UNIDAD 1 Magnitudes y medidas - Nocturno Giner... también las podemos clasificar en magnitudes...
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UNIDAD
La actividad científica.Magnitudes y medidas
1
n esta primera Unidad conoceremos las características fundamentales de la actividad
científica, su metodología y repercusiones.
Estudiaremos las magnitudes físicas, cómo se relacionan matemáticamente entre ellas y
en qué unidades se miden. El Sistema Internacional de Unidades nos permitirá expresar de modo
unívoco el resultado de la medida de una determinada magnitud.
Como todos sabemos, nada es perfecto pero no por ello inválido; llegaremos a la conclusión de
que no es posible obtener medidas totalmente exactas pero que son válidas si podemos apreciar
el error cometido y los métodos a utilizar para obtener la aproximación deseada.
Para finalizar la Unidad veremos cómo se representan gráficamente los valores obtenidos en
una serie de medidas y cómo, observando y analizando las gráficas, podemos encontrar las rela-
ciones matemáticas que existen entre ellas y expresar los resultados de un modo claro e intuitivo.
Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:
1. Conocer las características básicas del trabajo científico.
2. Plantear hipótesis fundamentadas.
3. Elaborar estrategias adecuadas para la resolución de problemas.
4. Valorar las posibles aplicaciones, repercusiones medioambientales y sociales.
5. Conocer las magnitudes físicas y sus diferentes tipos, así como las unidades en las que se
miden.
6. Estimar la precisión de las medidas y calcular el error cometido.
7. Realizar representaciones gráficas de datos y funciones.
E
13
MAGNITUDES
ESCALARES
se
clasifican
FUNDAMENTALES
por su
definición
por su
naturaleza
DERIVADAS VECTORIALES
su valor se
conoce
por las
MEDIDAS
INDIRECTAS
DIRECTAS
ERRORES
siempre
y se
expresan
en
UNIDADES
generalmente
pertenecientes al
SISTEMAINTERNACIONAL
que se pueden
expresar como
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO
se reflejan
en una
TABLA DE VALORES
existen
EN LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA
se
utilizan
1. LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. MAGNITUDES Y DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244. MEDIDAS DE MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1. Medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. La notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. ERRORES EN LA MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1. Aproximación al valor real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1. Magnitudes directamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2. Magnitudes inversamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Í N D I C E D E C O N T E N I D O S
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1. La actividad científicaLa actividad científica consiste en una serie de procesos de reflexión, sistemáticos y metódicos
encaminados a ampliar los conocimientos del ser humano o encontrar soluciones a problemas
de tipo científico.
Se fundamenta en la aplicación del método científico que consiste en observar un fenómeno,
reproducir condiciones idóneas para su estudio, experimentar realizando medidas fiables, establecer
relaciones entre éstas, describir el fenómeno mediante una ley empírica, emitir hipótesis, formular
una teoría o un modelo y, por último, darlo a conocer.
Observación y experimentación
Cuando queremos estudiar un fenómeno cualquiera; por ejemplo, la flotabilidad de los cuerpos,
lo primero que hacemos es elegir varios cuerpos, ponerlos sucesivamente en un recipiente que
contenga agua u otro líquido y observar atentamente lo que ocurre.
Normalmente la simple observación no es suficiente para comprender y explicar el fenómeno,
además es necesaria la experimentación que consiste en reproducir el fenómeno en condiciones
controladas y reproducibles de modo que podamos realizar medidas que agruparemos en tablas
que nos permitirán realizar representaciones gráficas y a través de ellas interpretar los datos con
facilidad y establecer relaciones entre ellos.
Obtención de leyes empíricas
Una vez que hemos obtenido los datos y las relaciones entre ellos estamos en condiciones
de realizar una descripción adecuada del fenómeno mediante una ley empírica que es una ley
formulada a partir de datos obtenidos mediante un experimento.
Un ejemplo de ley empírica que puede obtenerse del ejemplo anterior podría ser: “Los cuerpos
que tienen menos densidad que el líquido en el que se encuentran flotan y los que tienen más
densidad, se hunden”.
Normalmente el estudio no puede ser completo; en este caso, no es posible probar con todos
los cuerpos pero estamos convencidos, según los resultados obtenidos, de que esta ley es
generalizable a todos lo cuerpos. Cuando se obtiene una ley general basándose en datos o leyes
particulares se realiza un proceso inductivo. Newton estableció la ley de la Gravitación Universalbasándose en un proceso inductivo observando que los cuerpos caían debido a la fuerza de
atracción que la Tierra ejercía sobre ellos.
Formulación de hipótesis, teorías y modelos
En nuestro ejemplo hemos obtenido una ley empírica que nos permite saber lo que ocurrirá
cuando introducimos un cuerpo en un líquido, pero aún desconocemos la causa. ¿Por qué unos
cuerpos flotan y otros no?: para responder a ello formulamos una hipótesis (una suposición)
que podría ser “todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual al
peso del líquido que ha desalojado”.
Una vez formulada la hipótesis, si ésta es cierta, podremos saber si un cuerpo cualquiera
va a flotar o no conociendo su densidad.
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
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En este caso utilizamos un proceso deductivo que es el que se sigue cuando una hipótesis
general se aplica a casos particulares. Este proceso es el inverso del proceso inductivo que hemos
visto anteriormente.
Albert Einstein aplicó el proceso deductivo para elaborar la Teoría de la Relatividad partiendo
de una teoría que él imaginó y que en un principio era contradictoria con los fenómenos que
entonces se observaban en la naturaleza, pero experimentos realizados posteriormente pusieron
de manifiesto que su teoría era cierta.
A veces, cuando se pretende explicar un fenómeno complejo en el que intervienen muchas
variables se simplifica mediante un modelo en el que se utilizan sólo las variables fundamentales
que permitan explicar el fenómeno de un modo simplificado. Por ejemplo, el modelo atómico de
Bohr.
