Parametros de mantenimiento
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOESQUEMA
� OBJETIVO DEL CURSO� ANALISIS PROBABILISTICO
DEL MANTENIMIENTODISTRIBUCIONES DE
HENRY VILLARROEL
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
� PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDADMANTENIBILIDADDISPONIBILIDAD
CURSO PARAMETROS DE MANTENIMIENTO OBJETIVOS
� LLEGAR A CARACTERIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LOS EQUIPOS MEDIANTES PARAMETROS MEDIBLES CON EL FIN DE
DIAGNOSTICAR SU CONDICION
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOINGENIERIA DE MANTENIMIENTO
� Es la rama de la ingeniería responsable de la definición de procedimientos,
HENRY VILLARROEL
procedimientos, métodos, análisis de técnicas a utilizar, contratos, estudios de costos y medios para hacer el mantenimiento incluyendo la investigación y desarrollo
HENRY VILLARROEL
ESTUDIO DE LAINGENIERIA DE
MANTENIMIENTO
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOINGENIERIA DE MANTENIMIENTO
HENRY VILLARROEL
En base a la condiciónDel Equipo y/o Sistema
En base al estudio de la Estadística
•Confiabilidad•Mantenibilidad•Disponibilidad
•Tribología•Vibraciones Mecánicas
•Ensayos No Destructivos
EN INGENIERIA, TRATAMOS DE REPRESENTAR LA REALIDAD A TRAVES DEMODELOS MATEMATICOS.
MODELOS MATEMATICOSMODELOS MATEMATICOS
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
NO HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL RESULTADO
HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL RESULTADO
MODELOS MATEMATICOS.
MODELOS DETERMINISTICOS
MODELOS PROBABILISTICOS
“VARIABLE ALEATORIA”“VARIABLE ALEATORIA”
“VARIABLE NO ALEATORIA”“VARIABLE NO ALEATORIA”
DETERMINAN UN UNICO RESULTADO FINAL
DETERMINAN UN RANGO DE “PROBABLES”
RESULTADOS
VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIAS
SON VARIABLES CON ALGUN GRADO DE INCERTIDUMBRE ASOCIADO.
TAMBIEN SON CONOCIDAS COMO VARIABLES DISTRIBUIDAS.
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS
VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASCONTINUAS
� NUMERO DE ELEMENTOS DEFECTUOSOS
� NUMERO DE EQUIPOS EN OPERACIÓN
� NUMERO DE BARRILES DE CRUDO
� NUMERO DE ESTUDIANTES REPROBADOS
� TIEMPOS DE OPERACIÓN
� TASA DE FALLAS
� TIEMPOS DE REPARACIÓN
� VARIABLES DE PROCESOS (PRESION, TEMP. , ETC)
EN INGENIERIA EN MANTENIMIENTO, PARA VALIDAR NUESTROS MODELOSMATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDAD
EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
MATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDADDEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA Y MEDIMOS LOS RESULTADOS.
UN EXPERIMENTO PUEDE ENTENDERSE COMO UNA “MUESTRA DE LA REALIDADDEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA” QUE PERMITE ,A TRAVES DE LAOBSERVACION CONTROLADA, FORMULAR “UN MODELO”.
PARA FORMULAR MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS , (MODELOSPROBABILISTICOS) ES NECESARIO HACER EXPERIMENTOS
POBLACION
UNIDADES DE INTERES
MUESTRA
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
MUESTRA
PEQUEÑA PARTE REPRESENTATIVA DE LA POBLACION
DATA DE CONFIABILIDAD
ANALISIS ESTADISTICO DE CONFIABLIDAD
INFORMACION
ACERCA DE LA POBLACION
ACCION
EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Desarrollar un modelo probabilistico para las fallas del montacargas
Horas antes de fallar Causa de la falla
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
Horas antes de fallar Causa de la falla
11 caucho
19 Carburación
28 Sistema hidráulico
15 Sistema de elevación
5 Sistema de dirección
49 Sistema de dirección
2 Caucho
7 Sistema hidráulico
EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO (Cont.)
2min =X
49max=X
47249minmax =−=−= XXRango
1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.114
47 ≅==I
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
Intervalos (horas) Fr f (t)
2 - 14 4 0.50
15 - 27 2 0.25
28 - 40 1 0.125
41 - 53 1 0.125
Grafica de f(t) montacargas
0.5
0.4
0.5
0.6F
recu
enci
a re
lativ
a (%
)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
0.25
0.125 0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53
Intervalos de Clase
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
SE PUEDE ADOPTAR UN MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL PARA MODELAR ELCOMPORTAMIENTO DE FALLA DEL MONTACARGAS.
� DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICAS
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS
HENRY VILLARROEL
VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS
VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASCONTINUAS
DISTRIBUCION NORMAL
� DISTRIBUCION EXPONENCIAL
� DISTRIBUCION DE WEIBULL
� DISTRIBUCION BINOMIAL
� DISTRIBUCION HIPERGONOMETRICA
� DISTRIBUCION DE POISSON
� Es la distribución que mejor modela la tasa de falla constante o vida útil de los equipos
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
útil de los equipos� Muchos componentes
electrónicos tales como circuitos, transistores muestran un comportamiento de falla exponencial
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
Intervalos de Clase (tiempo)
Modelo matemático
ttf e λλ −=)(
ttR e λ−=)(
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
ttR e λ−=)(
λλ
λλ =−
−==
t
t
tR
tfth
ee
)(
)()(
∫ ∫∞ ∞
=−==0 0
1)(
λλλ dttdttRMTBF e
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
Intervalos de Clase (tiempo)
Tasa
de
Fal
la (
%)
Intervalos de Clase (tiempo)
)(1)( tRtF −=
Modelo matemático
ttR e λ−=)(
1==haciendo
Con
fiabi
lidad
R(t
)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
λ1== MTBFt
368.01
1
)( =−=
−= eetR λ
λ
haciendo
Con
fiabi
lidad
R(t
)Intervalos de tiempo
0.368
MTBF
ttR e λ−=)(
Linealizando la ecuación R(t)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
ttR λ−=)(ln
Linealizando la ecuación R(t)
( ) ( )22.
)(ln.)(ln..
∑∑
∑ ∑ ∑−
−=−=
ii
i
ttn
tRttRtnb iλ
y bx a= +Aplicando regresión lineal, se obtiene la tasa de falla:
Ln R
(t)
Intervalos de tiempo
0.368
MTBF
Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la distribución exponencial:
� Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo� Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)Calcular la probabilidad de falla estadística por:
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
� Calcular la probabilidad de falla estadística por:
i= numero de orden de observaciónN=numero total de observaciones
� Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)� Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en
papel exponencial� Determinar el MTBF con R(t)=37%aprox. en la grafica
1)(
+=
N
itF
4.03.0
)(+
−=N
itF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N
N
itF =)(
EJEMPLO En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Se desea estimar la probabilidad que no falle a las 30 horas de operación
Horas antes de fallar Causa de la falla
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
Horas antes de fallar Causa de la falla
11 caucho
19 Carburación
28 Sistema hidráulico
15 Sistema de elevación
5 Sistema de dirección
49 Sistema de dirección
2 Caucho
7 Sistema hidráulico
EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Con t.)
