MIELES ORTIZ ANGELA

Lógica matemática

Es un enunciado, oración; interpretación lógica.

Definición de proporciones Es una unidad semántica que se la puede determinar cómo falso o verdadero.

Proporciones: pueden ser simples y compuestas

Ejemplo:

- 5 es un número primo

- Joel viene a la Universidad

Las no proporciones

~ ¿Cuál es la edad de Joel?

~ ¡Que buen día!

Definición de valor de verdad El valor de verdad es una proporción en la calidad de veracidad, puede ser

verdadero o falso.

X + 5= 9

2 + 5= 7 F - 0

4 + 5= 9 v – 1

Tabla de verdad La tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que

se podrá tomar de una proporción.

Que es un enunciado Dentro de nuestra lógica natural es una expresión lingüística que nos ayuda a

interpretar un pensamiento completo.

Tipos de enunciados:

° Interrogativo

¿Qué clase de mascota te gusta?

° Interpretativo

¡Cierra la puerta!

MIELES ORTIZ ANGELA

° Declarativo

Mario estudia en la Universidad Técnica “Luis Vargas Torres”

° Exclamativo

¡Auxilio, auxilio, incendio!

Que estudia la lógica 1 Verifica que un argumento sea correcto

2 Argumento que está formado por una premisa o una conclusión

3 Algo que queremos verificar que la conclusión es derivable de las premisas

“Relación de consecuencias” (Es decir relación de consecuencias entre las

premisas y las consecuencias).

Lenguaje formal de las proposiciones

Lenguaje proporcional Lenguaje de enunciados Lenguaje de conectores

Trabaja a los enunciados declarativos simples o atómicos como un todo indivisible.

Conectores

¬, ^, v

P, q, r, s

Lenguaje aedicados Lenguaje de primer orden Lenguaje cuantificacional

Realiza un análisis más detallado de las preposiciones

¬, ^, v

Cuantificadores de sujeto

y predicado

Negación de proposiciones:

¬q Si tengo una proporción - Tengo un billete de $ 5 dólares.

La negación es que no tengo un billete de $ 5 dólares.

P es V q

¬p negación ¬q

No quiero hacer el viaje

Quiero hacer el viaje negación

Conjunción

Sea A y B proposiciones, la conjunción entre A y B representada

simbólicamente por A ^ B, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está

dado por la siguiente tabla de verdad.

MIELES ORTIZ ANGELA

A(2)2

Proposición

A – p: Tengo buenas notas

B – q: Gano una beca

^i - pero

Tengo buenas notas i gano la beca

Proposición

A: Trabajo mucho

B: Recibo un sueldo

Trabajo mucho pero recibo un sueldo

A: Soy un estudiante

B: Universitario

Soy estudiante pero Universitario

Disyunción Sea A y B proposiciones, la disyunción A y B representada simbólicamente A v

Bes una nueva proposición, cuyo valor esta verdadero es dado por la siguiente

tabla de verdad:

Se la lee como o

A B A v B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Disyunción de proposiciones

A: Tengo un libro de trigonometría

B: Tengo un libro de algebra

Tengo un libro de trigonometría o un algebra

0 1 0 1

A B A ^B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

MIELES ORTIZ ANGELA

Disyunción exclusiva Sea A y B proposiciones, la disyunción exclusiva representada simbólicamente

por;

A v B, es una nueva proposición dada por la siguiente tabla de verdad.,

Se la representa como “o” - o solo - o solamente

Ejemplo:

A: Estoy en Quito

B: Estoy en Guayaquil

Estoy en Quito o en Guayaquil

A: Estoy en casa

B: Estoy en la Universidad

Estoy en casa o en la Universidad

Disyunción condicional Sea A y B proposiciones, la condicional entre A y B representada simbólicamente

A Bcuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla:

A B A B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

La proposición resultante sea falsa solamente, cuando el valor de verdad de

antecedente sea verdadero y el valor de verdad del cociente sea falso.

Se representa solo si

A B A v B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

MIELES ORTIZ ANGELA

Ejemplo:

Si se tiene las proposiciones A y B

A:Joel gana el concurso

B:Jose dona $ 10.000 dólares

~ Jowell dona $ 10.000 dólares solo si gana el concurso

~ Si Josue gana el concurso entonces dona los $ 10.000 dólares

~ Johan dona los $ 10.000 dólares puesto si gana el concurso

~ Juan dona los $ 10.000 dólares debido a que gana el concurso

~ Julio dona los $ 10.000 dólares siempre que gane el concurso

~ Cuando gane el concurso dona los $ 10.000 dólares Joel

~ Junior dona los $ 10.000 porque gano el concurso

(Si A entonces B) (A solo si B) (A solamente si B)

(B si A) (si A - B) (B con la condición de que A)

(B porque A) (los A son B)

(A entonces B)

A B

B A

Variaciones de la condicional a) Si es un automóvil entonces es un medio de transporte

Si es un medio de transporte entonces es un automóvil

a) Si Jowel estudia

b) Aprueba la materia de matemática

Si Jose aprueba la materia entonces estudio

12 ÷6= 2

6 ÷6= 1

6 ÷3=2

Si un número es divisible para 6 entonces es divisible para 3

Si un número es divisible para 3 entonces es divisible para 6

Si un número no es divisible para 6 entonces no es divisible para 3

Reciproca A B

¬A¬B

Contrarecíproca A B

¬B¬B

MIELES ORTIZ ANGELA

Un hacendado tiene un cierto número de reses de tal forma que si las agrupa de 2

en 2, le sobra 1, si las agrupa de 3 en 3 le sobra 1, pero si las agrupa de 4 en 4 no

le sobra.

