PARALELOGRAMO: ABCD es un cuadrado c # # # A B C D AB BC ... · CRITERIOS DE PARALELOGRAMO TEOREMA:...

UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos

lados opuestos son paralelos.

RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus

cuatro ángulos interiores congruentes.

ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro

lados congruentes.

CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus

cuatro ángulos interiores congruentes y sus

cuatro lados congruentes, es decir, es

rectángulo y rombo a la vez.

TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con

un par de lados paralelos y el otro par no

paralelos.

TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio

cuyos lados no paralelos son congruentes.

TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio

con algún ángulo recto.

TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no

tiene lados paralelos.

ABCD es un trapecio

AB ll DC AD ll

c

BC

D

A B

lls s

C

ABCD es un cuadrado

A B C D

AB BC CD DA

c

C D

B A

ABCD es un rectángulo

A B C D

c

C

B A

D

ABCD es un rombo

AB BC CD DA

cB

A

C

D

D

A

C

B s

s

ABCD es un paralelogramo

AB DC AD BC

c

P P

ABCD es un trapecio rectángulo

ABCD es un trapecio A 90º

c

D

A B

C

D

A B

C ABCD es un trapecio isósceles

ABCD es un trapecio AD BC

c

Unidad cinco cuadriláteros, Página 1 de 38

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen

las siguientes propiedades:

1. Los lados opuestos son respectivamente

paralelos.


congruentes.

3. Los ángulos opuestos son respectivamente

congruentes.

4. Las diagonales se cortan en su punto

medio.

Dm: Tomemos un paralelogramo ABCD, con

AB DC y AD BCP P .

1. Trazamos DB , luego ABDCDB por:

A: ABDCDB, (sAlt.Int. AB DCP ),

L: BD=DB, (común),

A: ADBCBD, (sAlt.Int. AD BCP ).

Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).

2. Como A+B=180, (sCol.Int.AD BCP ) y

B+C=180, (sCol.Int. AB DCP )

entonces A=180–B=C. Similarmente

se prueba que B=D.

3. Sea O el punto de corte de AC y DB , luego

OABOCD por:

A: OABOCD, sAlt.Int. AB DCP ,

L: AB=CD, por (1),

A: OBAODC, Alt.Int. AB DCP .

Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).

CRITERIOS DE PARALELOGRAMO

TEOREMA: Un cuadrilátero convexo es un

paralelogramo sii cumple cualquiera de las

siguientes propiedades:

1. Los lados opuestos son paralelos.


congruentes.

3. Un par de lados opuestos son paralelos y

congruentes.

4. Los ángulos opuestos son respectivamente

congruentes.

5. Las diagonales se cortan en su punto

medio.

Dm: (Ejercicio)

PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS

TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las


1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.

2. El rectángulo es paralelogramo.

3. Las diagonales son congruentes.

Dm: Sea ABCD un rectángulo:

1. A=B=C=D, por definición y

A+B+C+D=360, por ser convexo,

entonces A=B=C=D=90.

2. Como los ángulos opuestos son

respectivamente congruentes entonces es

un paralelogramo.

3. Por (2) es paralelogramo, luego

AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además

en el triángulo rectángulo ABD, AO es la

mediana relativa a la hipotenusa DB ,

ABCD es un trapezoide

AB ll

c

DC AD ll BC

D

A

B

C

D

A

C

B


entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se

obtiene DB=AC.

CRITERIOS DE RECTÁNGULO


rectángulo sii cumple cualquiera de las


1. Tiene tres ángulos rectos.

2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.

3. Las diagonales son congruentes y se cortan

en su punto medio.

Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

3. Si AC=BD y se cortan en su punto medio

O entonces es paralelogramo y además en

el DAB resulta la mediana AO=DB/2,

luego el ángulo A es recto. En definitiva,

por (2), ABCD es un rectángulo.

PROPIEDADES DEL ROMBO

TEOREMA: En todo rombo se cumplen las


1. Los cuatro lados son congruentes.

2. Es paralelogramo.

3. Las diagonales son perpendiculares.

4. Cada diagonal es bisectriz.

Dm: (Ejercicio)

CRITERIOS DE ROMBO


rombo sii cumple cualquiera de las siguientes

propiedades:

1. Los cuatro lados son congruentes.

2. Es un paralelogramo con dos lados

consecutivos congruentes.

3. Las diagonales son perpendiculares y se

cortan en su punto medio.

4. Cada diagonal es bisectriz.

Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

4. Supongamos que las diagonales AC y BD

son bisectrices de los ángulos, entonces

ABDCBD (ALA), luego AB=CB y AD=CD

(LsHs). En el ABC, se tiene

A/2+B+C/2=180 y en el ADC se

tiene A/2+D+C/2=180, luego B=D

y por lo tanto el ABD resulta isósceles

con AB=AD. En definitiva AB=BC=CD=DA,

es decir ABCD es un rombo.

PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS

TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo,

rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas

las propiedades de éstos.

Dm: (Ejercicio)

CRITERIOS DE CUADRADO


cuadrado sii cumple cualquiera de las siguientes

propiedades:

1. Es rectángulo y rombo.

2. Es un rectángulo con dos lados

consecutivos congruentes.

3. Es un rombo con un ángulo recto.

4. Las diagonales son perpendiculares,

congruentes y se cortan en su punto medio.

Dm: (Ejercicio)


A B

M P N

C

A B

E F

C

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

TEOREMA: En todo trapecio los lados

paralelos son desiguales.

Dm: En efecto, si los lados paralelos fuesen

congruentes se obtendría un

paralelogramo y entonces el otro par de

lados serían paralelos.

En un trapecio, los lados paralelos se llaman

BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento

que une los puntos medios de los lados no

paralelos se llama la BASE MEDIA; la

distancia entre las bases es la ALTURA.

TEOREMA: En todo trapecio, los ángulos

adyacentes a cada uno de los lados no paralelos

son suplementarios.

Dm: (Ejercicio)

TEOREMA: La base media del trapecio es

paralela a las bases y es congruente con la

semisuma de las bases mayor y menor, es decir:

Base mayor Base menor

Base media2

Dm: Sea ABCD un trapecio con ABllDC y

ADllBC (no paralelos).

Tracemos DB , MP

y PN con M, P y N

los puntos medios

de DA, DB y CB .

En el DAB,

MP AB y MP AB/2P (base media) y en el

BCD, PN DC y PN DC/2P (base media),

luego por el Postulado de Euclides las rectas

MP y PNsuur sur

coinciden y resulta AB MN DCP P y

MN=(AB+DC)/2.

TEOREMA: El segmento que une los puntos

medios de las diagonales de un trapecio está

contenido en la base media y es congruente con

la semidiferencia entre las bases mayor y

menor.

Dm: (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES

TEOREMA: En todo trapecio isósceles se

cumplen las siguientes propiedades:

1. Los lados no paralelos son congruentes.

2. Los ángulos adyacentes a cada una de sus

bases son congruentes.

3. Los ángulos opuestos son suplementarios.


5. Las mediatrices de las bases coinciden, y

las mediatrices de los cuatro lados

concurren.

Dm: Sea ABCD un trapecio isósceles con

AB DCP y AD ║BC (no paralelos) y

AD=BC.

1. Tracemos las alturas DE y CF , entonces

DE=CF (AB DCP ) y por RHC,

AEDBFC, luego A=B (sHs).

Además A+D=180 y B+C=180,

entonces D=C.

4. Tracemos las diagonales AC y BD ,

entonces ABCBAD por

L: BC = AD, (hipótesis)

A: B = A, (por 1)

L: AB=BA, (común)

Luego AC BD .


A B

E F

C

CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES

TEOREMA: Un trapecio es isósceles sii cumple

cualquiera de las siguientes propiedades:

1. Los lados no paralelos son congruentes.

2. Los ángulos adyacentes a una de las bases

son congruentes.

3. Un par de ángulos opuestos son

suplementarios.


5. Las mediatrices de las bases coinciden.

Dm:

2. Sea ABCD un trapecio tal que ABllDC y

ADllBC con A=B.

Tracemos las alturas DE y CF , entonces

DE=CF (AB DCP ) y por el teorema RCAop,

AEDBFC, luego AD=BC (LsHs) y el

trapecio es isósceles.

5. Supongamos que MNsuur

es la mediatriz de

AB y CD , con M y N puntos medios de

AB y CD respectivamente. Si trazamos

las alturas DE y CF , resultan los

rectángulos DEMN y NMFC (3s rectos) y

entonces EM=MF y por lo tanto AE=BF.

Ahora, por RCC AEDBFC, luego AD=BC

y el trapecio es isósceles.

CONSTRUCCIONES

1. Construir un paralelogramo si se conocen:

a. Sus lados y uno de los ángulos que

ellos forman.

b. Sus lados y una de sus diagonales.

c. Sus diagonales y uno de los ángulos

que ellas forman.

d. Sus diagonales y uno de sus lados.

2. Construir un rectángulo si se conocen:

a. Un lado y su diagonal.

b. Sus diagonales y uno de los ángulos

que ellas forman.

3. Construir un rombo si se conocen:

a. Su lado y una sus diagonales.

b. Sus diagonales.

4. Construir un cuadrado si se conoce su

diagonal.

5. Construir un trapecio si se conocen:

a. Sus bases, su altura y una de sus

diagonales.

b. Sus lados no paralelos, su altura y una

de sus diagonales.

6. Construir un trapecio isósceles, si se

conocen

a. Sus bases y su altura.

b. Uno de sus ángulos, su altura y su

diagonal.

c. Su altura, su lado no paralelo y su

diagonal.