2min =X
49max=X
47249minmax =−=−= XXRango
1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.114
47 ≅==I
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
Intervalos (horas) Fr f (t) No. De sobrevivientes
h (t)
2 - 14 4 0.50 8 0.50
15 - 27 2 0.25 4 0.50
28 - 40 1 0.125 2 0.50
41 - 53 1 0.125 1 1.00
Grafica de f(t) montacargasGrafica de h(t) del Montacargas
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
0.5
0.25
0.125 0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53
Intervalos de Clase
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0
Intervalos de Clase
Tasa
de
falla
(%)
Ordinal (i) Tiempo (horas)
F(t) R(t) R(t) en %
1. Ordenar en forma ascendente
2. Calculo de
3. Calculo de R(t)=1-F(t)4.03.0
)(+
−=N
itF
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
(horas)
1 2 0.0833 0.0833 8.33
2 5 0.2023 0.2023 20.23
3 7 0.3214 0.3214 32.14
4 11 0.4404 0.4404 44.04
5 15 0.5595 0.5595 55.95
6 19 0.6785 0.6785 67.85
7 28 0.7976 0.7976 79.76
8 49 0.9166 0.9166 91.66
Utilizando el método grafico, se obtiene el siguiente cuadro:
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
1 10.055
18MTBFλ = = =
180.055(30) 1.65(30) 0.1920 19%
MTBF
R e e− −= ≅= =
Ordinal (i) Tiempo (horas)
R(t) LnR(t)
Utilizando el método analítico de la regresión lineal, se obtiene el siguiente cuadro:
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
(horas)
1 2 0.9167 -0.1165
2 5 0.7977 -0.2484
3 7 0.6786 -0.4004
4 11 0.5596 -0.5798
5 15 0.4405 -0.8209
6 19 0.3215 -1.1086
7 28 0.2024 -1.5141
8 49 0.0834 -2.2072
8
8
136
n
t
=
=∑
Aplicando el método analítico, se realiza un resumen estadístico:
8 8 8
. . ( ) . ( )i i i in t LnR t t LnR t−∑ ∑ ∑
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIALHENRY
VILLARROEL
1
82
1
8
1
8
1
136
3970
( ) 194.5880
( ) 6.9963
ii
ii
i ii
ii
t
t
t LnR t
LnR t
=
=
=
=
=
=
= −
= −
∑
∑
∑
∑
1 1 128 8
2
1 1
2
0.04508(30)
. . ( ) . ( )
.
(8)( 194.5880) (136)( 6.9963)0.04508
(8)(3978) (136)
1 122.11
0.04508
( )
( 30) 0.2586 26%
i i i ii i i
i ii i
t
n t LnR t t LnR t
n t t
MTBF
R t
R t
ee
λ
λ
λ
λ
= = =
= =
−
−
−− =
−
− − −− = = −−
= = =
== = = ≅
∑ ∑ ∑
∑ ∑
horas
� En mantenimiento esta distribución describe el periodo de desgaste de los
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
de desgaste de los equipos
� También puede ser utilizada para modelar los tiempos de reparación de los equipos
� La tasa de falla aumenta aumenta sostenidamente porque los elemento 2
− µ
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
porque los elemento del equipo sufren un proceso de deterioro físico
� Se define como una variable aleatoria continua x que es normalmente distribuida con media y varianza
2
2
1
.2
1)(
=
−−
σµ
πσ
xt
etf
∫∞
−=0
)(1)( dttftR xMTBF µ=
xµ2σ
)(.
)(
)(
)()(
tR
Z
tR
tfth
σφ
==
Distribucion normal estándar
� Dado que y determinan completamente la distribución normal,
σxµ
1
f x( ) 0.5
1
f(xi)f(xi)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
completamente la distribución normal, entonces en la distribución normal existen familias de distribuciones normales, una de mas cuales la mas importante es la distribución normal estándar( , )
� La distribución normal se puede estandarizar con:
0=xµ 1=σ
−=σ
µxtZ
0
128 x8 9 10 11 12
0
Variable Aleatoria
xixi
−
=2
2
.2.
1)1,0,(
z
tf eπσ
dt
z
zF ez
−
= ∫∞−
2
2
.2.
1)(
πσ
)(1)( zFzR −=
Ejemplo de aplicación de la distribucion normal� En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los tiempos de
reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica entre 4 a 10 horas
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
entre 4 a 10 horasIntervalos de Clase
(horas)Acciones de
mantenimiento
1.1 - 2 5 0.06
2.1 - 4 10 0.18
4.1 - 6 16 0.37
6.1 - 8 22 0.64
8.1 - 10 14 0.81
10.1 . 12 10 0.93
12.1 - 14 5 0.06
14.1 - 16 1 0.01
)(tf
6.6 MTTRµ= = horas14.3=σ horas
Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Plan ta Electrica
20
25
Fre
cuen
cia
de C
lase
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
0
5
10
15
20
1.1 - 2 2.1 - 4 4.1 - 6 6.1 - 8 8.1 - 10 10.1 - 12 12.1 - 14 14.1 - 16
Intervalos de Clase (horas)
Fre
cuen
cia
de C
lase
Resolución del Problema
)104( ≤≤ TM Estandarizando los tiempos:
83.0)14.3
61.64()
)(1 −=−=
−=
σµxt
Z
08.1)14.3
61.610()(2 =−=−=
σµxt
Z
?)08.183.0( =≤≤− TM
?)( 21 =≤≤ ZTZM
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE GAUSS O NORMALHENRY
VILLARROEL
∞−
=≤≤− )08.183.0( TM
=≤≤− )08.183.0( TM
?)08.183.0( =≤≤− TM
83.01 −=Z 08.12 =Z 08.12 =Z∞− 83.01 −=Z
= -
)08.1(φ )83.0(−φ-
0.8599 0.2033-
0.6560 (65.66%)=≤≤ )104( TM
� Es la distribución de vida mas ampliamente utilizada en los análisis para describir la tasa de falla de los equipos, por su versatilidad.
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
versatilidad.� Matemáticamente se define:
( )βαβ
ααβ /.
1
)( tettf −−
=
1)( −= ββα
β tth
( )βα/)( tetR −=
h(t)
β=Pendiente o parámetro de forma
α = Parámetro de escala (edad característica de falla)
Características:� β<1 tasa de falla
decreciente (Mortalidad infantil)β =1 tasa de falla
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
� β =1 tasa de falla constante (vida útil)
� β > 1 tasa de falla creciente (desgaste)
)1
1(.β
α +Γ=MTBF
)1
1(β
+Γ = Función Gamma
Casos particulares:
1=β α=MTBF
5.0=β α.2=MTBF
( )βα/)( tetR −=PAPEL WEIBULL
METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WE IBULL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
e
1=β
α=t
3678.01)( =−== etR α
6322.0)(1)( ==−== αα tRtF
Haciendo:
Intervalos de tiempo
0.6322
F(t)PAPEL WEIBULL
α=t
METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
( )βα/)( tetR −=β
α
=− t
tLnR )( ( ) bLntLntn
tRLnLnLnt
tRLnLnLntn
i
ii
=−
−
=∑∑
∑ ∑ ∑22.
))(
1.)
)(1
(..
β
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
α
=− tLnR )(
αββ LnLnttR
LnLn ..)(
1 −=
axby += .