Consideración de perspectivas y repercusiones
Una vez que se ha finalizado el proceso de investigación deben estudiarse las posibles ventajas
e inconvenientes de la aplicación de los resultados obtenidos, teniendo en cuenta no sólo los
beneficios que se puedan obtener sino también las posibles repercusiones negativas en el medio
ambiente, en la sociedad, etc.
Por ejemplo, el descubrimiento de la dinamita favoreció enormemente las explotaciones
mineras, la realización de obras, etc., pero también se aplicó en guerras ocasionando una enorme
pérdida de vidas humanas. Por esta razón Nobel, su inventor, dedicó los ingresos obtenidos
con este descubrimiento a la institución del premio que lleva su nombre y que se otorga a los
científicos y pensadores más destacados del mundo, como el premio Nobel de Medicina o el
premio Nobel de la Paz.
Otros ejemplos significativos de posibles repercusiones negativas los podemos encontrar en
la energía nuclear para uso bélico, la utilización masiva e inadecuada del petróleo y sus derivados,
etc.
Comunicación de resultados
Una vez terminada una investigación es imprescindible comunicar los resultados obtenidos
a los demás miembros de la comunidad científica, así como los medios y métodos utilizados.
Habitualmente se realiza a través de un informe redactado con claridad, concisión y precisión.
Los apartados más habituales que contiene un informe son los siguientes:
Título y resumen.
Introducción.
Metodología.
Instrumentación.
Procedimiento.
Resultados.
Discusión y conclusiones.
Apéndices, si fueran necesarios.
Referencias y Bibliografía.
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2. Magnitudes y dimensionesUna magnitud física es toda propiedad que pueda ser medida. Se puede medir la masa de
un cuerpo, la longitud, la densidad, etc.
Por su propia definición, las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. Si
atendemos a su naturaleza, también las podemos clasificar en magnitudes escalares y vectoriales.
2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas
Existen unas magnitudes que sirven de referencia (magnitudes fundamentales) y todas las
demás se definen en función de ellas (magnitudes derivadas).
En mecánica las magnitudes fundamentales son la longitud, la masa y el tiempo. Todas las
demás como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. se definen en función de algunas o de
todas las fundamentales.
Asimismo en electricidad la magnitud fundamental es la intensidad de corriente, en
termodinámica la temperatura, en óptica la intensidad luminosa y en química la cantidad de
sustancia.
Ecuación de dimensiones
Como acabamos de decir, las magnitudes derivadas se definen en función de las
fundamentales. Pues bien, una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de esta
definición.
Esta ecuación se obtiene partiendo de fórmulas que relacionan a las magnitudes en cuestión,
u otras que, a su vez, se relacionen con ellas.
En general, las ecuaciones de dimensiones se escriben siguiendo unas normas:
• las magnitudes fundamentales se expresan en letras mayúsculas;
• no se utilizan fracciones, los términos que pudieran aparecer en el denominador se pasan
al numerador cambiando el signo de su exponente;
• los términos constantes, si existen, se desprecian ya que éstos no afectan a las
dimensiones;
• la magnitud derivada, una vez despejada, se escribe entre corchetes.
Veamos esto con unos sencillos ejemplos:
¿Cuál es la ecuación de dimensiones de la velocidad?
velocidad espacio recorridotiempo empleado
=
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
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El espacio se mide por su longitud que es una magnitud fundamental y el tiempo también lo
es. Siguiendo las reglas que acabamos de indicar, podemos escribir directamente la ecuación de
dimensiones de la velocidad:
¿...y la ecuación de dimensiones de la fuerza?
Hemos ido utilizando las fórmulas adecuadas hasta expresar la fuerza en función de magnitudes
fundamentales, ahora solamente queda escribir la ecuación de dimensiones según los criterios
antes indicados:
Toda ecuación física debe ser dimensionalmente correcta, es decir: los dos miembros de la
ecuación han de tener las mismas dimensiones. En caso contrario, no sería homogénea y los
resultados obtenidos no tendrían sentido; sería como obtener el resultado del cálculo de una
velocidad en kilogramos.
F M L T[ ] = ⋅ ⋅ −2
F m a m vt
mltt
m lt
m l t= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅2
2-
v L T[ ] = ⋅ −1
1. La expresión de la energía cinética es y la de la energía potencial Ep=m·g·h. Halla
la ecuación de dimensiones de ambas y comprueba que en los dos casos se obtiene el mismo
resultado.
2. El teorema del impulso mecánico, que estudiaremos en la Unidad 3, se expresa matemática-
mente como . Comprueba que esta expresión es dimensionalmente correcta.F t m v⋅ = ⋅ Δ
E m vc = ⋅1
2
2
A c t i v i d a d e s
o b ` r b o a^
T Una magnitud física es toda propiedad que se pueda medir.
T Las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales.
T Una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de la definición de una magnitud
derivada en función de las fundamentales.
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LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
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2.2. Magnitudes escalares y vectoriales
Existen magnitudes como la masa, el tiempo o la energía en las que solamente necesitamos
conocer su valor numérico y la unidad en que se expresa para que estén perfectamente
determinadas, éstas son magnitudes escalares. También hay otras, llamadas magnitudesvectoriales, como la velocidad o la fuerza, que para determinarlas sin ambigüedad es necesario
conocer no solamente su valor numérico, sino también su dirección y su sentido.
Estas magnitudes se escriben colocando una flecha encima de la letra que las identifica y
se representan gráficamente por un vector que es un segmento orientado en el que hay que considerar
el origen, la dirección, el sentido y el módulo o longitud.
Cuando hacemos referencia al módulo de un vector, se escribe entre dos barras verticales .
Habitualmente, los vectores se representan en un sistema de coordenadas cartesianas que
se compone de dos ejes perpendiculares entre sí cuando la representación se realiza en un plano
(dos dimensiones) o de tres ejes cuando se tienen en cuenta las tres dimensiones del espacio.
