Indice General

1. ASPECTOS GENERALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Título . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Asesor de Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Justi�cación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Objetivos del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.1 Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.2 Objetivos Especi�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6. Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I Ecuaciones de Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II Transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8. ÁMBITO DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9. ADMINISTRACION DEL PROYECTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9.1 Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9.2 Presupuesto del Trabajo de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10. BIBLIOGRAFIA Y FUENTES DE INFORMACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

1. ASPECTOS GENERALES

1.1. TITULO

�Aplicación de la transformada Z en las ecuaciones de diferencias paralos problemas de inventarios �

1.2. AUTORES

Bach. Róger CCAMA ALEJO

1.3. ASESOR DE TESIS

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Las ecuaciones diferenciales es una rama de la matemática de amplia aplicación a la

ingenieria.

Es normal que en los primeros inicios en el estudio de las matemáticas se abor-

den temas desde las funciones continuas, ya sea por facilitar su comprensión o simple-

mente por que .es costumbre". Esto ocaciona en los estudiantes una inclinación hacia

la continuidad, en cambio con la mayoría en los fenómenos físicos que �nalmente son

modelados por funciones continuas. Realmente en asignaturas como física, estadistica

y economia donde empieza a notarse esta inclinación, que conlleva a di�cultades en el

manejo matemático de estas áreas. Igual ocurre al momento de resolver una ecuación

diferencial, donde las técnicas de solución en forma exacta parecieran indicar que estos

siempre es posible, en tanto que la realidad muestra que soluciones de ecuaciónes diferen-

ciales en términos de funciones elementales son muy pocas y que los métodos de solución

aproximada cada vez son mas usados.

Este trabajo muestra la estrecha relación entre ecuación diferencial y ecuación en

diferencias, siendo éstas últimas un recurso útil en la solución de las primeras. En la

solucion de ecuaciones en diferencias que expondremos aquí, además de detallar por

completo su solución en el caso de primer y segundo orden. Se busca presentar con-

ceptos que ayuden a interpretar de forma más sencilla dicha solución. Planteándonos

las siguientes interrogantes: ¿La transformada Z es posible aplicar en las Ecuaciones de

2

Diferencia? ¿Cómo se puede Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias

de la forma: an+1 � an�1 = f(n) y an+1 + an�1 = f(n)?. Estas son preguntas que son

estudiadas en este trabajo.

Problema General:¿La transformada Z es posible aplicar en las Ecuaciones de Diferencia?

Problemas especí�cos:¿Cómo se aplica la Transformada Z en una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se aplica la Transformada Z en la ecuación de Metzler?

3. JUSTIFICACION DEL PROYECTO

La presente investigación se justi�ca, porque permite aplicar el método heurístico,

en el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, aplicando el conocimiento

propio del problema y técnicas realizables en la resolución de problemas en un tiempo

razonable en los estudiantes de las Escuelas Profesionales de Ingeniería económica de la

Universidad Nacional del Altiplano.

El método heurístico permite la búsqueda de algunas alternativas de solución que

coadyuven a la mejoría en la resolución de problemas de las Ecuaciones de Diferencias

en los estudiantes de escuelas profesionales de Ingenierías.

Así mismo permitirá el empleo del método heurístico en la enseñanza de la matemáti-

ca, contribuyendo a lograrla la búsqueda de independencia cognitiva de los estudiantes

y la integración de nuevos conocimientos con los preexistentes en la construcción de los

aprendizajes.

Considero que bastaran estos elementos aquí planteados para justi�car un trabajo

de esta naturaleza que busque contribuir a la solución de un problema especí�co, pero

de gran relevancia por estar relacionado con muchas áreas del conocimiento y de las

investigaciones cientí�cas.

El estudio es importante porque permite aplicar el método heurístico en el apren-

dizaje de ecuaciones de diferencias, cuyas bondades permitirá a�anzar los aprendizajes

de manera signi�cativa, haciéndoles participes a los sujetos del aprendizaje.

