_ K p ( m ) ii es un factor de agotamiento y me indica el estado de presion del yacimiento y

J-1 Bo (I - R2) es un factor de caida de presion que me indica el diferencial de presion que se esta

aelicando al yacimiento para tener la tasa de produccion q en este factor R es la relacion Pwf P

Si la ecuacion (1 102) se aplica ala tasa de flujo de dos intervalos consecutivos y se tomara la relacion entre elias se tendria

q ~ P [ jl~~J (I - R ) (1103)

q P (1-J2)~-[ Km )

J-1()B J

EI lade derecho de la ecuacion (1 103) se puede ir evaluando y como se conoce la tasa de flujo del intervalo anterior al que se esta calculando 0 sea qj-1 se puede calcular qj y suponiendo que el intervalo de presion LlPi la tasa de flujo se mantuvo constante en q y se calculo LlNp)i el tiempo requerido para producir este volumen para que la presion cayera de Pi-1 a Pi se obtiene de

IN) ~)

q

y el tiempo total transcurrido hasta que la presion haya caido a Pi es

I = L8I = 1

y de esta forma se puede ir transformando la escala de Np en una escala de tiempo

16 - Prediccion de Yacimientos de Condensado 0 Petr61eos Volatiles

En los metodos tradicionales de prediccion de yacimientos (Pirson Muskat etc) se hace un balance de materiales de tipo volumetrico y se supone que el gas que se va liberando del petroleo permanecera como gas dentro 0 fuera del yacimiento Esto es cierto siempre y cuando el gas que se libera no sufra comportamiento retrogrado en el yacimiento 10 cual ocurre normalmente con yacimientos de petr61eos medianos 0 pesados 0 yacimientos de gas humedo 0 seco

Cuando se trata de yacimientos de petroleo volatil lIamados tambien de petr61eo claro 0 cercanos al punto critico y yacimientos de condensado se presentara condensacion retrograda en el yacimiento y parte de 10 que era gas a una determinada presion pasara a Ifquido a una presion menor

La ocurrencia de condensacion retrograda en el caso de un yacimiento de petroleo volatil puede implicar que la saturacion de liquido despues de un decremento de presion aumente 0 se mantenga constante a pesar de haberse producido un cierto volumen de petroleo yen el caso de un yacimiento de condensado significa que se presenta formacion de saturacion de hidroearburos liquidos y esto desafortunadamente implica perdida de los componentes mas pesados y mas valiosos del gas pues no habra flujo de Ifquido hasta que no se tenga la saturaci6n critiea

56

Si no se tiene en cuenta la condensaci6n retrograda en un yacimiento de petr61eo se tendra como resultado de la predicci6n un factor de recobro mas bajo de 10 que se puede tener pues durante el proceso de condensacion retrograda se esta suponiendo un valor de saturacion menor que el real 10 cual implica mayores valores de KgKo y final mente menor capacidad de produccion y en el caso de un yacimiento de condensado si se permite la ocurrencia de la condensacion retr6grada se presentara la perdida de los componentes mas valiosos del gas y una reduccion en el rendimiento de iquidos

Para evitar la condensaci6n retr6gada en un yacimiento de condensado se acostumbra hacerle al yacimiento mantenimiento de presi6n para evitar que la presi6n del yacimiento lIegue a la presion de r~cio esto se puede hacer con inyeccion de agua 0 de gas en el caso de inyeccion de gas el gas que se inyecta es gas residual proveniente del mismo yacimiento que al lIegar a superficie es procesado para removerle sus componentes pesados y el residuo que es basicamente meta no se inyecta luego al yacimiento y de esta manera se previene la condensacion retrograda por dos razones pues por una parte se presuriza el yacimiento y por otra el gas residual va modificando la composici6n del fluido del yacimiento haciendolo cada vez mas liviano y por tanto reduciendo la zona bifasica del diagrama P-T del fluido del yacimiento desplazando la linea de puntos de rocio hacia la izquierda puede ocurrir que el desplazamiento de la linea de puntos de rocio hacia la izquierda 0 la reduccion de la zona bifasica del diagrama P-T sea tal que la isoterma del yacimiento ya no entre a la zona bifasica y p~r tanto no habra condensaci6n retr6grada en este caso se puede suspender la inyecci6n de gas y continuar la despresurizacion del yacimiento sin peligro de que se presente la condensacion de los elementos mas valiosos del fluido en el yacimiento

Para tener en cuenta la condensacion retrograda en la predicci6n del yacimiento se debe hacer un balance de materiales de tipo composicional y suponer que en el yacimiento se esta presentando una despresurizacion a volumen constante (CVO)

En general el procedimiento se puede plantear de la siguiente manera

i) Se toma una mol del sistema a las condiciones iniciales del yacimiento y al que se Ie conoce la composici6n Se calcula el volumen de esta mol y este sera el volumen que se va a considerar constante es el volumen poroso donde esta almacenado el hidrocarburo Para lIevar este volumen a condiciones normales se debe ademas calcular Bo Rs y Bg a las condiciones iniciales del yacimiento

Ii) Se considera una carda de presion la cual debe ser baja ( unas 50 LPC maximo) y a la nueva presi6n se hace un calculo de fases tomando 1 mol y la composicion inicial del sistema Este calculo de fases permite conocer las moles de gas y vapor su composicion y sus volUmenes

EI volumen total del sistema ahara es

(1 104)

y la diferencia entre este volumen y el volumen inicial del sistema es el volumen que tendra que salir del yacimiento ya que el volumen de este permanece constante

Se debe tam bien calcular a esta presi6n los factores volumetricos Bo Rs Bg Jlt 119

EI volumen drenado sera entonces

Vo=Vs-V (1 105)

iii) Cuando se trata de yacimientos de condensado el volumen drenado sera todo gas mientras el condensado no alcance la saturaci6n critica En el caso de yacimientos de petr61eo volatil 0

condensado con saturaci6n de iquido ya por encima de la saturaci6n critica el volumen drenado estara compuesto de fase vapor y fase liquida y es necesario conocer cuanto sale de cada fase Para ello se procede de la siguiente manera

57

Se supone un cierto valor VOd para el liquido drenado 0 sea que la saturacion de liquido sera

VI - V =So SI (1 106) V

donde VI es el volumen de liquido obtenido en el calculo de fases

Con la saturacion de petroleo se puede obtener KgKo Con los valores KgKo se obtiene la relacion gas petroleo instantanea de

K e fie ~ + R (1 107) R = K B 11K

i

La relacion gas - petroleo instantanea R tambien debe ser igual a

V + Vno R (V - Vf)() ) + (v)()2 Rs

B s S J S ()R = ~ V (1 108)

lJo V )()