En este sistema un vector se caracteriza por sus componentes cartesianas que son las proyecciones
del extremo del vector sobre los ejes cartesianos.
Para facilitar la expresión matemática de un vector se utilizan los vectores unitarios
que son vectores cuya longitud es la unidad y su dirección la correspondiente a los ejes X, Y y
Z respectivamente. De este modo, un vector cuyas componentes cartesianas son Ax, Ay, Az, se
expresa:
r r r rA A i A j A kx y z= + +
( , , )
r r ri j k
rA
origen sentido
dirección
módulo
Fígura 1: Elementos de un vector
( )
rA
X
YA
Ax
Ay
j
Fígura 2: Representación de un vector en dos
dimensiones
r r rA A i A jx y= +
B
xByB
zB
X
Yk
ji
Z
Fígura 3: Representación de un vector en tres
dimensiones
r r r rB B i B j B kx y x= + +
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En la figura 2 podemos ver representado en el plano el vector , cuyas componentes son
Ax y Ay, de valor 3 y 4 respectivamente. Y en la figura 3, el vector , de componentes Bx = 2,
By =3 y Bz =5 representado en las tres dimensiones del espacio.
Es fácil demostrar, basándose en el teorema de Pitágoras, que el módulo de un vector en función
de sus componentes viene dado por la expresión:
2.3. Operaciones con vectores
Suma
a) Vectores con la misma dirección
Los dos vectores a sumar pueden tener el mismo sentido o el contrario. En el primer caso,
el resultado es otro vector con la misma dirección y el mismo sentido, cuyo módulo es
la suma de los módulos de los sumandos.
En el segundo caso, el resultado es un vector con la misma dirección, sentido el del mayor
de los sumandos y módulo la diferencia de los módulos.
b) Vectores con distinta dirección
Si el origen de un vector coincide con el extremo del otro, el resultado de la suma es
sencillamente otro vector que va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo.
Fígura 6: Suma de vectores con distinta dirección
rA
rB
r rA B+
rArB
rA A A Ax y z= + +2 2 2
Fígura 5: Suma de vectores con la misma dirección y sentido contrario
rB
r rA B+
rA
Fígura 4: Suma de vectores con la misma dirección y sentido
rB
r rA B+
rA
20
Si tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo que consiste en trazar por
el extremo de cada uno de ellos una paralela al otro formando un paralelogramo. La suma
de los dos vectores es otro vector que coincide con la diagonal del paralelogramo.
Analíticamente para sumar dos vectores se suman sus componentes. Por ejemplo, dados
los vectores y , el vector suma de ambos será:
Resta
Para restar un vector de otro, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. El vector
opuesto a uno dado es otro vector con la misma dirección, el mismo módulo y de sentido contrario.
Si queremos realizar la operación , en realidad lo que hacemos es .
Así pues la operación de restar es igual que la de sumar, una vez obtenido el vector opuesto
del sustraendo.
Fígura 7: Suma de vectores. Regla del paralelogramo
r rA B+
rB
rA
r r rC B A= −
r r rC B A= + −( )
Fígura 8: Vectores opuestos
rA −
rA
r r r rA B A B i A B jx x y y+ = + + +( ) ( )
r r rA A i A jx y= +
r r rB B i B jx y= +
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
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Dados los vectores de la figura:
a) Exprésalos analíticamente y realiza las operaciones y
b) Realiza gráficamente las operaciones anteriores.
c) Halla el módulo de y de
r rA B+
r rA B−
r rA B+
r rA B−
E j e m p l o
A B
X
Y
21
Producto de un vector por un escalar
El resultado es otro vector de la misma dirección, de módulo igual al producto del escalar por el
módulo del vector, y su sentido es el mismo si el escalar es positivo y el contrario si éste es negativo.
Analíticamente, el resultado es el de multiplicar por el escalar cada una de sus componentes.
Así, si queremos multiplicar el vector por el escalar c, el resultado será:
Producto escalar de dos vectores
Se representa por el signo “·” entre los dos vectores y el resultado es un escalar cuyo valor
es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman sus direcciones.
c A c A i c A j c A kx y z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r
rA
Fígura 9: Producto de un vector por un escalar
2
rA
rA −2
rA
Solución:
a) ; ; ;
b)
c) ;
r rA B+ = + =3 7 7 6
2 2
,
r rA B− = − + − =( ) ( ) ,7 1 7 1
2 2
A B
X
Y BA+
A B
X
Y
B-
BA--
-
r r r rA B i j− = − −7
r r r rA B i j+ = +3 7
r r rB i j= +5 4
r r rA i j= − +2 3
3. Dados los vectores y :
a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.
b) Halla gráfica y analíticamente los vectores y .
r rA B−
r rA B+
r r rB i j= −4 2
r r rA i j= + 3
A c t i v i d a d e s
22
También puede definirse como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro
sobre él. Si observamos la figura anterior podemos comprobar que la proyección de sobre
vale precisamente .
Analíticamente, el resultado se obtiene multiplicando sus componentes homólogas; así el
resultado de multiplicar será:
r rA B⋅
r rA B A B A B A Bx x y y z z⋅ = + +
A ⋅ cos α
rA
rB
Fígura 10: Producto escalar de dos vectores
r r r rA B A B⋅ = ⋅ ⋅ cos α
rA
rB
α
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
Dados los vectores y :
a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.
b) Halla la expresión del vector
c) Realiza su producto escalar
d) ¿Qué ángulo forman entre sí?
