PDS TEMA [1] · Laplace aplicada a señales y sistemas continuos en el tiempo Entender la relación...
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PDS TEMA [1]
SPC-2011/12
CONTENIDOS
Introducción, definición y región de convergencia Propiedades básicas y pares transformados Polos y ceros: estabilidad y causalidad Transformada inversa. Métodos de cálculo Transformada unilateral Conexión con el tratamiento de Fourier Plano z - complejo y eje - periódico Conexión de sistemas LTI en dominio transformado Anexo: notación en bibliografía
SPC-2012/13
BIBLIOGRAFÍA
Manolakis: capítulos 3 y 5 Ingle: capítulo 4 McClellan: capítulo 7 Orfanidis: capítulo 5 Proakis: capítulo 3 Oppenheim: capítulo 3 Alvarado: capítulo 3 Alexander D. Poularikas: capítulo 6
The Handbook of Formulas and Tables for Signal ProcessingCRC Press, 1999. ISBN 0-8493-8579-2
SPC-2012/13
OBJETIVOS Aprender a manipular la herramienta matemática de
la transformada Z (directa e inversa) Asumir la necesidad de dicha herramienta para el
estudio completo de señales y sistemas discretos en el tiempo
Comprender el paralelismo con la transformada de Laplace aplicada a señales y sistemas continuos en el tiempo
Entender la relación existente con la descripción en el dominio tiempo (secuencias, respuestas impulsionales, ecuaciones en diferencias) y en el dominio de la frecuencia (espectros y respuestas en frecuencia)
SPC-2011/12
INTRODUCCIÓN La transformada Z (TZ) es una herramienta
matemática que, para señales y sistemas tiempo-discretos, equivale a la transformada de Laplace para señales y sistemas tiempo-continuos:o transforma convoluciones en productoso extrae funciones racionales de ecuaciones en
diferencias (relación entrada-salida)
Proporciona una manera de caracterizar señales y sistemas tiempo-discretos por medio de polos y ceros en el z-dominio transformado
Puesto que z es una variable compleja, este z-dominio es un plano complejo
SPC-2011/12
INTRODUCCIÓN(TC) SEÑALES + SISTEMAS (TD)
Laplace TZ
Sobre ecuaciones diferenciales Sobre ecuaciones en diferenciasVariable compleja Variable compleja Polos y ceros en el s - plano Polos y ceros en el z - planoNotación cartesiana Notación polarSiempre causal No necesariamente causal (ROC)
s z
jerz js
)()()()( * txthtytx LTI )()()()( sXsHsYsX
][][][][ * nxnhnynx LTI )()()()( zXzHzYzX
)()()(
sXsYsH
)()()(
zXzYzH
SPC-2011/12
INTRODUCCIÓN
Señal TC = = Espectro
Sistema TC = = Respuesta en frecuencia
FT
)ω()()( Laplace XsXtx js
)ω()()( Laplace HsHth js
Señal TD = = Espectro
Sistema TD = = Respuesta en frecuencia
DTFT
)()(][ TZ XzXnx
jez
)()(][ TZ HzHnh
jez
SPC-2011/12
dominio dominio dominiotiempo transformado frecuencia
INTRODUCCIÓN Es una representación alternativa que contiene toda
la información de las representaciones frecuencial(variable real y periódica ) y temporal (variable entera n).