( )LntLntn i− ∑∑.
( ) aLntLntn
tRLnLnLnt
tRLnLnLnt
Lni
i
=−
−
=−∑ ∑
∑ ∑∑22
2
.
))(
1(.)
)(1
(.
. αβ
βα
−= a
Ln
−= βα
a
e
Aplicando Regresión Lineal a la ecuación
Procedimiento para la predicción edad característica de falla y modo de falla en la distribución Weibull:
� Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo� Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
� Calcular la probabilidad de falla estadística por:
� i = numero de orden de observación� N=numero total de observaciones� Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación� Determinar la edad característica de falla( ) con F(t)=62.22% aprox.
en la grafica� Determinar
1)(
+=
N
itF 4.0
3.0)(
+−=
N
itF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N N
itF =)(
α
β
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
� El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea la probabilidad de que no falle a las 200 horas de operación, el tiempo promedio entre fallas (MTBF) de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar: 6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
Intervalos de clase (horas)
Frecuencia de clase
0 – 100 9
100 – 200 1
200 – 300 2
300 – 400 2
400 – 500 0
500 - 600 1
Histograma de Frecuencia Motor Diesel
0
2
4
6
8
10
0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500
Intervalos de Clase (horas)
Fre
cuen
cia
de C
lase
4.03.0
)(+
−=N
itF
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO
Ordinal Tiempo F(t) F(t) en %
1 2 0.0523 5.23
2 6 0.1269 12.69
3 12 0.2015 20.15
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
3 12 0.2015 20.15
4 16 0.2761 27.61
5 20 0.3507 30.07
6 23 0.4254 42.54
7 46 0.500 50.00
8 46 0.5746 57.46
9 92 0.6492 64.92
10 163 0.7239 72.39
11 215 0.7985 79.85
12 282 0.8731 87.31
13 503 0.9478 94.78
Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull
Resultados por el método grafico:
0.6
85
βα
== horas
(Mortalidad infantil)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
0.6200
85
85
. (1 1/ )
(85)( (2.66))
(85)(1.496) 127.16
(200) 0.1880 19%
MTBF
MTBF
MTBF
R e
αα β
−
== Γ += Γ= =
= = ≅
horas
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO ANALITICO DE LA REGRESIÓN LINEAL
Ordinal Tiempo F(t) R(t) Lnt Ln(Ln(1/R(t)))
1 2 0.0523 0.9477 0.6931 -2.9240
2 6 0.1269 0.8731 1.7917 -1.9972
3 12 0.2015 0.7931 2.4849 -1.4915
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
4 16 0.2761 0.7985 2.7725 -1.1297
5 20 0.3507 0.6493 2.9357 -0.8396
6 23 0.4254 0.5746 3.1354 -0.5944
7 46 0.5000 0.5000 3.8286 -0.3665
8 46 0.5746 0.4254 3.8286 -0.1569
9 92 0.6492 0.3509 4.5217 0.0461
10 163 0.7239 0.2761 5.0937 0.2523
11 215 0.7985 0.2061 5.3706 0.4570
12 282 0.8731 0.1269 5.6419 0.7248
13 503 0.9478 0.0522 6.2205 1.0827
Realizamos el resumen estadístico necesario para la aplicación de la regresión lineal
13
1
13
48.371ii
n
Lnt=
=
=∑
Resumen estadístico :
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULLHENRY
VILLARROEL
1
132
1
13
1
13
1
13 13 13
1 1 1
13 132
1 1
( ) 211.37
( (1/ ( ))) 7.123
. ( (1/ ( ))) 7.241
. . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( )))
.
i
ii
ii
i ii
i i i ii i i
i ii i
Lnt
Ln Ln R t
Lnt Ln Ln R t
n Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t
n Lnt Lnt
β
=
=
=
=
= = =
= =
=
= −
= −
−=
−
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑2 2
(13)( 7.241) (48.371)( 7.123)0.631
(13)(211.37) (48.371)
− − −= =−
13 13 13 132
1 1 1 1213 13
2
1 1
( ) . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( )))..
.
(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371)
i i i i ii i i i
i íi i
Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t LntLn
n Lnt Lnt
β α = = = =
= =
−− =
−
− − −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO
DE WEIBULL
2
(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371). 2.831
(13)(211.37) (48.371)
2.831
Ln
Ln
β α
αβ
− − −− = = −−
− −= =−
0.631200
88.76
2.8314.486
0.631
4.486 88.76
. (1 1/ ) (88.76). (2.361) (88.76)(1.463) 129.85
( 200) 0.1883 19%t
MTBF
R t
e
e eβ
α
αα β
− −
=−
== Γ + = Γ = =
= = = = ≅
=horas
horas
Estudio de l a Ingeniería de Mantenimiento
Análisis de FallaEstudio del comportamiento del
Equipo y/o Sistema basado
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOINGENIERIA DE MANTENIMIENTO
HENRY VILLARROEL
Análisis de Falla Equipo y/o Sistema basadoEn modelos Probabilísticos
Análisis de Falla TécnicoAnálisis de Falla basado en
La Estadística
• Diagrama Causa Efecto•AMEF
•Diagrama de Pareto•Tasa de Falla
•Análisis de Criticidad
•Confiabilidad•Mantenibilidad•Disponibilidad
IntroducciónTodo equipo cumple una determinada función que satisfaga nuestras necesidades y
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
nuestras necesidades y expectativas, pero inevitablemente antes o después hemos sufrido las consecuencias negativas de sus fallas que pueden traer consecuencias económicas y de seguridad, tomemos 3 ejemplo:�Bombillo�Pastillas de freno de un vehiculo�Motor de un Avión
�Surge la necesidad de estudiar enprofundidad los mecanismos a travésde los cuales se produce una falla paraasí evitar su aparición o minimizar losefectos, si es que llega a producirse,
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
efectos, si es que llega a producirse,esto implica:Determinar las exigencias deseguridadRealizar tareas de mantenimiento periódico.En resumen se puede concluir que :�No siempre es fácil determinar elmomento en que el sistema falla.
� No todas las fallas son igualmente predecibles o evitables.
� No todas las fallas producen las mismas consecuencias económicas operativas
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
económicas operativas� No todas las fallas tienen las
mismas repercusiones sobre la seguridad de los usuarios.
� No todas las fallas tienen su origen en las mismas causas (Hardware, software, usuarios, mantenedores).
� La confiabilidad trata sobre el estudio de las fallas de los equipos y sistemas.
Confiabilidad. Concepto
� Es la ciencia que se encarga de lapredicción, estimación u optimización de lasdistribuciones de probabilidad de
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
distribuciones de probabilidad desupervivencias de los componentes osistemas (Elsayed, 2000)
�“Habilidad de un activo en ejercer unafunción en una condición establecida y por unperiodo de tiempo definido”. (Nava, 1996)
�Probabilidad de que un equipo, maquinaria osistema realicen sus funcionessatisfactoriamente bajo condicionesespecificas dentro de cierto periodo detiempo, medido por MTBF”. (Mckenna, 1998)
Medición de la Confiabilidad�Tiempo promedio entre
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
�Tiempo promedio entre fallas (MTBF)�Tasa de Riesgo (h(t))�Confiabilidad en sistemas No Reparables, sistemas Reparables
Sistema No Reparables� Un equipo no reparables es
aquel cuya condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
falla.� Su vida termina con una
“única” falla y debe ser reemplazado.