Solución:
a)
b)
c)
d) Sabemos que ; despejando:
Nos falta por conocer y
rA
rB
r r r rA B A B⋅ = ⋅ ⋅ cos α cosα = ⋅
⋅
r r
r rA BA B
r rA B A B A B A Bx x y y z z⋅ = + + = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −4 3 6 4 5 4 32
r r r r r r r r rC A B i j k i j k= + ⋅ = + ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ = − +2 4 2 3 6 2 4 5 2 4 10 2 3( ) ( ) ( )
Y
Z
X
A
B
r rA B⋅
r r rC A B= + 2
r r r rA i j k= + −4 6 5
r r r rB i j k= − +3 4 4
E j e m p l oE j e m p l o
23
Producto vectorialSe representa por el signo “x” entre los dos vectores y el resultado es un vector de módulo
igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman. Su dirección es perpendicular
al plano que determinan los dos vectores y el sentido se determina por la regla del tornillo, según
la cual el sentido del vector producto sería el de avance de un tornillo que girara para hacer coincidir
el primer vector con el segundo.
Si tenemos un paralelogramo cuyos lados son A y B, el valor de la superficie es el producto de la
base por la altura, pero la altura vale , por tanto:
A
BαsenBABA ⋅⋅=×
BA×
90º
90º
Fígura 11: Producto vectorial de dos vectores
h A sen= ⋅ α S A B sen= ⋅ ⋅ α
Fígura 12: Superficie de un paralelogramo
A
αh
B
rB = + + =3 4 4 6 40
2 2 2
,
cos
, ,
, arccos , , 'α α= −⋅
= − ⇒ = −( ) = ° = °32
8 77 6 40
0 57 0 57 124 75 124 45
rA = + + =4 6 5 8 77
2 2 2
,
4. Dados los vectores y
a) Halla el vector
b) Realiza el producto escalar
c) Halla el ángulo que forman y
rB
rA
r rA B⋅
r r rC A B= −3 2
r r rB i j= +6 2
r r rA i j= −3 5
A c t i v i d a d e s
24
Según esto, el módulo del producto vectorial de dos vectores representa la superficie del
paralelogramo que definen.
Para obtener analíticamente el resultado del producto vectorial es necesario conocer el cálculo
con matrices que se estudiará en el curso siguiente. Así pues, por ahora, es suficiente conocer
–y recordar– el sentido físico de este producto ya que es fundamental para la comprensión de
determinados fenómenos de importancia trascendental en la física.
3. El sistema internacional de unidadesUn sistema de unidades es un conjunto consistente a partir del cual se derivan todas las
demás unidades.
En España, la Ley 3/1985 determina como las Unidades Legales de Medida las del Sistema
Internacional de Unidades adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas. Estas
unidades quedaron establecidas en el Real Decreto 1317/1987.
Una unidad es un patrón que sirve para medir el valor de una magnitud y por tanto debe estar
perfectamente definida y ser reproducible en cualquier lugar. Además deben estar definidos sus
múltiplos y submúltiplos para poder expresar el resultado de la medida por el número de unidades
y la fracción de unidad que contiene.
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
5. Halla el valor el producto escalar y el módulo del producto vecto-
rial de los dos vectores de la figura. Según los vemos en el papel,
el vector que resulta del producto vectorial , tiene dirección
perpendicular al plano del papel pero… ¿en qué sentido, hacia
dentro o hacia fuera del papel?
r rA B×
A c t i v i d a d e s
30º
A
B
o b ` r b o a^
T Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo.
T Para restar dos vectores, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
T El producto escalar de dos vectores no es un vector y su valor es el producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
T El producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano definido por ambos y su sentido
es el del avance de un tornillo que girara en el sentido de hacer coincidir el primero con el segundo.
T El módulo del producto vectorial de dos vectores tiene el mismo valor que la superficie del paralelogramo
definido por ellos.
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Las unidades básicas, correspondientes a magnitudes fundamentales, tienen una definición
propia en función de constantes universalmente conocidas. Las demás se definen en relación a
ellas.
Existen, además, dos unidades suplementarias que no tienen dimensiones y que también
pueden formar parte de la definición de las unidades derivadas.
Magnitudes derivadas y unidades de uso frecuente:
Existen muchas unidades, pertenecientes a magnitudes derivadas, que no tienen un nombre
específico. Éstas se expresan en función de otras unidades que están relacionadas con ellas y
que sí tienen nombre propio, sean o no unidades pertenecientes a magnitudes fundamentales.
Por ejemplo: la unidad de velocidad es el metro por segundo (m/s o ms
-1
) y la unidad de impulso
mecánico (fuerza por tiempo, que estudiaremos en la Unidad 3) es el newton por segundo (N·s).
Magnitud Unidad SímboloLongitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica amperio A
Temperatura termodinámica kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Magnitud Unidad SímboloÁngulo plano radián rad
Ángulo sólido estereoradián sr
Magnitud Unidad SímboloFrecuencia hercio Hz
Fuerza newton N
Presión pascal Pa
Energía, trabajo julio J
Potencia vatio W
Carga eléctrica culombio C
Potencial eléctrico voltio V
Resistencia eléctrica ohmio ΩCapacidad eléctrica faradio F
Múltiplos decimalesPrefijo Símbolo Factor
Deca da 10
1
Hecto h 10
2
Kilo k 10
3
Mega M 10
6
Giga G 10
9
Tera T 10
12
Peta P 10
15
Exa E 10
18
Zetta Z 10
21
Yotta Y 10
24
Submúltiplos decimalesPrefijo Símbolo Factor
deci d 10
-1
centi c 10
-2
mili m 10
-3
micro μ 10
-6
nano n 10
-9
pico p 10
-12
femto f 10
-15
atto a 10
-18
zepto z 10
-21
yocto y 10
-24
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Conversión de unidades
En la práctica, muchas medidas no se expresan en unidades del sistema internacional o en
múltiplos o submúltiplos de ellas, debido generalmente a la utilización de aparatos calibrados
en otras unidades, por ejemplo: el cuentakilómetros de un coche nos da la lectura en kilómetros
por hora, asimismo, el tiempo, según su duración, se expresa en horas, minutos, etc.
En estos casos debemos convertir las unidades que no pertenezcan al SI en unidades de
éste, ya sean básicas o derivadas. Para ello utilizamos los factores de conversión que, en cada
caso, es la relación existente entre ambas unidades. Así, el factor de conversión de minutos a
segundos es de 60; es decir, 1 min = 60s.