Contiene, además, cierta información adicional
Esta información adicional la hace fundamental en el análisis de estabilidad de sistemas, en el estudio de transitorios con condiciones iniciales no nulas, para el tratamiento de ciertas secuencias habituales no absolutamente sumables y en procesos de diseño, clasificación y caracterización de sistemas
SPC-2012/13
DEFINICIÓN La transformada Z de cierta secuencia discreta f [n]
se define como una serie de potencias sobre la variable compleja z :
Como es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al concepto de región de convergencia
zznfzFnfn
n ;][)(][ TZ
SPC-2011/12
REGIÓN DE CONVERGENCIA La región de convergencia (Region of Convergence,
ROC) de una transformada F(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que F(z) es finita:
El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC
Por ello las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna relativa a la ROC, que distingue entre las opciones “causal” y “estrictamente anticausal”
n
nznfzFz ][)(;ROC
)(][ zFnf
SPC-2013/14
REGIÓN DE CONVERGENCIA
SPC-2017/18
][nu
]1[ nu
]1[ nu
][ nu
]1[ nu
]1[ nu
causal
estrictamente causal
no causal
anticausal
estrictamente anticausal
no anticausal
REGIÓN DE CONVERGENCIA Ejemplo: usando que
o f1[n]
o f2[n]
Observar que siendo la única diferencia
111
0
AAA
n
n
11
1)()(][ 110
11
azaz
azzFnuan
nn
azaz :ROC:ROC 21
11
11
11)(1
)()()(]1[
1110
11
11 12
zaazza
za
zaazzFnua
kk
kk
nnn
)()( 21 zFzF
SPC-2011/12
ROC: PROPIEDADES La transformada F(z) junto con la ROC definen de
forma inequívoca la secuencia f [n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la anti-transformada
La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el z – plano, porque la convergencia solo depende de |z|
La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de F(z) sobre un polo produce divergencia
ul rzrz 0; :ROC
SPC-2011/12
ROC: PROPIEDADES La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es
todo el plano complejo, excepto quizás
o el origen, porque diverge en
o el infinito, porque diverge en
Cualquier función transformada F(z) racional se puede descomponer en términos de la forma
y su ROC será una combinación de ROCs con simetría circular (como las vistas en el ejemplo anterior)
a
az;
11
1
)0( kz k 0z
)0( kzk z
SPC-2011/12
ROC: PROPIEDADES La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal
(con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia
La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia
La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal con estrictamente no causal) puede:o ser una corona circular (si radio parte causal menor que
radio parte anticausal)o no existir (si radio parte causal mayor que radio parte
anticausal y no hay intersección)SPC-2017/18
ROC: PROPIEDADES Secuencias de duración finita: secuencia y ROC
SPC-2014/15
ROC: PROPIEDADES Secuencias de duración infinita: secuencia y ROC
SPC-2014/15
lrz
urz
ul rzr
TZ: PROPIEDADES Linealidad: si
Desplazamiento temporal: si
Escalado en z : si
22TZ
2
11TZ
1ROC),(][ROC),(][
zFnfzFnf
ROC),(][ TZ zFnf
21TZ :ROC),(][ rzrzFnf
212211TZ
2211 ROCROC),()(][][ zFAzFAnfAnfA
0,ROC),(][ TZ zFzknf k
211TZ :ROC),(][ razrazaFnfan
SPC-2011/12
TZ: PROPIEDADES Conjugación: si
Parte real : si
Parte imaginaria: si
ROC),(][ TZ zFnf
ROC*),(][ *TZ* zFnf
ROC),(][ TZ zFnf
originalROCincluye,*)()(21][Re *TZ zFzFnf
ROC),(][ TZ zFnf
originalROCincluye,*)()(21][Im *TZ zFzFjnf
SPC-2017/18
TZ: PROPIEDADES Reflexión en n : si
Diferenciación en z : si
Convolución: si
2121TZ
2*1 ROCROC),()(][][ zFzFnfnf
21TZ :ROC),(][ rzrzFnf
12
1TZ 11 :ROC),(][r
zr
zFnf
ROC),(][ TZ zFnf
0,ROC,)(][ TZdz
zdFznfn
22TZ