CRUCIGRAMA CUADRILÁTEROS

(Elaboró: Carlos Alberto Ríos Villa)

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10 11

12 13 14

15 16

17

18

19

20

21 22

23

24

25 26

27

28

29 30

31

32


HORIZONTALES

1 360º 3 UNA DE LAS PROPIEDAD DE LOS ANGULOS EN UN PARALELOGRAMO. 5 EN TODOS LOS PARALELOGRAMOS PASA LO MISMO CON SUS DIAGONALES,

AUNQUE ELLAS NO SEAN IGUALES 6 ASÍ SON LAS DIAGONALES DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL TRAPECIO ISO. 7 LADOS PARALELOS DE UN TRAPECIO 8 DEFINICIÓN DE PARALELOGRAMO. ES UN CUADRILÁTERO CON ..... 9 CUADRILÁTERO CON UN PAR DE LADOS PARALELOS Y LOS OTROS DOS NO

PARALELOS 10 POR ESTA RAZÓN LOS ANGULOS CONSECUTIVOS EN UN PARALELOGRAMO O

LOS ADYACENTES A LOS LADOS DE UN TRAPECIO SON SUPLEMENTARIOS 12 SEMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS NO PARALELOS EN

UN TRAPECIO 13 TODO POLÍGONO DE CUATRO LADOS 14 SON LAS CARACTERISTICAS QUE SIEMPRE SE CUMPLEN, EN ESTE CASO EN

LOS CUADRILÁTEROS. 15 CUADRILÁTERO DOS PARES DE LADOS COSECUTIVOS IGUALES 16 SI EN UN PARALELOGRAMO SON IGUALES, ENTONCES ÉSTE SERÁ UN

RECTÁNGULO 17 ESTE CUADRILATERO ES PARALELOGRAMO, ROMBO Y RECTANGULO A LA VEZ 18 CRITERIO DE ROMBO 19 ASÍ SON LOS LADOS OPUESTOS DE LOS PARALELOGRAMOS Y LOS NO

PARALELOS DE UN TRAPECIO ISO. 20 ESTE TRAPECIO TIENE AL MENOS UN ÁNGULOS RECTO 21 SI UN CUADRILATERO CONVEXO ES AL MISMO TIEMPO ESTOS OTROS DOS,

ENTONCES POREMOS CONCLUIR QUE ES UN CUADRADO. 24 SUMA DE LOA ANGULOS INTERIORES DE CUALQUIER CUADRILATERO 25 SI SABEMOS ESTO ACERCA DE UN CUADRILÁTERO CONVEXO PODEMOS

CONCLUIR QUE ES UN RECTÁNGULO 26 ESTE CUADRILÁTERO ENTRE OTRAS PROPIEDADES TIENE UN PAR DE LADOS

PARALELOS, LOS ÁNGULOS DE LA BASE IGUALES, LAS DIAGONALES IGUALES

Y SUS MEDIATRICES CONCURREN 27 ASÍ SON LOS LADOS NO PARALELOS DEL TRAPECIO ISOSCÉLES 28 EN EL TRAPECIO ESTAS RECTAS CONCURREN EN UN PUNTO 29 EN ALGUNOS CUADRILATEROS ESTOS SEGMENTOS PARECEN GEMELOS, POR

EJEMPLO EN EL RECTÁNGULO Y EN EL TRAPECIO ISO 31 NOMBRE DADO A UN PARALELOGRAMO CON LADOS CONSECUTIVOS

DIFERENTES 32 ESTE CUADRILÁTERO NO TIENE LADOS PARALELOS

VERTICALES

2 EN TODO PARALELOGRAMO LOS CONSECUTIVOS LO SON, PERO TAMBIEN LOS OPUESTOS EN UN TRAPECIO ISO. Y LOS ADYACENTES A LOS LADOS NO PARALOS DE TODO TRAPECIO

4 EN EL TRAPECIO ISÓSCELES ESTOS SON IGUALES 11 SI ESTA PROPIEDAD SE CUMPLE EN UN CUADRILÁTERO

CONVEXO, ENTONCES SE PUEDE CONCLUIR QUE DICHO CUADRILÁTERO ES UN ROMBO.

13 SIRVEN PARA CONCLUIR QUE CLASE DE CUADRILATERO SE TIENE SI SE CONOCEN CIERTAS PROPIEDADES

22 CUADRILÁTERO EQUILÁTERO 23 ËSTE CUADRILÁTERO TIENE LADOS OPUESTOS PARALELOS 30 EL TEOREMA DE LA BASE MEDIA PERO CON HIPOTESIS Y

LA TESIS INVERTIDAS, ESCRITO SIMPLIFICADAMENTE


UNIDAD 5

CUADRILATEROS

Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener

presente la diferencia entre propiedades de los cuadriláteros y los criterios para

determinar la clase de cuadrilátero, identificar correctamente los datos en los enunciados

de tal forma que puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la

solución de los ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:

1. propiedades fundamentales de cada tipo de cuadrilátero

- paralelogramo

- rectángulo

- rombo

- cuadrado

- trapecio

- trapecio isósceles

- trapecio recto

2. Criterio para determinar cuándo un cuadriláteros es

- paralelogramo

- rectángulo

- rombo

- cuadrado

- trapecio

- trapecio isósceles

- trapecio recto

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.


