PERMUTACIN (P):Si se toma todos los elementos del conjunto para ordenarlos, la variacin recibe el nombre de permutacin es decir si: v = n

Ejemplo 7Cuntas permutaciones se obtienen con los elementos 1,2,3?SolucinAl tomar todos los elementos para ordenarlos, tenemos:123 132213 231 6 permutaciones312 321 P3 = 3! = 6Ejemplo 8De cuntas maneras se pueden ordenar 5 personas en una fila?Solucin:.PERMUTACIN CIRCULAR (Pc)Cuando n elementos se disponen alrededor de un circulo, el nmero de permutaciones, si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento, ser:Ejemplo 9De cuntas maneras pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda?Solucin:P7 = 7! = 5040Ejemplo 10:De cuntas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una fogata?Solucin:.PERMUTACIN CON REPETICIONSi se tiene n elementos donde hay:r1 = elementos de una primera claser2 = elementos de una segunda claser3 = elementos de una tercera claserk = elementos de una k sima claseEl numero de permutaciones diferentes que se puede formar con ellos es:Donde: r1 + r2 . + rk < nEjemplo 11Cuntas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de la palabra MENEM.SolucinEn la palabra encontraremos 5 letras de las cuales se repiten las letras E y M, es decir:n = 5; r1 = 2; r2 = 2EntoncesEjemplo 12:En cuntas formas se pueden ordenar los siguientes cubos:2 rojos, 3 verdes y 2 azulesSolucinEn total hay 7 cubos para ordenarlos uno a continuacin de otro; pero se repiten los colores, por lo que los ordenamientos distintos sern:COMBINACIN (C)Es cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, tomando todos los elementos o grupos de estos, no importando el orden en que se tomen estos.n = Nmero total de elementosr = Nmero de elementos tomados(agrupados)Ejemplo 13Se desean saber cuntas combinaciones se puedan realizar con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2.SolucinTener en cuenta que no interesa el orden de ubicacin de los elemento, es decir que: ab = ba, entonces las combinaciones sern:ab ac ad aebc bd be = 10cd cedeEjemplo 14Cuntos comits de 4 personas se pueden formar con un grupo de 6 personas?Solucin:OBSERVACIONES1.2.(C. Complementarias)3.DIFERENCIA ENTRE COMBINACIONES Y VARIACIONESLas combinaciones se diferencian por sus elementos; en tanto que las variaciones por el orden de los mismos. Para las variaciones el orden de sus elementos si interesa, ya que no es lo mismo decir 23 que 32. Para las combinaciones el orden no interesa. Dos combinaciones son diferentes slo si difieren por lo menos en un elemento:abc; abd; bcd; acd.PROBLEMAS RESUELTOS1. Cuntos nmeros de 3 cifras pueden formarse con 5 dgitos sin que se repita uno de ellos en el nmero formadoResolucin:Aplicando el mtodo de las cajas: 5 4 3 Dgitos posiblesde ubicar en cada caja.N de maneras = 5 x 4 x 3 = 60* Aplicando anlisis combinatorio:Como si nos interesa el orden:= 602. De cuntas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos 4 personas.ResolucinInteresa el orden en que estn sentados maneras =3. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. Cuntas maneras de escoger las preguntas tiene?ResolucinSe tiene que escoger 10 preguntas, sin interesar el orden; entonces:Maneras =4. De cuntas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?Resolucin Las tres nacionalidades pueden ordenarse en una fila de 3! maneras. Los dos peruanos pueden sentarse de 2! Los cuatro colombianos de 4! Los tres paraguayos de 3! Hay 3! x 2! x 4! x 3! = 1728 maneras5. De cuntas maneras pueden escogerse un comit compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres.Resolucin* De los 7 hombres