2
11TZ
1ROC),(][ROC),(][
zFnfzFnf
SPC-2014/15
TZ: PROPIEDADES Correlación: si
Multiplicación: si
donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC común: (como mínimo)
22TZ
2
11TZ
1
ROC),(][ROC),(][
zFnfzFnf
)()(][][][ 121
TZ*2112
zFzFnkfkfnr
k
22TZ
2
11TZ
1ROC),(][ROC),(][
zFnfzFnf
CdzFF
jzFnfnfnf 1
21TZ
21 )(21)(][][][
uull rrzrr 2121 SPC-2014/15
TZ: PROPIEDADES Inserción de ceros: si
Relación de Parseval: si
donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC común: (como mínimo)
Teorema del valor inicial: si es una secuencia causal][nf )(lim]0[ zFf
z
22TZ
2
11TZ
1ROC),(][ROC),(][
zFnfzFnf
nnfnf ][][ *
21
uull rrzrr 2121
SPC-2013/14
ROC),(][ TZ zFnf
LLzFnLnLnf 1TZ ROC),(0
;]/[
restantes de múltiplosi
CdFFj
1*21 *
1)(21
PARES TRANSFORMADOS (1/2)
Secuencia f [n] Transformada F(z) ROC
1
2
3
4
5
6
][n
][nu
][nuan
]1[ nuan
][nuan n
]1[ nuan n
1
111 z
111
az
111
az
21
1
)1(
azaz
21
1
)1(
azaz
z
1z
az
az
az
az
SPC-2011/12
PARES TRANSFORMADOS (2/2)
Secuencia f [n] Transformada F(z) ROC
7
8
9
10
][)(cos nuno
][)(sin nuno
][)cos( nunr on
][)sin( nunr on
21
1
cos21cos1
zzz
o
o
21
1
cos21sin
zzz
o
o
221
1
cos21cos1
zrzrzr
o
o
221
1
cos21sin
zrzrzr
o
o
1z
1z
rz
rz
SPC-2011/12
POLOS Y CEROS Cualquier función racional F(z) se puede modificar
para obtener polinomios en potencias positivas de z :
o la ecuación proporcionará los ceros de la función
o la ecuación proporcionará los polos de la función
o polos y ceros pueden ser reales o complejos (pares)
o polos y ceros pueden ser simples o múltiples
o el factor z N-M proporciona N-M ceros triviales en el origen si N >M, o M-N polos triviales en el origen si M >N
)()(
)()(
)()()( 1
1
zDzNz
zDzN
zz
zDzNzF MN
N
M
0)( zN
0)( zD
SPC-2017/18
volver a la tabla
POLOS Y CAUSALIDAD Una vez calculados los N polos de la función F(z) cabe
recordar queo la ROC no puede contener polos
o si f [n] es (estrictamente) causal la ROC es el exterior de una circunferencia definida por los polos
o si f [n] es (estrictamente) anticausal la ROC es el interior de una circunferencia definida por los polos
Con ello se establece una relación entre la causalidad de la secuencia f [n] y la localización de los polos de su función transformada F(z)
SPC-2017/18
POLOS Y CAUSALIDAD La ROC de una secuencia
o (estrictamente) anticausal es el interior de la circunferencia determinada por el polo de módulo mínimo
o (estrictamente) causal es el exterior de la circunferencia determinada por el polo de módulo máximo
o bilateral es la corona delimitada por los polos máximo y mínimo de las componentes causal/anticausal:
kk
pz min :ROC
kk
pz max :ROC
kk
kk
pzp 21 minmax :ROC
estrictaanticausal2causal1bilateral ][][][ nfnfnf
SPC-2017/18
POLOS Y ESTABILIDAD La condición necesaria y suficiente que asegura la
estabilidad de una secuencia es que su ROC contenga al círculo unidad. Por tanto f [n] eso estable y (estrictamente) causal todos los
polos están dentro del círculo unidado estable y (estrictamente) anticausal
todos los polos están fuera del círculo unidad
Cuando f [n] presenta polos sobre el círculo unidad se denomina marginalmente estableSegún cuál sea la multiplicidad de estos polos, el comportamiento sobre la variable n será acotado o divergente
kpk 1
kpk 1
SPC-2017/18
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real simple (positivo):
SPC-2014/15
][1
11 nua
azn
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real simple (negativo):
][1
11 nua
azn
SPC-2014/15
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real doble (positivo):
][)1( 21
1nuan
azaz n
SPC-2014/15
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polo real doble (negativo):
][)1( 21
1nuan
