8/17/2019 Parte 2 - Tematica _ Situación Problema

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes

respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer lascaracterísticas del problema que se ha planteado y buscar el método de

solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden

superior:

Problema 1

Una masa que pesa lb! estira un resorte " pulgadas al llegar al reposo en

equilibrio y se le aplica una velocidad de √ 2  pies#seg dirigida hacia

aba$o% &espreciando todas las fuerzas de amortiguación o e'ternas que

puedan estar presentes! determine la ecuación de movimiento de la masa

 $unto con su amplitud! periodo y frecuencia natural% (uánto tiempo

transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de

equilibrio)

 Solución

*nunciado: *l movimiento de un sistema masa+resorte con amortiguación

está regido por la ecuación diferencial%

*l e$ercicio nos pide hallar el tiempo que se demora el resorte en quedar

de nuevo en su posición de equilibrio! luego de que se de$a caer la masa y

se comienza a generar las oscilaciones del resorte%

,ara un caso normal del movimiento de un sistema masa+resorte! se utiliza

la siguiente formula:

d2 x

dt 2  +b

 dx

dt +25 x=0

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,ero como en nuestro caso el sistemas masa+resorte no tiene

amortiguación si no que tenemos un caso de vibración simple%

,ara esto utilizamos la ecuación

d2 x

dt 2  +

dx

dt   x=0

Solución general

 x ( t )=c1cos(√ k m t )+c2cos(√  k m t ) . c1. c2 ER

,ara encontrar - observamos que la masa de lb! estira el resorte "

pulgadas o . pie% *mpleando la ley de /oo-e%

0a forma más común de representar matemáticamente la 0ey de /oo-e es

mediante la ecuación del muelle o resorte! donde se relaciona la fuerza

 F   e$ercida por el resorte con la elongación o alargamiento δ   

provocado por la fuerza e'terna aplicada al e'tremo del mismo%

 F =− Kδ 

*ntonces:

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4=mg=k  1

4

0o que implica   k =16 lb / pie  como g=32 pie /seg2

,  se tiene que

m=  4

32=1

8slug

 y por lo tanto

√ k 

m   1 √16

1

8

  1 8√ 2

0uego:  x (t )=c1 cos (8√ 2t )+c2cos (8√ 2t )

2mponiendo nuestras condiciones inicial son: x (0 )=3 pulgadas=

1

4 pie

 y

 x (0 )=√ 2 pie/seg

3enemos que:

1

4= x (0 )=c

1  

2

√ 2= x (0 )=8√ 2c2

0o que implica quec1=

1

4 y c

2=

1

8  por consiguiente la ecuación del

movimiento de la masa es:

 x(t 

)=

1

4

cos

(8√ 2 t 

)+

1

8

sen(8√ 2 t 

)

,ara e'presar la solución en forma senoidal hacemos

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 A=√ c 12+c22=√ 

5

8tan (∅ )=

c1

c2=2

*ntonces:

 x (t )=√ 5

8

sen (8√ 2 t +∅ )

&onde! ∅=arctan (2 )=1.107

,or lo tanto! la amplitud es  A=√ 5

8 ! el periodo esT =

π 

8√ 2=

π 

4 √ 2  y la

frecuencia natural es  F =4√ 2

π   finalmente el tiempo t que transcurre desde

que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio verifica

8√ 2t +∅=π  ! lo que implicat =

π −∅

8√ 2=0,179

&e esta manera obtenemos que el tiempo que tardara el resorte en llegar a

su posición de equilibrio nuevamente será de: t =0179