1. En un ABC se prolongan Hasta M y N tal que y Se traza

probar que M B y que N

GRAFICA 49

1.

2.

3.

4.

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 y ACB

2. En un se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en “O” .Demostrar que

OAB

GRAFICA 50

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )


3. Sobre los lados de un XOY dado, se toman los puntos A sobre

( )y se construye

El gr OACB ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del

GRAFICA 51

:

1.

2. ( )

por lo tanto

entonces

asi EOD es un

– n

4. Probar que en un isosceles la diferencia de las distancias desde un punto p sobre

la prolongación de la base a los lados iguales es constante. usa esta propiedad para

hallar el L.G de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos rectas

secantes dadas sea igual a una medida constante dada


GRAFICA 52

AFIRMACION RAZON

1 s

2 CG

3

4

5

6

7

8

9 ( )

10

11 ( ) ( )

12

5. Demostrar que La mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la

semidiferencia de los lados trazados desde el mismo vértice.

GRAFICA 53

| |

AFIRMACION RAZON

1

2 | |

3


6. En un cuadrado ABCD se unen los puntos M,N,P,Q puntos medios de los lados

consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.

GRAFICA 54

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

7. Dado un recto en A, sobre los lados AB y AC se construyen los cuadrados ABDE y

ACFG luego se trazan Y s a BC probar que:

a. DD +FF'= BC

b. D-A-F

c. DE y FG concurre en la prolongación de la altura AH

GRAFICA 55

1.

3.

4.

a.

b.

c.


AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9 ( )

10

11 ( ) ( )

12

13 ( )

14

15

( ) ( )

16 ( )

17

18 ( )

19

20 ( )

21 ( )

8. Demostrar que si dos s son cortadas por una transversal las bisectrices de los ángulos

interiores forman un rectángulo.

GRAFICA 56


AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 o ( ) ( )

9. Demostrar que las bisectrices de un gr forman un rectángulo

GRAFICA 57

1.

2.

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6 de ( ) ( )

10. Dado un rombo ABCD desde los vértices B y D se trazan las s BM,BN,DP y DQ a los

lados opuestos que se cortan en E y F demostrar que BFDF es un rombo y que sus s

son iguales a los de ABCD.

GRAFICA 58

1.

2. DP

1.

2.


Para realizar este ejercicio hay muchas variaciones, podemos aprovechar el teorema AAL

para demostrar que los triángulos BMA, ∆DPA,∆DQC,∆BNC son congruentes lo que nos

llevaría a demostrar la congruencia entre los segmentos DM,PB,QB Y ND para permitirnos

llegar a que los triángulos DME, ∆BPE,∆DNF Y ∆BQF también son congruentes

nuevamente por AAL y por lo tanto DEBF es Rombo.

Realízalo utilizando afirmación – razón y demuestra la segunda parte.

11. En un ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados , y . se

traza la altura y los segmentos , y . Demostrar que MNPH es un

trapecio isósceles.

GRAFICA 59

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

4

5 ( ) ( )

6

7 ( ) ( ) ( )

12. Por el punto medio M del lado de un ABC, se traza una recta cualquiera que

corta a en N. Se toma P tal que P–M–N con PM=MN. Demostrar que .

GRAFICA 60

1.

2.

AB AC BC

AH MN NP MH

AB XY

AC PB AC


AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5

6

13. En un ABC se traza la mediana relativa al lado . Se traza la recta con E punto

medio de y F sobre . Probar que AF=AC/3.

GRAFICA 61

:

1.

2.

3.

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

4 ( ) ( )

5 ( )

14. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y

respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales

GRAFICA 62

AD BC BEF

AD AC

AD BC

AC


AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( ) ( )

4 ( )

5

6

7 ( ) ( )

15. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se trazan las diagonales y , las bisectrices de los

ángulos DAB y DBA que se cortan en F y las bisectrices de los ángulos CBA y CAB que se cortan

en G. Demostrar que ABFG // .

GRAFICA 63

1.

2.

3.

4.

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

( )

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8 ( )

AC BD


16. Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta que se corten en E. Se unen los

puntos medios M y N de y , y los puntos medios P y Q de las diagonales y .

Demostrar que MNPQ es un trapecio.