azaz n
SPC-2014/15
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polos complejos conjugados:
][)cos(cos21
cos1221
1nunr
zrzrzr
on
o
o
SPC-2014/15
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD Secuencia causal con polos complejos conjugados:
SPC-2014/15
][)cos(]cos21[
2cos)(221
231nunn
zzzzz
oo
o
][)cos(cos21
cos1221
1nunr
zrzrzr
on
o
o
POLOS: ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD
f [n] CAUSAL f [n] ANTICAUSAL f [n] BILATERAL
solo potencias negativas solo potencias positivas ambas potencias
si duración finita si duración finita si duración finita
si duración infinita si duración infinita si duración infinita
polos dentro de un círculo polos fuera de un círculo polos fuera de la corona
estable estable estable
)0( kz k )0( kzk )0( kz k
0planoROC z planoROC z ,0planoROC z
lrz :exteriorROC urz :interiorROC ul rzr :coronaROC
lk rpz max uk rpz min min2max1 kk pzp
kpk 1kpkp
k
k
11
2
1kpk 1
SPC-2011/12
TRANSFORMADA INVERSA Definición:
donde C es un contorno cerrado (conteniendo al origen) en la ROC de F(z). La integral se evalúa recorriendo C en sentido levógiro. Definición poco práctica para el cálculo de una transformada inversa
Cálculo por expansión en serie: la idea es expandir F(z)en una serie de potencias que converge dentro de la ROC:
Si F(z) es racional la expansión se obtiene al realizar la división entre los polinomios numerador y denominador
C
dzzzFj
nfzF n 1TZ )(21][)(
1
ncnfzczF nn
nn
][)(
SPC-2011/12
TRANSFORMADA INVERSA Cálculo por descomposición en fracciones simples: la
idea es expresar cierta F(z) racional como una suma de fracciones simples, asociadas a los diversos polos pk con correspondiente multiplicidad Mk :
y recurrir a las tablas de pares transformadoso polo real simple pares 2, 3 (causal); par 4 (anticausal)o polo real doble par 5 (causal); par 6 (anticausal)o polos complejos conjugados pares 7, 8, 9, 10 (causales)NOTA: se supone que F(z) es función racional propia
k m
k
kkzp
AzDzNzF
)1()()()( 1
)1( kMkm
SPC-2015/16
TRANSFORMADA INVERSASalvo en casos muy sencillos, para el cálculo de los residuos Ak conviene:o expresar F(z) como cociente de polinomios en potencias
positivas de z, para obtener los polos y poder factorizar el polinomio denominador
o dividir esta expresión por la variable z y descomponer el cociente en fracciones simples
kk
MNMNpz
zNzzDzNz
zDzNzF )(
)()()(
)()()( 1
1
k k
k
kk
MNpz
Apz
zNzzzzF
)()()(1)(
SPC-2015/16
residuez
TRANSFORMADA INVERSA si p es polo real simple:
si p es polo real con multiplicidad M, genera M fracciones
si p=r e jo es polo complejo, combinado con p* genera
y acaba produciendo
pz
MmMmM
mM
m mm
zzFpz
dzd
mMApz
A
)()()!(
1)(1
pzzzFpzA
pzA
)()(
)(
pzo zzFpzA
rrzzCBz
pzA
pzA
)()(
cos2*)(*
)( 22
2222 cos2)sin(
cos2)cos(
rrzzrN
rrzzrzM
o
o
o
o
SPC-2011/12
TRANSFORMADA INVERSAo recuperar la función original
o expresar los sumandos en potencias negativas de z
si p es polo real simple:
si p es polo real múltiple:
si p=r e jo es polo complejo, acompañado del conjugado
o anti-transformar cada fracción consultando las tablas de pares transformados y la propiedad de desplazamiento
k k
kpz
AzzF)(
)(
)1()( 1
pzA
pzzA
M
m mm
mM
m mm
pzAz
pzzA
1 1
)1(
1 )1()(
221
11
22
2
cos21)sin()cos1(
cos2)sin()cos(
zrzrzrNzrM
rrzzrzNrzzM
o
oo
o
oo
SPC-2014/15
TRANSFORMADA Z UNILATERAL Sea un sistema LTI causal y estable cuya relación
entrada-salida es la ecuación en diferencias
Aplicando TZ con sus propiedades a la ecuación
Calculando la TZ inversa se obtiene que es exclusivamente la componente estado cero de la respuesta, correspondiente a considerar condiciones iniciales nulas (sistema inicialmente en reposo)
MNknxbknyanyM
kk
N