� Para caracterizarlo probabilisticamente se requiere estimar la “tasa de falla λ(t)”
Sistema Reparables.� Un equipo reparable es aquel
cuya condición operativa puede ser restaurada después de una falla, por la acción de reparación diferente al
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
falla, por la acción de reparación diferente al reemplazo total del mismo.
� Para caracterizarlo probabilisticamente se requiere estimar la “tasa de falla λ (t)” y la tasa de reparación µ(t).
� Además de la confiabilidad se requiere calcular la disponibilidad.
Tiempo promedio entre falla (MTBF):�Es una medida de la confiabilidad, representa el valor medioentre falla.�No debe ser confundido con el tiempo medio a la falla MTTF(Mean Time To Failure)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
(Mean Time To Failure)� Si t es una variable aleatoria continua, el valor esperado puedeser determinado por:
∫∞
=0
)()(. tdtftMTBF
∫−=
−=t
dttftR
tFtR
0
)(1)(
)(1)(
)()( tfdttdR −=
Tiempo promedio entre falla (MTBF )
dtMTBF dtttdR
∫∞
−=0
)(
∫∞
−= )(. tdRtMTBF
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Integrando por partes :∫−=0
)(. tdRtMTBF
)(
**
tRvtu
vduvudvu
=∴=
−=∫ ∫Sustituyendo:
[ ] ∫∫∞
∞−=−
000
)()(*)( dttRtRtttdR
,0)( =∞R 1)0( =REvaluando:
∫ ∫∞ ∞
=0 0
)()( dttRttdR
Tiempo promedio entre falla (MTBF)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
(Sistema Reparables)
(Sistema No Reparables)
∫∞
=0
)( dttRMTBF
∫∞
=0
)( dttRMTTF
Tasa de Riesgo (Rate hazard): Es la propiedad de falla instantánea de un equipo en un tiempo “t” .
liabilitytRfailuretfth Re)(
)()( ===
Tasa
de
Fal
la
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
liabilitytRfailuretfth Re)(
)()( === No. de equipos que fallaron en un tiempo t
No. de equipos que sobreviven en un tiempo t
Tiempo de Operación (Edad o vida)
Mortalidad infantil Vida útil Periodo de desgate
Decrecimiento de la tasa de falla
Tasa de fallas constante Incremento de latasa de falla
Tasa
de
Fal
la
Tasa de Riesgo h (t):
)(
)()(
tR
tfth = )(1)( tFtR −=
)()( tfth =
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
)(1)()( tF
tfth −=Para el caso de una función de distribución de probabilidad exponencial:
tetf λλ
−=)(
∫=t
dttftF0
)()(
dttFt
te∫−=
0
)( λλ
Tasa de Riesgo h (t):
dttFt
te∫−=
0
)( λλ dt
t te∫−=
0
λλ
t eeλ −==
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
ttt eetF λλλλ −−− −== 1)( 01
tetRtFtR λ−=⇒−= )()(1)(
λλλλ == −
−te
e t
tR
tfth
)(
)()(
λλλ
λ
10
)(0 0
=∞−−=
∫ ∫∞ ∞ −==
teMTTF
dttRMTTFte
Tasa de Riesgo h (t) de las distribuciones De probabilidad mas comunes
)(tf )(thNombre parámetros
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
te λλ −.
λ λ
2
2
1
.2
1
−
−σ
µ
πσ
xt
e)(. tR
xt
σσ
µφ
−
σµ ,x2ln
2
1
2..
1
−
−σ
µ
πσ
xt
et
)(..
ln
tRt
xt
σσ
µφ
−
σµ ,x
( )βαβ
ααβ /.
1tet −
−
1−ββα
β t αβ ,
Exponencial
Normal
Log-Normal
Weibull
ANALISIS DE CONFIABILIDAD
ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD PARA SISTEMAS
PREGUNTAS CLAVES
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
ANALISIS DE CONFIABILIDADPARA SISTEMAS
ANALISIS DE CONFIABILIDADBASADO EN LA CONDICION
ANALISIS DE CONFIABILIDADBASADO EN HISTORIA DE FALLA
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA FALLA DEL
EQUIPO HAGA FALLAR EL SISTEMA Y AFECTE AL
PROCESO?
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
FALLE EL EQUIPO?
Confiabilidad del sistema :BLOQUE II
COMPRESION
BLOQUE 2 FALLA
�Permite la estimación de la probabilidad de falla o confiabilidad de un sistema basándose en las
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
63
BLOQUE 2 FALLA
SIST 3 FALLA SIST 4 FALLA
OPER.FALLA
SWITCHFALLA
COMP.# 1FALLA
COMP.# 2FALLA
de un sistema basándose en las probabilidad de cada equipo componente del sistema.
�Se sustenta en diagramas de bloques�Permite estimar la contribuciones de cada equipo en la probabilidad de falla o confiabilidad del sistema.
CONFIABILIDAD EN SERIE:�Si existe una independencia entre los equipos:
R (s) = R(A).R(B).R(C)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
R (s) = R(A).R(B).R(C)
( )∏==
n
iRiRs
1
�La confiabilidad de un sistema en Serie es mucho mas pequeña que la confiabilidad de las unidades individuales.
Considere un sistema que consiste en 5 componentes, 3 de los cuales tienen una tasa de falla constante , los otros dos restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con
horasxhorasxhorasx /6
1093,/6
1032,/6
1051−=−=−= λλλ
Ejemplo Confiabilidad en Serie:
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con parámetros. 1.2,14523,2.2,7650 5544 === = βαβα horashoras
2 3 41 5
hx /6
1032−
=λ hx /6
1093−
=λhx /6
1051−
=λ
2.24
/6
1076504
=
−=
β
λ hx
1.25
/6
10145234
=
−=
β
λ hx
Determine la confiabilidad del sistema en t =1000horas.
−−∑ ∑
= ==3
1
2
1
)/(
)( i i
iitit
etRsβαλ
Ejemplo Confiabilidad en Serie (Continuación):
( ) ( ) ( ) 017.01000*16
1096
1036
105321
3
1=
−+
−+
−=++=∑
=h
horasxxxt
iti λλλλ
β
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
0149.00036.00113.0
1.2
14523
10002.2
7650
10002
1=+=+=∑
=
h
h
h
hi
i i
tβ
α
( )
( )%86.96)1000(
9686.01000
0319.00149.0017.0)1000(
=
=
−=
−−=
Rs
Rs
eeRs
CONFIABILIDAD EN PARALELO:
Asumiendo independencia tenemos:F= FALLA, F+R=1
Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
( )∏=
−=n
iiRFs
1
1
Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)
La confiabilidad de un sistema de un sistema en paralelo, entonces es:
( )∏=
−−=n
iiRRs
1
11
EJEMPLO CONFIABILIDAD EN PARALELO:Considere un sistema en paralelo con 2 componentes que tienen una tasa de falla constante de Cuál es la confiabilidad del sistema a las 1000 horas?, ¿Cuál es la tasa de Falla del sistema?
hxhx /103.0,/105.0 62
61
−− == λλ
λ
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Falla del sistema?1λ
2λ
( )( )( )( ) ( )
1
0.000005(1000) 0.000003(1000)
2( ) 1 1
1
2( ) 1 1 1
( ) 1 1 1
( ) 1 (0.0049)(0.0029)
( ) 0.999 99%
itRs t
i
ttRs t
Rs t
Rs t
Rs t
e
e e
e e
λ
λλ
− −
−∏= − −=
−−= − − −
= − − −
= −
= ≅
CONFIABILIDAD DE SISTEMA K DE N:� Existen sistemas que no pueden ser considerados que fallan completamente hasta que al menos K componentes de N componentes no hayan fallado, estos sistemas son conocidos con “K de N”.