So S o

De la ecuacion (1 108) se puede despejar Voo Y compararlo con el valor supuesto Si son iglJales se puede conocer los volumenes de cada fase que han salido del yacimiento y los que permanecen al igual que sus composiciones y por 10 tanto la composicion del sistema de hidrocarburos que permanece en el yacimiento Si no son iguales se asume un nuevo valor pClra Voo que puede ser el que se acaba de calcular 0 el promedio de el supuesto y el caiculado y se repiten los cinco pasos anteriores Se continua este procedimiento hasta que en u a iteracion el valor supuesto sea igual al calculado

iv) Lma vez encontrados el volumen de petroleo y gas removidos durante el decremento de presion se procede a encontrar la composicion del sistema remanente de la siguiente manera

~ 10les de gas remanentes (ngr)

ngr=ng-ngO (1109)

ng=nV (1 110)

p V ) p (V - V()n ) (1 111)

n ed = Z RT Z vRT

donde ng y ngO son las moles de gas obtenidas en el calculo de fases y las moles de gas removidas respectivamente V es la fraccion molar del sistema que es gas de acuerdo con el calculo de fases y Zv es el factor de compresibilidad para la fase vapor

Moles de Uquido Remanentes (NLr)

nLR=nL-nLD (1 112)

nL=nL (1 113)

P Von (1 114)

l1 d= Z RT I

58

donde nL YnLD son las moles de IIquido del calculo de fases y las drenadas respectivamente n son las moles iniciales del sistema sobre las que se realizo el calculo de fases L es la fraccion molar del sistema que es liquido de acuerdo con el calculo de fases y ZI es el factor de compresibilidad para la fase liquida

Conociendo las moles remanentes de cada fase se puede obtener la composicion del sistema remanente asi

(1115) n~r + nr

v) Se asume un nuevo decremento de presion y se repiten los pasos ii) - iv) teniendo en cuenta que el calculo de fases se realiza sobre las moles remanentes obtenidas en el decremento anterior y cuya composicion se ha obtenido con la ecuacion (1108)

vi) EI procedimiento continua hasta que se Iiegue a la presion de abandono preestablecida hasta la cual se quiere realizar la prediccion

vii) La informacion obtenida se puede presentar finalmente de muchas formas por ejemplo en el caso de la prediccion de un yacimiento a cada presion se puede obtener NpN RGP acumulada y R En el caso de un condensado se presenta la cantidad de gas producida y el rendimiento de liquido ademas del contenido de fraccion pesada en el sistema remanente

La Figura 9 muestra el diagrama de bloques para este tipo de aplicacion del calculo de equilibrio liquido - vapor

Otra forma de hacer la prediccion del comportamiento de un yacimiento de condensado es usando los resultados de una prueba de laboratorio conocida como prueba CVD (Constant Volume Depletion) en la cual se toma en una celda PVT una muestra de volumen V y composicion Zi una presion Po igual a la presion inicial del yacimiento Cuando la muestra se despresuriza hasta una presion P lt Poa esta presion ocupara un volumen igual a V+tN =V y habra condensacion de un volumen L de liquido tal como 10 muestra la Figura 10 este incremento en volumen es 10 que se expande el fluido del yacimiento al ocurrir la disminucion de presion y es el mismo volumen que tendra que salir del yacimiento pues su capacidad de almacenamiento es V EI liquido L no saldra del yacimiento y por tanto la cantidad tN que sale del yacimiento es todo gas EI gas que se retira de la celda PVT se hace manteniendo la presion P y cuando se haya removido el gas la celda tendra nuevamente un volumen V de hidrocarburos compuesto por (V - tV - L) unidades de volumen de gas y L unidades de volumen de condensado y estara lista para la despresurizacion desde P hasta P2 AI gas que se retira en cada despresurizacion se determina su composicion

AI final de la prueba se puede elaborar una tabla como la tabla 1

La columna tVi (CY) da el volumen de gas removido de la celda en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda (CY) y la columna tVi (CN) da el mismo volumen pero medido a condiciones normales la columna Zi es la relacion entre el volumen de gas removido en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda que sera el volumen real y ese mismo volumen de gas a condiciones de la celda calculado usando la ecuacion de estado del gas ideal para calcular este ultimo volumen se requiere conocer el numero de moleS de gas removidas en cada despresurizacion y esto se puede hacer dividiendo la columna tVi (CN) por 379

59

Tabla 1- Resultados de una Prueba CVD

Presion Composicion del Gas tNi

(CY) Li (CY)

tNi (CN)

Zi C1 C2 C3 C4 Cn

Po ---shy --shy ---shy ---shy --shy 0 0 0 Zo P1 --shy --shy --shy --shy --- tN i L1 --shyP2 --shy --shy --shy --shy --shy tV2 L2 --shy Z2

Pn --shy --shy --shy --shy --shy tVn Ln --- Zn

La Figura 10 muestra las despresurizaciones desde Po a P1y desde P1a P2

Con la informacion de la prueba CVD dada en la tabla anterior se puede proceder a hacer la predicci6n del yacimiento tomando una unidad de volumen de yacimiento por ejemplo un acrepie que es igual a 43560 pies3

y elaborando una tabla como la que se muestra en la tabla 2

Tabla 2- Calculos para la Prediccion de un Yacimiento de Condensado Usando los Resultados de un Prueba CVD

(1 ) (2) -(3) (41 (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11)

P t V (PCN)

poundtVi (PCN)

tVir (PCN)

poundtVir (PCN)

Vu (Bls)

pound Vu (Bls)

Ri (PCNBN)

(~) ()

(~J ()

LV 1

N

(L -

Para elaborar la tabla anterior se hace 10 siguiente

EI volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento es

V =43560(I-S )If If w

La relacion entre el volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento y el volumen de la celda donde se realize la prueba CVD es

43560cent (I- S w ) r= (1116)

V (c1Ja

Por 10 tanto la columna (2) de la tabla anterior es la columna de (tVilcN de la tabla de resultados de la prueba CVD multiplicada por r La columna (3) es la sumatoria de la columna (2) y es el acumulado de gas humedo en PCN que se han recuperado del yacimiento a la presion dada

EI gas residual es 10 que queda despues de retirarle en superficie al gas producido sus componentes pesados 0 sea despues de removerle al gas humedo producido su GPM Por 10

tanto la columna (4) se obtiene de

(~V) 7 F Y ~VIr = I CN (1-L--) (1 117)

1=1

60

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Si no se tiene en cuenta la condensaci6n retrograda en un yacimiento de petr61eo se tendra como resultado de la predicci6n un factor de recobro mas bajo de 10 que se puede tener pues durante el proceso de condensacion retrograda se esta suponiendo un valor de saturacion menor que el real 10 cual implica mayores valores de KgKo y final mente menor capacidad de produccion y en el caso de un yacimiento de condensado si se permite la ocurrencia de la condensacion retr6grada se presentara la perdida de los componentes mas valiosos del gas y una reduccion en el rendimiento de iquidos