kk
;][][][
01
)(1
)()()()(
1
001
zXza
zbzYzXzbzYzazY N
k
kk
M
k
kkM
k
kk
N
k
kk
)(TZ][ 1 zYny
SPC-2011/12
TRANSFORMADA Z UNILATERAL Para sistemas no inicialmente en reposo, es decir, con
condiciones iniciales no nulas es precisa la transformada Z unilateral, definida por
o no contempla información para n < 0 y por tanto solo es única para secuencias causales, en las que
o verifica que y por tanto su ROC es siempre exterior a cierta circunferencia
o comparte con la transformada Z todas las propiedades vistas, excepto un diferente comportamiento respecto a las operaciones de retardo y adelanto temporal
0]0[ ny
)()( zFzF
][][TZ)( nunfzF
n
nznfzF
0
][)(
SPC-2011/12
TRANSFORMADA Z UNILATERAL Dado el par transformado
o Retardo temporal (k > 0):
o Adelanto temporal (k > 0):
Los términos adicionales en forma de sumatorioo se explican por la contribución de las muestras que
entran/salen del semieje positivo al desplazar la secuencia o permiten incorporar condiciones iniciales no nulas cuando la
TZ+ se aplica sobre ecuaciones en diferencias y, por tanto, calcular la contribución entrada cero
)(][ TZ zFnf
k
n
nk znfzFzknf1
TZ ][)(][
k
n
nk znfzFzknf1
TZ ][)(][
SPC-2011/12
TRANSFORMADA Z Y FOURIER Cuando la secuencia f [n] que se transforma es la
respuesta impulsional (finita o infinita) de un sistema LTI, la correspondiente transformada es la función de transferencia del sistema
Comparando con la definición de la respuesta en frecuencia
se concluye:
que representa la proyección del z - plano complejo sobre el círculo unidad
n
nznhzHnh ][)(][ TZ
n
njenhHnh ][)(][ DTFT
jezzHH )()(
SPC-2011/12
TRANSFORMADA Z Y FOURIER
)(
TZ
)()(
)(][
HArgj
jez
eHH
zHnh
Sistema LTI tiempo-discreto
Señal tiempo-discreta
Respuesta impulsional
Respuesta en frecuencia
Función de transferencia
Respuesta en magnitud
Respuesta en fase
)(
TZ
)()(
)(][
XArgj
jez
eXX
zXnx
Secuencia
Espectro
Función transformada
Espectro en magnitud
Espectro en faseSPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Al proyectar sobre el círculo unidad se obtiene el eje (rad/muestra) intrínsecamente periódico con periodo
kez kj ;)π2(
2
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Cualquier función F() (espectro o respuesta en frecuencia) definida sobre este eje será periódica, y bastará con su estudio sobre
Sobre este periodo fundamental se re-define el concepto de frecuencias bajas/medias/altaso bajas frecuencias en torno a o altas frecuencias en torno a o frecuencias medias en torno a y
También se re-define el eje de simetría hermítica (bajo supuesto de f [n] real) sobre el punto
π20
π20 π
2π 223π
π
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
En general donde tanto el módulo |F()| como el argumento Arg[F()] serán funciones reales de variable real periódica y vendrán conformadas por la posición de polos y ceros de F(z):
)()()( FjArgeFF
N
k k
Mk k
Nk k
Mk kMN
zp
zzF
pz
zzzFzF
11
11
01
1)(0
)1(
)1(
)(
)()(
SPC-2011/12
N
kj
k
Mk
jk
Nk k
j
Mk k
jMNj
ep
ezF
pe
zeeFF
1
10
1
1)(0
)1(
)1(
)(
)()(
jez
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Respecto al módulo |F()|:
las contribuciones de polos y ceros son siempre términos en la forma |e j - qk| peroo multiplicando en el caso de ceros
o dividiendo en el caso de polos
Es decir, suponiendo expresión en deciBelioso sumando en el caso de ceros
o restando en el caso de polosSPC-2011/12
N
k kj
Mk k
j
pe
zeFF
1
10)(
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Respecto al argumento Arg[F()]:
las contribuciones de polos y ceros son siempre términos en la forma Arg [e j - qk]- Arg [e j]= , o sumando en el caso de ceros o restando en el caso de polos