GRAFICA 64

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7 ( ) ( ) s

8 ( ) ( )

AE BE AC BD


EJERCICIOS UNIDAD 5- CUADRILÁTEROS

1. En un paralelogramo ABCD se prolongan en BE=BC y en DF=DC.

a. Probar que DCF=BCE.

b. Demostrar que los puntos F, C y E están alineados.

Grafica 56

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones

determina la razón de cada

paso.

AFIRMACION RAZON

01 DF DC

02 Δ FDC isósceles

03 ∢DFC ∢FCD

04 ∢FDC ∢DAB ∢CBE

05 ∢FDC+2∢DCF ∢CBE+2∢BCE

06 ⇒ ∢DCF ∢BCE

07 ∢FDC DCB

08 ∢FDC+2∢DCF 180°

∢FDC+∢DCF+DCF 180°

09 ∢BCE+∢DCF+∢BCE 180°

∢FCE 180°

10 F-C-E colineales

AB AD


2.En un paralelogramo, el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos tiene

por punto medio al punto de corte de las diagonales.

Grafica 57


enunciado del problema

determina la hipótesis y la

tesis



paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB=DC

02

AB

DC AN NB=DM=DC

03 ∢MIC ∢NIA

04 ΔMIC ΔNIA

05 IC IA

IM IN

06 I punto medio de AC

07 DB AC {I}

08 I punto medio de MN


3.Probar que en un triángulo isósceles la suma de las distancias desde un punto P de la

base a los lados iguales es constante. Usar esta propiedad para hallar el lugar geométrico

de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos rectas secantes dadas, sea igual a

una medida constante dada.

Grafica 56


enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis

2. Dada la siguiente explicación al

problema organizarla de tal forma

que se determine claramente la

afirmación y su correspondiente

razón.

01 Podemos construir el rombo ACBC’ hallando el punto C’ simétrico a C sobre AB

02 Trazamos QR’⊥AC y que pasa por P tal que A-P-B

03 QR’ también cumple QR’⊥C’B por ser ACBC’ rombo AC ∥ BC’

04 Desde P trazamos PR⊥CB donde ∢RBP ∢PBR’ y PB lado común, por lo tanto ΔPRB ΔPR’B ⇒ PR PR’

05 Desde B trazamos la altura BD⇒ QR’∥BD

06 QD∥R’B ya que AC∥B’C y por ⇒ QDBR’ es paralelogramo

07 DB QR QP + PR ⇒ de ⑥ y suma de segmentos

08 DB QP+PR ⇒ PR’ PR

09 K QP+PR ⇒la longitud de la altura es constante


4.Se considera un paralelogramo ABCD tal que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto

medio M de Demostrar que el AMB es recto.

Grafica 57




tesis



paso.

AFIRMACION RAZON

01 DM=MC=

DC

02 CD 2AD ⇒ AD

DC

03 DM=MC=AD=BC

04 ΔADM ΔBCM isósceles

05 ∢D+∢C 180°

06 ∢DAM ∢DMA

∢CMB ∢CBM

07 ∢D+2∢DMA 180°

08 ∢C+2∢CMB 180°

09 ∢D+∢C+2∢DMA+2∢CMB 360°

180°

10 ∢DAM+∢CMB 90°

11 ∢DMA+CMB+∢AMB 180°

12 ∢AMB 90°

CD


5.En un cuadrado ABCD se prolongan sus lados opuestos en su longitud y en sentidos

opuestos: BM=AB, DN=CD, CP=BC, AQ=DA. Se trazan y . Demostrar que

MN=PQ.

Grafica 58

1. De acuerdo a la gráfica y

al enunciado del problema


tesis



paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB=BN=BC=CP=CD=DN=AD=AQ

02 ∢NDA ∢ADC ∢DCB ∢DCP ∢ABC

∢CBM ∢BAD ∢BAQ YO’

03 ∢P ∢Q

∢M ∢N

04 Tracemos los segmentos MC , AN

05 ΔABQ ΔBCM ΔCDP ΔDAN

06 BQ CM DP AN

∢BCM CDP

07 ΔMCN ΔPDQ →LAL

→DP MC , ∢MCN ∢PDQ, CN DQ

08 MN PQ

MN PQ


6.En un cuadrado ABCD se toman M sobre y N sobre con AM=DN. Demostrar

que .

Grafica 58




tesis


determina la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB=AD

02 ∢BAM ∢ADN 90°

03 AM=DN

04 ΔBAM ΔADN

05 θ= β

06 + β 90°

θ + 90°

07 + θ + β 180°

08 + + β 180°

90°

09 90°

10 AN ⊥ BM

AD DC

AN BM


7.Sobre los lados , , y de un cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’, C’ y

D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la cuarta parte del lado del cuadrado y se unen dichos

puntos. Demostrar que A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos cuadrados tienen el mismo

punto de concurso de las diagonales.