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
( ) knP
kP
k
nPnkR
n
kr
−−∑=
=
1..),,(
“K de N”.� Ejemplo de sistemas K de N:
Avión, Cables, Plantas de generación de potencia.� Asumiendo que todas las unidades tienen idénticas e independientes las distribuciones de vida y la probabilidad que una unidad este funcionando es P, entonces la probabilidad que exactamente K unidades estén funcionando de n es:
Ejemplo de sistema K de N:Considere el sistema de bomba de crudo mostrado en la figura. La confiabilidad de todas las bombas soniguales y Rp = 0.8. Adicionalmente, las válvulas de bloqueo y las válvulas check de las bombas tienen unaconfiabilidad de 0.99. Finalmente la confiabilidad de la válvula de control en la descarga del sistema es de0.98 y las válvulas del by pass y de entrada tienen una confiabilidad de 0.98. El sistema requiere que 2 delas 5 bombas estén en funcionamiento para cumplir con el requerimiento de la empresa
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
1
4
3
5RV=0.9
8
RV=0.98
RVc=0.98
RVb=0.99RV=0.9
9
RVc=0.99
2
Rp=0.80
DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA :
Rv =0.99 Rvc =0.99Rp =0.80
Rvb =0.99Rvc =0.99Rp =0.80Rv =0.99
Rvb=0.99
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
RV =0.98Rvb =0.99Rp =0.80 Rvc =0.99
Rvb =0.99
Rv =0.99
Rv =0.99
Rv =0.99 Rp =0.80
Rp =0.80 Rvb =0.99
Rvc =0.99
Rvc=0.99
Rvc =0.98
Rv =0.98
Para el sistema A: Válvula de bloqueo- bomba – válvula check - válvula de bloqueo
Ra =(0.99)(0.80)(0.99)(0.99) = 0.7762
∏=
=∴4
1
,i
RiRs
DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA (continuación)
Ra =0.776
Rv =0.99Ra =0.776
Ra =0.776 Rvc =0.99
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Ra =0.776
Ra =0.776
Ra =0.776
Rv =0.99
Para un requerimiento del sistema Ra, es un sistema K de n, ya que se requieren que 2 de las 5 bombas estén en funcionamiento
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
989.0)776.0,5,2(
776.01776.05
5
776.01776.04
5776.01776.0
3
5776.01776.0
2
5)776.0,5,2(
776.01776.02
5)776.0,5,2(
05
142332
325
2
=
−
+−
+−
+−
=
−
= ∑=
Rs
Rs
Rsr
Diagrama de Bloque del Sistema ( continuación):
RV =0.982 de 5
Rs =0.989
Rvc =0.98
Rv =0.98
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Rv =0.98
[ ] [ ] [ ]21 1 ( ) 1 1 0.98 * 1 0.98 0.996 99.6%
1Rvc by pass R tii
∏+ − = − − = − − − = ≅=
Finalmente, la confiabilidad de todo el sistema de bombeo viene dada por:
*. ( ) .( )
0.98 * 0.989 * 0.996 0.965 96.5%.
R R R Rsist bombeo v entrada sist bombas vc by pass
Rsist bombeo
= + −
= ≅=
DA
• Existen sistema que no pueden ser modelados o son difíciles de modelar como sistema serie, paralelo, o K de N,
SISTEMAS COMPLEJOS DE CONAFIABILIDAD
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
D
EC
B
Acomo sistema serie, paralelo, o K de N, por ejemplos sistemas de comunicaciones, redes de computación.
• La confiabilidad de estos sistemas complejos puede ser determinada por otros métodos, entre otros Método de la tabla de la verdad de Booleana.
Método de la tabla de la verdad Booleana :Se basa en la condición de los componentes, si funcionan o no. Una columna es creada en la tabla de cada componente con valores de 0 y 1 para indicar que un componente esta funcionando o no respectivamente. Cada columna en la tabla entonces representa un estado del sistema (probabilidad de estado). La confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el sistema funciona.
Ejemplo:Calcular la confiabilidad del sistema mostrado utilizando el método de la tabla de la verdad Booleana,Donde R(E) = 0.6, R(A) = 0.7, R(B) = 0.8, R(C) = 0.9 y R(D) = 0.78
A
D
E
B C
El número de probabilidades de estado (PE) viene dado por la siguiente ecuación:
nPE 2=Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5
3225 ==PE
El siguiente paso es encontrar las diferentes combinaciones de equipos en estado operativo (1) o de falla (0) en el sistema funcione (1), donde se encontrará la probabilidad de estado que es el productos de las diferentes probabilidades, las suma de todas las propiedades de estado donde el sistema esta funcionando serála confiabilidad del sistema.
A B C D E Estado del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065
1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 R(A)F(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0018
1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 F(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.1010
0 1 1 1 0 1 F(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0673
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
Continua…
A B C D E Estado del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
1 1 1 1 1 1 R(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.2358
1 1 1 1 0 1 R(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.1572
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
Continua…
1 1 1 0 1 1 R(A)R(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0665
1 1 1 0 0 1 R(A)R(B)R(C)F(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.4)=0.0443
1 1 0 1 1 1 R(A)R(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0262
1 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 R(A)R(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0073
1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 R(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0589
1 0 1 1 0 1 R(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0393
1 0 1 0 1 1 R(A)F(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0166
A B C D E Estado del sistema
Probabilidad de estado (PE)
0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 F(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0252
0 0 1 1 0 1 F(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0168
0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
∑=
==15
1
8715.0i
PEiRs
Mantenibilidad� Probabilidad de un
equipo, maquinaria o sistema pueda ser restaurado a
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
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restaurado a condiciones normales de operación dentro de un periodo de tiempo dado cuando su mantenimiento ha sido realizado de acuerdo a procedimientos establecidos
Tiempo fuera de servicio
Tiempo activo de mantenimiento Tiempo en demoras logísticas Tiempo en demoras administrativas
Mantenimiento Correctivo Mantenimiento Preventivo
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
Tiempo de Reparación
Tiempo de Inspección
Tiempo de Servicio
Tiempo de Checkout
Reparación del Mantenimiento
Localización y aislamiento de
falla
Desensamblaje del equipo
Reparación del elemento en sitio
Reemplazo del elemento fallado con repuesto
Reensamble del equipo
Ajuste, calibración o alineación, etc.