se puede escoger 3 de maneras* De las 5 mujeres se puede escoger 2 de maneras El comit puede escogerse de:x = 350 maneras6. Un total de 120 estrechados de manos se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es corts con cada uno de los dems, cul es el nmero de personas presentes?ResolucinDel total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el orden, entonces:EJERCICIOS1. Seale cuntos nmeros mayores que 800 y menores que 900 pueden formarse con los nmeros 2,3,5,8 y 9.Rpta.: 2. De cuntas formas se puede ubicar 6 nios en una fila, si dos de ellos deben estar siempre juntos.Rpta.: 3. Con 7 consonantes y 4 vocales, cuntas palabras pueden formarse que contengan cada una 3 consonantes y 2 vocales?Rpta.: 4. Con las frutas: pia, manzana, papaya y naranja, cuntos jugos de diferentes sabor se podr hacer?Rpta.: 5. Se tiene una urna con cinco bolas numeradas, de cuantas maneras se puede extraer por lo menos una bola?Rpta.: 6. La mama de Ruth tiene 2 manzanas y 3 peras. Cada da durante 5 dias seguidos, da a su hijo una fruta. De cuntas maneras puede efectuarse esto?Rpta.: 7. Con 6 colores diferentes, Cuntas banderas tricolor se pueden formar?Rpta.: 8. Un edificio tiene 7 oficinas. Cuntos cables de conexin son necesarios para comunicar dos de dichas oficinas?Rpta.: 9. Cuntas palabras de 6 letras diferentes y que terminan en R se pueden obtener cambiando de lugar las letras de la palabra CANTOR?Rpta.: 10. De cuntas maneras pueden repartirse 8 camisas diferentes entre 4 personas?Rpta.: 11. De Lima a Trujillo hay 7 buses diferentes. De cuntas maneras se puede ir a Trujillo y regresar en un bus diferente?Rpta.: 12. De cuntas maneras diferentes se puede formar una terna, siendo 8 los candidatos?Rpta.: 13. Se tienen 4 libros diferentes de Geometra y 3 libros diferentes de Qumica. De cuntas maneras se pueden ordenar en 7 casilleros, si los de qumica deben ir juntos?Rpta.: 14. Tres personas llegan a un lugar donde hay 5 hoteles. De cuntas maneras diferentes podrn ubicarse en hoteles diferentes?Rpta.: 15. Cuntas palabras diferentes se pueden obtener con las letras de la palabra COCOROCO, sin importar si tienen o no sentido las palabras?Rpta.: 16. Cuntos nmeros diferentes de 5 cifras cada una, sin que ninguna se repita, se puede formar con las cifras: 1,2,3,4,5,6,7, de tal manera que todos empiecen con 2 y acaben con 1?Rpta.: 17. Cuntas sumas diferentes de 3 sumandos cada una, se pueden obtener con los nmeros: 1, 3, 5, 11, 21, 41?Rpta.: 18. En una biblioteca hay 5 textos de Fsica, 4 de Qumica y 5 de Estadstica. Se desea sacar 3 textos de Fsica, 2 de Qumica y 4 de Estadstica. Cuntas selecciones diferentes se pueden hacer?Rpta.: 19. En cuntas formas se pueden ordenar las siguientes fichas: 3 rojas, 2 azules y 2 blancas?Rpta.: 20. Con las cifras 1; 3; 4; 6; 7 y 9. Cuntos nmeros mayores de 5000 y de 4 dgitos no repetidos podemos formar?Rpta.: 21. En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser ocupados cada uno hasta por dos personas; si hay 3 secretarias de cuntas maneras pueden sentarse?Rpta.: 22. Si un conjunto tiene 4 elementos cuntos subconjuntos con ms de un elemento se puede formar?Rpta.: 23. Se tiene los siguientes libros: cuatro libros de Matemtica; seis libros de Fsica y tres libros de Qumica;todos los libros pertenecen a diferentes autores. De cuntas maneras se podrn ordenar 6 libros en un estante, si se escogen 3 de Matemticas, 2 de Fsica y uno de Qumica? NOTA: Los libros de un mismo curso deben ir juntos.Rpta.: 24. Un inspector visita 6 mquinas diferentes durante el da. A fin de impedir que los operadores sepan el momento