El método heurístico en el aprendizaje de Ecuaciones de Diferencias es importante,

porque permitirá construir y desarrollar �la Didáctica de Ecuaciones Diferenciales Or-

3

dinarias�, para los estudiantes de escuelas profesionales de Ingenierías y otras escuelas

profesionales.

4. OBJETIVO DEL PROYECTO

4.1. OBJETIVOS GENERALES

Determinar la aplicación de la transformada Z en las ecuaciones de diferencias.

5. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1+an�1 =

f(n) tiene como solución general

a�2in(1 + (�1)n)� a�1

2in�1(1 + (�1)n�1) + 1

2

nPm=0

[im�1(1 + (�1)m�1)f(n�m)]

Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1�an�1 =f(n) tiene como solución general

12[(1 + (�1)n)a� + (1� (�1)n)a�1 + (1� (�1)n) � f(n)]

6. ANTECEDENTES

Se considera como antecedentes los siguientes trabajos de investigación por la relación

que tiene con el proyecto de investigación.

� Ecuación de diferencias y la transformada Z aplicada a la solución de un problemade amortización de préstamo Bancario. Jairo José Pertuz Campo

� Transformada Z y su aplicación en Economía .Victor Adrian Quiroz Aran XalapaVeracruz julio de 2008

7. MARCO TEORICO

Ecuaciones de DiferenciasDe�nición 7.1 Sea h un número real �jo y f una función dada, la función �f está

de�nida por la ecuación

�f(x) = f(h+ x)� f(x)

4

Se llama primera diferencia de f , (ó diferencia de .ordenüno de f) y está de�nida para

aquellos puntos x para los que tanto x y los x+ h están en el dominio de f:

PROPIEDADES

i). �(cf(x)) = c�f(x)

ii). �(f(x) + g(x)) = �f(x) + �g(x)

De�nición 7.2 Sea u(x) y v(x) dos funciones continuas en todo el dominio, entonces

se tiene:

�(u(x)v(x)) = u(x)�v(x) + v(x)�u(x) + �u(x)�v(x)

De�nición 7.3 Una ecuación de diferencias de primer orden la llamaremos lineal, se

puede escribirse en la forma:

f(x)y(x) + g(x)y(x+ 1) = h(x)

De�nición 7.4 Sea y = g(x); es una solución particular de la ecuación

a�y(x) + a1y(x+ 1) = h(x)

si la satisface en todo el dominio. El conjunto de todas las funciones que la satisfacen

es llamado solución general de:

a�y(x) + a1y(x+ 1) = h(x)

De�nición 7.5 Dada la ecuación lineal con coe�cientes constantes a�y(x)+a1y(x+1) =

h(x); (x = 0; 1; 2; 3:::) si la función h es constante h(x) = G entonces la relación

anterior, se reduce a:

y(x+ 1) = Ay(x) +B

Donde:

�A = a�a1y

�B = ba1

son constantes.

5

Teorema 7.6 La función y(x), dada en la relación

y(x) =� Axy(0)+B( 1�A

x

1�A ) , A6=1y(0)+Bx , A=1

es solución de la ecuación de diferencias

y(x+ 1) = Ay(x) +B

Teorema 7.7 La ecuación de diferncias y(x+ 1) = Ay(x) +B tiene solución única.

Corolario 7.8 Sea y(x) una solución de la ecuación de diferencias y(x+1) = Ay(x)+B:

existe una constante c; para la cual;

y(x) =� cAx+B( 1�A

x

1�A ) , A6=1c+Bx , A=1

De�nición 7.9 Una sucesión fy(x)g es convergente si l��mx!1

y(x) existe, en cuyo caso la

sucesión converge al valor del límite.

De�nición 7.10 Si fy(x)g converga a un valor y y su comportamiento satisface y(k) >y; y(k+1) < y; y(k+2) > y; y(k+3) < y; ::: a partir de algun k 2 Z+; entonces fy(x)gconverge a y por oscilación.

