Universidad Andres BelloDepartamento de Matematicas

MATEMATICAS - FMM 0022do Semestre, 2012

PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNEViernes 23 de Noviembre de 2012

1. Calcular los siguientes lmites:

(a) limx1

(x 1)2(x2 1)(x3 1)

Sol:

limx1

(x 1)2(x2 1)(x3 1) = limx1

(x 1)2(x 1)(x + 1)(x 1)(x2 + x + 1) =

1

2 3 =1

6

(b) limx0

x2 + 1 1x2 + 4 2

Sol:

limx0

x2 + 1 1x2 + 4 2

x2 + 1 + 1x2 + 1 + 1

x2 + 4 + 2x2 + 4 + 2

= limx0

x2 (x2 + 4 + 2)x2 (x2 + 1 + 1)

= limx0

x2 + 4 + 2x2 + 1 + 1

=4

2= 2

2. Dada la funcion:

f(x) =

3x

a 2 si x < 3

4 + ax si x 3

Encuentre el valor de la constante a tal que limx3

f(x) exista.

Sol:

Basta con imponer que los lnimites laterales sean iguales, es decir:

limx3

3x

a 2 = lim

x3+4 + ax

9a 2 = 4 3a 3

a= 2 a 3 = 2a a2

a2 2a 3 = 0

cuyas soluciones son a = 3 a = 1.

3. (a) Dada la funcion f(x) = (x2 + 1) sin(3x), calcule f (0).Sol:

f (x) = 2x sin(3x) + (x2 + 1) cos(3x) 3Evaluando en x = 0:

f (0) = 0 + 1 1 3 = 3(b) Encuentre y en xy + ey 8x = y.

Sol:

Derivando implcitamente:

y + xy + ey y 8 = y xy + ey y y = 8 y

y = 8 yx + ey 1

4. Demuestre que la funcion y = ex + 2e2x, satisface la ecuacion:

y 6y + 11y 6y = 0

Sol:

y = ex + 4e2x ; y = ex + 8e2x ; y = ex + 16e2x

Reemplazando en la ecuacion:

ex + 16e2x 6(ex + 8e2x) + 11(ex + 4e2x) 6(ex + 2e2x) = 32e2x + 44e2x 12e2x =

12e2x 12e2x = 0

5. La concentracion ( en miligramos/centmetros cubicos ) de un cierto farmaco en el cuerpo de unpaciente t horas despues de la inyeccion viene dada por la funcion:

C(t) =t2

2t3 + 1

Como vara la concentracion del medicamento transcurridas 2 horas?

Sol:

La variacion corresponde a la derivada de C(t):

dC

dt=

2t(2t3 + 1) t2 6t2(2t3 + 1)2

Evaluando en t = 2:

dC

dt=

4 17 96172

= 0.097 miligramos/cm3/hra

R: La concentracion disminuye a razon de -0.097 miligramos/cm3/hra.