de la visita, vara el orden. De cuntas maneras puede hacer las visitas?Rpta.: ANLISIS COMBINATORIO1. Calcule el valor de x en:A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5RESOLUCINX = 3RPTA.: C2. Calcule:A) 13 B) 14 C) 15D) 16 E) 17RESOLUCINRPTA.: C3. Los distritos de Lima y San Isidro estn unidas por seis caminos diferentes: San Isidro y Miraflores cuentan con 10 caminos diferentes, y el distrito de Miraflores con San Juan de Lurigancho por 8 caminos diferentes. De cuntas maneras diferentes una persona puede trasladarse de Lima a San Juan de Lurigancho pasando por San Isidro y Miraflores?A) 480 B) 460 C) 440 D) 420 E) 400RESOLUCIN6 10 8L SI M SJ 6 8 10 = 480RPTA.: A4. De cuntas maneras podr vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos (2 iguales), 5 pares de medias y 6 polos (3 iguales)?A) 360 B) 300 C) 280D) 220 E) 180RESOLUCINZap Buzos Medias Polos3 x 3 x 5 x 4 = 180RPTA.: E5. El aula de seleccin del centro preuniversitario consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. Cuntas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate?A) 3 B) 1 320 C) 120D) 256 E) 310RESOLUCIN12 x 11 x 10 = 1 320RPTA.: B6. Cuntas placas diferentes para automviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dgitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)A) 676.103 B) 936.103C) 642.103 D) 468.103E) 234.103RESOLUCINLetras dgitosRPTA.: D7. Con 6 hombres y 6 mujeres, de cuantas maneras se puede formar una pareja?A) 12 B) 18 C) 26D) 32 E) 36RESOLUCIN6 x 6 = 36RPTA.: E8. Cuntos son los nmeros de tres dgitos distintos?A) 899 B) 648 C) 900D) 810 E) 720RESOLUCIN10 x 9 x 8 = 720RPTA.: E9. El cdigo MORSE usa dos signos: punto y raya (. ; -) y las palabras tienen de 1 a 4 signos Cuntas son las palabras del cdigo MORSE?A) 40 B) 30 C) 36D) 34 E) 20RESOLUCINi) 2ii) 2 x 2 = 4 30iii) 2 x 2 x 2 = 8iv) 2 x 2 x 2 x 2 16RPTA.: B10. Si un club tiene 4 candidatos para Presidente, 3 candidatos para Secretario y 2 candidatos para Tesorero, de cuntas maneras puede elegirse la mesa directiva?A) 3 B) 7 C) 12D) 24 E) 32RESOLUCINP S T4 x 3 x 2 = 24RPTA.: D11. Un examen est formado por tres grupos de preguntas. El grupo A contiene 5 preguntas; el grupo B, contiene 7 y el grupo C, contiene 9. Se va contestar una pregunta de cada grupo, de cuntas maneras diferentes puede un estudiante elegir sus preguntas?A) 270 B) 315 C) 413D) 21 E) 120RESOLUCINA B C5 x 7 x 9 = 315RPTA.: B12. De cuntas maneras puede elegirse un comit de cuatro personas en un club de nueve miembros?A) 86 B) 100 C) 120D) 126 E) 130RESOLUCINRPTA.: D13. Calclese el nmero de permutaciones que pueden formarse con las letras: p, q, r, s, t.a) tomados de 4 en 4b) todos a la vezDar como respuesta la suma de los resultados.A) 1 080 B) 986 C) 872D) 760 E) 240RESOLUCINp ; q ; r ; s; ta) 5 x 4 x 3 x 2 = 120 +b) 5! = 120240RPTA.: E14. Cuntos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra RAPIDEZ si tomamos:a) cinco a la vezb) todas a la vezDar como respuesta la suma de los resultados.A) 7560 B) 7500 C) 7480D) 7396 E) 7200RESOLUCINRapideza) 7 x 6 x 5 x 4 x 3= 2520 7 560b) 7! = 5 040RPTA.: A15. Veinte corredores compiten en un RALLY para lo cual hay primer, segundo y tercer premio. De cuantas maneras pueden concederse los premios?A) 3280 B) 4900 C) 5248 D) 6030 E) 6840RESOLUCIN20 x 19 x 18 = 6 840RPTA.: E16. Calcule el nmero de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra OSHKOSH, tomadas todas a la vez.A) 630 B) 600 C) 586D) 500 E) 490RESOLUCINOSHKOSHRPTA.: A17. Cuando se lanz una moneda ocho veces en forma consecutiva, la cara apareci tres veces y el sello