Para evitar la condensaci6n retr6gada en un yacimiento de condensado se acostumbra hacerle al yacimiento mantenimiento de presi6n para evitar que la presi6n del yacimiento lIegue a la presion de r~cio esto se puede hacer con inyeccion de agua 0 de gas en el caso de inyeccion de gas el gas que se inyecta es gas residual proveniente del mismo yacimiento que al lIegar a superficie es procesado para removerle sus componentes pesados y el residuo que es basicamente meta no se inyecta luego al yacimiento y de esta manera se previene la condensacion retrograda por dos razones pues por una parte se presuriza el yacimiento y por otra el gas residual va modificando la composici6n del fluido del yacimiento haciendolo cada vez mas liviano y por tanto reduciendo la zona bifasica del diagrama P-T del fluido del yacimiento desplazando la linea de puntos de rocio hacia la izquierda puede ocurrir que el desplazamiento de la linea de puntos de rocio hacia la izquierda 0 la reduccion de la zona bifasica del diagrama P-T sea tal que la isoterma del yacimiento ya no entre a la zona bifasica y p~r tanto no habra condensaci6n retr6grada en este caso se puede suspender la inyecci6n de gas y continuar la despresurizacion del yacimiento sin peligro de que se presente la condensacion de los elementos mas valiosos del fluido en el yacimiento

Para tener en cuenta la condensacion retrograda en la predicci6n del yacimiento se debe hacer un balance de materiales de tipo composicional y suponer que en el yacimiento se esta presentando una despresurizacion a volumen constante (CVO)

En general el procedimiento se puede plantear de la siguiente manera

i) Se toma una mol del sistema a las condiciones iniciales del yacimiento y al que se Ie conoce la composici6n Se calcula el volumen de esta mol y este sera el volumen que se va a considerar constante es el volumen poroso donde esta almacenado el hidrocarburo Para lIevar este volumen a condiciones normales se debe ademas calcular Bo Rs y Bg a las condiciones iniciales del yacimiento

Ii) Se considera una carda de presion la cual debe ser baja ( unas 50 LPC maximo) y a la nueva presi6n se hace un calculo de fases tomando 1 mol y la composicion inicial del sistema Este calculo de fases permite conocer las moles de gas y vapor su composicion y sus volUmenes

EI volumen total del sistema ahara es

(1 104)

y la diferencia entre este volumen y el volumen inicial del sistema es el volumen que tendra que salir del yacimiento ya que el volumen de este permanece constante

Se debe tam bien calcular a esta presi6n los factores volumetricos Bo Rs Bg Jlt 119

EI volumen drenado sera entonces

Vo=Vs-V (1 105)

iii) Cuando se trata de yacimientos de condensado el volumen drenado sera todo gas mientras el condensado no alcance la saturaci6n critica En el caso de yacimientos de petr61eo volatil 0

condensado con saturaci6n de iquido ya por encima de la saturaci6n critica el volumen drenado estara compuesto de fase vapor y fase liquida y es necesario conocer cuanto sale de cada fase Para ello se procede de la siguiente manera

57

Se supone un cierto valor VOd para el liquido drenado 0 sea que la saturacion de liquido sera

VI - V =So SI (1 106) V

donde VI es el volumen de liquido obtenido en el calculo de fases

Con la saturacion de petroleo se puede obtener KgKo Con los valores KgKo se obtiene la relacion gas petroleo instantanea de

K e fie ~ + R (1 107) R = K B 11K

i

La relacion gas - petroleo instantanea R tambien debe ser igual a

V + Vno R (V - Vf)() ) + (v)()2 Rs

B s S J S ()R = ~ V (1 108)

lJo V )()

So S o

De la ecuacion (1 108) se puede despejar Voo Y compararlo con el valor supuesto Si son iglJales se puede conocer los volumenes de cada fase que han salido del yacimiento y los que permanecen al igual que sus composiciones y por 10 tanto la composicion del sistema de hidrocarburos que permanece en el yacimiento Si no son iguales se asume un nuevo valor pClra Voo que puede ser el que se acaba de calcular 0 el promedio de el supuesto y el caiculado y se repiten los cinco pasos anteriores Se continua este procedimiento hasta que en u a iteracion el valor supuesto sea igual al calculado

iv) Lma vez encontrados el volumen de petroleo y gas removidos durante el decremento de presion se procede a encontrar la composicion del sistema remanente de la siguiente manera

~ 10les de gas remanentes (ngr)

ngr=ng-ngO (1109)

ng=nV (1 110)

p V ) p (V - V()n ) (1 111)

n ed = Z RT Z vRT

donde ng y ngO son las moles de gas obtenidas en el calculo de fases y las moles de gas removidas respectivamente V es la fraccion molar del sistema que es gas de acuerdo con el calculo de fases y Zv es el factor de compresibilidad para la fase vapor

Moles de Uquido Remanentes (NLr)

nLR=nL-nLD (1 112)

nL=nL (1 113)

P Von (1 114)

l1 d= Z RT I

58

donde nL YnLD son las moles de IIquido del calculo de fases y las drenadas respectivamente n son las moles iniciales del sistema sobre las que se realizo el calculo de fases L es la fraccion molar del sistema que es liquido de acuerdo con el calculo de fases y ZI es el factor de compresibilidad para la fase liquida

Conociendo las moles remanentes de cada fase se puede obtener la composicion del sistema remanente asi

(1115) n~r + nr

v) Se asume un nuevo decremento de presion y se repiten los pasos ii) - iv) teniendo en cuenta que el calculo de fases se realiza sobre las moles remanentes obtenidas en el decremento anterior y cuya composicion se ha obtenido con la ecuacion (1108)

vi) EI procedimiento continua hasta que se Iiegue a la presion de abandono preestablecida hasta la cual se quiere realizar la prediccion

vii) La informacion obtenida se puede presentar finalmente de muchas formas por ejemplo en el caso de la prediccion de un yacimiento a cada presion se puede obtener NpN RGP acumulada y R En el caso de un condensado se presenta la cantidad de gas producida y el rendimiento de liquido ademas del contenido de fraccion pesada en el sistema remanente

La Figura 9 muestra el diagrama de bloques para este tipo de aplicacion del calculo de equilibrio liquido - vapor

Otra forma de hacer la prediccion del comportamiento de un yacimiento de condensado es usando los resultados de una prueba de laboratorio conocida como prueba CVD (Constant Volume Depletion) en la cual se toma en una celda PVT una muestra de volumen V y composicion Zi una presion Po igual a la presion inicial del yacimiento Cuando la muestra se despresuriza hasta una presion P lt Poa esta presion ocupara un volumen igual a V+tN =V y habra condensacion de un volumen L de liquido tal como 10 muestra la Figura 10 este incremento en volumen es 10 que se expande el fluido del yacimiento al ocurrir la disminucion de presion y es el mismo volumen que tendra que salir del yacimiento pues su capacidad de almacenamiento es V EI liquido L no saldra del yacimiento y por tanto la cantidad tN que sale del yacimiento es todo gas EI gas que se retira de la celda PVT se hace manteniendo la presion P y cuando se haya removido el gas la celda tendra nuevamente un volumen V de hidrocarburos compuesto por (V - tV - L) unidades de volumen de gas y L unidades de volumen de condensado y estara lista para la despresurizacion desde P hasta P2 AI gas que se retira en cada despresurizacion se determina su composicion

