PERT - Ejemplo proyecto BAS

8/3/2019 PERT - Ejemplo proyecto BAS

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InvestigacinOperativa


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ndice1. Objetivos del trabajo.

2. Presentacin del proyecto y de las actividades involucradas.

3. Estimaciones del proyecto.

4. Aplicacin de la probabilidad.

5. Dificultades del modelo y simulacin


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Objetivos del trabajo

En vez de enfocar el trabajo a la resolucin de un problema concreto, separtir de un caso real.

La intencin es emplear algunas de las tcnicas estudiadas en la asignaturapara hacer estimaciones tericas y compararlas con la realidad.

Un objetivo clave del trabajo es no separar las tcnicas en distintosproblemas, sino usarlas de forma conjunta (es decir, no plantear una situacinpara resolver por PERT y otra muy distinta para aplicar Programacin Lineal, sino

dentro del mismo apartado considerar ambas tcnicas) y hacer hincapi en lasholguras y la sensibilidad de los datos obtenidos.

Adems se profundizar en dichas tcnicas, aplicando conceptos no tratadosen clase que se han consultado en la bibliografa o estudiado en otras asignaturas

como Estadstica (ie. resolucin de las dificultades de los modelos, adicin de

variables que se pueden presentar en el mundo real, simulacin de valores)


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Un proyecto real: Telefona satlite en Per

El da 12/02/2009, Telefnica del Per, bajo la direccin de Javier Manzanares, comenz laejecucin del proyecto BAS (Banda ancha satelital).

Ms de 1.900 poblados (aproximadamente 1,7 millones de peruanos) situados en zonasrurales no podan acceder a los servicios telemticos bsicos (telefona mvil, ADSL, etc).

Dicho proyecto contaba con un presupuesto de 48,8 millones de dlares.

El objetivo de Telefnica era que el 26/10/2009 se registrase como mnimo el 50% delcumplimiento de las metas del proyecto (34 semanas), y que estuviese acabado en 42semanas, aunque como tarde se poda finalizar para el ao siguiente (48 semanas). Por cadasemana de retraso a partir de entonces, se prevea una prdida de aproximadamente 0,25millones de dlares, y cada una de adelanto un beneficio de 0,15 millones de dlares.

Se sabe que el proyecto se planific con tcnicas PERT/CPM. Elxito fue rotundo: la empresa recibi el premio CreatividadEmpresarial.


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Actividades implicadas en el proyecto

Bsicamente se estimaron 25 actividades para llevar a cabo el proyecto BAS. Se muestran acontinuacin:

ASeleccin de personal cualificado JCompra de materiales SMedidas de calidadB Recepcin informacin del cliente K Elaboracin del informe TAprobacin del cliente

C Financiacin del proyecto LEjecucin trabajos de campo UInstalacin de equiposDCapacitacin tcnica M Formacin para la instalacin VEntrega informe instalacinE Clculo de costes NClculo costes de instalacin WObservaciones tcnicasF Bsqueda de proveedores O Diseo de las estaciones X Liquidacin de la obra

GDesarrollo de estrategias P Recepcin equipos satlite Y Informe final cierre de obraH Transferencia del dinero QInforme previo instalacinI Medidas de seguridad R Estrategias de instalacin Hitos


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Estudio del proyecto: orden de las tareas

Tras haber establecido las actividades necesarias para llevar a buen trmino este proyecto, seestudi el orden de las mismas y cules de ellas podan realizarse al mismo en tiempo. De esta

forma se concluy el siguiente esquema de precedencias:

ACTIVIDAD PREDECESORA(S)

A -

B -

C -

D A

E C

F C

G B, D, E

H C

I A

J F

K G, H, I, J

L K

M L

ACTIVIDAD PREDECESORA(S)

N L

O M

P F

Q N, O

R M

S M

T P, Q, R

U S, T

V U

W V

X W

Y X


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Estudio del proyecto: duracin de las tareas

No es posible determinar a priori con exactitud el tiempo que se requerir para completar cada unade las tareas. En qu consisten, quin las va a ejecutar, qu medios se dispone para llevarlas acabo, etccondiciona su duracin.

Los encargados de la planificacin del proyecto, teniendo en cuenta los datos obtenidos de laexperiencia de otros proyectos pueden estimar un intervalo de duracin de cada actividad basadoen tres tiempos:

Suponiendo conocidos (tiempo pesimista), (tiempo optimista) y (tiempo msprobable), en la tcnica PERT se considera queel tiempo real de una actividad sigue una distri-

bucin Beta.

El tiempo ms razonable que se asumircomo tiempo real es la media o esperanza deesta variable aleatoria () y que corresponde a:

(

= = ( = (

= + +


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Estudio del proyecto: tiempos estimados

Finalmente los planificadores del proyecto establecieron los siguientes tiempos, a los que seaadir el tiempo esperado a partir de la distribucin beta que se mostr en la transparenciaanterior:

ACT. PRED. A - 1 2 3 2

B - 1 2 3 2

C - 2 4 6 4

D A 1 2 3 2

E C 1 2 3 2

F C 2 3 5 3,16

G B, D, E 1 2 3 2

H C 1 2 3 2

I A 1 2 3 2

J F 1 2 4 2,16

K G, H, I, J 1 2 3 3,16

L K 1 2 3 2

M L 1 2 3 2

ACT. PRED. N L 1 2 3 2

O M 2 3 4 3

P F 8 10 11 9,83

Q N, O 1 2 3 2

R M 1 2 3 2

S M 1 2 3 2

T P, Q, R 1 2 3 2

U S, T 6 8 9 7,83

V U 1 2 3 2

W V 1 2 4 2,16

X W 2 3 4 3

Y X 1 2 3 2


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Estudio del proyecto: WinQSB

Se ejecuta la aplicacin PERT/CPM incluida en las herramientas de WinQSB:


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Haciendo uso de la herramientaWinQSB

es posible obtener la mayora de los datos que se

necesitan para hacer un estudio preciso del proyecto. En primer lugar se introducen las

actividades y sus tiempos asociados:


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A continuacin se ejecuta solve, obteniendo la siguiente tabla del anlisis de actividad del proyecto.Del mismo modo, mediante show critical path se muestra el camino crtico:

Camino crtico:

C FJ K L M O Q T U

V

W

X

Y

=

= 40,5 semanas

= = = 1,61 2,59 semanas


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Estudio del proyecto: diagrama PERT

1

2

3

4

5

6

7

8 9

10 11

12

13

14

151617

0 0

2 5,33

4 4

6 7,33

7,16 7,16

9,33 9,33

12,49 12,49

14,49 14,49 16,49 16,49

19,49 19,49 21,49 21,49

23,49 23,49

31,33 31,33

33,33 33,33

35,50 35,5038,50 38,5040,50 40,50

C

F

J

K

L

M

O

Q

T

U

V

W

X

Y

0, 0


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Camino Crtico y Programacin Lineal

Se ha obtenido el camino crtico de dos maneras: a travs del softwareWinQSB y mediante el desarrollo grfico del diagrama PERT.

A continuacin se va a obtener por un tercer mtodo: aplicandoprogramacin lineal. Posteriormente se comprobar que efectivamente coincidecon la solucin anterior.

Se llamar al tiempo acumulado hasta el nodo, luego 1,2, . . . , 17 El tiempo acumulado durante todo el proyecto ser el que se va gastando al ir realizando

cada actividad, y por tanto necesario para recorrer desde el nodo 1 hasta el 17, es decir:

= . Nos interesar minimizar este tiempo.

Si es un nodo conectado a, y llamamos a la duracin de la actividad que los conecta, eltiempo acumulado hasta tiene que ser mayor que ms el tiempo acumulado hastael nodo (que llamaremos ). Es decir: + . Estas son nuestras restricciones.

1

0

+ = +.. .+


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Camino Crtico y Programacin Lineal

Funcin objetivo: se ha de minimizar el tiempo total del proyecto

min


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Camino Crtico y Pr. Lineal: Solucin WinQSB

Se ejecuta la aplicacin Linear and Integer Programming incluida en las herramientas deWinQSB:


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Se indican los datos del problema a resolver: 17 variables y 25 restricciones. Como las variables

son reales positivas, en WinQSB se indica especificando default variable type comononnegative continuos.


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A continuacin se muestra la tabla con los datos del problema de programacin lineal que

habamos planteado. Ntese que en los trminos independientes (R.H.S.) hemos introducido 6cifras decimales, para que el resultado tienda a ser lo ms exacto posible.

[0,] 0 es continua


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Mediante solve and analyze > solve problem, el software WinQSB obtiene la solucin deeste problema : the problem has been solved. Optimal solution is achieved

Anlisis de los resultados:

Las constantes (constraint) representan a cada una de lasrestricciones, y por tanto a cada actividad.

Los valores de los precios sombra (shadow price) indican el

incremento unitario del valor ptimo de la funcin objetivo (en este

caso el tiempo total del proyecto) al incrementar en una unidad el

trmino independiente de cada restriccin.

Esto se puede traducir como las actividades que no pueden

tocarse para mantener la solucin ptima , y por tantoforman

parte del camino crtico aquellas cuyo valor sea 0.

Segn la figura, seran las restricciones C2, C9, C10, C11, C13, C15,

C16, C17, C20, C21, C22, C23, C24 y C25 que corresponden a las

actividades: C, F, J, K, L, M, O, Q, T, U, V, W, X, Y; coincide!


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Mediante solve and analyze > solve problem, el software WinQSB obtiene la solucin deeste problema : the problem has been solved. Optimal solution is achieved

Anlisis de los resultados:

Las variables de decisin (decision variable) indican lostiempos acumulados hasta llegar al nodo.Evidentemente el valor del primer nodo tiene que ser nulo, y el del

ltimo coincidir con la duracin total esperada para todo el

proyecto.

De la misma forma, el valor ptimo de la funcin objetivo(tiempo transcurrido desde el primer nodo hasta el ltimo nodo)

nos indica de nuevo la duracin total esperada del proyecto.

=

= 40,5 semanas

min =


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Otra informacin obtenida del modelo de programacin lineal:

716 716

2149 21,49

resta


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Estudio del proyecto: diagrama de Gantt


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Estudio del proyecto: Qu sabemos?

El tiempo total esperado es de 40,5 semanas (con una desviacin deaproximadamente dos semanas), por lo que el diagrama de Gantt refleja, sincontar con las condiciones laborales, que en 11 meses aproximadamente podrafinalizarse el proyecto.

Supongamos que se emplean 43 semanas. La mxima de las holguras libres quepodramos aplicar corresponde a la actividad I, siendo de 5,33 semanas.

Es factible el objetivo mximo de Telefnica: terminar elproyecto para febrero del 2010, lo que implicara 48 semanas.

Pero, es realista la meta de tener el 50% finalizado para el 26de octubre, es decir, en 34 semanas?


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Aplicacin de la probabilidad

Es realista la meta de tener el 50% finalizado para el 26 deseptiembre, es decir, en 30 semanas?

El teorema central del lmite nos permite aproximar un experimento aleatorio conmuchas repeticiones mediante una variable aleatoria de distribucin normal, cuya

esperanza es la suma de las medias de todos los eventos, y su varianza, la suma detodas las varianzas.

Aplicado al mtodo PERT, cuanto mayor sea el nmero de actividades en el caminocrtico, mejor es esta aproximacin (converge ms rpido).

Sea una variable aleatoria que representa el tiempo total esperado del proyectocon una distribucin:

, = c.c.

, c.c.

,


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Es realista la meta de tener el 50% finalizado para el 26 deoctubre, es decir, en 34 semanas?

Se llegara hasta el nodo 12 (final de la actividad U, aproximadamente), donde

los tiempos early y last son de 31,33 semanas.

En este caso:

Se obtiene una probabilidad del 91,15%. Es un objetivo realista, pero debidoa la sensibilidad de los retrasos en el proyecto hasta ese punto, escomplicado de lograr.

3 133,198

( 3 4 = 31,332,59 3431,33

1,98 = 1 , 3 5] =0,9115

0,1


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Es realmente factible el objetivo mximo de Telefnica:terminar el proyecto para febrero del 2010, lo que implicara 48

semanas?

,

Por tanto:

Aproximadamente el 100% de probabilidades de acabarlo!

48 = 4 82,59 40,548

2,59 = > 2 , 8 9] =0,9981

0,1


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Y el objetivo marcado por Telefnica, terminar en 42 semanas,se podra llevar a cabo?

, Por tanto:

Un 82,38% de probabilidades. Es posible, pero demasiado arriesgado. Tiene

lgica que hayan propuesto otra fecha como mxima.

42 = 4 22,59 40,542

2,59 = [0,57] =0,8238

0,1


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a) PERT/CPM con costes (Cost-PERT)

Aadir costes a la toma de decisiones: contamos con unpresupuesto total, y cada actividad implica un coste asociado.

Tendramos que aadir un nuevo

tiempo: tiempo de urgencia y obtener

el coste por unidad de tiempo deurgencia.

Se presenta una nueva casustica que se resuelve porprogramacin lineal o por teora de la decisin. Hay que llegar auna solucin de compromiso coste/tiempo.

No se va a mostrar el planteamiento de este caso por ser excesivamente largo

para el propsito de esta presentacin.


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b) Compromiso ptimo ante incertidumbre

Situacin de incertidumbre: NO se conoce la distribucin deprobabilidad de la variable aleatoria CP, o NO se puede

aproximar con una normal.

Varias formas de aproximar un resultado:

a) Teora de juegos (establecer un juego contra natura, mediante unaserie de estrategias decisoras. Formar la matriz de estrategias o estados

de la naturaleza y buscar una solucin).

a) Uso de intervalos de confianza para parmetros desconocidos: seselecciona el nivel de confianza y se calcula el intervalo teniendo en

cuenta qu desconocemos: media/varianza/ambas

Por ejemplo, en el caso de la varianza desconocida se aproximara mediantela distribucin t de Student, en vez de una normal.


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Compromiso ptimo ante incertidumbre

Situacin de riesgo: hay penalizacin/recompensa porretrasarse/anticiparse a los plazos establecidos.

Es el caso de este proyecto. Recordemos :

Por cada semana de retraso a partir de entonces, se prevea una prdidade aproximadamente 0,25 millones de dlares, y cada una de adelanto unbeneficio de 0,15 millones de dlares.

Esta situacin s se va a mostrar.

Sea el coste unitario de rebaja (recompensa por semana de anticipo), y sea el coste unitario de penalizacin (prdida por semana de retraso).Sea Z el tiempo en que la empresa se compromete a terminar (en este caso

Z = 48).


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c) Situacin de riesgo

Si la duracin total del proyecto es y sucede que > , Telefnica obtendra uncoste total de rebaja de:

Si consideramos que C es nuevamente una variable aleatoria, cuya distribucin de

probabilidad tiene una densidadf(t), la media o esperanza asociada a ella ser:

Si ahora llamamos Cal coste total de penalizacin, encontraremos anlogamente:

Y por tanto:

= (

( = (

;= ( (

;

= (

( = (

;

= ( (

;


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Situacin de riesgo

La media o esperanza total de lo que podemos perder o lo que podemosganar por cada semana de retraso/anticipo respectivamente ser la suma de

las dos esperanzas:

Y por tanto, nos interesa minimizar este coste, entre lo que ganamos yperdemos :

Para ello se deriva la expresin respecto a t y se iguala a 0, obteniendo los puntos

crticos. Sin especificar las operaciones necesarias, puede comprobarse que la solucin

es :

= + = ( (

;+ ( (

;

E C = ( (; + ( (

;

min E(C = = ,

,, = 0,625


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Situacin de riesgo

Cul ser el plazo ptimo de entrega para Telefnica?

Como

, entonces :

=,semanas.

Por tanto el plazo ptimo ser

, min E(C = 0,625

( =0,625 40,52,59 40,5

2,59 = 40,5

2,59 =0,625

40,52,59 = 0 , 3 2 = ,


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d) Tiempo de las actividades desconocido

Al principio se vio que:

Los encargados de la planificacin del proyecto, teniendo encuenta los datos obtenidos de la experiencia de otros proyectospueden estimar un intervalo de duracin de cada actividadbasado en tres tiempos

Y si a pesar de tener una cantidad ingente de expertos, estosson incapaces de estimar los tiempos de manera razonable?

Se recurre a la SIMULACIN DE MONTECARLO


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Simulacin de Montecarlo

Sin introducirnos en los detalles tericos de este concepto, se puede partir de una

serie de premisas:

El proyecto sigue una distribucin Beta-PERT que es una distribucin Betamodificada que se resume en el siguiente cuadro:


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Simulacin de Montecarlo

Probando nmeros aleatorios para los parmetros queintervienen, que a fin de cuentas corresponden a los tiempos

asociados a cada actividad, se puede obtener una aproximacin

de la duracin total del proyecto basada en dicha distribucin.

El nmero de muestras o repeticiones que se har la

simulacin hay que calcularlo previamente. Como mostrar este

clculo llevara demasiado tiempo, se supondr que hay que

hacer 200 simulaciones.

Para ello podemos usar cualquiera de las herramientas

software disponibles para el anlisis de riesgos o la planificacin

de proyectos. En este caso se ha empleado Oracle Primavera

PertMaster.


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Simulacin de Montecarlo: PertMaster


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Actividades

Tiempo

desconocido

Distribucin

para la

simulacin

Tiempos

aleatorios


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Resultado de la simulacin tras 200 repeticiones:

La simulacin se realiz

comenzando en el ao

actual. Traducido a la fecha

de comienzo real se

obtiene una duracin

aproximada de:

10 meses


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FIN!

PERT - Ejemplo proyecto BAS

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