Como ejemplo, vamos a expresar la velocidad de un automóvil que se mueve a 72 kilómetros
por hora en metros por segundo:
Reglas prácticas para expresar cantidades y unidades
• Los símbolos de las unidades del SI, excepto el W, se expresan con caracteres romanos
y minúsculas, sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de
nombres propios, su letra inicial es mayúscula.
• Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural.
• El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo sin espacio.
• El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio
de un punto como símbolo de multiplicación.
• Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos deben escribirse
con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial.
• Los nombres de las unidades toman una s en el plural, salvo que terminen en s, x o z.
• En los números, la coma se utiliza sólo para separar la parte entera de la decimal. Para
facilitar la lectura, se recomienda dividir los números en grupos de tres cifras; estos
grupos no se separan jamás por puntos ni por comas. La separación en grupos no se
utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.
• Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI se forman con prefijos
que anteceden sin espacio al símbolo de la unidad.
72 72
1000
3600
20
1
kmh
ms
m s= = ⋅ −
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
6. Los contadores eléctricos habituales miden la energía consumida en kilovatios hora (Kw · h).
¿A cuántos vatios por segundo (julios) equivale un kilovatio hora?
A c t i v i d a d e s
27
4. Medidas de magnitudesSiempre que realizamos una medida obtenemos una información cuantitativa de una magnitud
física. Si queremos dar a conocer el resultado de nuestra medida de un modo coherente tenemos
que utilizar una unidad en la que expresar el resultado de modo que sea interpretable por otras
personas. Podemos decir que medir una magnitud es compararla con otra, de valor conocido,
que se toma como unidad.
Esta comparación se realiza utilizando instrumentos de medida que pueden ser muy sencillos
como una regla, un dinamómetro... o muy complejos como una balanza electrónica de precisión,
un espectrofotómetro... Según el instrumento utilizado se obtendrán medidas más o menos fiables,
dependiendo de sus cualidades:
Exactitud: La lectura que ofrece el instrumento corresponde al verdadero valor de la magnitud
medida. Por ejemplo, un cronómetro que indique el tiempo transcurrido realmente
decimos que es exacto.
Sensibilidad: Aprecia variaciones muy pequeñas en la magnitud. Por ejemplo, un voltímetro que
aprecie una variación de una milésima de voltio es más sensible que uno que
aprecie sólo centésimas .
Precisión: Expresa el grado de incertidumbre en el valor medido. Si un aparato de medida es
preciso, su medida se encontrará afectada de poca incertidumbre. Por ejemplo si
un amperímetro aprecia miliamperios el grado de incertidumbre será de
y si otro, menos preciso, aprecia
centésimas de amperio, el grado de incertidumbre será de .
Fidelidad: Siempre ofrece el mismo resultado para el mismo valor de la magnitud. Por ejemplo,
si al realizar varias medidas con una balanza para determinar la masa de un cuerpo
obtenemos siempre el mismo valor decimos que ésta es fiel.
4.1. Medidas directasUna medida es directa cuando se obtiene por comparación con un patrón calibrado (una regla,
una pipeta, etc.) o, más frecuentemente en la actualidad, por la lectura del instrumento de medida
utilizado, ya sea analógico o digital.
Cifras significativas
Una vez realizada la lectura obtenemos un número con varias cifras, en éste, las cifras
significativas son las que dan idea de la exactitud de la medida. Para saber cuáles son éstas en
un número cualquiera, seguiremos las siguientes reglas:
Son cifras significativas:
• Todas las cifras distintas de cero.
• Los ceros que se encuentren entre dos cifras significativas.
• Todos los ceros situados a la derecha de la coma decimal, excepto los que la siguen
inmediatamente en cantidades menores que la unidad.
No son cifras significativas:
• Los ceros situados antes de la primera cifra significativa.
• Los ceros situados después de la última cifra significativa, salvo que vayan seguidos de
la coma decimal o estén a la derecha de ésta.
±0 01, A
±0 001, A
28
4.2. Medidas indirectasEn muchas ocasiones no existe o no es posible utilizar el instrumento de medida adecuado
por lo que es necesario realizar una medida indirecta, recurriendo a medir otra magnitud que sea
medible directamente y esté relacionada con aquella cuyo valor queremos conocer; por ejemplo,
si queremos saber la velocidad media de un atleta en una carrera, cronometramos el tiempo y,
aplicando una sencilla fórmula, hallamos el valor buscado.
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
7. Indica las cifras significativas que tienen las siguientes cantidades:
a) 2040 b) 160, c) 0,0210 d) 260 000 e) 1 000,01
A c t i v i d a d e s
• 60 700 tiene tres cifras significativas (6, 0 y 7) ya que los dos ceros del final no están entre
cifras significativas.
• 60 700, tiene cinco (todas) ya que el último cero va seguido de una coma, por lo que es una
cifra significativa y en consecuencia los demás ceros también lo serán.
• 0,0320 tiene tres (3, 2 y el último cero). Los dos primeros ceros no son significativos ya que
están situados antes de la primera cifra significativa.
• 15 000 tiene solamente dos (1 y 5) ya que los ceros están después de la última cifra signi-
ficativa.
La última cifra significativa nos indica la precisión con que se ha realizado la medida.
Supongamos que tenemos una mesa cuya longitud es de 0,750 m. Si la medimos con una regla
graduada en centímetros obtendremos 0,75 m ya que no podemos apreciar los milímetros; sin
embargo al medirla con una regla graduada en milímetros obtenemos una medida de 0,750 m. En
la primera medida obtenemos dos cifras significativas y en la segunda tres lo que nos indica que
segunda medida es más precisa que la primera, debido a que la regla graduada en milímetros es
más precisa que la graduada en centímetros.