AI final de la prueba se puede elaborar una tabla como la tabla 1

La columna tVi (CY) da el volumen de gas removido de la celda en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda (CY) y la columna tVi (CN) da el mismo volumen pero medido a condiciones normales la columna Zi es la relacion entre el volumen de gas removido en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda que sera el volumen real y ese mismo volumen de gas a condiciones de la celda calculado usando la ecuacion de estado del gas ideal para calcular este ultimo volumen se requiere conocer el numero de moleS de gas removidas en cada despresurizacion y esto se puede hacer dividiendo la columna tVi (CN) por 379

59

Tabla 1- Resultados de una Prueba CVD

Presion Composicion del Gas tNi

(CY) Li (CY)

tNi (CN)

Zi C1 C2 C3 C4 Cn

Po ---shy --shy ---shy ---shy --shy 0 0 0 Zo P1 --shy --shy --shy --shy --- tN i L1 --shyP2 --shy --shy --shy --shy --shy tV2 L2 --shy Z2

Pn --shy --shy --shy --shy --shy tVn Ln --- Zn

La Figura 10 muestra las despresurizaciones desde Po a P1y desde P1a P2

Con la informacion de la prueba CVD dada en la tabla anterior se puede proceder a hacer la predicci6n del yacimiento tomando una unidad de volumen de yacimiento por ejemplo un acrepie que es igual a 43560 pies3

y elaborando una tabla como la que se muestra en la tabla 2

Tabla 2- Calculos para la Prediccion de un Yacimiento de Condensado Usando los Resultados de un Prueba CVD

(1 ) (2) -(3) (41 (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11)

P t V (PCN)

poundtVi (PCN)

tVir (PCN)

poundtVir (PCN)

Vu (Bls)

pound Vu (Bls)

Ri (PCNBN)

(~) ()

(~J ()

LV 1

N

(L -

Para elaborar la tabla anterior se hace 10 siguiente

EI volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento es

V =43560(I-S )If If w

La relacion entre el volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento y el volumen de la celda donde se realize la prueba CVD es

43560cent (I- S w ) r= (1116)

V (c1Ja

Por 10 tanto la columna (2) de la tabla anterior es la columna de (tVilcN de la tabla de resultados de la prueba CVD multiplicada por r La columna (3) es la sumatoria de la columna (2) y es el acumulado de gas humedo en PCN que se han recuperado del yacimiento a la presion dada

EI gas residual es 10 que queda despues de retirarle en superficie al gas producido sus componentes pesados 0 sea despues de removerle al gas humedo producido su GPM Por 10

tanto la columna (4) se obtiene de

(~V) 7 F Y ~VIr = I CN (1-L--) (1 117)

1=1

60

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Se supone un cierto valor VOd para el liquido drenado 0 sea que la saturacion de liquido sera

VI - V =So SI (1 106) V

donde VI es el volumen de liquido obtenido en el calculo de fases

Con la saturacion de petroleo se puede obtener KgKo Con los valores KgKo se obtiene la relacion gas petroleo instantanea de

K e fie ~ + R (1 107) R = K B 11K

i

La relacion gas - petroleo instantanea R tambien debe ser igual a

V + Vno R (V - Vf)() ) + (v)()2 Rs

B s S J S ()R = ~ V (1 108)

lJo V )()

So S o

De la ecuacion (1 108) se puede despejar Voo Y compararlo con el valor supuesto Si son iglJales se puede conocer los volumenes de cada fase que han salido del yacimiento y los que permanecen al igual que sus composiciones y por 10 tanto la composicion del sistema de hidrocarburos que permanece en el yacimiento Si no son iguales se asume un nuevo valor pClra Voo que puede ser el que se acaba de calcular 0 el promedio de el supuesto y el caiculado y se repiten los cinco pasos anteriores Se continua este procedimiento hasta que en u a iteracion el valor supuesto sea igual al calculado

iv) Lma vez encontrados el volumen de petroleo y gas removidos durante el decremento de presion se procede a encontrar la composicion del sistema remanente de la siguiente manera

~ 10les de gas remanentes (ngr)

ngr=ng-ngO (1109)

ng=nV (1 110)

p V ) p (V - V()n ) (1 111)

n ed = Z RT Z vRT

donde ng y ngO son las moles de gas obtenidas en el calculo de fases y las moles de gas removidas respectivamente V es la fraccion molar del sistema que es gas de acuerdo con el calculo de fases y Zv es el factor de compresibilidad para la fase vapor

Moles de Uquido Remanentes (NLr)

nLR=nL-nLD (1 112)

nL=nL (1 113)

P Von (1 114)

l1 d= Z RT I

58

donde nL YnLD son las moles de IIquido del calculo de fases y las drenadas respectivamente n son las moles iniciales del sistema sobre las que se realizo el calculo de fases L es la fraccion molar del sistema que es liquido de acuerdo con el calculo de fases y ZI es el factor de compresibilidad para la fase liquida

Conociendo las moles remanentes de cada fase se puede obtener la composicion del sistema remanente asi

(1115) n~r + nr

v) Se asume un nuevo decremento de presion y se repiten los pasos ii) - iv) teniendo en cuenta que el calculo de fases se realiza sobre las moles remanentes obtenidas en el decremento anterior y cuya composicion se ha obtenido con la ecuacion (1108)

vi) EI procedimiento continua hasta que se Iiegue a la presion de abandono preestablecida hasta la cual se quiere realizar la prediccion

vii) La informacion obtenida se puede presentar finalmente de muchas formas por ejemplo en el caso de la prediccion de un yacimiento a cada presion se puede obtener NpN RGP acumulada y R En el caso de un condensado se presenta la cantidad de gas producida y el rendimiento de liquido ademas del contenido de fraccion pesada en el sistema remanente

La Figura 9 muestra el diagrama de bloques para este tipo de aplicacion del calculo de equilibrio liquido - vapor