Grafica 59

1. 1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina

la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 A B C D

02 AA’ BB CC’ DD’

03 AB=BC=CD=DA

04 A’B B’C C’D D’A

05 ΔAA D ΔBB A ΔCC B ΔDD’C’

06 1 2 3 4 6 8 9

07 1 + 6 2 + 3 + 8 4 +9=90°

08 6 + β + 2 + θ + 3

8 + + 4 9 + + 1 180°

09 β θ 90°

10 A’B’ B’C’ C’D’ D’A’

11 A’B’C’D’ cuadrado

AB BC CD DA


8.Sobre los lados de un cuadrado y hacia el exterior se construyen cuatro triángulos

equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA. Probar que E, F, G y H son los vértices de un cuadrado.

Grafica 60


enunciado del problema determina




AFIRMACION RAZON

01 AB=BC=CD=AD=DG=AH=BF=CF=CG=DG=HD=AE

02 β θ 120°

03 ΔBEF ΔCFG ΔDGH ΔAEH

04 EF FG GH HE

05 ΔBEF,CFG,DGH,AEH isosceles

06 ∢HEF ∢EFG ∢FGH ∢GHE=90°

07 HEFG cuadrado


9.En un rombo ABCD se traza y . Demostrar que BMDN es un

rectángulo.

Grafica 61



determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina


AFIRMACION RAZON

01 A C, AB DC , AD BC

02 ∢BMA ∢DNC

03 ΔBMA ΔNDC

04 BM ND , AM NC

05 AD AM BC NC ⇒

MD BN

06 BMDN paralelogramo

07 ∢BMD ∢DNB 90°

08 BMDN rectángulo

BM AD DN BC


10.Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio

isósceles el cuadrilátero que se forma es un rombo.

Grafica 62

1. De acuerdo a la gráfica

y al enunciado del problema


tesis


determina la razón de

cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 MNPQ paralelogramo

02 DM=MA=CP=PB=

AD=

BC

03 DQ=QC

04 Δ MQD ΔPCQ

05 MQ QP

06 MNPQ rombo


11.Por el punto medio M del lado de un ABC se traza la perpendicular a dicho

lado. Demostrar que si N es el punto medio del lado entonces el ABC es rectángulo.

Grafica 63




tesis.



AFIRMACION RAZON

01 AM=MB

02 BN=NC

03 ∢AMN ∢BMN 90°

04 MN base media

05 MN AC

06 ∢CAB ∢NMB 90°

07 ΔABC recto en A

AB MN

BC


12.En un ABC, se trazan las medianas y , por N se traza una paralela a y

por C una paralela a ; estas dos paralelas se cortan en P. Sea D el punto medio de ,

demostrar que .

Grafica 64

1. De acuerdo a la

gráfica y al enunciado

del problema

determina la

hipótesis y la tesis.


determina la razón de

cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 PN CB PC BN

02 PNBC paralelogramo

03 PN=BC

04 PD=DN=

PN

CM=MB=

BC

05 PD DN CM MB

06 DN CM

07 DNMC paralelogramo

08 DN MN

AM BN BC

BN PN

CD MN


13.En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y

respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales.

Grafica 65

1. De acuerdo a la gráfica y

al enunciado del problema


tesis



paso.

AFIRMACION RAZON

01 DM=NB=MC=AN=

AB

DC

02 DM NB

03 DMNB paralelogramo

04 DQ MP QN MB

05 PC=QP

06 AQ=QP

07 AQ=QP=PC

08 AC=3AQ=3QP=3PC

CD

AB AC


14.En un ABC cualquiera se traza la bisectriz del A, con B–F–C. Se trazan ABFE //

, y BCED // , con E sobre y D sobre . Probar que AE=BD.

Grafica 66




tesis



paso.

AFIRMACION RAZON

01 ED FB EF DB

02 EDBF paralelogramo

03 EF=DB

04 ∢ EFA ∢FAB

05 ∢EAF ∢FAB

06 ∢EAF ∢EFA

07 ΔEAF isósceles

08 EA=EF

09 EA= DB

AF

AC AB


15.Se considera un trapecio ABCD tal que la base menor sea igual a la suma de los

lados no paralelos y . Probar que las bisectrices de los ángulos A y B concurren

sobre la recta .

Grafica 67

1. De acuerdo a la

gráfica y al enunciado

del problema determina


2. Dada las

afirmaciones determina


AFIRMACION RAZON

01 ∢QAB ∢DQA

02 ∢CPB ∢PBA

03 ∢DAQ ∢QAB

04 ∢CBP ∢PBA

05 ∢DAQ ∢DQA

06 ∢CPB ∢CBP

07 ΔDAQ isósceles

08 ΔPCB isósceles

09 AD=DQ

10 PC=CB

11 DC=DP+PQ+QC

12 DC=(DP+PQ)+(QC+PC)-PQ

13 DC=AD+BC-PQ

14 DC=AD+BC-PQ

15 AD+BC=AD+BC-PQ

16 PQ=0

17 P=Q

CD

AD BC

DC


NOTAS DE GEOMETRÍA C.A.V.A

EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS

1. En un ABC, se prolongan AB y AC

hasta M y N tal que BM=AB, y CN=AC; se

traza MN . Probar que M=B y

N=C.