Si F0 es una constante real, su contribución Arg [F0] solo puede ser 0º si F0 > 0 ó ±180º cuando F0 < 0
])[][(
])[][()(
1
10
jN
kk
j
jM
kk
j
eArgpeArg
eArgzeArgFArgFArg
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Definiendo el vector de cero/polo como aquel que une
el cero/polo qk sobre el z-plano con el punto que recorre el círculo unidad, se observa que
|| kj qe
][ kj qeArg
je
o cada factor de la forma presente en la expresión de |F()| representa el módulo del vector de cero/polo
o cada término representa el ángulo que forma el vector de cero/polo con el semieje real positivo (en sentido levógiro)
o la contribución a la función Arg[F()] será la diferencia entre este ángulo y el argumento del punto móvil
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero situado sobre el círculo
unidad (de la forma ) se observa que jk ez 1
0|)(| F
SPC-2014/15
o el módulo del vector de cero decrece conforme y se anula totalmente cuando
, lo que supone una frecuencia de rechazo total:
o el ángulo diferencia - experimenta, sobre , una discontinuidad de 180º cruzando por cero con pendiente positiva
º360
º180
º0
º180
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2014/15
=0º =30º =60º =90º
=120º =150º =180º
=240º =300º =360º
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Si se tratase de un polo (simple!) situado sobre el círculo unidad (de la forma ) las conclusiones son similares, pero ahora, sobre ,o el valor nulo del factor de la forma proporciona
una divergencia para la función módulo:
o el ángulo diferencia - experimenta una discontinuidad de 180º cruzando por cero, con contribución a la función Arg[F()] de pendiente negativa por tratarse de un polo
o así se explica, por ejemplo, el espectro en magnitud de un coseno tiempo-discreto causal
jk ep 1
|| jj ee
|)(| F
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero/polo situado dentro del
círculo unidad (de la forma )1; rerq jk
SPC-2014/15
o el módulo del vector de cero/polo va disminuyendo conforme , sin llegar a anularse totalmente. Mínimo (no nulo) en y máximo sobre
o la diferencia - vuelve a experimentar, sobre , un cruce por cero con pendiente positiva y una transición aproximada de 180º
º360
º180
º0
º180
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2014/15
=0º =30º =60º =90º
=120º =150º =180º
=240º =300º =360º
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Ejemplo:
SPC-2017/18
33221223 )cos21()cos21(1)cos2)(()( zrzrzrrrzzrzzzF
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2017/18
º1800;1)cos21()cos21(1)cos2)(()( 33221223
rzrzrzrrrzzrzzzF
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2017/18
º1800;8.0)cos21()cos21(1)cos2)(()( 33221223
rzrzrzrrrzzrzzzF
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO Si se dispone de un cero situado fuera del círculo
unidad (de la forma )1; rerq jk
SPC-2014/15
o el módulo del vector de cero va disminuyendo conforme , sin llegar a anularse totalmente. Mínimo (no nulo) en y máximo sobre
o la diferencia - vuelve a experimentar, sobre , un cruce por cero con pendiente positiva y una transición aproximada de 180º
º360
º180
º0
º180
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2014/15
=0º =30º =60º =90º
=120º =150º =180º
=240º =300º =360º
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
RESUMEN: cuando el punto móvil se aproxima a la posición de un cero/polo qko se obtiene un valor mínimo para |e j-qk | y por tanto un
mínimo/máximo en |F()| según que qk sea cero o polo respectivamente. El correspondiente valle/pico es tanto más acusado cuanto más próximo se halle el cero/polo del círculo unidad. Un cero/polo de radio unidad produce un factor nulo o una divergencia.