Otra forma de hacer la prediccion del comportamiento de un yacimiento de condensado es usando los resultados de una prueba de laboratorio conocida como prueba CVD (Constant Volume Depletion) en la cual se toma en una celda PVT una muestra de volumen V y composicion Zi una presion Po igual a la presion inicial del yacimiento Cuando la muestra se despresuriza hasta una presion P lt Poa esta presion ocupara un volumen igual a V+tN =V y habra condensacion de un volumen L de liquido tal como 10 muestra la Figura 10 este incremento en volumen es 10 que se expande el fluido del yacimiento al ocurrir la disminucion de presion y es el mismo volumen que tendra que salir del yacimiento pues su capacidad de almacenamiento es V EI liquido L no saldra del yacimiento y por tanto la cantidad tN que sale del yacimiento es todo gas EI gas que se retira de la celda PVT se hace manteniendo la presion P y cuando se haya removido el gas la celda tendra nuevamente un volumen V de hidrocarburos compuesto por (V - tV - L) unidades de volumen de gas y L unidades de volumen de condensado y estara lista para la despresurizacion desde P hasta P2 AI gas que se retira en cada despresurizacion se determina su composicion

AI final de la prueba se puede elaborar una tabla como la tabla 1

La columna tVi (CY) da el volumen de gas removido de la celda en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda (CY) y la columna tVi (CN) da el mismo volumen pero medido a condiciones normales la columna Zi es la relacion entre el volumen de gas removido en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda que sera el volumen real y ese mismo volumen de gas a condiciones de la celda calculado usando la ecuacion de estado del gas ideal para calcular este ultimo volumen se requiere conocer el numero de moleS de gas removidas en cada despresurizacion y esto se puede hacer dividiendo la columna tVi (CN) por 379

59

Tabla 1- Resultados de una Prueba CVD

Presion Composicion del Gas tNi

(CY) Li (CY)

tNi (CN)

Zi C1 C2 C3 C4 Cn

Po ---shy --shy ---shy ---shy --shy 0 0 0 Zo P1 --shy --shy --shy --shy --- tN i L1 --shyP2 --shy --shy --shy --shy --shy tV2 L2 --shy Z2

Pn --shy --shy --shy --shy --shy tVn Ln --- Zn

La Figura 10 muestra las despresurizaciones desde Po a P1y desde P1a P2

Con la informacion de la prueba CVD dada en la tabla anterior se puede proceder a hacer la predicci6n del yacimiento tomando una unidad de volumen de yacimiento por ejemplo un acrepie que es igual a 43560 pies3

y elaborando una tabla como la que se muestra en la tabla 2

Tabla 2- Calculos para la Prediccion de un Yacimiento de Condensado Usando los Resultados de un Prueba CVD

(1 ) (2) -(3) (41 (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11)

P t V (PCN)

poundtVi (PCN)

tVir (PCN)

poundtVir (PCN)

Vu (Bls)

pound Vu (Bls)

Ri (PCNBN)

(~) ()

(~J ()

LV 1

N

(L -

Para elaborar la tabla anterior se hace 10 siguiente

EI volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento es

V =43560(I-S )If If w

La relacion entre el volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento y el volumen de la celda donde se realize la prueba CVD es

43560cent (I- S w ) r= (1116)

V (c1Ja

Por 10 tanto la columna (2) de la tabla anterior es la columna de (tVilcN de la tabla de resultados de la prueba CVD multiplicada por r La columna (3) es la sumatoria de la columna (2) y es el acumulado de gas humedo en PCN que se han recuperado del yacimiento a la presion dada

EI gas residual es 10 que queda despues de retirarle en superficie al gas producido sus componentes pesados 0 sea despues de removerle al gas humedo producido su GPM Por 10

tanto la columna (4) se obtiene de

(~V) 7 F Y ~VIr = I CN (1-L--) (1 117)

1=1

60

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

donde nL YnLD son las moles de IIquido del calculo de fases y las drenadas respectivamente n son las moles iniciales del sistema sobre las que se realizo el calculo de fases L es la fraccion molar del sistema que es liquido de acuerdo con el calculo de fases y ZI es el factor de compresibilidad para la fase liquida

Conociendo las moles remanentes de cada fase se puede obtener la composicion del sistema remanente asi

(1115) n~r + nr

v) Se asume un nuevo decremento de presion y se repiten los pasos ii) - iv) teniendo en cuenta que el calculo de fases se realiza sobre las moles remanentes obtenidas en el decremento anterior y cuya composicion se ha obtenido con la ecuacion (1108)

vi) EI procedimiento continua hasta que se Iiegue a la presion de abandono preestablecida hasta la cual se quiere realizar la prediccion

vii) La informacion obtenida se puede presentar finalmente de muchas formas por ejemplo en el caso de la prediccion de un yacimiento a cada presion se puede obtener NpN RGP acumulada y R En el caso de un condensado se presenta la cantidad de gas producida y el rendimiento de liquido ademas del contenido de fraccion pesada en el sistema remanente

La Figura 9 muestra el diagrama de bloques para este tipo de aplicacion del calculo de equilibrio liquido - vapor

Otra forma de hacer la prediccion del comportamiento de un yacimiento de condensado es usando los resultados de una prueba de laboratorio conocida como prueba CVD (Constant Volume Depletion) en la cual se toma en una celda PVT una muestra de volumen V y composicion Zi una presion Po igual a la presion inicial del yacimiento Cuando la muestra se despresuriza hasta una presion P lt Poa esta presion ocupara un volumen igual a V+tN =V y habra condensacion de un volumen L de liquido tal como 10 muestra la Figura 10 este incremento en volumen es 10 que se expande el fluido del yacimiento al ocurrir la disminucion de presion y es el mismo volumen que tendra que salir del yacimiento pues su capacidad de almacenamiento es V EI liquido L no saldra del yacimiento y por tanto la cantidad tN que sale del yacimiento es todo gas EI gas que se retira de la celda PVT se hace manteniendo la presion P y cuando se haya removido el gas la celda tendra nuevamente un volumen V de hidrocarburos compuesto por (V - tV - L) unidades de volumen de gas y L unidades de volumen de condensado y estara lista para la despresurizacion desde P hasta P2 AI gas que se retira en cada despresurizacion se determina su composicion

AI final de la prueba se puede elaborar una tabla como la tabla 1

La columna tVi (CY) da el volumen de gas removido de la celda en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda (CY) y la columna tVi (CN) da el mismo volumen pero medido a condiciones normales la columna Zi es la relacion entre el volumen de gas removido en cada despresurizacion medido a condiciones de la celda que sera el volumen real y ese mismo volumen de gas a condiciones de la celda calculado usando la ecuacion de estado del gas ideal para calcular este ultimo volumen se requiere conocer el numero de moleS de gas removidas en cada despresurizacion y esto se puede hacer dividiendo la columna tVi (CN) por 379

59

Tabla 1- Resultados de una Prueba CVD

Presion Composicion del Gas tNi

(CY) Li (CY)

tNi (CN)

Zi C1 C2 C3 C4 Cn

Po ---shy --shy ---shy ---shy --shy 0 0 0 Zo P1 --shy --shy --shy --shy --- tN i L1 --shyP2 --shy --shy --shy --shy --shy tV2 L2 --shy Z2