2. En un paralelogramo ABCD se prolongan

AB en BE=BC y AD en DF=DC.

a. Probar que DCF=BCE.

b. Demostrar que los puntos F, C y E

están alineados.

3. En un paralelogramo ABCD se trazan las

diagonales AC y BD que se cortan en O.

Demostrar que OAB=OCD.

4. En un paralelogramo, el segmento que une

los puntos medios de dos lados opuestos

tiene por punto medio al punto de corte

de las diagonales.

5. Sobre los lados de un XOY dado, se

toman los puntos A sobre OX

y B sobre

OY

tales que OA+OB=k (k longitud dada),

y se construye el paralelogramo OACB.

¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C

del paralelogramo ?.

6. Probar que en un triángulo isósceles la

suma de las distancias desde un punto P

de la base a los lados iguales es

constante. Usar esta propiedad para

hallar el lugar geométrico de los puntos

tales que la suma de sus distancias a dos

rectas secantes dadas, sea igual a una

medida constante dada.

7. Probar que en un triángulo isósceles la

diferencia de las distancias desde un

punto P sobre las prolongaciones de la

base a los dos lados iguales es constante.

Utilizar esta propiedad para hallar el

lugar geométrico de los puntos tales que

la diferencia de sus distancias a dos

rectas secantes dadas, sea igual a una

medida constante dada.

8. Se considera un paralelogramo ABCD tal

que CD= 2AD. Se unen A y B con el punto

medio M de CD . Demostrar que el AMB

es recto.

9. Demostrar que la mediana de un triángulo

está comprendida entre la semisuma y la

semidiferencia de los lados trazados

desde el mismo vértice.

10. En un cuadrado ABCD se prolongan sus

lados opuestos en su longitud y en

sentidos opuestos: BM=AB, DN=CD,

CP=BC, AQ=DA. Se trazan MN y PQ .

Demostrar que MN=PQ.

11. En un cuadrado ABCD se unen los puntos

medios M, N, P y Q de los lados

consecutivos. Probar que el cuadrilátero

obtenido es un cuadrado.

12. En un cuadrado ABCD se toman M sobre

AD y N sobre DC con AM=DN.

Demostrar que AN BM .

13. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto

en A, sobre los lados AB y AC se

construyen los cuadrados ABDE y ACFG.

Luego se trazan DD' y FF'

perpendiculares a BC . Probar que:

a. DD’+FF’=BC

b. D, A y F son colineales

c. Las rectas DE

y FG

concurren sobre

la prolongación de la altura AH .

14. Sobre los lados AB , BC , CD y DA de un

cuadrado ABCD se toman los puntos A’, B’,

C’ y D’ tales que AA’, BB’, CC’ y DD’ sean la

cuarta parte del lado del cuadrado y se

unen dichos puntos. Demostrar que

A’B’C’D’ es un cuadrado y que los dos

cuadrados tienen el mismo punto de

concurso de las diagonales.

EJERCICIOS SOBRE CUADRILÁTEROS

NOTAS DE GEOMETRÍA C.A.V.A

2

15. Demostrar que si dos paralelas son

cortadas por una secante, entonces las

bisectrices de los ángulos interiores

forman un rectángulo.

16. Sobre los lados de un cuadrado y hacia el

exterior se construyen cuatro triángulos

equiláteros AEB, BFC, CGD y DHA.

Probar que E, F, G y H son los vértices de

un cuadrado.

17. Demostrar que las bisectrices de los

ángulos de un paralelogramo forman un

rectángulo. Examinar los casos en los que

el paralelogramo sea rectángulo, rombo.

18. En un rombo ABCD se traza BM AD y

DN BC . Demostrar que BMDN es un

rectángulo.

19. Dado un rombo ABCD, desde los vértices

B y D se trazan las perpendiculares BM ,

BN , DP y DQ a los lados opuestos.

Estas perpendiculares se cortan en E y F.

Demostrar que el cuadrilátero BFDE es un

rombo y que sus ángulos son iguales a los

del rombo ABCD.

20. Probar que si se unen los puntos medios

de los lados consecutivos de un trapecio

isósceles el cuadrilátero que se forma es

un rombo.

21. En un ABC, se toman los puntos medios

M, N y P de los lados AB , AC y BC . se

traza la altura AH y los segmentos MN ,

NP y MH . Demostrar que MNPH es un

trapecio isósceles.

22. Por el punto medio M del lado AB de un

ABC se traza la perpendicular MN a

dicho lado. Demostrar que si N es el

punto medio del lado BC entonces el

ABC es rectángulo.