Según esto, siempre existe un grado de incertidumbre o error en la medida que dependerá del
instrumento utilizado. En el ejemplo anterior expresaríamos la longitud de la mesa como
en la primera medida y como en la segunda. Obser-vemos que en
ambos casos el corresponde a la última cifra significativa y nos indica la precisión del instrumen-
to utilizado.
±1
l mm= ±750 1l cm= ±75 1
E j e m p l o s
29
4.3. La notación científicaFrecuentemente, los científicos trabajan con valores muy grandes, como la velocidad de la
luz (c = 299 792 500 m·s -1
), o muy pequeños, como la constante de la gravitación universal
(G = 0,00000000006670 N ·m 2 ·kg -2
). Como podemos ver, expresarlos de este modo, es bastante
engorroso.
Para evitar este problema y favorecer los cálculos y estimaciones se utiliza la notación científica
que consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera de una sola cifra y una
decimal, multiplicado por una potencia de diez, que puede ser positiva o negativa, dependiendo
del valor del número en cuestión.
La parte entera, junto con la parte decimal del número muestran las cifras significativas de
éste y, por tanto, la precisión con la que se ha obtenido.
Si expresamos en notación científica la velocidad de la luz y la constante de la gravitación,
respectivamente, obtenemos:
c = 2,9997925 · 10
8 m·s -1
G = 6,670 · 10
-11 N ·m 2 ·kg -2
Nótese que la velocidad de la luz se conoce con ocho cifras significativas, mientras que la
constante de la gravitación solamente con cuatro, lo que nos indica que la velocidad de la luz
se ha podido medir con más precisión que la constante de la gravitación.
Orden de magnitudAcabamos de ver que la velocidad de la luz es muy grande y que la constante de la gravitación
es muy pequeña, pero... ¿cuánto de grande o de pequeña? Para apreciar esto, utilizamos el orden
de magnitud que es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como una
potencia de diez.
Si el número en cuestión está expresado en notación científica, solamente hay que
redondear la parte entera, a 1 o a 10, con lo cual el orden de magnitud será su propia potencia
de diez si la parte entera es menor de 5 y su potencia de diez más 1 si la parte entera es igual
o mayor de 5.
Así, la velocidad de la luz es del orden de 10
8
, mientras que la constante de la gravitación es
del orden de 10
-10
.
o b ` r b o a^
T Las cifras significativas indican la exactitud de una medida.
T La notación científica consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera
de una sola cifra y una decimal, multiplicado por una potencia de diez.
T El orden de magnitud es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como
una potencia de diez.
30
5. Errores en la medidaEn cualquier medida que se realice, se cometen errores experimentales, por muy sofisticado
que sea el instrumento con el que se mida. El primero, como ya hemos visto y que es inevitable,
es debido a la precisión del aparato, que nunca podrá aproximar la medida más allá de las
cifras significativas que podamos obtener de su lectura. Además de éste nos podemos encontrar
otros que pueden ser de dos tipos:
Sistemáticos: Son los que se repiten en todas las medidas realizadas, y normalmente se
deben a una mala calibración del aparato de medida, o a un defecto de apreciación del observador.
Estos errores son difíciles de detectar y se repetirán en tanto no se localice la causa y se tomen
las medidas oportunas para su corrección, con lo cual quedará solucionado el problema.
Accidentales: Ocurren de modo circunstancial, inesperadamente, como cambios ambientales,
vibraciones en el entorno, averías, distracción del observador, etc. Son fáciles de detectar cuando
se realizan varias medidas, ya que la tomada accidentalmente arroja un valor muy diferente de
las otras y además su contribución al resultado final disminuye al aumentar el número de medidas
realizadas como veremos en el epígrafe siguiente.
5.1. Aproximación al valor realEn una serie de medidas es posible que estemos cometiendo errores sistemáticos o no. Una
vez convencidos de que no estamos incurriendo en ellos obtendremos valores más o menos
dispersos debidos a errores accidentales y, por lo tanto, aleatorios. Podemos suponer
razonablemente que unas veces obtendremos el valor por defecto y otras por exceso. Si realizamos
dos medidas, existe un 50% de posibilidades de que las dos desviaciones estén en el mismo
sentido, pero a medida que aumenta el número disminuyen las probabilidades de que esto ocurra,
tendiendo a compensarse unas con otras. Así podemos pensar que si realizamos la media aritmética
de los valores obtendremos el valor medio que será más fiable que cualquiera de los valores
individuales obtenidos, y más aún cuanto mayor sea el número de medidas realizadas.
Si en una serie de n medidas hemos obtenido los valores x1
, x2
,...xn
, el valor más fiable será:
x x x xnm
n=+ + +
1 2
...
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
8. El radio del electrón es re
= 0,0000000000281777 m. Expresa este valor en notación científica e
indica cuál es su orden de magnitud.
A c t i v i d a d e s
31
5.2. Error absoluto y error relativoEl error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor real. Si
x es el valor medido y xr el valor real, el valor absoluto será:
Dado que el valor real no lo conocemos nunca con exactitud, no podemos saber si el error
se ha cometido por exceso o por defecto, por esto se utiliza el valor absoluto que nos indica
únicamente la desviación que existe en la medida. Para expresar una cantidad x, con indicación
del error absoluto escribimos .
Supongamos que medimos la longitud de un lapicero con una regla graduada en milímetros
y obtenemos 12,7 cm. No podemos asegurar que este valor sea exacto, pero sí podemos asegurar
que es menor de 12,8 cm y mayor de 12,6 cm. En este caso el error absoluto es de 1 mm que es
la precisión de la regla y lo expresamos así: .
El error absoluto indica la desviación de la medida, pero no da una idea de la precisión, es
decir de la calidad de la medida. Imaginemos que al medir la longitud de una piscina que tiene
25 m de longitud se comete un error de 1 centímetro; podríamos considerar que es una buena
medida. Imaginemos ahora que al medir la longitud del lapicero del ejemplo anterior se comete
el mismo error; ésta sería una mala medida, por ello, cuando conviene conocer este aspecto se
recurre al error relativo que es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
Al ser un cociente entre magnitudes iguales, no tiene dimensiones, no depende de las unidades
y, generalmente, se expresa en tanto por ciento. Indica la precisión de la medida.