Pn --shy --shy --shy --shy --shy tVn Ln --- Zn

La Figura 10 muestra las despresurizaciones desde Po a P1y desde P1a P2

Con la informacion de la prueba CVD dada en la tabla anterior se puede proceder a hacer la predicci6n del yacimiento tomando una unidad de volumen de yacimiento por ejemplo un acrepie que es igual a 43560 pies3

y elaborando una tabla como la que se muestra en la tabla 2

Tabla 2- Calculos para la Prediccion de un Yacimiento de Condensado Usando los Resultados de un Prueba CVD

(1 ) (2) -(3) (41 (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11)

P t V (PCN)

poundtVi (PCN)

tVir (PCN)

poundtVir (PCN)

Vu (Bls)

pound Vu (Bls)

Ri (PCNBN)

(~) ()

(~J ()

LV 1

N

(L -

Para elaborar la tabla anterior se hace 10 siguiente

EI volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento es

V =43560(I-S )If If w

La relacion entre el volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento y el volumen de la celda donde se realize la prueba CVD es

43560cent (I- S w ) r= (1116)

V (c1Ja

Por 10 tanto la columna (2) de la tabla anterior es la columna de (tVilcN de la tabla de resultados de la prueba CVD multiplicada por r La columna (3) es la sumatoria de la columna (2) y es el acumulado de gas humedo en PCN que se han recuperado del yacimiento a la presion dada

EI gas residual es 10 que queda despues de retirarle en superficie al gas producido sus componentes pesados 0 sea despues de removerle al gas humedo producido su GPM Por 10

tanto la columna (4) se obtiene de

(~V) 7 F Y ~VIr = I CN (1-L--) (1 117)

1=1

60

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Tabla 1- Resultados de una Prueba CVD

Presion Composicion del Gas tNi

(CY) Li (CY)

tNi (CN)

Zi C1 C2 C3 C4 Cn

Po ---shy --shy ---shy ---shy --shy 0 0 0 Zo P1 --shy --shy --shy --shy --- tN i L1 --shyP2 --shy --shy --shy --shy --shy tV2 L2 --shy Z2

Pn --shy --shy --shy --shy --shy tVn Ln --- Zn

La Figura 10 muestra las despresurizaciones desde Po a P1y desde P1a P2

Con la informacion de la prueba CVD dada en la tabla anterior se puede proceder a hacer la predicci6n del yacimiento tomando una unidad de volumen de yacimiento por ejemplo un acrepie que es igual a 43560 pies3

y elaborando una tabla como la que se muestra en la tabla 2

Tabla 2- Calculos para la Prediccion de un Yacimiento de Condensado Usando los Resultados de un Prueba CVD

(1 ) (2) -(3) (41 (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11)

P t V (PCN)

poundtVi (PCN)

tVir (PCN)

poundtVir (PCN)

Vu (Bls)

pound Vu (Bls)

Ri (PCNBN)

(~) ()

(~J ()

LV 1

N

(L -

Para elaborar la tabla anterior se hace 10 siguiente

EI volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento es

V =43560(I-S )If If w

La relacion entre el volumen de gas contenido en un acre-pie de yacimiento y el volumen de la celda donde se realize la prueba CVD es

43560cent (I- S w ) r= (1116)

V (c1Ja

Por 10 tanto la columna (2) de la tabla anterior es la columna de (tVilcN de la tabla de resultados de la prueba CVD multiplicada por r La columna (3) es la sumatoria de la columna (2) y es el acumulado de gas humedo en PCN que se han recuperado del yacimiento a la presion dada

EI gas residual es 10 que queda despues de retirarle en superficie al gas producido sus componentes pesados 0 sea despues de removerle al gas humedo producido su GPM Por 10

tanto la columna (4) se obtiene de

(~V) 7 F Y ~VIr = I CN (1-L--) (1 117)

1=1

60

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

donde F es la fracci6n del componente i que se puede retirar del gas humedo

La columna (5) es la sumatoria de la columna (4)

Suponiendo que el liquido condensado en el yacimiento permanece en el yacimiento el volumen de liquido que aparece en la columna (6) es el removido del gas que aparece en la columna (2) 0 sea

(AV ) = (~ Vi tv f FYMW Bl )Ll I L ( s ( 1 118)

379565 =) p

La columna (7) es la sumatoria de la columna (6)

La columna (8) se obtiene de dividir la columna (4) por la columna (6)

Entrar Datos ~Tc PCi Wi i=1n

p T Pa 6P

1 Reallzar Calcu lo de Fases a

PyT En con trar el vol umen que

_ l _ _ bull _ _ - - - - - -

~ Calcu lar Bo v R _ a P v

G~ L-___--__---

Real izar calculo de lases a P Encontrar VL Vg Y Vs

Calcular So y Calcul ar

KglK

Figura 9 Diagrama de Bloques para los Calculos de una prediccion de Yacimientos

6 1

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Caleular R de

R= K ~~Rs Ko JJ B ~ lt~

C aleul ar Voo de

VsVOll = --oBo--------shy

-(R-Rs)+lB

VO O)C3IC= Voo)sup

SI

Obtener Moles Remanentes Liquido y Vapor

Impnmir P Y cantidades Produei das de Iiquido y Vapor

NO

0)

p gtp ~- 10 SI ~)

NO

Figura 9 Continuacion

Para obtener las columnas (9) y (10) se debe obtener G y esto se puede hacer con

G = r VddaI S ) ( peN) (1119)

Una vez conocido G la columna (9) es la columna (3) dividido por G y la (10) es la columna (5) dividida por G

Para calcular la columna (11) se requiere Ny este se puede obtener de

N = G 7middot F yi OMW

379 56 15 ~ (Sis) = P

(1120)

62

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

donde Y O es la fracci6n molar del gas inicialmente en el yacimiento

Calculado N la columna (11) se obtiene de dividir la columna (7) por N

Ir=Z= PI rshy~P=P i

vI

~ rI l

t VLI

i

T ~

P=P 1 Vgd2P2

1 If V

_ _ - -- _-- -- --shy

T + VL VL2

Figura 10- Prueba CVD

63

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

17 -Comportamiento de Acuiferos

Se conoce como acuifero el yacimiento con saturacion 100 de agua que rodea un yacimiento de hidrocarburos EI acuifero puede tener contacto con el yacimiento a traves del limite inferior de este y en este caso se habla de acuifero de fondo 0 a traves de su limite externo en la direccion radialy en este caso se habla de acuifero lateral 0 de curia

AI disminuir la presion del yacimiento esta caida de presion IIegara eventualmente al contacto de este con eJ acuifero y empezara a pasar agua de este ultimo al primero esto es 10 que se conoce como empuje hidraulico y es un mecanismo de conservacion de la presion del yacimiento pues los fluidos que salen de este son reemplazados por el agua procedente del acuifero