23. Por el punto medio M del lado AB de un

ABC, se traza una recta XY

cualquiera

que corta a AC en N. Se toma P tal que

P–M–N con PM=MN. Demostrar que

PB AC .

24. En un ABC, se trazan las medianas AM

y BN , por N se traza una paralela a BC

y por C una paralela a BN ; estas dos

paralelas se cortan en P. Sea D el punto

medio de PN , demostrar que CD MN .

25. En un ABC se traza la mediana AD

relativa al lado BC . Se traza la recta

BEF

con E punto medio de AD y F sobre

AC . Probar que AF=AC/3.

26. En un paralelogramo ABCD se unen los

vértices B y D con los puntos medios de

CD y AB respectivamente. Probar que

AC resulta dividida en tres segmentos

iguales.

27. En un paralelogramo ABCD se unen los

vértices B y D con los puntos medios de

AD y BC respectivamente. Probar que

AC resulta dividida en tres segmentos

iguales.

28. En un ABC cualquiera se traza la

bisectriz AF del A, con B–F–C. Se

trazan FE AB , y ED BC , con E sobre

AC y D sobre AB . Probar que AE=BD.

29. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC)

se trazan las diagonales AC y BD , las

bisectrices de los ángulos DAB y DBA que

se cortan en F y las bisectrices de los

ángulos CBA y CAB que se cortan en G.

Demostrar que FG AB .

30. Se considera un trapecio ABCD tal que la

base menor CD sea igual a la suma de los

lados no paralelos AD y BC . Probar que

las bisectrices de los ángulos A y B

concurren sobre la recta DC

.

31. Se prolongan los lados no paralelos de un

trapecio ABCD hasta que se corten en E.

Se unen los puntos medios M y N de AE

y BE y los puntos medios P y Q de las

diagonales AC y BD . Demostrar que

MNPQ es un trapecio.

1

TALLER N°6- CUADRILATEROS

01 Probar que si se une los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilátero

cuyas diagonales son perpendiculares, resulta un rectángulo.

02 En un paralelogramo se unen los vértices y con los puntos medios de

y respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos

iguales.

03 En un paralelogramo se prolongan en y en .

Probar que .

04 Se considera un paralelogramo tal que . Se unen y con el

punto medio de .Demostrar que el es recto.

05 Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo

forman un rectángulo.

06 En un cuadrado se toman sobre y sobre con .

Demostrar que .

07 En un cuadrado se unen los puntos puntos medios de los lados

consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.

08 En un cuadrado y sobre se toma igual a y luego trazamos

perpendicular a con sobre . Demostrar que son iguales o

congruentes.

09 En un rombo se traza y . Demostrar que es un

rectángulo.

10 Probar que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un trapecio

isósceles resulta un rombo.

11 En un trapecio ABCD , de base mayor AB , se trazan las bisectrices de los A y

B que se cortan en un punto F que está sobre DC . Demostrar que

DC AD BC .

12 En un rectángulo ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos y se unen

los puntos medios M y N donde concurren, demuestre que el cuadrilátero AMNB

es un trapecio Isósceles.

13 En un rectángulo ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos y se unen

AD DC

AN BM

BM AD DN BC

2

los puntos medios M y N donde concurren, demuestre que el segmento MN es

igual a la diferencia de los lados adyacentes del rectángulo.

14 Demostrar que si dos paralelas son cortadas por una transversal las bisectrices

de los ángulos interiores forman un rectángulo.

15 Por el punto medio del lado de un triángulo , se traza una recta

cualquiera , que corta a en . Se toma un punto tal que y

, probar que es paralela a .

16 Demostrar que en todo cuadrilátero, el ángulo formado por las bisectrices de dos

ángulos consecutivos es igual a la semisuma de los otros dos ángulos.

17 En un , se toman los puntos medios , y de los lados AB , AC y BC .

Se traza la altura AH y los segmentos XY , YZ y XH . Demostrar que es

un trapecio isósceles.

18 En un rombo se ubican los puntos medios y de los lados y ,

intersecta a y en los puntos y respectivamente. Si , calcule

la longitud de

19 Si desde los vértices de un paralelogramo ABCD se trazan perpendiculares AF,

DE, CG, BH a una recta cualquiera EH situada fuera del paralelogramo, tal que E-

F-G-H. Sabiendo que AM ED y BN CG, demuestre que la suma de las dos

perpendiculares trazadas desde dos vértices opuestos es igual a la suma de las

otras dos.

20 Demostrar que en un cuadrilátero que tiene dos ángulos opuestos rectos, las

bisectrices de los otros dos son paralelas.

PARALELOGRAMO: ABCD es un cuadrado c # # # A B C D AB BC ... · CRITERIOS DE PARALELOGRAMO TEOREMA:...

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