cinco veces en el siguiente orden SCCSCSSS. En cuntos otros ordenes podran haber aparecido?A) 55 B) 56 C) 57D) 58 E) 59RESOLUCINRPTA.: A18. En un examen formado por diez preguntas pueden omitirse tres de ellas. Cuntas selecciones de siete preguntas por contestar pueden hacerse?A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150RESOLUCINRPTA.: B19. La barra de una cafetera tiene 7 asientos en una fila. Si cuatro personas desconocidas entre s, ocupan lugares al azar. De cuntas maneras diferentes pueden quedar tres asientos desocupados?A) 31 B) 32 C) 33D) 34 E) 35RESOLUCINRPTA.: E20. a) De cuantas maneras se puede asignar una tarea de cinco problemas si se dispone de un grupo de 12 problemas?b) Cuntas veces se incluir el problema ms difcil?Dar como respuesta la suma de ambos resultados.A) 1 122 B) 1 120 C) 1 100 D) 1 900 E) 1 000RESOLUCINa)b)1 122RPTA.: A21. De cuntas maneras se puede seleccionar un comit de cinco hombres y cuatro mujeres de un grupo de diez hombres y siete mujeres.A) 8 820 B) 8 640 C) 8 528D) 8 476 E) 1 260RESOLUCINRPTA.: E22. Se van ha seleccionar tres soldados de un grupo de 10 voluntarios para una misin peligrosa. De cuntas maneras se podr formar este equipo?A) 90 B) 100 C) 120D) 130 E) 140RESOLUCINRPTA.: C23. Cuntos nmeros de 3 cifras pueden formarse con los dgitos 1; 2; 3; 4 y 5;a) si ninguno se repite.b) si los dgitos pueden repetirse.Dar como respuesta la suma de los resultados.A) 185 B) 180 C) 175D) 170 E) 165RESOLUCINa) 5 x 4 x 3 = 60 185b) 5 x 5 x 5 = 125RPTA.: A24. Cuntos arreglos diferentes pueden hacerse con los signos de la siguiente sucesin (+; -; +; -; -; -; +; +; -)?A) 120 B) 126 C) 132D) 140 E) 144RESOLUCINRPTA.: B25. De cuntas maneras distintas se pueden colocar alineadas 8 monedas de las cuales 5 son de 20 cntimos y 3 son de 10 cntimos?A) 40 B) 60 C) 56D) 72 E) 81RESOLUCINRPTA.: C26. Se tiene los siguientes libros: uno de Fsica, uno de Geometra, uno de Aritmtica, uno de Qumica y uno de Algebra. De cuantas maneras se podrn ordenar los libros si el de Algebra debe estar en el centro?A) 100 B) 120 C) 24D) 12 E) 720RESOLUCIN

Lugar fijo 4! = 24RPTA.: C27. De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres, cuntos grupos mixtos de 7 personas se pueden formar sabiendo que en cada grupo hay 4 varones?A) 2350 B) 3450 C) 2450D) 3630 E) 1500RESOLUCINRPTA.: C28. De cuantas maneras diferentes se puede viajar de A hacia B sin retroceder?A) 2B) 8C) 33 C) 30D) 3E) 2 E) 35RESOLUCINRPTA.: B29. Cuntos nmeros pares de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dgitos 1, 2, 3, 4 y 5.A) 30 B) 50 C) 24D) 60 E) 125RESOLUCIN= 24RPTA.: C30. Cuntos numerales de 5 dgitos diferentes tienen como sus 2 ltimas cifras 2 y 5 en este orden?A) 450 B) 3 600C) 900 D) 336 E) 1 800RESOLUCIN= 336RPTA.: D31. En un grupo de jvenes hay 8 varones y 6 mujeres. Si se desea elegir un grupo de 5, donde haya 3 mujeres, de cuntas maneras se podr obtener el grupo?A) 200 B) 280 C) 480D) 760 E) 560RESOLUCINRPTA.: E32. De un grupo de 15 personas, 5 son muchachos, 6 son muchachas y 4 son adultos. Se desea formar un comit de 5 personas. De cuntas maneras se pueden agrupar, si en el comit debe haber 2 adultos, 2 muchachas y 1 muchacho?A) 450 B) 120 C) 600D) 150 E) 900RESOLUCINC1 C2 C2 = 5 15 6 = 450RPTA.: A33. De cuantas maneras se pueden colocar 7 nios en una fila, de manera que 3 nios en particular queden juntos?A) 120 B) 5040 C) 900D) 720 E) 840RESOLUCIN* * * *RPTA.: D34. Cuntos nmeros de 3 cifras utilizan al menos una cifra par o cero en su escritura?A) 850 B) 750 C) 800 D) 625 E) 775RESOLUCINTodos = 900(Impares) = 125775RPTA.: E