Vamos a calcular el error relativo de las medidas efectuadas en los ejemplos del lapicero y
de la piscina que acabamos de ver:
En la medida del lapicero:
En la medida de la piscina:
Así hemos comprobado que la medida de la piscina es más precisa, ¡200 veces!, que la
medida del lapicero.
Er = = =0 01
25
0 0004 0 04
,
, , %
Er = = =0 1
12 7
0 08 8
,
,
, %
l cm= ±12 7 0 1, ,
x x± Δ
Δx x xr= −
9. Estamos interesados en conocer el grosor de cada una de las hojas de un paquete que contiene
quinientas, para ello realizamos una serie de medidas con un calibre y obtenemos los siguientes
resultados en mm: 45,9; 45,2; 46,2; 44,8; 46,0. ¿Cuál será el valor buscado?
A c t i v i d a d e s
32
6. Representaciones gráficasEn las ciencias experimentales existen muchas ocasiones en las que varias magnitudes están
relacionadas entre sí, de modo que cuando varía una de ellas implica la variación de otra u otras.
Así por ejemplo, si un móvil se desplaza con una velocidad, a medida que aumenta el tiempo
aumenta el espacio recorrido; en este caso decimos que el espacio es función del tiempo ya que
depende de él. La variable que depende de otra se denomina variable dependiente y la que sirve
de referencia, variable independiente. En este caso, el tiempo es la variable independiente y el
espacio, la variable dependiente.
Normalmente, los sucesivos valores de las variables se representan en un sistema de ejes
cartesianos. La variable independiente se sitúa en el eje de abcisas (eje X) y la variable dependiente
en el de ordenadas (eje Y). Habitualmente, en primer lugar se representan en el eje X los valores
de la variable independiente y posteriormente se van marcando en el eje Y los valores obtenidos
para la variable dependiente.
Cada pareja de valores se representa por un punto y a continuación se traza una línea, de trazo
uniforme, que se ajuste lo máximo posible a ellos con lo que habremos obtenido la representación
gráfica de la función que relaciona a las dos magnitudes.
Como acabamos de ver, en todas las medidas experimentales existe un cierto error y en
consecuencia, al representar los puntos correspondientes a los valores obtenidos, vemos que no
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
10. Suponiendo que el valor promedio obtenido en la actividad anterior sea el grosor real del paquete
de hojas, calcula el error absoluto y relativo de la primera y de la segunda medidas. ¿Cuál de las
dos es más precisa?
11. Un dependiente mide un trozo de tela con un metro cuyas divisiones son de 1 cm y obtiene una
medida de 83 cm. a) Expresa el resultado, con indicación del error absoluto. b) Calcula el error
relativo de esta medida y exprésalo en tanto por ciento.
A c t i v i d a d e s
o b ` r b o a^
T Los errores pueden ser sistemáticos o accidentales. Los primeros se pueden eliminar totalmente
detectando las causas. Los segundos se minimizan con un buen mantenimiento de los aparatos
y eficacia en el trabajo.
T Al aumentar el número de medidas, disminuye el margen de error.
T El error se puede expresar de modo absoluto o relativo.
T El error relativo refleja la calidad de la medida.
33
siguen exactamente la línea que representa a la relación matemática que esperamos encontrar.
Por ello, trazamos la línea de modo que se ajuste lo máximo posible a los puntos obtenidos.
6.1. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el valor de una de ellas es igual
al valor de la otra multiplicado por una constante. Su expresión es de la forma y = k·x donde yes la variable dependiente, x es la variable independiente y k la constante de proporcionalidad.
Decimos, en estos casos, que estas dos magnitudes están en relación lineal o que están
relacionadas linealmente.
Supongamos que, al medir dos magnitudes relacionadas de este modo, obtenemos los valores
reflejados en la siguiente tabla:
A continuación, representamos los puntos correspondientes en unos ejes cartesianos, dibujamos
una línea que pase por todos ellos y obtenemos la gráfica siguiente:
Hemos obtenido una línea recta cuya pendiente es . Si ponemos esta ecuación en la
forma: y = k · x, observamos que k es la constante de proporcionalidad entre y y x.
k yx
=
x 0 2 4 6 8
y 0 3 6 9 12
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 2 4 6 8 x
y
Fígura 13: Representación gráfica de magnitudes directamente proporcionales
34
Rectas con ordenada en el origen
En algunas ocasiones, la recta obtenida al representar los valores no pasa por el origen de
coordenadas debido a que cuando x vale cero, y tiene un valor distinto de cero. Supongamos que en
una serie de medidas hemos obtenido los siguientes valores:
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
El mercurio es un metal líquido a temperatura ambiente, por lo que es fácil medir volúmenes
diferentes y calcular las masas correspondientes con una balanza. Operando así, se han obtenido
los datos siguientes:
a) Dibujar la gráfica de m frente a V.
b) Expresar la ecuación matemática que relaciona m con V.
c) Calcular el valor de la pendiente y explicar su significado.
Solución:
a)
b) Podemos observar que, muy aproximadamente, los resultados de las medidas siguen una
relación lineal por lo que la ecuación buscada será de la forma m=k ·v e indica que la masa
es igual al volumen multiplicado por una constante.
c) También vemos que todos los puntos no están exactamente situados sobre la línea; por
esta razón si tomamos uno de los puntos obtenidos experimentalmente para hallar el valor
de la pendiente, estaremos basándonos en el resultado de una sola medida por lo que
podemos esperar un alto índice de error. Por ello, calculamos la pendiente de la recta eli-
giendo cualquier punto de ella que consideremos bien definido, por ejemplo, el (4,4 , 60).
La pendiente de la recta será: .