¿Entonces podría indicar usted el número de reses que tiene el hacendado?

2 2̟= (- 1) 5

3 3̟= (- 3) 7 Entero positivo

4 4̟= (0) 8

Esta mal el problema

Condición necesaria y suficiente Si n es divisible para 16, m es divisible para 2

Parafraseando

M es divisible para 16 es condición suficiente para n sea divisible para 2

Identificaciones de condiciones necesarias y suficiente Si consideramos que la siguiente proposición es verdadera, podemos afirmar que

la condición es suficiente y necesaria al mismo tiempo.

Bicondicional

Sea A y B proposiciones, la bicondicional A y B representada simbólicamente

A B es una nueva proposición.

A B A B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La proposición A será verdadera cuando los valores de verdad de ambas sean

verdaderas.

Solo si y solo si A solo si B si A entonces B

Si A solamente B A implica B A si solamente B

A si solamente si B A cuando y solo cuando B

MIELES ORTIZ ANGELA

Tabla de verdad de una forma proporcional Dada la siguiente forma proporcional:

A [(p ^ q) (r v ¬q)] ^r debido a la presencia de las 3 variables proporcionales

p, q, r existieron 8 filas.

P – q 22 =2×2×=4

P – q – r 23=2×2×2=8

P – q – r – s 24=4×4×4=16

P – q – r –s –t 25=8×8×8=32

Tabla

p q r p ^ q ¬p r v ¬p [(p ^ q)(r v¬q)] A

0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Definición de tautología, contradicción, contingencia: Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de

verdad de las variables proporcionales, se dice que es una tautología.

Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad

de las variables proporcionales, se dice que es una contradicción.

Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los

valores de verdad de las variables proporcionales, se dice que es una

contingencia.

Clase 4 – 14 Junio/2013

Propiedades de los operadores lógicos

Objetivos 1. Emplear propiedades de los operadores para modificar estructuras lógicas. 2. Dada una propiedad de los operadores lógicos, demostrarla empleando

tabla de verdad y otras propiedades.

MIELES ORTIZ ANGELA

Conjunción Disyunción

(p ^ q) = (q ^ p) Conmutativa (p v q) = (q v p) [(p ^ q) ^r] = [p ^ (q ^r)] (p ^ p) = p (p ^ 1) = p (p ^ 0) = p

Asociativa Idepotencia Identidad Absorción

[(p v q) v r] = [p v (q v r )] (p v p) = p (p v 0) = p (p v 1) = 1

Aplicación de propiedades de los operadores lógicos Considere las siguientes proposiciones simples:

A:El clima es propicio

B:La tierra es fértil

C: La flor crecerá

Se quiere negar la proposición completa

Solución:

(A ^ B) C

Negación

¬ [(A ^ B) ] =

1. Ley de implicación

¬ [¬(A ^ B) C]

2. Ley de Morgan

¬[¬(A ^ B)] ^ ¬ C

3. Ley de la doble negación

(A ^ B) ^ ¬A

4. Ley conmutativa de la conjunción

B ^ ¬ C ^ A

Por lo tanto, la negación de la proposición podrá expresarse con las siguientes

frases equivalentes.

A:El clima es propicio

B: Y la tierra es fértil pero la flor no crecerá

MIELES ORTIZ ANGELA

Leyes de los operadores Negación, Condicional y

Bicondicional

¬0 = 1 ¬1 =0

Negación

¬(¬p) = p

Doble negación o Involutiva

P v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r) P ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)

Distributivas

¬ (p ^ q) = (¬p v ¬q) ¬ (p v q) = (¬p ^ ¬q)

De Morgan

(p v ¬p) = 1

Tercero excluido

(p ^ ¬p) = 0

Contradicción

(p q) = (¬q ¬p)

Contrapositiva o Contrareciproca

(p q) = (¬p v q) (¬p q) = (p v q) ¬ (p ¬q) = (p ^ q)

Implicación

[(p r) ^ (q r)] = [(p v q) r]

[(p q) ^ (p r)] = [p (q ^ r)]

[(p ^ q) r] = [p (q r)]

Exportación

(p q) = [(p ^ ¬p) 0]

Reducción al absurdo

(p q) = [(p q) ^ (q p)] (p q) = (q p)

Equivalencia

MIELES ORTIZ ANGELA

Conjunto Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una

característica o propiedad común bien definida.

Se representa:

Letras del alfabeto

A = {a, b, c, d}

A= a, b

c, d

Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x -- A. Para decir que x no está en A, escribiremos x – A.