Teorema 7.11 La solución general de la ecuación y(x+1)+ay(x) = r(x) tiene la forma

y(x) = yh(x) + yp(x):

Donde:

�yh es la solución de la ecuación homogenia asociada.�yp es una solución particular.

Teorema 7.12 Dadas dos soluciones y1(x) e y2(x) de la ecuación de diferencias y(x+

2) + a1y(x + 1) + a�y(x) = 0; la función y(x) = c1y(x) + c2y(x); donde c1 y c2 son

constantes arbitrarias tambien es solución de la ecuación homogenea.

Soluci�onAproximada de unaEcuaci�onDiferencial Ordinaria de Primer

Orden Usando Ecuacines de Diferencias

Hasta ahora, en este trabajo, se ha estudiado en forma detallada las ecuaciones de

diferencias en cuanto a su de�nición, propiedades, soluciones, etc. Queremos mostrar a

continuación su estrecha relación con las ecuaciones diferenciales de primer orden.

consideremos el problema general de valor inicial.

6

� dydx=f(x;y)

y(x�)=y�

con f y @f@ycontinuas en un rectangulo R = f(x; y) 2 R=a � x � b; c � y � dg

Transformada ZDe�nición 7.13 Sea la función discreta f(n) que adquiere valores

f(0); f(1); f(2); :::; f(n); :::

y considérese la sucesión geométrica en la variable z (variable de transformación).

1; z; z2; z3; :::; zn; :::

formando un producto interno co estas sucesiones.

De�nición 7.14 (pulso unitario en el origen) Sea la fución �(n) se de�ne de la sigu-

iente manera:

�(n) =�1 , si n=00 , si n6=0

De�nición 7.15 (Pulso unitario en el puto m) Sea la función f(n) se de�ne tam-

bien mediante la delta de Kronecker.

f(n) = �(n�m) =�1 , si n=m0 , si n6=m

así:

Tz(�(n�m)) =1Pn=0

�(n�m)zn = zm

De�nición 7.16 La función escalon unitario u(n) esta de�nido de la siguiente forma:

u(n) =�1 , si n�00 , si n<0

así:

Tz(u(n)) =11�z

7

De�nición 7.17 Sea f(n) = an entonces aplicando la de�nición de transformada Z.

Tz(an) = 1

1�az ; j az j< 1,j z j= 1jaj

T�1z�

1z2+1

�= 1

2in(1 + (�1)n)

donde T�1z representa la transformada Z inversa.

T�1z�

1z2+1

�= 1

2in�1(1 + (�1)n�1)

T�1z�

11�z2

�= 1

2(1 + (�1)n); n � 0

T�1z�

z1�z2

�= 1

2(1� (�1)n); n � 0

MODELO DE INV ENTARIO DE METZLER

Si el nivel de inventario deseado en un 40% del consumo del período

anterior y la propensión a consumir es de 0.6: St = 0;4Ct�1; Ct = 0; 6Yt: combinando

ambas expresiones, tenemos St = 0;4 � 0; 6Yt�1.El inventario al �nal del periodo t-1, con expresión St�1� c(Yt�1� Yt�2) = kcYt�2�

c(Yt�1 � Yt�2) estará dado por:

St�1 � 0;6(Yt�1 � Yt�2) = 0;6 � 0;4Yt�2 � 0;6(Yt�1 � Yt�2)

Teniendo en cuenta las ventas esperadas, la iversión en inventarios y la inversión

atónoma, podemos averiguar la produccin del periodo t, segun la expresión

Yt�2 � c(2 + k)Yt+1 + c(1 + k)Yt = I�

Dada por una ecuación por diferencias de segundo orden

Yt�2 � 1; 44Yt+1 + 0; 84Yt = I�

las raices de la ecuación característica son complejas: r = 0; 72 � 0; 5677i; cuyo

módulo es � = 0;9165 < 1; por lo tanto la solución es no monótona convergente.

