro", e1c"ui!a "a p"aca, !an

resu"tante nu"a en !irección !e" ee 1. /a #uer$a sobre "a p"aca seria "a !i#erencia

entre e" #"uo !e canti!a! !e movimiento &ue entra por y e" &ue sa"e por 4D:

ti"i$an!o "a ecuación (30.+5), y e" 'ec'o !e &ue v 1 so"o es !istinto !e u en "a capa"6mite y tenien!o en cuenta "a !e#inición (30.+2), resu"ta:


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7ien!o 2 e" va"or correspon!iente a" e1tremo posterior !e "a p"aca. 7e pue!e

comprobar este resu"ta!o comparan!o "as ecuaciones (30.+3),(30.+;) y (30.;0).

CAPA LIMITE LAMINAR ALREDEDOR DE UNA CUÑA DE ANGULO β

n caso interesante &ue es genera"i$ación !e" #"uo a"re!e!or !e "a p"aca p"ana, es

e" !e" movimiento a"re!e!or !e una cu


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s6, para u va"or !e m A y n 2, se ten!r6a B, &ue correspon!e a un #"uo

sobre una p"aca p"ana perpen!icu"ar a "a corrienteH y para m 0 y n A, se ten!r6a

0, &ue correspon!e a" caso anterior !e una p"aca p"ana para"e"a a "a corriente.

7iguien!o e" mismo proce!imiento !e" aparta!o anterior y uti"i$an!o "a misma

variab"e !e semean$a !a!a en "a ecuación (30.28), se ""ega a "a siguiente

ecuación para "a #unción #, !e#ini!a en "a ecuación (30.3A):

" 'acer "as !eriva!as correspon!ientes 'ay &ue tener en cuenta &ue a'ora

varia con 1 !e acuer!o con "a ecuación (30.;2). 4uan!o m 0 se recobra "a

ecuacion (30.3+) !e "a p"aca p"ana para"e"a a "a corriente.

4omo casos !e interés se pue!e comprobar &ue para m A, A80I, "os espores

!e !esp"a$amiento. cuación (30.38), y canti!a! !e movimiento, ecuación (30.+2),

no cambian con 1H y &ue para m A3, J0I, e" es#uer$o cortante en "a pare! no

cambia con 1.

ECUACION INTEGRAL DE KARMAN

n genera" e1isten pocas so"uciones e1actas para "as ecuaciones !e "a capa

"imite, a!ems !e "as &ue acabamos !e presentar. n méto!o !e interés &ue

permite buscar so"uciones apro1ima!as es e" !e Karman, por e" &ue se trata !e

encontrar una re"ación entre unos parmetros !e "a capa "imite. " méto!o consiste

en integrar "a ecuación !e canti!a! !e movimiento (30:A3) a través !e "a capa

"imite. ntes !e 'acer esta integración. Lbservamos &ue "a ecuación !e "a

continui!a! (30.A) y !e "a contorno (30.A*), "a ve"oci!a! norma" a "a p"aca sepue!e e1presar como:

Y por tanto e" segun!o suman!o !e (30.A3), !ivi!i!o por "a !ensi!a! e integra!o a

través !e "a capa "imite, se pue!e escribir en "a #orma:

Don!e 'emos e#ectua!o una integración por partes. /a ecuación (30.A3), !ivi!i!a

por "a !ensi!a!, integra!a a través !e "a capa "imite, 'abien!o sustitui!o e"

segun!o suman!o por "a anterior e1presión, resu"ta:


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Don!e e" ú"timo termino es e" es#uer$o cortante en "a pare!. Meagrupan!o

términos en (30.;;), con "a ecuación (30.A;) para "a presión, y suman!o y

restan!o !entro !e" integran!o e" termino:

Nenemos(cambian!o !e signo "os 2 miembros):

7i a'ora uti"i$amos "as !e#iniciones (30.38) y (30.+2) para "os espesores !e

!esp"a$amiento e impu"so, tenemos:

9ue es "a re"ación conoci!a con e" nombre !e ecuación integra" !e Karman. %ara

uti"i$ar esta ecuación, se supone una #orma !e" per#i" !e ve"oci!a!es a través !e "a

capa "imite, y a partir !e" mismo se pue!e ca"cu"ar "os parmetros conteni!os en

(30.;5) y su evo"ución a "o "argo !e "a pare! con "a coor!ena!a 1. /as

apro1imaciones &ue se obtienen a partir !e este méto!o sue"en ser

sorpren!entemente buenas en muc'os casos, aun partien!o !e per#i"e !e

ve"oci!a! muy poco pareci!os a" rea".

APLICACIÓN A UNA PLACA PLANA

7upongamos &ue para "a p"aca p"ana, antes estu!ia!a, tomamos un per#i" !e

ve"oci!a! "inea" como e" !e "a #igura 30.J:

9ue termina a una !istancia . sto, si se compara con "a so"ución e1acta, #igura

30.;, es una apro1imación muy ma"a.


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De "a ecuación (30.+2):

Y:

4on "o &ue "a ecuación (30.;5), con una constante, resu"ta:

integran!o:

Mesu"ta!os &ue, a pesar !e to!o, se parecen bastante a "os !atos en (30.+3) y

(30.++).

uscan!o #ormas !e" per#i" !e ve"oci!a!es ms apro1ima!as a "a rea", se pue!en

obtener resu"ta!os meores &ue e" (30.;J) y (30.*0).%or eemp"o se pue!e probar

con:


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9ue evita "a !iscontinui!a! !e pen!ientes en e" e1tremo e1terior !e "a capa "6mite.

7in embargo, no tiene gran interés reso"ver e" caso !e "a p"aca p"ana por este

proce!imiento apro1ima!o, ya &ue 'emos encontra!o antes "a so"ución e1acta. /a

ap"icación ms importante !e" méto!o se re#iere a casos en &ue e" gra!iente !e

en e" e1terior !e "a capa "imite es !istinto !e cero. ntonces aun&ue en a"gunos

casos particu"ares se pue!e 'a""ar "a so"ución e1acta !e una #orma pareci!a a "a

p"aca p"ana.

CAPA LÍMITE TURBULENTA

/a capa "6mite se 'ace inestab"e cuan!o e" número !e Meyno"!s basa!o en su

espesor y en "a ve"oci!a! e1terior se 'ace mayor !e un cierto va"or. n genera" e"

número !e Meyno"!s &ue marca "a transición !e "aminar a turbu"ento !epen!e !e:

A. Ora!iente !e presión re!uci!a, !%!1. 4uanto menor sea, "a capa "imite es

ms estab"e y e" número !e Meyno"!s !e transición se 'ace mayor. /os

va"ores negativos !e !%!1 'acen estab"e "a capa "imite, y "os positivosinestab"e. 7egún "a ecuación (30.A;), cuanto mayor sea "a ace"eración !e "a

corriente e1terior, !!1, ms estab"e es "a capa "imite.

2. Pive" !e turbu"encia &ue tiene "a corriente e1teriorH si este es gran!e, se

#avorece "a transición.

3. Mugosi!a! !e "a pare!H cuanto mayor es, ms se #avorece "a transición a "a

turbu"encia.

+. Ltras: succion !e capa "imite, transmicion !e ca"or, etc.

%ara una p"aca p"ana "isa, con un nive" !e turbu"encia ambiente !e" AQ "a

transición correspon!e apro1ima!amente a "a con!ición:

7ien!o A e" espesor !e !esp"a$amientoH "o &ue correspon!e, !e acuer!o con "a

ecuación (30.3J), a una !istancia critica a" bor!e !e ata&ue !e "a p"aca ta" &ue:

/a ecuación (30.*2) se pue!e interpretar, aun&ue so"o sea como reg"a

nemotécnica, como si "a capa "imite #uese "a mita! !e "a corriente en un tuboH en

a&ue" caso "a transición correspon!6a a un numero !e Meyno"!s 2.000.


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