EI agua normal mente tiene mucha mas movilidad que el petroleo y trata de irrumpir a traves del yacimienlo ocasionando en el caso de los acuiferos de fondo 10 que se conoce como conificacion del agua y en el caso de los laterales el fenomeno conocido como digitacion En ambos casos se tiene reduccion de la capacidad de flujo del petroleo pero el problema mas critico se puede presentar con la conificacion pues rapidamente se puede tener presencia de agua en el pozo bloqueando la salida del aceite y adem as fluyendo hacia el pozo

Los acuiferos tambien se pueden clasificar de acuerdo al flujo que se presenta en ellos y en este caso se habla de acuiferos lineales y radiales los primeros seran los de fondo y los laterales seran radiales cuando contactan el yacimiento a traves de los 360 0

0 una fraccion apreciable de la circunferencia cuando esta fraccion es pequeria su comportamiento se aproxima mas al caso lineal En los dos casos el acuifero puede ser finito 0 infinito Un acuifero se considera infinito cuando su tamario es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que viaje a traves del yacimiento y Ilegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior del acuifero requerira demasiado tiempo para lIegar allimite exterior del mismo de todos modos cuando ya la perturbacion de presion IIegue al limite exterior del acuifero este ya se consldera finito pero el tiempo para que esto ocurra dependiendo del tamario del acuifero puede ser mayor incluso que la vida del yacimiento un acuifero con una relacion radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento mayor de 10 generalmente se puede considerar infinito Un acuifero se considera finito cuando su tamario no es mucho mayor que el tamario del yacimiento y por tanto una perturbacion de presion que ha viajado a traves del yacimiento y IIegue al contacto de este con el acuifero conocido como limite interior de este requerira poco tiempo para IIegar al limite exterior del acuifero de todas maneras aun cuando el acuifero es pequeno mientras la perturbacion de presion no IIegue a su limite exterior se considera infinito acuiferos de relaciones radio exterior del acuiferol radio exterior del yacimiento menores de 10 se consideran normal mente finitos

Cuando el acuifero empieza actuar es necesano conocer su comportamiento porque afecta el del yacimiento especial mente en 10 que tiene que ver con la presion del mismo

EI comportamiento del acuifero se puede describir con expresiones que se obtienen dependiendo de la geometria y tamario del mismo y de las condiciones iniciales y de frontera que se establezcan en cada caso Las soluciones mas comunes son las de presion y tasa terminal constante tanto para acuiferos lineales como radiales y en cada caso de tamano infinito 0 finito Sin embargo las soluciones mas usadas son las de presion terminal constante para acuiferos infinitos y para los finitos cerrados 0 sea los que no tienen comunicacion en su limite exterior Ademas se puede hablar de una expresion conocida como solucion trivial la cual es aplicable cuando se tienen acuiferos finitos y de tamano pequerio y con buena permeabilidad de tal forma que se pueda pensar que una perturbacion de presion que IIega al acuifero se pueda considerar que se propaga inmediatamente a todo el sistema

171 -Descripcion del Comportamiento de Acuiferos Radiales

64

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Es necesario tener una expresion que me relacione la cantidad de agua 0 la tasa de agua que pasa del acuifero al yacimiento con la caida de pesion y con el tiempo para poder por eJemplo calcular la cantidad de agua que ha entrado al yacimiento y aplicar a este la ecuacion de Balance de Materiales

Para todas los casos de soluciones de presion terminal con stante que ya se dijo es la solucion que mas se usa en el caso de acuiferos la expresion que describe el comportamlento del acuffero se expresa por

W Y(t p) (1 121) = ewe

donde ewe se conoce como la constante de intrusion del acuifero y su valor depende de las propiedades ffsicas y la geometria del acuifero y Y(tP) es una ex presion que es funcion del tiempo y la presion y su forma depende del tamano del acuifero su geometria y el modelo y regimen de flujo que se presenta a traves de el

Existen diferentes modelos para describir el comportamiento de un acuffero dependiendo de su tamano y el regimen de flujo que se presenta para que el agua pase hacia el yacimiento Se analiza ran a continuacion algunos

1711- Modelo para acuiferos pequenos Conocida tambien como modelo de acuiferosPot se basa en la solucion trivial dada por la ecuacion (1 22)

(122)

es una solucion que se puede aplicar en las condiciones mencionadas antes y facilita el analisis del comportamiento del yacimiento

Para acomodar la ecuacion (1 22) a la ecuacion (1 121) se hace

ewe - (r 2 shy 2) h f (e)-Jr (I r qJ (1122)

y

Y(t p)=f)p(t) = (~ -p(t)) (1 123)

1712- Modelo para Flujo Continuo(8)

Supone que la tasa de intrusion de agua se puede describir como

dW e =qw =Cg (Pi - P) =~ (1124)

don de P es la presion en el contacto acuifero yacimiento y Pi es la presion inicial del sistema acu ifero - Yacimiento

como se ve este metodo no requiere conocer caracterfsticas del yacimiento pues Cg que se conoce como la constante de Intrusion de Schilthuis no depende de elias y Pi - P son las presiones del acuifero (inicial) y del CAP Esta solucion es aplicable en el caso de acuiferos abiertos presion constante en ellimite exterior del acuifero

65

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Como Cs es una constante se procede a obtener W e de la siguiente manera

Supongamos que la historia de comportamiento de la presion del yacimiento es la que se muestra en la fig ura 11 De la ecuaci6n (1 124) se tiene

We = Cs i(f~ - p) dl (1 125)

y la integral se obtiene de la historia de presion asi

P

l P2 fo ( Pi - P) dt

P

Pi I k i

P r

t l ~ ti t

-Figura 11 -Comportamiento de la Presion en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Si la historia de presion es como se muestra en la figura 11 la integral es el area sobre la curva la cual para cada tiempo se puede calcular como las areas de los diferentes trapecios desde t =0 hasta t 0 sea

f~ (P i p) dt =Al + A2 + A3 An

= ~ (p _ p ) + 1112 [(p _ p )+ (p _ p )] + 111J [(p _ p )+ (p _ p )]2 12 1 2 22 J

+ 11~ [(Pi -Pn-I )+(Pi - Pn)]

r(p _ p) dl = 111 (p _ p )+ 11 2 (2P _ P _ P )+ I1l 1 (2P _ P _ P ) l 2 12 12 212

+ l1~n (2Pj - P II

_ 1 - Pn)

66

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

(1126)

teniendo en cuenta que Po =P Si adem as los ~tj se consideran constantes entonces

( 1126a)

Llevando la ecuacion (1 126a) ala ecuacion (1 125) se tiene

w =C t11 ~ (2 P - P - P ) (1 127) 2 L I - I I

)=1

Para lIevar la ecuacion (1 127) a la forma de la ecuacion (1121) se hace

(1 128)

y

=c (1 129) e H

1713- Modelo General de Comportamiento de un Acuifero(8)

Se basa en la solucion de la ecuacion de difusividad para el acuifero baja unas determinadas condiciones iniciales y de limite aplicables al caso cie acuiferos

Como se dijo para el acuifero al igual que para el yacimiento se pueden plantear dos tipos de expresiones generales dependiendo de si se considera constante la presion en el contacto agua petroleo en este caso se puede tener una expresion que me permite calcular la intrusion de agua We que ha entrado al yacimiento y la expresion se conoce como de presion terminal constante 0 si es constante la tasa de intrusion de agua del aculfero al yacimiento y en este caso la expresion me permite calcular la caida de presion que se presentara en un intervalo de tiempo dado y la expresion se conoce como solucion de tasa terminal con stante La expresion mas usada es la de presion terminal constante

bull Acuiferos Radiales

Su forma general se obtiene de acuerdo con Van Everdingen and Hurst (VEH) Ellos definen una tasa de intrusion adimensional dada por

(1 130)

67

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

Tomando integrales a ambos lad os de la ecuacion (1 130) sobre el tiempo es posible obtener una relacion para We Y W D donde We es la intrusion acumulada y WD es la funcion de intrusion adimensional acumulada

IJr CD) ~ dl = j1 r dl (1 131) J) q dl j) Igt 21fkhM J) q

Para el caso de acuiferos tD esta dado por

_ kl it centj1Cro2 I f) - 2 ~ - = -----~ (1 132 )

centj1Cro it Igt k

donde ro es el radio del contacto agua - petroleo Llevando la expresion anterior a la ecuacion (1131) se tiene

j1 f C r 2 __ q dl = fr 0 21fkh6P K fq Igt dl Igt

y lIamando W = fq dl Y WeIgt = fq Igt dl n se tiene finalmente

We = 27I h ~C r~ bull t-p middotWeD

La ecuacion anterior supone un acuifero radial y que actua sobre los 3600 del contacto agua shypetroleo cuando no actua sobre los 360 0 entonces se incluye un factor f dado por

e e radianes Ice) = 360 0 21f

y la ecuacion se convierte en

= 27Ih~C r (~) t-P middotWeDWe 360 Y si se usan unidades practicas We en barriles h y r en pies C en Lpc-1 y Pen Lpc se tiene

We= 1119 h~C r middot f(e)middot t-p WeD(tD) (1 133)

Para presentar la ecuacion (1 133) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

ewc=1 119h~C r (30) (1 134 )

Y( p) = 6P Wn(I 1raquo (1135)

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

La ecuacion (1133) no es general porque supone que la presion en el contacto acuifero-yacimiento es constante 10 cual no es cierto y por tanto para tener la forma general de Y(t P) se debe recurrir al principio de superposicion que se vera mas adelante

La expresion para WeD depende del tipo de acuifero En general para el caso de soluciones de presion terminal constante se habla de tres posibilidades

bull Acuifero infinito bull Acuifero finito cerrado donde no hay comunicacion hidraulica del acuifero con los alrededores

del limite exterior bull Acuifero finito abierto donde hay comunicacion del acuifero con los alrededores del limite

exterior y la presion del acuifero en el limite exterior se mantiene constante y por tanto en todo el acuifero porque el agua que sale hacia el yacimiento es reemplazada par la fuente externa del acuifero en este caso en el acuifero se presentara una situacion de flujo continuo 0 estable cuyo de modelo de comportamiento ya se presento antes

Cuando el acuifero es infinito la expresion para WeD presentada por VEH es

(1136)

donde Jo YYo son las funciones Bessel de primera y segunda clase y orden 0 respectivamente

Klins Bouchard y Cable (7) muestran que la ~cuacion (1136) toma las siguientes formas dependiendo del valor de to

= 11284 I f) (1 137)

Si 001 lt to lt 200

112955jl f) + 116044 1IJ + 02642821 i12 + 00113181 t 912 W e) (I ) = - c - - - (1 138 )

) + 05900113 ) 1 I) + 0045897 I)

Si 200ltto lt201012

Wef) (I ) =1 0 t (439890 + 043693 ]n 1f) - 416078 (In 1IJ ) O 09) (1139)

Cuando el acuifero es finito cerrado Weo(to) depende de reO Yde to y la expresion general dada por VEH es

(1 140)

donde Jo YJ1 son las funciones Bessel de primera clase y orden 0 y 1 respectivamente y los an son las raices de la ecuacion

69

J 1( all r ell ) Yo( a ll ) - Y 1( a n r eI ) Jo( an) =0 (1 141 )

Donde Y1 YYo son las funciones Bessel de segunda clase y arden 0 y 1

Las funciones Bessel de primera clase estan definidas par las siguientes expresiones dependiendo del orden y del valor de x

bull Funciones Bessel de Primera clase y Orden 0

Osxlt30

Jo(x)=h +hl(X3)2 +h2eX3) 4 +hl(xl3)6 +h4(X3)8 +bs(x3) O+hf(x3)12 (1 142) o

30Sxltoo

1oex) =(xt 2 F (x)[cos(Boex))] (1 143)

Fo(x)=ho +hle3 x)+b2e3 x) 2 +hl e3 x) +h4(3X)4 +hs(3 x )s +h6e3x)6 (1 144)

Boex)=x+ho +h(3 x)+h2(3 x) 2 +bJ e3 x) 1 +h4e3x)4 +hse3 x) 5 +hc(3x)C (1 145)

bull Funciones Bessel de Primera Clase y Orden 2

Osxlt30 2(

(xt1 1 (x)= Ib (x 3) ( 1146) =0

30sxltoo

J1ex) =(Xt 12 F (x)[cos(B (x))] (1147)

F(x)=ho +b(3 x)+b2e3 x) 2 +hl e3 x) +h4(3 x)4 +hs(3 x) 5 +h6(3x)6 (1148)

Bex)=x+ho +hle3 x)+h2e3 x) 2 +bl (3x) +b4(3x)4 +hse3x) s +h6e3x)6 (1149)

Los b de las ecuaciones (1 142) (144)-(1 145) (1 146) Y (1148)-(1 149) se dan en la tabla 3

Tabla 3-Constantes para las Ecuaciones(1142) (1144-45) (1146)y (1148-49) (7)

Jo J1 Osxlt3 30sxltoo Osxlt3 30S xltoo

Fo 90 F1 91 bo 1 079788456 -078539816 05 079788456 -2 3561944 b1 -22499997 -000000077 -0 04166397 -05624998 000000156 012499612 b2 12656208 -000552740 000003954 021093573 001659667 000005650 b3 -3163866 -0 00009512 000262573 -00395429 000017065 -0 0063788 b4 00444479 000137237 -0 00054125 000443319 -00024951 000074348 bs 00039444 -000072805 -0 00029333 -0 0003176 000113653 000079824 b6 _ 00002100 000014476 000013558 000001109 -00002003 -00002917

70