o la función Arg[F()] manifiesta un cruce por cero con una acusada pendiente positiva/negativa según que qk sea cero o polo respectivamente. La pendiente es tanto más acusada cuanto más próximo se halle el cero/polo del círculo unidad. Un cero /polo de radio unidad produce una discontinuidad de fase de ± radianes (pendiente = ± )
je
SPC-2011/12
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2012/13
r e j MÓDULO ARGUMENTO
cero
(r =1)
mínimo valor nulo, pendiente positiva
nulo discontinuidad de +180º
polo
(r =1)
máximo valor nulo, pendiente negativa
divergencia discontinuidad de -180º
o siempre que los coeficientes de F(z) son reales cada cero/polo complejo aparece acompañado de su conjugado
o esto preserva la simetría par/impar, respectivamente, de las funciones |F()| y Arg[F()] cuando f [n] también es real
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
Ejemplo con polos y ceroso nueve ceros sobre el círculo unidad, en posiciones
conjugadas, distribuidos regularmente cada 40º: sobre las frecuencias iguales a los argumentos de los ceros se tendrá magnitud nula
SPC-2011/12
o nueve polos triviales sobre el origen o, si se prefiere, un polo en el origen con multiplicidad igual a 9: no hay contribución a la función respuesta en magnitud, pero sí que se produce divergencia de F(z) sobre z = 0
PLANO Z - COMPLEJO Y EJE - PERIÓDICO
SPC-2014/15
o superficie 3D: función |F(z)| sobre el z-plano complejoo curva roja: proyección sobre el círculo unidad |F()|
CONEXIONES DE SISTEMAS Sea fk [n]= hk [n]= respuesta impulsional del k-sistema
LTI, con función de transferencia correspondiente
Aprovechando las propiedades de la transformada Zo en una conexión serie (o cascada):
Resultado evidentemente conmutativo: en una conexión serie el orden de los sistemas es irrelevante
n
nkk znhzH ][)(
)()()(][*][][ 2121 zHzHzHnhnhnh ss
SPC-2011/12
CONEXIONES DE SISTEMASo en una conexión paralelo:
Resultado evidentemente conmutativo: en una conexión paralelo el orden de los sistemas es irrelevante
o en una conexión realimentada:
][][][ 21 nhnhnhp
)()()( 21 zHzHzH p
][*]}[*][][{][ 12 nhnynhnxny
)()}()()({)( 12 zHzYzHzXzY
)()(1)(
)()()(
21
1zHzH
zHzXzYzH f
SPC-2011/12
CONCEPTOS ADQUIRIDOS Cualquier secuencia f [n] queda determinada de forma unívoca
a través del par {función transformada Z + ROC} La transformada F(z) de f [n] es una función compleja de
variable compleja La transformada Z convierte convoluciones en productos y
ecuaciones en diferencias en ecuaciones algebraicas La descripción de un sistema mediante su respuesta
impulsional h[n] produce, bajo transformada Z, una función de transferencia H(z)=TZ {h[n]} que permite identificar los ceros (raíces del numerador) y los polos (raíces del denominador) del sistema
En este sentido la transformada Z representa en el mundo tiempo-discreto el papel de Laplace en tiempo-continuo
SPC-2012/13
CONCEPTOS ADQUIRIDOS La localización de polos en el z-plano determina la ROC y se
relaciona, por tanto, con las características de causalidad La localización de polos en el z-plano determina la ROC y se
relaciona, por tanto, con las características de estabilidad La localización y multiplicidad de los polos conforma la
respuesta natural y la respuesta impulsional de un sistema Para un sistema causal la localización de todos los polos dentro
del círculo unidad asegura la estabilidado Polos estables reales dan contribuciones decrecientes, donde la
velocidad de amortiguamiento depende de la distancia al origeno Polos estables formando pares conjugados dan contribuciones
senoidales decrecientes, donde la velocidad de amortiguamiento depende de la distancia al origen (módulo) y la frecuencia de oscilación del argumento
SPC-2012/13
CONCEPTOS ADQUIRIDOS La transformada Z proporciona una herramienta eficaz para la
resolución de ecuaciones en diferencias y la consiguiente obtención de la salida de un sistema bajo una excitación dada
La transformada Z unilateral permite además contemplar el caso de condiciones iniciales no nulas
La transformada Z conecta con el tratamiento de Fourier tiempo-discreto (DTFT) a través de una proyección sobre el círculo unidad
La localización de ceros y polos en el z-plano conforma las características frecuenciales de la señal/sistema bajo estudio, tanto en magnitud como en fase
Esto permite diseñar sistemas con una respuesta dada mediante la adecuada localización de polos y ceros en el z-plano
SPC-2012/13
ANEXO 1: notación en bibliografía
PDS f [n] (rad/muestra)
F()
McClellan f [n]
IngleDiniz f (n)
Orfanidis f (n)
ProakisAlvarado f (n)
ManolakisOppenheim f [n]
)( jeF
)( jeF
)(F
)( jeF
)(F
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