Verificación de condiciones (Checkout
Medición de la Mantenibilidad
� Medición basada en tiempo (Tiempo promedio de Reparación, MTTR)
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
Reparación, MTTR)� Medición basada en carga de
trabajo (Horas hombres de mantenimiento, Horas hombres por acciones de mantenimiento)
� Medición basada en costos de las tareas (Costo promedio de la tarea, costo anual)
Medición de la mantenibilidad basada en tiempo
� La función mantenibilidad es una distribución de la variable aleatoria del Tiempo medio a reparar MTTR (Mean Time To Repair), que representa el tiempo de ejecución de una tarea de mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
∫=≤=t
dttmtMTTRPtM0
)()()( m(t)= La función de densidad de la variable aleatoria MTTR
mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:
�En este curso trabajaremos con dos tipos de distribuciones que mejor simulan la mantenibilidad:
- La distribución de Gauss o Normal- La distribución Weibull- La distribución de Gumbel Tipo I - La Exponencial
Distribución Normal :�Tienen aplicación en tiempos de reparaciones de los equipos mecánicos y electromecánicos.Definición: Es una variable aleatoria
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
Definición: Es una variable aleatoria continua x que esta normalmente distribuida con la media y varianzaχµ 2σ
2*
21
*2
1)(
−−
= σµ χ
πσ
t
etf
∫∞
=0
)()( dttftM χµ=MTTR
EJEMPLO DE APLICACIÓN� En la tabla 1 se muestran los tiempos en minutos de las actividades de mantenimiento
correctivo de un montacargas. Se desea determinar las siguientes interrogantes:a)¿Cuál será la probabilidad de presentarse una falla de hacer la tarea de mantenimientocorrectivo entre 52 y 72 minutos?
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
b)¿Cuál es el tiempo por debajo del cual se comportaran el 85% de las tareas demantenimiento correctivo?
Tabla 1
51 71 75 67 86 58 52 64 41 74
48 55 43 72 30 39 64 45 63 37
70 37 48 71 69 83 57 83 46 72
33 59 97 66 93 76 68 50 65 63
75 63 51 69 75 64 54 53 59 92
Ejemplo de aplicación (Continuación)
Intervalos de clases
Frecuencia de Clase
30 - 39.5 5
Frecuencia de Mantenimeinto Correctivo del Montacar gas
14
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
30 - 39.5 5
40 – 49.5 6
50 – 59.5 11
60 - 69.5 12
70 - 79.5 10
80 - 89.5 3
90 - 99.5 3
0
2
4
6
8
10
12
30 - 39.5 40 - 49.5 50 - 59.5 60 - 69.5 70 - 79.5 80 - 89.5 90 - 99.5
Intervalos de Clase en Minutos
Fre
cuen
cia
de C
lase
∑=
====n
i niMTTR
1min92.61
50
3096χχµ
min74.1549
12138
1
2)(==
−∑ −
=n
xix µσ
Ejemplo de aplicación (Continuación)a.
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
491−n
64.074.15
)92.6172(63.0
74.15
)92.6152(21 =−=−=−= ZZ
)(7389.0)()(2643.0)( 21 tablaZtablaZ == φφ
2643.07384.0
)()()( 1221
−=−=∠∠ ZZZXZM φφ
Z1 Z2%)41.47(4741.0)7252( ≡=∠∠XM
)(85.0?)(85.0 ztM φ=⇒==Ejemplo de aplicación (Continuación)b.
Por tabla A3
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
04.18508.0?)( =⇒== Zzφ
min26.78. =⇒+=⇒−
=
mctxZmctxmct
Z µσσ
µ
Distribución de probabilidad de Gumbel I
� La distribución de Gumbel I es utilizada en mantenimiento para
)(
)(
utaeetP−−−=
=u
1
Media o edad característica para reparar
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Función acumulativa de Gumbel I
PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
utilizada en mantenimiento para predecir la mantenibilidad de los equipos, ya que los tiempos de reparación de los equipos obedecen a la ley del efecto proporcionado.
� La Ley del efecto proporcionado expresa que en si el cambio de una variable en cualquier paso del proceso es una porción al azar del valor previo de la variable.
===
==
=
MTTR
u
a
ua
tm
a
,
1
auMTTR
5778.0+=
Inverso de la pendiente de la recta de mantenibilidad
Tiempo estimado para el próximo trabajo
Coeficientes de la distribución Gumbel I
Parámetro de dispersión
Parámetro de posición
Tiempo promedio de reparación del equipo
Los tiempos de reparación de un equipo están compuestos por:� Enfriamiento�Ubicación de las fallas�Reparación de la falla
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
�Reparación de la falla�Puesta en funcionamiento.El tiempo de reparación será la suma de los dos tiempos parciales del proceso Modela:�Situaciones de pocas paradas de corta duración�Se presta para cálculos analíticos
Los parámetros a y u son los mas importantes en esta distribución. Para la estimación de estos parámetros existen 2 métodos de resolución: Método Gráfico y el Método Analítico.
Método Analítico
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
)()(
utaeetP−− −
=)()( utaetLnP −−−=
)()]([ utatLnPLn −−=−
atautLnPLn −+=− )]([
axby +=
Aplicando logaritmos a la ecuación
Ecuación linealizada
∑∑∑ ∑ ∑
−−−−
=−22
)()(*
)]([.)]([..
ii
ii
ttn
tLnPLnttLnPLntna
Aplicando regresión lineal
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
∑∑ − )()(* ii ttn
∑ ∑∑ ∑∑∑−
−−−=
22
2
)().(
)].(*[.)]([..
ii
iii
ttn
ttPLnLnttLnPLntua
Se determinan las constantes a , u
Método Gráfico:� Ordenar los datos, (tiempos fuera de servicio) en orden ascendiente� Numerar los valores observados de 1 en adelante� Calcular la probabilidad de ocurrencia
1+=
n
iPf
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
� i = numero de orden de la observación � n = numero total de observaciones � Utilizar el papel probabilístico de Gumbel I para valores extremos � Ajustar la curva � Determinar los valores de y u gráficamentea
37.0)( 1 === −eutP
ut =
1+nf
Para determinar u, se hace que en la ecuación:)(
)(utaeetP
−− −
=
Se obtiene la edad característica de reparar, u
0)( ttm x −
= Pendiente de la recta de mantenibilidad (donde VR = Variable reducida)
Método Grafico (continuación )
Para obtener , se calcula la pendiente de la rectaa
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
0)( VRVRm
x −= (donde VR = Variable reducida)
ma
1=
auMTTR
5778.0+=
EJEMPLO DE APLICACIÓNLa empresa Otinsa esta programando un mantenimiento preventivo a una bomba centrifuga P-04 utilizada para el bombeo de agua de alimentación de la planta. La gerencia de mantenimiento, desea estimar el tiempo promedio de reparación de la bomba en la próxima parada. Los tiempos de reparaciones anteriores (en horas) se enumeran a continuación : 85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138
)(tfPORDINAL(i) TIEMPO (en horas)
(%)
1 68 0.10 10
2 71 0.20 20
3 74 0.30 30
4 78 0.40 40
5 85 0.50 50
6 92 0.60 60
7 106 0.70 70
8 118 0.80 80
9 138 0.90 90
)(tfP
horastVR i 10611 =→=
Método Grafico�Ajustando los datos en el papel Gumbel
horasutPf 78%)37( 0 ==→=
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
horasa
uMTTR
ma
VRVRtt
m
18.940357.05778.0
785778.0
0357.02811
28128
0178106
01
01
=+=+=
===
==−−=
−−=
horastVR
horastVR i
780
1061
02
1
=→==→=
ORDINAL(i) TIEMPO “t” en horas
1 68 0.10 0.8340
2 71 0.20 0.4758830
9
==
∑ t
n
Método analítico
)(tfP ( ))( tf
LnPLn −
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
3 74 0.30 0.1856
4 78 0.40 -0.87421
5 85 0.50 -0.3665
6 92 0.60 -0.6717
7 106 0.70 -1.0309
8 118 0.80 -1.4999
9 138 0.90 -2.2503
54,592)]([.