Conjunto vacío Ejemplo: A= {x/x es un numero par e impar a la vez} Vacío 0 0

Conjunto referencial o universo A = Alumnos del A = 28 Paralelo P: 8

Cuantificadores Expresión indistinta o abierta

5 3̟ = 8 ecuación

2 < 6 = inecuación

Cuantificador universal Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada” y se simboliza como la V

Cuantificador existencial Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno” se lo simboliza como

MIELES ORTIZ ANGELA

Ejemplo: V x. Todo numero x se cumple que 2x+3x = 5x x. Existe al menos un numero x, para el cual 2x + 2 =4

Subconjunto: El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenidos en B. simbólicamente se representa por: (A C B) Vx [(x € A) (x € B)] Si A es subconjunto de B (A C B) pero B no es subconjunto de A (B C A), se dice que A es subconjunto propio de B, lo cual se representa: (A C B) [(A C B) ^¬ (A =B)]

Conjunto potencia Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A: el símbolo que se utiliza para este conjunto es: P(A) = {B/B C A} 2N 22 = 4 2 × 2 = 4 Ejemplo: Si A = {*, +. A}, entonces P(A) = [0, (*), (+), (a), (*, +), (*, a), (+, a), (+, a) A] = {*, +} C A {*, +} € P (A) 0 € P (A)

Igualdad entre conjuntos Dado conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente, simbólicamente se representa: (A = B) [(A C B) ^ (B C A)]

Conjuntos de disjuntos e intersecantes Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son intersecantes si y solo si A y B tienen al menos un elemento común.

Ejemplo: A = {1, 2, 3, 7; 4} B = {7, 8, 9, 10} V Re A B

MIELES ORTIZ ANGELA

Unión entre conjunto La unión entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B = {x/(x € A) v (x € B)} Re A B

Intersección entre conjuntos La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se detona por A B y se define como: A B = {x/(x € A) ^ (x € B)} Re A B 2, 4 8 10, 12 6 14

Diferencia entre conjuntos La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A – B = {x/(x € A) ^¬(x € B)}

Complementación de conjunto La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por Ac y se define como: Ac = {x/(x € Re) ^¬ (x € A)} Ejemplo: A1

Ac = 1, 2, 3, 4, 5, A = 1, 2, 3, 4 Ac = 5, 6, 7, 8, 9, 10 Re = Números del 1 al 10

MIELES ORTIZ ANGELA

Leyes de las operaciones fundamentales Unión e Intersección

Unión Intersección

A B = B A Conmutativa A B = B A

(A B) C = A (B C) Asociativa (A B) C = A (B C)

A A = A Idempotencia A A = A

A O = A Identidad A Re = A

A Re = Re Absorción A O = O

Oc= Re (Re)c = O

Complementación Doble complementación o Involutiva

(Ac)c = A Doble complementación o Involutiva

A (B C ) = (A B) (A C) A (B C ) = (A B) (A C)

Distributivas

(A B)C = AC BC

(A B)C = AC BC

De Morgan

A AC = Re

A AC = O

Operaciones entre conjuntos Re D F 250 250 350 600 500

- 250 -250 150 350 250

MIELES ORTIZ ANGELA

Producto cartesiano Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos como: A x B.

A x B = {(x, y)/(x ∈A)∧(y ∈B)}

La representación gráfica de A x B constituye el plano cartesiano, en el cualtanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B.

x∈A

y∈B (x, y) ∈A x B

Ejemplo A = {m, n} B = {1, 2, 3}

C = {⊕, ♣} A x B x C = {(m,1,⊕), (m,1,♣), (m,2,⊕), (m,2,♣), (m,3,⊕), (m,3,♣),

(n,1,⊕), (n,1,♣), (n,2,⊕), (n,2,♣), (n,3,⊕), (n,3,♣)}

En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B x C) = 12.

Cardinalidad del Producto Cartesiano Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 2, N(B) = 3, N(C) = 4 y

N(B∩C) = 2, determine N [A x (B∪C)].

Solución: En base a la definición de N(A x B), tenemos que:

N [A x (B∪C)] = N(A) N(B∪C)

Por otra parte:

N (B∪C) = N (B) + N(C) − N (B∩C) = 3 + 4 − 2 = 5

Luego:

N [A x (B∪C)] = (2) (5) =10

MIELES ORTIZ ANGELA

Propiedades del producto Cartesiano (Relación)

Relación Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al conjunto B, de llegada. Simbólicamente, la relación se representa por R y se cumple que:

R ⊆A x B Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relación. La cantidad máxima de relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntos no vacíos A y B es: 2N(A)N(B).

Dominio de una Relación Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: domR.

Rango de una Relación)

Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Se representa simbólicamente por: rgR.

Ejemplo: Dominio y rango de una relación

MIELES ORTIZ ANGELA

Representación sagital de una Relación

Función

Una relación de A en B es una función si y sólo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente, esta definición se representa por:

En la expresión y = f(x):

• xse conoce como la variable independiente. • yse conoce como la variable dependiente.

Ejemplo: