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Perspectivas para la enseñanza de la Matemática

Clase 3. Aportes de la Didáctica de la Matemática para

pensar la enseñanza. Las nociones a enseñar desde el

punto de vista del aprendizaje

¡Hola colegas!

Volvemos a encontrarnos en este espacio para compartir nuevos análisis sobre la enseñanza

en la escuela primaria y sobre los niños y niñas que allí aprenden Matemática.

Tal como hemos planteado en las clases anteriores, en las últimas décadas del siglo XX las

investigaciones didácticas delinearon el campo de la Matemática de una nueva manera,

problematizando no solamente el lugar de los actores, maestros y alumnos, sino también el

de la Matemática misma y su particular funcionamiento en el ámbito de la clase, generando

resultados que apuntan a explicar distintos fenómenos de enseñanza y de aprendizaje.

Estos resultados han dado lugar a un conjunto de nociones didácticas fértiles para la

construcción de criterios orientadores para la organización de la enseñanza y flexibles en

términos de adecuación a los sujetos, contextos e instituciones en los que se ponen a

funcionar.

Ahora nos ocuparemos de usar algunas de esas nociones para pensar la clase en la escuela

primaria, poniendo el foco en los alumnos y alumnas, en las formas de apropiación de los

conocimientos matemáticos y en identificar las decisiones para la enseñanza que se pueden

derivar de ellas. Estos análisis resultan centrales a la hora de pensar el origen y los

fundamentos de un enfoque que permite comprender algunos problemas de la enseñanza y

delinear alternativas de acción tanto para los maestros en sus aulas como para los

profesores formadores.

Para ello abordaremos los fundamentos piagetianos para la construcción del pensamiento

conceptual, en particular los estudios de Gerard Vergnaud y su teoría de los campos

conceptuales, junto a los aportes de Raymond Duval, Michele Artigue y los estudios de

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Colette Laborde que toman ideas de la escuela soviética sobre el aprendizaje en

interacción social.

¿Cómo elegimos los problemas?

Hemos señalado que al pensar -como docentes, maestros y formadores- en que tenemos

que enseñar un conjunto de conocimientos específicos, nos planteamos el desafío de

organizar nuestras clases sobre la resolución de problemas y la reflexión sobre esa

resolución. Cabe entonces preguntarnos ¿cómo elegimos el conjunto de problemas ligados

a un cierto contenido de enseñanza?

Veamos ahora algunos aportes teóricos que, sin agotar las cuestiones a tener en cuenta,

nos brindan elementos para tomar decisiones.

Desde la preocupación por incluir las situaciones en las que funcionan los conceptos que se

quieren enseñar, Vergnaud asume una posición crítica respecto de la habitual

fragmentación o atomización de los contenidos escolares que se realiza en el currículum a

fines de organizar la enseñanza. Propone entonces una nueva noción teórica, la de campo

conceptual, que permite pensar tanto en la interconexión entre los conceptos matemáticos

como en la evolución psicogenética de quien aprende y que rehabilita los contenidos de

conocimiento, demasiado a menudo minimizados por la aproximación estructuralista.

“Un campo conceptual es un espacio de problemas o de situaciones-problemas cuyo

tratamiento implica conceptos y procedimientos de varios tipos en estrecha

conexión. La noción de campo conceptual permite estudiar de manera más integrada

el desarrollo simultáneo y coordinado de los diferentes conceptos necesarios para la

comprensión de un conjunto organizado de clases de problemas, de los

procedimientos que permiten tratarlos y de los sistemas simbólicos que permiten

representarlos.” (Vergnaud, 1981)

En su libro El niño, la matemática y la realidad (1991) Vergnaud define los dos campos de

problemas que nos interesan para la enseñanza en la escuela primaria:

• El campo de las estructuras aditivas como el conjunto de las situaciones cuyo

tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones y el conjunto de los

conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas

matemáticas.

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• El campo de las estructuras multiplicativas como el conjunto de situaciones cuyo

tratamiento implica una o varias multiplicaciones y divisiones y el conjunto de los

conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas

matemáticas.

Los distintos tipos de problemas de cada uno de estos campos se tratarán en profundidad

en las próximas clases. Veamos ahora algunas de las ideas básicas asociadas a la noción

de campo conceptual y los criterios didácticos que podemos derivar de ellas.

Un mismo concepto aparece en una gran variedad de situaciones, es

decir, que hay una gran variedad de problemas que pueden resolverse

con el mismo concepto.

Vergnaud mostró que en problemas diferentes, una misma noción adquiere diversos

significados, lo que implica diferentes grados de complejidad para su aprendizaje.

Pensemos, por ejemplo, en dos problemas que se resuelven con la misma suma:

“Tengo 8 caramelos de frutilla y 4 de dulce de leche, ¿cuántos caramelos tengo?”

“Perdí ayer 8 figuritas y hoy perdí 4, ¿cuántas perdí?”

Si analizamos los problemas mirando los elementos de las colecciones que intervienen,

advertimos que son distintos. En el primer caso, se trata de reunir dos tipos de objetos con

algo en común en una nueva colección –caramelos- pero con algo diferente - de frutilla y de

dulce de leche-. En el segundo caso, son siempre del mismo tipo, figuritas. Si miramos los

problemas considerando una cuestión temporal, vemos que en el primer problema no

interviene la noción de tiempo, las cantidades no se transforman. En cambio, en el segundo

ocurren dos disminuciones de cantidades, dos transformaciones negativas respecto de una

cantidad inicial de objetos que no se especifica.

¿Cómo influye esto en los niños que resuelven? Cambiar o no el tipo de objetos y que haya

o no una cuestión temporal involucrada en el enunciado, modifica la complejidad del

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problema. En efecto, pensar en que la pérdida total se encuentra sumando dos pérdidas

(perder es una acción inicialmente ligada a la resta) es de una complejidad diferente que

pensar en la reunión de dos colecciones.

¿Por qué nos interesa incluir en la enseñanza de un concepto una variedad de problemas

con sus significados distintos? Porque, si al aprender un concepto, los alumnos y alumnas

recorren un conjunto variado de problemas, podrán tener a futuro más posibilidades de

reutilizar el concepto en nuevas resoluciones.

En una misma situación coexisten varios conceptos.

Así, por ejemplo, los conceptos de multiplicación, división, fracción, número, función lineal y

otros, aparecen frecuentemente vinculados en los problemas de tipo multiplicativo a los que

se enfrentan los niños y niñas.

¿Cómo influye esto en nuestra planificación? Al anticipar el funcionamiento de un problema

en la clase es importante prever la realización de intervenciones propias que guíen y

permitan a los alumnos establecer relaciones entre los conceptos de un mismo campo

involucrados en ese problema.

Consideremos, por ejemplo, un problema donde hay que “Formar frisos rectangulares con

24 azulejos sin que sobre ninguno”. En este caso, la respuesta no es única. Una de las

posibilidades es pensar en filas de 6 azulejos y buscar cuántas filas se pueden hacer y para

ello podrían escribir 6x--- = 24, buscando qué número x6 da 24 o pensar 24:6=---. Esto

mismo podría ocurrir para varias de las alternativas (2x12; 3x8; 4x6 y 1x24). Se podrá

entonces plantear qué divisiones se pueden escribir para 6x4, para 2x12, etc. y luego, se

podrá argumentar si es cierto que para cualquier cálculo de multiplicar se pueden escribir

dos divisiones y por qué. Se tendría, entonces, la posibilidad de establecer una relación

entre las nociones de multiplicación y división.

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Dado que las nociones matemáticas se construyen poco a poco, se

sostiene que el aprendizaje se logra a largo plazo.

Tal es el caso, por ejemplo, de: suma y resta, fracciones, proporcionalidad y otros. En

efecto, las investigaciones de Vergnaud, entre otras, han probado que entre las primeras

adquisiciones intelectuales en un campo determinado y las adquisiciones que harán que el

sujeto se enfrente cómodo ante cualquier otra situación de dicho campo, transcurren varios

años.

¿Cómo influye esto en la enseñanza? Al organizar los contenidos a lo largo de un ciclo, de

un nivel, en el pasaje de un nivel a otro, es importante considerar las adquisiciones

sucesivas de cada uno de los conceptos y articularlas en un mismo año y de un año al

siguiente. Así, no será posible afirmar, por ejemplo: “ya aprendieron fracciones equivalentes

en 4to. y 5to., ahora en 6to. tienen que ver las operaciones”, pues cada vez que se trabaja

con un nuevo aspecto de un concepto, con una nueva propiedad o relación, se vuelve sobre

ellas y estas se enriquecen al vincular lo que ya se sabía con lo nuevo.

Es importante identificar los procedimientos y las reglas que los

estudiantes ponen en marcha al resolver los problemas.

Cuando damos lugar a la producción de ideas espontáneas propias de los alumnos frente al

problema suelen aparecer algunos procedimientos con gran regularidad, lo que permite

identificar un cierto conjunto limitado de procedimientos distintos para cada tipo de

problema. Tanto Vergnaud inicialmente, como otros investigadores, han estudiado una

diversidad de procedimientos que arriban a una respuesta adecuada y también otros

erróneos que dan cuenta de otras maneras de pensar el problema.

¿Por qué nos interesa esto como docentes? Conocer los procedimientos acertados tanto

como los erróneos nos posibilita identificar los conocimientos involucrados en cada

uno y anticipar la intervención para considerar si permiten responder a la pregunta del

problema y dar lugar a su comparación de modo que podamos arribar, con el conjunto

de la clase, a conclusiones matemáticas compartidas.

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Las representaciones posibles para un mismo concepto son diversas y los

alumnos pueden usar en sus procedimientos, para ir acompañando su

pensamiento, algunas aceptadas en matemática y otras originales que

producen ellos mismos.

En el momento de producir una solución al problema planteado, los alumnos usan una

diversidad de marcas, incluyendo tanto algunas propias de la Matemática, como números o

signos, como otras originales a través de formulaciones verbales, dibujos o escrituras, tanto

de tipo lingüístico como simbólico. Por ejemplo, los primeros problemas de multiplicar, de

proporcionalidad simple y con números pequeños, son frecuentemente resueltos utilizando

dibujos y contando, con números sin marcas de operación o con cálculos de suma con el

signo.

¿Cuál es la relevancia de dar lugar a una diversidad de representaciones? Pasar por

representaciones propias antes de las convencionales tiene un papel relevante en la

conceptualización de las nociones, dado que pueden funcionar como “antecedentes” -a

los que pueden dar sentido- de las convencionales que el docente introducirá.

Para avanzar un poco más en la consideración de las representaciones, nos preguntamos:

¿qué otras cuestiones es necesario incluir en el trabajo escolar con ellas? La pregunta deriva

de un problema que observamos al analizar las producciones de muchos alumnos y

alumnas, quienes suelen confundir los objetos y sus representaciones.

¿Qué actividades proponer con las representaciones? Raymond Duval (1995) quien estudió

el vínculo entre la adquisición de un concepto y sus diversas representaciones, señala una

cuestión central al pensar la enseñanza:

“Por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que

una aprehensión conceptual y por otro, solamente por medio de la producción de

representaciones semióticas es posible realizar una actividad sobre los objetos

matemáticos.”

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Esta paradoja de no poder “trabajar” con los conocimientos matemáticos de otra manera

más que a través de una diversidad de “marcas”, llevó a Duval a un análisis del tipo de

actividades cognitivas que se realiza con las representaciones.

Una de ellas, como ya hemos planteado, es la de producir escrituras para acompañar el

proceso de nuestro pensamiento. Vergnaud ya había planteado que la representación

cumple la función de “auxiliar del pensamiento y a la organización de la acción”. Esto se

manifiesta cuando observamos que un niño o un adolescente, al enfrentarse a un problema

nuevo, lo reformula con sus palabras y puede representar de diversas maneras la

información, es decir, acompaña su tarea con una actividad lingüística y simbólica, a veces

interiorizada.

Duval avanza en el análisis incorporando la idea de registros de representación,

distinguiendo diferentes registros, cada uno con sus propios símbolos y reglas. Por ejemplo,

un número decimal puede escribirse en registro fraccionario que incluye la línea que separa

numerador y denominador y también en registro decimal usando coma y las reglas del

sistema de numeración decimal.

Esta diferenciación nos permite a su vez considerar dos nuevos tipos de actividades

cognitivas, trabajar en un mismo registro y cambiar de un registro a otro. Por

ejemplo, si para sumar dos fracciones usamos la regla de escribir fracciones equivalentes, al

sumar 1/5+¾ anotamos 4/20+15/20=19/20, trabajamos con reglas dentro del mismo

registro fraccionario. Si la suma estuviera en un problema en el que se requiere comprar

alambre para una instalación eléctrica, para la misma suma cambiamos de registro y

escribimos 0,20+0,75=0,95 pues la escritura decimal es la que usamos de manera corriente

para expresar medidas de longitud.

Según señala Duval, incluir en la enseñanza ambos tipos de actividades, de trabajo en

el mismo registro y de cambio de registro, aumenta las capacidades cognitivas de los

sujetos y por tanto de sus representaciones mentales.

¿Qué criterio podemos derivar al pensar en la enseñanza? Sabemos que en la escuela son

más frecuentes las actividades que proponen trabajar en cada registro de manera

independiente, en relación con lo numérico, básicamente en su tratamiento para operar. Sin

embargo, no tiene la misma frecuencia el trabajo sobre la conversión de un registro a otro

ligado al análisis de la pertinencia de cada uno en la situación que se está resolviendo. Por

eso, esta última cuestión se destaca muy especialmente en los diferentes documentos

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curriculares de estos últimos años, dado que identificar con los alumnos semejanzas y

diferencias entre las representaciones, transformarlas cuando convenga, les permitirá

asociar una misma noción con diferentes representaciones y así diferenciar la noción de su

representación.

¿Cómo se van construyendo los conceptos? ¿Qué decisiones para la enseñanza?

En este último apartado queremos poner el foco en los componentes de las ideas de los

chicos y chicas sobre los diferentes conceptos matemáticos. Si tenemos en cuenta estos

componentes cuando tomamos decisiones de enseñanza -tanto para nuestra aula, si somos

maestros, o con los estudiantes de formación docente cuando van a dar sus prácticas-

podemos hacer avanzar a nuestros alumnos y alumnas en una forma de apropiación de los

conocimientos que les permita arribar a conceptualizaciones cada vez más potentes y

disponibles para interactuar con las diversas situaciones que se les presenten.

Los conceptos, ¿van cambiando?

Para responder esta pregunta, recurrimos a la bibliografía didáctica. Allí encontramos que

para referirse a las ideas de un sujeto –niño o no- sobre un cierto concepto matemático, se

habla de concepciones. Este término es introducido por Vergnaud para identificar las

formas en las que los sujetos piensan los conceptos. Para él, la forma en que un

sujeto -o varios- construye un concepto, cambia con el tiempo y en tal sentido, resulta ser

un estado cognitivo global de dicho/s sujeto/s referido a un objeto matemático

determinado.

Del mismo modo en que, en su desarrollo histórico, se describen las diversas formas en que

fueron pensados los conceptos, esto es, en la creación y recreación de los conceptos

matemáticos al plantear y resolver diversos problemas, de esa misma manera se describe la

construcción que hacen quienes aprenden nuevos conceptos, puesto que van modificando

su estado cargándolos de nuevas propiedades y relaciones a medida que van resolviendo

problemas dentro o fuera de la escuela, reconstruyendo para ellos los conocimientos

matemáticos socialmente aceptados.

Considerar diferentes formas posibles para un mismo concepto nos permite distanciarnos de

la comprensión -muchas veces inducida por la enseñanza tradicional- de éstos como únicos,

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inmutables y universales. Pensar en concepciones sucesivas sobre un mismo concepto

matemático pone en evidencia la pluralidad de puntos de vista posibles.

En este enfoque es fundamental la importancia de concebir “estados sucesivos” en los

conocimientos ligados a las concepciones que van construyendo los alumnos y alumnas a

partir de nuevas situaciones que resuelven. Estos estados de conocimiento se manifiestan

en las producciones que realizan y, desde esta perspectiva, es posible interpretar los errores

no como una falta de conocimientos, sino como la presencia de otros conocimientos,

incompletos, diferentes y poco articulados.

¿Cuáles son entonces los factores o componentes de una concepción?

La idea original de Vergnaud tomaba tres componentes de un concepto, a saber:

• El conjunto de las situaciones que dan sentido al concepto.

• El conjunto de las formas del lenguaje y del no lenguaje que permiten representar

simbólicamente el concepto, sus propiedades y los procedimientos de tratamiento.

• El conjunto de propiedades y relaciones que permiten el carácter operatorio.

Michele Artigue reafirma esta idea en los componentes de una concepción de un sujeto y

distingue:

• “la clase de situaciones-problema que dan sentido al concepto para el alumno;

• el conjunto de representaciones simbólicas e icónicas que él es capaz de asociarle, en

particular las imágenes mentales, las expresiones simbólicas;

• las herramientas, útiles, teoremas, algoritmos de los cuales dispone para manipular

el concepto”. (Artigue, 1984: 36)

¿Cómo tomamos estos componentes cuando pensamos la enseñanza?

Al elegir la clase del problema

Sabemos que podemos considerar para cada noción, diferentes grupos de problemas y que

cada grupo aporta los significados particulares al concepto. Así, por ejemplo, la división

puede tener un significado de “reparto” en un grupo de problemas y, en otro, un significado

de partición. Más allá de que en ambos casos sean problemas donde funciona una relación

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de proporcionalidad, la información dada y la pregunta son diferentes y por eso, para quien

resuelve son problemas con diferentes significados de la división. Si los niños vienen

resolviendo problemas de reparto y, sin advertirlo, se incluye en la secuencia de trabajo un

problema con significado de partición es probable que los alumnos no lo relacionen con la

división y resuelvan por restas o sumas sucesivas. Si al iniciar el trabajo con la división se

incluyen problemas con ambos significados a la vez, no será posible para los alumnos

advertir ninguna regularidad.

Al resolver distintos conjuntos de problemas que comparten el mismo significado de un

concepto, los alumnos y alumnas irán estableciendo relaciones entre ellos. Luego será

necesario presentar nuevos problemas, con otro significado y, más adelante, se podrán

establecer relaciones entre los diferentes problemas.

Esta cuestión es central al elegir los problemas para enseñar una noción, pues durante su

escolaridad los alumnos deberían tener la oportunidad de resolver problemas con sus

diferentes significados. En los Cuadernos para el aula se explicitan los significados de las

operaciones básicas con números naturales que se indican para trabajar en cada grado.

Cabe señalar que estos diferentes significados interesan al maestro, para tomar decisiones

en relación con la planificación y no son objeto de enseñanza para los niños, no se busca

que los alumnos clasifiquen problemas sino que puedan reconocer el uso de una operación

en distintas situaciones.

Al decidir y anticipar las representaciones

Tanto al elegir qué representación del concepto vamos a incluir en cada uno de los

problemas que presentamos como al considerar las diversas “marcas” que producen los

chicos y chicas al resolver, iremos recorriendo el conjunto que está señalado para cada

noción en cada grado.

Al considerar las propiedades y relaciones que se ponen en juego

Al decidir cuáles son las nociones matemáticas que queremos que se construyan en el aula

–propiedad distributiva de la multiplicación, propiedades de las relaciones de

proporcionalidad, formas de calcular un cociente, etc.- elegimos situaciones problema en las

que estas nociones se puedan poner en juego. También consideramos cuáles son las

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nociones que cada situación requiere como punto de partida, como apoyo para poder

elaborar una estrategia de resolución.

Por último, leamos en la cita de Guy Brousseau la estrecha relación entre las concepciones

del sujeto y las situaciones de enseñanza que claramente pone de manifiesto la orientación

constructivista de la perspectiva educativa que venimos presentando:

“Las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio

permanente con las situaciones-problema en las cuales están situados y en

el curso de las cuales sus conocimientos anteriores son movilizados para ser

modificados, completados o rechazados. [En este sentido,] el alumno

construirá progresivamente sus conocimientos pasando por concepciones

sucesivas. […] Un mismo alumno puede utilizar numerosas concepciones

ignorando sus relaciones, o bien al contrario, relacionándolas con un objeto

más general”. (Brousseau, 1983, en Ruiz Higueras, 1998: 37)

Actividades

A continuación les proponemos las actividades para esta clase:

Leer “Resolviendo un problema de división” en el texto de Quaranta, M. y

Wolman, S. “Discusiones en las clases de matemática: Qué, para qué

y cómo se discute”, en Enseñar Matemática en el nivel inicial y primer

ciclode la EGB, Paidós, 2003. Pag 217 a 227 registro de Clase de

Matemática en 3° grado.

Registrar y guardar sus notas, van a ser de mucha utilidad para la

elaboración del Trabajo Final.

Trabajo en grupo obligatorio

Foro: “El trabajo con ‘los otros’ en el aula: una manera de generar

progresos en el aprendizaje”

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Presentarse en el Foro correspondiente a su grupo de discusión.

Intervenir en el Foro de su grupo analizando en un registro de clase las

interacciones en una clase de Matemática, del niño con el problema, con el

maestro y con sus pares.

Resulta necesario señalar que no se trata sólo de aportes individuales sino

que debe evidenciarse el intercambio de ideas.

Participar en el Foro optativo “Discusiones en la clase de Matemática”

Intervenir en el foro compartiendo el valor que Uds le otorgan al momento

del debate en la clase y los desafíos que su gestión conlleva.

Fundamentar desde el texto leído de Quaranta, M. y Wolman,

S. “Discusiones en las clases de matemática. Qué, para qué y cómo se

discute”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB,

Paidós, 2003.

Foro de Consultas

Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer todo

tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos prácticos y final

y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten ayuda y que no

estén encuadrados en los otros Foros habilitados para cada clase.

Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las dudas

y, de esta manera, aprender con otros y de otros.

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La lectura del artículo “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la

matemática” en Panizza, Mabel (comp) (2003) Cap 1. "Enseñar Matemática en

el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas". Paidós,

contribuye fuertemente a la comprensión de la perspectiva que hoy sostenemos,

centrándose particularmente en dos cuestiones: la interrogación de la noción de

sentido y las relaciones entre los objetos de conocimiento y sus representaciones.

Recomendamos su lectura.

• Agrasar, M; Crippa, A; Chara, S; y Chemello, G. (2010) “Ciclo de formación en

enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa,

Ministerio de Educación de la Nación.

• Brousseau, Guy, “Los obstáculos epistemológicos y los problemas en Matemática”,

en: Recherches en Didactique des Mathématiques, 7/2, Grenoble, traducción de

circulación interna, 1983.

• Chamorro, María del Carmen (1998) “El aprendizaje de la matemática” en Revista

UNO Nro. 3, Editorial Síntesis.

• Cuadernos para el Aula. Matemática 3, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología

de la Nación, 2007.

• Quaranta, M. y Wolman, S. “Discusiones en las clases de matemática. Qué, para qué

y cómo se discute”, en Panizza, M (comp.) Enseñar matemática en el nivel inicial y

primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.

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• Ruiz Higueras, Luisa (1998) La noción de función. Análisis epistemológico y didáctico,

Editorial de la Universidad de Jaén, España.

• Vergnaud, Gerard, “Actividad y Conocimiento operatorio”, en: Coll, C. (traductor)

(1983), Psicología Genética y aprendizajes escolares, Siglo XXI, Madrid, 1977.

• Vergnaud, Gerard (1991) “El niño, la matemática y la realidad” , Ed Trillas. México.

Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 03: Aportes de la Didáctica de la

Matemática para pensar la enseñanza. Las nociones a enseñar desde el punto de vista del

aprendizaje. Módulo: Perspectivas para la enseñanza de la Matemática. Especialización

Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos

Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

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