81118
4113.4)]([
830
2
−=−
=
−=−
=
∑∑
∑∑
tLnPLnt
t
tLnPLn
t
fi
i
f
i
)4113.4(*)830()34.592(9
)().(
))((.)]([..22
−−−=−
−−−−
=−∑ ∑
∑ ∑ ∑
a
ttn
tLnPLnttLnPLntna
ii
fifi
Método analítico (continuación)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
04056.004056.0
)830()81118(*9)4113.4(*)830()34.592(9
2
=⇒−=−−
−−−=−
aa
a
horasua
uua
ua
ttn
ttLnPLnttLnPLntua
ii
ififi
14.802507.3
2507.3.
)830()81118(*9)830)(34.592()4113.4)(81118(
.
)().(
).)((.))((..
2
22
2
=⇒=⇒=
−−−−=
−−−−
=∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
horasa
uMTTR 38.94
5778.0 =+=
µ
µµ
1)(
.)(
−−=
−=t
etM
tetf µ
Distribución Exponencial
= tasa de reparación
Probabilidad que el equipo sea reparado en un tiempo t
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
µ
1=MTTR
CARACTERISTICAS�Modela mecanismos de reparación de:- Equipos relativamente sencillos- Equipos que requieren ajustes frecuentes de muy poca duración�Es muy útil para cálculos analíticos
DISTRIBUCION LOG-NORMAL
2)(11
2)(21
2
1)(
µµµ
σµ
πσ
LnaLnbxy
Lnb
b
adx
xLnx
etf
−−−−
∫
−−=
f(x)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD
)()(
2)(21
2
1)(
σ
µφ
σ
µφσ
µ
σπ
xLnaxLnbdy
xy
eLnb
Lnatf
−−
−=
−−∫=
CARACTERISTICAS
�Aplica en los mismos casos que la distribucion de Gumbel
�No se presta para cálculos analíticos
x0 2 4 6 8 10 12
DISPONIBILIDAD
� La disponibilidad, del termino en ingles availability puede ser definida como la probabilidad de que un equipo este operando o este disponible para
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
este operando o este disponible para su uso, durante un periodo de tiempo determinado.� Es una función que permite estimar en forma global el porcentaje de tiempo total que se puede esperar, que un equipo este disponible para cumplir la función para la cual fue diseñado.
MANTENIBILIDAD
Tiempo de operación
Tiempo de operación
Tiempo de operación
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
Tiempo de reparación
Tiempo de reparación
CONFIABILIDAD MTTR
MTBF
DISPONIBILIDAD
Sea:
Ti Di Ti+1
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
Sea:Ti = tiempo de duración del i periodo de funcionamiento (V. Aleatoria)Di = tiempo de duración del i periodo de reparación o reemplazo (V. Aleatoria) (t) = función densidad de probabilidad de reparación o reemplazo del equipo (g1, g2, g3)W(t) = función densidad de probabilidad de falla del equipo (w1, w2, w3)A(t) = función de convulación entre la función w(t) , g(t)
)]().(1.[)(1
)(
)}({)}.({)}({
sgsWs
sWsAdonde
tgLtwLtAL
−−=
=
)}({)(
)](*)(1[*
)(1)(
1 sALtA
sgsws
swsA
−=−
−=
A(t) = Es definida como la probabilidad de que el componente este disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
t
t
ee
tg
twµ
λ
µ
λ
−
−
==
)(
)( λ
disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la disponibilidad instantánea en un tiempo aleatorio t.
EJEMPLO
Calcular la disponibilidad de un equipo en el cual la función densidad de probabilidad de falla w(t) y la función densidad de probabilidad de reparación g(t) son de carácter exponencial (tasa de falla y reparación constante).
donde = tasa de falla
donde = tasa de reparaciónµ
}{
}{}{)(
)}({)(
)()(
)](*)(1[*)(1
)(
tt ee LLsw
tgLsg
twLsw
tgswSsw
sA
λλ −− ====
−−=
)(
]))((
))(([
)()(
λ
µλλµµλ
λλλ
+
++−++
+−+
=
s
s
ss
sss
s
s
sA
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
}{}{)( .tt ee LLsw λλ
λλ−− ==
)]).((1[
)(1)(
)()(
)()(
µµ
λλ
λλ
µµ
λλ
++−
+−
=
+=
+=
sss
ssA
ssg
ssw
]))((
))(([
)()(
]))((
[
)()( 2
µλµλ
λ
µλλµλµλµ
λ
++++
+=
++−+++
+=
ssss
s
ss
sA
ss
ssss
ssA
x
)]([)(
)(
))]((([))((
)(
µλµ
λµλµλ
+++=
+++++=
ss
sSA
sssssss
sA
4.-)]([
)()(
µλµ++
+=ss
ssA
Aplicando fracciones parciales
)( µ+=
+ BAs
B
ABA
)()(1
1)(
λµ
µλλ
µλµ
µλµ
+=
+−=
−=∴+
=5.-
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
)(
1
)()(
)]([
)([
)]([
)(
)()]([
)(
µλµ
µλµ
µλ
µλ
µλ
µ
µλµλ
µ
+=
+=
+++=+
++
+++=
++
+
+++=
++
+
A
BA
sBAsAs
ss
sBsA
ss
s
s
B
s
A
ss
s
tetA
sL
sLtA
ssss
s
)(
)()(
})(
)({
1}
)({
1)(
)(
)()(
)([
)(
)( µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µ
+−
++
+
++
+−++−=
++
++
+=
++
+
=
)()()( )(
µλ
λ
µλ
µ µλ
++
+
∞→
= +−
t
tA teA(t)
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
)()(
µλ
µ
+=
∞→
tA
t
)()(
µλµ+
=+
=∞→MTTRMTBF
MTBFtA
t
MTBFMTBF+MTTR
Incluye solamente el mantenimiento correctivo del sistema (el tiempo de reparar o reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento
MTTRMTBF
MTBFA
+=
Disponibilidad Inherente o de estado estable
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento preventivo, tiempos logísticos tiempos de espera o administrativos.
__
MMTBM
MTBMAa
+=
Disponibilidad Alcansada
Esta incluye las paradas de mantenimiento preventivo que impliquen la disponibilidad del sistema (tanto correctivas y algunas preventivas) y es el tiempo de parada (tanto de acciones correctivas como de preventivas).
__
M
Disponibilidad operativa:
Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.
RLMMMTBM
MTBMA
++= __0 =∴ RLM Retrazo logístico
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.
Es la medida de disponibilidad mas apropiada para medir la disponibilidad ya que incluye la mayoría de los elementos presentes del sistema.