Suponiendo I� = 300, encontramos la solución de equilibrio:

Y ct =3001�0;6 = 750:

La solución general es

Yt = 0;9165t(c1 cos 0;6672t+ c2 sin 0;6672t) + 750

no monótona, convergente a 750:

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8. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN

8.1. HIPÓTESIS GENERALES

La aplicación de la Transformada Z en las ecuaciones de diferencias.

8.2. HIPÓTESIS ESPECIFICOS

Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1+an�1 =

f(n)

Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1�an�1 =f(n)

8.3. SISTEMA DE VARIABLES.

8.3.1. Variable Independiente ( X )

Transformada Z.

8.3.2. Variable dependiente ( Y )

Ecuaciones de diferencias.

9. METODOLOGIA

La metodología que se utilizara en el presente trabajo de investigación estará caracter-

izada por el uso de los métodos inductivo, deductivo, sintético y además del demostrativo

ya que será de uso constante en el desarrollo de la investigación.

La estrategia para el avance será a través de exposiciones del trabajo al asesor, como

también consultas a docentes y otros entendidos en la materia.

10. AMBITO DE ESTUDIO

El ámbito de estudio está considerado dentro de la ciudad de puno, donde tendrá

lugar la asimilación y revisión bibliográ�ca. Este estudio se realizara mas precisamente

en la ciudad universitaria de la UNA-PUNO utilizando los servicios que presentan como la

biblioteca central, biblioteca especializada y el laboratorio de computo de nuestra escuela

profesional de Ciencias Físico-Matemáticas. Puesto que este es un trabajo netamente

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teórico, la parte de exploración se tendrá en cuenta el material bibliográ�co de otras

universidades y de la Internet.

11. ADMINISTRACION DEL PROYECTO

11.1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADESActividades (2012) Ene Feb Mar Abl May Jun Jul Ago Set

Exploración y estructuracion x x x x

Per�l del proyecto x x x

Tipeo y borrador x x x

Revision y presentación x x

Defensa x

11.2. PRESUPUESTODEL TRABAJODE INVESTIGACIÓNdescripción Unidad Cantidad Precio unit Parcial

Inscripción del Proyecto 3080.00

Adquisición de material bibliogra�co Unit 50.00 30.00 1.500

Alquiler de Computadoras H.M 500.00 1.00 500.00

Papel bond Millar 2 25.00 50.00

Papel bulky Millar 1 10.00 10.00

Memoria (USB) Unit 2 62.00 124.00

Folder Unit 10.00 1.00 10.00

Alquiler de internet H.M 200.00 1.00 200.00

Empastado de tesis Unit 7 20.00 140.00

Trabajo de impresion Millar 3 200.00 600.00

Fotocopias Millar 3 12.00 36.00

Total 6250.00

12. BIBLIOGRAFIA Y FUENTES DE INFORMACIÓN

References

[GJ] Glyn James, Matemática Avanzada para Ingenierías segunda edición (2002).

[C.F.J] Carlos Fernández Pérez, Francisco José Vázquez Hernandez, José Manuel Vegas

10

Montaner. Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias "Sistemas Dinámicos.Edición

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[Gr] Grossman, D. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Fondo Educativo In-

teramericano (19884).

[Iv] Ivorra, C. Funciones de Variable Compleja.

[Ja] Jau¤red, F. J. Moreno, A. Tecnicas Discretas en Ingeniería de sistemas, Tomo I.

[Le] Levinson, N., Redhe¤er, R. Complex Variable. Editorial Reverté.

[Do] Donald, Kreider. Robert, Kuller. Elementary Di¤erential Equations. Publicada

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[Ma] Martnes Coll, J. Equilibrio y Fiscalidad en la Economía de Mercado, Virtudes e

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[Mo] Mochón, F. Beker, V. Economía, Principios y Aplicaciones. Editorial Mc. Graw

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[Be] Bernardello, Alicia. Bianco, Maria. Casparri, Maria. Matemática para Econo-

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FUENTES DE INFORMACION

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