El valor obtenido representa la constante por la que hay que multiplicar el volumen de mercurio
para obtener su masa que, según sabemos, es la densidad, por lo que estas mediciones habrán
servido para obtener la densidad del mercurio, que en unidades de SI será:
d gcm
kgm
kgm
= = =−
−13 6 13 6
10
10
13600
3
3
6 3 3
, ,
k = =60
4 4
13 6
,
,
Volumen, V(cm3) 1 2 3 4 5
Masa, m(g) 13,6 27,6 41,2 54,1 68,4
E j e m p l o
35
En este caso, x e y no parecen ser directamente proporcionales ya que al dividir los sucesivos
valores obtenidos de y entre los de x no obtenemos siempre el mismo resultado.
No obstante, si representamos gráficamente estos resultados, obtenemos una línea recta que
no pasa por el origen de coordenadas, sino que corta al eje de ordenadas en el punto (0,2). El
valor de y en este punto (y = 2) se denomina ordenada en el origen.
Si a cada uno de los valores obtenidos para y le restamos el valor de la ordenada en el origen,
la fracción que resulta nos da un valor constante, que es la pendiente de la recta. En
este caso concreto, sustituyendo cualquier pareja de valores en la expresión, obtenemos que la
pendiente es igual a 3, es decir:
que es la ecuación buscada.
yx
y x y x− = ⇒ − = ⇒ = +2
3 2 3 3 2
x 0 2 4 6 8
y 2 8 14 20 26
yx−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
2
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 x
y
Fígura 14: Recta con ordenada en el origen
12. Ponemos un recipiente con agua en el fuego y medimos su temperatura cada dos minutos,
obteniendo los siguientes resultados:
a) Representa gráficamente la variación de temperatura (ordenadas) frente al tiempo (abcisas).
b) ¿Puedes establecer alguna ley sobre el comportamiento del agua frente a la temperatura?
c) Halla la ecuación que indique la variación de la temperatura en función del tiempo, en el
intervalo de 0 a 10 minutos.
d) ¿Qué temperatura tendría el agua al los 7 minutos de comenzar a calentarla?
13. Apartamos del fuego el agua de la actividad anterior, ponemos el cronómetro a cero y volvemos
a medir la temperatura cada dos minutos, obteniendo los siguientes valores:
Tiempo, t (min) 0 2 4 6 8 10 12 14
Temperatura, T (ºC) 20 36 52 68 84 100 100 100
A c t i v i d a d e s
36
6.2. Magnitudes inversamente proporcionales
La relación entre estas magnitudes es de la forma donde k es una constante, un
número. Ahora no permanece constante el cociente, sino el producto. Es decir x ·y = k. Supongamos
que tenemos los siguientes valores de dos magnitudes:
Si representamos estos valores obtenemos la siguiente gráfica que como vemos es una curva,
concretamente, parte de una hipérbola.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 x
y
Fígura 15: Representación gráfica de magnitudes inversamente proporcionales
X 1 2 3 4 5
Y 24 12 8 6 4,8
y kx
=
LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS
1UNIDAD
14. Medimos los volúmenes que ocupa una determinada masa de gas al variar la presión, mante-
niendo la temperatura constante y obtenemos los siguientes valores:
a) ¿Las magnitudes p y V son inversamente proporcionales?
b) Representa la gráfica volumen --presión.
Presión, p (Pa) 1 2 4 5 10
Volumen, V (dm 3) 100 50 25 20 10
A c t i v i d a d e s
a) Representa la gráfica temperatura-tiempo.
b) Halla la ordenada en el origen y la constante de proporcionalidad.
c) Expresa la ecuación matemática por la que se rige este proceso.
Tiempo, t (min) 0 2 4 6 8
Temperatura, T(ºC) 100 80 60 40 20
37
6.3. Magnitudes relacionadas por otrasfunciones matemáticas
Hay muchas ocasiones en las que la relación matemática existente entre dos magnitudes no
corresponde a ninguna de las que hemos visto, pero en esencia el modo de realizar la
representación gráfica es el mismo dando lugar a curvas más o menos complejas. Algunas de las
funciones que aparecen con más frecuencia son:
Potenciales: Son de la forma y = k · x n. Donde n es una constante que puede ser positiva o
negativa. Según el valor de n pueden adoptar formas muy diversas.
Si nos fijamos, la última que hemos visto (magnitudes inversamente proporcionales) es de
este tipo, ya que se puede expresar como y = k ·x -1
. Otra relación de este tipo muy frecuente
es la cuadrática, de la forma y = k ·x 2
. En este caso la representación gráfica es una parábola.
Exponenciales: Son de la forma y = k x. Siendo x la variable independiente. Se da muy
frecuentemente en procesos naturales de crecimiento continuo como la de los seres vivos, la
formación de cristales en disoluciones… o de decrecimiento, como la cantidad de materia radiactiva
que queda en una muestra con el paso del tiempo.
Logarítmicas: Son de la forma y = log x. La función logarítmica es la inversa de la función
exponencial y su utilización, como se verá en cursos superiores, facilita el estudio y representación
de las funciones exponenciales que con tanta frecuencia aparecen en el estudio de la física y
de las ciencias en general.
y kx
=
o b ` r b o a^
T Una representación gráfica consiste en representar los valores de las variables (independiente
y dependiente) en un sistema de ejes cartesianos.
T La gráfica de magnitudes directamente proporcionales es una línea recta que puede pasar, o
no, por el origen de coordenadas dependiendo de los valores iniciales de las variables.
T La gráfica de magnitudes inversamente proporcionales es parte de una hipérbola.
T Las gráficas de funciones exponenciales pueden adoptar formas muy diversas. En el caso de
que el valor del exponente sea 2, la gráfica es una parábola y la relación entre las variables
se denomina función cuadrática.
T Las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí y por ellas se rigen procesos de
crecimiento o decrecimiento continuos, extraordinariamente importantes en procesos físicos,
químicos, biológicos…