Importancia de la Disponibilidad :A través del estudio de los factores que influyen sobre la disponibilidad, MTBF y MTTR es
posible gerenciar y evaluar distintas alternativas de acción para lograr aumentos necesarios de disponibilidad:� Aumentar el MTBF� Reducción del MTTR � Aumentar el MTBF y reducir el MTTR simultáneamente
Ejemplo de aplicación de Disponibilidad .
La empresa BASERCA esta interesada en un estudio de disponibilidad de una planta de compresión de gas durante los 161 días correspondiente al primer semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de operación y de reparación durante este semestre.
La gerencia de Mantenimiento esta interesada en conocer:
� El MTTR
� El MTBF
� La disponibilidad inherente
Corrida Fecha de inicio Horas de Operación Horas de Re paración
1 Enero 26 14 34
2 Enero 28 82 7
3 Febrero 2 95 18
4 Febrero 7 27 1
5 Febrero 9 6 8
6 Febrero 13 103 17
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
7 Febrero 18 53 10
8 Febrero 21 107 32
9 Febrero 27 134 34
10 Marzo 5 40 60
11 Marzo 10 185 13
12 Marzo 19 250 12
13 Marzo 30 120 25
14 Abril 10 280 2
15 Abril 22 320 47
16 Mayo 8 578 3
17 Junio 2 450 28
18 Junio 22 375 23
19 Julio 9 120 5
Número Horas de Operación
1 6
2 14
3 27
4 40
5 53
6 82
Ordenando los tiempos de operación en orden ascendente, se obtiene la tabla 1.
Se agrupan los datos con el fin de obtener la función densidad de probabilidad más conveniente:
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
6 82
7 95
8 103
9 107
10 120
11 134
12 185
13 230
14 250
15 280
16 320
17 375
18 450
19 578
Tabla 1
19=n
1 3.33 19 5.25 5K Log= + = ≈
Números de intervalos aproximados
minmax XXR −=
Rango de datos
R=578-6=572 horas
Tamaño de los intervalos de clase:K
RI =
572114.4 114
5I = = ≅
Intervalos Frecuencia
6 – 120 10
Tabla de datos agrupados
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
Histograma de fallas de Operación
8
10
12
Fre
cuen
cia
de F
alla
6 – 120 10
121 – 235 3
236 –350 3
351 – 465 2
466 – 580 1
Del grafico anterior se puede suponer un comportamiento de distribución de probabilidad de falla exponencial
0
2
4
6
8
6 - 120 121 - 235 236 - 350 351 - 465 466 - 580
Intervalos de Clase (Horas)
Fre
cuen
cia
de F
alla
)(tF )(tR )( itLn it 2 )(. tLnRitOrdinal (i) Tiempo (t)
1 6 0.036 0.964 -0.0366 36 -0.2116
2 14 0.087 0.913 -0.0910 196 -1.2740
3 27 0.139 0.861 -0.1496 729 -4.0392
4 40 0.190 0.810 -0.2107 1600 -8.4280
5 53 0.242 0.758 -0.2770 2809 -14.6810
6 82 0.293 0.707 -0.3467 6724 -28.4294
7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945
Utilizando el método de la regresión lineal para determinar el MTBF, se determina la probabilidad de falla, utilizando la siguiente expresión:
4.0
3.0)(
+−=
N
itF )(1)( tFtR −=
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945
8 103 0.396 0.604 -0.5041 10609 -51.9223
9 107 0.448 0.552 -0.5942 11449 -63.5794
10 120 0.500 0.500 -0.6931 14400 -83.1720
11 134 0.551 0.449 -0.8007 17956 -107.2938
12 185 0.603 0.397 -0.9238 34225 -170.9030
13 230 0.650 0.346 -1.0613 52900 -244.0990
14 250 0.706 0.294 -1.2241 62500 -306.0250
15 280 0.757 0.243 -1.4146 78400 -396.0880
16 320 0.809 0.191 -1.6554 102400 -529.7280
17 375 0.860 0.140 -1.9661 140625 -737.2875
18 450 0.912 0.088 -2.4304 202500 -1093.6800
19 578 0.963 0.037 -3.2968 334084 -1905.5504
Por regresión lineal se obtiene la tasa de falla λ
( ) ( )22.
)(ln.)(ln..
∑∑
∑ ∑ ∑−
−=−
ii
i
ttn
tRttRtniλ
Realizando un resumen estadístico se obtiene:
344919
1
=∑=i
it
∑=
−=19
1
6393.18)(i
itLnR
108316719
1
2 =∑ it
5941.5786)(.19
1
−=∑ tLnRt i
)6393.18).(3449()5941.5786).(19( −−−=− λ
Sustituyendo para obtener la tasa de falla
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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
2)3449()1083167).(19(
)6393.18).(3449()5941.5786).(19(
−−−−
=− λ
3102574.5 −−=− xλ
310*2574.5
11−
==λ
MTBF
MTBF ≅ 190 horas
Aplicando el método de Gumbel I para los tiempos de reparación para obtener MTTR
)(tPf ))(( fPLnLn −it 2 ))((. fi PLnLnt −Ordinal
(i)Tiempo
(t)
1 1 0.05 1.0971 1 1.0971
2 2 0.10 0.8340 4 1.6680
3 3 0.15 0.6403 9 1.9209
4 5 0.20 0.4758 25 2.3790
5 7 0.25 0.3266 49 2.2862
6 8 0.30 0.1856 64 1.4848
( ) ( )22.
))(((.))(((..
∑∑∑ ∑ ∑
−
−−−=−
titin
tPLnLntitPLnLntina
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
6 8 0.30 0.1856 64 1.4848
7 10 0.35 0.0486 100 0.4848
8 12 0.40 -0.0874 144 -1.0488
9 13 0.45 -0.2250 169 -2.9250
10 17 0.50 -0.3665 289 -6.2305
11 18 0.55 -0.5144 324 -9.2592
12 23 0.60 -0.6717 529 -15.4491
13 25 0.65 -0.8421 625 -21.0525
14 28 0.70 -1.0309 784 -28.8652
15 32 0.75 -1.2458 1024 -39.8656
16 33 0.80 -1.4999 1089 -49.4967
17 34 0.85 -1.8169 1156 -61.7746
18 47 0.90 -2.2503 2209 -105.7641
19 60 0.95 -2.9701 3600 -178.2060
( ) ( )22
2
.
)).((.))(((..
∑∑∑ ∑ ∑∑
−
−−−=
titin
titLnPLntitPLnLntiua
Realizando un resumen estadístico de regresión lineal para determinar las constantes
19=n
19
1
( ( )) 9.913ii
Ln LnP t=
− = −∑
19
1
378ii
t=
=∑
192
1
12194ii
t=
=∑19
1
. ( ( )) 508.615i ii
t Ln LnP t=
− =∑
Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.
2)378()12194)(19(
)913.9).(378()615.508).(19(
−−−−
=− a
0666.0−=− a
2)378()12194).(19(
)378)(615.508()913.9).(12194(.
−−−−
=ua
06.120666.0
8037.08037.0 ===a
u horas
73.200666.0
5778.006.12
5778.0 =+=+=a
uMTTR horas
HENRY VILLARROEL
PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD
21MTTR≅ horas
MTTRMTBF
MTBFA
+=
190
190 210.90 90%
A
A
=+
= =