Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco...
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Papiroflexia: geometría con papelJosé Ignacio Royo Prieto
Universidad del País Vasco
MATEMÁTICAS EN ACCIÓN
Santander, 24 de mayo de 2006
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Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
• Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;
• Sólo se puede plegar el papel;
• No se pueden realizar cortes;
• No se puede usar pegamento.
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Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel
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León, leona y cría (David Brill)
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Mantis religiosa (Ronald Koh)
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Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
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Dos Cisnes (David Derudas)
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Peces (John Montroll)
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Demonio
(Jun Maekawa)
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Dragón (Shatoshi Kamiya)
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Insectos (Robert Lang)
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Rosa (Toshikazu Kawasaki)
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Eric Joisel
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Jedi Master Yoda
(Fumiaki Kawahata)
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• Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)
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Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)
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Demonio de Tasmania (J.I.R.)
Mosca (J.I.R.)
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Pájaro aleteador
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Origami
Ori = Doblar
Kami= Papel
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“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.
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“Senbazuru Orikata”
Japón, 1789
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Miguel de Unamuno (Zuloaga)
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Monumento a la Pajarita (Ramón Acín),
Parque de Huesca
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Akira Yoshizawa
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Akira Yoshizawa
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Elefantes (Akira Yoshizawa)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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Tomoko Fuse
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Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang.
Sistema de símbolos de Yoshizawa-Randlett
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Relación Matemáticas-Papiroflexia
• Papiroflexia modular• Teoremas de papel• Constructibilidad de puntos con Origami• Diseño de figuras con métodos matemáticos
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Poliedros
• Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:
• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;
• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.
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Poliedros convexos
Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:
Siendo C el número de caras.
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Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:
Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro
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Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
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Icosaedro truncado, cuestión de estado.
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Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de
esas figuras.
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Clases de módulos
• Por vértices;
• por aristas;
• por caras.
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Problema de la coloración
• Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales
• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro
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Grafos planos de los sólidos platónicos
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Coloración icosaedro
Coloración icosidodecae
dro
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Icosidodecaedro
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6 ciclos de aristas en
un icosidodeca
edro
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Coloración icosaedro estrellado Coloración triacontaedro rómbico
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Triacontaedro rómbico
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Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè
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Dualidad de poliedros
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Dualidad icosaedro-dodecaedro
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Cinco Tetraedros Intersecados
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Satoshi Kamiya
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Balón de fútbol
• 12 pentágonos;• 20 hexágonos;• En cada vértice, se
juntan 2 hexágonos y un pentágono.
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Fullerenos
• Están formados por hexágonos y pentágonos;
• Concurren 3 aristas en cada vértice
Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)
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Característica de Euler
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Pentágonos de un fullereno
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Construcción de nuevos fullerenos
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Fullereno gigante
(810 piezas)
![Page 64: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/64.jpg)
Teorema de Steinitz
Problema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo.
Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.
![Page 65: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/65.jpg)
El balón de la Champions
• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?
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Fórmula de Euler para 2
![Page 67: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/67.jpg)
Dominios fundamentales
Roberto Gretter
(555 piezas)
Sergei Lupashin (120 piezas)
Sarah Belcastro (105 piezas)
![Page 68: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/68.jpg)
Curvatura de 2 con origami
• Pentágonos: curvatura positiva• Hexágonos: curvatura cero• Heptágonos: curvatura negativa
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Teoremas de papel
• Teoremas del triángulo
• División en 3 partes
• Nudo pentagonal
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Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
![Page 71: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/71.jpg)
Axiomática de Humiaki Huzita
O1
O6
O5
O4
O3
O2
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New York Journal of Mathematics, 2000
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Métodos matemáticos de diseño
![Page 74: Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081506/5665b4351a28abb57c8ffe0d/html5/thumbnails/74.jpg)
Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano
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Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente
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Método de Kawahata-Meguro
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Pliegue oreja de conejo
Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
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Figuras de Fumiaki Kawahata
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Treemaker de Robert Lang
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“Tree theorem” de Lang
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Figura diseñada con Treemaker
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Origag
(Roberto Morassi, 1984)
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Bibliografía
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Más bibliografía
• http://www.pajarita.org (A.E.P.)
• http://www.divulgamat.net (sección cultura => matemáticas y papiroflexia)
• http://web.merrimack.edu/~thull
• Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.
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GRACIAShttp://www.ehu.es/joseroyo