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CAPÍTULO 1:

OBJETO Y JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO

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1.1 OBJETO DEL PROYECTO Uno de los sistemas de control de la producción más estudiados y aplicados en la industria es el sistema Kanban. Este sistema fue originalmente desarrollado por la compañía automovilística japonesa Toyota en el año 1953. Desde entonces se ha mostrado como un sistema de producción efectivo y ha sido adoptado por otras importantes compañías como Omarck Industries, Black and Decker y Hewlett Packard. Este sistema esta basado en el principio pull. En estos sistemas el inicio de los trabajos no esta programado, sino que el comienzo de un trabajo es permitido al finalizar otro, o dicho de otra forma, la finalización de un trabajo autoriza la producción del siguiente. La transmisión de las autorizaciones para producir y mover piezas se realiza mediante el flujo de tarjetas entre los distintos centros de trabajo. Kanban significa tarjeta en japonés. El número de tarjetas es el principal parámetro de este tipo de sistemas, ya que determina el nivel de inventario en proceso, WIP (Work In Process) en la planta. Los sistemas pull (pull significa tirar en inglés) se muestran superiores a los sistemas push (push significa empujar en inglés) en donde ambos pueden ser empleados (Spearman et al, 1990, Roderick et al, 1992). Esta superioridad se puede explicar desde el punto de vista del entorno, el tiempo que las piezas están en el sistema y el control de este. Hay entornos en donde un sistema Kanban no puede ser empleado, como son aquellos en donde se tienen ordenes de trabajo con tiempos de producción cortos, o aquellos donde se tienen tiempos de set-up (tiempos de puesta a punto) significativos, scrap loss (perdidas por trabajos de desecho o piezas inservibles) o grandes e imprevisibles fluctuaciones de la demanda. Estudios de simulación realizados por Krejewski et al, 1987, ponen de manifiesto que las consideraciones sobre el entorno pueden ser la causa principal para la superioridad de los sistemas pull sobre los push, dada la facilidad que los sistemas pull tienen para mejorarlo. Spearman y Zazanis, 1988, probaron que el WIP medio total y el flow time medio (tiempo transcurrido desde que una pieza entra al sistema hasta que sale) del sistema eran menores en un sistema pull que en un sistema push. También hay evidencias de que la varianza del flow time es menor en los sistemas pull que en los sistemas push equivalente. Las varianzas reducidas y los tiempos medios del flow time implican unos WIP y FGI (Finished Goods Inventory) reducidos para un lead time (tiempo de ciclo) dado (Hopp et al, 1988). El control del los sistemas pull es otra de sus ventajas sobre los sistemas push. Los primeros son inherentemente más fáciles de controlar que los segundos, debiéndose esto a dos razones. La primera es que el WIP es directamente observable en los pull y la segunda es que los errores cometidos en el ajuste de los niveles de WIP afectarán a las prestaciones de los sistemas pull en menor medida que los errores cometidos estimando la capacidad de un sistema push (Spearman y Zazanis, 1988).

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Es común confundir el sistema de la producción Kanban con la filosofía de producción “justo a tiempo” (Just In Time). Ambos aparecieron en la industria japonesa dentro de una misma manera de entender la empresa. Su aplicación suele hacerse de forma conjunta, pero hay que tener en cuenta que son dos conceptos distintos. La filosofía Justo a Tiempo no es sólo una forma de gestionar los materiales que circulan por el sistema, sino que afecta a todos los elementos de la empresa, involucrando desde la dirección a los proveedores, pasando por los trabajadores. La idea central es ser lo más eficiente posible, eliminando cualquier tipo de gasto. El paradigma de gasto es la existencia de inventarios, es decir, materiales que esperan a ser procesados ante las máquinas o en almacenes, ocupando espacio, tiempo en su manipulación y recursos financieros. La filosofía Justo a Tiempo lo que propone es que las operaciones y materiales se realicen y se reciban justo en el momento oportuno, ni antes ni después. El gasto aplicando esta filosofía se puede reducir de manera muy importante (Gaury, 2000). La fabricación aplicando la filosofía Just In Time persigue conseguir una serie de metas (Domínguez, 1994) como son Cero defectos, Cero averías, Cero inventarios, Cero plazos de entrega de los productos finales al cliente y la utilización de Cero papel. El sistema de la producción Kanban y todos los sistemas basados en tarjetas derivados de él, como es el Conwip, son un instrumento para llevar a cabo la filosofía Justo a Tiempo a nivel operativo. El sistema CONWIP (CONstant Work In Process) fue introducido por Spearman et al, 1990 como un intento de ofrecer un sistema con los beneficios de los sistemas pull y más flexible que el sistema Kanban, pudiendo ser aplicado a un mayor número de entornos productivos que este último. El sistema Conwip trata de mantener constante el inventario en proceso, WIP (Work In Process) en el sistema. Esto lo hace usando tarjetas que se adjuntan a un trabajo al comienzo del sistema. Cuando este trabajo finaliza en la última estación de trabajo del sistema, la tarjeta es liberada y enviada de nuevo al comienzo del sistema donde será adjuntada a otro trabajo. Ningún trabajo podrá entrar al sistema sin su correspondiente tarjeta. El máximo WIP permitido en el sistema viene determinado por el número de tarjetas que en él circulan en un momento dado y su determinación será el principal problema al que deban de enfrentarse a la hora de parametrizar dicho sistema de control de la producción. Existen otras variantes más modernas sobre el sistema Conwip que lo convierten en un sistema adaptativo que reacciona ante variaciones del entorno productivo o del propio sistema, como por ejemplo las producidas por averías de las máquinas o falta de conformidad en los trabajos realizados y que hagan preciso el reprocesado de piezas. Como hemos dicho anteriormente, el número de tarjetas es el parámetro más importante que debe ser establecido en un sistema Conwip. Existen dos modos de abordar el problema de la determinación del número de tarjetas a emplear en estos sistemas.

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a) Por una parte esta el establecimiento de tarjetas, que dadas unas condiciones de producción, trata de determinar el número de tarjetas óptimo para la consecución de unos determinados objetivos. Se han propuesto diversos procedimientos basados en modelos analíticos (ver por ejemplo Hopp y Spearman, 1991 ó Herer y Masin, 1997), modelos de simulación (ver por ejemplo Bonvik et al, 1997 ó Gaury et al, 2000) ó modelos híbridos simulación-analíticos (Luh et al, 2000). El número de tarjetas así determinado permanecerá estable a lo largo del periodo considerado.

b) El otro modo de determinar el número de tarjetas es de forma dinámica, es decir, emplear un mecanismo de control dinámico. En la bibliografía hay pocas contribuciones referentes al ajuste dinámico del número de tarjetas, siendo conocidas las de Rees et al, 1987, que desarrollaron un método de ajuste basado en la inecuación de Monden (Monden, 1983), la de Gupta y Al-Turki, 1997 que aplica un sistema de control dinámico de tarjetas a un sistema Kanban de dos tarjetas, la de Hopp y Roof, 1998 que desarrollaron el sistema STC (Statistical Throughput Control) el cual fue concebido para ajustar de manera dinámica el número de tarjetas en un sistema Conwip en entornos contra pedido, la de Takahashi y Nakamura, 1999 que se basa en un estudio previo del sistema por medio de simulación, la de Tardif y Maaseidvaag, 2001 que propone un sistema Conwip operando en un entorno contra stock y por último la de Framiñán et al, 2003, que proponen un sistema de control dinámico de tarjetas, aplicable a cualquier sistema de la producción basado en tarjetas y que puede operar tanto en entornos contra pedido como contra stock

El funcionamiento del sistema estudiado en el presente proyecto se encaja dentro de este segundo grupo. Hay que tener en cuenta que estos sistemas contienen más de un parámetro a considerar y en el sistema objeto de estudio no se ha propuesto ningún método para optimizar los parámetros de funcionamiento del sistema. Por otra parte hay que considerar que el número de parámetros a optimizar no es lo suficientemente elevado como para emplear una técnica heurística de propósito general como por ejemplo los algoritmos genéticos. Sin embargo un estudio analítico -como por ejemplo la teoría de colas, programación dinámica, etc…- tampoco sería viable, ya que se limitaría a casos extremadamente sencillos y de poca utilidad práctica. Por ello se ha pensado en utilizar la metodología RSM (Response Surface Methodology.) como metodología de optimización del sistema objeto de estudio. La aplicación de esta técnica nos permitirá, a su vez, obtener un mayor conocimiento sobre la influencia en las respuestas de los parámetros propios del sistema. El objeto del proyecto es el estudio de un método de optimización de una línea de fabricación, de un solo producto, controlada mediante un sistema de control dinámico de tarjetas. Los detalles sobre este sistema, similar al Conwip, se encuentra en Framiñán et al, 2003. Los autores desarrollaron un procedimiento para controlar de forma dinámica el número de tarjetas en sistemas de control de la producción basados en tarjetas, operando tanto en entornos contra pedido como contra stock, mejorando a los existentes. El método se basa en el compromiso entre el inventario de productos terminados FGI y la demanda acumulada en un cierto instante, siendo el objetivo

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conseguir un nivel de servicio (o tasa de salida) predeterminado minimizando a su vez el WIP y los costes asociados a la demanda acumulada. El sistema será estudiado con detalle en el capítulo 2. Nosotros estamos interesados en estudiar la influencia que cada uno de los dos factores, K (0) y E, tienen en el comportamiento del sistema y en hallar la configuración que permita un funcionamiento óptimo, entendiendo como tal, aquella que permita que se alcance el nivel de servicio propuesto con el mínimo inventario en proceso. Para este estudio se emplearan las técnicas del diseño y análisis de experimentos, también llamadas DOE (Desing Of Experiments), y la metodología de superficies de repuesta, o metodología RSM (Response Surface Methodology) (Montgomery, 1991). Con el DOE estudiaremos la importancia relativa de los parámetros K (0), E, y con la metodología RSM la optimización de los mismos. El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planificar el experimento de tal forma que se recaben datos adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos que llevarán a conclusiones objetivas. La metodología RSM es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas útiles en el modelado y en el análisis de problemas en los que una respuesta de interés recibe la influencia de diversas variables y donde el objetivo es optimizar esta respuesta. Esta respuesta en función de las variables independientes se puede representar, en el caso de dos variables, por medio de una superficie tridimensional, a la que se la llama superficie de respuesta. El problema de la optimización lo afrontaremos utilizando varias técnicas propias de la metodología RSM, como son el método del ascenso más pronunciado, el análisis canónico, el método de la superposición de las gráficas de contornos y la metodología de optimización multirespuesta de la función desirability. La experimentación comenzará planteando un experimento de caracterización con la finalidad de conocer cuales de los dos parámetros que definen el comportamiento del sistema son significativos y si existe interacción entre ellos. Se partirá de un entorno similar al empleado por Framiñan et al en la presentación del sistema, denominado PS, con un nivel de servicio predeterminado del 100%. A continuación, comenzará la fase de la experimentación dedicada a la optimización aplicando metodología RSM al sistema anterior para un nivel de servicio predeterminado del 98%. Tras aplicar las técnicas propias de la metodología RSM, se llega a descubrir que las soluciones admisibles al problema planteado cumplen que la suma de los parámetros K (0) y E permanece constante, propiedad que nos permite llegar a soluciones que parecen estar muy próximas a la combinación óptima. Tras la realización de una búsqueda exhaustiva en todo el espacio de soluciones descubrimos que la solución óptima al problema planteado es una de las halladas en el paso anterior. En este descubrimiento tiene gran importancia el empleo del método grafico de optimización multirespuesta de la superposición de las gráficas de contornos. Sin embargo este método es poco formal, por lo que en la siguiente fase de la experimentación se decide aplicar el método RSM multirespuesta de la función desirability (deseabilidad en inglés). Tras su estudio y aplicación al sistema objeto de este proyecto, se llega a la conclusión de que su uso no aporta grandes ventajas desde el punto de vista computacional, sin embargo sí que puede ser de gran utilidad su empleo

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en el estudio de la superficie de respuesta en una zona de interés en la que estemos interesados conocer el comportamiento de varias respuestas a la vez. Los resultados obtenidos en el estudio experimental del sistema nos lleva a plantear una heurística que nos proporcione, con el menor número de simulaciones, la combinación de parámetros K (0) y E que haga que el sistema PS funcione con un nivel de servicio predeterminado del 98% con el menos inventario en proceso. Se propone un método de búsqueda doble. Por un lado se aprovecha la propiedad anteriormente comentada, de que las soluciones admisibles tienen la propiedad de que la suma de los parámetros K (0) y E permanece constante, proporcionando esto la aparición de la que llamaremos la “trayectoria de las soluciones admisibles”. Se llegará a ella estudiando en un primer paso, el sistema como si este fuera un sistema Conwip tradicional, para en un segundo paso, recorrerla y hallar cuál de las soluciones que la componen es la mejor desde el punto de vista del criterio de búsqueda. Por otro lado, al no tener seguridad de haber encontrado la combinación óptima, se aplicará, en un tercer paso, el método de la función desirability a la vecindad de la solución anteriormente hallada, con el fin de estudiar si existe una solución mejor al problema planteado. El cuarto, y último paso de la heurística consistirá en comparar las soluciones halladas. La heurística propuesta se aplicará al experimento ya realizado y se verá como en este caso proporciona la solución óptima. Este resultado es prometedor, pero es necesario validar el comportamiento de la heurística propuesta aplicándola a distintos entornos de funcionamiento de la línea, como averías, reprocesado de piezas, desequilibrios en los tiempos de proceso o fluctuaciones en la demanda. El nuevo sistema va a estar formado por cinco máquinas con distintos tiempos de procesado (sistema desequilibrado). También va ser diferente el tiempo de llegada de la demanda. Tras aplicar la heurística al nuevo sistema se comprueba la calidad de la solución proporcionada por esta realizando una búsqueda exhaustiva en el espacio de soluciones. El resultado de este experimento de confirmación es que la heurística propuesta vuelve a dar como resultado la combinación óptima. Para el estudio del sistema, y debido al carácter estocástico del mismo, la línea de producción objeto de este estudio, va a ser simulada empleando simulación de eventos discretos, con programas realizados en lenguaje ANSIC y que han sido aportados por el tutor del proyecto. La línea de producción va ha ser del tipo serie (flow-shop), compuesta por cuatro estaciones en tándem.

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1.2 SUMARIO El resto del documento se organiza como sigue: en el segundo capítulo “Sistemas basados en tarjetas. El sistema Conwip adaptativo” se presentan las características generales de los sistemas de producción, su clasificación tradicional en sistemas pull y push, y su clasificación según el mecanismo de control: Sistemas basados en tarjetas (token-based), Sistemas basados en el tiempo (time-based) y Sistemas basados en excedentes (surplus-based). El sistema Conwip, así como el Kanban, del cual deriva, son instrumentos para llevar a cabo la filosofía Justo a Tiempo a nivel operacional, por lo que también se presenta una breve introducción a ella y al importante papel que juegan los inventarios dentro de los gastos de una empresa. A continuación, se describen en profundidad el sistema Conwip y el método de ajuste dinámico de tarjetas presentado por Framiñán et al, 2003. En el tercer capítulo, titulado “Simulación. Modelado del sistema”, se hace una pequeña introducción sobre la simulación como herramienta en la toma de decisiones, comentando sus características, ventajes e inconvenientes. A continuación se va a describir con mayor detalle la simulación de eventos discretos, que va a ser la herramienta que vamos a utilizar en la realización de los experimentos. Debido al carácter estocástico de los procesos objeto de estudio, esta va a ser la herramienta adecuada para estudiar el sistema objeto del proyecto. Seguidamente, se describe el modelo sobre el que se van ha realizar los experimentos y se exponen las hipótesis consideradas. Termina este capítulo con el cálculo de los parámetros de simulación como son, el tiempo efectivo de simulación (T-W), el warm-up o periodo de calentamiento (W) y el número de réplicas (n). El cuarto capítulo cuyo título es “Diseño de experimentos y Optimización RSM” comienza con una descripción del diseño de experimentos, siguiendo con la presentación los diseños factoriales y el diseño factorial 2k. El capítulo termina con la exposición de la metodología de la superficie de respuesta con la que optimizaremos el sistema con los datos obtenidos en los experimentos. El quinto capítulo “Estudio experimental del sistema” se dedica a la experimentación. Primero se definen los escenarios en donde esta se desarrolla. A continuación se plantean los experimentos que se van a llevar a cabo. La experimentación está compuesta por dos fases bien diferenciadas. En la primera se realiza un experimento de caracterización, cuyo objetivo es averiguar qué significación tienen los factores en la respuesta del sistema objeto de estudio y conocer si existen interacciones entre ellos. En la segunda fase se va a llevar a cabo el proceso de optimización propiamente dicho, para lo que se va a aplicar la metodología RSM (Response Surface Methodology) o metodología de la superficie de respuesta. Esta fase consta a su vez de tres partes. En la primera se realiza la experimentación para un valor predeterminado del nivel de servicio del 100%, Para el escenario y los datos de la línea y demanda considerados el nivel de servicio objetivo del 100% no es realista por lo que se repite el proceso para un valor predeterminado del nivel de servicio del 98%. En la

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tercera parte se estudia en profundidad la metodología de optimización multirespuesta RSM de la función desirability. El en sexto capítulo “Propuesta de optimización” se propone una heurística que nos permita buscar rápidamente la combinación de parámetros que hagan que el sistema funcione con el nivel de servicio predeterminado y con el menor inventario en proceso. En el capítulo séptimo “Experimento de confirmación” se realiza un experimento para comprobar que la heurística funciona adecuadamente en un entorno diferente al utilizado en los experimentos anteriores. En el octavo capítulo “Conclusiones” se exponen las conclusiones en vista a los resultados obtenidos en las diversas experimentaciones. También se proponen algunas líneas generales de futuras investigaciones y como se podría aplicar esta metodología a un sistema multiproducto y/o multirespuesta. Además de los capítulos descritos, se han introducido dos secciones finales: “Bibliografía” y “Anexo”. Una dedicada a la bibliografía a la que se hace referencia a lo largo de este documento y que ha servido de apoyo al desarrollo del trabajo y la otra un anexo en el que se muestran los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas para el cálculo de los parámetros de simulación.

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CAPÍTULO 2:

SISTEMAS BASADOS EN TARJETAS. EL SISTEMA CONWIP ADAPTATIVO

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2.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se van a describir con mayor detalle los aspectos más importantes sobre el sistema de control de la producción Conwip. Antes de entrar en detalle es conveniente hacer una breve introducción a ciertos términos en los que se apoya el sistema Conwip y que comparte con el sistema Kanban del cual deriva. Ambos son sistemas del tipo pull y basados en tarjetas. Tradicionalmente los sistemas de control de la producción se clasifican en sistemas push y pull, dependiendo de la dirección que sigue la información dentro del proceso. Los sistemas push (push significa empujar en inglés), son aquellos en los que la producción se programa de antemano en el plan maestro de producción, obligando a que este plan se cumpla. El inventario tiene un efecto de empuje. En la figura siguiente se muestra el funcionamiento de este tipo de sistemas:

Figura 2.1 Funcionamiento sistema Push. Los sistemas pull (pull significa tirar en inglés), son aquellos en los que la producción no esta programada de antemano, si no que la finalización de un trabajo autoriza el comienzo del siguiente. La transmisión de la autorización se realiza haciendo circular tarjetas entre las distintas estaciones de trabajo. El esquema de funcionamiento de este tipo de sistemas se puede apreciar en la siguiente figura:

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Figura 2.2 Funcionamiento sistema Push. Otra clasificación más actual de los sistemas de producción se basa en el mecanismo de control usado (Gershwin, 2000). Tenemos tres tipos:

- Sistemas basados en tarjetas (token-based): Un trabajo puede ser procesado en una estación dependiendo de la existencia de una tarjeta que así se lo permita.

- Sistemas basados en el tiempo (time-based): El procesado de un trabajo en una

estación se realiza de manera constante a cada cierto intervalo de tiempo.

- Sistemas basados en excedentes (surplus-based): El procesado de un trabajo en una estación dependerá de la diferencia entre la cantidad de trabajo demandada y la cantidad de trabajo producida.

Los sistemas Conwip y Kanban son sistemas del tipo pull y basados en tarjetas. Estos dos sistemas son instrumentos para llevar a cabo la filosofía Justo a Tiempo (Just in Time) a nivel operativo. Es muy común confundir los términos “Just in Time” y Kanban, sin embargo son conceptos distintos. Ambos aparecieron en la industria japonesa dentro de una misma manera de entender la empresa y su aplicación suele hacerse de forma conjunta. La idea central de esta filosofía radica en la eliminación de todo tipo de gasto. Dentro de los distintos tipos de gasto que nos podemos encontrar en una empresa, el principal es la existencia de inventarios, es decir, materiales situados en almacenes o esperando ante las máquinas su procesamiento, ocupando espacio, tiempo y dinero. La filosofía Justo a Tiempo propone para su eliminación que todas las operaciones y materiales se realicen y se reciban justo en el momento preciso, ni antes ni después. Esto, junto al carácter estocástico de los sistemas de producción hace que llevarla a cabo sea una tarea compleja. Los inventarios también se utilizan como una prueba de la existencia de otros problemas, amortiguándolos. Para explicar esto se suele emplear el símil del cauce de un río, donde el nivel de inventario es análogo al nivel de las aguas y los problemas a las piedras que están en el fondo. Si el nivel de las aguas sube, es decir, aumenta el nivel

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de inventario, la circulación de los barcos no ofrece problema alguno, sin embargo, si el nivel disminuye, las piedras aflorarán a la superficie y los barcos tendrán dificultades para su navegación. En el sistema de producción aflorarán los problemas (de calidad, de transporte, de mantenimiento de máquinas, etc), teniendo así la oportunidad de afrontarlos y eliminarlos. (Díaz, 1993). La filosofía Justo a tiempo persigue (Domínguez, 1994) obtener diversas metas como son:

• Cero defectos: Si la calidad es perfecta, se eliminaran los costes asociados a la mala calidad.

• Cero averías: Se eliminarían todos los retrasos debidos a los fallos de equipos

durante las horas de trabajo.

• Cero inventarios: Eliminaría el gasto más importante en la actividad productiva y además evitaríamos estar disimulando otros problemas que están afectando a la línea de producción.

• Cero plazo de entrega al cliente: Aumentaría la competitividad en el mercado,

además de disminuir los niveles de inventario y proporcionar mayor flexibilidad a la línea para adaptarse a la variabilidad de la demanda.

• Cero papel: Simplificaría las tareas administrativas de la empresa y eliminaría

gran parte de la burocracia interna. Pero por otro lado, la filosofía Justo a Tiempo también tiene una serie de inconvenientes, a saber (Chase et al, 2002):

• Se limita a la fabricación repetitiva. • Requiere un nivel de producción estable.

• Los productos deben ser similares con un número limitado de opciones.

• Requiere trabajo en proceso, ya que el trabajo procesado debe ser almacenado en

los almacenes intermedios de salida de cada estación para que la siguiente estación lo retire.

• Los proveedores deben afincarse cerca, ya que las entregas deben de ser

frecuentes y pequeñas.

• Es un procedimiento de prueba y error aplicado a un sistema real. Desde su aparición en el año 1953, el sistema Kanban ha sido tradicionalmente el sistema pull basado en tarjetas más conocido y utilizado, siendo un instrumento de

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aplicación de la filosofía Justo a Tiempo. Ha sido estudiado por multitud de investigadores y su aplicabilidad e implantación industrial ha sido muy discutida. A raíz de él han surgido otros sistemas basados en los mismos principios, y filosofía, como el sistema Stock Base (Bonvik et al, 1997) o el sistema Conwip (Spearman et al, 1990), que se describe en la sección 2.2.

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2.2 DESCRIPCIÓN SISTEMA CONWIP En esta sección nos centramos en describir el funcionamiento de un sistema de control de la producción del tipo Conwip, ya que el sistema objeto de estudio se basa en este.

El sistema de la producción Conwip fue introducido por Spearman et al, 1990 como un intento de presentar un sistema “pull” más flexible que el sistema pull por excelencia hasta aquel entonces, el sistema Kanban. (Framiñán et al, 2003). Con el término Conwip se hace referencia a cualquier sistema que trata de mantener constante la máxima cantidad de inventario en proceso (WIP, Work In Process). Normalmente ésto se hace usando un número limitado de tarjetas, en igual número que el nivel máximo de WIP deseado. Las tarjetas son asociadas a un trabajo al comienzo de la línea de producción y cuando éste llega a final de la línea de producción, la tarjeta es liberada y se envía de vuelta al comienzo de la línea donde será asociada a otro trabajo. Este mecanismo se puede observar en la figura 2.3:

Figura 2.3. Mecanismo de funcionamiento de un sistema Conwip.

Cuando el número de trabajos en proceso es igual al número de tarjetas del sistema, ningún trabajo se podrá incorporar al sistema, por lo que el WIP en ese momento será el máximo que pueda aceptar el sistema. Es obvio que ningún trabajo podrá entrar al sistema sin su correspondiente tarjeta.

Existen dos tipos de entornos en donde el sistema Conwip puede operar: el entorno contra pedido y el entorno contra stock. En un entorno contra pedido la tarjeta vuelve al comienzo de la línea en el momento en el que el trabajo es procesado en la última estación de trabajo. Ver figura 2.4. En esta figura los almacenes intermedios se suponen incluidos en cada estación, con objeto de obtener una representación más clara.

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Figura 2.4. Flujo de trabajo e información en un entorno contra Pedido En un entorno contra stock, una vez procesada una pieza en la última estación de la línea, pasa al almacén de productos terminados (Finished Goods Inventory, FGI) junto a su tarjeta siendo esta liberada y enviada de vuelta cuando la pieza es entregada al cliente. Ver figura 2.5. Al igual que en la figura 2.4 los almacenes intermedios se han suprimido por claridad en la representación.

Flujo de trabajo

Flujo de información

Estación

FGI

Almacen

Figura 2.5. Flujos de trabajo e información en un entorno contra Stock Los sistemas pull de control de la producción, tales como el Kanban o el Conwip, son considerados superiores a los sistemas push, tales como MRP y MRPII, en aquellos escenarios de producción donde ambos pueden ser empleados.(Spearman et al, 1990, Roderick et al, 1992). Esta superioridad se pone de manifiesto principalmente en tres aspectos: en el entorno, las colas y en el control.

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Hay entornos en donde un sistema Kanban no puede ser empleado, como son aquellos en donde se tienen ordenes de trabajo con tiempos de producción cortos, o aquellos donde se tienen tiempos de set-up significativos, scrap loss o grandes e imprevisibles fluctuaciones de la demanda. Estudios de simulación realizados por Krejewski et al, 1987, ponen de manifiesto que el tipo de entorno es la causa principal de la superioridad de los sistemas pull sobre los push, dada la facilidad que los pull tienen para mejorarlo. Los efectos de las colas fueron estudiados por Spearman y Zazanis, 1988, quienes probaron que el WIP total y el flow time medio eran menores en un sistema pull que en un sistema push. También hay evidencia de que la varianza del flow time será menor en los sistemas pull que en un sistema push equivalente. Reducidas varianzas y tiempos medios del flow time implican unos WIP y FGI reducidos para un lead time dado (Hopp et al, 1988). El control del los sistemas pull es otra de sus ventajas sobre los sistemas push. Los primeros son inherentemente más fáciles de controlar que los segundos, debiéndose esto a dos razones. La primera es que el WIP es directamente observable en los pull y la segunda es que los errores cometidos en el ajuste de los niveles de WIP afectarán a las prestaciones de los sistemas pull en menor medida que los errores cometidos estimando la capacidad afectarán a las prestaciones de un sistema push (Spearman y Zazanis, 1988). Las ventajas del sistema Conwip respecto al sistema MRP han sido extensamente descritas (Herer y Masin, 1997, Hopp y Spearman, 1996) siendo las más importantes:

o Observabilidad: WIP es directamente observable y mantener cierto nivel de inventario es más simple que establecer una tasa de salida del sistema.

o Eficiencia: requiere menos WIP para obtener la misma tasa de salida.

o Variabilidad: los sistemas MRP tienen una mayor variabilidad a lo largo

del tiempo.

o Robustez: Conwip es menos sensible a variaciones del nivel de inventario (WIP) que un sistema push bajo el mismo tipo de error.

Las ventajas del sistema Conwip respecto al Kanban son (Spearman et al, 1990):

o Mayor simplicidad en el número de parámetros, dado que Conwip requiere solamente un contador de tarjetas, relajando las condiciones de trabajo del sistema Kanban.

o Mayor robustez respecto a la variación del tiempo de proceso.

o Mayor aplicabilidad a diferentes entornos productivos.

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2.3 AJUSTE DINÁMICO DEL NÚMERO DE TARJETAS. EL SISTEMA CONWIP ADAPTATIVO

Los sistemas pull son más satisfactorios operando en entornos con demanda y tiempos de ciclo (lead times) estables (Hall, 1983). Sin embargo muchos fabricantes se enfrentan a entornos donde los proveedores y la demanda cambian constantemente, de manera que la determinación de los parámetros de funcionamiento del sistema no resulta una tarea fácil. Algunos autores proponen como alternativa al establecimiento estático del número de tarjetas un control dinámico sobre el mismo, que se ajuste tanto a los factores internos del propio sistema productivo (por ejemplo averías) como a los factores externos al sistema como por ejemplo las variaciones en la demanda. Según el tipo de entorno, las más importantes aportaciones han venido dadas por Hopp y Roof, 1998, ofreciendo un sistema adaptativo operando en un entorno contra pedido, y Tardif y Maaseidvaag, 2001, proponiendo un sistema adaptativo que opera en un entorno contra stock. -. Hopp y Roof desarrollaron el denominado Sistema STC (Statistical Throughput Control), el cual fue concebido para ajustar de manera dinámica el número de tarjetas en un sistema Conwip en entornos contra pedido. El método se basa en incrementar o decrementar el número de tarjetas respecto a la variación del tiempo entre operaciones para ajustar la tasa de salida a un determinado objetivo. Una vez que la tasa de salida objetivo es establecida, el tiempo entre operaciones es monitorizado, estableciendo unos límites de control estadísticos. Si el sistema está fuera de control estadístico, se añadirán o retirarán tarjetas del sistema. El mecanismo consiste en establecer la tasa de salida objetivo denominada λ , medida en trabajos por unidad de tiempo. Por otra parte se monitoriza el tiempo entre operaciones finalizadas, considerando la media, µ , y la desviación estándar σ . En este caso la tasa de salida viene determinada por la inversa del tiempo entre las salidas de trabajos en la última estación. Cuando la media del tiempo entre operaciones, µ , está por encima de la inversa de la tasa de salida objetivo más de σ3 , el sistema se considerará fuera de los límites de control, por lo que se incrementará el número de tarjetas en una unidad. Por el contrario, puede suceder que la media del tiempo entre operaciones está por debajo de la inversa de la tasa de salida objetivo más de σ3 , por lo que el sistema estará fuera de los límites de control. En este caso se disminuirá el número de tarjetas en una unidad. Hay que tener en cuenta que hay que realizar un periodo de calentamiento (warm-up) del sistema para poder establecer la media y desviación estándar de la tasa de salida del sistema. Este período de calentamiento se tendrá en cuenta siempre que haya una variación en el número de tarjetas. Puede venir expresado en unidades de tiempo o unidades producidas.

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Por otra parte hay que considerar que la tasa de salida objetivo sea adecuada a los límites de capacidad del sistema. De manera esquemática, el procedimiento es el siguiente: Paso 0: Establecer el número inicial de tarjetas, m , y el periodo de calentamiento, n. Paso 1: Establecer la tasa de producción objetivo, λ . Paso 2: Poner a cero las estadísticas de la media del tiempo entre operaciones, µ , así

como la desviación estándar, σ , hasta que se ha superado el periodo de calentamiento, n .

Paso 3: Después de completar cada trabajo, calcular la media de los tiempos entre

operaciones, µ y su desviación estándar, σ . Paso 4: Si

a) σλ

µ 31+> , incrementar el valor de m en una unidad.

b) σλ

µ 31−< , disminuir el valor de m en una unidad.

Paso 5: Ir a paso 3. -.Tardif y Maaseidvaag desarrollaron un procedimiento para controlar el número de tarjetas en sistemas Conwip bajo entornos contra stock. El método se basa en el compromiso entre el inventario de productos terminados y la demanda acumulada en un cierto instante, siendo el objetivo minimizar el WIP y los costes asociados a la demanda acumulada. El sistema emplea cuatro parámetros (K, E, R, C). K es el número de tarjetas inicial, E es el número de tarjetas extra, R es el umbral de liberación y C es el umbral de captura. Una tarjeta extra será añadida cuando un cliente llegue y el nivel de inventario esté por debajo del umbral de liberación R. Una tarjeta extra será extraída si el nivel de inventario en el almacén de productos terminados está por encima del umbral de captura C. El número de tarjetas se mantendrá en cualquier otro caso. Los elementos del sistema propuesto por Tardif son una línea de fabricación representada por MP, una cola P conteniendo las piezas terminadas, una cola D conteniendo los pedidos no servidos y un casillero A en donde se encuentran las tarjetas extra. Las variables dependientes del tiempo son N(t) representando el número total de piezas en la cola P menos el número total de pedidos pendientes en la cola D en el instante t y X(t) que es el número de tarjetas extra no usadas en el instante t. (Ver figura 2.6).

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En cuanto llega la demanda de un cliente en el instante t, y antes de que la pieza sea dada al cliente, si N(t)<=R y X(t)>0, una tarjeta extra es sacada del casillero A y enviada a MP donde será adjuntada a una pieza para su procesado. A continuación una pieza situada en la cola P libera su tarjeta y la pieza es entregada al cliente. Sin embargo, si N(t) antes de que la pieza sea entregada es mayor que C, la tarjeta liberada con la pieza no es enviada al MP si no que es recapturada y almacenada en A. Es importante tener en cuenta que R debe ser estrictamente menor que C. En la figura 4 se muestra un diagrama en el que se representa el proceso de captura y liberación de tarjetas extra, así como el flujo de piezas y tarjetas. Las líneas a puntos representan el movimiento de material mientras que las líneas continuas representan el movimiento de información y de tarjetas. Las líneas verticales finas representan la sincronización entre material e información.

Llegada de un Cliente

no

si N (t) <= R

y x(t) > 0

si N (t) > C

y x(t) < E

no

MP

P

D

A

Piezas al Cliente

Sí, Liberar Tarjeta Extra

Sí, Capturar Tarjeta Extra

Tarjeta Extra a MP

Figura 2.6. Diagrama de flujo del sistema de Tardif y Maaseidvaag

Tardif y Maaseidvaag en una primera etapa de su estudio compararon su sistema adaptativo frente a un Conwip no adaptativo, ambos controlando la misma línea de producción MP, la cual estaba formada por cuatro máquinas en tándem, cuyos tiempos de proceso estaban distribuidos según una función exponencial de media 5, igual para las cuatro máquinas. La demanda a su vez, estaba distribuida según una función de Poisson de media 10 constante en el tiempo. El modelado de los sistemas lo realizaron por medio de sendas cadenas de Markov y las funciones objetivo, Z(K) para el Conwip y Z(K,E,R,C) para el sistema adaptativo, se definían como Z(K)=I(K)+WIP(K)+bB(K) y Z(K,E,R,C)=I(K,E,R,C)+WIP(K,E, R,C)+bB(K,E,R,C), correspondiendo, en ambos casos, el primer termino al inventario esperado, el segundo al inventario en proceso

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esperado y el último a la lista de ordenes de pedido esperada, siendo b el coste por no entregar una pieza a tiempo y hacer que el cliente espere, o dicho de otra manera, el coste por demanda insatisfecha. En primer lugar aplicaron al sistema Conwip un algoritmo desarrollado por Liberopoulos y Dallery, 1995, para hallar el número óptimo de tarjetas, K, que minimizaba la función de coste Z(K), obteniendo que el número óptimo de tarjetas era de K=13, seguidamente y usando este mismo valor de K, calcularon el valor de la función de coste del modelo adaptativo, Z(K,E,R,C), observando que los resultados mejoraban al sistema Conwip con determinación estática de tarjetas y que el número óptimo de tarjetas para el sistema Conwip no tenia por qué ser igual al número óptimo de tarjetas del sistema adaptativo. A continuación, y usando una búsqueda exhaustiva, probaron diversos valores que parecían razonables de los parámetros K, E, R, C, llegando a valores inferiores de la función de costes. Detectaron que la mejora en los resultados de la función objetivo era más sensible a los cambios en los parámetros R y C que a los cambios en el número total de tarjetas. Esto les llevó a pensar que debería haber una combinación óptima de estos valores K*, E*, R* y C*, empleando para su búsqueda un algoritmo heurístico simple, basado en una estrategia secuencial de un factor a la vez, consistente en buscar el menor valor de la función objetivo, haciendo variar un parámetro y manteniendo al resto constantes. Llegaron a obtener una combinación, K=12, E=12, R=3 y C=4, que mejoraba al Conwip tradicional en aproximadamente un 4.90%, demostrando que el sistema adaptativo era más eficiente que el sistema tradicional. Sin embargo, este algoritmo podía parar en un óptimo local y no aseguraba llegar al óptimo del sistema, además de no estudiar de un modo exhaustivo los parámetros, ya que no se hacían variar en su conjunto, no pudiendo detectar posibles interacciones entre ellos ni la importancia de cada uno de ellos en el sistema. La principal razón que llevó a Tardif y Maaseidvaag a plantear su modelo adaptativo fue la de sugerir un sistema que se adaptara a entornos variables. Por lo tanto, en una segunda etapa, estudiaron el comportamiento de su modelo bajo este tipo de demanda, comparando los resultados con la respuesta de un sistema Conwip tradicional sometido a esa misma demanda. Para ello desarrollaron un modelo de cada tipo de sistema usando esta vez la simulación de eventos discretos. La demanda se distribuía según una función aleatoria de Poisson siguiendo un patrón cíclico formado por cinco periodos de 50 unidades de tiempo de duración cada uno, en los que las medias eran de 6, 8, 10, 12 y 14, respectivamente. El patrón se repetía cíclicamente durante el tiempo total de la simulación que fue de un millón de unidades de tiempo. Se comparó el sistema tradicional con K=13 y las diez mejores combinaciones del sistema adaptativo que ofrecieron los mejores resultados en el caso de demanda constante, Ahora, con la demanda variable se obtuvo una mejor combinación con K=11, E=1, R=3 y C=4, que ofrecía una mejora del 8.87% sobre el sistema tradicional. Es particularmente interesante observar que sólo se necesitaba una tarjeta extra. Es decir, Tardif y Maaseidvaag proponen un sistema Conwip adaptativo, capaz de dominar completamente al sistema Conwip tradicional trabajando bajo ciertas condiciones de variabilidad del entorno. En su estudio emplearon sistemas equilibrados,

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debido a su mayor facilidad para ser estudiados mediante cadenas de Markov. Por otra parte se dejan las puertas abiertas a futuros estudios en los que se empleen sistemas desequilibrados (distintos tiempos de proceso), sistemas con reprocesado de piezas o sistema que contemplen averías en las máquinas. -.Framiñán et al, 2003, desarrollaron un procedimiento, denominado PS, que se basa en monitorear la salida del sistema para comprobar si está por debajo o por encima de un objetivo propuesto. El sistema emplea un cierto número de tarjetas extra, como en el modelo propuesto por Tardif y Maaseidvaag. El objetivo es alcanzar una tasa de salida o nivel de servicio objetivo, en entornos contra pedido y contra stock respectivamente. La tasa de salida se define como (Hopp y Spearman, 1996):

Tasa de Salida (%) 100** tellacuellodeboCTperiodotrabajos

= (1)

donde CT es el tiempo del ciclo en el cuello de botella. Es una medida del grado de utilización del cuello de botella. El nivel de servicio se expresa como (Hopp y Spearman, 1996):

Nivel de Servicio (%) = 100*acabadostrabajosdeNúmero

tiempoaservidosTrabajos (2)

Tanto la tasa de salida como el nivel de servicio pueden ser monitorizados de dos formas diferentes:

• Tiempo de monitoreado fijo: La respuesta del sistema (tasa de salida o nivel de servicio) es grabada cada cierto periodo de tiempo dado. Este procedimiento presenta los inconvenientes de, por un lado, introducir un nuevo parámetro al sistema y por otro del ajuste del intervalo de tiempo, ya que este último depende del tiempo de procesado de los trabajos y por lo tanto debería ser ajustado específicamente para cada escenario en concreto.

• Monitoreado basado en el número de piezas retiradas: En este procedimiento se

cuenta el número de piezas retiradas del sistema. Cuando el contador alcanza un nivel predeterminado la respuesta del sistema se graba y el contador se pone a cero. Este método es similar al usado en los sistemas STC y en el de Tardif y Maaseidvaag. Ambos métodos usan un nivel de piezas retiradas igual a uno (por ejemplo, la respuesta del sistema es grabada cada vez que una pieza es retirada del sistema). La diferencia principal entre estos es que en el sistema STC se aplica un tiempo de warm-up, que viene a valer del orden de 10 a 100 trabajos retirados, dependiendo del tipo de experimento. El inconveniente del empleo del empleo de tiempo de warm-up es que introduce un nuevo parámetro al sistema.

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Los autores proponen el uso de un nivel fijo igual a uno y no considerar periodo de warm-up o calentamiento entre cambios. El efecto del periodo transitorio en el sistema depende del correcto ajuste del intervalo de tiempo anteriormente comentado o del nivel de piezas retiradas del sistema. Por una parte, será interesante elegir un intervalo de tiempo o un nivel de piezas retiradas pequeño para obtener una respuesta del sistema rápida para un nivel de servicio o una tasa de respuesta dada. Por otra parte, hay que tener en cuenta que si la respuesta del sistema fijada no es estable, pequeños intervalos de tiempo o bajos niveles de piezas retiradas pueden desencadenar fluctuaciones en el sistema, siendo en esta caso mejor seleccionar un periodo de tiempo o número de trabajos alto. Para evitar estos efectos los autores del sistema PS decidieron limitar el número máximo de tarjetas extras, así el número de tarjetas en el sistema en cualquier instante esta limitado por:

Limite inferior = {0; número inicial de tarjetas – número de tarjetas extra}

Limite superior = {número inicial de tarjetas + número de tarjetas extra}

Como ya se ha comentado anteriormente, el sistema PS se basa en monitorear la respuesta del sistema y comprobar si esta se encuentra por debajo o por encima de un objetivo de producción dado. Según nos encontremos en un entorno contra pedido o contra stock, este objetivo se medirá por la tasa de salida o el nivel de servicio respectivamente. En un entorno contra pedido la respuesta es grabada por el sistema cada vez que un trabajo sale del sistema y en un entorno contra stock cada vez que un cliente llega al sistema. El proceso de añadir o sustraer tarjetas del sistema se da cada vez que la respuesta del sistema es monitoreada, momento en el que contador de piezas que son retiradas del sistema se pone a uno. Esto induce una rápida respuesta del sistema y se corre el riesgo de que el comportamiento de este se vuelva inestable, impidiéndolo el echo de estar limitado el número de tarjetas extras, como ya se ha comentado. El sistema PS funciona según dos parámetros. Por un lado esta el parámetro K (0) que corresponde con un número fijo de tarjetas que van a operar a lo largo de la línea de producción. Por otro lado, se tiene el parámetro E que corresponde con el número de tarjetas extras que se van a tener dispuesta en el casillero de tarjetas extra. El proceso de añadir al sistema o sustraer de este, tarjetas extra va a ser el siguiente: si la tasa de salida (o nivel de servicio) está por debajo de un objetivo predefinido y hay tarjetas extra disponibles en el casillero, se añade una tarjeta extra al sistema. Si la salida (o nivel de servicio) está por encima del objetivo predefinido, se retira una tarjeta extra del sistema y se envía de nuevo al panel de control de tarjetas extra. En la figura 2.7 se muestra un diagrama de flujo que explica el proceso. La notación empleada es la siguiente: )(tx , número de tarjetas extra no usadas en el instante t. E , número inicial de tarjetas extra.

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)(tK , número de tarjetas que operan en el sistema en el instante t. )(tθ , salida (o nivel de servicio) del sistema en el instante t. λ , tasa de salida objetivo (o nivel de servicio objetivo).

si θ (t) < λ

y x(t) > 0

si

y x(t) < E

θ (t) > λ

si

θ (t) es monitoreada

no

FIN

K t K t( ) = ( ) +1

K t K t( ) = ( ) -1si

Una pieza es acabada (Entorno contra pedido)Un cliente llega (Entorno contra stock)

Figura 2.7. Diagrama de flujo del sistema PS.

Framiñán, González y Ruiz-Usano realizaron una serie de experimentos para comprobar la validez del sistema PS trabajando en entornos contra pedido y contra stock. En el primer caso lo compararon con un sistema STC operando en los mismos escenarios propuestos por Hopp y Roof, 1998 y en el segundo con un sistema como el propuesto por Tardif y Maaseidvagg, también operando en los mismos escenarios en los que estos presentaron su modelo. En ambas series de experimentos, estos autores midieron la respuesta transitoria y el estado estacionario que sigue a aquella. La respuesta transitoria se utilizó como un indicador de la velocidad con la que cada sistema se adapta a los cambios y el periodo estacionario como un indicador de la habilidad de cada sistema para alcanzar el objetivo predeterminado. Respecto al sistema STC el sistema PS mostró una respuesta más rápida ante los cambios y alcanzaba una tasa de salida más cercana al objetivo. Respecto al sistema de Tardif el sistema PS no mostró diferencias significativas ni en la respuesta transitoria ni

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en la respuesta estacionaria. Este último resultado era en cierto punto previsible dado que el sistema PS se basa en el mecanismo usado por Tardif y Maaseidvaag. El sistema PS se hace especialmente interesante por las ventajas que presenta:

• Es un sistema que puede operar bajo entornos contra pedido y contra stock, no como el sistema STC que sólo puede operar en entorno contra pedido o como los sistemas de Tardif y Maaseidvaag o Takahashi y Nakamura que sólo lo pueden hacer en entornos contra stock.

• Puede aplicarse a todo los sistemas de control de la producción del tipo pull, no

como, por ejemplo los sistemas STC y Tardif que sólo son aplicables a sistemas Conwip, o como los sistemas propuestos por Rees et al, 1987, y Gupta y Al-Turki, 1997, que sólo se pueden emplear en sistemas Kanban o el sistema de Takahashi y Nakamura que esta diseñado para ser empleado en sistemas Kanban y Base-Stock.

• El número de parámetros necesarios es de sólo dos, K (0) y E por los cuatro que

son necesarios en el sistema de Tardif y Maaseidvaag. • No es necesario conocer a priori ciertos aspectos del escenario productivo, como

por ejemplo la demanda del próximo periodo, dato necesario en el sistema de Gupta y Al-Turki, o el lead-time y la predicción de la demanda para el sistema de Rees et al. En otros sistemas, como el de Takahashi y Nakamura los autores asumen que estos aspectos han de obtenerse mediante simulación.

Sin embargo en los estudios del sistema propuesto (PS), no se ofreció ningún método para la optimización de los parámetros K (0) y E, por lo que el objeto del presente proyecto es estudiar en profundidad la determinación e importancia de los parámetros K (0) y E. Emplearemos las técnicas del diseño y análisis de experimentos para conocer la importancia de los parámetros y la metodología de superficies de repuesta, para la optimización de los mismos. Por otra parte se dejan las puertas abiertas a futuros estudios en los que se extienda el estudio a otros tipos de sistemas pull de control de la producción. También será interesante aplicar el sistema PS a sistemas desequilibrados (distintos tiempos de proceso), sistemas con reprocesado de piezas, sistema que contemplen averías en las máquinas y a entornos multiproducto.

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CAPÍTULO 3:

SIMULACIÓN. MODELADO DEL SISTEMA.

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3.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de este proyecto es hallar la combinación óptima de los parámetros que gobiernan un sistema de producción Conwip adaptativo, según el modelo PS. La utilización de la simulación mediante eventos discretos se hace imprescindible en este caso, ya que al ser procesos estocásticos y, como se comentó en la sección 1.1, el estudio mediante métodos analíticos/matemáticos sería poco viable o limitado a casos extremadamente sencillos y de poca utilidad práctica. En primer lugar se va a realizar una breve descripción de lo que es la simulación, comentando sus características, ventajas e inconvenientes y otros aspectos relacionados con ella. Posteriormente se comentan los aspectos principales de la simulación de eventos discretos, herramienta que vamos a utilizar en la realización de los experimentos. En segundo lugar mostraremos el modelo de la línea de producción objeto de estudio y presentaremos las hipótesis consideradas en él. Finalmente, se determinarán los parámetros de simulación necesarios para la realización de las simulaciones. Estos parámetros son el tiempo efectivo de simulación, el periodo de calentamiento o warm-up y el número de réplicas.

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3.2 SIMULACIÓN Hoy en día la simulación es una herramienta fundamental en el proceso de toma de decisiones. Aunque parezca lo contrario, la simulación es una técnica muy antigua. Desde hace bastante tiempo ya se han construido objetos con los que experimentar dinámicamente, con el objeto de comprender la realidad y toda su complejidad, sin necesidad de interactuar con el sistema real. Más recientemente, con la aparición de los ordenadores, la simulación digital cada vez está más implantada. La simulación digital se define como una técnica que permite imitar en un ordenador el comportamiento de un sistema físico o teórico según ciertas condiciones de operación. Para analizar, estudiar y mejorar el comportamiento de un sistema, el primer paso a seguir es desarrollar un modelo conceptual que describa las dinámicas de interés para después implantarlo en un ordenador para poder analizar los resultados (Guash et al, 2002). En el campo de la producción, la simulación se utiliza para determinar los niveles de inventario, los procedimientos de mantenimiento, los programas de producción, la planificación de los procesos, etc... (Chase et al, 2002). Un sistema puede ser definido como una colección de objetos o entidades que interactúan entre sí para alcanzar un cierto objetivo (Guash et al, 2002). El estado de un sistema puede ser definido por un conjunto mínimo de variables. A estas variables se las denominan variables de estado. Los sistemas se pueden clasificar según su comportamiento a lo largo del tiempo en (Guash et al, 2002):

Sistemas Continuos: Son aquellos en las que las variables de estado evolucionan de un modo continuo a lo largo del tiempo.

Sistemas Discretos: Son aquellos en los que las propiedades de interés del

sistema cambian en un cierto instante o secuencia de instantes, que normalmente obedecen a un patrón periódico.

Sistemas Orientados a Eventos Discretos: Son análogos a los anteriores, salvo

que ahora la secuencia de instantes obedece a un patrón aleatorio.

Sistemas Combinados: Son aquellos que combinan subsistemas continuos o discretos respectivamente.

Como modelo del sistema se entiende a la descripción de las características internas y mecanismos de interés del sistema. Al proceso de abstracción para obtener esta descripción se conoce como modelado. Un modelo debe representar aquellas características del sistema que son de nuestro interés y ser una representación abstracta de la realidad lo suficientemente sencilla como para facilitar su mantenimiento, adaptación y reutilización (Guash et al, 2002).

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Para que un modelo pueda ser procesado por un ordenador es necesario el uso de modelos simbólicos matemáticos, los cuales reproducen con estructuras matemáticas las relaciones entre las propiedades físicas del sistema que se pretende modelar. Para garantizar una representación eficiente del sistema real ha de tenerse en cuenta las siguientes consideraciones:

Un modelo se desarrolla a partir de una serie de simplificaciones e hipótesis, por lo tanto representa parcialmente la realidad.

Un modelo debe de construirse específicamente para una finalidad y debe de

formularse de modo que sea útil para tal fin.

Un modelo debe de recoger los aspectos esenciales del sistema real y al mismo tiempo debe de ser una representación lo más simple posible.

La técnica de la simulación ofrece como principales ventajas (Chase et al, 2002):

Por lo general la simulación conduce a una mejor comprensión del sistema real. La simulación permite una compresión del espacio temporal, convirtiendo en

segundos o minutos lo que en la realidad son años.

La simulación no interfiere con el sistema real, por lo que este puede seguir funcionando sin interferencias de ningún tipo.

La simulación es mucho más general que los modelos matemáticos y puede

usarse cuando las condiciones no son las apropiadas para un análisis matemático típico.

La simulación puede usarse como un juego para la experiencia de la

capacitación.

La simulación ofrece una representación más realista que un análisis matemático.

La simulación puede usarse para el estudio de situaciones transitorias mientras

que esto no puede hacerse generalmente con el análisis matemático.

Comercialmente se ofrecen muchos modelos que cubren una gran variedad de temas.

La simulación permite responder a preguntas del tipo ¿Qué ocurriría si...?

Y como principales inconvenientes:

El desarrollo de un modelo de simulación requiere mucho tiempo y esfuerzo y esto no garantiza que produzca buenas respuestas.

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La completa confiabilidad del modelo de simulación no se puede probar. La

simulación implica numerosas repeticiones de secuencias que se basan en ocurrencias generadas de manera aleatoria y esto puede llevar a que un sistema aparentemente estable se vuelva inestable ante una determinada combinación de eventos, aunque esta sea improbable.

La construcción de un modelo de simulación puede llevar numerosas horas de

trabajo, así que el modelado de un sistema complejo puede resultar muy costoso.

La simulación se basa en ocurrencias aleatorias, por lo que puede ser menos exacta que el análisis matemático de un sistema representado por un modelo matemático.

La simulación de modelos complejos puede llegar a requerir una gran cantidad

de tiempo de computación.

La técnica de simulación carece de un enfoque estandarizado, por modelos construidos por diferentes personas pueden variar considerablemente.

Para la simulación de la línea objeto del presente proyecto se parte de la identificación de esta con un sistema dinámico de eventos discretos, cuyas características se describen a continuación. Un paradigma de simulación para sistemas dinámicos de eventos discretos asume que el sistema simulado sólo cambia de estado en puntos discretos del periodo simulado, es decir, que el modelo cambia de estado ante la ocurrencia de un evento. (Wainer, 2003). Los modelos de eventos discretos son modelos dinámicos, estocásticos y discretos en los que las variables de estado cambian en instantes no periódicos de tiempo, correspondientes a la ocurrencia de un evento. Un modelo de eventos discretos esta formado por los siguientes elementos (Guash et al, 2002):

• Variables de estado: son el conjunto mínimo de variables que describen todos los aspectos de interés del sistema. Cada conjunto de valores que toman estas variables definen cada estado del sistema.

• Eventos: Son acciones instantáneas que pueden cambiar el estado del modelo.

No consumen tiempo y se pueden clasificar en:

- Eventos condicionados: son aquellos eventos que para que ocurran es necesario que se den ciertas condiciones.

- Eventos no condicionados: son aquellos que están planificados de

antemano y no necesitan de condición alguna para que ocurra.

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• Otra clasificación es:

- Eventos endógenos o internos: son aquellos causados por condiciones en

el modelo.

- Eventos exógenos o externos: son eventos externos al modelo.

• Actividades: Son las tareas o acciones que tienen lugar entre dos eventos. Generalmente, tienen duración temporal conocida, aunque esto no significa que sea constante. En procesos estocásticos su duración, y por lo tanto su instante de finalización se determina a partir de una distribución de probabilidad.

• Entidades: Son los objetos que constituyen o se mueven a lo largo del sistemas.

Se pueden agrupar en dos grupos:

- Recurso o entidades permanentes, que son los medios gracias a los cuales se pueden ejecutar las actividades. Definen quien o qué ejecuta la actividad, su número permanece constante a lo largo de la simulación y suelen parametrizarse por características tales como capacidad, velocidad o tiempo de ciclo.

- Entidades temporales: Son los objetos que llegan, se procesan y salen del

sistema. Se crean y se destruyen a lo largo de la simulación.

• Atributos: Son las características que caracterizan a las entidades según propiedades de estas como puede ser el tamaño, precio, prioridad, etc. Los atributos son imprescindibles para controlar el flujo de entidades en el sistema.

• Colas: Son estructuras que quedan determinadas a partir de una colección de

entidades temporales, ordenadas de una forma lógica. Las entidades que están en una cola sufren retardos de una duración indeterminada.

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3.3 MODELO e HIPÓTESIS La utilización de la simulación mediante eventos discretos se hace imprescindible en este caso, ya que, al ser procesos estocásticos, el estudio mediante métodos analíticos o matemáticos sería poco viable.

Las herramientas de programación que pueden utilizarse para llevar a cabo la simulación en un ordenador se clasifican en dos grandes grupos:

- Los lenguajes de programación de propósito general como pueden ser el Pascal,

Fortran, C ++, etc. La mayor ventaja que tienen es que son lenguajes conocidos y la gran flexibilidad que ofrecen sus amplias librerías de instrucciones, que nos permiten afrontar la programación de cualquier tipo de modelo por complejo que este sea. Como principal inconveniente presentan la gran cantidad de tiempo que lleva su codificación.

- Los lenguajes de simulación como el GPSS, Simscript, Siman, Slamsystem, etc...

y los entornos de simulación como son el Arena, Witness o LeanSIM. Las principales ventajas que presentan es su efectividad, bajo tiempo de codificación, fáciles de programar e interfaces gráficos. Como inconvenientes presentan el alto tiempo de aprendizaje que requieren y una flexibilidad limitada.

En el presente proyecto se ha decido realizar la simulación mediante el uso de un programa escrito en lenguaje C. La simulación de la línea de producción objeto de estudio utilizando otras herramientas más específicas se complicaba en exceso. Además, el uso de un programa específicamente escrito para este fin, nos permite hacer variaciones en los parámetros de la línea con gran facilidad.

El modelo ha sido proporcionado por el grupo de investigación “Organización Industrial” de la Universidad de Sevilla. TEP-134. Este modelo esta programado en lenguaje C y requiere los siguientes parámetros de configuración:

Número de estaciones de trabajo.

Entorno contra pedido, MTO o entorno contra stock, MTS (Ver sección 2.2).

Horizonte de simulación. Periodo de tiempo en el que transcurre cada

simulación. (ver sección 4.4).

Tiempo de warm-up. Es el tiempo requerido para alcanzar el régimen estacionario en la simulación. (ver sección 4.4).

Tipo de distribución de la demanda. Según el valor que se le asigne a este

parámetro la demanda puede ser determinista o estocástica, pudiendo en este último caso elegir entre diferentes distribuciones estadísticas, entre las que se encuentran la Normal, Poisson, Exponencial y Logaritmo Normal.

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Tipo de distribución del tiempo de procesado. Se configura de forma análoga

a como se hace la demanda.

Número de réplicas, n. Es el número de veces que una determinada configuración del modelo se va a repetir.

Nivel de significación, α, con el se calcula el grado de confianza 1- α de los

intervalos de confianza, IC.

Número de tarjetas, K (0). Es el número de tarjetas usadas en el modelo PS. (Ver sección 2.3).

Número de tarjetas extra, E. Es el número de tarjetas extras empleadas en el

modelo PS. (Ver sección 2.3).

La salida del programa viene dada por:

• WIP medio. Es el inventario en proceso ponderado de todas las n réplicas realizadas en cada simulación.

• Intervalo de confianza del WIP, IC (WIP). Es el intervalo de confianza en el

que se va ha encontrar el inventario en proceso, WIP, con un nivel de significación α.

• Desviación estándar del WIP, STD WIP. Es la desviación estándar del

inventario en proceso correspondiente a las n réplicas.

• Nivel de servicio medio. Es el nivel de servicio ponderado de las n réplicas realizadas en cada simulación en el caso de trabajar en un entorno contra stock (ver expresión 2 de la sección 2.3).

• Intervalo de confianza del nivel de servicio medio, IC (servicio medio) Es el

intervalo de confianza en el que se va ha encontrar el nivel de servicio medio, con un nivel de significación α, en el caso de trabajar en un entorno contra stock

• Desviación estándar del nivel de servicio medio, STD servicio medio. Es la

desviación estándar del nivel de servicio medio correspondiente a las n réplicas, en el caso de trabajar en un entorno contra stock

• Tasa de salida media. Es la tasa de salida ponderada de las n réplicas

realizadas en cada simulación en el caso de trabajar en un entorno contra pedido (ver expresión 1 de la sección 2.3).

• Intervalo de confianza de la tasa de salida media, IC (tasa media). Es el

intervalo de confianza en el que se va ha encontrar la tasa de salida media,

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con un nivel de significación α, en el caso de trabajar en un entorno contra pedido

• Desviación estándar de la tasa de salida media, STD tasa media. Es la

desviación estándar de la tasa de salida media correspondiente a las n réplicas, en el caso de trabajar en un entorno contra pedido.

La línea de producción va ha ser del tipo serie (flow-shop), compuesta por cuatro estaciones en tándem, tal y como fue el modelo utilizado por Tardif en su estudio. Cada estación estará compuesta por una máquina, donde se realizarán el procesado del trabajo, y un almacén intermedio de salida (o Output Buffer), donde el trabajo que sale de la máquina va ha permanecer hasta que pueda pasar a la siguiente estación. En la siguiente figura se representa esta línea de producción:

Figura 3.1 Línea de producción objeto de estudio. Los círculos representan a las máquinas y los triángulos a los almacenes intermedios. Las materias primas entran al sistema directamente del almacén de materias primas o desde otra sección anterior, mientras que los trabajos terminados se almacenarán hasta su salida del sistema, en el almacén intermedio de salida de la última estación, llamado FGI (Finished Goods Inventory).

En el presente estudio se han considerado las siguientes hipótesis:

• En el sistema se procesa un único tipo de trabajo. (ver por ejemplo Tardif y

Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997 ó Duri et al, 2000).

• Hay disponibilidad infinita de trabajos al comienzo de la línea. (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).

• En cada máquina sólo se procesa un trabajo a la vez, es decir, capacidad unitaria.

(Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).

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• Las máquinas operan asincrónicamente, es decir, un trabajo es procesado si esta

presente y la autorización ha sido recibida. (Bonvik et al, 1997).

• Los tiempos de procesado en las máquinas son aleatorios y distribuidos según una función exponencial de media conocida. (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Duri et al, 2000).

• La línea es equilibrada, es decir, las máquinas que componen la línea operan

con los mismos tiempos de proceso. (Tardif y Maaseidvaag, 2001).

• Las máquinas operan sin la posibilidad de averías.

• No se tienen en cuenta los tiempos de set-up de las máquinas.

• Los tiempos de inspección son nulos. (Duri et al, 2000).

• No hay retraso en el transporte de las piezas entre las distintas estaciones que componen la línea, es decir, el transporte se considera instantáneo. (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).

• Las tarjetas son transportadas a lo largo de la línea sin retrasos. (Tardif y

Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).

• La demanda es aleatoria, distribuida por una Exponencial de media conocida.

• Para la demanda se ha adoptado el criterio Lost Sales, es decir, la demanda no satisfecha se da por perdida. (Bonvik et al, 1997). Por demanda satisfecha entendemos el que un cliente llegue y recoja el trabajo del FGI (Finisshed Good Inventory) y por demanda perdida a aquella que llega y no espera si en el FGI no hay ningún trabajo disponible.

• No se consideran trabajos de desecho que haya que retirar del sistema, es decir,

no se considera scrap.

• Se considera que el sistema opera dentro de un entorno contra stock (Make to Stock, MTS). (Tardif y Maaseidvaag, 2001, Bonvik et al, 1997, Duri et al, 2000).La variable que mide la capacidad de un sistema operando en un entorno de este tipo es el Nivel de Servicio, cuya formula es la siguiente:

Nivel de Servicio (%) = 100*acabadostrabajosdeNúmero

tiempoaservidosTrabajos (3)

• No se tienen en cuenta ningún tipo de costes.

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Los escenarios en donde se van a realizar los experimentos son similares a los empleados en la línea de producción que propuso Tardif y con la que se comparó el sistema PS (ver la sección 2.3), la cual estaba formada por cuatro máquinas iguales, con tiempos de procesado distribuidos según una función exponencial de media 5. El tiempo entre la llegada de cada cliente se distribuía según una función de Poisson de media 10. El sistema objeto de estudio también está compuesto por cuatro máquinas iguales cuyos tiempos de procesado van a venir definidos igualmente por una función de media 5. Sin embargo, hemos creído que la demanda se representaría de una manera más real usando una función exponencial. Para corroborar esto último, realizamos una pequeña serie de pruebas piloto de los experimentos anteriores usando ambas distribuciones y en todas obtuvimos valores muy altos del nivel de servicio para la distribución de Poisson, del orden de un 40-45% superior al nivel de servicio obtenido con la función exponencial a igualdad de condiciones.

A la hora de elegir la media de esta función exponencial hay que tener en cuenta que un valor grande permitiría funcionar al sistema de una manera desahogada sin generar un número significativo de clientes insatisfechos. Por el contrario, un tiempo de llegada entre clientes medio muy pequeño llevaría a la saturación del sistema y sería muy difícil satisfacer las necesidades de producción por bueno que fuese el sistema. Tras la realización de una serie de pruebas piloto los valores más razonables se obtuvieron para una función exponencial de media 8, por lo que este ha sido el valor tomado para el resto de simulaciones.

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3.4 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE SIMULACIÓN Al emplear un modelo de simulación de eventos discretos es necesario definir los parámetros de simulación:

- Horizonte de simulación - Warm-up o periodo de calentamiento - Número de réplicas

El primer paso a seguir es definir el escenario que se va a utilizar para calcular estos parámetros. Al ser el nuestro, un problema de optimización, no conocemos a priori la mejor configuración que define al sistema por lo que parece razonable partir de una región de experimentación alrededor de la empleada por los autores de PS, en el experimento en el que comparaban las prestaciones del sistema PS con las del sistema propuesto por Tardif y Maaseidvaag. La configuración elegida fue K (0) = 2 y E = 8. Estos autores partieron de un número de tarjetas bajo que les permitiera el estudio del periodo transitorio. El parámetro E fue elegido tras la realización de una serie de pruebas piloto y el nivel de servicio objetivo fue del 100% debido a que el sistema de Tardif y Maaseidvaag esta diseñado para operar al máximo nivel de servicio.

Estos valores de K (0) y E se han tomado como los puntos centrales de sendos intervalos de radio dos, dentro de los cuales se han elegido de forma totalmente aleatoria los valores de K (0) y E, de una batería de cinco experimentos que se han utilizado en el cálculo de los parámetros de simulación. Para ello se ha usado la función ALEATORIO.ENTRE (inferior, superior) del programa Excel de Microsoft, donde el límite inferior del intervalo ha sido de 1 y el superior de 4 para el parámetro K (0) y de 6 y 10 para el parámetro E. Los resultados obtenidos han sido los siguientes (Tabla 3.1):

K E Experimento 1 4 10 Experimento 2 3 8 Experimento 3 2 9 Experimento 4 3 7 Experimento 5 2 7

Tabla 3.1 Experimentos usados en el cálculo de los parámetros de simulación. La simulación requiere para su desarrollo conocer el horizonte de simulación (T), el tiempo de warm-up o calentamiento (W) y el número de réplicas (n). En el instante inicial todas las colas y máquinas están vacías. Una vez la simulación comienza hay un periodo transitorio en el que aquellas se van llenando, fluctuando el sistema hasta que se llega a un periodo de funcionamiento estable. Al primer periodo se le denomina tiempo de warm-up, o de calentamiento, y en él no se miden las estadísticas del sistema. A continuación se entra en un periodo de funcionamiento estable, siendo este el tiempo

- 37 -

efectivo de simulación, a lo largo del que se miden todas las estadísticas y valores que nos van a permitir determinar el funcionamiento del sistema. Tanto el warm-up como el tiempo efectivo de simulación tienen que ser lo suficientemente largos. Si el warm-up es corto, los valores obtenidos podrían corresponder a una situación concreta a corto plazo y si el tiempo efectivo de simulación fuera a su vez corto, los valores obtenidos no representarían al funcionamiento buscado a largo plazo. Tampoco interesa un valor excesivamente largo para estos, ya que el tiempo total de experimentación sería muy largo, consumiendo recursos computacionales inútilmente. El tiempo efectivo de simulación, el warm-up y el número de réplicas se ha obtenido como se explica a continuación.

- 38 -

3.4.1 TIEMPO EFECTIVO DE SIMULACIÓN El tiempo efectivo de simulación es la diferencia entre el tiempo de simulación (T) y el tiempo de warm-up (W). En esta primera serie de experimentos el tiempo de warm-up se ha elegido de 30.000 unidades de tiempo, un valor lo suficientemente alto como para asegurar que el sistema va a funcionar fuera del periodo transitorio. El valor inicial del horizonte de simulación ha sido de 100.000 unidades tiempo, decreciendo a intervalos de 5.000 unidades, siendo el último valor de 35.000 unidades de tiempo. Esto significa, teniendo en cuenta que el tiempo de warm-up era de 30.000 unidades, que el tiempo efectivo de simulación ha variado desde 70.000 unidades de tiempo hasta 5.000, en intervalos de 5.000 unidades de tiempo, habiendo un total de catorce intervalos, por lo que se han realizado catorce simulaciones de cada experimento. Cada una de las simulaciones ha estado compuesta de cincuenta réplicas y se ha considerado un nivel de significación del 99% en los cálculos estadísticos. Para cada conjunto de cincuenta réplicas se ha obtenido el intervalo de confianza para el WIP y para el nivel de servicio, representándose los resultados a continuación (gráficas 3.1 y 3.2):

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

5000 15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000

T-W

IC (9

9) W

IP Exp-1Exp-2Exp-3Exp-4Exp-5

Gráfica 3.1. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de T-W.

- 39 -

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

5000 15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000

T-W

IC (9

9) N

ivel

Ser

vici

oExp-1Exp-2Exp-3Exp-4Exp-5

Gráfica 3.2. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de T-W. Se observa que conforme los tiempos efectivos de simulación van aumentando, los intervalos de confianza van siendo menores. A partir de 35.000 unidades de tiempo el valor de los intervalos de confianza se mantienen dentro de unos límites aceptables, por lo que este va ser el valor tomado para el tiempo efectivo de simulación de aquí en adelante.

- 40 -

3.4.2 WARM-UP Para la siguiente batería de simulaciones el valor inicial del warm-up va ha ser de 30.000 unidades de tiempo, que junto con el valor del tiempo efectivo de simulación elegido en el apartado anterior, hace un horizonte de simulación de 65.000 unidades de tiempo. El valor del warm-up va ir disminuyendo de 1.000 unidades en 1.000 unidades de tiempo hasta un valor final de 1.000. Esto hace un total de treinta simulaciones para cada configuración del sistema, realizándose también cincuenta réplicas de cada simulación. Los resultados obtenidos para los intervalos de confianza del WIP y el nivel de servicio han sido (gráficas 3.3 y 3.4):

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,220

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

W

IC (9

9) W

IP

Exp1Exp2Exp3Exp4Exp5

Gráfica 3.3. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de W.

1,500

1,700

1,900

2,100

2,300

2,500

2,700

2,900

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

W

IC (9

9) N

ivel

Ser

vici

o

Exp1Exp2Exp3Exp4Exp5

Gráfica 3.4. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de W.

- 41 -

En este caso no hay una disminución del tamaño de los intervalos de confianza tan clara como en el apartado anterior, por lo que parece ser que el warm-up no influye en gran medida en el funcionamiento de este tipo de sistemas. Sin embargo tomamos un warm-up de 18.000 unidades de tiempo para tener una cierta garantía de evitar los efectos transitorios.

- 42 -

3.4.3 NÚMERO DE RÉPLICAS La última tanda de experimentos se destina a hallar el número de réplicas (n) que se van a realizar de cada simulación. El tiempo efectivo de simulación y el tiempo de warm-up, van a ser, como se ha comentado anteriormente, T-W= 35.000 y W=18.000 unidades de tiempo. El valor de partida de n es de cincuentas réplicas, reduciéndose de cinco en cinco, haciendo un total de diez simulaciones para cada una de las cinco configuraciones del sistema. Los resultados obtenidos se recogen en las gráficas 3.5 y 3.6.

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

5 15 25 35 45

Nº Réplicas (n)

IC (9

9) W

IP

Exp-1Exp-2Exp-3Exp-4Exp-5

Gráfica 3.5. Intervalos de confianza para el inventario en proceso. Cálculo de n.

2,0002,5003,0003,5004,0004,5005,0005,5006,0006,5007,000

5 15 25 35 45

Nº Réplicas (n)

IC (9

9) N

ivel

Ser

vici

o

Exp-1Exp-2Exp-3Exp-4Exp-5

Gráfica 3.6. Intervalos de confianza para el nivel de servicio. Cálculo de W.

- 43 -

Se aprecia como los intervalos de confianza tienden a disminuir conforme aumenta el número de réplicas, aunque para menos de 30 réplicas se observa un empeoramiento significativo del tamaño de estos. A partir de 30 réplicas se estabiliza la disminución del tamaño de los intervalos, por lo que el valor elegido como número de réplicas para todas las simulaciones va a ser este. A modo de resumen tenemos que los tres parámetros que se van a utilizar en todas las simulaciones van a ser T-W= 35.000 unidades de tiempo, W=18.000 unidades de tiempo y n=30 réplicas. En el anexo se recogen todos los valores obtenidos en todas las simulaciones y réplicas realizadas en la obtención del tiempo efectivo de simulación, el warm-up y el número de réplicas.

- 44 -

CAPÍTULO 4:

DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS Y OPTIMIZACIÓN RSM

- 45 -

4.1 INTRODUCCIÓN El diseño de experimentos es una potente herramienta que se usa ampliamente en el mundo de la ingeniería, ya sea para mejorar o desarrollar un proceso de fabricación, ya sea para el diseño y mejora de productos. Las aplicaciones en el primer caso pueden ser por ejemplo:

Mejoras en el rendimiento del proceso

Reducción en el tiempo de desarrollo

Reducción de costos Y en el segundo caso pueden ser:

Evaluación y comparación de diseños básicos

Evaluación de materiales alternativos

Selección de los parámetros del diseño para hacer robusto el producto

Determinación de los parámetros clave del diseño que afecta al funcionamiento del mismo.

Un experimento se define como una prueba o serie de pruebas en las que se hacen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema para observar e identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la respuesta de salida (Montgomery, 1991). Un proceso o sistema puede representarse con el modelo de la figura 4.1:

- 46 -

Factores controlables

SalidaEntradas

X1 Xp

Z1 Z2 Zq

Proceso

Factores no controlables

Y

Figura 4.1 Modelo general de un proceso o sistema

donde el proceso puede ser una combinación de máquinas, personas, métodos u otros recursos que transforman cierta entrada en una salida que tiene una o más respuestas observables. Algunas variables del proceso x1, x2, ..., xp son controlables, mientras que otras z1, z2, ..., zq no son controlables. A los distintos valores que toman los factores se les denominan niveles. Supongamos un experimento de laboratorio en el que se pretende obtener la mayor concentración de un compuesto C a partir de otros dos A y B. La reacción química se realiza en un reactor en el que se puede fijar la temperatura pero no la humedad. El proceso será la reacción química mediante la cual se obtiene el producto C. Los compuestos A, B y la temperatura serán factores controlables y la humedad será un factor no controlable. La salida o respuesta será el compuesto C. De los compuestos A y B se tienen varias concentraciones, que serán los distintos niveles que tomarán cada uno de ellos, de la misma forma que los diferentes valores que tome la temperatura serán los niveles de esta. A las diferentes formas de llevar a cabo y plantear este experimento se las denominan estrategias de experimentación. Una estrategia sería la del enfoque de la mejor hipótesis, consistente en que el experimentador selecciona una combinación de los factores que intervienen en el experimento, probándolos y ver que pasa. Según sea la respuesta obtenida actúa. Esta estrategia puede dar buenos resultados si el experimentador tiene gran experiencia en la realización de ese tipo de experimentos y profundos conocimientos del sistema que está estudiando. Sin embargo este enfoque presenta dos serias desventajas. La primera es que el experimentador no obtenga los resultados deseados en la hipótesis inicial, por lo que deberá hacer otra combinación. Esto se puede repetir por mucho tiempo sin llegar a resultados satisfactorios, consumiendo recursos inútilmente. La segunda es que el experimentador obtenga un resultado satisfactorio en la hipótesis inicial, dando esa combinación por buena, suspendiendo las pruebas sin garantía de haber llegado a la mejor combinación. Otra estrategia es el enfoque secuencial de un factor a la vez. Este método consiste en seleccionar una combinación de partida, para posteriormente ir variando sucesivamente

- 47 -

un solo factor manteniendo el resto de los factores constantes. Una vez hallada la mejor respuesta para ese factor, se fija su valor y hace variar al siguiente de los factores hasta obtener otro máximo de la respuesta, repitiéndose el proceso hasta hallar el máximo valor de la respuesta correspondiente al último de los factores, lo cual no garantizaría que fuera el óptimo del sistema. Veamos la aplicación de esta estrategia al ejemplo del experimento de laboratorio comentado anteriormente. Por motivos de claridad supongamos que el experimentador decide no tener en cuenta la humedad debido a que su influencia es muy pequeña en la respuesta y que la temperatura se mantiene constante a lo largo de todo el experimento, por lo que no la tiene en cuenta. El punto inicial es una concentración de A de 6 gramos por litro y una de B de 3 gr/l, obteniéndose una concentración de C de 4 gr/l. Mantiene fijo el valor de la concentración de B obteniéndose los siguientes valores, gráfica 4.1:

3

4

5

6

7

8

5 10 15 20

Concentración de A (gr/l)

Con

cent

raci

ón d

e C

(gr/l

)

Gráfica 4.1. Resultados de la estrategia de un factor a la vez para la concentración de C, manteniendo

fija la concentración de B. Podemos observar en la gráfica como para un valor de A de 12,5 gr/l tenemos una máxima concentración de C de 7,2 gr/l, luego repetimos el proceso, variando la concentración de B y manteniendo constante la de A en el valor de 12,5 gr/l. Se obtienen los siguientes resultados, gráfica 4.2:

5

6

7

8

9

10

2 4 6 8 10 12 14 16

Concentración de B (gr/l)

Con

cent

raci

ón d

e C

(gr/l

)

Gráfica 4.2. Resultados de la estrategia de un factor a la vez para la concentración de C, manteniendo

fija la concentración de A.

- 48 -

Vemos que el máximo valor de C es de 8,1 gr/l y se ha obtenido para una concentración de B de 13,5 gr/l. Esta estrategia nos ha llevado a un valor de concentración de C de 8.1 gr/l, para unas concentraciones de los factores A y B de 12,5 gr/l y 13,5 gr/l respectivamente. Aparentemente el procedimiento esta bien organizado, conduce al óptimo y los resultados son muy fáciles de analizar, sin embargo esta estrategia tiene dos graves carencias. La primera es que no asegura que alcancemos al óptimo global, sólo un óptimo aparente. Observemos la figura 4.2:

6 9 12 15 18 20

6

9

12

15

3

4 5 8

9

6. 5

7. 2

7 5

6

6

Conc entración de A (gr/l)

Con

cen t

rac

ión

d e B

(gr /l

)

Figura 4.2. Curvas de nivel de la concentración de C, trayectorias de la estrategia de un factor a la vez y óptimo

global. En ella se representa la concentración de C mediante curvas de nivel y las dos trayectorias seguidas en las dos secuencias propuesta por la estrategia de un factor a la vez. La secuencia seguida donde la concentración de B se ha mantenido constante se representa por una línea roja, y la secuencia para la concentración de A constante e igual a 12,5 gr/l, se representa por una línea azul. Se observa claramente que no hemos alcanzado el óptimo global. Estas curvas de nivel representan puntos de la superficie de respuesta con igual valor. Mas adelante profundizaremos en el estudio de la superficie de respuesta y se verá con detalle un método que nos proporcionará el óptimo global de una manera muy aproximada. La segunda carencia de esta estrategia es que no tiene en cuenta posibles interacciones entre factores. Hay interacción entre factores cuando uno de los factores no produce la misma respuesta con niveles diferentes de otro factor. El uso de gráficas ayuda al

- 49 -

experimentador a detectar este fenómeno. Supongamos que en el departamento de I+D de un fabricante de neumáticos están desarrollando un neumático y se quiere que sea muy eficiente en situaciones de frenada. Entre los múltiples compuestos que se quieren probar en su composición se tienen dos polímeros, el E y el F. Cada uno de estos polímeros se puede usar en porcentajes de 2% y el 4%, por lo que tenemos dos niveles de cada uno. Se realiza en un principio dos pruebas para cada factor, cada una de ellas con un nivel, manteniendo la misma composición en el resto de compuestos que forman el neumático. En estas pruebas se mide la distancia de frenado para una velocidad constante V, obteniéndose los siguientes resultados, gráficas 4.3 y 4.4:

7

8

9

10

11

2% 4%

Polímero E

Dis

tanc

ia fr

enad

o (m

)

7

8

9

10

11

2% 4%

Polímero F

Dis

tanc

i fre

nado

(m)

Gráfica 4.3. y 4.4. Distancia de frenado en función de los polímetros E y F. Ante estos resultados los experimentadores piensan que usando ambos polímeros en la composición del neumático sus efectos se sumaran, reduciendo aun más la distancia de frenado, por lo que deciden realizar cuatro pruebas más, usando las cuatro combinaciones posibles entre los dos niveles de cada uno de los dos factores obteniéndose gráfica 4.5:

7

8

9

10

11

12

2% 4%

Polímero E

Dis

tanc

ia fr

enad

o (m

)

Polímero F al 2%

Polímero F al 4%

Gráfica 4.5. Interacción entre los porcentajes de polímero E y F. Se observa que las rectas se cruzan, indicando que hay interacción entre los factores, obteniéndose una distancia de frenado de 7.5 metros para la combinación del polímero E en su nivel E1 con el polímero F en su nivel F2. Por el contrario, si las rectas del

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polímero F al 2 y al 4% hubieran sido paralelas, como se puede ver en la gráfica 4.6, no hubiera habido interacción entre los dos factores, ya que la variación de la distancia de frenado por el empleo del factor F no se vería afectada por el factor E.

8

9

10

11

12

2% 4%

Polímero E

Dis

tanc

ia fr

enad

o (m

)

Polímero F al 2%

Polímero F al 4%

Gráfica 4.6. Caso de no-interacción entre los porcentajes de polímero E y F. La estrategia que tiene en cuenta la existencia de interacciones es la usada en el experimento factorial, en la que los factores se hacen variar en conjunto, en lugar de uno a la vez. Esta estrategia la veremos con más detalle en el siguiente apartado. Para obtener conclusiones válidas y objetivas en el desarrollo de un experimento, han de analizarse los datos obtenidos por medio de métodos estadísticos. Cualquier problema experimental incluye dos aspectos esenciales: el diseño del experimento y el análisis estadístico de los datos. Para ello han de cumplirse tres principios básicos como son la realización de réplicas, la aleatorización y la formación de bloques (Montgomery, 1991). La realización de réplicas consiste en repetir el experimento básico. Posee dos propiedades. En primer lugar permite obtener una estimación del error experimental, estimación que se convierte en una unidad de medición básica para determinar si las diferencias observadas en los datos son en realidad estadísticamente diferentes. En segundo lugar, si se usa la media muestral para estimar el efecto de un factor en el experimento, se tendrá una estimación más precisa. Por ejemplo, si en el experimento del fabricante de neumáticos, el experimentador solo realiza una réplica con el polímero E, la diferencia observada podría ser resultado del error experimental, sin embargo si se usa un número de réplicas n lo suficientemente grande y el error experimental es lo suficientemente pequeño, y se observa que la media de las distancias de frenado para el porcentaje del 2% es mayor que la media de las distancias para el porcentaje del 4%, puede deducirse con cierta certeza que un neumático fabricado con el 4% de polímero E produce mejores resultados que uno fabricado con un 2%.

- 51 -

Hay que distinguir entre réplicas y mediciones repetidas. Un ejemplo de mediciones repetidas es medir cuatro veces con un calibre del diámetro de un tubo que se obtiene a lo largo de un experimento de mecanizados. Las diferencias que se observan son debidas a la variabilidad del aparato de medida. La aleatorización es fundamental en el uso de los métodos estadísticos en el diseño experimental. Se entiende como tal que tanto la asignación del material como el orden en que se van a realizar las pruebas o ensayos se determinan al azar. Las observaciones han de ser variables aleatorias independientes. La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para mejorar la precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés. Un bloque es un conjunto de condiciones experimentales relativamente homogéneas. Supongamos en el ejemplo de los neumáticos que el polímero E lo proporcionan dos proveedores distintos. Debido a la variabilidad de un proveedor a otro, y a que no hay interés en este efecto, el experimentador considera este como un factor perturbador. El polímero de cada proveedor formaría un bloque, por lo que el experimentador dividiría las observaciones en dos grupos que se ensayan en cada bloque.

- 52 -

4.2 DISEÑO FACTORIAL Los diseños factoriales se usan en experimentos que incluyen varios factores cuando es necesario estudiar el efecto conjunto de los factores sobre una respuesta. En general, los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Las ventajas que aportan son que permiten la estimación de los efectos de un factor con varios niveles de los factores restantes, produciendo conclusiones que son válidas para un determinado rango de condiciones experimentales. El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para los niveles de los otros factores, (Montgomery, 1991). En el ejemplo anterior del neumático teníamos dos factores, el polímero E y el polímero F, variando ambos entre los niveles del 2% y el 4%. En la figura 4.3 se representa este experimento, indicando en los vértices del cuadrado el valor de la respuesta:

2% 4%

10

7.5 11

92%

4%

Polímero E

Polí m

ero

F

Figura 4.3. Experimento factorial de dos factores con dos niveles. E y F eran los factores de interés primario, y a su efecto se le llama efecto principal. El efecto principal de E puede calcularse como la diferencia promedio entre la respuesta con el nivel bajo de F y la respuesta con el nivel alto de F, numéricamente esto es:

( ) ( ) 25.12

105.72

911=

+−

+=E

Lo que significa que cuando el factor E pasa de su nivel bajo al alto, la distancia de frenado se incrementa en 1,25 metros. De manera similar se calcula el efecto principal F, que es:

- 53 -

( ) ( ) 25.02

9102

115.7−=

+−

+=F

Se observa que la distancia de frenado disminuye en 0.25 metros al pasar del nivel bajo de F al nivel alto. Esto significa que ambos factores interaccionan. El efecto de la interacción se puede hallar calculando el efecto de E con el nivel bajo de F, E = (9-10) = -1 y el efecto de E con el nivel alto de F, E = (11-7.5) = 3.5, siendo la magnitud del efecto de la interacción EF el promedio de estas dos cantidades: EF = 3.5-(-1) = 4.5, valor que indica que la interacción puede ser grande comparada con los efectos principales. Las observaciones de un experimento factorial se pueden describir por un modelo, siendo las formas más habituales el modelo de regresión, el modelo de las medias y el modelo de los efectos fijos, (Montgomery, 1991). Supongamos un experimento factorial general de dos factores, A y B, con a y b niveles respectivamente y n réplicas. El modelo de regresión vendría dado por: εββββ ++++= 211222110 xxxxy (4) donde y es la repuesta, β1, β2 y β12 son parámetros cuyos valores han de determinarse, x1 es una variable que representa al factor A, x2 es una variable que representa al factor B y ε es un termino del error aleatorio. Los parámetros de este modelo están relacionados con las estimaciones de los efectos, así, los parámetros β1, β2 y β12 son la mitad del valor del efecto A, B y de la interacción AB respectivamente. El parámetro β0 se estima con el promedio de todas las respuestas. Este modelo es especialmente útil cuando uno o más de los factores son cuantitativos, y queremos usar el diseño de experimentos para la optimización de un proceso. Su representación gráfica se llama superficie de respuesta, de cuya descripción y análisis no centraremos más adelante, ya que va a ser la herramienta que vamos a utilizar para optimizar el problema objeto de este proyecto. El modelo de las medias se definiría como: ijkijijky εµ += (5) donde yijk es la observación ijk-ésima, µij es la media de los niveles i-ésimo y j-ésimo de los factores A y B respectivamente, y εijk es un componente del error aleatorio que incorpora todas las demás fuentes de variabilidad del experimento, incluyendo las mediciones, variabilidad de factores no controlables, diferencias entre materiales de prueba a los que se aplica el experimento, variabilidad con el tiempo, condiciones ambientales, etc. Se considera que el error tiene media cero, de tal modo que E(yij) = µij.

i = 1, 2,..., aj = 1, 2,..., bk =1, 2,..., n

- 54 -

El modelo de los efectos fijos sería: ( ) ijkjijijkiy ετββτµ ++++= (6) donde µ es común a todos los factores y se llama media global, τi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A, βj es el efecto del nivel j-ésimo del factor B, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre A y B , y εijk es un componente del error relativo. Se supone que los efectos de los tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por lo que 0

1=∑

=

a

iiτ y 0

1=∑

=

b

jjβ , similarmente se tiene que los efectos de las

interacciones se definen de tal modo que ( ) ( ) 011

== ∑∑==

b

jij

a

iij τβτβ . Habrá abn

observaciones en total ya que tenemos n réplicas. Estos dos últimos modelos son modelos estadísticos lineales ya que la variable de respuesta yijk es una función lineal de los parámetros del modelo. El modelo de los efectos es el más intuitivo ya que los efectos de los factores y de las interacciones (τi, βj y (τβ)ij , respectivamente) representan las desviaciones de µ cuando se aplican los factores. Por esto se encuentra con mayor frecuencia en la literatura. Es necesario que los experimentos se realicen de forma totalmente aleatoria y suponer que los errores del modelo son variables aleatorias que siguen una distribución normal e independiente con media cero y varianza σ2, constante para todos los niveles de los factores. Esto implica que las observaciones siguen una distribución normal de media (µ+τi+ βj+ (τβ)ij) y varianza σ2. Los objetivos serán probar hipótesis apropiadas acerca de los efectos, tanto de los principales como de sus posibles interacciones, de los distintos niveles de cada factor y estimarlos. Por ejemplo, la posible igualdad de los efectos de los a distintos niveles del factor A se probaría con la hipótesis: 0: 210 ==== aH τττ L :1H al menos una iτ 0≠ A Ho se le denomina hipótesis nula y a H1 hipótesis alternativa. La posible igualdad de los efectos de los b distintos niveles de B con: 0: 210 ==== bH βββ L :1H al menos una jβ 0≠ Y la determinación de si los factores interactúan entre si se probaría por:

i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b k =1, 2,..., n

- 55 -

( ) 0:0 =ijH τβ

:1H al menos una ( )ijτβ 0≠ Estas hipótesis se demuestran mediante el análisis de varianza de los factores, con el que se analiza la variabilidad total, estudiando la variabilidad de cada uno de los componentes del experimento. La variabilidad global de los datos se mide con la suma de cuadrados total corregida, SST. Intuitivamente, su uso se explica por que una medida estándar de la variabilidad es la varianza muestral, y si se divide SST por los grados de libertad (abn-1) se obtiene la varianza muestral de las respuestas obtenidas en el experimento. Tengamos, (Montgomery, 1991): (7) (8) (9) (10)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −∑∑ +−−∑ −∑ −

∑∑∑∑∑∑

= = == ===

= = == = =

+++

=−++−−+−+−=−=

a

i

b

j

n

ijijk

a

i

b

jjiij

b

jj

a

ii

a

i

b

j

n

kijijkjiijji

a

i

b

j

n

kijkT

yyyyyynyyanyybn

yyyyyyyyyyyySS

1 1 1.

2

1 1........

2

1.....

2

1.....

2

1 1 1...................

2

1 1 1...

2

(11) Simbólicamente se puede escribir, (Montgomery, 1991): EABBAT SSSSSSSSSS +++= (12) donde a SSA se le llama la suma de cuadrados debida al factor A, a SSB se le llama la suma de cuadrados debida al factor B, a SSAB la suma de cuadrados debida a la interacción entre los factores A y B, y a SSE la suma de cuadrados debida al error. El número de grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados es el siguiente:

∑∑= =

=b

j

n

kijki yy

1 1..

bnyy i

i..

.. = i = 1, 2,..., a

∑∑= =

=a

i

n

kijkj yy

1 1..

any

y ijj

... = j = 1, 2,..., b

∑=

=n

kjkiij yy

1.

ny

y ijij

.. = i = 1, 2,..., a

j = 1, 2,..., b

∑∑∑= = =

=a

i

b

j

n

kijkyy

1 1 1...

abnyy ...

... =

- 56 -

Efecto Grados de libertad A a-1 B b-1

Interacción AB (a-1)(b-1) Error ab(n-1) Total abn-1

La asignación de los grados de libertad puede justificarse por que los efectos principales, A y B, tienen a y b niveles respectivamente, y por lo tanto (a-1) y (b-1) grados de libertad. Los grados de libertad de la interacción son los ab-1 grados de libertad de todos los niveles menos el número de grados de libertad de los dos factores principales A y B con lo que tenemos, ab-1-(a-1)-(b-1)= (a-1)(b-1). Para cada uno de los ab niveles tenemos n réplicas con (n-1) grados de libertad, con lo que habrá ab(n-1) grados de libertad para el error. Si sumamos los grados de libertad de los efectos principales, la interacción y el error, tendremos los grados de libertad totales, estando en consonancia con lo indicado en la ecuación simbólica de SST. Cada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio y sus valores esperados son: (13) (14) (15) (16) Si la hipótesis nula de los efectos del factor A, de los efectos del factor B y la interacción AB fuera verdadera, tendríamos que los cuadrados medios MSA, MSB, MSAB y MSE serian estimadores insesgados de la varianza σ2, sin embargo, si la hipótesis nula fuera falsa, habría diferencias entre los cuadrados medios MSA, MSB, MSAB y MSE, siendo MSA, MSB y MSAB mayores que el cuadrado medio del error MSE. Basta dividir el cuadrado medio de los factores A, B y la interacción AB por el cuadrado medio del error para probar la significación de los efectos principales y su interacción.

11)( 1

2

2

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

∑=

a

bn

aSSEMSE

a

ii

AA

τσ

( )11

1

2

2

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

∑=

b

an

bSSEMSE

b

jj

BB

βσ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )11111 1

2

2

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∑∑

= =

ba

n

baSSEMSE

a

i

b

jij

ABAB

τβσ

( ) ( )2

1σ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=nab

SSEMSE EE

- 57 -

Suponiendo que el modelo de los factores fijos es adecuado y que los términos del error, εijk, siguen una distribución normal e independiente con varianza σ2 constante, entonces los cocientes anteriormente comentados, MSA/ MSE, MSB/ MSE y MSAB/ MSE se distribuyen como una distribución F con a-1, b-1 y (a-1)(b-1) grados de libertad en el numerador, respectivamente, y con ab(n-1) grados de libertad en el denominador, siendo la región crítica la cola superior de la distribución F. Cada uno de estos cocientes va ha ser el estadístico de prueba F0 para la hipótesis nula, H0, de que no hay diferencias entre los efectos del factor correspondiente al cuadrado medio del numerador, rechazándose H0 si para cada efecto se cumple lo siguiente, (Montgomery, 1991):

Efecto A

0F > ( )1,1, −− nabaFα

Efecto B 0F > ( )1,1, −− nabbFα

Efecto de la interacción AB

0F > ( )( ) ( )1,11, −−− nabbaFα

A modo de resumen, todos los pasos del análisis de varianza se muestran en la siguiente tabla, (Montgomery, 1991): Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de

libertad Cuadrado medio F0 Condición de rechazo

Factor A ASS a-1 ( )1−=

aSSMS A

A

E

A

MSMSF =0 0F > ( )1,1, −− nabaFα

Factor B BSS b-1 ( )1−=

BSSMS B

B

E

B

MSMSF =0 0F > ( )1,1, −− nabbFα

Interacción ABSS (a-1)(b-1) ( ) ( )11 −−=

baSSMS AB

AB

E

AB

MSMSF =0 0F > ( )( ) ( )1,11, −−− nabbaFα

Error ESS ab(n-1) ( )1−=

nabSSMS E

E

Total TSS abn-1 Tabla 4.1. Tabla del análisis de varianza para el diseño factorial de dos factores, A y B, con a y b niveles,

respectivamente, n réplicas y descrito con el modelo de factores fijos. Todos los conceptos vistos hasta ahora se han aplicado a un experimento factorial de dos factores. Para el caso general con k factores no hay más que añadir los términos correspondientes, siendo el planteamiento del problema análogo a lo visto hasta ahora.

- 58 -

En la realización del análisis de varianza se ha supuesto que el modelo describe de una manera adecuada las observaciones y que los errores siguen una distribución normal e independiente con media cero y varianza σ2, constante, aunque desconocida. Si estas condiciones se cumplen, el análisis de varianza es una prueba exacta de las hipótesis de igualdad de los efectos de los factores y de su interacción. Sin embargo, es común que estos supuestos no se cumplan, por lo que para dar por bueno el análisis de varianza, hay que verificar su cumplimiento. La herramienta que se utiliza para ello es el análisis gráfico de los residuales. Los residuales del modelo factorial de dos factores son, (Montgomery, 1991): ijkijkjki yye ˆ−= (17) donde ijky es una estimación de la observación yijk correspondiente y, puesto que el

valor jkijki yy =ˆ los residuales quedan como, (Montgomery, 1991): .ijijkijk yye −= (18) En el análisis gráfico de los residuales se suelen emplear tres pruebas, como son la comprobación de normalidad, la representación de los residuales frente al tiempo y la representación de los residuales contra los valores ajustados. La comprobación de normalidad se realiza mediante una gráfica de probabilidad normal para los residuales, donde estos deben aparecer como una muestra de una distribución normal independiente con centro en cero si se cumple el supuesto de que los errores se distribuyen como una normal independiente de media cero y varianza σ2. Si la gráfica tiene la apariencia de una recta, esto indicaría que se cumple el supuesto. Es frecuente que un residual sea mucho más grande que cualquiera de los otros, llamándosele punto atípico. Las causas de la aparición de un punto atípico pueden ser un error en los cálculos, un error al copiarlo, etc. Para detectar si un punto es atípico se examinan los residuales estandarizados, (Montgomery, 1991):

E

ij

MSe

dij = (19)

Si los errores son una distribución normal independiente de media cero y varianza σ2, NID (0, σ2), los residuales estandarizados deberán ser aproximadamente normales con media cero y varianza uno, por lo que cerca del 68% de ellos deberán estar dentro de los límites ±1, cerca del 95% dentro de ±2 y prácticamente todos dentro de ±3, así que si dij es mayor de tres, estamos ante un punto atípico potencial. La representación de los residuales frente al tiempo de realización de la prueba busca detectar correlaciones entre los residuales. Si en esta representación se observa que los residuales siguen un patrón indicaría que el supuesto de independencia no se cumpliría. En la representación de los residuales contra los valores ajustados los supuestos se

- 59 -

satisfacen si los residuales no muestran ningún tipo de estructura. Ejemplos de estas representaciones se muestran en los ejemplos de las secciones 4.3 y 4.4 de este mismo capítulo.

- 60 -

4.3 DISEÑO FACTORIAL 2k Los diseños factoriales más usados son aquellos que tienen k factores con dos niveles cada uno, por lo que nos vamos a centrar en este caso. A estos experimentos se les llama diseño factorial 2k y cada réplica completa del experimento estará formada 2x2x...x2= 2k observaciones. Este tipo de diseños se usan ampliamente en los experimentos de selección de factores en las etapas iniciales del trabajo experimental, ya que nos permiten determinar cuales de los factores implicados en el proceso son realmente significativos en el desarrollo de este, pudiendo prescindir de los que no lo son. Los factores pueden ser cualitativos, como pudieran ser máquinas, operadores, procesos, o cuantitativos, como serian presiones, temperaturas, concentraciones, etc. A cada uno de los dos niveles se les denominan “alto” y “bajo” o “+” y “-” respectivamente. Supongamos un diseño factorial 23 genérico, formado por los factores A, B y C, del que se tienen n réplicas. El modelo estadístico lo formaran 3 efectos principales,

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23

interacciones de dos factores y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛33 interacciones de tres factores. En orden estándar,

estas combinaciones se escriben como (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc, notación que significa que el factor representado por la letra minúscula se encuentra en su nivel alto y los factores ausente se encuentran en su nivel bajo, así por ejemplo, la combinación ab significa que los factores A y B se encuentran en su nivel alto y el factor C en el bajo. Con estos símbolos también se representan los totales de las n réplicas para cada combinación. Esto se ve claramente en la figura 4.4:

ac

bc abc

ab

(1)

b

- bajo + alto- bajo

+ alto

- bajo

+ alto

Factor A

Fact

or C

Figura 4.4. Representación del diseño genérico 23.

- 61 -

El experimento se representa por su matriz de diseño:

Ensayo Combinación

de tratamientos

Efecto factorial

I A B AB C AC BC ABC 1 (1) + - - + - + + - 2 a + + - - - - + + 3 b + - + - - + - + 4 ab + + + + - - - - 5 c + - - + + - - + 6 ac + + - - + + - - 7 bc + - + - + - + - 8 abc + + + + + + + +

Tabla 4.2. Matriz del diseño genérico 23. El primer paso en la construcción de la matriz de diseño es rellenar las columnas de los efectos principales partiendo de un signo negativo cambiándolo por un signo positivo cada 2p elementos, siendo p = 1 para el primer efecto principal, p = 2 para el segundo y así hasta el k efecto principal. Una vez tengamos rellenas las k columnas de los efectos principales, la construcción de las columnas de los efectos de las interacciones es inmediata, bastando multiplicar las columnas de los efectos principales implicados en la interacción. Así, la columna AC es el resultado de multiplicar las columnas de los efectos principales A y C. A partir de la matriz del diseño el cálculo de los efectos de los factores y sus interacciones es inmediato. El efecto del factor A viene dado por, (Montgomery, 1991): ( )[ ]abcbcaccabba

nA +−+−+−+−= 1

41 (20)

Siendo n el número de réplicas y las letras en minúscula las cantidades totales de las n réplicas para la combinación dada. La cantidad entre corchetes se obtiene multiplicando la columna del factor A con la de las combinaciones de los tratamientos y representa al contraste entre las cuatro combinaciones de los tratamientos de la cara derecha del cubo de la figura 4.4. De manera similar se calculan los efectos de los factores B y C, (Montgomery, 1991): ( )[ ]abcbcaccabba

nB ++−−++−−= 1

41 (21)

( )[ ]acbcaccabba

nC ++++−−−−= 1

41 (22)

- 62 -

Las interacciones se calculan de forma análoga, teniendo entre corchetes los contrastes de las combinaciones de los tratamientos, (Montgomery, 1991). ( )[ ]abcbcaccabba

nAB +−−++−−= 1

41 (23)

( )[ ]abcbcaccabba

nAC +−+−−+−= 1

41 (24)

( )[ ]abcbcaccabba

nBC ++−−−−+= 1

41 (25)

( )[ ]abcbcaccabba

nABC +−−+−++−= 1

41 (26)

Las sumas de cuadrados necesarias para el análisis de varianza se van a calcular también fácilmente, (Montgomery, 1991):

( )n

ContrasteSS8

2

= (27)

Todo lo presentado hasta ahora se puede ampliar sin problemas al diseño general 2k. Bastará con construir la matriz de diseño para los k factores y a partir de ella calcular los efectos principales, efectos de las interacciones y las sumas de cuadrados según las formulas, (Montgomery, 1991): ( )KABk

Contrasten

KAB LL22

= (28)

( )KABkKBA Contraste

nSS LL

2

21

= (29)

El análisis estadístico de un diseño 2k consta de los pasos siguientes, (Montgomery, 1991):

1. Estimar los efectos de los factores

2. Formar el modelo inicial

3. Realizar las pruebas estadísticas

4. Refinar el modelo

5. Analizar los residuales

6. Interpretar los resultados

- 63 -

En el primer paso estimamos los efectos de los factores y sus interacciones, como ya se ha comentado y a continuación se examinan sus signos y magnitudes, lo cual nos dará una idea preliminar de cómo se desarrolla el experimento, indicándonos cuales pueden ser importantes y en que dirección deberán ajustarse. Normalmente, para formar el modelo inicial se elige el modelo completo con todos los factores e interacciones. En el paso tercero se va a realizar el análisis de varianza para probar formalmente la significación de los efectos principales y las interacciones. El análisis de varianza para un diseño factorial 2k con n réplicas se muestra en la siguiente tabla:

- 64 -

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad Cuadrado medio F0

Condición de rechazo

k efectos principales

A SSA 1 MSA = SSA E

A

MSMSF =0

0F >

( )12,1, −nkFα

B SSB 1 MSB=SSB E

B

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

M M M M M M

K SSK 1 MSK=SSK E

K

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2k

interacciones de dos factores

AB SSAB 1 MSAB=SSAB E

AB

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

AC SSAC 1 MSAC=SSAC E

AC

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

M M M M M M

JK SSJK 1 MSJK = SSJK E

JK

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3k

interacciones de tres factores

ABC SSABC 1 MSABC = SSABC E

ABC

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

ABD SSABD 1 MSABD = SSABD E

ABD

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

M M M M M M

IJK SSIJK 1 MSIJK = SSIJK E

IJK

MSMS

F =0

0F >( )12,1, −nkF

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kk

interacciones de k factores

ABC…K SSABC…K 1 MSABC…K=SSABC…K E

KABC

MSMS

F ...0 =

0F >( )12,1, −nkF

α

Error SSE 2k(n-1) 12 −

=k

EE n

SSMS Total SST n2k-1

Tabla 4.3. Tabla del análisis de varianza para el diseño factorial 2k con n réplicas.

- 65 -

En el cuarto paso se refina el modelo eliminando los efectos no significativos del modelo completo. La adecuación del modelo y la posible violación de los supuestos se analizan en el quinto paso mediante el análisis de los residuales y por último, en el sexto paso, se interpretan los resultados usando las gráficas de los efectos principales, las gráficas de las interacciones o la superficie de respuesta y las gráficas de contornos. Para ilustrar este proceso vamos a utilizar un sencillo ejemplo. En un taller de modelismo necesitan realizar prototipos de piezas, para ello se tiene una resina de poliuretano que se vierte en moldes de silicona. Esta resina necesita para su fraguado mezclarse con un endurecedor. Desgraciadamente, no tienen documentación fiable acerca del proceso de fraguado. Saben que este depende de la proporción de endurecedor y de la temperatura a la que se produzca el proceso. Por otro lado están interesados en colorar la resina con un determinado tinte y quisieran saber si la presencia de este hace variar el tiempo de fraguado. Deciden diseñar un experimento factorial 23, en el que el factor A va a ser la temperatura cuyo nivel bajo a ser de 25 ºC y el alto de 45 ºC. El factor B va a ser la proporción de endurecedor, cuyo nivel bajo va a ser del 20% y el alto de 30%, y el factor C va a ser el tinte, cuyo valor bajo va ser que no esta presente en el proceso y el valor alto que si va a estar presente, en un proporción fija del 10%. Una característica de este experimento es el hecho de que los factores A y B son factores cuantitativos y el factor C es cualitativo. En la tabla 4.4 y en la figura 4.5 podemos ver gráficamente el experimento diseñado en este taller:

Niveles de los factores Nivel Bajo (-1) Nivel Alto (1)

Factor A (Cº) 25 45 Factor B (%) 20 30

Factor C No Sí Tabla 4.4. Niveles de los factores implicados en el ejemplo de diseño factorial 23.

ac

bc abc

ab

(1)

b

25 ºC (-) 45 ºC (+)20 %(-)

30 %(+)

NO (-)

Factor A

Fact

or C

Figura 4.5. Representación del ejemplo de diseño 23. La matriz del diseño:

- 66 -

I A B AB C AC BC ABC (1) + - - + - + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - +

ab + + + + - - - - c + - - + + - - +

ac + + - - + + - - bc + - + - + - + -

abc + + + + + + + + Tabla 4.5. Matriz del diseño del ejemplo de diseño factorial 23. Se deciden realizar dos réplicas, lo que hace un total de 16 observaciones que se realizan de forma totalmente aleatoria. La variable de respuesta va a ser el tiempo de fraguado de la resina bajo las distintas combinaciones de los factores. Este tiempo va a venir dado en minutos. En la tabla 4.6 se muestran los resultados obtenidos en cada una de las 16 observaciones. En esta tabla se muestran también las variables independientes naturales y codificadas en –1 y 1, a las que corresponde cada respuesta. El proceso de codificación de las variables cuantitativas es inmediato con el empleo de las formulas:

10

3511

−=

ξχ y

5252

2−

=ξ

χ

Variables naturales

Variables codificadas Respuestas

ξ1 ξ2 ξ3 x1 x2 x3 Réplica 1 Réplica 2 25 20 no -1 -1 -1 1590 1420 45 20 no 1 -1 -1 1217 1207 25 30 no -1 1 -1 1090 790 45 30 no 1 1 -1 491 470 25 20 si -1 -1 1 1704 1500 45 20 si 1 -1 1 1083 1193 25 30 si -1 1 1 1004 1105 45 30 si 1 1 1 513 641

Tabla 4.6. Respuestas obtenidas en el ejemplo de diseño factorial 23. Una vez el experimento esta diseñado se pasa a realizar los cálculos estadísticos. En primer lugar de calculan los efectos de los factores y las interacciones, y a continuación las suma de cuadrados.

- 67 -

EFECTOS SS Contribución porcentual A -423,50 717409,00 31,07 B -601,25 1446006,25 62,63 C 58,50 13689,00 0,59

AB -45,00 8100,00 0,35 AC -47,25 8930,25 0,39 BC 47,00 8836,00 0,38

ABC 38,25 5852,25 0,25 Error 99871,00 4,33 Total 2308693,75 100,00

Tabla 4.7.Contribución porcentual de cada suma de cuadrados en el ejemplo de diseño factorial 23. Observando las sumas de los cuadros se puede observar en un primer momento que los efectos principales A y B dominan el proceso. También llama la atención su signo negativo, que significa que aumentando tanto la temperatura como la proporción de endurecedor, disminuirá el tiempo de fraguado. En la última columna de la tabla 4.7. se expone la contribución porcentual de cada uno de los términos a la suma de cuadrados total. Como se puede observar sólo los factores A y B representan el 93.70 % de la variabilidad total, mientras que el factor C y las interacciones de los factores representan apenas el 2 %. También parece lógico pensar que la temperatura va a influir más en la disminución del tiempo de fraguado ya que su contribución es prácticamente el doble que la de la proporción de endurecedor. En el análisis de varianza que se muestra en la tabla 4.8. se puede confirmar esto. Para que un efecto o sus interacciones sean significativas se debía de cumplir la condición

0F > 8,1,αF . Se eligió un nivel de significación α = 0.05, que utilizando la función del programa Excel DISTR.F.INV , da un valor de 8,1,05.0F = 5.32.

EFECTOS SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -423,50 717409,00 1 717409,00 57,47 5,32 B -601,25 1446006,25 1 1446006,25 115,83 5,32 C 58,50 13689,00 1 13689,00 1,10 5,32

AB -45,00 8100,00 1 8100,00 0,65 5,32 AC -47,25 8930,25 1 8930,25 0,72 5,32 BC 47,00 8836,00 1 8836,00 0,71 5,32

ABC 38,25 5852,25 1 5852,25 0,47 5,32 Error 99871,00 8 12483,875 Total 2308693,75 15

Tabla 4.8. Análisis de varianza de los datos del ejemplo de diseño factorial 23.

- 68 -

Se observa que el proceso de fraguado va a depender de la temperatura y de la proporción de endurecedor. La presencia de tinte no es un factor significativo, por lo que se podrá colorear la resina con él, sin que esto afecte al tiempo de fraguado. Tampoco hay interacciones significativas entre estos los factores, por lo que el aumento de cualquiera de los factores A y B disminuirán el tiempo de fraguado de un modo independiente, como se aprecia si se grafica la respuesta media en cada nivel:

800,00

900,00

1000,00

1100,00

1200,00

1300,00

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Factor A

Res

pues

ta M

edia

Gráfica 4.7. Factor A frente a la respuesta media en el ejemplo de diseño factorial 23.

750,00

850,00

950,00

1050,00

1150,00

1250,00

1350,00

1450,00

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Factor B

Res

pues

ta M

edia

Gráfica 4.8. Factor A frente a la respuesta media en el ejemplo de diseño factorial 23.

- 69 -

A tenor de estos resultados, en el taller realizaran el fraguado a una temperatura de 45 ºC, mezclarán el endurecedor en una proporción del 30 % y usarán el tinte según necesiten que la pieza resultante esté coloreada o no. El modelo de regresión que va describir al experimento va ser: Ŷ = 22110

ˆˆˆ xx βββ ++ =1663.63-211.75 x1-300.62 x2 Donde el coeficiente de regresión 0β se estima con el promedio de todas las respuestas,

y los coeficientes 1β , 2β con la mitad del valor de los efectos A y B respectivamente. Los regresores x1 y x2 son las variables codificadas de los distintos niveles de los factores A y B respectivamente. El siguiente paso pretende verificar la adecuación del modelo para lo que se va a emplear el análisis gráfico de los residuales para lo que se va a emplear tres gráficas. La primera de ellas va a representar la probabilidad normal de los residuales, en la segunda los residuales frente a las respuestas predichas por el modelo anterior y en la tercera los residuales frente al orden en el que se han realizado las observaciones. Para la realización de estas tres gráficas hay que calcular previamente los valores de los residuales. A continuación se muestras estos valores y las tres gráficas:

Respuestas Predicción Residuales1590,00 1576,00 14,00 1420,00 1576,00 -156,00 1217,00 1152,50 64,50 1207,00 1152,50 54,50 1090,00 974,75 115,25 790,00 974,75 -184,75 491,00 551,25 -60,25 470,00 551,25 -81,25 1704,00 1576,00 128,00 1500,00 1576,00 -76,00 1083,00 1152,50 -69,50 1193,00 1152,50 40,50 1004,00 974,75 29,25 1105,00 974,75 130,25 513,00 551,25 -38,25 641,00 551,25 89,75

Tabla 4.9. Residuales del ejemplo de diseño factorial 23.

- 70 -

En la gráfica 4.9 se representa la probabilidad normal de los residuales. Los puntos graficados tienen la apariencia de una recta, salvo el punto que se encuentra más hacia la derecha. En general no se aprecia una desviación marcada de la distribución normal, por lo que la damos por correcta.

1

2030

50

70

95

99

10

90

-184.75 -106 -27.25 51.5 130.25

Residuales

% d

e pr

obab

ilida

d no

rmal

Gráfica 4.9. Gráfica de probabilidad normal residuales en el ejemplo de diseño 23. En la gráfica 4.10. se han representado los residuales frente a los valores del tiempo de fraguado estimados por el modelo de regresión. En la que no se observa ningún patrón que haga sospechar la inadecuación del modelo:

- 71 -

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00

Tiempo Fraguado predicho

Res

idua

les

Gráfica 4.10. Residuales frente a Ŷ en el ejemplo de diseño 23. En la grafica de los residuales frente al orden de realización de la observación, tampoco se aprecia ningún patrón que haga pensar que el modelo es inadecuado, como se pude observar en la gráfica 4.11:

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0 5 10 15 20

Número de observación

Res

idua

les

Gráfica 4.11. Residuales frente al orden de observación en el ejemplo de diseño 23. Si se representa la respuesta Ŷ dada por el modelo de regresión ajustado que se ha hallado, frente a los regresores x1 y x2, obtendremos una superficie, denominada

- 72 -

superficie de respuesta. En el siguiente capítulo se estudia con detalle el significado de esta y la metodología de la máxima pendiente que nos será muy útil cuando la apliquemos a este ejemplo para hallar la temperatura y la proporción que minimizan el tiempo de fraguado.

- 73 -

4.4 SUPERFICIE DE RESPUESTA. MÉTODO DE LA MÁXIMA PENDIENTE La metodología de la superficie de respuesta, o metodología RSM (Response Surface Methodology, Cornell, 1990), es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas útiles en el modelado y en el análisis de problemas en los que una respuesta de interés recibe la influencia de diversas variables y donde el objetivo es optimizar esta respuesta, empleando para ello un número reducido de experimentos. En la mayoría de los problemas RSM la relación entre la respuesta y las variables independientes no se conoce. La respuesta y de un experimento depende de los niveles de los factores y a la función y = f(x1, x2,...,xk) + ε que relaciona los niveles x1, x2,..., xk de k factores, ξ1, ξ 2,.., ξ k, se la llama función de respuesta, donde ε representa el ruido o error observado. Si la respuesta esperada se denota por E(y) = f(x1, x2,...,xk)=η, y se representa f(x1, x2,...,xk)=η, obtenemos una superficie llamada superficie de respuesta, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990). En general la superficie de respuesta se representa como en la figura 4.6, (ver Montgomery, 1991 ó Cornell, 1990, por ejemplo), donde η se representa contra los niveles x1, x2,..., xk (en este caso sólo ante x1 y x2 por claridad), aunque esta no es la única forma de representarla. En numerosas ocasiones se representan los contornos de la superficie, trazándose las líneas de respuesta constante en el plano x1 y x2, figura 4.7, llamada gráfica de contornos, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990).

1 2 3 4 5C1

C3

C5

0

5

10

15

20

25

Respuesta

Factor A

Factor B

1 2 3 4 5C1

C2

C3

C4

C5

Factor A

Factor B

Figura 4.6. Superficie de repuesta. Figura 4.7. Gráfica de contorno. En casi todos los problemas de optimización no se conoce la relación entre la respuesta y las variables independientes que la determinan, por lo tanto tampoco se conoce la forma de la superficie de respuesta. El objetivo de la metodología RSM es determinar una función que se ajuste a la superficie de respuesta real de la manera más exacta posible, con el fin de usarla para estimar el óptimo buscado o determinar una región del espacio de los factores en la que se satisfagan determinadas condiciones de operación.

- 74 -

La función ajustada que se suele emplear es una ecuación polinomial que puede ser de primer o segundo grado. Si la respuesta está bien modelada por una función lineal de las variables independientes, la función aproximada será un polinomio de primer orden, llamado modelo de superficie de respuesta de primer orden, (Montgomery, 1991) (Cornell, 1990): εββββ +++++= kk xxxy L22110 (30) A los parámetros desconocidos β0, β1,…, βk se les denomina coeficientes de regresión y a las variables independientes x1, x2,…xk, regresores. El termino ε representa el ruido o error observado. Si en la superficie de respuesta real hay curvatura, el modelo lineal no se puede ajustar a ella con la suficiente exactitud, por lo que debe usarse en este caso un polinomio de orden superior, llamado modelo de superficie de respuesta de segundo orden, (Montgomery, 1991) (Cornell, 1990):

∑ ∑ ∑∑= = < <

++++=k

i

k

i ji jijijiiiiii xxxxy

1 1

20 εββββ (31)

Los βi son los coeficientes de regresión para los términos de primer orden, los βii son los coeficientes para los términos cuadráticos puros, los βij son los coeficientes para los términos cruzados y ε representa el ruido o error observado. Los parámetros de estos modelos se estiman mediante el método de mínimos cuadrado. En casi todos los problemas RSM se usan uno o ambos polinomios. La RSM es un proceso secuencial que comienza aproximando la función de respuesta con el modelo de primer orden, modelo que representa a un hiperplano de k dimensiones. Cuando estamos en un punto lo suficientemente alejado del óptimo, el sistema presenta una curvatura moderada y el modelo de primer orden se ajustará de manera apropiada. Conforme vayamos acercándonos a la vecindad del óptimo, la superficie se irá curvando más y el modelo de primer orden ya no se ajustará a su curvatura, por lo que habrá que aproximar la función de respuesta por un modelo de segundo orden que la tenga en cuenta mediante los términos cuadráticos, x2

i, y los términos de los productos cruzados, xixj. Los modelos ajustados de primer orden y segundo orden se obtienen sustituyendo los coeficientes de regresión del modelo de superficie de respuesta de primer y segundo orden, respectivamente, por sus estimaciones, obteniéndose la respuesta aproximada, ŷ, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):

∑=

+=k

iii xy

10

ˆˆˆ ββ (32)

- 75 -

∑ ∑ ∑∑= = < <

+++=k

i

k

i ji jijijiiiiii xxxxy

1 1

20

ˆˆˆˆˆ ββββ (33)

Para medir la adecuación del modelo que se pretender ajustar, ya sea de primer orden como de segundo, se emplean las pruebas de significación de los coeficientes, el análisis gráfico de los residuales y la prueba de falta de ajuste. Con la prueba de significación se pretende comprobar que todos los términos del modelo propuesto son significativos. Con el análisis de los residuales que las respuestas aproximadas ofrecidas por el modelo son lo suficientemente próximas a las reales. Con la prueba de la falta de ajuste que la superficie de respuesta proporcionada por el modelo ajustado recoge con suficiente exactitud la curvatura de la real. La utilidad de ambos modelos ajustados se mide con ciertas pruebas de hipótesis que requieren que el error ε siga una distribución normal e independiente con media cero y varianza σ2, resultando por tanto, que las respuestas ŷ tengan una distribución normal e independiente con media β0+Σk

i=1 βixi y varianza σ2. La prueba de significación de los coeficientes del modelo ajustado requiere al menos n≥k+1 valores de la respuesta. La prueba de hipótesis en este caso es (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):

0ˆˆ:ˆ: 210 === kH βββ L

:1H al menos una jβ 0≠ donde el rechazo de H0 implica que al menos uno de los regresores x1, x2,..., xk contribuye de modo significativo al modelo. El procedimiento de prueba es un análisis de varianza de las distintas fuentes de variación que contribuyen a la variación total de los datos. La variación total recibe el nombre de suma de cuadrados total SST que se divide en la suma de cuadrados debida al modelo o a la regresión, SSR, más la suma de cuadrados residual o debida al error, SSE, (Montgomery, 1991) ( Cornell, 1990):

( )2

1∑

=

−=k

iiT yySS (34)

( )2

ˆ∑=

−=k

iiiR yySS (35)

( )2

1ˆ∑

=

−=k

iiiE yySS (36)

La tabla del análisis de varianza es:

- 76 -

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad Cuadrado medio F0

Condición de rechazo

Regresión RSS k k

SSMS RR =

E

R

MSMSF =0

0F > 1,, −−knkFα

Residual ESS n-k-1 ( )1−−=

knSSMS E

E

Total TSS n-1 Tabla 4.10. Tabla del análisis de varianza de la significación de los coeficientes estimados. Además de esta prueba se puede hacer un análisis del ajuste del modelo con el coeficiente de determinación múltiple R2, que es la proporción total de la variación de las respuestas yi, con respecto a la media que se puede explicar con la ecuación de regresión ajustada. R2 se calcula como, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):

T

R

SSSS

R =2 (37)

La siguiente prueba a la que siempre deberá someterse el modelo que se pretende ajustar es la del análisis gráfico de los residuales. Este análisis se hace análogamente a como se ha comentado en las secciones 4.2 y 4.3 de este mismo capítulo. La prueba de falta de ajuste (Montgomery, 1991, Cornell, 1990), será la que cierre la batería de pruebas que siempre habrá que hacer para estar seguros de que el modelo ajustado es adecuado. Para la realización de esta prueba se requiere que se cumpla:

n > k+1, es decir, el número de puntos del experimento debe de exceder al número de términos en el modelo ajustado.

Al menos 2 réplicas deben obtenerse en uno o más puntos del experimento para

estimar la varianza del error. Si se cumplen estas condiciones, la suma de cuadrados residual, SSE, se puede descomponer en la suma de cuadrados debida al error puro, SSPE, y en la suma de cuadrados debida a la falta de ajuste, SSLOF, es decir, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990): SSE = SSPE + SSLOF (38) Supongamos que tenemos ni observaciones de la respuesta en el nivel i-ésimo de los regresores xi, i =1, 2,..., m. Sea yij la observación j-ésima de la respuesta en xi, i =1, 2,...,

- 77 -

n y j =1, 2,..., ni con n = Σ mi=1 ni observaciones en total. Entonces SSPE se obtiene

como, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):

( )2

1 1∑ ∑

= =

−=m

i

ni

jiijPE yySS (39)

Si se satisface el supuesto de la varianza constante, SSPE es una medida independiente del modelo del error puro ya que para calcular SSPE sólo se usa la variabilidad de las respuestas, y, en cada nivel xi. Hay ni-1 grados de libertad del error puro en cada nivel xi, así que el número total de grados de libertad asociados con SSPE es, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990)

( ) mnnm

ii −=−∑

=11 (40)

Donde m es el número de regresores. La suma de cuadrados debida a la falta de ajuste se obtiene como, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990):

( )2

1ˆ∑

=

−=m

iiiLOF yiynSS (41)

El significado de SSLOF es que si los valores ajustados ŷi están cerca de las respuestas promedio iy correspondientes, entonces hay un fuerte indicio de que el modelo aproximado de primer orden es lineal. Si las ŷi se desvían mucho de las iy entonces es probable que el modelo ajustado no sea lineal. Hay m–p grados de libertad asociados con SSLOF por que hay m niveles de x, y se pierden p grados de libertad porque deben estimarse p parámetros del modelo. SSLOF es más cómodo calcularla mediante la diferencia, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990): SSLOF = SSE - SSPE (42) Para la prueba de falta de ajuste el estadístico, (Montgomery, 1991, Cornell, 1990) es:

( )

( )mnSS

pmSS

FPE

LOF

−

−=0 (43)

Rechazándose la hipótesis de suficiencia de ajuste con un nivel α de significación cuando el valor calculado del estadístico es mayor que Fm-p,n-m,α.. Cuando la F calculada no es mayor, el cuadrado medio residual es utilizado para estimar la varianza σ2 y también se usa para probar la significancia del modelo. Cuando esta hipótesis se rechaza, se debe elevar el grado del modelo aproximado aumentando términos de

- 78 -

producto cruzado y/o términos de mayor grado en x1, x2,..., xk. Si se requieren puntos adicionales para estimar coeficientes, estos se añaden. Se reúnen los datos y se vuelve a hacer el análisis. Como ya se ha comentado anteriormente, la metodología RSM es un proceso secuencial que suele empezar por el ajuste de un modelo de primer orden. Si este modelo propuesto pasa las pruebas anteriormente expuestas, se podrá considerar adecuado y se podrá usar el método de la máxima pendiente con él. El método de la máxima pendiente es un proceso por el que nos movemos secuencialmente a lo largo de la superficie de respuesta en la dirección de la máxima pendiente en el sentido del máximo ascenso, si se quiere ir en busca del máximo, o en el sentido del máximo descenso si se busca el mínimo. Este método se emplea tanto en problemas de maximización como en problemas de minimización, en cuyo caso se denomina método del descenso más pronunciado. La dirección de máximo ascenso, en la que ŷ aumenta más rápido, es paralela a la normal de la superficie de respuesta y se suele tomar la trayectoria que pasa por el centro de la región de interés, por lo tanto los pasos a lo largo de ella son proporcionales a los coeficientes de regresión, iβ . El tamaño de los pasos los elige el experimentador y las coordenadas de los puntos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado se determinan por el siguiente algoritmo, (Montgomery, 1991):

1. Se elige el tamaño del paso en una de las variables del proceso, jx∆ , eligiéndose normalmente la variable con mayor coeficiente de regresión en valor absoluto,

jβ .

2. El tamaño del incremento de las otras variables se calcula por:

j

j

ii

x

x

∆

=∆β

βˆ

ˆ i = 1, 2,…, k; i ≠ j (44)

3. Se convierte ix∆ de variables codificadas a variables naturales.

Se calculan puntos sobre esta trayectoria hasta que se deja de observar un incremento en la respuesta. A continuación se ajusta un nuevo modelo, determinándose una nueva trayectoria de ascenso y se repite el proceso, hasta que el nuevo modelo no cumpla con la hipótesis de ajuste, proponiéndose un nuevo modelo de orden superior que tenga en cuenta la curvatura de la superficie de repuesta. Este nuevo modelo requerido va a ser el modelo de superficie de respuesta de segundo orden:

- 79 -

εββββ ++++= ∑ ∑ ∑∑= = < <

k

i

k

i ji jijiijiiiii xxxxy

1 1

20 (45)

Si en el sustituimos los coeficientes por sus estimaciones, obtenemos el modelo ajustado:

∑ ∑ ∑∑= = < <

+++=k

i

k

i ji jijiijiiiii xxxxy

1 1

20

ˆˆˆˆˆ ββββ (46)

La adecuación de este modelo también se mide con las pruebas de hipótesis de la significación de los coeficientes estimados, el análisis de los residuales y la prueba de falta de ajuste, análogamente a como se hacia en el caso del modelo de primer orden.

Si nuestro objetivo es maximizar la respuesta, estamos interesados en hallar un punto x1s, x2s,..., xks, donde se va a cumplir que sus derivadas parciales ∂ŷ/∂x1=∂ŷ/∂x2=…=∂ŷ/∂xk=0, (Montgomery, 1991). Sin embargo, esta condición es necesaria pero no suficiente, ya que esta condición la cumplen también los puntos de mínima respuesta y los puntos de silla. A todos estos puntos se les conoce como puntos estacionarios. Por lo tanto lo primero que hay que hacer es localizar al punto estacionario y en segundo lugar caracterizarlo, es decir, averiguar de que tipo se trata, si un máximo, si un mínimo o un punto de silla. En las figuras 4.8, 4.9 y 4.10 se ilustran los tipos de puntos estacionarios:

106

2-2

-6

X1

-10-6

-22

6

X2

-200

-200

-160

-160

-120

-120

-80

-80

-40

-40

0

0

Y

Y

Figura 4.8. Superficie de respuesta con un máximo

- 80 -

106

2-2

-6

X1

-10-6

-22

6

X2

0

0

40

40

80

80

120

120

160

160

200

200

y

y

Figura 4.9. Superficie de respuesta con un mínimo.

106

2-2

-6

X1

-10-6

-22

6

X2

-100

-100

-50

-50

0

0

50

50

100

100

150

150

Y

Y

Figura 4.10. Superficie de respuesta con un punto de silla.

La localización de un punto estacionario se obtiene expresando el modelo de segundo orden en forma matricial, (Montgomery, 1991):

- 81 -

Bxxbxy ''ˆˆ 0 ++= β (47) donde:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kx

xx

xM2

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k

b

β

ββ

ˆ

ˆˆ

2

1

M

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kk

k

k

simetrica

B

β

ββ

βββ

ˆ

2ˆˆ

2ˆ

2ˆˆ

222

11211

MO

L

L

siendo b un vector (k x 1) con los coeficientes de regresión de primer orden y B una matriz simétrica (k x k) cuya diagonal principal esta formada por los coeficientes de los términos cuadráticos puros, iiβ , y los elementos de fuera de la diagonal corresponden a

la mitad de los coeficientes cuadráticos mixtos, jiβ i ≠ j. La derivada de ŷ con respecto a los elementos del vector x igualada a cero es:

02ˆ

=+=∂∂ Bxbxy

(48)

Despejando, el punto estacionario será:

bBxs1

21 −−= (49)

y sustituyendo en el modelo de segundo orden este valor, obtendremos la respuesta aproximada en él:

bxy ss '21ˆˆ 0 += β (50)

Hallado el punto estacionario tenemos que averiguar de qué tipo es, para lo que podemos usar la grafica de contornos, siempre que haya dos o tres variables independientes, o el análisis canónico. Este último consiste en expresar el modelo de ajuste en la forma canónica del modelo aproximado, (Montgomery, 1991): kks wwwyy 2

22

212

1ˆˆ λλλ ++++= L (51) usando un nuevo conjunto de variables independientes transformadas, w1, w2,…wk cuyos ejes representan los ejes principales de la superficie de respuesta, con el origen en el punto estacionario xs. Las λi son los autovalores de la matriz B y son constantes. El

- 82 -

signo y la magnitud de los autovalores λi caracterizan al punto estacionario y la superficie de respuesta de la siguiente manera:

Si todos los λi son positivos, el punto estacionario, xs, es un mínimo. Si todos los λi son negativos, el punto estacionario, xs, es un máximo. Si los λi tienen signos diferentes, el punto estacionario, xs, es un punto de silla.

Además, la superficie de respuesta tendrá una mayor inclinación en la dirección wi para el autovalor λi con mayor valor absoluto. El diseño del experimento va a ser esencial para que la aplicación de la metodología RSM sea posible. Anteriormente se ha comentado la necesidad de la estimación del error experimental y la de añadir puntos al experimento si se esta ajustando un modelo de primer orden y se hace necesario el ajuste de otro de segundo orden si la curvatura de la superficie de respuesta real así lo requiere. El diseño del experimento va a depender de si el modelo a ajustar es de primer o segundo orden. Si el modelo que se quiere ajustar es de primer orden:

∑=

++=k

iii xy

10 εββ (52)

el diseño a emplear es uno de primer orden ortogonal, ya que son los únicos que minimizan la varianza de los coeficientes de regresión, iβ . Si todos los elementos que están fuera de la diagonal de la matriz (X´X) son cero, se dice que el diseño es ortogonal. Si expresamos el modelo anterior en forma matricial: εβ += Xy (53) La matriz X se define como la matriz de los niveles de las variables independientes del modelo. Esta matriz y el resto de las que forman el modelo se muestran a continuación:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

yM2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

X

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

1

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kβ

ββ

βM

1

0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nε

εε

εM2

1

Los diseños factoriales 2k son diseños de primer orden ortogonales, sin embargo el diseño factoriales 2k no permite la estimación del error experimental por lo que se hace necesario añadir réplicas que normalmente van a ser añadidas en el punto central del diseño. Se recomienda que el número de réplicas en el centro sea de tres a cinco. Ni la ortogonalidad del diseño ni los coeficientes iβ no se van a ver afectados por esta

- 83 -

medida, aunque si el coeficiente oβ , ya que este se estima con el promedio de todas las observaciones del experimento. Hay que tener en cuenta al usar estos diseños que los niveles bajos y altos de los factores deben de estar codificados en los niveles –1 y 1 respectivamente. Gráficamente la adición de puntos centrales a un diseño 22 se puede observar en la figura 4.11:

(-1,-1) (1,-1)

(-1,1)

(0,0)

Factor A

Fact

or B

(1,1)

Figura 4.11. Diseño 22 con puntos centrales.

Para el ajuste de modelos de segundo orden el diseño más ampliamente usado es el diseño central compuesto. Este diseño consta de un factorial 2k con nf puntos, 2k puntos axiales y nc puntos centrales. En la figura 4.12 se muestra un diseño central compuesto con tres factores:

Factor A

Fact

or C

Figura 4.12. Diseño central compuesto con tres factores.

- 84 -

A la hora de plantear un diseño de este tipo hay que especificar el número de puntos centrales y la distancia α al centro. El número de puntos centrales suele estar comprendido entre tres y cinco. El valor α va a depender del número de puntos del factorial 2k, nf, y debe de ser elegido de manera que el diseño resulte rotable (Box y Hunter, 1957). El que un diseño sea rotable significa que la varianza de la respuesta predicha en algún punto x, [ ])(ˆ xyV , sea la misma en todos los puntos x que estén a la misma distancia del punto central del diseño, es decir, que la varianza de la respuesta predicha sea constante en esferas concéntricas con centro en el punto central del diseño. Esta propiedad es importante que la tenga un diseño destinado a la optimización, ya que a priori se desconoce la forma de la superficie de respuesta y la situación del punto óptimo, siendo interesante disponer de un diseño que proporcione la misma precisión en todas direcciones. Para un diseño central compuesto el valor típico del parámetro α es: α = (nf)1/4 (54) A veces, debido a la naturaleza de los factores, estos no pueden tomar determinados valores, y no es posible ajustar los puntos axiales determinados por el anterior valor de α. En estos casos una posible solución es el uso de un diseño central compuesto con centros en las caras. Estos diseños son una variante de los diseños centrales compuestos en los que el parámetro α toma el valor 1. En la figura 4.13 se muestra la forma de la región experimental para un diseño de este tipo con tres factores:

Factor A

Fact

or C

Figura 4.13. Diseño central compuesto con centros en las caras para tres factores. Lo visto en este apartado lo podemos aplicar al ejemplo del taller de modelismo visto en el apartado 4.3. Los encargados del taller diseñaron un experimento factorial 23 para intentar averiguar en qué medida se veía afectado el tiempo de fraguado de una resina de poliuretano con la temperatura, la proporción de endurecedor y la presencia o no de un tinte. Llegaron a la conclusión de que el tiempo de fraguado dependía de la temperatura y en menor medida de la proporción de endurecedor. La presencia de tinte no le afectaba y no había interacciones entre los tres factores estudiados. Tras el desarrollo del experimento decidieron realizar el proceso de mezcla y fraguado de la resina a una temperatura de 45 ºC y a una proporción de endurecedor del 30%. Posteriormente, y tras los resultados del experimento anterior, se interesaron en hallar

- 85 -

las condiciones que minimizaban el tiempo de fraguado, por lo que decidieron aplicar el método de la máxima pendiente, aunque, en este caso, sería más correcto decir el del descenso más pronunciado ya que se trata de un problema de minimización. Al igual que en el experimento del ejemplo de la sección 4.3 la temperatura iba a ser el factor A y la proporción de endurecedor el factor B:

Niveles de los factores Nivel Bajo (-1) Nivel Alto (1)

Factor A (Cº) 25 45 Factor B (%) 20 30

Tabla 4.11. Niveles de los factores implicados en el ejemplo RSM. Estas fueron las variables independientes naturales, que por comodidad en los cálculos se codificaron en el intervalo (–1 y 1), usando las expresiones:

10

3511

−=

ξχ y

5252

2−

=ξ

χ

Para estimar el error experimental el diseño se iba a aumentar con cinco observaciones en el punto central del área que definía los niveles anteriores de los factores A y B. Este punto fue el correspondiente a una temperatura de 35 ºC y a una proporción de endurecedor del 25%. En la figura 4.14. se puede apreciar con claridad la región de exploración empleada:

25 ºC 45 ºC

20 %

30 %

-1 1-1

1

025 %

035 ºC

Factor A Temperatura (ºC)Fact

or B

Pro

porc

ión

de E

ndur

eced

or (%

)

Figura 4.14. Región de experimentación del factorial 22 del ejemplo RSM.

- 86 -

Se realizaron, de forma totalmente aleatoria, nueve observaciones en total, obteniéndose los siguientes resultados:

Variables naturales Variables codificadas Respuestas ξ1 ξ2 x1 x2 y 25 20 -1 -1 1505 45 20 1 -1 994 25 30 -1 1 940 45 30 1 1 481 35 25 0 0 754 35 25 0 0 1020 35 25 0 0 901 35 25 0 0 910 35 25 0 0 937

Tabla 4.12. Datos del ejemplo RSM. Aplicando los métodos para diseños factoriales 22, obtuvieron el análisis de varianza del experimento:

Tabla 4.13. Análisis de varianza del factorial 22 del ejemplo RSM. Analizando la tabla anterior se observa que la interacción de los dos factores no resultó significativa por lo que este término no fue incluido en el modelo que se pretendía ajustar. Con el valor de los efectos de los factores principales A y B se estimaron los coeficientes de regresión β1, β2. Cada uno de ellos vale la mitad del efecto correspondiente. El coeficiente β0 se estimó con el promedio de las 9 observaciones. El modelo de primer orden ajustado resultante fue: 22110

ˆˆˆˆ xxy βββ ++= =938-242.5 x1-269.5 x2

siendo x1 y x2 las variables codificadas.

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo TablasA -485 235225,00 40,82 1 235225,00 23,62 6.61 B -539 290521,00 50,42 1 290521,00 29,17 6.61

AB 26 676,00 0,12 1 676,00 0,07 6.61 Error 49790,00 8,64 5 9958,00 Total 576212,00 100,00 8

- 87 -

A continuación sometieron al modelo ajustado a la prueba de significación de los coeficientes estimados, a la prueba de falta de ajuste y al análisis gráfico de los residuales y para comprobar su adecuación. Las primeras dos pruebas se muestran en la siguiente tabla:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Regresión (Modelo) 525746,00 2 262873,00 31,253 5,14

Residual 50466,00 6 8411,00 (Falta de ajuste LOF) 13376,80 2 6688,40 0,721 6,94

(Error puro) 37089,20 4 9272,30 Total 576212,00 8

Tabla 4.14.Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del modelo ejemplo RSM. Observando la tabla se puede ver que la condición de rechazo de la hipótesis de significación se cumple, 31.253 > 5.14, por lo que se rechazó la hipótesis nula, siendo por tanto el modelo ajustado significativo. Para la prueba de la falta de ajuste se cumple que el estadístico Fo es menor que F0.05, 2,4 (0.721 < 6.94), por lo tanto se aceptó la hipótesis de que el modelo ajustado de primer orden era lineal. El análisis gráfico de los residuales efectuado al modelo se muestra a continuación:

Respuestas Predicción Residuales1505 1450,00 55,00 994 965,00 29,00 940 911,00 29,00 481 426,00 55,00 754 938,00 -184,00 1020 938,00 82,00 901 938,00 -37,00 910 938,00 -28,00 937 938,00 -1,00

Tabla 4.15. Respuestas predichas y residuales del modelo de primer orden ajustado del ejemplo RSM.

- 88 -

1

2030

50

70

95

99

10

90

-184 -117.5 -51 15.5 82

Residuales Gráfica 4.12. Probabilidad normal de los residuales del modelo de primer orden del ejemplo RSM.

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00

Tiempo Fraguado predicho

Res

idua

les

Gráfica 4.13. Residuales frente a la respuesta predicha del modelo de primer orden del ejemplo RSM.

- 89 -

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0 2 4 6 8 10

Número de observación

Res

idua

les

Gráfica 4.14. Residuales frente al orden de observación del modelo de primer orden. El la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos graficados siguen aproximadamente una línea recta. Esto significa que se puede decir que el supuesto de normalidad se cumple. Por otro lado se puede observar que la mayoría de los puntos están en la rama de la derecha. Los responsables de taller interpretaron que esto se podía deber al pequeño tamaño de la muestra y que no suponía una desviación de la normalidad. Las otras dos gráficas, la de los residuales frente a la respuesta predicha y frente al orden de realización de las observaciones, no muestran ningún patrón. A la luz de los resultados que se obtuvieron en este análisis el modelo fue dado por adecuado. Una vez comprobado que el modelo de primer orden era válido, el paso siguiente fue aplicar el algoritmo que les iba a permitir moverse por la trayectoria de máximo descenso. Se decidió que el punto de partida de la trayectoria de máximo descenso fuese el punto central. La variable con mayor coeficiente de regresión en valor absoluto era la x2, por lo que la pendiente de la trayectoria de máximo descenso iba a venir dada por el cociente 242.5/269.5. El tamaño de paso elegido para la proporción de endurecedor fue de 2.5 %, que correspondía con un incremento de la variable codificada ∆x2=0.5. El paso de la temperatura fue por tanto de 4.5 ºC, que correspondía con un incremento de 0.45 en la variable codificada x1. Se fueron calculando puntos de esta trayectoria hasta que se observó un aumento del tiempo de fraguado. En la tabla 4.16 se muestran los puntos de la trayectoria de máximo descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella. En la gráfica 4.15 se grafican estas últimas:

- 90 -

Pasos Variables codificadas Variables naturales Respuesta x1 x2 ξ1 ξ2 Y

Origen 0 0 35 25 ∆ 0,45 0,50 4,5 2,5

Origen+∆ 0,45 0,50 39,5 27,5 721 Origen+2∆ 0,90 1,00 44,0 30,0 548 Origen+3∆ 1,35 1,50 48,5 32,5 401 Origen+4∆ 1,80 2,00 53,0 35,0 279 Origen+5∆ 2,25 2,50 57,5 37,5 184 Origen+6∆ 2,70 3,00 62,0 40,0 114 Origen+7∆ 3,15 3,50 66,5 42,5 70 Origen+8∆ 3,60 4,00 71,0 45,0 52 Origen+9∆ 4,05 4,50 75,5 47,5 60 Origen+10∆ 4,50 5,00 80,0 50,0 93

Tabla 4.16. Trayectoria de máximo descenso y repuestas del modelo ejemplo RSM.

30

130

230

330

430

530

630

730

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Pasos

Tiem

po d

e Fr

agua

do (m

in)

Gráfica 4.15. Tiempo de fraguado obtenido a lo largo de la trayectoria del máximo descenso para el

modelo ejemplo RSM. Se observa que el tiempo de fraguado va disminuyendo hasta el octavo paso, donde se obtiene un valor de 52 minutos. A partir de este los valores empiezan a crecer. A la luz de estos resultados los responsables del taller ajustaron otro modelo lineal de primer orden alrededor del punto correspondiente al octavo paso correspondiente a una temperatura de 71 ºC y a una proporción de endurecedor del 45 %. Con estos valores las variables codificadas vendrían dadas por las expresiones:

10

7111

−=

ξχ y

5452

2−

=ξ

χ

- 91 -

La nueva región de exploración se muestra en la figura 4.15:

61 ºC 81 ºC

40 %

50

-1 1-1

1

045 %

071 ºC

Factor A Temperatura (ºC)Fact

or B

Pro

porc

ión

de E

ndur

eced

or (%

)

Figura 4.15. Región de experimentación para el segundo modelo lineal del ejemplo RSM. Se volvieron a realizar cinco observaciones en el punto central, obteniendo un total de nueve. Estas observaciones se realizaron de forma aleatoria, obteniéndose los siguientes resultados:

Variables naturales Variables codificadas Respuestas ξ1 ξ2 x1 x2 y 61 40 -1 -1 121 81 40 1 -1 181 61 50 -1 1 43 81 50 1 1 94 71 45 0 0 56 71 45 0 0 49 71 45 0 0 54 71 45 0 0 47 71 45 0 0 56

Tabla 4.17. Datos para el segundo modelo lineal del ejemplo RSM. El análisis de varianza del nuevo experimento se muestra en la tabla 4.18:

- 92 -

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 55,5 3080,25 17,82 1 3080,25 2,09 6,61 B -82,5 6806,25 39,38 1 6806,25 4,61 6,61

AB -4,5 20,25 0,12 1 20,25 0,01 6,61 Error 7378,14 42,69 5 1475,63

Total 17284,89 100,00 8

Tabla 4.18. Análisis de varianza del factorial 22 del segundo modelo lineal del ejemplo RSM. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos se observa que el modelo no es significativo, aun así, los responsables del taller tomaron el modelo ajustado como: 22110

ˆˆˆˆ xxy βββ ++= =77.89+27.75 x1-41.25 x2

y decidieron realizar la batería de pruebas destinadas a probar la adecuación del modelo. Las pruebas de la significación del modelo y de la falta de ajuste ofrecieron los siguientes resultados:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 9886,50 2 4943,25 4,01 5,14 Residual 7398,39 6 1233,06

(Falta de ajuste LOF) 7329,19 2 3664,59 211,83 6,94 (Error puro) 69,20 4 17,30

Total 17284,89 8 Tabla 4.19. Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del segundo modelo

lineal del modelo ejemplo RSM. Los resultados obtenidos muestran por un lado que el modelo ajustado no es significativo, ya que no se cumple la condición de rechazo de la hipótesis nula,

0F > 6,2,05.F , y por el otro que tampoco se puede considerar que el modelo se ajuste a la curvatura de la verdadera superficie de respuesta. Para ello se debería cumplir la condición: 0F < 4,2,05.F , y como se puede observar en la tabla anterior esta no se cumple. Con estos resultados el modelo ya no se podía dar por bueno, por lo que se decidió no realizar el análisis gráfico de los residuales. La prueba de falta de ajuste indicaba que la superficie de respuesta real presentaba una curvatura que un modelo lineal de primer orden no podía aproximar, por lo que se decidió ajustar un modelo de segundo orden: 2112

2222

211122110

ˆˆˆˆˆˆˆ xxxxxxy ββββββ +++++= (55)

- 93 -

Para poder ajustar este modelo se hacia necesario añadir cuatro puntos axiales al diseño y convertir este en un diseño central compuesto. Se pretendió que este diseño fuese rotable, con los que los nuevos cuatro puntos vendrían a estar situados en los puntos (±α, 0) y (0, ±α), eligiéndose α = (4)0.25 = 1.4142. La nueva región de experimentación quedó como sigue:

(61 ºC,40 %) (81 ºC,40 %)(-1,-1) (1, -1)

(71 ºC,45 %)

Factor A Temperatura (ºC)

Fact

or B

Pro

porc

ión

de E

ndur

eced

or (%

)

(-1,1) (1, 1)

(0,0)

(61 ºC,50 %) (81 ºC,50 %)

(56,86 ºC,45 %) (85,14 ºC,45 %)

(71 ºC,37,93 %)

(71 ºC,52,07 %)

(1,4142,0)(-1,4142,0)

(0,1,4142)

(0,-1,4142)

Figura 4.16. Región de experimentación del diseño central compuesto del ejemplo RSM Se realizaron las observaciones de los cuatro puntos axiales y el diseño central compuesto quedó como se puede observar en la tabla siguiente:

- 94 -

Variables naturales Variables codificadas Respuestas

ξ1 ξ2 x1 x2 y 61 40 -1 -1 121 81 40 1 -1 181 61 50 -1 1 43 81 50 1 1 94

56.86 45.00 -1.414 0.000 77 85.14 45.00 1.414 0.000 174 71.00 37.93 0.000 -1.414 143 71.00 52.07 0.000 1.414 42

71 45 0 0 56 71 45 0 0 49 71 45 0 0 54 71 45 0 0 47 71 45 0 0 56

Tabla 4.20. Datos del diseño central compuesto del ejemplo RSM. Se realizó el análisis de varianza del modelo completo, ofreciendo los siguientes resultados:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo TablasA 62,04 7699,08 24,04 1 7699,08 247,90 5,59 B -76,96 11845,34 36,99 1 11845,34 381,40 5,59

A^2 73,48 9388,83 29,32 1 9388,83 302,31 5,59 B^2 40,48 2849,09 8,90 1 2849,09 91,74 5,59 AB -4,50 20,25 0,06 1 20,25 0,65 5,59

Error 217,40 0,68 7 31,06 Total 32019,99 100,00 12

Tabla 4.21. Análisis de varianza del modelo de segundo orden propuesto para el ejemplo RSM. Analizando los resultados obtenidos se aprecia que la interacción AB no resultó significativa por lo que el modelo iba a quedar de la forma: 2

22121 24.2074.3648.3402.3140.52ˆ xxxxy ++−+=

Este modelo debía de pasar la batería de pruebas necesarias para probar su adecuación. Las dos primeras pruebas a las que se sometió fueron la de significación de sus coeficientes y la prueba de la falta de ajuste. En la tabla siguiente se pueden observar los resultados obtenidos en ambas pruebas:

- 95 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo TablasModelo 31782,34 4 7945,59 267,472 3,84 Residual 237,65 8 29,71

(Falta de ajuste LOF) 168,45 4 42,11 2,434 6,39 (Error puro) 69,20 4 17,30

Total 32019,99 12 Tabla 4.22.Análisis de varianza para la prueba de significación y falta de ajuste del modelo de segundo

orden del ejemplo RSM. El modelo resultó significativo ya que 0F > 8,4,05.F y por lo tanto la hipótesis nula se rechazó. La prueba de falta de ajuste también la pasó el modelo propuesto, ya que se cumplió la condición 0F < 4,4,05.F , lo cual significaba que no se rechazaba la hipótesis nula, con lo que el modelo se ajustaba a la superficie de respuesta real. La última prueba a realizar para probar la adecuación del modelo es el análisis gráfico de los residuales. A continuación se muestran los resultados que se obtuvieron:

Respuestas Predicción Residuales121 116,83 4,17 181 178,88 2,12 43 39,87 3,13 94 101,92 -7,92 77 82,00 -5,00 174 169,75 4,25 143 147,29 -4,29 42 38,46 3,54 56 52,40 3,60 49 52,40 -3,40 54 52,40 1,60 47 52,40 -5,40 56 52,40 3,60

Tabla 4.23. Respuestas predichas y residuales del modelo de segundo orden ajustado del ejemplo RSM.

- 96 -

1

2030

50

70

95

99

10

90

-7.92 -4.88 -1.83 1.21 4.25

Residuales

% d

e pr

obab

ilidad

nor

mal

Gráfica 4.16. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo orden del ejemplo RSM.

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

0,00 50,00 100,00 150,00 200,00

Tiempo Fraguado predicho

Res

idua

les

Gráfica 4.17. Residuales frente a las respuestas predichas del modelo de segundo orden del ejemplo RSM.

- 97 -

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

0 2 4 6 8 10 12 14

Número de observación

Res

idua

les

Gráfica 4.18. Residuales frente al orden de las observaciones del modelo de segundo orden del ejemplo

RSM. En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen aproximadamente una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo. Por otro lado, también se puede observar que la rama de la derecha es más gruesa que la de la izquierda, significando esto que los residuales positivos son algo más grandes que los negativos en valor absoluto. En el taller interpretaron que el modelo no violaba los supuestos de normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los puntos sigan ningún patrón. Como consecuencia de estos resultados el modelo fue dado por bueno. El modelo ajustado en variables codificadas quedó de la siguiente forma: 2

22121 24.2074.3648.3802.3140.52ˆ xxxxy ++−+=

y en variables naturales como: 2

22121 81.037.080,5549,073669,63ˆ xxxxy ++−−=

Con los resultados obtenidos era de esperar que este modelo representaba de una manera bastante aproximada la curvatura de la verdadera superficie de respuesta por lo que se decidió usarlo para hallar un punto estacionario y caracterizarlo mas tarde, es decir, determinar si se trataba de un máximo, un punto de silla o del mínimo buscado. El primer paso de este proceso fue expresar el modelo ajustado en la forma matricial:

Bxxbxy ''ˆˆ 0 ++= β (56)

- 98 -

donde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

xx

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=48.38

02.31b ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

24.200074.36

B

El punto estacionario vendria dado por la formula:

bBxs1

21 −−= (57)

resultando:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

95.042.0

sx

El punto estacionario, expresado en variables naturales, vino dado por una temperatura de 66.78 ºC y una proporción de endurecedor del 49.75 %. Usando la fórmula:

bxy ss '21ˆˆ 0 += β (58)

se estimó la respuesta en el punto estacionario que proporcionaba el modelo ajustado, resultando un tiempo de fraguado de 27.56 minutos, prácticamente la mitad del tiempo de fraguado que se obtuvo con una temperatura de 71 ºC y una proporción de endurecedor del 45%. Por último quedaba por saber si el punto hallado era un mínimo. Para ello era necesario expresar el modelo ajustado en forma canónica:

22

212

1ˆˆ wwyy s λλ ++= (59) donde λ1 y λ2 son los autovalores de la matriz B. Para hallarlos se planteó el determinante: |B- λ I| = 0 (60)

024.200074.36

=−

−λ

λ

- 99 -

obteniéndose: λ1 = 36.74 λ2 = 20.24 El modelo en forma cónica quedaba:

22

12 24.2074.36ˆˆ wwyy s ++=

observándose que los dos autovalores resultaron positivos, lo que quiere decir que el punto estacionario era un mínimo. Para confirmar los resultados obtenidos, en el taller realizaron una muestra de resina a una temperatura de 66 ºC y una proporción de endurecedor del 49 %, obteniendo un tiempo de fraguado de 28 minutos, lo que significa que el tiempo de fraguado se había reducido en más de 450 minutos en comparación con las condiciones iniciales de operación, que recordemos, fueron de 45 ºC y el 30 %.

- 100 -

CAPÍTULO 5:

ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL SISTEMA

- 101 -

5.1.- INTRODUCCIÓN Una vez conocidos los parámetros de simulación, en el presente capítulo, nos centramos en definir los distintos experimentos a realizar para comprobar la capacidad de la metodología RSM de obtener soluciones adecuadas al problema objeto de estudio. Los parámetros de simulación que se van a utilizar son los calculados en el capítulo 3, apartados 3.4.1, 3.4.2 y 3.4.3. El horizonte de simulación (T) hallado fue de 53.000 unidades de tiempo, el Warm-up (W) de 18.000 y en número de réplicas (n) de 30. Cada simulación se va a realizar empleando un programa realizado en lenguaje C y proporcionado por el grupo de investigación ‘Organización Industrial’ de la Universidad de Sevilla, TEP-134. Las hipótesis, características, entradas y salidas de este se comentan en la sección 3.3 del capítulo 3. Uno de los objetivos de los sistemas de control de la producción es maximizar el nivel de servicio con el menor inventario en proceso (WIP). Este criterio va a ser el utilizado para determinar cuando una determinada combinación de los parámetros K (0), E va a ser mejor que otra. De las diferentes salidas que proporciona el modelo vamos a considerar como respuesta al nivel de inventario medio de las 30 réplicas que componen cada simulación. La desviación estándar del nivel de servicio medio, STD servicio medio, nos va a hacer falta para el cálculo de la suma de cuadrados del error y el WIP medio como valor a tener en cuenta a la hora de determinar cuando una combinación es mejor que otra. También se van a considerar los intervalos de confianza del nivel de servicio para determinar la admisibilidad de las soluciones. Para la realización de las simulaciones se empleará un ordenador personal Pentium II a 350 MHz. Tras la realización de una serie de pruebas piloto el tiempo medio de simulación obtenido para 30 réplicas ha sido de 55 segundos. Por lo general, en nuestro caso, cada experimento esta compuesto por cuatro o cinco simulaciones, por lo que el tiempo consumido en cada uno de ellos ha sido de aproximadamente cuatro o cinco minutos respectivamente. El proceso de experimentación se va a dividir en dos fases. En la primera se va a plantear un experimento factorial 22 con el fin de caracterizar el proceso, es decir, determinar cuales de los factores que controlan un sistema PS son los que afectan a la variable de respuesta y en qué medida, además de conocer si existen interacciones significativas entre ellos. Las variables de respuesta que se van a estudiar son el nivel de servicio medio y el inventario en proceso medio. La herramienta estadística que en diseño de experimentos se emplea para este fin es el análisis de varianza. En el capítulo 4 se explica con detalle esta herramienta estadística. Con los resultados arrojados por el análisis de varianza se podrán determinar los factores e interacciones significativos. Estos factores e interacciones se tomaran para formar parte de un modelo de regresión

- 102 -

con el que podremos aproximar la respuesta del modelo. Este modelo debe ser verificado y para ellos se empleará el análisis de los residuales. Si este es positivo, el modelo se puede dar por bueno y se podrá realizar un análisis grafico de los factores e interacciones significativos. En nuestro caso los factores son los dos parámetros de los que depende un sistema PS, el número de tarjetas K (0) y en número de tarjetas extra E. En esta primera fase de la experimentación se emplea un nivel de servicio predeterminado λ = 100%, ya que este fue el valor con el que Framiñan et al propusieron su modelo. La segunda fase va a ser la optimización propiamente dicha. En esta se van a aplicar las técnicas estadísticas RSM (Response Surface Methodology) vistas en detalle en la sección 4.4. Como se recordará, esta metodología consiste en ajustar un modelo de regresión a la variable o variables de salida del sistema, que en nuestro caso son el nivel de servicio medio y el inventario en proceso. Este modelo describe una superficie, llamada superficie de respuesta, de dimensión una unidad mayor al número de factores que la componen y de cuyo estudio se pretende extraer la combinación de los parámetros K (0) y E con los que el sistema PS va a operar de la forma más cercana a nuestros deseos, que no son otros que el sistema funcione con un nivel de servicio lo más cercano posible al predeterminado (λ) con el menor inventario en proceso posible (WIP). Esta fase a su vez se va dividir en tres partes. En la primera se parte de la misma región experimental usada en la fase anterior aumentando las observaciones al punto central, ya que en esta fase necesitamos ajustar un modelo que recoja la curvatura de la superficie de respuesta real. La metodología RSM es un proceso secuencial a lo largo del cual se van ajustando modelos a la superficie de respuesta real con el fin de movernos por las superficies de respuesta que estos determinan, de modo que podamos encontrar un punto de la superficie que se aproxime más a los valores que estamos buscando. Si el modelo es de primer orden se emplea el método de la máxima pendiente y si es de segundo orden se emplea el análisis canónico. En esta fase de la experimentación, tras ajustar varios modelos y emplear ambos métodos, se llega a la conclusión de que este sistema PS operando con un nivel de servicio predeterminado del 100% no es económicamente viable desde el punto de vista del inventario en proceso, por lo que se emprende el mismo proceso aplicado al mismo sistema pero esta vez con un nivel de servicio predeterminado del 98%. En esta segunda parte de esta fase de la experimentación se repiten los procesos llevados a cabo en la parte anterior, llegando a un punto en el que no se puede avanzar más a lo largo de la superficie de respuesta por los métodos de la máxima pendiente y el análisis canónico. La solución que se busca depende del compromiso del nivel de servicio y del inventario en proceso, por lo que se decide el empleo del método gráfico de optimización multirespuesta de la superposición de las gráficas de contornos. Este método consiste en proyectar las superficies de respuesta (gráfica de contornos) para el nivel de servicio y para el inventario en proceso a la vez, y estudiar gráficamente en que zona se cumplen

- 103 -

las condiciones de búsqueda, es decir, nivel de servicio medio del 98% con el menor WIP. De las distintas combinaciones que cumplen esta condición, se estudian aquellas que son soluciones admisibles. Por soluciones admisibles se entienden aquellas que tienen un intervalo de confianza para el nivel de servicio en el que el valor del 98% está incluido. Del análisis de estas soluciones se observa que todas ellas cumplen la propiedad de que sus parámetros K (0) y E suman un valor constante. Su representación es un línea recta que la denominamos “trayectoria de las soluciones admisibles”. Analizando las combinaciones que forman parte de esta pseudo-trayectoria, llegamos a una combinación que parece ser la que mejor cumple las condiciones de búsqueda. Para comprobar esto se realiza una búsqueda exhaustiva en todo el espacio de las soluciones y se demuestra que efectivamente es así. Esto abre las puertas para pensar en un método de búsqueda que nos permita llegar a esta combinación con el menor número de simulaciones y por tanto, con el menor consumo de tiempo y de recursos computacionales, pero antes creemos conveniente el estudio de un método de optimización multirespuesta más formal que el de superposición de las gráficas de contorno. En la tercera parte de esta fase se estudia la metodología RSM multirespuesta. Esta metodología se basa en utilizar una función denominada desirability (deseabilidad en inglés). La idea es emplear una función que si esta próxima a los valores deseados toma el valor uno y si esta lejos toma el valor cero. Hay una función desirability por cada una de las respuestas que intervienen en el proceso, y según se pretenda maximizar, minimizar o conseguir un determinado valor, así es la función desirability a emplear. Además, cada una de estas funciones depende de un exponente, llamado peso, que hace que jueguen un papel más o menos relevante. El valor de este peso lo decide el experimentador, según sean sus intereses. El papel de todas las funciones desirability que intervienen en un experimento lo recoge el índice D, que se define como la media geométrica de las funciones desirability que intervienen. Este índice toma valores comprendidos entre cero y uno, tomando un valor más cercano a uno conforme más se acerque el conjunto de las funciones desirability al deseo del experimentador. En esta última parte de la experimentación se aplica esta metodología en la misma región de experimentación a la que anteriormente se le había aplicado el método de superposición de las graficas de contornos. Se realiza una batería de experimentos con distintas combinaciones de pesos, desde la más moderada a aquella que expresa con mayor exigencia las condiciones de búsqueda. Se llega a la conclusión de que el empleo de esta metodología no aporta una ventaja significativa al análisis de la“trayectoria de las soluciones admisibles”, ya que sólo parece capaz de proporcionar soluciones alrededor de esta pseudo-trayectoria, sin embargo si que puede ser muy útil para estudiar la respuesta de las dos variables de salida en una región de interés, como se verá en el capítulo seis al proponer un método de búsqueda de la solución óptima.

- 104 -

5.2.-DETERMINACION DE LOS FACTORES SIGNIFICATIVOS El objeto del presente proyecto es la optimización de una línea de fabricación, de un solo producto, controlada mediante un sistema Conwip adaptativo como el propuesto por Framiñán et al. (ver la sección 2.3). Este sistema está definido por dos parámetros K (0) y E, donde:

• K (0), es el número de tarjetas fijo que van a circular por el sistema. • E, es el número de tarjetas extra, que según sea el nivel de inventario en el

almacén de productos terminados, van a ser añadidas o extraídas del sistema. Según el valor tomado por estos dos parámetros así será el comportamiento del sistema, por lo que estos dos parámetros van a ser los dos factores que se van a analizar. A continuación se ha de definir la región de experimentación, para lo que es necesario definir qué valores van a tomar cada uno de los factores. En su estudio, Framiñán et al, realizaron un experimento destinado a comparar las prestaciones del sistema PS con las del sistema propuesto por Tardif y Maaseidvaag. En él la combinación que emplearon fue K (0) = 2 y E =8. Se ha decidido que esta sea el punto en el que nos vamos a basar para hallar la región de experimentación inicial. El nivel de servicio objetivo fue el del 100% debido a que el sistema de Tardif y Maaseidvaag esta diseñado para trabajar al máximo nivel de servicio. Ya que la referencia que tenemos es este modelo, los experimentos que vamos a realizar inicialmente también van a tener como nivel objetivo este mismo valor. El valor de dos tarjetas iniciales es un valor muy bajo para el parámetro K (0) por lo que tras la realización de varias pruebas piloto se ha decidido que este sea el extremo inferior del intervalo en el que se van a hallar los valores iniciales del factor K (0). Por contra, el valor 8 para el parámetro E, nos parece idóneo como centro del intervalo en el que vamos a hallar los niveles de este parámetro. Cada factor va a tener dos niveles, el mayor de ellos se denominara nivel alto y el menor, nivel bajo. Esto va a dar lugar a un experimento factorial de dos factores con dos niveles cada uno de ellos. Para determinar la cantidad que cada factor va a variar respecto a la combinación anterior, se ha realizado un pequeño programa en Excel que proporciona una variación aleatoria del 5 al 100 % del valor dado. Para el factor K (0), la variación dada por este programa fue del 98 %, lo que significa un valor de 1,96. Como el valor inferior del intervalo ya lo tenemos fijado en 2, una variación del 98% significa que el nivel alto va a corresponder con un valor de 4 tarjetas. Para el parámetro E el proceso es análogo, salvo que la variación va a ser respecto al valor 8. El valor devuelto por el programa fue de una variación del 25%, lo que significa el valor bajo va a ser de 6 tarjetas y el alto de 10. En figura 5.1 se muestra la región de experimentación y en la tabla 5.1 se muestran los valores que la van a definir:

- 105 -

(2,6) (4,6)

(2,10)

Factor A

Facto

r B

(4,10)

Figura 5.1. Región de experimentación en el experimento inicial.

Factores Nivel Bajo Nivel AltoK (0) 2 6

E 4 10 Tabla 5.1. Niveles de los cuatro factores tomados en el experimento inicial. Los cuatro factores van a dar lugar a 22 combinaciones, dando por tanto lugar a 4 escenarios.

Escenario K(0) E 1 2 6 2 4 6 3 2 10 4 4 10

Tabla 5.2. Escenarios en el experimento inicial. Como ya se ha visto en el capítulo 4, en diseño de experimentos se emplea la notación de “-” y “+”, para los niveles bajo y alto respectivamente. La tabla anterior en esta notación queda:

Escenario K(0) E 1 - - 2 + - 3 - + 4 + +

Tabla 5.3. Escenarios en notación de diseño de experimentos para el experimento inicial.

- 106 -

También se emplea la notación en variables codificadas –1 y 1, siendo esta muy útil a la hora de realizar los cálculos. Expresar los factores en variables codificadas es inmediato con el empleo de las formulas:

1

311

−=

ξχ ,

282

2−

=ξ

χ ,

con lo que la tabla anterior queda de la forma:

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1

Tabla 5.4. Escenarios en notación de variables codificadas para el experimento inicial. El número total de escenarios que van a formar parte del experimento es de 4. Para la realización del experimento se van a realizar por tanto 4 simulaciones. La matriz de diseño del experimento inicial es la siguiente:

Tratamientos A B AB(I) -1 -1 1 a 1 -1 -1 b -1 1 -1

Tabla 5.5. Matriz de diseño del experimento inicial. Los factores se representan de la siguiente manera en la tabla 5.5:

• A es el factor K (0), número de tarjetas. • B es el factor E, número de tarjetas extras.

• AB es la interacción entre el factor K y el E.

En la tabla 5.5 se muestran las variables codificadas En las tablas 5.2 y 5.3 se representan los escenarios de simulación y los niveles de cada uno de los factores involucrados en el experimento. Hay 22 = 4 escenarios por lo que

- 107 -

habrá otras tantas simulaciones. Estas se realizan aleatoriamente y el resultado obtenido se muestra en la tabla 5.6:

Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP 1 1,392 2,4649 8,024 0,0073 2 64,594 5,0789 10,019 0,0058 3 29,115 6,2844 12,037 0,0075 4 82,338 4,1386 14,001 0,0067

Tabla 5.6. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento inicial. Con los resultados de las simulaciones en todos los escenarios que definen la región de experimentación ya se tienen todos los datos necesarios para la realización del análisis de varianza. Se va ha utilizar una tabla como la siguiente:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo TablasA B

AB Error Total

Tabla 5.7. Formato de la tabla utilizada para el análisis de varianza del experimento inicial. En la segunda columna se van a representar los efectos de los factores y sus interacciones, en la tercera la suma de los cuadrados y en la cuarta el porcentaje de cada suma de cuadrados respecto al la suma de cuadrados total. La quinta corresponde a los grados de libertad, la sexta a los cuadrados medios, la séptima al estadístico Fo calculado con el cociente de los cuadrados medio y la octava y última corresponde a los valores de la distribución F hallados con la función del programa Excel DISTR.F.INV. En la tabla se escribe la palabra “tablas” por claridad en la representación de los resultados. El significado de todos estos términos se explica con detalle en el capítulo cuarto del presente proyecto. Tomando los resultados de las simulaciones expuestos en la tabla 5.6, los resultados del análisis de varianza para el experimento inicial se exponen a continuación:

- 108 -

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 58,21 101660,85 84,28 1 101700 4595,22 3,92 B 22,73 15504,36 12,87 1 15472,80 700,82 3,92

AB -4,99 746,85 0,62 1 753,77 33,76 3,92 Error 2566,29 2,13 116 22,12 Total 120492,80 100,00 119

Tabla 5.8. Análisis de varianza del experimento inicial. Los resultados obtenidos muestran que los dos factores y su interacción son significativos, con lo que el modelo de regresión vendrá dado por la expresión: 211222110ˆ xxxxy ββββ +++= (61) Donde 0β se va estimar por el promedio de la respuesta obtenida en todos los escenarios. Los coeficientes β1, β2 y β12 van a valer la mitad del valor del efecto correspondiente. Así el modelo queda: 2121 49,237,1111,2936,44ˆ xxxxy −++= Las variables x1 y x2 son las variables codificadas. El modelo en variables naturales queda de la forma: 2121 25,148,914,3948,118ˆ ξξξξ −++−=y El siguiente paso es verificar la adecuación del modelo para lo que se va a emplear el análisis gráfico de los residuales (ver la sección 4.2 del capítulo 4). Recordemos que un residual se define como la diferencia entre la repuesta obtenida en cada réplica y el valor predicho por el modelo ajustado para esa misma combinación de factores. Como se tienen 4 simulaciones y cada una de ellas compuesta por 30 réplicas, tendremos un total de 120 residuales. Las respuestas del sistema, las respuestas estimadas por el modelo ajustado y sus correspondientes residuales se muestran en la tabla 5.9:

Respuestas Predicción Residuales 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 2,30 1,39 0,91 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 7,65 1,39 6,26 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39

- 109 -

9,02 1,39 7,63 0,00 1,39 -1,39 4,23 1,39 2,84 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 4,47 1,39 3,08 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 5,09 1,39 3,70 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 0,00 1,39 -1,39 3,58 1,39 2,19 3,10 1,39 1,71 0,00 1,39 -1,39 0,85 1,39 -0,54 0,00 1,39 -1,39 1,46 1,39 0,07 0,00 1,39 -1,39

68,63 64,59 4,04 66,21 64,59 1,62 70,42 64,59 5,83 63,82 64,59 -0,77 56,26 64,59 -8,33 58,91 64,59 -5,68 76,42 64,59 11,83 63,67 64,59 -0,92 61,82 64,59 -2,77 63,56 64,59 -1,03 71,43 64,59 6,84 60,54 64,59 -4,05 60,79 64,59 -3,80 71,32 64,59 6,73 68,50 64,59 3,91 64,58 64,59 -0,01 65,18 64,59 0,59 57,55 64,59 -7,04 61,20 64,59 -3,39 63,29 64,59 -1,30 73,93 64,59 9,34 64,26 64,59 -0,33 60,16 64,59 -4,43 53,86 64,59 -10,73 68,65 64,59 4,06 65,29 64,59 0,70 64,80 64,59 0,21 64,24 64,59 -0,35 63,83 64,59 -0,76 66,07 64,59 1,48 27,08 29,11 -2,03 25,57 29,11 -3,54 15,10 29,11 -14,01 22,51 29,11 -6,60

- 110 -

29,81 29,11 0,70 24,13 29,11 -4,98 27,85 29,11 -1,26 28,96 29,11 -0,15 29,31 29,11 0,20 34,24 29,11 5,13 23,55 29,11 -5,56 41,57 29,11 12,46 22,71 29,11 -6,40 21,81 29,11 -7,30 26,62 29,11 -2,49 37,30 29,11 8,19 39,33 29,11 10,22 27,82 29,11 -1,29 21,73 29,11 -7,38 30,67 29,11 1,56 24,64 29,11 -4,47 34,87 29,11 5,76 31,00 29,11 1,89 31,43 29,11 2,32 41,77 29,11 12,66 29,59 29,11 0,48 35,58 29,11 6,47 26,13 29,11 -2,98 34,97 29,11 5,86 25,77 29,11 -3,34 85,50 82,38 3,12 81,94 82,38 -0,44 87,54 82,38 5,16 83,22 82,38 0,84 77,59 82,38 -4,79 75,02 82,38 -7,36 84,67 82,38 2,29 88,11 82,38 5,73 78,71 82,38 -3,67 85,60 82,38 3,22 82,09 82,38 -0,29 81,79 82,38 -0,59 79,27 82,38 -3,11 88,51 82,38 6,13 87,92 82,38 5,54 78,22 82,38 -4,16 84,32 82,38 1,94 80,40 82,38 -1,98 81,36 82,38 -1,02 83,51 82,38 1,13 91,47 82,38 9,09 77,50 82,38 -4,88 82,63 82,38 0,25 78,60 82,38 -3,78 75,15 82,38 -7,23 79,03 82,38 -3,35 84,93 82,38 2,55

- 111 -

79,13 82,38 -3,25 80,75 82,38 -1,63 85,65 82,38 3,27

Tabla 5.9. Residuales del experimento inicial. El análisis gráfico de los residuales consta principalmente de tres pruebas. En la primera se pretende probar que los residuales no violan el supuesto de que el error del modelo sigue una distribución normal independiente de media cero. Para la realización de esta prueba se realiza una gráfica de distribución normal para los residuales. Si estos cumplen el supuesto de normalidad, su representación será aproximadamente una línea recta. En la gráfica 5.1 se aprecia que los residuales siguen aproximadamente una línea recta. También se puede apreciar que la rama de la derecha es algo más larga que la de la izquierda, significando esto que la distribución de los errores tiene un ligero sesgo, sin embargo esto no indica una desviación importante de la distribución normal, por lo que esta primera prueba se da por superada.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-3.03 -1.59 -0.15 1.30 2.74

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.1. Probabilidad normal de los residuales en el experimento inicial. La siguiente prueba consiste en representar los residuales frente a la respuesta predicha por el modelo. Lo que se pretende demostrar es que los residuales no están relacionados con la respuesta y para ello en esta gráfica deben mostrar que no siguen ningún tipo de patrón. En la gráfica 5.2 se puede apreciar que los residuales no presentan ningún tipo de estructura, por lo que se puede afirmar que no están relacionados con la respuesta predicha por el modelo.

- 112 -

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.2. Residuales frente a Ŷ en el experimento inicial. Esta serie de pruebas finaliza con la representación de los residuales frente al orden de realización de las simulaciones. Con esta prueba se pretende averiguar si existe una correlación entre el valor de los residuales y el orden en que las simulaciones se realizaron. En el caso de existir dicha correlación se rompería el supuesto de independencia. En la gráfica 5.3 se muestran los residuales anteriores frente al orden en el que se recopilaron los datos por lo que se acepta que no se rompe la condición de independencia.

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0 20 40 60 80 100 120

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.3. Residuales frente al orden de simulación en el experimento inicial.

- 113 -

El resultado del análisis gráfico de los residuales no muestra ningún patrón que haga sospechar que el modelo no es adecuado, por lo que se puede tomar este como una buena representación del experimento realizado. Los efectos de los factores principales y de la interacción los podemos representar de forma gráfica para evaluarlos. Las siguientes gráficas muestran la variación que se produce en la respuesta al pasar del nivel bajo al alto para cada uno de los factores significativos en el modelo y para la interacción:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5

Factor A

Nive

l de

Ser

vici

o

Gráfica 5.4.Gráfica del efecto principal A en el experimento inicial.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

5 6 7 8 9 10 11

Factor B

Nive

l de

Ser

vici

o

Gráfica 5.5.Gráfica del efecto principal B en el experimento inicial.

- 114 -

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5

Interacción A-B

Nive

l de

Ser

vici

o

Nivel alto de BNivel bajo de B

Gráfica 5.6. Gráfica de la interacción A-B en el experimento inicial. Queda de manifiesto que el nivel de servicio aumenta con el aumento de los factores principales. El sistema parece más sensible al aumento del número de tarjetas K (0) (factor A) que al aumento del número de tarjetas extras, E, (factor B). La interacción entre los factores A y B parece indicar que el nivel de servicio aumenta algo más cuando se trabaja con el nivel bajo del factor B. Esto hace pensar que el nivel de servicio variará más al incrementarse el número de tarjetas K (0) con valores bajos del número de tarjetas extra. Este resultado tendremos que confirmarlo cuando se realicen los experimentos encaminados a la optimización del sistema.

- 115 -

5.3.-APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA RSM. CASO λ=100% En la segunda fase de la experimentación se va llevar a cabo la optimización para lo que se va a emplear la metodología RSM (ver sección 4.4.). Como se recordará, la metodología RSM es un proceso secuencial que comienza aproximando la superficie de respuesta con un modelo lineal de primer orden y para ajustar un modelo de este tipo había que recurrir a un diseño ortogonal de primer orden. Un diseño factorial 22 como el que esta siendo objeto de estudio, es un diseño de este tipo, sin embargo no permite estimar el error experimental por lo que estamos en la obligación de incluir observaciones en el punto central de la región de experimentación con este fin. Por tanto, la región de experimentación va a ser aumentada con un nuevo escenario, correspondiente a las observaciones del punto central. Este nuevo escenario va a ser el dado por K (0) =3 y E = 8. El resto del diseño va ser el mismo que para el caso anterior del diseño de caracterización. Ahora el experimento queda:

(2,6) (4,6)

(2,10)

(3,8)

Factor A

Facto

r B

(1,10)

Figura 5.2. Región de experimentación del experimento inicial con punto central.

Escenario K(0) E 1 2 6 2 4 6 3 2 10 4 4 10 5 3 8

Tabla 5.10. Escenarios en el experimento inicial con punto central en variables naturales. En variables codificadas tenemos:

- 116 -

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 5.11. Escenarios en el experimento inicial con punto central en variables codificadas. El resultado del experimento con el punto central es el siguiente:

Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP1 1,392 2,4649 8,024 0,0073 2 64,594 5,0789 10,019 0,0058 3 29,115 6,2844 12,037 0,0075 4 82,338 4,1386 4,1386 0,0067 5 52,173 5,5164 11,023 0,003

Tabla 5.12. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento inicial con punto central. La adición de este nuevo punto no va a influir en los efectos y por consiguiente en los coeficientes de regresión del modelo salvo en el termino β0 que se estimaba con el promedio de todas las réplicas del experimento. Por tanto, el modelo en variables codificadas a ajustar va a ser: 2121 49,237,1111,2993,45ˆ xxxxy −++= Sin embargo el modelo obtenido anteriormente tiene un término cruzado que hace que este pierda la linealidad. Para solucionar esto se hace el siguiente cambio de variables:

213 xxx = (62)

123 ββ = Con lo que el modelo ajustado, en variables codificadas se puede escribir de la forma: 321 49,237,1111,2993,45ˆ xxxy −++= y en variables naturales: 321 25,148,914,3992,116ˆ ξξξ −++−=y

- 117 -

Siendo un modelo lineal múltiple de tres regresores. A continuación el modelo ajustado se somete a la prueba de significación de los coeficientes estimados, a la prueba de falta de ajuste y al análisis gráfico de los residuales para comprobar su adecuación. Las primeras pruebas dos pruebas se muestran en la siguiente tabla:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Regresión (Modelo) 117165,22 3 39055,07 1160,40 2,67

Residual 4913,85 146 33,66 (Falta de ajuste LOF) 1465,13 1 1465,13 61,60 3,91

(Error puro) 3448,72 145 23,78 Total 122079,07 149

Tabla 5.13.Prueba de significación y falta de ajuste del experimento inicial con punto central. Observando la tabla se puede ver que la condición de rechazo de la hipótesis de significación se cumple, 1160,40> 2.67, por lo que pedemos rechazar la hipótesis nula, siendo por tanto el modelo ajustado significativo. Para la prueba de la falta de ajuste no se cumple que el estadístico Fo sea menor que F0.05, 1,145 (61,60 > 3,91), por lo que no se acepta la hipótesis de que el modelo ajustado de primer orden sea lineal. Dados estos resultados no es necesario realizar el análisis gráfico de los residuales ya que el modelo no se puede dar por adecuado. Todo parece indicar que en esta región el modelo va a ser de segundo orden. El diseño indicado para ajustar un modelo de segundo orden es el diseño central compuesto (ver sección 4.4). Para convertir el diseño empleado hasta este momento en uno de este tipo, necesitamos ampliar la región de experimentación con 2k observaciones axiales. En nuestro caso k = 2, por lo que el número de observaciones axiales va a ser de cuatro. Lo ideal es que estas observaciones se elijan de forma que el diseño resultante sea rotable (ver sección 4.4), para ello la distancia α al centro de la región debe de elegirse según la expresión α = (nf)1/4. Recordemos que nf era el número de puntos del diseño factorial. En nuestro caso nf vale 4 y α toma el valor de 1,4142, dando una región de exploración como la que se muestra en la figura 5.3:

- 118 -

(2,6) (4,6)

(2,10)

(3,8)

Factor A

Facto

r B

(1,10)

(1.59,8)

(3,10.83)

(3,10.83)

(4.41,8)

Figura 5.3. Región de experimentación del experimento central compuesto inicial. Sin embargo se observa que esta región de exploración no es viable para nosotros, ya que tanto los parámetros K (0) como E deben tomar valores enteros. Esto nos lleva a elegir como diseño una variante del anterior, en la que α toma el valor 1. A un diseño de este tipo se le denomina diseño central compuesto con centros en las caras (ver sección 4.4.). Un diseño de este tipo no es rotable, sin embargo es perfectamente valido para ajustar un modelo de segundo orden. La región de experimentación se muestra en la figura 5.4, y los escenarios en las tablas 5.14 y 5.15, tanto en variables naturales como codificadas:

(2,6) (4,6)

(2,10)

(3,8)

Factor A

Facto

r B

(1,10)

(2,8)

(3,10)

(3,6)

(4,8)

Figura 5.4. Región de experimentación del experimento central compuesto inicial con centros en las caras.

- 119 -

Escenario K(0) E 1 2 6 2 4 6 3 2 10 4 4 10 5 2 8 6 4 8 7 3 6 8 3 10 9 3 8

Tabla 5.14. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras inicial en variables naturales.

Escenario K E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 -1 0 6 1 0 7 0 -1 8 0 1 9 0 0

Tabla 5.15. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras inicial en variables codificadas. Los resultados de las simulaciones en esta nueva región de experimentación han sido las siguientes:

Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP1 1,392 2,4649 8,024 0,0073 2 64,594 5,0789 10,019 0,0058 3 29,115 6,2844 12,037 0,0075 4 82,338 4,1386 4,1386 0,0067 5 16.348 6.2939 10.037 0.0057 6 75.379 4.0154 12.010 0.0069 7 36.470 5.8466 9.025 0.0062 8 61.718 5.1182 13.016 0.0083 9 52,173 5,5164 11,023 0,003

Tabla 5.16. Resultados de las simulaciones de los escenarios del experimento central compuesto con

centros en las caras.

- 120 -

El análisis de varianza del modelo completo ofrece los siguientes resultados:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo TablasA 58,21 154004,77 81,68 1 154004,77 5875,08 3,88 B 22,73 24969,76 13,24 1 24969,76 952,56 3,88 A2 -10,5 1654,87 0,88 1 1654,87 63,13 3,88 B2 -4,04 245,09 0,13 1 245,09 9,35 3,88 AB -4,99 753,77 0,40 1 753,77 28,76 3,88

Error 6920,28 3,67 264 26,21 Total 188548,54 100,00 269

Tabla 5.17. Análisis de varianza del experimento central compuesto con centros en las caras. Analizando los resultados obtenidos se aprecia que todos los términos son significativos por lo que el modelo de segundo orden queda, en variables codificadas, de la siguiente forma:

2122

2121 49.202.225.537.1111.2947.51ˆ xxxxxxy −−−++=

y en variables naturales: 21

22

2121 25.151.025.573.1779.7007.193ˆ ξξξξξξ −−−++−=y

Ahora, el modelo debe de pasar la batería de pruebas necesarias para probar su adecuación. Las dos primeras pruebas a las que se va a someter son la de significación de sus coeficientes y la de falta de ajuste. En la tabla siguiente se pueden observar los resultados obtenidos en ambas pruebas:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 181628,25 5 36325,65 1385,78 2,25 Residual 6920,28 264 26,21

(Falta de ajuste LOF) 104,22 3 34,74 1,33 2,64 (Error puro) 6816,06 261 26,12

Total 188548,54 269 Tabla 5.18.Prueba de significación y falta de ajuste del modelo de segundo orden propuesto. El modelo resulta significativo ya que 0F > 264,5,05.F y por lo tanto la hipótesis nula se rechaza. La prueba de falta de ajuste también la pasa el modelo propuesto, ya que se cumple la condición 0F < 261,3,05.F , lo cual significa que no se rechaza la hipótesis nula, con lo que el modelo se ajusta a la superficie de respuesta real.

- 121 -

La última prueba a realizar para probar la adecuación del modelo es el análisis gráfico de los residuales. A continuación se muestran los resultados obtenidos:

Respuestas Predicción Residuales 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 2,30 0,66 1,64 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 7,65 0,66 6,99 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 9,02 0,66 8,36 0,00 0,66 -0,66 4,23 0,66 3,57 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 4,47 0,66 3,81 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 5,09 0,66 4,43 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 0,00 0,66 -0,66 3,58 0,66 2,92 3,10 0,66 2,44 0,00 0,66 -0,66 0,85 0,66 0,19 0,00 0,66 -0,66 1,46 0,66 0,80 0,00 0,66 -0,66

68,63 64,17 4,45 66,21 64,17 2,04 70,42 64,17 6,25 63,82 64,17 -0,35 56,26 64,17 -7,91 58,91 64,17 -5,26 76,42 64,17 12,24 63,67 64,17 -0,50 61,82 64,17 -2,36 63,56 64,17 -0,61 71,43 64,17 7,26 60,54 64,17 -3,63 60,79 64,17 -3,39 71,32 64,17 7,15 68,50 64,17 4,33 64,58 64,17 0,40 65,18 64,17 1,01

- 122 -

57,55 64,17 -6,62 61,20 64,17 -2,98 63,29 64,17 -0,88 73,93 64,17 9,76 64,26 64,17 0,09 60,16 64,17 -4,02 53,86 64,17 -10,31 68,65 64,17 4,47 65,29 64,17 1,12 64,80 64,17 0,63 64,24 64,17 0,07 63,83 64,17 -0,34 66,07 64,17 1,90 27,08 29,23 -2,15 25,57 29,23 -3,66 25,10 29,23 -4,13 22,51 29,23 -6,72 29,81 29,23 0,58 24,13 29,23 -5,10 27,85 29,23 -1,38 28,96 29,23 -0,26 29,31 29,23 0,08 34,24 29,23 5,01 23,55 29,23 -5,68 41,57 29,23 12,34 22,71 29,23 -6,51 21,81 29,23 -7,42 26,62 29,23 -2,61 37,30 29,23 8,07 39,33 29,23 10,10 27,82 29,23 -1,41 21,73 29,23 -7,50 30,67 29,23 1,44 24,64 29,23 -4,58 34,87 29,23 5,64 31,00 29,23 1,77 31,43 29,23 2,20 41,77 29,23 12,55 29,59 29,23 0,36 35,58 29,23 6,35 26,13 29,23 -3,10 34,97 29,23 5,74 25,77 29,23 -3,46 85,50 82,72 2,78 81,94 82,72 -0,78 87,54 82,72 4,82 83,22 82,72 0,50 77,59 82,72 -5,13 75,02 82,72 -7,69 84,67 82,72 1,96 88,11 82,72 5,40 78,71 82,72 -4,01 85,60 82,72 2,88

- 123 -

82,09 82,72 -0,63 81,79 82,72 -0,92 79,27 82,72 -3,44 88,51 82,72 5,80 87,92 82,72 5,21 78,22 82,72 -4,49 84,32 82,72 1,60 80,40 82,72 -2,32 81,36 82,72 -1,35 83,51 82,72 0,79 91,47 82,72 8,75 77,50 82,72 -5,22 82,63 82,72 -0,09 78,60 82,72 -4,12 75,15 82,72 -7,57 79,03 82,72 -3,69 84,93 82,72 2,21 79,13 82,72 -3,59 80,75 82,72 -1,97 85,65 82,72 2,94 12,95 16,97 -4,02 12,63 16,97 -4,34 19,52 16,97 2,55 23,67 16,97 6,70 8,34 16,97 -8,62

10,92 16,97 -6,04 13,88 16,97 -3,08 24,69 16,97 7,72 22,98 16,97 6,01 16,80 16,97 -0,17 9,00 16,97 -7,97

22,23 16,97 5,27 1,62 16,97 -15,35

15,26 16,97 -1,70 10,58 16,97 -6,38 23,89 16,97 6,92 22,82 16,97 5,85 17,63 16,97 0,66 7,69 16,97 -9,27

22,57 16,97 5,60 5,25 16,97 -11,72

18,03 16,97 1,07 13,51 16,97 -3,46 19,37 16,97 2,41 20,72 16,97 3,75 18,33 16,97 1,36 25,50 16,97 8,53 21,65 16,97 4,69 12,61 16,97 -4,36 15,81 16,97 -1,16 77,14 75,47 1,68 71,03 75,47 -4,43 75,43 75,47 -0,04

- 124 -

79,92 75,47 4,45 71,99 75,47 -3,48 63,93 75,47 -11,54 76,98 75,47 1,51 77,88 75,47 2,42 77,29 75,47 1,82 82,95 75,47 7,49 77,49 75,47 2,02 73,92 75,47 -1,55 72,02 75,47 -3,45 80,08 75,47 4,62 77,33 75,47 1,87 74,60 75,47 -0,87 74,85 75,47 -0,62 77,93 75,47 2,46 78,38 75,47 2,91 70,94 75,47 -4,53 80,20 75,47 4,73 77,75 75,47 2,29 70,15 75,47 -5,31 74,74 75,47 -0,72 73,93 75,47 -1,53 70,47 75,47 -5,00 77,33 75,47 1,86 73,77 75,47 -1,69 70,81 75,47 -4,66 80,14 75,47 4,67 36,82 37,67 -0,85 42,77 37,67 5,10 36,83 37,67 -0,84 26,28 37,67 -11,39 35,17 37,67 -2,50 23,83 37,67 -13,84 33,88 37,67 -3,79 39,83 37,67 2,16 46,12 37,67 8,45 45,49 37,67 7,82 31,19 37,67 -6,48 37,33 37,67 -0,34 38,36 37,67 0,69 37,43 37,67 -0,24 37,11 37,67 -0,56 42,71 37,67 5,04 39,21 37,67 1,54 39,46 37,67 1,79 42,11 37,67 4,45 43,34 37,67 5,67 37,66 37,67 -0,01 31,51 37,67 -6,16 29,86 37,67 -7,81 21,61 37,67 -16,06 34,19 37,67 -3,48 35,29 37,67 -2,38

- 125 -

35,03 37,67 -2,64 34,23 37,67 -3,44 39,43 37,67 1,76 40,07 37,67 2,40 64,41 61,22 3,19 64,37 61,22 3,14 61,42 61,22 0,19 62,36 61,22 1,13 54,95 61,22 -6,27 56,67 61,22 -4,56 63,66 61,22 2,44 58,41 61,22 -2,81 63,62 61,22 2,39 66,68 61,22 5,46 56,88 61,22 -4,34 60,00 61,22 -1,22 67,38 61,22 6,16 69,01 61,22 7,78 65,65 61,22 4,43 61,07 61,22 -0,15 56,28 61,22 -4,94 65,83 61,22 4,61 63,95 61,22 2,72 60,52 61,22 -0,71 67,93 61,22 6,71 62,67 61,22 1,44 60,97 61,22 -0,25 52,04 61,22 -9,18 55,68 61,22 -5,54 49,65 61,22 -11,57 57,07 61,22 -4,16 65,29 61,22 4,06 70,41 61,22 9,19 66,69 61,22 5,47 46,07 51,47 -5,40 53,15 51,47 1,68 60,92 51,47 9,45 46,78 51,47 -4,68 54,01 51,47 2,54 47,41 51,47 -4,06 57,15 51,47 5,68 51,22 51,47 -0,25 50,17 51,47 -1,30 48,74 51,47 -2,72 48,49 51,47 -2,98 50,73 51,47 -0,73 56,23 51,47 4,77 57,29 51,47 5,82 56,57 51,47 5,10 61,94 51,47 10,47 52,83 51,47 1,36 61,08 51,47 9,61 56,44 51,47 4,98

- 126 -

50,01 51,47 -1,46 59,33 51,47 7,86 50,95 51,47 -0,51 47,20 51,47 -4,27 44,14 51,47 -7,33 45,72 51,47 -5,75 40,40 51,47 -11,07 46,38 51,47 -5,08 57,69 51,47 6,22 55,04 51,47 3,57 51,07 51,47 -0,39

Tabla 5.19. Residuales del modelo de segundo orden propuesto.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-14.14 -7.47 -0.80 5.86 12.53

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.7. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo propuesto.

- 127 -

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.8. Residuales frente a Ŷ en el experimento central compuesto con centros en las caras.

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0 20 40 60 80 100 120

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.9. Residuales frente al orden de avaluación del experimento central compuesto con centros en las caras. En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen bastante aproximadamente una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo. En las otras dos gráficas no se aprecia que los puntos sigan ningún patrón. Como consecuencia de estos resultados el modelo se puede dar por adecuado.

- 128 -

A tenor de los resultados obtenidos podemos asegurar que la superficie de respuesta proporcionada por este modelo de segundo orden se ajusta con bastante exactitud a la superficie de respuesta real en la región de experimentación. El siguiente paso, dentro del proceso secuencial de la metodología RSM, es encontrar el máximo, si existe, de la superficie de respuesta ajustada. Este punto singular se puede hallar de forma analítica expresando el modelo en forma matricial (ver apartado cuarto del capítulo cuatro):

Bxxbxy ''ˆˆ 0 ++= β (63) y aplicando la formula:

bBxs1

21 −−= (64)

En nuestro caso las matrices que intervienen van a tener los siguientes valores:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

xx

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

37.1111.29

b ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=02.225.125.125.5

B

y el punto estacionario va a resultar en variables codificadas:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

29.147.2

sx

que en variables naturales corresponde con el punto:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

59.1047.5

sx

El siguiente paso es caracterizar el punto singular hallado, para lo que bastará con observar el signo de los coeficientes del modelo expresado en forma canónica (ver sección 4.4). Estos coeficientes son los autovalores de la matriz B, y para hallarlos no hay más que plantear el determinante: |B- λ I| = 0

002.225.1

25.125.5=

−−−−−−

λλ

- 129 -

y hallar las raíces λ1 y λ2 de la ecuación de segundo grado resultante, dando como resultado: λ1 = -1.60 λ2 = -5.67 El modelo en forma cónica queda de la forma:

22

12 67.560.1ˆˆ wwyy s −−=

con lo que el punto singular es un máximo al ser los dos autovalores negativos. Observando el punto hallado, xs1 = 5.74, xs2 = 10.59, vemos que este no es viable ya que ambos valores deberían de ser números enteros. Para nuestros propósitos el punto a considerar deberá ser uno de los cuatro enteros que lo rodean. Cada uno de estos cuatro puntos hay que validarlo, es decir, comparar el valor real del nivel de servicio con el valor que el modelo nos predice en ellos. Los resultados son los siguientes:

K(0) (Factor A) E (Factor B) Valor Real IC (99%) Valor Predicho 5 10 93.253±1.100 92.153 <> 94.353 93.70 6 10 95.147±1.136 94.011 <> 96.283 94.19 5 11 93.756±1.041 92.715 <> 94.797 94.56 6 11 96.301±0.579 95.722 <> 96.880 93.79

Tabla 5.20. Validación puntos singulares. Se observa que el nivel de servicio va creciendo conforme aumentan los valores de K (0) y E. Además, estos valores se encuentran alejados del nivel de servicio objetivo, por lo que consideramos que es conveniente ajustar un nuevo modelo para intentar movernos a una zona de la superficie de respuesta que ofrezca unos valores más cercanos al nivel de servicio deseado. También hay que hacer notar que el valor predicho para el punto (6,11) no esta comprendido dentro del intervalo de confianza (IC en la tabla) obtenido en la simulación para estos valores de K (0) y E A priori, el punto idóneo alrededor del cual se va a ajustar la nueva región de experimentación, es el (6,11), ya que es el que ofrece un mayor nivel de servicio medio y unos mayores valores del nivel de servicio dentro de su intervalo de confianza. El nuevo experimento con observaciones en el punto central se muestra en la siguiente figura:

- 130 -

(5,10) (7,10)

(5,12)

(6,11)

Factor A

Facto

r B

(7,12)

Figura 5.5. Región de experimentación del nuevo experimento con punto central. Los nuevos escenarios son:

Escenario K(0) E 1 5 10 2 7 10 3 5 12 4 7 12 5 6 11

Tabla 5.21. Escenarios en el nuevo experimento con punto central en variables naturales. En variables codificadas tenemos:

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 5.22. Escenarios en el nuevo experimento con punto central en variables codificadas. Los resultados obtenidos en la nueva región de experimentación son:

- 131 -

Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP1 93.253 2.3395 14.992 0.0070 2 96.784 1.2659 16.979 0.0256 3 95.165 1.7170 16.984 0.0089 4 98.104 0.9059 18.969 0.0312 5 96.301 1.2306 16.978 0.0255

Tabla 5.23. Resultados de las simulaciones de los escenarios del segundo experimento con punto central. El análisis de varianza que se obtiene con las nuevas observaciones es:

Termino Efectos SS Porcentajes g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 3,16 301,09 42,77 1 301,09 133,54 3,91 B 1,54 72,06 10,24 1 72,06 31,96 3,91

AB -0,22 1,58 0,22 1 1,58 0,70 3,91 Error 329,20 46,77 146 2,25 Total 703,92 100,00 149

Tabla 5.24. Análisis de varianza del segundo experimento con punto central. Donde se observa la significación de los efectos principales, por lo que el modelo ajustado va a ser el siguiente en variables codificadas:

21 77.058.195.95ˆ xxy ++= y en variables naturales:

21 77.058.192.77ˆ ξξ ++=y El siguiente paso es someter al modelo a la batería de pruebas destinadas a comprobar su adecuación. En la tabla siguiente se muestran los resultados tras someter al modelo a la prueba de significación de los coeficientes y a la prueba de falta de ajuste:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 373,15 2 186,57 82,92 3,06 Residual 330,77 147 2,25

(Falta de ajuste LOF) 6,24 2 3,12 1,39 3,06 (Error puro) 324,53 145 2,24

Total 703,92 149 Tabla 5.25. Pruebas de significación y falta de ajuste del modelo de primer orden propuesto.

- 132 -

En la tabla se observa que la condición de rechazo de la hipótesis de significación se cumple, 82.92 > 3.06, por lo que pedemos rechazar la hipótesis nula, siendo por tanto el modelo ajustado significativo. Para la prueba de la falta de ajuste el estadístico Fo es menor que F0.05, 2, 145 (1.39 < 3.06), por lo que se acepta la hipótesis nula, lo que significa que el modelo lineal propuesto se ajusta a la superficie de respuesta real. La última prueba de esta batería es el análisis grafico de los residuales, consistente en el estudio de las gráficas de la distribución normal de los residuales, la representación de estos frente a la respuesta predicha y a la representación de aquellos frente al orden de realización de las observaciones. A continuación se muestran los residuales obtenidos, así como, las tres graficas mencionadas:

Respuestas Predicción Residuales 94,62 93,59 1,03 96,41 93,59 2,82 94,38 93,59 0,79 94,70 93,59 1,11 94,45 93,59 0,86 90,07 93,59 -3,52 92,16 93,59 -1,43 90,74 93,59 -2,85 95,02 93,59 1,43 95,09 93,59 1,51 89,48 93,59 -4,11 90,87 93,59 -2,72 94,27 93,59 0,68 90,25 93,59 -3,34 91,94 93,59 -1,65 96,49 93,59 2,90 93,56 93,59 -0,03 93,45 93,59 -0,13 91,43 93,59 -2,16 95,21 93,59 1,62 92,06 93,59 -1,53 94,67 93,59 1,08 96,63 93,59 3,04 90,69 93,59 -2,90 92,56 93,59 -1,03 96,18 93,59 2,59 92,81 93,59 -0,78 92,27 93,59 -1,32 94,52 93,59 0,93 94,64 93,59 1,05 96,27 96,76 -0,49 96,21 96,76 -0,55 97,42 96,76 0,66 97,50 96,76 0,74 96,37 96,76 -0,39

- 133 -

98,79 96,76 2,04 96,75 96,76 0,00 97,21 96,76 0,45 95,47 96,76 -1,29 96,28 96,76 -0,47 96,98 96,76 0,22 95,55 96,76 -1,21 98,96 96,76 2,20 95,11 96,76 -1,65 97,54 96,76 0,78 96,10 96,76 -0,66 96,89 96,76 0,13 96,27 96,76 -0,49 92,74 96,76 -4,02 98,04 96,76 1,29 95,55 96,76 -1,20 95,29 96,76 -1,47 97,37 96,76 0,62 98,45 96,76 1,69 98,08 96,76 1,33 97,19 96,76 0,43 97,88 96,76 1,12 97,17 96,76 0,41 96,95 96,76 0,19 97,14 96,76 0,38 93,23 95,14 -1,91 94,85 95,14 -0,29 96,62 95,14 1,48 97,16 95,14 2,02 91,14 95,14 -3,99 96,11 95,14 0,97 94,30 95,14 -0,84 95,88 95,14 0,74 91,66 95,14 -3,48 95,94 95,14 0,80 97,30 95,14 2,17 93,55 95,14 -1,59 97,71 95,14 2,57 92,89 95,14 -2,24 95,78 95,14 0,64 95,43 95,14 0,29 93,99 95,14 -1,15 96,52 95,14 1,38 94,59 95,14 -0,55 97,48 95,14 2,34 92,06 95,14 -3,08 95,20 95,14 0,06 96,63 95,14 1,49 95,80 95,14 0,66 95,30 95,14 0,16 95,03 95,14 -0,11 96,72 95,14 1,58 94,39 95,14 -0,75

- 134 -

95,71 95,14 0,57 95,97 95,14 0,83 98,84 98,31 0,53 97,94 98,31 -0,36 98,69 98,31 0,39 98,44 98,31 0,13 98,62 98,31 0,31 98,69 98,31 0,38 95,81 98,31 -2,50 97,91 98,31 -0,40 98,40 98,31 0,10 97,71 98,31 -0,60 97,18 98,31 -1,13 96,22 98,31 -2,09 99,56 98,31 1,26 99,08 98,31 0,77 98,05 98,31 -0,26 98,46 98,31 0,15 98,93 98,31 0,63 97,97 98,31 -0,33 96,69 98,31 -1,62 99,05 98,31 0,74 99,01 98,31 0,70 97,54 98,31 -0,77 99,09 98,31 0,78 98,22 98,31 -0,09 98,64 98,31 0,34 98,69 98,31 0,38 97,31 98,31 -1,00 97,23 98,31 -1,08 98,18 98,31 -0,13 96,99 98,31 -1,32 94,62 95,95 -1,33 95,83 95,95 -0,12 95,54 95,95 -0,40 95,98 95,95 0,04 96,36 95,95 0,41 98,79 95,95 2,84 96,67 95,95 0,72 97,53 95,95 1,58 94,70 95,95 -1,25 97,60 95,95 1,65 97,23 95,95 1,28 95,39 95,95 -0,56 97,95 95,95 2,01 93,98 95,95 -1,97 96,36 95,95 0,41 95,96 95,95 0,01 96,22 95,95 0,27 96,34 95,95 0,39 94,77 95,95 -1,18 98,10 95,95 2,15 94,42 95,95 -1,52

- 135 -

95,32 95,95 -0,62 96,64 95,95 0,69 97,84 95,95 1,89 97,61 95,95 1,66 95,06 95,95 -0,89 97,57 95,95 1,62 96,85 95,95 0,90 96,18 95,95 0,24 95,61 95,95 -0,34

Tabla 5.26. Residuales del modelo de primer orden propuesto.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-2.77 -1.57 -0.36 0.84 2.05

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.10. Probabilidad normal de los residuales del modelo de primer orden propuesto.

- 136 -

-5,00-4,00-3,00

-2,00-1,000,001,002,00

3,004,005,00

93,00 94,00 95,00 96,00 97,00 98,00 99,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.11. Residuales frente a la respuesta predicha por el modelo lineal propuesto.

-5,00-4,00

-3,00-2,00-1,000,00

1,002,003,00

4,005,00

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.12. Residuales frente al orden de realización de las observaciones del modelo lineal propuesto. En la gráfica de la probabilidad normal se aprecia que los puntos siguen de una forma bastante aproximada una línea recta. Esto indica que el modelo cumple el supuesto de normalidad. Observando la gráfica podemos apreciar que ambas ramas tienen aproximadamente la misma longitud, indicando esto que no se aprecia ningún sesgo.

- 137 -

Por otro lado, también se puede observar que la rama de la izquierda es algo más gruesa que la de la derecha, significando esto que los residuales negativos son algo más grandes que los positivos en valor absoluto. Esto es de poca importancia por lo que consideramos que el modelo no violaba los supuestos de normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los puntos sigan ningún patrón, por lo que se considera que el modelo supera estas pruebas y se puede considerar adecuado. Si se observan los coeficientes del modelo ajustado, vemos que ambos son positivos, lo que indica que aumentando el valor de los dos parámetros aumenta el nivel de servicio. Gráficamente, esto significa que siguiendo la superficie ajustada en sentido ascendente es de esperar que podamos llegar al punto óptimo perseguido, que recordemos, no es más, que el punto de mayor nivel de servicio con el menor inventario. Esto lo podemos hacer rápidamente aplicando el algoritmo de la máxima pendiente que se vio con detalle en el apartado cuarto del capítulo cuatro. La variable con mayor coeficiente de regresión es la x1 por lo que la pendiente de la trayectoria de máximo ascenso va a venir dada por el cociente 0.77/1.58. Esto significa que por cada unidad que aumente x1, x2 lo va a hacer en 0.49 unidades. Debido a que el número de tarjetas ha de ser un valor entero, el paso que vamos a escoger para la variable x1 va a ser de dos unidades que corresponden prácticamente con una unidad de aumento para la variable x2. Estos valores equivalen, en variables naturales, con aumentos de dos tarjetas para el parámetro K (0) y de una para el parámetro E, respectivamente. En la tabla 5.27 se muestran los puntos de la trayectoria de máximo descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella. En la gráfica 5.13 se grafican los niveles de servicio medio obtenidos a lo largo de dicha trayectoria:

Variables codificadas Variables naturales Respuestas Pasos x1 x2 ξ1 ξ2 Nivel de Servicio WIP Origen 0 0 6 11 96,301±0.579 16,978±0.025

∆ 2 1 2 1 Origen+∆ 2 1 8 12 98,289±0.428 19,918±0.063

Origen+2∆ 4 2 10 13 99,093±0.321 22,887±0.050 Origen+3∆ 6 3 12 14 99,584±0.195 25,763±0.113 Origen+4∆ 8 4 14 15 99,728±0.153 28,567±0.207 Origen+5∆ 10 5 16 16 99,654±0.252 30,964±0.463 Origen+6∆ 12 6 18 17 99,668±0.181 31,939±1.523 Origen+7∆ 14 7 20 18 99,718±0.170 32,614±2.194 Origen+8∆ 16 8 22 19 99,574±0.229 32,869±3.209 Origen+9∆ 18 9 24 20 99,873±0.123 33,170±3.269

Origen+10∆ 20 10 26 21 99,828±0.225 33,367±3.228 Tabla 5.27. Trayectoria de máxima pendiente y repuestas del modelo ajustado.

- 138 -

96,000

97,000

98,000

99,000

100,000

0 2 4 6 8 10 12

Pasos

Nive

l de

Ser

vici

o M

edio

Gráfica 5.13. Nivel de servicio medio obtenido a lo largo de la trayectoria de máxima pendiente. Como se puede observar no obtenemos un máximo a partir del cual las respuestas empiezan a disminuir, si no que los valores tienden asintóticamente al 100% de nivel de servicio. Este resultado está en consonancia con lo que la literatura muestra para el comportamiento de un sistema Conwip. El nivel de servicio esperado para el criterio tomado de ventas perdidas para la actitud de los clientes (ver sección 3.3) debería de estar en torno al 100% (Gaury; 2000). Nuestro objetivo es alcanzar el máximo nivel de servicio con el mínimo inventario en proceso, WIP, luego tenemos que tener en cuenta los valores de este. Si representamos el nivel de servicio contra el WIP obtenidos en los distintos puntos de la trayectoria obtenemos la gráfica siguiente:

- 139 -

96,000

96,500

97,000

97,500

98,000

98,500

99,000

99,500

100,000

100,500

15,000 20,000 25,000 30,000 35,000

WIP

Nive

l de

Ser

vici

o

Gráfica 5.14. Nivel de Servicio contra WIP sobre la trayectoria de la máxima pendiente. La curva obtenida empieza a ser muy asintótica para niveles superiores al 98 % de nivel de servicio. Es obvio que conforme aumenta el número de tarjetas también lo hace el nivel de servicio y el WIP, aunque, como indica la gráfica anterior, el aumento del WIP a partir de un nivel de servicio del 98 % va ser mucho mayor que el aumento del nivel de servicio para un número de tarjetas dado. Veamos por ejemplo, que pasar del paso uno al diez, supone pasar de un nivel de servicio del 98.289 % a otro del 99.828 %, lo que supone un incremento de un 1.57%. En ese mismo intervalo el WIP pasa de 19.918 unidades a 33.367, lo que supone un incremento del 67.67%. El WIP aumenta bastante más de lo que lo hace el nivel de servicio. Esto hace que perseguir niveles de servicio de un 100% genere un nivel de inventario económicamente inviable.

- 140 -

5.4.- APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA RSM. CASO λ=98% A partir de este momento se va a realizar una batería de experimentos análoga a la que se ha realizado hasta ahora, pero con un nivel de servicio objetivo del λ=98%. Tras la experiencia recogida en los experimentos anteriores consideramos que es más apropiado partir de una región de experimentación centrada en el punto (5, 6) ya que no se parte de un número de tarjetas tan bajo como en el caso de la batería de experimentos anteriormente realizada. En un primer paso vamos a intentar ajustar un modelo de primer orden por lo que la nueva región de experimentación va a presentar observaciones en el punto central para poder estimar el error experimental. Esta nueva región se muestra en la figura 5.6 y los escenarios, tanto en variables naturales como codificadas en las tablas 5.28 y 5.29:

(4,5) (6,5)

(4,7)

(5,6)

Factor A

Facto

r B

(6,7)

Figura 5.6. Región de experimentación del primer experimento con punto central para λ=98%.

Escenario K(0) E 1 4 5 2 6 5 3 4 7 4 6 7 5 5 6

Tabla 5.28. Escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%.

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 5.29. Escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%.

- 141 -

Los resultados obtenidos en estos escenarios has sido los que se muestran en la tabla siguiente: Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP

1 57.570 5.8443 9.022 0.0048 2 83.131 2.4611 11.007 0.0143 3 71.948 4.5252 11.014 0.0066 4 90.305 2.8848 12.996 0.0194 5 81.939 2.7248 11.011 0.0065

Tabla 5.30. Resultados de las simulaciones de los escenarios del primer experimento con punto central para λ=98%. El análisis de varianza ofrece el siguiente resultado:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 21,96 14466,18 67,35 1 14466,18 672,75 3,91 B 10,78 3483,29 16,22 1 3483,29 161,99 3,91 AB -3,60 389,15 1,81 1 389,15 18,10 3,91 Error 3139,43 14,62 146 21,50 Total 21478,04 100,00 149

Tabla 5.31. Análisis de varianza del primer experimento con punto central para λ=98%. Los resultados obtenidos indican que tanto los factores principales como la interacción entre ellos son significativos. El modelo de primer orden ajustado, en variables codificadas, va a ser: 2121 80.139.598.1098.76ˆ xxxxy −++= y en variables naturales: 2121 80.139.1478.2151.65ˆ ξξξξ −++−=y El siguiente paso es aplicar las pruebas que nos van a permitir conocer si el modelo ajusta es adecuado. Las pruebas de significación de los coeficientes del modelo y la prueba de la falta de ajuste de la superficie de respuesta ajusta y real se recoge en la tabla siguiente:

- 142 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 18338,62 3 6112,87 284,28 3,06 Residual 3139,43 146 21,50

(Falta de ajuste LOF) 922,77 1 922,77 60,36 3,06 (Error puro) 2216,66 145 15,29

Total 21478,04 149 Tabla 5.32. Pruebas de significación y falta de ajuste del primer experimento con punto central para

λ=98%. Se observa que el modelo es significativo, sin embargo no supera la prueba de la falta de ajuste. Esto significa que la superficie de respuesta real tiene una curvatura tal que un modelo lineal no la puede representar. A continuación, vamos a intentar ajustar un modelo de segundo orden, para lo que necesitamos convertir el experimento en uno central con centro en las caras. Para ello vamos a añadir cuatro observaciones axiales al igual que hicimos en la anterior batería de experimentos. La región de experimentación y los nuevos escenarios se muestran a continuación:

(4,5) (6,5)

(4,7)

(5,6)

Factor A

Facto

r B

(6,7)

(4,6)

(5,7)

(5,5)

(6,6)

Figura 5.7. Región de experimentación del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.

- 143 -

Escenario K(0) E 1 4 5 2 6 5 3 4 7 4 6 7 5 4 6 6 6 6 7 5 5 8 5 7 9 5 6

Tabla 5.33. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98% en

variables naturales.

Escenario K E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 -1 0 6 1 0 7 0 -1 8 0 1 9 0 0

Tabla 5.34. Escenarios en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%en

variables codificadas. Los resultados de las simulaciones en esta nueva región de experimentación han sido las siguientes: Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP

1 57.570 5.8443 9.022 0.0048 2 83.131 2.4611 11.007 0.0143 3 71.948 4.5252 11.014 0.0066 4 90.305 2.8848 12.996 0.0194 5 64.594 5.0789 10.019 0.0058 6 85.716 3.3080 12.004 0.0145 7 73.777 3.3075 10.017 0.0053 8 84.251 3.1375 12.007 0.0058 9 81.939 2.7248 11.011 0.0065

Tabla 5.35. Simulaciones de los escenarios del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.

- 144 -

El análisis de varianza del modelo completo ofrece los siguientes resultados:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo TablasA 21,96 21046,43 66,13 1 21046,43 1374,28 3,88 B 10,78 5128,01 16,11 1 5128,01 334,85 3,88 A2 -8,94 1200,02 3,77 1 1200,02 78,36 3,88 B2 -1,06 16,97 0,05 1 16,97 1,11 3,88 AB -3,60 389,15 1,22 1 389,15 25,41 3,88

Error 4043,03 12,70 264 15,31 Total 31823,60 100,00 269

Tabla 5.36. Análisis de varianza del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%. Según los resultados obtenidos todos los términos son significativos excepto el término cuadrático del factor B, por lo que el modelo buscado sería:

2122

2121 80.153.047.434.581.1034.80ˆ xxxxxxy −−−++=

Hay que hacer notar que aunque el termino cuadrático del factor B no resulta significativo en el análisis de varianza efectuado, el termino correspondiente a este factor debe de ser incluido en el modelo al ser significativa la interacción entre dicho factor y el factor A. A continuación se somete al modelo a las pruebas encaminadas a determinar si este es adecuado o no. En la tabla siguiente se muestran las pruebas de significación de los coeficientes y la de falta de ajuste:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 27780,58 5 5556,12 362,80 3,06 Residual 4043,03 264 15,31

(Falta de ajuste LOF) 129,99 3 43,33 2,89 3,06 (Error puro) 3913,04 261 14,99

Total 31823,60 269 Tabla 5.37. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento central compuesto con centros en las caras

para λ=98%. El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de ajuste. Ahora sólo queda por someterle al análisis gráfico de los residuales. En la tabla 5.38 se muestran los residuales y en las gráficas 5.15, 5.16 y 5.17 se grafican la probabilidad normal, los residuales frente a las respuestas predichas y los residuales frente al orden de realización de las observaciones respectivamente:

- 145 -

Respuestas Predicción Residuales 58,76 57,39 1,37 58,55 57,39 1,16 65,15 57,39 7,76 48,72 57,39 -8,67 48,60 57,39 -8,79 56,29 57,39 -1,10 55,87 57,39 -1,52 55,78 57,39 -1,60 58,89 57,39 1,51 63,18 57,39 5,79 58,51 57,39 1,12 55,89 57,39 -1,50 50,60 57,39 -6,79 65,75 57,39 8,36 65,20 57,39 7,81 56,52 57,39 -0,87 56,07 57,39 -1,32 62,39 57,39 5,00 61,76 57,39 4,37 58,87 57,39 1,48 66,16 57,39 8,77 55,67 57,39 -1,72 48,32 57,39 -9,07 59,47 57,39 2,08 49,23 57,39 -8,16 57,16 57,39 -0,23 61,02 57,39 3,63 49,88 57,39 -7,51 57,19 57,39 -0,20 64,69 57,39 7,30 80,51 82,62 -2,10 83,21 82,62 0,59 81,60 82,62 -1,01 83,12 82,62 0,50 81,21 82,62 -1,40 85,42 82,62 2,80 82,85 82,62 0,23 86,72 82,62 4,10 85,31 82,62 2,69 80,80 82,62 -1,82 85,61 82,62 2,99 86,80 82,62 4,18 82,30 82,62 -0,32 86,52 82,62 3,90 84,05 82,62 1,43 85,66 82,62 3,04 79,28 82,62 -3,33 81,09 82,62 -1,52 83,74 82,62 1,12 86,59 82,62 3,97 85,12 82,62 2,51 80,67 82,62 -1,94

- 146 -

81,19 82,62 -1,42 81,52 82,62 -1,10 79,06 82,62 -3,56 81,06 82,62 -1,56 85,32 82,62 2,70 85,95 82,62 3,33 82,20 82,62 -0,42 79,47 82,62 -3,15 71,07 71,66 -0,60 78,16 71,66 6,50 79,88 71,66 8,22 78,22 71,66 6,55 66,86 71,66 -4,81 67,05 71,66 -4,61 76,07 71,66 4,40 77,73 71,66 6,06 71,98 71,66 0,31 70,49 71,66 -1,17 77,82 71,66 6,16 65,33 71,66 -6,34 65,84 71,66 -5,83 76,60 71,66 4,93 70,33 71,66 -1,33 71,45 71,66 -0,21 67,97 71,66 -3,70 71,13 71,66 -0,54 71,24 71,66 -0,43 73,38 71,66 1,71 79,45 71,66 7,79 67,40 71,66 -4,26 67,98 71,66 -3,69 72,66 71,66 1,00 68,48 71,66 -3,19 68,52 71,66 -3,14 75,72 71,66 4,05 65,13 71,66 -6,54 69,74 71,66 -1,93 74,76 71,66 3,10 90,72 89,69 1,03 91,37 89,69 1,68 94,38 89,69 4,69 86,56 89,69 -3,13 90,17 89,69 0,48 91,61 89,69 1,92 85,55 89,69 -4,14 91,82 89,69 2,13 83,60 89,69 -6,08 92,80 89,69 3,11 92,41 89,69 2,72 92,93 89,69 3,24 89,93 89,69 0,24 89,36 89,69 -0,33 91,21 89,69 1,52

- 147 -

86,26 89,69 -3,43 90,22 89,69 0,53 94,11 89,69 4,42 87,38 89,69 -2,31 91,36 89,69 1,67 93,18 89,69 3,49 85,21 89,69 -4,48 90,32 89,69 0,63 93,09 89,69 3,41 94,16 89,69 4,47 90,98 89,69 1,29 90,19 89,69 0,50 87,18 89,69 -2,51 92,85 89,69 3,16 88,24 89,69 -1,45 68,63 65,06 3,57 66,21 65,06 1,15 70,42 65,06 5,37 63,82 65,06 -1,23 56,26 65,06 -8,79 58,91 65,06 -6,14 72,42 65,06 7,36 63,67 65,06 -1,39 61,82 65,06 -3,24 63,56 65,06 -1,50 71,43 65,06 6,37 60,54 65,06 -4,52 60,79 65,06 -4,27 71,32 65,06 6,26 68,50 65,06 3,44 64,58 65,06 -0,48 65,18 65,06 0,12 57,55 65,06 -7,51 61,20 65,06 -3,86 63,29 65,06 -1,77 73,93 65,06 8,87 64,26 65,06 -0,80 60,16 65,06 -4,90 54,86 65,06 -10,20 68,65 65,06 3,59 64,80 65,06 -0,26 64,24 65,06 -0,82 63,83 65,06 -1,22 66,07 65,06 1,01 63,90 65,06 -1,16 85,08 86,68 -1,60 78,97 86,68 -7,71 82,37 86,68 -4,31 88,17 86,68 1,49 88,62 86,68 1,93 80,91 86,68 -5,77 85,04 86,68 -1,64 85,48 86,68 -1,20

- 148 -

89,60 86,68 2,91 89,67 86,68 2,98 83,94 86,68 -2,75 85,72 86,68 -0,97 89,03 86,68 2,34 79,45 86,68 -7,23 86,67 86,68 -0,01 82,56 86,68 -4,12 91,14 86,68 4,45 83,56 86,68 -3,12 88,61 86,68 1,92 87,39 86,68 0,71 86,31 86,68 -0,37 85,36 86,68 -1,33 85,49 86,68 -1,19 88,09 86,68 1,41 83,64 86,68 -3,05 87,76 86,68 1,07 80,39 86,68 -6,29 84,79 86,68 -1,90 89,02 86,68 2,33 83,79 86,68 -2,90 72,80 74,47 -1,67 74,56 74,47 0,08 72,02 74,47 -2,46 74,85 74,47 0,38 73,30 74,47 -1,17 70,61 74,47 -3,86 81,40 74,47 6,93 71,60 74,47 -2,88 78,20 74,47 3,72 69,86 74,47 -4,62 77,76 74,47 3,29 72,58 74,47 -1,90 77,21 74,47 2,74 69,54 74,47 -4,94 73,17 74,47 -1,30 81,19 74,47 6,72 74,14 74,47 -0,33 70,53 74,47 -3,94 73,36 74,47 -1,11 75,33 74,47 0,85 75,71 74,47 1,24 77,62 74,47 3,14 69,15 74,47 -5,32 68,29 74,47 -6,18 76,50 74,47 2,02 71,80 74,47 -2,67 72,12 74,47 -2,35 72,90 74,47 -1,57 72,96 74,47 -1,52 72,24 74,47 -2,24 82,68 85,15 -2,47

- 149 -

80,23 85,15 -4,92 80,02 85,15 -5,13 88,81 85,15 3,66 86,34 85,15 1,19 80,81 85,15 -4,34 84,32 85,15 -0,83 83,69 85,15 -1,46 84,72 85,15 -0,43 88,92 85,15 3,77 82,73 85,15 -2,41 86,71 85,15 1,56 79,16 85,15 -5,98 83,90 85,15 -1,24 82,03 85,15 -3,12 89,59 85,15 4,44 82,58 85,15 -2,57 87,44 85,15 2,29 87,59 85,15 2,44 84,34 85,15 -0,81 81,85 85,15 -3,30 85,14 85,15 -0,01 84,70 85,15 -0,45 79,53 85,15 -5,62 86,38 85,15 1,24 80,02 85,15 -5,13 83,52 85,15 -1,63 85,79 85,15 0,64 83,23 85,15 -1,91 90,75 85,15 5,60 74,42 80,34 -5,92 83,27 80,34 2,92 80,76 80,34 0,42 86,29 80,34 5,94 79,18 80,34 -1,16 80,14 80,34 -0,21 81,99 80,34 1,65 85,20 80,34 4,86 82,42 80,34 2,07 80,49 80,34 0,14 84,43 80,34 4,08 82,71 80,34 2,37 82,30 80,34 1,95 84,45 80,34 4,10 82,41 80,34 2,06 85,02 80,34 4,68 76,91 80,34 -3,43 80,97 80,34 0,63 83,85 80,34 3,51 86,28 80,34 5,94 83,18 80,34 2,84 79,30 80,34 -1,05 81,26 80,34 0,91 78,61 80,34 -1,73

- 150 -

80,39 80,34 0,05 81,82 80,34 1,48 85,04 80,34 4,70 82,88 80,34 2,54 82,95 80,34 2,61 79,24 80,34 -1,10

Tabla 5.38. Residuales del experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-2.79 -6.25 0.29 6.82 13.36

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.15. Probabilidad normal de los residuales del modelo de segundo orden propuesto.

- 151 -

-14,00

-9,00

-4,00

1,00

6,00

11,00

50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.16. Residuales frente a Ŷ en el experimento central compuesto con centros en las caras para λ=98%.

-14,00

-9,00

-4,00

1,00

6,00

11,00

0 50 100 150 200 250

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.17. Residuales frente al orden de avaluación del experimento central compuesto con centros en

las caras para λ=98%. El análisis gráfico de los residuales confirma la adecuación del modelo. En la grafica de la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una línea recta. En esta grafica se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivas de los residuales, ya que la rama de la derecha es más amplia que la de la izquierda, aunque

- 152 -

este hecho no implica que se viole la hipótesis de normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los residuales sigan ningún patrón que haga pensar que están relacionados con la salida o con el orden de realización de las observaciones. Definitivamente el modelo se puede dar por adecuado. El modelo resultante en variables codificadas es:

2122

2121 80.153.047.434.581.1034.80ˆ xxxxxxy −−−++=

y en variables naturales:

2122

2121 80.153.047.472.2034.6673.190ˆ ξξξξξξ −−−++−=y

Hay que hacer notar que aunque el termino cuadrático del factor B no resulta significativo en el análisis de varianza efectuado, el termino correspondiente a este factor debe de ser incluido en el modelo al ser significativa la interacción entre dicho factor y el factor A. Seguidamente vamos a calcular analíticamente el máximo de esta superficie de respuesta ajustada. Primeramente vamos ha hallar un punto singular y caracterizarlo posteriormente. El cálculo se va a efectuar análogamente a como lo hicimos anteriormente, expresando el modelo ajustado en forma matricial:

Bxxbxy ''ˆˆ 0 ++= β (65) y aplicando la formula:

bBxs1

21 −−= (66)

En nuestro caso las matrices que intervienen van a tener los siguientes valores:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

xx

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

34.581.10

b ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=53.090.090.047.4

B

y el punto estacionario va a resultar en variables codificadas:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53.430.0

sx

que en variables naturales corresponde con el punto:

- 153 -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53.1030.5

sx

El siguiente paso es caracterizar el punto singular hallado, para lo que bastará con observar el signo de los coeficientes del modelo expresado en forma canónica (ver sección 4.4). Estos coeficientes son los autovalores de la matriz B, y para hallarlos no hay más que plantear el determinante: |B- λ I| = 0 (67)

053.090.0

90.047.4=

−−−−−−

λλ

y hallar las raíces λ1 y λ2 de la ecuación de segundo grado resultante, dando como resultado: λ1 = -0.33 λ2 = -4.67 El modelo en forma cónica queda de la forma:

22

12 67.433.0ˆˆ wwyy s −−=

al ser los dos autovalores negativos, el punto xs1 = 5.30, xs2 = 10.53 corresponde con un máximo. Sin embargo, este no es viable ya que ambos valores deberían ser números enteros. Para nuestros propósitos el punto a considerar deberá ser uno de los cuatro enteros que lo rodean. Cada uno de estos cuatro puntos hay que validarlo, es decir, comparar el valor real del nivel de servicio con el valor que el modelo nos predice en cada uno de ellos. Los resultados son los siguientes:

K(0) (Factor A) E (Factor B) Valor Real IC (99%) Valor Predicho 5 10 93,253±1.100 92.153<>94.353 93,184 6 10 95,047±1.099 93.948<>96.146 92,321 5 11 93,756±1.041 92.715<>94.797 93,734 6 11 96,062±0.510 95.552<>96.572 91,071

Tabla 5.39. Validación puntos singulares. En la tabla 5.39, por un lado se observa como el nivel de servicio real mejora conforme aumenta el valor de los parámetros K (0) y E, y por otro lado se aprecia, como los valores predichos se encuentran lejos del nivel de servicio predeterminado, que

- 154 -

recordemos es del 98%, y como los valores predichos para los puntos (6,10) y (6,11) no se encuentran dentro de los intervalos de confianza hallados en la simulación de la línea de producción para estos valores. Dada esta situación consideramos necesario ajustar un nuevo modelo en esta zona de la superficie de respuesta real que nos permita movernos hacia valores del nivel de servicio mayores y más cercanos al buscado. Pero antes de ello vamos a realizar una pequeña reflexión observando los resultados obtenidos anteriormente, cuando el nivel de servicio predeterminado era del 100% y los obtenidos hasta ahora con el nivel de servicio predeterminado del 98%. Llama la atención la similitud existente entre el máximo recién hallado y el que se halló cuando el nivel de servicio predeterminado era del 100%. En aquella ocasión se ajustó un modelo de segundo orden en una región de experimentación centrada en el punto (3,8), presentando un máximo en el punto xs1=5.47, xs2=10.59. Ahora, aunque se haya partido de una región centrada en un punto donde el valor del parámetro K (0) es mayor para evitar el efecto transitorio, se ha llegado prácticamente a la misma zona de la superficie de respuesta, y al igual que antes, ajustando un modelo de segundo orden. Los dos parámetros correspondientes al máximo para un nivel de servicio predeterminado del 98%, xs1 = 5.30, xs2 = 10.53, son ligeramente inferiores, en valor absoluto, que a los correspondientes al caso de un nivel de servicio predeterminado del 100%. Esto nos hace pensar que las superficies de respuesta pueden ser similares en su forma, y estar la correspondiente al nivel de servicio predeterminado del 98% ligeramente por debajo de la correspondiente a un nivel de servicio predeterminado del 100%. Para intentar averiguar esto último vamos a representar en la siguiente tabla los valores reales medios del nivel de servicio, hallados en las simulaciones para un nivel de servicio predeterminado del 100%, del 98% y su diferencia. K(0) E Valor Real (λ=100%) Valor Real (λ=98%) Diferencia valores medios

5 10 93.253±1.100 93,253±1.100 0 6 10 95.147±1.136 95,047±1.099 0.1 5 11 93.756±1.041 93,756±1.041 0 6 11 96.301±0.579 96,062±0.510 0.239

Tabla 5.40. Comparación superficies de repuesta para λ=100% y λ=98%. Calculamos los efectos de aumentar el parámetro K (0) y E, así como su interacción:

170.020

21.0239.0)0( =−

+=K

070.02

01.2

0239.0=

+−

+=E

- 155 -

070.02

01.02

0239.0)0( =−

−−

=EK

Como se puede observar todos los efectos son positivos, lo que indica que al aumentar los parámetros la diferencia se hace mayor, en especial si aumentamos el parámetro K (0), ya que su efecto es mayor. El valor positivo de la interacción indica que la diferencia aumenta conforme lo haga el parámetro K (0), y lo hará en mayor medida si el valor de E es mayor. Estos resultados parecen confirmar nuestra suposición. Tras este breve paréntesis proseguimos con el proceso de búsqueda de la región de la superficie de respuesta que proporciones valores más cercanos a los deseados. Comenzaremos intentando ajustar un modelo de primer orden. La nueva región de experimentación se va a elegir alrededor del mejor punto de esta serie, que resulta ser el 6, 11, ya que en él el nivel de servicio es el mayor de los cuatro. Se va a tratar de ajustar un modelo lineal por lo que el nuevo experimento ha de ser con observaciones en el punto central. Este nuevo experimento se muestra en la siguiente figura:

(5,10) (7,10)

(5,12)

(6,11)

Factor A

Facto

r B

(7,12)

Figura 5.8. Región de experimentación del segundo experimento con punto central para λ=98%. Los nuevos escenarios se muestran en las dos siguientes tablas. En la primera en variables naturales y en la segunda en variables codificadas:

Escenario K(0) E 1 5 10 2 7 10 3 5 12 4 7 12 5 6 11

Tabla 5.41. Escenarios del segundo experimento con punto central para λ=98%.

- 156 -

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 5.42. Escenarios del segundo experimento con punto central para λ=98%. Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido: Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP

1 93.253 2.3395 14.992 0.0070 2 96.556 1.1587 16.948 0.0784 3 95.165 1.7170 16.984 0.0089 4 97.673 0.9200 18.884 0.1894 5 96.062 1.0847 16.936 0.1107

Tabla 5.43. Resultados de las simulaciones de los escenarios del segundo experimento con punto central

para λ=98%. El análisis de varianza de este experimento se muestra en la tabla 5.44:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 2,91 253,49 37,63 1 253,49 107,38 3,91 B 1,54 70,75 10,50 1 70,75 29,97 3,91

AB -0,40 4,71 0,70 1 4,71 2,00 3,91 Error 344,65 51,17 146 2,36 Total 673,60 100,00 149

Tabla 5.44. Análisis de varianza del segundo experimento para λ=98%. Como se puede observar los dos factores principales son significativos, no siendo así la interacción entre ellos, por lo que el modelo ajustado será el que se muestra a continuación: 21 77.045.175.95ˆ xxy ++= siempre y cuando pase la batería de pruebas encaminadas a probar su adecuación. Las dos primeras pruebas se muestran en la siguiente tabla:

- 157 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 324,24 2 162,12 68,22 3,06 Residual 349,36 147 2,38

(Falta de ajuste LOF) 8,36 2 4,18 1,78 3,06 (Error puro) 341,00 145 2,35

Total 673,60 149 Tabla 5.45. Prueba de significación y de la falta de ajuste del segundo experimento para λ=98%. En la tabla 5.45 se observa que el modelo ajustado pasa la prueba de significación de sus coeficientes, así como la de la falta de ajuste. El análisis gráfico de los residuales se muestra a continuación:

Respuestas Predicción Residuales 94,62 93,53 1,09 96,41 93,53 2,88 94,38 93,53 0,85 94,70 93,53 1,17 94,45 93,53 0,92 90,07 93,53 -3,46 92,16 93,53 -1,37 90,74 93,53 -2,79 95,02 93,53 1,49 95,09 93,53 1,57 89,48 93,53 -4,05 90,87 93,53 -2,66 94,27 93,53 0,74 90,25 93,53 -3,28 91,94 93,53 -1,59 96,49 93,53 2,96 93,56 93,53 0,03 93,45 93,53 -0,07 91,43 93,53 -2,10 95,21 93,53 1,68 92,06 93,53 -1,47 94,67 93,53 1,14 96,63 93,53 3,10 88,69 93,53 -4,84 92,56 93,53 -0,97 96,18 93,53 2,65 92,81 93,53 -0,72 92,27 93,53 -1,26 94,52 93,53 0,99 94,64 93,53 1,11 96,27 96,44 -0,17 96,21 96,44 -0,23 97,42 96,44 0,98 97,50 96,44 1,06 96,37 96,44 -0,06 96,57 96,44 0,14

- 158 -

96,75 96,44 0,32 97,21 96,44 0,77 95,47 96,44 -0,97 96,28 96,44 -0,15 96,98 96,44 0,54 95,67 96,44 -0,77 98,96 96,44 2,52 95,11 96,44 -1,33 97,54 96,44 1,10 96,10 96,44 -0,34 95,88 96,44 -0,56 96,27 96,44 -0,17 92,74 96,44 -3,70 96,13 96,44 -0,30 95,55 96,44 -0,88 95,29 96,44 -1,15 97,37 96,44 0,94 98,45 96,44 2,01 97,18 96,44 0,74 97,19 96,44 0,75 97,88 96,44 1,44 97,17 96,44 0,73 96,95 96,44 0,51 96,23 96,44 -0,20 93,23 95,06 -1,84 94,85 95,06 -0,21 96,62 95,06 1,55 97,16 95,06 2,09 91,14 95,06 -3,92 96,11 95,06 1,05 94,30 95,06 -0,76 95,88 95,06 0,81 91,66 95,06 -3,40 95,94 95,06 0,87 97,30 95,06 2,24 93,55 95,06 -1,51 97,71 95,06 2,65 92,89 95,06 -2,17 95,78 95,06 0,72 95,43 95,06 0,36 93,99 95,06 -1,07 96,52 95,06 1,45 95,18 95,06 0,11 97,48 95,06 2,41 92,06 95,06 -3,01 95,20 95,06 0,14 96,63 95,06 1,57 95,80 95,06 0,73 95,30 95,06 0,24 95,03 95,06 -0,03 96,72 95,06 1,66 94,39 95,06 -0,67 95,71 95,06 0,65

- 159 -

95,97 95,06 0,91 98,86 97,97 0,88 97,94 97,97 -0,03 98,69 97,97 0,72 98,44 97,97 0,47 95,76 97,97 -2,21 98,51 97,97 0,54 95,81 97,97 -2,17 97,91 97,97 -0,06 98,40 97,97 0,43 97,71 97,97 -0,26 97,18 97,97 -0,79 96,22 97,97 -1,75 96,66 97,97 -1,31 98,46 97,97 0,48 98,05 97,97 0,07 98,46 97,97 0,49 97,42 97,97 -0,55 97,97 97,97 0,00 97,67 97,97 -0,30 96,69 97,97 -1,28 98,11 97,97 0,14 98,87 97,97 0,90 97,54 97,97 -0,43 95,92 97,97 -2,05 98,22 97,97 0,25 98,64 97,97 0,67 98,05 97,97 0,07 97,31 97,97 -0,66 97,23 97,97 -0,75 98,18 97,97 0,20 94,62 95,75 -1,13 95,83 95,75 0,08 95,54 95,75 -0,21 95,98 95,75 0,23 96,36 95,75 0,61 97,22 95,75 1,47 96,67 95,75 0,92 97,53 95,75 1,78 94,70 95,75 -1,05 96,04 95,75 0,29 97,23 95,75 1,48 95,39 95,75 -0,36 97,95 95,75 2,20 93,98 95,75 -1,77 96,36 95,75 0,61 94,77 95,75 -0,98 96,49 95,75 0,74 96,34 95,75 0,59 94,77 95,75 -0,98 97,19 95,75 1,44 94,42 95,75 -1,33 95,32 95,75 -0,43

- 160 -

96,64 95,75 0,89 97,84 95,75 2,09 95,42 95,75 -0,33 95,06 95,75 -0,69 97,57 95,75 1,82 96,85 95,75 1,10 96,18 95,75 0,43 95,61 95,75 -0,14

Tabla 5.46. Residuales del segundo experimento para λ=98%.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-3.97 -2.47 -0.97 0.53 2.03

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.18. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.

- 161 -

-5,00-4,00-3,00

-2,00-1,000,001,002,00

3,004,005,00

92,00 94,00 96,00 98,00 100,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.19. Residuales frente a Ŷ en el segundo experimento caras para λ=98%.

-5,00-4,00

-3,00-2,00-1,000,00

1,002,003,00

4,005,00

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.20. Residuales frente al orden de avaluación del segundo experimento para λ=98%. En la grafica de la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una línea recta. En esta grafica se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivas de los residuales, ya que la rama de la derecha es más amplia que la de la

- 162 -

izquierda, aunque este hecho no implica que se viole la hipótesis de normalidad. En la gráfica en la que se grafican los residuales frente a las respuestas predichas se aprecia variabilidad de los residuales se pudiera reducir conforme se aumenta el número de tarjetas. Ninguno de estos dos aspectos parece importante, por lo que consideramos que el modelo se puede considerar adecuado. El modelo ajustado lo vamos a usar para movernos por la trayectoria de máximo ascenso a través de él, para ello vamos a aplicar el método de la máxima pendiente. La variable con mayor coeficiente de regresión es la x1 por lo que la pendiente de la trayectoria de máximo ascenso va a venir dada por el cociente 0.77/1.45. Esto significa que por cada unidad que aumente x1, x2 lo va a hacer en aproximadamente 0.53 unidades. Debido a que el número de tarjetas ha de ser un valor entero, el paso que vamos a escoger para la variable x1 va a ser de dos unidades que corresponden prácticamente con una unidad de aumento para la variable x2. Estos valores equivalen, en variables naturales, con aumentos de dos tarjetas para el parámetro K (0) por una para el parámetro E, respectivamente. En la tabla 5.45 se muestran los puntos de la trayectoria de máximo descenso y las respuestas halladas a lo largo de ella. En la gráfica 5.21 se grafican estas últimas:

Variables codificadas Variables naturales Respuestas Pasos x1 x2 ξ1 ξ2 Nivel de Servicio WIP Origen 0 0 6 11 96,062±0.510 16.936±0.111 ∆ 2 1 2 1

Origen+∆ 2 1 8 12 97,782±0.339 19.777±0.205 Origen+2∆ 4 2 10 13 98,199±0.360 22.283±0.571 Origen+3∆ 6 3 12 14 98,343±0.288 24.541±0.827 Origen+4∆ 8 4 14 15 98,454±0.256 25.673±1.020 Origen+5∆ 10 5 16 16 98,467±0.213 24.683±1.972 Origen+6∆ 12 6 18 17 99,068±0.276 23.031±2.601 Origen+7∆ 14 7 20 18 99,054±0.278 25.402±2.405

Tabla 5.47. Trayectoria de máxima pendiente y repuestas del modelo ajustado.

- 163 -

95

96

97

98

99

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pasos

Nive

l de

Serv

icio

Med

io

Gráfica 5.21. Nivel de servicio medio en la trayectoria de la máxima pendiente. El nivel de servicio objetivo es el del 98% y el punto sobre la trayectoria de la máxima pendiente que esta más próximo a ese nivel, sin rebasarlo, es el correspondiente a un número de tarjetas K (0) = 8 y E = 12, donde el nivel de servicio medio alcanza un valor del 97,782 %. También se puede apreciar que es el primer punto en el que el valor del 98% se incluye dentro de su intervalo de confianza. En la gráfica 5.21 se puede apreciar el típico comportamiento de un sistema Conwip, comentado anteriormente. Anteriormente se comentó que el punto óptimo buscado sería aquel que estuviera lo más cerca posible de un nivel de servicio del 98%, y con un inventario lo más bajo posible. Con el hallazgo del punto (8,12) pudiera parecer que hemos conseguido nuestro propósito, sin embargo no podemos afirmar que este sea el único punto que cumple estas premisas, por lo que creemos conveniente plantear de nuevo un experimento centrado en este punto con el fin de ajustar un nuevo modelo que nos permita ajustar una superficie de respuesta de cuyo análisis podemos extraer un conocimiento más exacto de cómo se comporta el sistema para estos niveles de los parámetros K(0) y E, y hallar el punto que más se acerque a nuestros deseos. El nuevo experimento y los nuevos escenarios se muestran a continuación:

- 164 -

(7,11) (9,11)

(7,13)

(8,12)

Factor A

Fact

or B

(9,13)

Figura 5.9. Región de experimentación del tercer experimento con punto central para λ=98%.

Escenario K(0) E 1 7 11 2 9 11 3 7 13 4 9 13 5 8 12

Tabla 5.48. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%.

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 5.49. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%. El resultado de las simulaciones ha sido:

Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP1 97.519 0.9610 17.909 0.1268 2 97.763 0.6526 19.691 0.2493 3 97.612 0.6754 19.867 0.1638 4 98.046 0.7027 21.491 0.4064 5 97.782 0.7210 19.777 0.2051

Tabla 5.50. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer experimento con punto central

para λ=98%.

- 165 -

El análisis de varianza arroja el siguiente resultado:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 0,34 3,45 3,99 1 3,45 6,16 3,91 B 0,16 1,06 1,22 1 1,06 1,89 3,91

AB 0,10 0,27 0,31 1 0,27 0,48 3,91 Error 81,81 94,48 146 0,56 Total 86,59 100,00 149

Tabla 5.51. Análisis de varianza del tercer experimento con punto central para λ=98%. El resultado obtenido muestra que sólo el factor A es significativo. Esto significa que el modelo lineal que pretendemos ajustar sería, en variables codificadas, de la forma: 117.074.97ˆ xy += Veamos a continuación si este modelo pasa las pruebas de adecuación. Las pruebas de significación y de falta de ajuste se muestran en la tabla 5.52:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 3,45 1 3,45 6,14 3,91 Residual 83,14 148 0,56

(Falta de ajuste LOF) 1,38 3 0,46 0,82 2,67 (Error puro) 81,76 145 0,56

Total 86,59 149 Tabla 5.52. Prueba de significación y de la falta de ajuste del tercer experimento para λ=98%. El modelo lineal propuesto supera las pruebas de significación y la de falta de ajuste. A continuación se muestran los resultados del análisis gráfico de los residuales:

Respuestas Predicción Residuales 98,90 97,57 1,33 97,41 97,57 -0,16 98,35 97,57 0,77 98,19 97,57 0,62 97,17 97,57 -0,41 98,52 97,57 0,95 95,41 97,57 -2,16 96,74 97,57 -0,84 98,44 97,57 0,86 97,09 97,57 -0,48 98,14 97,57 0,56

- 166 -

97,60 97,57 0,03 97,23 97,57 -0,34 98,04 97,57 0,47 96,96 97,57 -0,61 96,22 97,57 -1,35 98,20 97,57 0,63 96,97 97,57 -0,61 97,17 97,57 -0,40 97,30 97,57 -0,28 97,68 97,57 0,11 97,66 97,57 0,09 95,18 97,57 -2,39 98,19 97,57 0,62 97,78 97,57 0,20 97,76 97,57 0,18 98,26 97,57 0,68 98,02 97,57 0,45 98,38 97,57 0,81 97,57 97,57 0,00 98,71 97,91 0,80 98,52 97,91 0,61 97,71 97,91 -0,20 98,26 97,91 0,34 98,20 97,91 0,28 97,90 97,91 -0,02 96,65 97,91 -1,27 96,28 97,91 -1,63 98,39 97,91 0,47 97,29 97,91 -0,62 97,50 97,91 -0,42 98,18 97,91 0,26 98,12 97,91 0,21 97,44 97,91 -0,47 98,05 97,91 0,13 98,33 97,91 0,41 98,09 97,91 0,18 97,36 97,91 -0,55 97,52 97,91 -0,40 97,56 97,91 -0,36 97,64 97,91 -0,28 97,94 97,91 0,03 98,73 97,91 0,82 97,35 97,91 -0,57 97,99 97,91 0,08 97,81 97,91 -0,11 98,26 97,91 0,35 98,03 97,91 0,12 97,14 97,91 -0,77 95,97 97,91 -1,94 97,47 97,57 -0,11 98,21 97,57 0,64 97,90 97,57 0,32 98,27 97,57 0,70

- 167 -

97,80 97,57 0,22 97,87 97,57 0,30 96,76 97,57 -0,82 97,72 97,57 0,15 98,62 97,57 1,04 97,06 97,57 -0,52 97,17 97,57 -0,40 97,66 97,57 0,09 97,74 97,57 0,16 97,83 97,57 0,25 97,69 97,57 0,11 98,91 97,57 1,33 97,81 97,57 0,24 97,19 97,57 -0,38 96,65 97,57 -0,92 96,29 97,57 -1,29 97,88 97,57 0,31 98,45 97,57 0,88 98,68 97,57 1,10 97,64 97,57 0,06 97,62 97,57 0,04 96,79 97,57 -0,78 97,71 97,57 0,13 97,97 97,57 0,40 96,79 97,57 -0,78 96,22 97,57 -1,36 98,18 97,91 0,27 97,94 97,91 0,02 98,77 97,91 0,86 98,02 97,91 0,11 96,27 97,91 -1,64 98,13 97,91 0,22 97,30 97,91 -0,61 98,59 97,91 0,68 98,30 97,91 0,39 98,81 97,91 0,90 97,93 97,91 0,02 98,31 97,91 0,39 98,85 97,91 0,94 98,27 97,91 0,36 98,87 97,91 0,96 96,38 97,91 -1,53 98,42 97,91 0,50 98,63 97,91 0,72 97,65 97,91 -0,26 97,16 97,91 -0,75 98,20 97,91 0,28 97,64 97,91 -0,28 98,46 97,91 0,54 98,97 97,91 1,05 97,65 97,91 -0,26 96,74 97,91 -1,18 97,84 97,91 -0,07

- 168 -

98,53 97,91 0,61 98,31 97,91 0,40 98,26 97,91 0,34 97,96 97,74 0,21 98,26 97,74 0,51 97,80 97,74 0,05 98,91 97,74 1,17 97,24 97,74 -0,50 97,80 97,74 0,06 96,68 97,74 -1,06 97,00 97,74 -0,74 98,24 97,74 0,49 96,49 97,74 -1,26 96,67 97,74 -1,08 99,00 97,74 1,26 97,61 97,74 -0,14 97,92 97,74 0,17 97,40 97,74 -0,35 98,24 97,74 0,49 96,64 97,74 -1,11 96,91 97,74 -0,84 98,53 97,74 0,79 97,76 97,74 0,02 97,49 97,74 -0,25 98,56 97,74 0,82 97,90 97,74 0,16 98,91 97,74 1,16 97,68 97,74 -0,06 98,01 97,74 0,26 97,74 97,74 0,00 98,98 97,74 1,24 97,87 97,74 0,12 97,26 97,74 -0,49

Tabla 5.53. Residuales del tercer experimento para λ=98%.

- 169 -

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-3.16 -2.04 -0.91 0.21 1.33

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.22. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

97,50 98,00

Nivel de Servicio Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.23. Residuales frente a Ŷ en el tercer experimento caras para λ=98%.

- 170 -

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.24. Residuales frente al orden de avaluación del tercer experimento para λ=98%. En la gráfica de la probabilidad normal se observa que los puntos siguen una línea recta con mayor dificultad que en los casos anteriores. También se observa que la rama derecha es más larga que la izquierda, lo que puede significar que existe un ligero sesgo hacia los valores positivos de los residuales. Ninguno de los dos aspectos anteriores hace pensar que no se cumple la hipótesis de normalidad. En las otras dos graficas que forman parte del análisis de los residuales no se aprecia ningún patrón que haga pensar que el modelo ajustado no es adecuado, por lo que el modelo se considera satisfactorio. El modelo ajustado sólo depende del factor A y podemos seguir la trayectoria de la máxima pendiente aumentando su valor. El paso va a ser de una unidad, lo que corresponde con una tarjeta en las variables naturales, y el origen va a ser el centro de la región de experimentación. Como se puede ver en la tabla 5.54, en el primer paso ya sobrepasamos el límite impuesto para el nivel de servicio, por lo que vamos a detener nuestra búsqueda en este punto y por consiguiente en esta región de experimentación.

K(0) (Factor A) E (Factor B) Nivel de Servicio WIP 8 12 97.782±0.339 19.777±0.205 9 12 98.081±0.266 20.601±0.324 10 12 98.098±0.366 21.497±0.247

Tabla 5.54. Respuestas en la trayectoria de la máxima pendiente.

- 171 -

Hasta ahora, todos los experimentos realizados han tenido como objeto buscar la combinación de K (0) y E que ofreciera un nivel de servicio más cercano al predeterminado, que en nuestro caso ha sido el 98%. Aplicando la metodología RSM, se partió del punto (5,6), con un nivel de servicio medio del 81.939±1.282 %, y se ha llegado al (8,12) con un nivel de servicio medio del 97.782±0.339 %. En este punto de la experimentación, parece ser que hemos conseguido encontrar una superficie de respuesta que se ajusta adecuadamente a la real en las inmediaciones de los diferentes puntos que ofrecen un nivel de servicio muy próximo al predeterminado, pero desconocemos cual de ellos es el que ofrece un inventario en proceso menor. El siguiente paso que se va a seguir va a ser el de tratar de ajustar un modelo que nos ofrezca una superficie de respuesta suficientemente ajustada a la real en esta región, aunque esta vez, examinando el WIP como respuesta. Una vez sepamos como se comporta el WIP en esta región, estaremos en condiciones de elegir el punto idóneo. La región de experimentación y los experimentos van a ser los mismos que se han mostrado en la figura 5.9 y en las tablas 5.48 y 5.49. El WIP obtenido en estos escenarios se mostró en la tabla 5.50. El análisis de varianza se muestra a continuación:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 1,70 86,98 43,03 1 86,98 1396,90 3,91 B 1,88 105,89 52,38 1 105,89 1700,57 3,91

AB 0,19 0,19 0,09 1 0,19 2,99 3,91 Error 9,09 4,50 146 0,06 Total 202,15 100,00 149

Tabla 5.55. Análisis de varianza del experimento con punto central y WIP como respuesta para λ=98%. Los dos factores principales resultan significativos, no siendo así la interacción entre ellos. Por tanto, el modelo de primer orden ajustado será como se muestra a continuación: 21 94.085.075.19ˆ xxy ++= Como es habitual, a continuación sometemos al modelo a las pruebas encaminadas a probar su adecuación. En la tabla 5.56 se muestran la de significación la de los coeficientes y la de la prueba de ajuste:

- 172 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 192,88 2 96,44 1528,04 3,06 Residual 9,28 147 0,06

(Falta de ajuste LOF) 0,22 2 0,11 1,77 3,06 (Error puro) 9,06 145 0,06

Total 202,15 149 Tabla 5.56. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento con WIP como respuesta para

λ=98%. Estas dos pruebas las pasa el modelo ajustado, ya sólo queda esperar que pase el análisis gráfico de los residuales que se muestra a continuación:

Respuestas Predicción Residuales 17,66 17,96 -0,30 17,98 17,96 0,03 17,88 17,96 -0,07 17,98 17,96 0,03 17,86 17,96 -0,09 17,97 17,96 0,01 17,99 17,96 0,04 17,59 17,96 -0,36 17,98 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,84 17,96 -0,12 17,91 17,96 -0,04 17,99 17,96 0,03 17,90 17,96 -0,06 17,82 17,96 -0,14 17,50 17,96 -0,46 17,88 17,96 -0,08 17,98 17,96 0,03 17,98 17,96 0,02 17,91 17,96 -0,04 17,99 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,80 17,96 -0,16 17,99 17,96 0,03 17,99 17,96 0,03 17,98 17,96 0,02 17,98 17,96 0,03 19,62 19,66 -0,04 19,80 19,66 0,14 19,84 19,66 0,18 19,48 19,66 -0,18

- 173 -

19,38 19,66 -0,28 19,94 19,66 0,28 19,88 19,66 0,22 19,69 19,66 0,03 19,45 19,66 -0,21 19,63 19,66 -0,03 19,76 19,66 0,10 19,79 19,66 0,13 18,89 19,66 -0,76 19,94 19,66 0,28 19,80 19,66 0,14 19,99 19,66 0,33 19,99 19,66 0,33 19,98 19,66 0,32 19,92 19,66 0,26 19,72 19,66 0,06 19,40 19,66 -0,26 19,42 19,66 -0,24 19,58 19,66 -0,07 19,33 19,66 -0,33 19,98 19,66 0,32 19,75 19,66 0,09 19,76 19,66 0,11 19,68 19,66 0,02 19,56 19,66 -0,10 19,79 19,66 0,13 19,74 19,83 -0,10 19,87 19,83 0,04 19,92 19,83 0,09 19,85 19,83 0,01 19,64 19,83 -0,19 19,96 19,83 0,13 19,99 19,83 0,15 19,76 19,83 -0,08 19,97 19,83 0,14 19,98 19,83 0,15 19,98 19,83 0,15 19,84 19,83 0,00 19,80 19,83 -0,04 19,98 19,83 0,15 19,99 19,83 0,15 19,98 19,83 0,15 19,83 19,83 -0,01 19,99 19,83 0,16 19,97 19,83 0,14 19,81 19,83 -0,03 19,89 19,83 0,06 19,98 19,83 0,15 19,65 19,83 -0,19 19,98 19,83 0,15 19,98 19,83 0,15 19,79 19,83 -0,05 19,68 19,83 -0,15

- 174 -

19,24 19,83 -0,60 19,98 19,83 0,14 19,98 19,83 0,14 21,51 21,54 -0,03 21,86 21,54 0,32 21,53 21,54 0,00 21,78 21,54 0,24 21,48 21,54 -0,05 21,00 21,54 -0,53 21,55 21,54 0,01 21,40 21,54 -0,14 21,30 21,54 -0,24 21,48 21,54 -0,06 20,65 21,54 -0,89 21,96 21,54 0,43 21,68 21,54 0,14 21,98 21,54 0,44 21,61 21,54 0,07 21,99 21,54 0,45 21,99 21,54 0,45 20,89 21,54 -0,65 20,90 21,54 -0,64 21,77 21,54 0,24 21,96 21,54 0,42 21,39 21,54 -0,15 21,85 21,54 0,32 21,99 21,54 0,45 21,38 21,54 -0,16 21,87 21,54 0,33 21,70 21,54 0,17 21,44 21,54 -0,10 21,12 21,54 -0,42 21,21 21,54 -0,33 19,99 19,75 0,24 19,36 19,75 -0,38 19,98 19,75 0,24 19,75 19,75 0,00 19,84 19,75 0,09 19,94 19,75 0,20 19,65 19,75 -0,10 19,92 19,75 0,17 19,49 19,75 -0,26 19,90 19,75 0,16 19,76 19,75 0,02 19,97 19,75 0,22 19,77 19,75 0,02 19,92 19,75 0,17 19,98 19,75 0,24 19,53 19,75 -0,21 19,82 19,75 0,08 19,99 19,75 0,24 19,17 19,75 -0,57 19,76 19,75 0,01

- 175 -

19,46 19,75 -0,28 19,92 19,75 0,18 19,62 19,75 -0,13 19,81 19,75 0,06 19,75 19,75 0,00 19,85 19,75 0,10 19,98 19,75 0,23 19,89 19,75 0,14 19,86 19,75 0,11 19,67 19,75 -0,07

Tabla 5.57. Residuales del experimento con WIP como respuesta para λ=98%.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-1.05 -0.67 -0.30 108 0.45

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.25. Probabilidad normal de los residuales del modelo lineal propuesto.

- 176 -

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

17,00 22,00

WIP Predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.26. Residuales frente a Ŷ en el experimento con WIP como respuesta para λ=98%.

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.27. Residuales frente al orden de avaluación del experimento con WIP como respuesta para λ=98%. La grafica de la probabilidad normal muestra que los puntos siguen aproximadamente una línea recta, aunque con algo de dificultad. También se observa que la rama de la derecha es algo más larga que la de la izquierda, lo que puede indicar que existe algo de sesgo hacia los valores positivos de los residuales. Las otras dos gráficas no muestran

- 177 -

que los puntos sigan patrón alguno. Ninguno de los aspectos comentados nos hace pensar que no se cumple la hipótesis de normalidad para el error ni que los residuales tengan relación con la respuesta o el orden de realización de las simulaciones, por lo que damos por adecuado el modelo. Los dos modelos de primer orden obtenidos se muestran en la tabla siguiente, tanto en variables codificadas, como en variables naturales:

Respuesta Modelo ajustado Variables codificadas 116959.074406.97ˆ xy +=

Nivel de Servicio Variables naturales 116959.038734.96ˆ ξ+=y

Variables codificadas 21 93939.085139.074774.19ˆ xxy ++= WIP

Variables naturales 21 93939.085139.066302.1ˆ ξξ ++=y Tabla 5.58. Modelos ajustados. En el proceso objeto de estudio sólo intervienen dos factores, el parámetro K (0) y el E. Esto significa que las superficies de respuesta tienen tres dimensiones y su proyección dos, por lo que su representación es inmediata. Recordemos que las proyecciones de una superficie de respuesta sobre el plano definido por dos de sus factores, daba lugar a las gráficas de contornos (ver el apartado 4.4). Los contornos se representan por curvas que unen puntos con el mismo valor de respuesta, de la misma manera que en un mapa topográfico las curvas de nivel unen puntos de igual cota. El uso de estas gráficas va a permitir el uso del método de optimización por superposición de las graficas de contornos. El uso de este método gráfico es indicado en problemas de optimización multirespuesta en los que intervienen un número pequeño de factores, como es nuestro caso. Nosotros estamos interesados en encontrar una combinación de los parámetros K (0) y E que permitan funcionar a la línea de producción objeto de estudio con un nivel de servicio lo más cercano posible al 98% y con el menor inventario en proceso posible. Por medio de la superposición de las graficas de contorno vamos a poder hacernos una idea muy aproximada de cómo son las superficies de respuestas para el nivel de servicio y para el WIP, y poder escoger de un modo fácil e intuitivo, la combinación o combinaciones de estos parámetros que más se aproximen a nuestras necesidades. Las superficies de respuesta encontradas las podemos observar en las gráficas 5.28 y 5.29:

- 178 -

Gráfica 5.28. Superficie de respuesta para el nivel de servicio.

Gráfica 5.29. Superficie de respuesta para el WIP. Las graficas de contornos obtenidas, proyectando ambas superficies de respuesta sobre el plano K (0)-E, se muestran a continuación:

- 179 -

14

13

12

11

10109876

Nivel de Servicio

E (F

acto

r B)

K(0) (Factor A)

97,4697,52

97,57 97,69 97,80 97,91 98,0397,63 97,74 97,86 97,97 98,08

Gráfica 5.30. Gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el nivel de servicio.

14

13

12

11

10109876

WIP

E (F

acto

r B)

K(0) (Factor A)

16.666 17.293 18.55317.959 19.150 19.747

20.343

20.941

21.546

22.177

22.832

Gráfica 5.31. Gráfica de contorno de la superficie de respuesta para el WIP. Superponiendo ambas obtenemos la siguiente gráfica:

- 180 -

14

13

12

11

10109876

Nivel de Servicio - WIP

E (F

acto

r B)

K(0) (Factor A)

16.666 17.293 18.55317.959 19.150 19.747

20.343

20.941

21.546

22.177

22.832

97,4697,52

97,57 97,69 97,80 97,91 98,0397,63 97,74 97,86 97,97 98,08

Gráfica 5.32. Superposición de las gráficas de contorno de las superficies de respuesta. En la gráfica 5.32 los puntos rojos son los escenarios en los que se han realizado las simulaciones y sobre los que se han ajustado ambas superficies de respuesta. Observando la gráfica de superposición observamos que el mayor valor del parámetro K (0) admisible es el correspondiente a 9 tarjetas. Por la forma de los contornos azules, los correspondientes al WIP, se observa que el inventario disminuye en el sentido decreciente del parámetro E para un valor fijo de K (0). Según esto, la mejor combinación que se obtiene dentro de la región de experimentación es la K (0) = 9 y E = 11. Sin embargo, si acabamos aquí el análisis de esta gráfica corremos el riesgo de no tener en cuenta otros puntos que pueden dar mejores resultados que el anterior. Lo primero que se nos plantea es seguir el contorno K (0) = 9 (línea naranja vertical) en sentido descendente de E y estudiar el valor real en los puntos (9,10), (9,9), (9,8), y sucesivos, hasta que ya no cumplan los objetivos fijados. Esta forma de operar es análoga a la empleada en el método de la máxima pendiente, solo que en este caso no se va a seguir la trayectoria en la que la respuesta tiene un aumento máximo, si no aquella en la que se cumple una determinada característica como es la de tener un valor constante del nivel de servicio. Otro puntos a considerar serian los contenidos en el contorno K (0) = 10. Si observamos los modelos que se han ido ajustando para el nivel de servicio hasta llegar a este último vemos que los anteriores dependían de los dos factores, lo que significa que los contornos fuera de la última región de experimentación deben de ir perdiendo su paralelismo con el eje del factor E. Esto quiere decir que el nivel de servicio en el punto (10,9) y sucesivos, puede que sea inferior al 98%, por lo que tenemos que comprobar su valor real. Por este mismo motivo también vamos a comprobar el valor real en el contorno K (0) = 8. En la tabla siguiente se muestran los

- 181 -

resultados que ofrecen las simulaciones de la línea de producción para los puntos candidatos:

K(0) E Nivel de Servicio IC (99%) WIP 10 9 97.929±0.358 97.571<>98.287 18.676±0.146 10 8 97.826±0.428 97.398<>98.254 17.790±0.093 10 7 96.734±0.577 96.157<>97.311 16.852±0.134 9 11 97.763±0..307 97.456<>98.070 19.691±0.117 9 10 97.924±0.342 97.582<>98.266 18.709±0.157 9 9 97.552±0.371 97.181<>97.923 17.776±0.096 9 8 96.706±0.516 96.190<>97.222 16.872±0.076 8 12 97.782±0.339 97.443<>98.121 19.777±0.096 8 11 98.126±0.263 97.863<>98.389 18.779±0.114 8 10 97.424±0.456 96.968<>97.880 17.804±0.087

Tabla 5.59. Comparación de combinaciones candidatas. En todos los experimentos y comparaciones que se han realizado hasta este momento los valores que se han utilizado han sido valores medios y no ha sido necesario estudiar los intervalos de confianza. Si al analizar la tabla anterior, sólo nos fijamos en el nivel de servicio medio, la combinación que satisface los criterios de búsqueda sería la (10,9), ya que su nivel de servicio medio sería el más próximo al 98% y al no haber otra combinación con ese mismo valor, ni siquiera tendríamos que comparar distintos valores para el WIP. Sin embargo la información que nos ofrecen los intervalos de confianza no podemos pasarla por alto ya que corremos el riesgo de no tener en cuenta soluciones admisibles. A estas alturas de la experimentación necesitamos afinar los criterios de búsqueda usados hasta ahora. A partir de este momento consideraremos como solución admisible aquella cuyo nivel de servicio pueda tomar el valor del 98% dentro de su intervalo de confianza. Con este criterio el valor que tome el WIP va a ser decisivo, porque, de todas las soluciones admisibles escogeremos aquella que tenga menor WIP medio. La tabla 5.59 se puede dividir en tres grupos de resultados según el valor del parámetro K (0). Para cada uno de estos grupos los valores escogidos según el criterio anterior son los siguientes:

K(0) E Nivel de Servicio IC (99%) WIP 10 8 97.826±0.428 97.398<>98.254 17.790±0.093 9 10 97.924±0.342 97.582<>98.266 18.709±0.157 8 11 98.126±0.263 97.863<>98.389 18.779±0.114

Tabla 5.60. Selección de soluciones admisibles.

- 182 -

De estas tres combinaciones la mejor según el criterio empleado es la (10,8). Tiene el menor inventario en proceso y en su intervalo de confianza se puede alcanzar un nivel de servicio del 98%. Sin duda es candidata a ser la combinación óptima buscada, pero si observamos estas tres combinaciones podemos apreciar tres importantes características. Una es que el WIP tiende a disminuir conforme disminuye el parámetro E y aumenta K (0), otra que el nivel de servicio medio disminuye en este mismo sentido y por último, que el tamaño de los intervalos de confianza lo hace en sentido contrario al anterior. Si estos tres puntos de la tabla 5.59 los representamos en el plano K (0)-E, podemos observar como están prácticamente alineados.

13

12

11

10

9

1110987

E (F

acto

r B)

K(0) (Factor A)

8

Gráfica 5.33. Combinaciones candidatas y posible dirección de optimización. A la vista de los indicios que se extraen de la observación de los resultados mostrados en la tabla 5.60, uno se pregunta si los puntos que se encuentran en la dirección representada por una flecha verde en la gráfica 5.33 no pueden ser soluciones admisibles y alguna de ellas ser la óptima buscada. En la tabla siguiente se representan los puntos candidatos a lo largo de esta trayectoria, junto a los valores del nivel de servicio, intervalo de confianza y el inventario en proceso:

- 183 -

K(0) E Nivel de Servicio IC (99%) WIP 11 8 98,117±0,193 97.924<>98.310 18.706±0.136 11 7 97,828±0,378 97.450<>98.206 17.798±0.093 11 6 96.705±0.549 96.156<>97.254 16.815±0.101 12 7 98,074±0,286 97.788<>98.360 18.671±0.140 12 6 97,672±0,444 97.228<>98.116 17.660±0.153 12 5 96.677±0.581 96.096<>97.258 16.861±0.063 13 5 97,726±0,404 97.322<>98.130 17.439±0.311 13 4 96,702±0,523 96.179<>97.225 16.722±0.158 14 4 97,880±0,303 97.577<>98.183 17.330±0.284 14 3 96,523±0,530 95.993<>97.053 16.770±0.115 15 3 97,776±0,391 97.385<>98.167 17.171±0.305 15 2 96,822±0,500 96.322<>97.322 16.614±0.192 16 2 98,069±0,329 97.740<>98.398 17.408±0.258 16 1 97,139±0,577 96.562<>97.716 16.721±0.144 17 1 97,891±0,496 97.395<>98.387 17.626±0.497 17 0 97,080±0,592 96.488<>97.672 17.004±0.001 18 1 98,821±0,340 98.481<>99.161 18.471±0.200 18 0 98,457±0,564 97.893<>99.021 18.002±0.001

Tabla 5.61. Segunda selección de soluciones admisibles. En la tabla 5.61 las filas sombreadas son las correspondientes a las mejores soluciones admisibles por cada valor de K (0). Casi todas ellas tiene menor inventario en proceso que la combinación (10,8) mostrada en la tabla 5.60, y de todas ellas la que muestra un menor valor para este parámetro es la (15,3), con un WIP medio de 17.171. Para cada uno de los valores del parámetro K (0), si aumentamos el parámetro E, aumenta el inventario en proceso, por lo que, aun siendo soluciones admisibles, estas serian peores que las mostradas en las tablas 5.60 y 5.61, por lo que podemos afirmar que tras todo el proceso seguido la combinación K (0)-E óptima es la (15,3). Una característica que cumplen todas las soluciones admisibles con mínimo WIP, es que la suma de los dos parámetros es igual a 18, excepto para las combinaciones (9,10) y (8,11) que suman 19. Para demostrar que la combinación (15,3) es la óptima se ha realizado una búsqueda exhaustiva con todas las combinaciones razonables para el sistema objeto de estudio. Las tablas 5.62, 5.63 y 5.64 muestran el nivel de servicio medio, los intervalos de confianza para el nivel de servicio y el inventario en proceso respectivamente:

- 184 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

98,801

98,457

97,080

95,968

95,238

93,589

91,205

86,440

83,749

75,660

70,908

59,156

45,973

29,128

6,211

0

98,506

98,821

97,891

97,139

96,097

95,042

93,545

91,043

86,095

83,747

76,003

70,731

58,634

45,659

27,548

1

98,814

98,693

98,161

98,069

96,822

95,493

94,939

93,187

91,002

86,204

83,607

75,662

70,414

58,520

44,031

15,897

2

98,700

98,872

98,043

98,345

97,776

96,523

95,510

94,592

93,303

90,724

86,227

83,249

76,002

70,425

56,984

33,485

3

98,871

98,792

98,474

98,119

98,066

97,880

96,702

95,404

94,761

93,371

91,178

86,059

83,084

75,570

68,568

46,526

4

98,975

98,854

98,527

98,308

98,005

98,078

97,726

96,677

95,639

94,853

93,415

90,820

85,710

83,131

73,777

57,570

5

99,106

98,545

98,363

98,342

97,829

98,124

97,670

96,705

95,266

94,849

92,873

90,898

85,716

81,939

64,594

6

98,919

98,599

98,359

98,214

98,166

97,772

98,074

97,828

96,734

95,324

94,493

93,133

90,305

84,251

71,948

7

99,026

98,622

98,539

98,309

98,147

98,116

97,596

98,117

97,826

96,706

95,324

94,471

92,691

89,105

75,379

8

99,065

98,511

98,546

98,277

98,339

98,309

98,009

97,911

97,929

97,552

96,399

95,315

94,355

91,501

80,226

9

98,275

98,220

98,211

98,137

98,132

97,674

97,924

97,424

96,556

95,047

93,253

82,338

10

98,299

98,509

98,204

98,188

98,068

98,172

97,763

98,126

97,519

96,062

93,756

83,825

11

98,401

98,413

98,210

98,166

98,167

98,098

98,081

97,782

97,673

97,202

95,165

85,133

12

98,205

98,209

98,349

98,199

98,046

98,048

97,612

97,850

96,652

86,684

13

E

Nivel de Servicio M

edio

Tabla 5.62.Búsqueda exhaustiva. Nivel de servicio medio.

- 185 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

98,505<>99,097

97,893<>99,021

96,488<>97,672

94,976<>96,960

94,244<>96,232

92,623<>94,555

89,966<>94,426

84,962<>87,918

82,529<>84,969

74,009<>77,311

69,387<>72,429

57,198<>61,114

44,336<>47,610

26,890<>31,366

4,066<>8,356

0

97,934<>99,078

98,481<>99,161

97,395<>98,387

96,562<>97,716

95,298<>96,896

94,081<>96,003

92,636<>94,454

89,724<>92,362

84,500<>87,690

82,609<>84,885

74,537<>77,469

69,131<>72,331

56,605<>60,663

43,967<>47,351

25,049<>30,047

1

98,522<>99,106

98,247<>99,139

97,879<>98,443

97,740<>98,398

96,322<>97,322

94,500<>96,486

94,040<>95,838

92,168<>94,206

89,809<>92,195

84,552<>87,856

82,509<>84,705

74,193<>77,131

68,704<>72,124

56,876<>60,164

42,066<>45,996

12,477<>19,497

2

98,360<>99,040

98,531<>99,213

97,656<>98,460

98,125<>98,565

97,385<>98,167

95,993<>97,053

94,574<>96,446

93,566<>95,618

92,457<>94,149

89,380<>92,068

84,716<>87,738

81,948<>84,550

74,491<>77,980

68,870<>71,980

54,898<>59,070

30,581<>36,389

3

98,565<>99,177

98,346<>99,238

98,237<>98,711

97,816<>98,422

97,797<>98,335

97,577<>98,183

96,179<>97,225

94,370<>96,438

93,839<>95,683

92,465<>94,277

89,813<>92,546

84,450<>87,668

81,852<>84,316

73,891<>77,249

66,605<>70,531

44,015<>49,037

4

98,776<>99,174

98,447<>99,261

98,295<>98,759

97,945<>98,671

97,579<>98,431

97,737<>98,419

97,322<>98,130

96,096<>97,258

94,751<>96,527

93,902<>95,804

92,408<>94,422

89,545<>92,095

84,194<>87,226

81,974<>84,288

72,221<>75,333

54,821<>60,319

5

98,858<>99,354

98,296<>98,794

98,157<>98,569

98,147<>98,537

98,396<>98,262

97,861<>98,387

97,228<>98,116

96,156<>97,254

94,233<>96,299

93,996<>95,702

92,003<>93,743

89,500<>92,296

84,160<>87,272

80,657<>83,221

62,205<>62,205

6

E

IC (99%

) para el Nivel de Servicio

- 186 -

98,585<>99,253

98,366<>98,832

98,113<>98,605

97,902<>98,526

97,866<>98,466

97,515<>98,029

97,788<>98,360

97,450<>98,206

96,157<>97,311

94,329<>96,319

93,496<>95,490

92,226<>94,040

88,948<>91,662

82,775<>85,727

69,820<>74,076

7

98,747<>99,305

98,430<>98,814

98,333<>98,745

98,067<>98,551

97,759<>98,535

97,913<>98,319

97,230<>97,962

97,924<>98,310

97,398<>98,254

96,190<>97,222

94,244<>96,404

93,586<>95,356

91,865<>93,517

87,486<>90,724

73,491<>77,267

8

98,802<>99,328

98,306<>98,716

98,359<>98,733

98,030<>98,524

98,088<>98,590

98,075<>98,543

97,748<>98,270

97,647<>98,175

97.571<>98.287

97,181<>97,923

95,818<>96,980

94,372<>96,258

93,439<>95,271

90,393<>92,609

77,797<>82,655

9

98,011<>98,539

97,915<>98,525

97,982<>98,440

97,901<>98,373

97,775<>98,489

97,390<>97,958

97.582<>98.266

96,968<>97,880

96,011<>97,101

93,948<>96,146

92,153<>94,353

80,392<>84,284

10

98,032<>98,566

98,322<>98,696

97,961<>98,447

97,890<>98,486

97,677<>98,459

97,833<>98,511

97,456<>98,070

97.863<>98.389

97,067<>97,971

95,552<>96,572

92,715<>94,797

81,814<>85,836

11

98,169<>98,633

98,163<>98,663

97,929<>98,491

97,884<>98,448

97,954<>98,380

97,762<>98,434

97,815<>98,347

97,443<>98,121

97,240<>98,106

96,656<>97,748

94,359<>95,973

83,054<>87,212

12

97,947<>98,463

97,895<>98,523

98,041<>98,657

97,839<>98,559

97,716<>98,376

97,726<>98,370

97,294<>97,930

97,532<>98,168

95,958<>97,346

85,070<>88,298

13

Tabla 5.63.Búsqueda exhaustiva. Intervalos de confianza del nivel de servicio.

- 187 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

19,002

18,002

17,004

16,005

15,007

14,009

13,011

12,015

11,018

10,022

9,023

8,023

7,023

6,011

4,976

0

19,386

18,471

17,626

16,721

15,793

14,931

13,966

12,988

12,002

11,008

10,017

9,018

8,022

7,021

6,009

1

19,631

18,839

18,351

17,408

16,614

15,856

14,909

13,962

12,984

11,992

11,007

10,009

9,053

8,021

7,021

6,003

2

19,962

19,093

18,768

17,883

17,171

16,770

15,863

14,916

13,966

12,982

12,002

10,997

10,015

9,019

8,020

7,019

3

20,315

19,449

19,150

18,723

18,031

17,330

16,722

15,883

14,927

13,968

12,989

11,987

11,010

10,014

9,021

8,020

4

20,465

19,805

19,876

19,303

18,701

18,249

17,439

16,861

15,885

14,939

13,980

12,977

12,006

11,007

10,017

9,022

5

20,145

20,276

19,819

19,284

19,227

18,498

17,660

16,815

15,940

14,967

13,970

12,998

12,004

11,011

10,019

6

20,060

20,692

19,937

19,995

19,673

19,276

18,671

17,798

16,852

15,927

14,953

13,990

12,996

12,007

11,014

7

20,417

21,066

20,533

20,315

20,505

19,935

19,520

18,706

17,790

16,872

15,921

14,980

13,991

13,001

12,010

8

20,715

21,572

21,199

21,133

21,137

20,659

20,216

19,623

18,676

17,776

16,912

15,969

14,981

13,996

13,005

9

21,657

21,684

21,648

21,127

20,351

19,593

18,709

17,804

16,948

15,967

14,992

14,001

10

22,069

22,707

22,195

21,911

21,275

20,620

19,691

18,779

17,909

16,936

15,988

14,996

11

22,933

23,405

23,206

22,658

22,212

21,497

20,601

19,777

18,884

17,905

16,984

15,992

12

23,640

23,602

22,765

22,283

21,491

20,660

19,867

18,936

17,962

16,988

13

E

WIP m

edio

Tabla 5.64.Búsqueda exhaustiva. Inventario en proceso.

- 188 -

Los valores remarcados en azul en la tabla 5.63 son las soluciones admisibles más favorables. En la tabla 5.64 se remarca el inventario en proceso asociado a cada uno de los valores anteriores. Observando los resultados se puede observar que los mejores resultados se obtienen con la combinación (15,3), que coincide con la encontrada anteriormente. Los datos recogidos en la búsqueda exhaustiva se han utilizado para representar las superficies de respuesta real correspondientes al nivel de servicio medio y al inventario en proceso:

Gráfica 5.34. Superficie de respuesta real del nivel de servicio medio.

Gráfica 5.35. Superficie de respuesta real del inventario en proceso.

- 189 -

Observando estas dos últimas gráficas podemos entender con más facilidad los distintos pasos que se han llevado a cabo aplicando la metodología RSM. No hay más que identificar los puntos que componen cada una de las distintas regiones de experimentación que se han usado y apreciar la forma de la superficie de respuesta tiene en ellas para comprobar por qué el modelo ajustado para el nivel de servicio medio ha sido de primer o de segundo orden. En la primera región de experimentación, aquella que estaba centrada en el punto (5,6), el modelo finalmente ajustado fue de segundo orden. En la gráfica 5.34, se puede ver como en esa zona de la superficie de respuesta la parte ascendente de la superficie adquiere gran curvatura para pasar a una zona en forma de meseta que tiende ligeramente a niveles de servicio del orden del 100%. Para que esta curvatura sea recogida por el modelo ajustado, este debe ser al menos de segundo orden, ya que uno de primer orden representa un plano. Esto explica que el modelo ajustado sea de segundo orden. Este modelo presentó un máximo en el punto (6,11) que corresponde con un punto en donde se puede decir que esa curvatura finaliza y empieza la meseta anteriormente comentada. A partir de ahí la superficie es casi plana, explicando esto, que el modelo ajustado en la región de experimentación centrada en el punto (8,12) fuera de primer orden. Si comparamos la superficie de la gráfica 5.28, con la zona que le corresponde en la superficie representada en la gráfica 5.34, y teniendo en cuenta la escala del eje correspondiente al nivel de servicio, vemos que efectivamente se corresponde con un plano. Lo mismo se puede decir para las graficas que representan al inventario en proceso. Si comparamos la superficie representada en la gráfica 5.29 con la superficie de la gráfica 5,35, vemos que también hay similitud. En este último caso también se puede apreciar que la similitud entre las dos superficies se puede extender a una zona bastante amplia de la superficie real. Dado que nosotros buscamos unas combinaciones que satisfagan unas determinadas condiciones, y estas no son un máximo ni un mínimo de la superficie de respuesta, si no que el nivel de servicio esté alrededor de un determinado valor, el ajuste terminó en el punto (8,12), y a partir de ahí se buscaron los puntos que eran admisibles según estas características. Esto nos llevó a buscar a lo largo de una trayectoria de soluciones admisibles que representamos con una línea verde en la gráfica 5.33. Si ampliamos la superficie de respuesta real, eliminando los valores del nivel de servicio inferiores al 80 %, y giramos la gráfica para tener una mejor perspectiva tenemos:

- 190 -

Gráfica 5.36. Superficie de respuesta real del inventario en proceso girada y ampliada. En esta gráfica podemos observar la trayectoria de soluciones admisibles. Esta corresponde con la primera hilera de puntos que se puede ver encima del color morado. Como se puede apreciar son prácticamente los primeros puntos que pertenecen a la zona casi plana superior una vez se alcanza esta desde la zona en pendiente. También hay que hacer notar, que la superficie de respuesta real del nivel de servicio medio representa el típico comportamiento de un sistema Conwip que ya se explicó en la página 139. Si hacemos que un plano vertical gire 90 grados alrededor del eje vertical que pasa por el punto (4,0), partiendo de la línea que une los (4,0) - (4,13), y acabando en la línea (4,0)- (0,18), veremos que su intersección con la superficie de respuesta es una gráfica similar a la 5.13. El número de combinaciones de los parámetros que han sido necesarias para realizar la búsqueda exhaustiva ha sido de 200. Si tenemos en cuenta que en la simulación de cada combinación se han realizado 30 réplicas, esto supone que se han sido necesarias 6000 réplicas. Esto traducido a tiempo, teniendo en cuenta que cada conjunto de 30 réplicas consumen aproximadamente 55 segundos, significa que el tiempo de simulación ha sido de aproximadamente 11000 segundos, es decir, prácticamente tres horas. En el empleo de la metodología RSM, para el caso λ= 98 %, (ver sección 5.3), el número de combinaciones estudiadas ha sido de 53, lo que ha supuesto un total de 1590 réplicas, con un consumo de 2915 segundos, es decir, aproximadamente 49 minutos. Comparando estos resultados vemos que el empleo de la metodología RSM emplea el 26.5 % del tiempo empleado en la búsqueda exhaustiva, suponiendo un ahorro de recursos importante. No obstante, el conjunto de técnicas empleadas en la metodología pone en nuestras manos una herramienta que aun no hemos usado en el presente proyecto y que está diseñada para ser empleada en casos en los que hay que obtener una

- 191 -

solución tras el análisis de dos o más respuestas, como es nuestro caso. Esta herramienta es la función desirability en cuyo estudio vamos a profundizar en la siguiente sección de este capítulo.

- 192 -

5.4 TÉCNICA RSM MULTIRESPUESTA. FUNCIÓN DESIRABILITY En problemas donde la solución óptima depende de varias respuestas independientes, como es nuestro caso, la metodología RSM dispone de varias herramientas para hallar la solución más cercana a los deseos de los experimentadores. Dentro de estas herramientas se encuentra el método gráfico de superposición de las gráficas de contornos, ya visto en la sección 5.3, y el método de la función desirability (Derringer y Suich, 1980, Myers y Montgomery, 1995) La idea en la que se basa este método es la de asignar a cada una de las respuestas que intervienen en el problema una función desirability, di, que va a variar entre cero y uno. Si la respuesta toma el valor deseado, la función di vale uno, si toma un valor alejado de la respuesta deseada, toma un valor igual a cero y si la respuesta está en un intervalo dentro de unos valores admisibles para el experimentador, tomará un valor entre cero y uno. Hay tantas funciones desirability como respuestas se quieran analizar. Una vez se calculan las funciones di, se calcula la media geométrica D. Si todas las respuestas están en el valor deseado, todas valen uno y por tanto D valdrá también uno. Si alguna di vale cero, D valdrá también cero y si las di tienen valores entre cero y uno, el valor de D también estará entre cero y uno. De todo esto se desprende que cuanto mayor y más cercano a uno este D, más cerca se estará de los valores deseados y que este método proporcionará una solución de compromiso entre las distintas respuestas. Las funciones desirability pueden ser de tres tipos, según se pretenda conseguir un máximo, un mínimo o un valor objetivo. En el caso en el que se pretenda maximizar una de las respuestas, la función desirability viene dada por la expresión:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=ABAyid

s

i

ˆ ByA i ≤≤ ˆ (68)

Donde di es la función desirability para la respuesta ŷi. A es el valor por debajo del cual las respuestas se consideran inaceptables y la función di toma el valor cero. B es el valor de la respuesta a partir del que se desea un valor máximo. La función di vale uno para valores de la respuesta mayores de B. El peso s determina la importancia que el experimentador le da a la consecución del valor deseado. En la grafica 5.34 se representa la función di, para distintos valores del peso s. En ella podemos ver como para un valor alto de s, valores de la respuesta cercanos al valor B se hacen menos aceptables, es decir, toman un valor más alejado del uno. Por el contrario, valores pequeños de s, hacen que más respuestas dentro del intervalo [A, B] tomen valores más cercanos a uno. El experimentador deberá elegir el valor s según la importancia que la respuesta ŷi tenga para él. Si es muy importante que la respuesta ŷi alcance el máximo cerca del límite B, el valor elegido de s ha de ser alto para hacer la búsqueda más restrictiva en torno al máximo buscado. Por el contra, si el experimentador quiere que la

- 193 -

respuesta ŷi se maximice, pero esta no juega un papel muy importante frente a las otras respuestas, a s se le dará un valor bajo. El valor uno le será dado en una situación intermedia. El experimentador también debe elegir los límites A y B, según las características del problema que este estudiando.

10.90.80.70.60.50.40.30.2

00.1

BA

Respuesta yi

Func

ión

,

desi

rabi

li ty

d i

s = 1

s = 0.1

s = 0.5

s = 5

s = 10

Gráfica 5.37. Función Desirability para un máximo. La función desirability para el caso en el que se busque el mínimo de una de las respuestas viene dada por la expresión:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=CBCyid

s

i

ˆ CyB i ≤≤ ˆ (69)

y en función de los valores que tome el peso s tendrá la forma:

10.90.80.70.60.50.40.30.2

00.1

CB

Respuesta yi

F unc

ión

,

desi

rabi

li ty

d i

s =5s =10

s =0.5s =1

s =0.1

Gráfica 5.38. Función Desirability para un mínimo.

- 194 -

El tercer caso que se puede estudiar con la función desirability es aquel en el que se pretende que una de las respuestas tome un valor determinado. La expresión de la función para este caso es:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤

≤≤

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

CyBi

ByAi

d

i

t

i

s

i

CBCyABAy

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(70)

gráficamente:

10.90.80.70.60.50.40.30.2

00.1

CB

Respuesta yi

Func

i ón

,

desi r

abili

tyd i

A

s = 10s =

5

s = 1

s = 0.5

t = 5t = 10t = 1

t = 0.5

t = 0.1s = 0.1

Gráfica 5.39. Función Desirability para un punto objetivo. Una vez que se calculan las funciones di para las m respuestas, se calcula el índice de la respuesta compuesta, D, que no es mas que la media geométrica de las m funciones desirability calculadas.

( )mmddddD1

321 **** L= (71) Si el índice toma un valor cercano a uno implica que la mayoría de las funciones di están muy próximas simultáneamente al valor deseado para cada una de ellas. Esto dicho de otro modo, significa que habrá una combinación de los factores que intervienen en el experimento cuyas respuestas hacen que el valor del índice D sea máximo. Por tanto, una vez que se llegue a este punto, el objetivo del experimentador será encontrar un método que encuentre el máximo del índice D, y así obtener la combinación de los factores que haga encontrar el punto óptimo buscado. Este proceso puede ser afrontado de diversas formas, se pueden emplear métodos analíticos, algoritmos de optimización, métodos gráficos o la metodología RSM aplicada al índice D. Dos posibilidades se muestran a continuación (Myers y Montgomery, 1995)

- 195 -

• La primera variante emplea la metodología RSM para ajustar una superficie de respuesta para cada una de las m respuestas. A continuación se calculan las repuestas en cada uno de los puntos del diseño usando los modelos ajustados y con ellas se calculan las m funciones di y el índice D. Una vez hecho esto se ajusta un modelo para D y se halla la combinación de los factores que lo maximizan, usando el método de la máxima pendiente, el análisis canónico o un método grafico como los ya vistos en anteriores secciones de este mismo capítulo.

• La segunda variante consiste en calcular las m funciones di y el índice D en cada

una de las observaciones del experimento, empleando a continuación la metodología RSM para ajustar una superficie de respuesta para D. Posteriormente se halla la combinación de los factores que maximizan la superficie usando cualquiera de las herramientas ya comentadas.

En la sección 5.3 se llegó hasta una región de experimentación centrada en el punto (8, 12) en la que se ajustaron dos modelos lineales, uno para el nivel de servicio medio y otro para el inventario en proceso. Para hallar una combinación de parámetros que estuviera conforme con el criterio de búsqueda, se usó el método gráfico de la superposición de las gráficas de contornos. Recordemos que el criterio de búsqueda para encontrar una combinación óptima era que su nivel de servicio estuviera lo más cerca posible al 98%, sin sobrepasarlo, y que su WIP fuese el menor posible. Ahora, vamos a aplicar el método de la función desirability a esta misma región de experimentación para comprobar a qué solución nos conduce y comparar los resultados obtenidos en ambos casos. El criterio que se va a emplear para aplicar este método va a ser el segundo de los propuestos por Myers y Montgomery. La región de experimentación centrada en el punto (8,12) estaba compuesta por los puntos:

Escenario K(0) E 1 7 11 2 9 11 3 7 13 4 9 13 5 8 12

Tabla 5.65. Escenarios del tercer experimento con punto central para λ=98%. En cada uno de estos puntos de diseño se realizaron 30 réplicas, obteniendo el valor del nivel de servicio y del inventario en proceso para cada una de ellas. Estos valores fueron los que después se usaron para ajustar los modelos. Ahora, estas respuestas se van emplear en calcular para cada réplica una función di para el nivel de servicio y otra para el WIP, para a continuación calcular el índice D. Una vez hecho esto se va a intentar ajustar un modelo para este índice. Posteriormente analizaremos su superficie de

- 196 -

respuesta e intentaremos encontrar el punto más cercano a las condiciones buscadas, para lo que, al igual que en secciones anteriores, tendremos que afinar la búsqueda fijándonos en los intervalos de confianza. El primer paso es elegir el tipo de función di, para cada una de las respuestas. Para el nivel de servicio se pretende obtener un valor del 98%, por lo que la función d1 es del tipo usado en los casos en los que se pretende obtener un valor determinado. Para elegir los límites de aceptabilidad hemos de tener en cuenta los intervalos de confianza. El máximo intervalo de confianza encontrado en esta región ha sido de 0.452, por lo que eligiendo un nivel superior del 99% y uno inferior del 96 %, cubrimos un rango de valores lo suficientemente amplio en el que podemos prácticamente asegurar que se va a encontrar la solución buscada para esta región de experimentación. Por tanto la función d1 queda:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤

≤≤

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

99ˆ981

98ˆ961

1

1

1

999899ˆ969896ˆ

1

1

yt

ys

dy

y

(72)

El segundo paso es elegir los pesos s y t. Se van a considerar tres situaciones. Cuando el peso vale 10, correspondiendo a una situación en la que damos mucha importancia a que el nivel de servicio alcance el valor del 98%. Cuando el peso vale 0.1, en la que le damos poca importancia, y cuando toma el valor uno, en la que estamos en una situación intermedia entre las dos anteriores. Gráficamente queda:

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

95,5 96 96,5 97 97,5 98 98,5 99 99,5

Respuestas

Func

ión,

d1

s=1t=1s=10t=10s=0.1t=0.1

Gráfica 5.40. Función Desirability para un punto objetivo en el experimento centrado en (8,12). Para el inventario en proceso la función di usada es la correspondiente al caso en el que se pretende minimizar la respuesta. En las observaciones realizadas se ha encontrado un WIP mínimo de 17.500 y un máximo de 21.955, por lo que consideramos que tomando

- 197 -

unos límites de aceptabilidad máximo de 22 y mínimo de 17 abarcamos todos los valores posibles. La función d2 queda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=221722ˆ2

2

2

y sd 22ˆ17 2 ≤≤ y (73)

Para el peso s se han escogido como posibles valores los mismos que para la función d1 correspondiente al nivel de servicio. En la gráfica siguiente se pueden apreciar los distintos casos y la forma que adopta la función d2:

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

17 18 19 20 21 22

Respuestas

Func

ión,

d2

s=1s=10s=0.1

Gráfica 5.41. Función Desirability para un mínimo en el experimento centrado en (8,12). Si tenemos en cuenta todas las combinaciones que se pueden obtener con los pesos de las dos funciones d1 y d2, tenemos 27 experimentos, lo cual es una cifra muy alta. Esto nos obliga a elegir las combinaciones que más se acerquen al criterio de búsqueda elegido. Como punto de partida se elige la combinación (s1=1, t1=1, s2=1) con la que las dos funciones desirability, d1 y d2, son lineales dentro de los limites escogidos. A partir de esta combinación de pesos se van a elegir el resto, con la particularidad de que le vamos a dar mayor importancia a obtener un nivel de servicio del 98%, tal y como se ha hecho hasta ahora:

• (s1=1, t1=10, s2=1) Con esta combinación se pone énfasis en no sobrepasar el límite del 98% para el nivel de servicio. La mayoría de respuestas que sobrepasen este valor del nivel de servicio no son aceptadas. Gráficamente:

- 198 -

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

95,5 96 96,5 97 97,5 98 98,5 99 99,5

Respuestas

Func

ión,

d1

s=1t=10

Gráfica 5.42. Función Desirability, d1, con pesos s1=1, t1=10.

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

17 18 19 20 21 22

Respuestas

Func

ión,

d2

s=1

Gráfica 5.43. Función Desirability, d2, con peso s2=1.

• (s1=10, t1=10, s2=1) Con esta combinación de pesos restringimos todavía más el número de respuestas admisibles entorno al nivel de servicio del 98%. La gráfica para la función d2 es la misma que la 5.43.

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

95,5 96 96,5 97 97,5 98 98,5 99 99,5

Respuestas

Func

ión,

d1

s=10t=10

Gráfica 5.44. Función Desirability, d1, con pesos s1=10, t1=10.

- 199 -

• (s1=10, t1=10, s2=10) Esta es la combinación que muestra el criterio seguido en su forma más extrema, en donde las repuestas aceptables serán las que estén muy próximas al nivel de servicio del 98% y al valor mínimo del inventario en proceso. En este caso la gráfica para la función d1 es igual a la gráfica 5.44. La de la función d2 se muestra a continuación:

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

17 18 19 20 21 22

Respuestas

Func

ión,

d2

s=1

Gráfica 5.45. Función Desirability, d2, con peso s2=10.

• (s1=1, t1=10, s2=0.1) Esta combinación es una mezcla de los casos anteriores en donde no se aceptan la mayoría de las respuestas para un nivel de servicio por encima del 98% y se le da poca importancia el hecho de que el inventario en proceso se minimice. La gráfica 5.42 muestra la función d1 para esto pesos. La función d2 se muestra a continuación:

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

17 18 19 20 21 22

Respuestas

Func

ión,

d2

s=0.1

Gráfica 5.46. Función Desirability, d2, con peso s2=0.1. En la tabla 5.66 se muestran a modo de resumen los experimentos que se han realizado en esta serie junto a los pesos de las funciones d1 y d2 que intervienen en ellos:

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Experimento Combinación de pesos

1 (s1=1, t1=1, s2=1) 2 (s1=1, t1=10, s2=1) 3 (s1=10, t1=10, s2=1) 4 (s1=10, t1=10, s2=10) 5 (s1=1, t1=10, s2=0.1)

Tabla 5.66. Batería de experimentos con sus correspondientes pesos para la función desirability. El experimento 1 arroja los siguientes resultados:

Respuestas Funciones Desirability Escenario Nivel de Servicio WIP d1 d2 D (7,11) 98,9047 17,6578 0,0953 0,8684 0,2877 (7,11) 97,4109 17,9816 0,7054 0,8037 0,7530 (7,11) 98,3477 17,8816 0,6523 0,8237 0,7330 (7,11) 98,1935 17,9813 0,8065 0,8037 0,8051 (7,11) 97,1691 17,8648 0,5846 0,8270 0,6953 (7,11) 98,5249 17,9687 0,4751 0,8063 0,6189 (7,11) 94,4143 17,9939 0,0000 0,8012 0,0000 (7,11) 96,7389 17,5921 0,3694 0,8816 0,5707 (7,11) 98,4371 17,9841 0,5629 0,8032 0,6724 (7,11) 97,0913 17,9856 0,5457 0,8029 0,6619 (7,11) 98,1378 17,9856 0,8622 0,8029 0,8320 (7,11) 97,6007 17,8409 0,8004 0,8318 0,8159 (7,11) 97,2297 17,9129 0,6149 0,8174 0,7089 (7,11) 98,0410 17,9892 0,9590 0,8022 0,8771 (7,11) 96,9627 17,8995 0,4813 0,8201 0,6283 (7,11) 96,2217 17,8162 0,1109 0,8368 0,3046 (7,11) 98,2033 17,4958 0,7967 0,9008 0,8472 (7,11) 96,9683 17,8798 0,4842 0,8240 0,6316 (7,11) 97,1731 17,9813 0,5865 0,8037 0,6866 (7,11) 97,2973 17,9791 0,6486 0,8042 0,7222 (7,11) 97,6818 17,9111 0,8409 0,8178 0,8293 (7,11) 97,6623 17,9880 0,8311 0,8024 0,8166 (7,11) 95,1835 17,9854 0,0000 0,8029 0,0000 (7,11) 98,1938 17,9855 0,8062 0,8029 0,8046 (7,11) 97,7763 17,9894 0,8881 0,8021 0,8440 (7,11) 97,7593 17,7987 0,8796 0,8403 0,8597 (7,11) 98,2573 17,9895 0,7427 0,8021 0,7718 (7,11) 98,0214 17,9900 0,9786 0,8020 0,8859 (7,11) 98,3829 17,9784 0,6171 0,8043 0,7045 (7,11) 97,5704 17,9815 0,7852 0,8037 0,7944 (9,11) 98,7094 19,6197 0,2906 0,4761 0,3720 (9,11) 98,5236 19,7993 0,4764 0,4401 0,4579 (9,11) 97,7087 19,8353 0,8543 0,4329 0,6082 (9,11) 98,2578 19,4810 0,7422 0,5038 0,6115 (9,11) 98,1965 19,3771 0,8035 0,5246 0,6492

- 201 -

(9,11) 97,8955 19,9363 0,9477 0,4127 0,6254 (9,11) 96,6458 19,8771 0,3229 0,4246 0,3703 (9,11) 96,2845 19,6908 0,1423 0,4618 0,2563 (9,11) 98,3882 19,4467 0,6118 0,5107 0,5589 (9,11) 97,2905 19,6316 0,6452 0,4737 0,5528 (9,11) 97,4983 19,7564 0,7491 0,4487 0,5798 (9,11) 98,1765 19,7892 0,8235 0,4422 0,6034 (9,11) 98,1240 18,8943 0,8760 0,6211 0,7376 (9,11) 97,4387 19,9362 0,7194 0,4128 0,5449 (9,11) 98,0479 19,8024 0,9521 0,4395 0,6469 (9,11) 98,3256 19,9906 0,6744 0,4019 0,5206 (9,11) 98,0905 19,9911 0,9095 0,4018 0,6045 (9,11) 97,3631 19,9820 0,6816 0,4036 0,5245 (9,11) 97,5167 19,9237 0,7583 0,4153 0,5612 (9,11) 97,5561 19,7203 0,7780 0,4559 0,5956 (9,11) 97,6364 19,3978 0,8182 0,5204 0,6525 (9,11) 97,9394 19,4167 0,9697 0,5167 0,7078 (9,11) 98,7321 19,5848 0,2679 0,4830 0,3597 (9,11) 97,3467 19,3255 0,6734 0,5349 0,6002 (9,11) 97,9888 19,9782 0,9944 0,4044 0,6341 (9,11) 97,8063 19,7455 0,9032 0,4509 0,6381 (9,11) 98,2593 19,7639 0,7407 0,4472 0,5756 (9,11) 98,0310 19,6753 0,9690 0,4649 0,6712 (9,11) 97,1395 19,5610 0,5698 0,4878 0,5272 (9,11) 95,9710 19,7867 0,0000 0,4427 0,0000 (7,13) 97,4663 19,7351 0,7332 0,4530 0,5763 (7,13) 98,2101 19,8704 0,7899 0,4259 0,5800 (7,13) 97,8952 19,9248 0,9476 0,4150 0,6271 (7,13) 98,2695 19,8493 0,7305 0,4301 0,5606 (7,13) 97,7987 19,6400 0,8993 0,4720 0,6515 (7,13) 97,8733 19,9637 0,9367 0,4073 0,6176 (7,13) 96,7575 19,9877 0,3787 0,4025 0,3904 (7,13) 97,7227 19,7563 0,8613 0,4487 0,6217 (7,13) 98,6166 19,9737 0,3834 0,4053 0,3942 (7,13) 97,0575 19,9826 0,5287 0,4035 0,4619 (7,13) 97,1719 19,9833 0,5860 0,4033 0,4861 (7,13) 97,6624 19,8359 0,8312 0,4328 0,5998 (7,13) 97,7351 19,7969 0,8675 0,4406 0,6183 (7,13) 97,8271 19,9835 0,9135 0,4033 0,6070 (7,13) 97,6889 19,9881 0,8445 0,4024 0,5829 (7,13) 98,9052 19,9838 0,0948 0,4032 0,1955 (7,13) 97,8127 19,8275 0,9064 0,4345 0,6276 (7,13) 97,1925 19,9900 0,5963 0,4020 0,4896 (7,13) 96,6543 19,9730 0,3271 0,4054 0,3642 (7,13) 96,2865 19,8058 0,1433 0,4388 0,2507 (7,13) 97,8822 19,8921 0,9411 0,4216 0,6299 (7,13) 98,4516 19,9812 0,5484 0,4038 0,4705 (7,13) 98,6790 19,6479 0,3210 0,4704 0,3886 (7,13) 97,6357 19,9800 0,8178 0,4040 0,5748 (7,13) 97,6180 19,9841 0,8090 0,4032 0,5711 (7,13) 96,7916 19,7853 0,3958 0,4429 0,4187 (7,13) 97,7054 19,6846 0,8527 0,4631 0,6284 (7,13) 97,9716 19,2353 0,9858 0,5529 0,7383

- 202 -

(7,13) 96,7944 19,9765 0,3972 0,4047 0,4009 (7,13) 96,2152 19,9774 0,1076 0,4045 0,2086 (8,12) 98,1830 21,5069 0,8170 0,0986 0,2839 (8,12) 97,9353 21,8583 0,9677 0,0283 0,1656 (8,12) 98,7688 21,5349 0,2312 0,0930 0,1466 (8,12) 98,0239 21,7766 0,9761 0,0447 0,2088 (8,12) 96,2722 21,4845 0,1361 0,1031 0,1184 (8,12) 98,1324 21,0039 0,8676 0,1992 0,4158 (8,12) 97,3017 21,5499 0,6508 0,0900 0,2421 (8,12) 98,5892 21,3987 0,4108 0,1203 0,2223 (8,12) 98,2998 21,3001 0,7002 0,1400 0,3131 (8,12) 98,8137 21,4811 0,1863 0,1038 0,1391 (8,12) 97,9335 20,6515 0,9667 0,2697 0,5106 (8,12) 98,3078 21,9627 0,6922 0,0075 0,0718 (8,12) 98,8488 21,6790 0,1512 0,0642 0,0985 (8,12) 98,2692 21,9758 0,7308 0,0048 0,0595 (8,12) 98,8704 21,6075 0,1296 0,0785 0,1008 (8,12) 96,3791 21,9906 0,1895 0,0019 0,0189 (8,12) 98,4163 21,9861 0,5837 0,0028 0,0403 (8,12) 98,6311 20,8862 0,3689 0,2228 0,2867 (8,12) 97,6541 20,9013 0,8270 0,2197 0,4263 (8,12) 97,1628 21,7734 0,5814 0,0453 0,1623 (8,12) 98,1969 21,9551 0,8031 0,0090 0,0849 (8,12) 97,6360 21,3883 0,8180 0,1223 0,3163 (8,12) 98,4553 21,8527 0,5447 0,0295 0,1267 (8,12) 98,9671 20,4870 0,0329 0,3026 0,0998 (8,12) 97,6491 21,3817 0,8246 0,1237 0,3193 (8,12) 96,7379 21,8707 0,3689 0,0259 0,0977 (8,12) 97,8424 21,7044 0,9212 0,0591 0,2334 (8,12) 98,5263 21,4399 0,4737 0,1120 0,2304 (8,12) 98,3090 21,1211 0,6910 0,1758 0,3485 (8,12) 98,2550 21,2062 0,7450 0,1588 0,3439 (8,12) 97,9587 19,9891 0,9794 0,4022 0,6276 (8,12) 98,2566 19,3629 0,7434 0,5274 0,6262 (8,12) 97,7965 19,9837 0,8983 0,4033 0,6019 (8,12) 98,9143 19,7470 0,0857 0,4506 0,1965 (8,12) 97,2448 19,8401 0,6224 0,4320 0,5185 (8,12) 97,8034 19,9427 0,9017 0,4115 0,6091 (8,12) 96,6827 19,6516 0,3413 0,4697 0,4004 (8,12) 97,0027 19,9206 0,5014 0,4159 0,4566 (8,12) 98,2367 19,4902 0,7633 0,5020 0,6190 (8,12) 96,4857 19,9023 0,2428 0,4195 0,3192 (8,12) 96,6667 19,7630 0,3333 0,4474 0,3862 (8,12) 99,0027 19,9717 0,0000 0,4057 0,0000 (8,12) 97,6079 19,7674 0,8039 0,4465 0,5991 (8,12) 97,9176 19,9191 0,9588 0,4162 0,6317 (8,12) 97,3953 19,9849 0,6977 0,4030 0,5303 (8,12) 98,2361 19,5333 0,7639 0,4933 0,6139 (8,12) 96,6356 19,8240 0,3178 0,4352 0,3719 (8,12) 96,9056 19,9866 0,4528 0,4027 0,4270 (8,12) 98,5298 19,1750 0,4702 0,5650 0,5154 (8,12) 97,7607 19,7586 0,8804 0,4483 0,6282 (8,12) 97,4894 19,4631 0,7447 0,5074 0,6147

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(8,12) 98,5640 19,9240 0,4360 0,4152 0,4255 (8,12) 97,9045 19,6154 0,9523 0,4769 0,6739 (8,12) 98,9080 19,8083 0,0920 0,4383 0,2009 (8,12) 97,6812 19,7491 0,8406 0,4502 0,6151 (8,12) 98,0061 19,8455 0,9939 0,4309 0,6544 (8,12) 97,7445 19,9818 0,8723 0,4036 0,5934 (8,12) 98,9827 19,8888 0,0173 0,4222 0,0856 (8,12) 97,8684 19,8550 0,9342 0,4290 0,6331 (8,12) 97,2581 19,6738 0,6291 0,4652 0,5410

Tabla 5.67. Resultados del experimento 1 para la función desirability y el índice D. Para poder emplear la metodología RSM tenemos que calcular el índice D medio y la desviación estándar en cada uno de los escenarios. Con los datos en la forma que se expresan en la tabla 5.68, ya se puede calcular el análisis de varianza:

Escenario Índice D medio STD Índice D(7,11) 0,6721 0,2315 (9,11) 0,5449 0,1489 (7,13) 0,5111 0,1380 (9,13) 0,2077 0,1265 (8,12) 0,4905 0,1782

Tabla 5.68. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 1. El análisis de varianza se muestra en la tabla 5.69:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -0,22 1,39 18,24 1 1,39 49,08 3,91 B -0,24 1,86 24,41 1 1,86 65,72 3,91

AB -0,09 0,23 3,02 1 0,23 8,22 3,91 Error 4.14 54,33 146 0,03 Total 7,62 100 149

Tabla 5.69. Análisis de varianza del experimento 1 para el ajuste del índice D. El resultado obtenido muestra que el factor A (parámetro K (0)), el factor B (parámetro E) y la interacción AB son significativos. Esto significa que el modelo que pretendemos ajustar es, en variables codificadas, de la forma: 2121 045,012,011,049,0ˆ xxxxy −−−=

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y en variables naturales: 2121 045,023,042,039,1ˆ ξξξξ −++−=y Veamos a continuación si este modelo pasa las pruebas de adecuación. Las pruebas de significación y de falta de ajuste se muestran en la tabla 5.70:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 3,48 3 1,16 40,91 2,67 Residual 4,14 146 0,03

(Falta de ajuste LOF) 0,001 1 0,001 0,04 3,91 (Error puro) 4,13 145 0,03

Total 7,62 149 Tabla 5.70. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 1 para el ajuste del índice D. El modelo lineal propuesto supera las pruebas de significación y la de falta de ajuste. A continuación se muestran los residuales y los resultados del análisis gráfico de los mismos:

Respuestas Predicción Residuales 0,29 0,68 -0,39 0,75 0,68 0,08 0,73 0,68 0,06 0,81 0,68 0,13 0,70 0,68 0,02 0,62 0,68 -0,06 0,00 0,68 -0,68 0,57 0,68 -0,11 0,67 0,68 0,00 0,66 0,68 -0,01 0,83 0,68 0,16 0,82 0,68 0,14 0,71 0,68 0,03 0,88 0,68 0,20 0,63 0,68 -0,05 0,30 0,68 -0,37 0,85 0,68 0,17 0,63 0,68 -0,05 0,69 0,68 0,01 0,72 0,68 0,05 0,83 0,68 0,15 0,82 0,68 0,14 0,00 0,68 -0,68 0,80 0,68 0,13 0,84 0,68 0,17 0,86 0,68 0,18

- 205 -

0,77 0,68 0,10 0,89 0,68 0,21 0,70 0,68 0,03 0,79 0,68 0,12 0,37 0,55 -0,18 0,46 0,55 -0,09 0,61 0,55 0,06 0,61 0,55 0,06 0,65 0,55 0,10 0,63 0,55 0,07 0,37 0,55 -0,18 0,26 0,55 -0,29 0,56 0,55 0,01 0,55 0,55 0,00 0,58 0,55 0,03 0,60 0,55 0,05 0,74 0,55 0,19 0,54 0,55 -0,01 0,65 0,55 0,10 0,52 0,55 -0,03 0,60 0,55 0,05 0,52 0,55 -0,03 0,56 0,55 0,01 0,60 0,55 0,05 0,65 0,55 0,10 0,71 0,55 0,16 0,36 0,55 -0,19 0,60 0,55 0,05 0,63 0,55 0,08 0,64 0,55 0,09 0,58 0,55 0,03 0,67 0,55 0,12 0,53 0,55 -0,02 0,00 0,55 -0,55 0,58 0,52 0,06 0,58 0,52 0,06 0,63 0,52 0,11 0,56 0,52 0,04 0,65 0,52 0,14 0,62 0,52 0,10 0,39 0,52 -0,13 0,62 0,52 0,11 0,39 0,52 -0,12 0,46 0,52 -0,05 0,49 0,52 -0,03 0,60 0,52 0,08 0,62 0,52 0,10 0,61 0,52 0,09 0,58 0,52 0,07 0,20 0,52 -0,32 0,63 0,52 0,11 0,49 0,52 -0,03 0,36 0,52 -0,15

- 206 -

0,25 0,52 -0,27 0,63 0,52 0,11 0,47 0,52 -0,05 0,39 0,52 -0,13 0,57 0,52 0,06 0,57 0,52 0,05 0,42 0,52 -0,10 0,63 0,52 0,11 0,74 0,52 0,22 0,40 0,52 -0,12 0,21 0,52 -0,31 0,28 0,21 0,07 0,17 0,21 -0,05 0,15 0,21 -0,07 0,21 0,21 -0,01 0,12 0,21 -0,10 0,42 0,21 0,20 0,24 0,21 0,03 0,22 0,21 0,01 0,31 0,21 0,10 0,14 0,21 -0,08 0,51 0,21 0,30 0,07 0,21 -0,14 0,10 0,21 -0,12 0,06 0,21 -0,15 0,10 0,21 -0,11 0,02 0,21 -0,20 0,04 0,21 -0,17 0,29 0,21 0,07 0,43 0,21 0,21 0,16 0,21 -0,05 0,08 0,21 -0,13 0,32 0,21 0,10 0,13 0,21 -0,09 0,10 0,21 -0,11 0,32 0,21 0,11 0,10 0,21 -0,12 0,23 0,21 0,02 0,23 0,21 0,02 0,35 0,21 0,13 0,34 0,21 0,13 0,63 0,49 0,14 0,63 0,49 0,14 0,60 0,49 0,11 0,20 0,49 -0,29 0,52 0,49 0,03 0,61 0,49 0,12 0,40 0,49 -0,09 0,46 0,49 -0,03 0,62 0,49 0,13 0,32 0,49 -0,17 0,39 0,49 -0,10 0,00 0,49 -0,49

- 207 -

0,60 0,49 0,11 0,63 0,49 0,14 0,53 0,49 0,04 0,61 0,49 0,12 0,37 0,49 -0,12 0,43 0,49 -0,06 0,52 0,49 0,03 0,63 0,49 0,14 0,61 0,49 0,13 0,43 0,49 -0,06 0,67 0,49 0,18 0,20 0,49 -0,29 0,62 0,49 0,13 0,65 0,49 0,16 0,59 0,49 0,10 0,09 0,49 -0,40 0,63 0,49 0,14 0,54 0,49 0,05

Tabla 5.71. Residuales del experimento 1 para el ajuste del índice D.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-0.67 -0.43 -0.19 0.06 0.30

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.47. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 1 para el ajuste del índice D.

- 208 -

-0,70

-0,50

-0,30

-0,10

0,10

0,30

0,50

0,70

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

Indice D predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.48. Residuales frente a Ŷ en el experimento 1 para el ajuste del índice D.

-0,70

-0,50

-0,30

-0,10

0,10

0,30

0,50

0,70

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.49. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 1 para el ajuste del índice D.

- 209 -

En la gráfica de la probabilidad normal se observa como la distribución de los errores está entorno a la línea roja, aunque la sigue con dificultad en los extremos, especialmente los de la rama izquierda. Estos residuales son los correspondientes a los puntos no aceptables, por lo que su índice D es nulo y sus residuales los menores. En un principio podría parecer un punto atípico, pero este comportamiento lo hemos provocado nosotros en la elección de los límites de aceptabilidad por lo que no le vamos a dar mayor importancia. En esta gráfica también se observa como la rama de la derecha es más larga que la de la izquierda. Esto puede significar que la distribución de los errores tiene un ligero sesgo hacia los valores positivos. Podemos decir que la distribución de los residuales tiene una desviación moderada de la normalidad aunque pensamos que esto no es motivo de gran preocupación por lo que se da por buena. Las grafica de los residuales frente a la respuesta predica no muestra ningún patrón preocupante, sólo parece indicar que la varianza aumenta conforme lo hace el índice D predicho, al observarse como las hileras de puntos se abren cuanto más a la derecha están. Sin embargo, si nos fijamos vemos como esta apertura se debe, de nuevo, a los residuales correspondientes a puntos no aceptables. La gráfica de los residuales frente al orden de realización de la observación, no muestra ninguna relación entre el valor de los residuales y cuando se han realizado esto. Por el contrario, si que muestra un ligero sesgo de los residuales hacia los valores positivos de estos. Ninguna de las particularidades encontradas parece tener importancia como para no aceptar el modelo, por lo que lo vamos a considerar adecuado. Para elegir la combinación más cercana a nuestros deseos vamos a emplear la grafica de contornos por parecernos un método fácil de realizar y muy intuitivo, que nos va a proporcionar el punto buscado con un solo golpe de vista.

13

12

7 8

Factor A

Facto

r B

9

Gráfica 5.50. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 1.

- 210 -

La gráfica 5.50 muestra como dentro de la región de experimentación, en el punto (7,11) se alcanza el mayor índice D. Una vez realizados los cuatro experimentos restantes de esta batería retomaremos este punto y comentaremos su validez. Pasamos al segundo de los experimentos. Para el experimento número dos los resultados obtenidos han sido:

Respuestas Funciones Desirability Escenario Nivel de Servicio WIP d1 d2 D (7,11) 98,9047 17,6578 0,0000 0,8684 0,0000 (7,11) 97,4109 17,9816 0,7054 0,8037 0,7530 (7,11) 98,3477 17,8816 0,0140 0,8237 0,1072 (7,11) 98,1935 17,9813 0,1165 0,8037 0,3060 (7,11) 97,1691 17,8648 0,5846 0,8270 0,6953 (7,11) 98,5249 17,9687 0,0006 0,8063 0,0217 (7,11) 94,4143 17,9939 0,0000 0,8012 0,0000 (7,11) 96,7389 17,5921 0,3694 0,8816 0,5707 (7,11) 98,4371 17,9841 0,0032 0,8032 0,0506 (7,11) 97,0913 17,9856 0,5457 0,8029 0,6619 (7,11) 98,1378 17,9856 0,2270 0,8029 0,4269 (7,11) 97,6007 17,8409 0,8004 0,8318 0,8159 (7,11) 97,2297 17,9129 0,6149 0,8174 0,7089 (7,11) 98,0410 17,9892 0,6579 0,8022 0,7265 (7,11) 96,9627 17,8995 0,4813 0,8201 0,6283 (7,11) 96,2217 17,8162 0,1109 0,8368 0,3046 (7,11) 98,2033 17,4958 0,1030 0,9008 0,3046 (7,11) 96,9683 17,8798 0,4842 0,8240 0,6316 (7,11) 97,1731 17,9813 0,5865 0,8037 0,6866 (7,11) 97,2973 17,9791 0,6486 0,8042 0,7222 (7,11) 97,6818 17,9111 0,8409 0,8178 0,8293 (7,11) 97,6623 17,9880 0,8311 0,8024 0,8166 (7,11) 95,1835 17,9854 0,0000 0,8029 0,0000 (7,11) 98,1938 17,9855 0,1160 0,8029 0,3052 (7,11) 97,7763 17,9894 0,8881 0,8021 0,8440 (7,11) 97,7593 17,7987 0,8796 0,8403 0,8597 (7,11) 98,2573 17,9895 0,0510 0,8021 0,2023 (7,11) 98,0214 17,9900 0,8057 0,8020 0,8038 (7,11) 98,3829 17,9784 0,0080 0,8043 0,0802 (7,11) 97,5704 17,9815 0,7852 0,8037 0,7944 (9,11) 98,7094 19,6197 0,0000 0,4761 0,0014 (9,11) 98,5236 19,7993 0,0006 0,4401 0,0163 (9,11) 97,7087 19,8353 0,8543 0,4329 0,6082 (9,11) 98,2578 19,4810 0,0507 0,5038 0,1598 (9,11) 98,1965 19,3771 0,1121 0,5246 0,2425 (9,11) 97,8955 19,9363 0,9477 0,4127 0,6254 (9,11) 96,6458 19,8771 0,3229 0,4246 0,3703 (9,11) 96,2845 19,6908 0,1423 0,4618 0,2563 (9,11) 98,3882 19,4467 0,0073 0,5107 0,0612 (9,11) 97,2905 19,6316 0,6452 0,4737 0,5528 (9,11) 97,4983 19,7564 0,7491 0,4487 0,5798

- 211 -

(9,11) 98,1765 19,7892 0,1434 0,4422 0,2518 (9,11) 98,1240 18,8943 0,2661 0,6211 0,4066 (9,11) 97,4387 19,9362 0,7194 0,4128 0,5449 (9,11) 98,0479 19,8024 0,6123 0,4395 0,5188 (9,11) 98,3256 19,9906 0,0195 0,4019 0,0885 (9,11) 98,0905 19,9911 0,3874 0,4018 0,3945 (9,11) 97,3631 19,9820 0,6816 0,4036 0,5245 (9,11) 97,5167 19,9237 0,7583 0,4153 0,5612 (9,11) 97,5561 19,7203 0,7780 0,4559 0,5956 (9,11) 97,6364 19,3978 0,8182 0,5204 0,6525 (9,11) 97,9394 19,4167 0,9697 0,5167 0,7078 (9,11) 98,7321 19,5848 0,0000 0,4830 0,0010 (9,11) 97,3467 19,3255 0,6734 0,5349 0,6002 (9,11) 97,9888 19,9782 0,9944 0,4044 0,6341 (9,11) 97,8063 19,7455 0,9032 0,4509 0,6381 (9,11) 98,2593 19,7639 0,0497 0,4472 0,1491 (9,11) 98,0310 19,6753 0,7296 0,4649 0,5824 (9,11) 97,1395 19,5610 0,5698 0,4878 0,5272 (9,11) 95,9710 19,7867 0,0000 0,4427 0,0000 (7,13) 97,4663 19,7351 0,7332 0,4530 0,5763 (7,13) 98,2101 19,8704 0,0945 0,4259 0,2006 (7,13) 97,8952 19,9248 0,9476 0,4150 0,6271 (7,13) 98,2695 19,8493 0,0433 0,4301 0,1364 (7,13) 97,7987 19,6400 0,8993 0,4720 0,6515 (7,13) 97,8733 19,9637 0,9367 0,4073 0,6176 (7,13) 96,7575 19,9877 0,3787 0,4025 0,3904 (7,13) 97,7227 19,7563 0,8613 0,4487 0,6217 (7,13) 98,6166 19,9737 0,0001 0,4053 0,0053 (7,13) 97,0575 19,9826 0,5287 0,4035 0,4619 (7,13) 97,1719 19,9833 0,5860 0,4033 0,4861 (7,13) 97,6624 19,8359 0,8312 0,4328 0,5998 (7,13) 97,7351 19,7969 0,8675 0,4406 0,6183 (7,13) 97,8271 19,9835 0,9135 0,4033 0,6070 (7,13) 97,6889 19,9881 0,8445 0,4024 0,5829 (7,13) 98,9052 19,9838 0,0000 0,4032 0,0000 (7,13) 97,8127 19,8275 0,9064 0,4345 0,6276 (7,13) 97,1925 19,9900 0,5963 0,4020 0,4896 (7,13) 96,6543 19,9730 0,3271 0,4054 0,3642 (7,13) 96,2865 19,8058 0,1433 0,4388 0,2507 (7,13) 97,8822 19,8921 0,9411 0,4216 0,6299 (7,13) 98,4516 19,9812 0,0025 0,4038 0,0315 (7,13) 98,6790 19,6479 0,0000 0,4704 0,0023 (7,13) 97,6357 19,9800 0,8178 0,4040 0,5748 (7,13) 97,6180 19,9841 0,8090 0,4032 0,5711 (7,13) 96,7916 19,7853 0,3958 0,4429 0,4187 (7,13) 97,7054 19,6846 0,8527 0,4631 0,6284 (7,13) 97,9716 19,2353 0,9858 0,5529 0,7383 (7,13) 96,7944 19,9765 0,3972 0,4047 0,4009 (7,13) 96,2152 19,9774 0,1076 0,4045 0,2086 (9,13) 98,1830 21,5069 0,1324 0,0986 0,1143 (9,13) 97,9353 21,8583 0,9677 0,0283 0,1656 (9,13) 98,7688 21,5349 0,0000 0,0930 0,0002 (9,13) 98,0239 21,7766 0,7852 0,0447 0,1873

- 212 -

(9,13) 96,2722 21,4845 0,1361 0,1031 0,1184 (9,13) 98,1324 21,0039 0,2417 0,1992 0,2194 (9,13) 97,3017 21,5499 0,6508 0,0900 0,2421 (9,13) 98,5892 21,3987 0,0001 0,1203 0,0041 (9,13) 98,2998 21,3001 0,0283 0,1400 0,0630 (9,13) 98,8137 21,4811 0,0000 0,1038 0,0001 (9,13) 97,9335 20,6515 0,9667 0,2697 0,5106 (9,13) 98,3078 21,9627 0,0253 0,0075 0,0137 (9,13) 98,8488 21,6790 0,0000 0,0642 0,0000 (9,13) 98,2692 21,9758 0,0435 0,0048 0,0145 (9,13) 98,8704 21,6075 0,0000 0,0785 0,0000 (9,13) 96,3791 21,9906 0,1895 0,0019 0,0189 (9,13) 98,4163 21,9861 0,0046 0,0028 0,0036 (9,13) 98,6311 20,8862 0,0000 0,2228 0,0032 (9,13) 97,6541 20,9013 0,8270 0,2197 0,4263 (9,13) 97,1628 21,7734 0,5814 0,0453 0,1623 (9,13) 98,1969 21,9551 0,1115 0,0090 0,0316 (9,13) 97,6360 21,3883 0,8180 0,1223 0,3163 (9,13) 98,4553 21,8527 0,0023 0,0295 0,0082 (9,13) 98,9671 20,4870 0,0000 0,3026 0,0000 (9,13) 97,6491 21,3817 0,8246 0,1237 0,3193 (9,13) 96,7379 21,8707 0,3689 0,0259 0,0977 (9,13) 97,8424 21,7044 0,9212 0,0591 0,2334 (9,13) 98,5263 21,4399 0,0006 0,1120 0,0080 (9,13) 98,3090 21,1211 0,0248 0,1758 0,0660 (9,13) 98,2550 21,2062 0,0527 0,1588 0,0914 (8,12) 97,9587 19,9891 0,9794 0,4022 0,6276 (8,12) 98,2566 19,3629 0,0515 0,5274 0,1649 (8,12) 97,7965 19,9837 0,8983 0,4033 0,6019 (8,12) 98,9143 19,7470 0,0000 0,4506 0,0000 (8,12) 97,2448 19,8401 0,6224 0,4320 0,5185 (8,12) 97,8034 19,9427 0,9017 0,4115 0,6091 (8,12) 96,6827 19,6516 0,3413 0,4697 0,4004 (8,12) 97,0027 19,9206 0,5014 0,4159 0,4566 (8,12) 98,2367 19,4902 0,0672 0,5020 0,1836 (8,12) 96,4857 19,9023 0,2428 0,4195 0,3192 (8,12) 96,6667 19,7630 0,3333 0,4474 0,3862 (8,12) 99,0027 19,9717 0,0000 0,4057 0,0000 (8,12) 97,6079 19,7674 0,8039 0,4465 0,5991 (8,12) 97,9176 19,9191 0,9588 0,4162 0,6317 (8,12) 97,3953 19,9849 0,6977 0,4030 0,5303 (8,12) 98,2361 19,5333 0,0676 0,4933 0,1827 (8,12) 96,6356 19,8240 0,3178 0,4352 0,3719 (8,12) 96,9056 19,9866 0,4528 0,4027 0,4270 (8,12) 98,5298 19,1750 0,0005 0,5650 0,0173 (8,12) 97,7607 19,7586 0,8804 0,4483 0,6282 (8,12) 97,4894 19,4631 0,7447 0,5074 0,6147 (8,12) 98,5640 19,9240 0,0002 0,4152 0,0101 (8,12) 97,9045 19,6154 0,9523 0,4769 0,6739 (8,12) 98,9080 19,8083 0,0000 0,4383 0,0000 (8,12) 97,6812 19,7491 0,8406 0,4502 0,6151 (8,12) 98,0061 19,8455 0,9407 0,4309 0,6367 (8,12) 97,7445 19,9818 0,8723 0,4036 0,5934

- 213 -

(8,12) 98,9827 19,8888 0,0000 0,4222 0,0000 (8,12) 97,8684 19,8550 0,9342 0,4290 0,6331 (8,12) 97,2581 19,6738 0,6291 0,4652 0,5410

Tabla 5.72. Resultados del experimento 2 para la función desirability y el índice D. De esta tabla calculamos el índice D medio y la desviación estándar para cada uno de los escenarios, datos que son necesarios para realizar el análisis de varianza y las pruebas de adecuación del modelo.

Escenario Índice D medio STD Índice D(7,11) 0,4886 0,3126 (9,11) 0,3951 0,2385 (7,13) 0,4373 0,2270 (9,13) 0,1147 0,1384 (8,12) 0,3991 0,2454

Tabla 5.73. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 2. El análisis de varianza se muestra en la tabla siguiente:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -0,20 1,30 11,99 1 1,30 22,80 3,91 B -0,16 0,83 7,66 1 0,83 14,48 3,91

AB -0,12 0,39 3,60 1 0,39 6,91 3,91 Error 8,32 76,75 146 Total 10,84 100 149

Tabla 5.74. Análisis de varianza del experimento 2 para el ajuste del índice D. Observando los resultados obtenidos se aprecia como los factores principales A y B, así como la interacción entre ellos resultan ser significativos, por lo que el modelo ajustado será en variables codificadas y variables naturales respectivamente: 2121 06,008,010,037,0ˆ xxxxy −−−= 2121 06,038,058,031,3ˆ ξξξξ −++−=y Las pruebas de significación del modelo y la de falta de ajusta las pasa el modelo como se puede ver en la tabla 5.75, donde se muestran ambas:

- 214 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 2,52 3 0,84 14 2,67 Residual 8,32 146 0,06

(Falta de ajuste LOF) 0,04 1 0,04 0,67 3,91 (Error puro) 8,28 145 0,06

Total 10,84 149 Tabla 5.75. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 2 para el ajuste del índice D. Las pruebas de adecuación finalizan con la realización del análisis gráfico de los residuales. En las páginas siguientes se muestran la tabla 5.76 con las respuestas, predicciones y los residuales para todas las observaciones realizadas en este experimento. También se muestran las gráficas de la distribución normal, la de los residuales frente las respuestas predichas por el modelo y frente al orden en que se realizaron cada una de las observaciones.

Respuestas Predicción Residuales 0,00 0,50 -0,50 0,75 0,50 0,26 0,11 0,50 -0,39 0,31 0,50 -0,19 0,70 0,50 0,20 0,02 0,50 -0,47 0,00 0,50 -0,50 0,57 0,50 0,07 0,05 0,50 -0,45 0,66 0,50 0,17 0,43 0,50 -0,07 0,82 0,50 0,32 0,71 0,50 0,21 0,73 0,50 0,23 0,63 0,50 0,13 0,30 0,50 -0,19 0,30 0,50 -0,19 0,63 0,50 0,13 0,69 0,50 0,19 0,72 0,50 0,23 0,83 0,50 0,33 0,82 0,50 0,32 0,00 0,50 -0,50 0,31 0,50 -0,19 0,84 0,50 0,35 0,86 0,50 0,36 0,20 0,50 -0,29 0,80 0,50 0,31 0,08 0,50 -0,42 0,79 0,50 0,30 0,00 0,40 -0,40 0,02 0,40 -0,39

- 215 -

0,61 0,40 0,21 0,16 0,40 -0,24 0,24 0,40 -0,16 0,63 0,40 0,22 0,37 0,40 -0,03 0,26 0,40 -0,15 0,06 0,40 -0,34 0,55 0,40 0,15 0,58 0,40 0,18 0,25 0,40 -0,15 0,41 0,40 0,00 0,54 0,40 0,14 0,52 0,40 0,12 0,09 0,40 -0,31 0,39 0,40 -0,01 0,52 0,40 0,12 0,56 0,40 0,16 0,60 0,40 0,19 0,65 0,40 0,25 0,71 0,40 0,30 0,00 0,40 -0,40 0,60 0,40 0,20 0,63 0,40 0,23 0,64 0,40 0,23 0,15 0,40 -0,25 0,58 0,40 0,18 0,53 0,40 0,12 0,00 0,40 -0,40 0,58 0,45 0,13 0,20 0,45 -0,24 0,63 0,45 0,18 0,14 0,45 -0,31 0,65 0,45 0,21 0,62 0,45 0,17 0,39 0,45 -0,05 0,62 0,45 0,18 0,01 0,45 -0,44 0,46 0,45 0,02 0,49 0,45 0,04 0,60 0,45 0,15 0,62 0,45 0,17 0,61 0,45 0,16 0,58 0,45 0,14 0,00 0,45 -0,45 0,63 0,45 0,18 0,49 0,45 0,04 0,36 0,45 -0,08 0,25 0,45 -0,19 0,63 0,45 0,18 0,03 0,45 -0,41 0,00 0,45 -0,44 0,57 0,45 0,13 0,57 0,45 0,13

- 216 -

0,42 0,45 -0,03 0,63 0,45 0,18 0,74 0,45 0,29 0,40 0,45 -0,04 0,21 0,12 0,09 0,11 0,12 -0,01 0,17 0,12 0,04 0,00 0,12 -0,12 0,19 0,12 0,06 0,12 0,12 0,00 0,22 0,12 0,10 0,24 0,12 0,12 0,00 0,12 -0,12 0,06 0,12 -0,06 0,00 0,12 -0,12 0,51 0,12 0,39 0,01 0,12 -0,11 0,00 0,12 -0,12 0,01 0,12 -0,11 0,00 0,12 -0,12 0,02 0,12 -0,10 0,00 0,12 -0,12 0,00 0,12 -0,12 0,43 0,12 0,30 0,16 0,12 0,04 0,03 0,12 -0,09 0,32 0,12 0,19 0,01 0,12 -0,11 0,00 0,12 -0,12 0,32 0,12 0,20 0,10 0,12 -0,03 0,23 0,12 0,11 0,01 0,12 -0,11 0,07 0,37 -0,30 0,09 0,37 -0,28 0,63 0,37 0,26 0,16 0,37 -0,20 0,60 0,37 0,23 0,00 0,37 -0,37 0,52 0,37 0,15 0,61 0,37 0,24 0,40 0,37 0,03 0,46 0,37 0,09 0,18 0,37 -0,18 0,32 0,37 -0,05 0,39 0,37 0,02 0,00 0,37 -0,37 0,60 0,37 0,23 0,63 0,37 0,26 0,53 0,37 0,16 0,18 0,37 -0,18 0,37 0,37 0,00 0,43 0,37 0,06

- 217 -

0,02 0,37 -0,35 0,63 0,37 0,26 0,61 0,37 0,25 0,01 0,37 -0,36 0,67 0,37 0,31 0,00 0,37 -0,37 0,62 0,37 0,25 0,64 0,37 0,27 0,59 0,37 0,23 0,00 0,37 -0,37 0,63 0,37 0,27 0,54 0,37 0,17

Tabla 5.76. Residuales del experimento 2 para el ajuste del índice D.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-0.50 -0.28 -0.05 0.17 0.39

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.51. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 2 para el ajuste del índice D.

- 218 -

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Indice D predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.52. Residuales frente a Ŷ en el experimento 2 para el ajuste del índice D.

-0,50

-0,30

-0,10

0,10

0,30

0,50

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.53. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 2 para el ajuste del índice D.

- 219 -

En la gráfica de la probabilidad normal se puede ver como la distribución de los residuales sigue bastante adecuadamente la línea recta. Las ramas, tanto la de la derecha como la de la izquierda tienen aproximadamente la misma longitud, por lo que no se aprecia sesgo. Lo que llama la atención es el comportamiento de los puntos extremos de ambas ramas. La razón es la misma que para el experimento uno, por lo que no los vamos a considerar punto atípicos. Las graficas de los residuales frente a las respuestas predichas y el orden de realización de las observaciones, no muestran ningún patrón que nos haga pensar que el modelo no es adecuado, salvo el comportamiento de los puntos anteriormente comentados que son los que mayores residuales producen. En general estas tres gráficas son mejores que los del experimento uno, en especial la de la distribución normal. Esto puede indicar que el criterio de pesos seguido en este experimento es más acertado que el seguido para el experimento uno. Para detectar el punto más adecuado a los criterios de búsqueda nos fijamos nuevamente en la gráfica de contornos:

13

12

7 8

Factor A

Facto

r B

9

0.19

0.25

0.31

0.39

0.45

0.48

Gráfica 5.54. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 2. Vemos como de nuevo el punto donde se obtiene un mayor índice D es en le (7,11). Proseguimos con el experimento 3:

Respuestas Funciones Desirability Escenario Nivel de Servicio WIP d1 d2 D (7,11) 98,9047 17,6578 0,0000 0,8684 0,0000 (7,11) 97,4109 17,9816 0,0305 0,8037 0,1566

- 220 -

(7,11) 98,3477 17,8816 0,0140 0,8237 0,1072 (7,11) 98,1935 17,9813 0,1165 0,8037 0,3060 (7,11) 97,1691 17,8648 0,0047 0,8270 0,0621 (7,11) 98,5249 17,9687 0,0006 0,8063 0,0217 (7,11) 94,4143 17,9939 0,0000 0,8012 0,0000 (7,11) 96,7389 17,5921 0,0000 0,8816 0,0065 (7,11) 98,4371 17,9841 0,0032 0,8032 0,0506 (7,11) 97,0913 17,9856 0,0023 0,8029 0,0433 (7,11) 98,1378 17,9856 0,2270 0,8029 0,4269 (7,11) 97,6007 17,8409 0,1079 0,8318 0,2995 (7,11) 97,2297 17,9129 0,0077 0,8174 0,0795 (7,11) 98,0410 17,9892 0,6579 0,8022 0,7265 (7,11) 96,9627 17,8995 0,0007 0,8201 0,0234 (7,11) 96,2217 17,8162 0,0000 0,8368 0,0000 (7,11) 98,2033 17,4958 0,1030 0,9008 0,3046 (7,11) 96,9683 17,8798 0,0007 0,8240 0,0241 (7,11) 97,1731 17,9813 0,0048 0,8037 0,0622 (7,11) 97,2973 17,9791 0,0132 0,8042 0,1030 (7,11) 97,6818 17,9111 0,1768 0,8178 0,3802 (7,11) 97,6623 17,9880 0,1573 0,8024 0,3553 (7,11) 95,1835 17,9854 0,0000 0,8029 0,0000 (7,11) 98,1938 17,9855 0,1160 0,8029 0,3052 (7,11) 97,7763 17,9894 0,3054 0,8021 0,4949 (7,11) 97,7593 17,7987 0,2774 0,8403 0,4828 (7,11) 98,2573 17,9895 0,0510 0,8021 0,2023 (7,11) 98,0214 17,9900 0,8057 0,8020 0,8038 (7,11) 98,3829 17,9784 0,0080 0,8043 0,0802 (7,11) 97,5704 17,9815 0,0891 0,8037 0,2676 (9,11) 98,7094 19,6197 0,0000 0,4761 0,0014 (9,11) 98,5236 19,7993 0,0006 0,4401 0,0163 (9,11) 97,7087 19,8353 0,2072 0,4329 0,2995 (9,11) 98,2578 19,4810 0,0507 0,5038 0,1598 (9,11) 98,1965 19,3771 0,1121 0,5246 0,2425 (9,11) 97,8955 19,9363 0,5846 0,4127 0,4912 (9,11) 96,6458 19,8771 0,0000 0,4246 0,0023 (9,11) 96,2845 19,6908 0,0000 0,4618 0,0000 (9,11) 98,3882 19,4467 0,0073 0,5107 0,0612 (9,11) 97,2905 19,6316 0,0125 0,4737 0,0770 (9,11) 97,4983 19,7564 0,0557 0,4487 0,1581 (9,11) 98,1765 19,7892 0,1434 0,4422 0,2518 (9,11) 98,1240 18,8943 0,2661 0,6211 0,4066 (9,11) 97,4387 19,9362 0,0371 0,4128 0,1238 (9,11) 98,0479 19,8024 0,6123 0,4395 0,5188 (9,11) 98,3256 19,9906 0,0195 0,4019 0,0885 (9,11) 98,0905 19,9911 0,3874 0,4018 0,3945 (9,11) 97,3631 19,9820 0,0216 0,4036 0,0934 (9,11) 97,5167 19,9237 0,0629 0,4153 0,1616 (9,11) 97,5561 19,7203 0,0813 0,4559 0,1925 (9,11) 97,6364 19,3978 0,1345 0,5204 0,2645 (9,11) 97,9394 19,4167 0,7350 0,5167 0,6162 (9,11) 98,7321 19,5848 0,0000 0,4830 0,0010 (9,11) 97,3467 19,3255 0,0192 0,5349 0,1012 (9,11) 97,9888 19,9782 0,9455 0,4044 0,6183

- 221 -

(9,11) 97,8063 19,7455 0,3611 0,4509 0,4035 (9,11) 98,2593 19,7639 0,0497 0,4472 0,1491 (9,11) 98,0310 19,6753 0,7296 0,4649 0,5824 (9,11) 97,1395 19,5610 0,0036 0,4878 0,0419 (9,11) 95,9710 19,7867 0,0000 0,4427 0,0000 (7,13) 97,4663 19,7351 0,0449 0,4530 0,1426 (7,13) 98,2101 19,8704 0,0945 0,4259 0,2006 (7,13) 97,8952 19,9248 0,5839 0,4150 0,4923 (7,13) 98,2695 19,8493 0,0433 0,4301 0,1364 (7,13) 97,7987 19,6400 0,3461 0,4720 0,4042 (7,13) 97,8733 19,9637 0,5197 0,4073 0,4601 (7,13) 96,7575 19,9877 0,0001 0,4025 0,0049 (7,13) 97,7227 19,7563 0,2247 0,4487 0,3176 (7,13) 98,6166 19,9737 0,0001 0,4053 0,0053 (7,13) 97,0575 19,9826 0,0017 0,4035 0,0263 (7,13) 97,1719 19,9833 0,0048 0,4033 0,0439 (7,13) 97,6624 19,8359 0,1574 0,4328 0,2610 (7,13) 97,7351 19,7969 0,2415 0,4406 0,3262 (7,13) 97,8271 19,9835 0,4048 0,4033 0,4040 (7,13) 97,6889 19,9881 0,1844 0,4024 0,2724 (7,13) 98,9052 19,9838 0,0000 0,4032 0,0000 (7,13) 97,8127 19,8275 0,3741 0,4345 0,4032 (7,13) 97,1925 19,9900 0,0057 0,4020 0,0478 (7,13) 96,6543 19,9730 0,0000 0,4054 0,0024 (7,13) 96,2865 19,8058 0,0000 0,4388 0,0000 (7,13) 97,8822 19,8921 0,5449 0,4216 0,4793 (7,13) 98,4516 19,9812 0,0025 0,4038 0,0315 (7,13) 98,6790 19,6479 0,0000 0,4704 0,0023 (7,13) 97,6357 19,9800 0,1339 0,4040 0,2325 (7,13) 97,6180 19,9841 0,1201 0,4032 0,2200 (7,13) 96,7916 19,7853 0,0001 0,4429 0,0065 (7,13) 97,7054 19,6846 0,2032 0,4631 0,3067 (7,13) 97,9716 19,2353 0,8665 0,5529 0,6922 (7,13) 96,7944 19,9765 0,0001 0,4047 0,0063 (7,13) 96,2152 19,9774 0,0000 0,4045 0,0000 (9,13) 98,1830 21,5069 0,1324 0,0986 0,1143 (9,13) 97,9353 21,8583 0,7198 0,0283 0,1428 (9,13) 98,7688 21,5349 0,0000 0,0930 0,0002 (9,13) 98,0239 21,7766 0,7852 0,0447 0,1873 (9,13) 96,2722 21,4845 0,0000 0,1031 0,0000 (9,13) 98,1324 21,0039 0,2417 0,1992 0,2194 (9,13) 97,3017 21,5499 0,0136 0,0900 0,0350 (9,13) 98,5892 21,3987 0,0001 0,1203 0,0041 (9,13) 98,2998 21,3001 0,0283 0,1400 0,0630 (9,13) 98,8137 21,4811 0,0000 0,1038 0,0001 (9,13) 97,9335 20,6515 0,7131 0,2697 0,4385 (9,13) 98,3078 21,9627 0,0253 0,0075 0,0137 (9,13) 98,8488 21,6790 0,0000 0,0642 0,0000 (9,13) 98,2692 21,9758 0,0435 0,0048 0,0145 (9,13) 98,8704 21,6075 0,0000 0,0785 0,0000 (9,13) 96,3791 21,9906 0,0000 0,0019 0,0000 (9,13) 98,4163 21,9861 0,0046 0,0028 0,0036 (9,13) 98,6311 20,8862 0,0000 0,2228 0,0032

- 222 -

(9,13) 97,6541 20,9013 0,1497 0,2197 0,1814 (9,13) 97,1628 21,7734 0,0044 0,0453 0,0141 (9,13) 98,1969 21,9551 0,1115 0,0090 0,0316 (9,13) 97,6360 21,3883 0,1341 0,1223 0,1281 (9,13) 98,4553 21,8527 0,0023 0,0295 0,0082 (9,13) 98,9671 20,4870 0,0000 0,3026 0,0000 (9,13) 97,6491 21,3817 0,1453 0,1237 0,1340 (9,13) 96,7379 21,8707 0,0000 0,0259 0,0011 (9,13) 97,8424 21,7044 0,4400 0,0591 0,1613 (9,13) 98,5263 21,4399 0,0006 0,1120 0,0080 (9,13) 98,3090 21,1211 0,0248 0,1758 0,0660 (9,13) 98,2550 21,2062 0,0527 0,1588 0,0914 (8,12) 97,9587 19,9891 0,8117 0,4022 0,5714 (8,12) 98,2566 19,3629 0,0515 0,5274 0,1649 (8,12) 97,7965 19,9837 0,3420 0,4033 0,3714 (8,12) 98,9143 19,7470 0,0000 0,4506 0,0000 (8,12) 97,2448 19,8401 0,0087 0,4320 0,0614 (8,12) 97,8034 19,9427 0,3554 0,4115 0,3824 (8,12) 96,6827 19,6516 0,0000 0,4697 0,0032 (8,12) 97,0027 19,9206 0,0010 0,4159 0,0204 (8,12) 98,2367 19,4902 0,0672 0,5020 0,1836 (8,12) 96,4857 19,9023 0,0000 0,4195 0,0005 (8,12) 96,6667 19,7630 0,0000 0,4474 0,0028 (8,12) 99,0027 19,9717 0,0000 0,4057 0,0000 (8,12) 97,6079 19,7674 0,1128 0,4465 0,2244 (8,12) 97,9176 19,9191 0,6565 0,4162 0,5227 (8,12) 97,3953 19,9849 0,0273 0,4030 0,1049 (8,12) 98,2361 19,5333 0,0676 0,4933 0,1827 (8,12) 96,6356 19,8240 0,0000 0,4352 0,0021 (8,12) 96,9056 19,9866 0,0004 0,4027 0,0121 (8,12) 98,5298 19,1750 0,0005 0,5650 0,0173 (8,12) 97,7607 19,7586 0,2796 0,4483 0,3540 (8,12) 97,4894 19,4631 0,0525 0,5074 0,1632 (8,12) 98,5640 19,9240 0,0002 0,4152 0,0101 (8,12) 97,9045 19,6154 0,6132 0,4769 0,5408 (8,12) 98,9080 19,8083 0,0000 0,4383 0,0000 (8,12) 97,6812 19,7491 0,1761 0,4502 0,2816 (8,12) 98,0061 19,8455 0,9407 0,4309 0,6367 (8,12) 97,7445 19,9818 0,2550 0,4036 0,3208 (8,12) 98,9827 19,8888 0,0000 0,4222 0,0000 (8,12) 97,8684 19,8550 0,5062 0,4290 0,4660 (8,12) 97,2581 19,6738 0,0097 0,4652 0,0672

Tabla 5.77. Resultados del experimento 3 para la función desirability y el índice D. A continuación los datos necesarios para efectuar el análisis de varianza:

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Escenario Índice D medio STD Índice D(7,11) 0,2059 0,2188 (9,11) 0,2173 0,1992 (7,13) 0,1976 0,1958 (9,13) 0,0688 0,0982 (8,12) 0,1890 0,2057

Tabla 5.78. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 3. El análisis de varianza queda:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -0,06 0,11 1,96 1 0,10 2,92 3,91 B -0,08 0,18 3,22 1 0,18 5,21 3,91

AB -0,07 0,15 2,68 1 0,15 4,17 3,91 Error 5,16 92,14 146 Total 5,60 100 149

Tabla 5.79. Análisis de varianza del experimento 3 para el ajuste del índice D. Examinando los resultados obtenidos vemos como son significativos el factor B y la interacción AB. Al ser esta última significativa hemos de añadir al modelo el término correspondiente al factor A aunque este no haya resultado ser significativo, así el modelo queda en variables codificadas: 2121 035,004,003,018,0ˆ xxxxy −−−= y en variables naturales: 2121 035,024,039,048,2ˆ ξξξξ −++−=y Las pruebas de significación y falta de ajuste:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 0,43 3 0,14 3,5 2,67 Residual 5,17 146 0,04

(Falta de ajuste LOF) 0,01 1 0,01 0,25 3,91 (Error puro) 5,16 145 0,04

Total 5,60 149 Tabla 5.80. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 3 para el ajuste del índice D.

- 224 -

Se observa que el modelo las pasa, por lo que proseguimos con las pruebas gráficas de los residuales:

Respuestas Predicción Residuales 0,00 0,21 -0,21 0,16 0,21 -0,05 0,11 0,21 -0,10 0,31 0,21 0,10 0,06 0,21 -0,15 0,02 0,21 -0,19 0,00 0,21 -0,21 0,01 0,21 -0,20 0,05 0,21 -0,16 0,04 0,21 -0,17 0,43 0,21 0,22 0,30 0,21 0,09 0,08 0,21 -0,13 0,73 0,21 0,52 0,02 0,21 -0,19 0,00 0,21 -0,21 0,30 0,21 0,10 0,02 0,21 -0,19 0,06 0,21 -0,15 0,10 0,21 -0,11 0,38 0,21 0,17 0,36 0,21 0,15 0,00 0,21 -0,21 0,31 0,21 0,10 0,49 0,21 0,29 0,48 0,21 0,27 0,20 0,21 -0,01 0,80 0,21 0,59 0,08 0,21 -0,13 0,27 0,21 0,06 0,00 0,22 -0,22 0,02 0,22 -0,20 0,30 0,22 0,08 0,16 0,22 -0,06 0,24 0,22 0,02 0,49 0,22 0,27 0,00 0,22 -0,22 0,00 0,22 -0,22 0,06 0,22 -0,16 0,08 0,22 -0,14 0,16 0,22 -0,06 0,25 0,22 0,03 0,41 0,22 0,19 0,12 0,22 -0,10 0,52 0,22 0,30 0,09 0,22 -0,13 0,39 0,22 0,17

- 225 -

0,09 0,22 -0,13 0,16 0,22 -0,06 0,19 0,22 -0,03 0,26 0,22 0,04 0,62 0,22 0,40 0,00 0,22 -0,22 0,10 0,22 -0,12 0,62 0,22 0,40 0,40 0,22 0,18 0,15 0,22 -0,07 0,58 0,22 0,36 0,04 0,22 -0,18 0,00 0,22 -0,22 0,14 0,20 -0,06 0,20 0,20 0,00 0,49 0,20 0,29 0,14 0,20 -0,06 0,40 0,20 0,20 0,46 0,20 0,26 0,00 0,20 -0,20 0,32 0,20 0,12 0,01 0,20 -0,20 0,03 0,20 -0,17 0,04 0,20 -0,16 0,26 0,20 0,06 0,33 0,20 0,13 0,40 0,20 0,20 0,27 0,20 0,07 0,00 0,20 -0,20 0,40 0,20 0,20 0,05 0,20 -0,15 0,00 0,20 -0,20 0,00 0,20 -0,20 0,48 0,20 0,28 0,03 0,20 -0,17 0,00 0,20 -0,20 0,23 0,20 0,03 0,22 0,20 0,02 0,01 0,20 -0,19 0,31 0,20 0,11 0,69 0,20 0,49 0,01 0,20 -0,19 0,00 0,07 -0,07 0,11 0,07 0,04 0,14 0,07 0,07 0,00 0,07 -0,07 0,19 0,07 0,12 0,00 0,07 -0,07 0,22 0,07 0,15 0,04 0,07 -0,04 0,00 0,07 -0,07 0,06 0,07 -0,01 0,00 0,07 -0,07

- 226 -

0,44 0,07 0,37 0,01 0,07 -0,06 0,00 0,07 -0,07 0,01 0,07 -0,06 0,00 0,07 -0,07 0,00 0,07 -0,07 0,00 0,07 -0,07 0,00 0,07 -0,07 0,18 0,07 0,11 0,01 0,07 -0,06 0,03 0,07 -0,04 0,13 0,07 0,06 0,01 0,07 -0,06 0,00 0,07 -0,07 0,13 0,07 0,06 0,00 0,07 -0,07 0,16 0,07 0,09 0,01 0,07 -0,06 0,07 0,18 -0,11 0,09 0,18 -0,08 0,57 0,18 0,40 0,16 0,18 -0,01 0,37 0,18 0,20 0,00 0,18 -0,18 0,06 0,18 -0,11 0,38 0,18 0,21 0,00 0,18 -0,17 0,02 0,18 -0,16 0,18 0,18 0,01 0,00 0,18 -0,18 0,00 0,18 -0,17 0,00 0,18 -0,18 0,22 0,18 0,05 0,52 0,18 0,35 0,10 0,18 -0,07 0,18 0,18 0,01 0,00 0,18 -0,17 0,01 0,18 -0,16 0,02 0,18 -0,16 0,35 0,18 0,18 0,16 0,18 -0,01 0,01 0,18 -0,17 0,54 0,18 0,37 0,00 0,18 -0,18 0,28 0,18 0,11 0,64 0,18 0,46 0,32 0,18 0,15 0,00 0,18 -0,18 0,47 0,18 0,29 0,07 0,18 -0,11

Tabla 5.81. Residuales del experimento 3 para el ajuste del índice D.

- 227 -

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-1.19 -0.09 1.01 2.11 3.21

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 5.55. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 3 para el ajuste del índice D.

-0,60

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,00 0,10 0,20

Indice D predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.56. Residuales frente a Ŷ en el experimento 3 para el ajuste del índice D.

- 228 -

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.57. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 3 para el ajuste del índice D. Observando la gráfica de la probabilidad normal, lo primero que nos llama la atención es que sigue adecuadamente la línea recta salvo el extremo izquierdo. Esto significa que los valores negativos de los residuales no son tan grandes en valor absoluto como se esperaba. Esto se pone de manifiesto observando estos valores en las gráficas 5.56 y 5.57. También se observa el comportamiento ya comentado de las respuestas no adecuadas según los límites de aceptabilidad elegidos a lo hora de diseñar las funciones desirability. Los resultados obtenidos al analizar los residuales no ofrecen un resultado como para no dar al modelo por adecuado, aunque por ahora, los resultados obtenidos en el experimento número dos, parecen indicar que el criterio de pesos empleados en aquel experimento es más adecuado que los empleados en este.

- 229 -

13

12

7 8

Factor A

Facto

r B

9

0.120.10

0.15

0.17

0.20

0.21

0.210.22

Gráfica 5.58. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 3. En la gráfica de contornos se aprecia como el punto que alcanza un mayor índice D dentro de la región de experimentación, es el (9, 11). El experimento número cuatro se muestra a continuación:

Respuestas Funciones Desirability Escenario Nivel de Servicio WIP d1 d2 D (7,11) 98,9047 17,6578 0,0000 0,2440 0,0000 (7,11) 97,4109 17,9816 0,0305 0,1124 0,0586 (7,11) 98,3477 17,8816 0,0140 0,1437 0,0448 (7,11) 98,1935 17,9813 0,1165 0,1125 0,1145 (7,11) 97,1691 17,8648 0,0047 0,1497 0,0264 (7,11) 98,5249 17,9687 0,0006 0,1161 0,0082 (7,11) 94,4143 17,9939 0,0000 0,1090 0,0000 (7,11) 96,7389 17,5921 0,0000 0,2835 0,0037 (7,11) 98,4371 17,9841 0,0032 0,1117 0,0189 (7,11) 97,0913 17,9856 0,0023 0,1113 0,0161 (7,11) 98,1378 17,9856 0,2270 0,1113 0,1590 (7,11) 97,6007 17,8409 0,1079 0,1586 0,1308 (7,11) 97,2297 17,9129 0,0077 0,1332 0,0321 (7,11) 98,0410 17,9892 0,6579 0,1103 0,2694 (7,11) 96,9627 17,8995 0,0007 0,1376 0,0096 (7,11) 96,2217 17,8162 0,0000 0,1683 0,0000 (7,11) 98,2033 17,4958 0,1030 0,3519 0,1904 (7,11) 96,9683 17,8798 0,0007 0,1444 0,0101 (7,11) 97,1731 17,9813 0,0048 0,1125 0,0233 (7,11) 97,2973 17,9791 0,0132 0,1131 0,0386 (7,11) 97,6818 17,9111 0,1768 0,1338 0,1538 (7,11) 97,6623 17,9880 0,1573 0,1106 0,1319

- 230 -

(7,11) 95,1835 17,9854 0,0000 0,1114 0,0000 (7,11) 98,1938 17,9855 0,1160 0,1113 0,1137 (7,11) 97,7763 17,9894 0,3054 0,1103 0,1835 (7,11) 97,7593 17,7987 0,2774 0,1755 0,2206 (7,11) 98,2573 17,9895 0,0510 0,1102 0,0750 (7,11) 98,0214 17,9900 0,8057 0,1101 0,2978 (7,11) 98,3829 17,9784 0,0080 0,1133 0,0301 (7,11) 97,5704 17,9815 0,0891 0,1125 0,1001 (9,11) 98,7094 19,6197 0,0000 0,0006 0,0001 (9,11) 98,5236 19,7993 0,0006 0,0003 0,0004 (9,11) 97,7087 19,8353 0,2072 0,0002 0,0069 (9,11) 98,2578 19,4810 0,0507 0,0011 0,0073 (9,11) 98,1965 19,3771 0,1121 0,0016 0,0133 (9,11) 97,8955 19,9363 0,5846 0,0001 0,0092 (9,11) 96,6458 19,8771 0,0000 0,0002 0,0000 (9,11) 96,2845 19,6908 0,0000 0,0004 0,0000 (9,11) 98,3882 19,4467 0,0073 0,0012 0,0030 (9,11) 97,2905 19,6316 0,0125 0,0006 0,0027 (9,11) 97,4983 19,7564 0,0557 0,0003 0,0043 (9,11) 98,1765 19,7892 0,1434 0,0003 0,0064 (9,11) 98,1240 18,8943 0,2661 0,0085 0,0477 (9,11) 97,4387 19,9362 0,0371 0,0001 0,0023 (9,11) 98,0479 19,8024 0,6123 0,0003 0,0128 (9,11) 98,3256 19,9906 0,0195 0,0001 0,0015 (9,11) 98,0905 19,9911 0,3874 0,0001 0,0065 (9,11) 97,3631 19,9820 0,0216 0,0001 0,0016 (9,11) 97,5167 19,9237 0,0629 0,0002 0,0031 (9,11) 97,5561 19,7203 0,0813 0,0004 0,0056 (9,11) 97,6364 19,3978 0,1345 0,0015 0,0140 (9,11) 97,9394 19,4167 0,7350 0,0014 0,0316 (9,11) 98,7321 19,5848 0,0000 0,0007 0,0000 (9,11) 97,3467 19,3255 0,0192 0,0019 0,0061 (9,11) 97,9888 19,9782 0,9455 0,0001 0,0105 (9,11) 97,8063 19,7455 0,3611 0,0003 0,0112 (9,11) 98,2593 19,7639 0,0497 0,0003 0,0040 (9,11) 98,0310 19,6753 0,7296 0,0005 0,0186 (9,11) 97,1395 19,5610 0,0036 0,0008 0,0017 (9,11) 95,9710 19,7867 0,0000 0,0003 0,0000 (7,13) 97,4663 19,7351 0,0449 0,0004 0,0040 (7,13) 98,2101 19,8704 0,0945 0,0002 0,0043 (7,13) 97,8952 19,9248 0,5839 0,0002 0,0094 (7,13) 98,2695 19,8493 0,0433 0,0002 0,0031 (7,13) 97,7987 19,6400 0,3461 0,0005 0,0138 (7,13) 97,8733 19,9637 0,5197 0,0001 0,0081 (7,13) 96,7575 19,9877 0,0001 0,0001 0,0001 (7,13) 97,7227 19,7563 0,2247 0,0003 0,0086 (7,13) 98,6166 19,9737 0,0001 0,0001 0,0001 (7,13) 97,0575 19,9826 0,0017 0,0001 0,0004 (7,13) 97,1719 19,9833 0,0048 0,0001 0,0007 (7,13) 97,6624 19,8359 0,1574 0,0002 0,0060 (7,13) 97,7351 19,7969 0,2415 0,0003 0,0082 (7,13) 97,8271 19,9835 0,4048 0,0001 0,0068 (7,13) 97,6889 19,9881 0,1844 0,0001 0,0045

- 231 -

(7,13) 98,9052 19,9838 0,0000 0,0001 0,0000 (7,13) 97,8127 19,8275 0,3741 0,0002 0,0095 (7,13) 97,1925 19,9900 0,0057 0,0001 0,0008 (7,13) 96,6543 19,9730 0,0000 0,0001 0,0000 (7,13) 96,2865 19,8058 0,0000 0,0003 0,0000 (7,13) 97,8822 19,8921 0,5449 0,0002 0,0098 (7,13) 98,4516 19,9812 0,0025 0,0001 0,0005 (7,13) 98,6790 19,6479 0,0000 0,0005 0,0001 (7,13) 97,6357 19,9800 0,1339 0,0001 0,0039 (7,13) 97,6180 19,9841 0,1201 0,0001 0,0037 (7,13) 96,7916 19,7853 0,0001 0,0003 0,0002 (7,13) 97,7054 19,6846 0,2032 0,0005 0,0096 (7,13) 97,9716 19,2353 0,8665 0,0027 0,0481 (7,13) 96,7944 19,9765 0,0001 0,0001 0,0001 (7,13) 96,2152 19,9774 0,0000 0,0001 0,0000 (9,13) 98,1830 21,5069 0,1324 0,0000 0,0000 (9,13) 97,9353 21,8583 0,7198 0,0000 0,0000 (9,13) 98,7688 21,5349 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 98,0239 21,7766 0,7852 0,0000 0,0000 (9,13) 96,2722 21,4845 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 98,1324 21,0039 0,2417 0,0000 0,0002 (9,13) 97,3017 21,5499 0,0136 0,0000 0,0000 (9,13) 98,5892 21,3987 0,0001 0,0000 0,0000 (9,13) 98,2998 21,3001 0,0283 0,0000 0,0000 (9,13) 98,8137 21,4811 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 97,9335 20,6515 0,7131 0,0000 0,0012 (9,13) 98,3078 21,9627 0,0253 0,0000 0,0000 (9,13) 98,8488 21,6790 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 98,2692 21,9758 0,0435 0,0000 0,0000 (9,13) 98,8704 21,6075 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 96,3791 21,9906 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 98,4163 21,9861 0,0046 0,0000 0,0000 (9,13) 98,6311 20,8862 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 97,6541 20,9013 0,1497 0,0000 0,0002 (9,13) 97,1628 21,7734 0,0044 0,0000 0,0000 (9,13) 98,1969 21,9551 0,1115 0,0000 0,0000 (9,13) 97,6360 21,3883 0,1341 0,0000 0,0000 (9,13) 98,4553 21,8527 0,0023 0,0000 0,0000 (9,13) 98,9671 20,4870 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 97,6491 21,3817 0,1453 0,0000 0,0000 (9,13) 96,7379 21,8707 0,0000 0,0000 0,0000 (9,13) 97,8424 21,7044 0,4400 0,0000 0,0000 (9,13) 98,5263 21,4399 0,0006 0,0000 0,0000 (9,13) 98,3090 21,1211 0,0248 0,0000 0,0000 (9,13) 98,2550 21,2062 0,0527 0,0000 0,0000 (8,12) 97,9587 19,9891 0,8117 0,0001 0,0095 (8,12) 98,2566 19,3629 0,0515 0,0017 0,0093 (8,12) 97,7965 19,9837 0,3420 0,0001 0,0062 (8,12) 98,9143 19,7470 0,0000 0,0003 0,0000 (8,12) 97,2448 19,8401 0,0087 0,0002 0,0014 (8,12) 97,8034 19,9427 0,3554 0,0001 0,0070 (8,12) 96,6827 19,6516 0,0000 0,0005 0,0001 (8,12) 97,0027 19,9206 0,0010 0,0002 0,0004

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(8,12) 98,2367 19,4902 0,0672 0,0010 0,0083 (8,12) 96,4857 19,9023 0,0000 0,0002 0,0000 (8,12) 96,6667 19,7630 0,0000 0,0003 0,0001 (8,12) 99,0027 19,9717 0,0000 0,0001 0,0000 (8,12) 97,6079 19,7674 0,1128 0,0003 0,0060 (8,12) 97,9176 19,9191 0,6565 0,0002 0,0101 (8,12) 97,3953 19,9849 0,0273 0,0001 0,0018 (8,12) 98,2361 19,5333 0,0676 0,0009 0,0076 (8,12) 96,6356 19,8240 0,0000 0,0002 0,0001 (8,12) 96,9056 19,9866 0,0004 0,0001 0,0002 (8,12) 98,5298 19,1750 0,0005 0,0033 0,0013 (8,12) 97,7607 19,7586 0,2796 0,0003 0,0096 (8,12) 97,4894 19,4631 0,0525 0,0011 0,0077 (8,12) 98,5640 19,9240 0,0002 0,0002 0,0002 (8,12) 97,9045 19,6154 0,6132 0,0006 0,0193 (8,12) 98,9080 19,8083 0,0000 0,0003 0,0000 (8,12) 97,6812 19,7491 0,1761 0,0003 0,0078 (8,12) 98,0061 19,8455 0,9407 0,0002 0,0144 (8,12) 97,7445 19,9818 0,2550 0,0001 0,0054 (8,12) 98,9827 19,8888 0,0000 0,0002 0,0000 (8,12) 97,8684 19,8550 0,5062 0,0002 0,0103 (8,12) 97,2581 19,6738 0,0097 0,0005 0,0021

Tabla 5.82. Resultados del experimento 4 para la función desirability y el índice D. El índice D medio y la desviación estándar para cada uno de los escenarios se muestran en la tabla 5.83:

Escenario Índice D medio STD Índice D(7,11) 0,0820 0,0859 (9,11) 0,0077 0,0102 (7,13) 0,0055 0,0090 (9,13) 0,0001 0,0002 (8,12) 0,0049 0,0051

Tabla 5.83. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 4. El análisis de varianza muestra como tanto los factores A y B, como la interacción entre ellos son significativos:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -0,04 0,05 13,08 1 0,05 30,47 3,91 B -0,04 0,05 14,44 1 0,05 33,64 3,91 AB -0,03 0,04 9,81 1 0,04 22,85 3,91 Error 0,23 62,67 146 0,00 Total 0,37 100,00 149

Tabla 5.84. Análisis de varianza del experimento 4 para el ajuste del índice D.

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Por tanto el modelo en variables codificadas y en variables naturales, quedan respectivamente: 2121 015,002,002,002,0ˆ xxxxy −−−= 2121 02,016,023,008,2ˆ ξξξξ +−−=y La prueba de significación la pasa, como se puede ver en la tabla 5.85, sin embargo la de falta de ajuste no. Esto significa que el modelo no se ajusta adecuadamente a la superficie de respuesta real del índice D. El próximo paso sería diseñar un experimento central compuesto en las caras para intentar ajustar un modelo de segundo orden que se ajustara a la superficie de respuesta en esta región de experimentación, sin embargo lo desestimamos porque esto significa realizar 120 réplicas más (30 en cada uno de los cuatro puntos centrales), por otro lado la combinación de pesos de este experimento es la más radical de todas y a tenor de los resultados obtenidos en los experimentos anteriores es muy probablemente que no aporte nada nuevo.

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 0,14 3 0,045 28,57 2,67 Residual 0,23 146 0,002

(Falta de ajuste LOF) 0,01 1 0,010 6,59 3,91 (Error puro) 0,22 145 0,002

Total 0,37 149 Tabla 5.85. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 4 para el ajuste del índice D. En el último experimento de esta batería se han obtenido los siguientes resultados:

Respuestas Funciones Desirability Escenario Nivel de Servicio WIP d1 d2 D (7,11) 98,9047 17,6578 0,0000 0,9860 0,0000 (7,11) 97,4109 17,9816 0,7054 0,9784 0,8308 (7,11) 98,3477 17,8816 0,0140 0,9808 0,1170 (7,11) 98,1935 17,9813 0,1165 0,9784 0,3376 (7,11) 97,1691 17,8648 0,5846 0,9812 0,7573 (7,11) 98,5249 17,9687 0,0006 0,9787 0,0239 (7,11) 94,4143 17,9939 0,0000 0,9781 0,0000 (7,11) 96,7389 17,5921 0,3694 0,9875 0,6040 (7,11) 98,4371 17,9841 0,0032 0,9783 0,0559 (7,11) 97,0913 17,9856 0,5457 0,9783 0,7306 (7,11) 98,1378 17,9856 0,2270 0,9783 0,4713 (7,11) 97,6007 17,8409 0,8004 0,9818 0,8864 (7,11) 97,2297 17,9129 0,6149 0,9800 0,7763 (7,11) 98,0410 17,9892 0,6579 0,9782 0,8022

- 234 -

(7,11) 96,9627 17,8995 0,4813 0,9804 0,6869 (7,11) 96,2217 17,8162 0,1109 0,9823 0,3300 (7,11) 98,2033 17,4958 0,1030 0,9896 0,3193 (7,11) 96,9683 17,8798 0,4842 0,9808 0,6891 (7,11) 97,1731 17,9813 0,5865 0,9784 0,7575 (7,11) 97,2973 17,9791 0,6486 0,9784 0,7967 (7,11) 97,6818 17,9111 0,8409 0,9801 0,9078 (7,11) 97,6623 17,9880 0,8311 0,9782 0,9017 (7,11) 95,1835 17,9854 0,0000 0,9783 0,0000 (7,11) 98,1938 17,9855 0,1160 0,9783 0,3369 (7,11) 97,7763 17,9894 0,8881 0,9782 0,9321 (7,11) 97,7593 17,7987 0,8796 0,9827 0,9298 (7,11) 98,2573 17,9895 0,0510 0,9782 0,2234 (7,11) 98,0214 17,9900 0,8057 0,9782 0,8877 (7,11) 98,3829 17,9784 0,0080 0,9785 0,0885 (7,11) 97,5704 17,9815 0,7852 0,9784 0,8765 (9,11) 98,7094 19,6197 0,0000 0,9285 0,0020 (9,11) 98,5236 19,7993 0,0006 0,9212 0,0236 (9,11) 97,7087 19,8353 0,8543 0,9197 0,8864 (9,11) 98,2578 19,4810 0,0507 0,9337 0,2176 (9,11) 98,1965 19,3771 0,1121 0,9375 0,3242 (9,11) 97,8955 19,9363 0,9477 0,9153 0,9314 (9,11) 96,6458 19,8771 0,3229 0,9179 0,5444 (9,11) 96,2845 19,6908 0,1423 0,9257 0,3629 (9,11) 98,3882 19,4467 0,0073 0,9350 0,0829 (9,11) 97,2905 19,6316 0,6452 0,9280 0,7738 (9,11) 97,4983 19,7564 0,7491 0,9230 0,8315 (9,11) 98,1765 19,7892 0,1434 0,9216 0,3636 (9,11) 98,1240 18,8943 0,2661 0,9535 0,5037 (9,11) 97,4387 19,9362 0,7194 0,9153 0,8114 (9,11) 98,0479 19,8024 0,6123 0,9211 0,7510 (9,11) 98,3256 19,9906 0,0195 0,9129 0,1333 (9,11) 98,0905 19,9911 0,3874 0,9128 0,5947 (9,11) 97,3631 19,9820 0,6816 0,9133 0,7890 (9,11) 97,5167 19,9237 0,7583 0,9159 0,8334 (9,11) 97,5561 19,7203 0,7780 0,9245 0,8481 (9,11) 97,6364 19,3978 0,8182 0,9368 0,8755 (9,11) 97,9394 19,4167 0,9697 0,9361 0,9527 (9,11) 98,7321 19,5848 0,0000 0,9298 0,0013 (9,11) 97,3467 19,3255 0,6734 0,9394 0,7953 (9,11) 97,9888 19,9782 0,9944 0,9134 0,9531 (9,11) 97,8063 19,7455 0,9032 0,9234 0,9132 (9,11) 98,2593 19,7639 0,0497 0,9227 0,2142 (9,11) 98,0310 19,6753 0,7296 0,9263 0,8221 (9,11) 97,1395 19,5610 0,5698 0,9307 0,7282 (9,11) 95,9710 19,7867 0,0000 0,9217 0,0000 (7,13) 97,4663 19,7351 0,7332 0,9239 0,8230 (7,13) 98,2101 19,8704 0,0945 0,9182 0,2946 (7,13) 97,8952 19,9248 0,9476 0,9158 0,9316 (7,13) 98,2695 19,8493 0,0433 0,9191 0,1994 (7,13) 97,7987 19,6400 0,8993 0,9277 0,9134 (7,13) 97,8733 19,9637 0,9367 0,9141 0,9253 (7,13) 96,7575 19,9877 0,3787 0,9130 0,5880

- 235 -

(7,13) 97,7227 19,7563 0,8613 0,9230 0,8916 (7,13) 98,6166 19,9737 0,0001 0,9136 0,0079 (7,13) 97,0575 19,9826 0,5287 0,9132 0,6949 (7,13) 97,1719 19,9833 0,5860 0,9132 0,7315 (7,13) 97,6624 19,8359 0,8312 0,9197 0,8743 (7,13) 97,7351 19,7969 0,8675 0,9213 0,8940 (7,13) 97,8271 19,9835 0,9135 0,9132 0,9134 (7,13) 97,6889 19,9881 0,8445 0,9130 0,8781 (7,13) 98,9052 19,9838 0,0000 0,9132 0,0000 (7,13) 97,8127 19,8275 0,9064 0,9200 0,9132 (7,13) 97,1925 19,9900 0,5963 0,9129 0,7378 (7,13) 96,6543 19,9730 0,3271 0,9137 0,5467 (7,13) 96,2865 19,8058 0,1433 0,9209 0,3632 (7,13) 97,8822 19,8921 0,9411 0,9172 0,9291 (7,13) 98,4516 19,9812 0,0025 0,9133 0,0474 (7,13) 98,6790 19,6479 0,0000 0,9274 0,0033 (7,13) 97,6357 19,9800 0,8178 0,9134 0,8643 (7,13) 97,6180 19,9841 0,8090 0,9132 0,8595 (7,13) 96,7916 19,7853 0,3958 0,9218 0,6040 (7,13) 97,7054 19,6846 0,8527 0,9259 0,8885 (7,13) 97,9716 19,2353 0,9858 0,9425 0,9639 (7,13) 96,7944 19,9765 0,3972 0,9135 0,6024 (7,13) 96,2152 19,9774 0,1076 0,9135 0,3135 (9,13) 98,1830 21,5069 0,1324 0,7932 0,3241 (9,13) 97,9353 21,8583 0,9677 0,7003 0,8232 (9,13) 98,7688 21,5349 0,0000 0,7886 0,0006 (9,13) 98,0239 21,7766 0,7852 0,7328 0,7585 (9,13) 96,2722 21,4845 0,1361 0,7968 0,3293 (9,13) 98,1324 21,0039 0,2417 0,8510 0,4535 (9,13) 97,3017 21,5499 0,6508 0,7860 0,7152 (9,13) 98,5892 21,3987 0,0001 0,8091 0,0105 (9,13) 98,2998 21,3001 0,0283 0,8215 0,1526 (9,13) 98,8137 21,4811 0,0000 0,7973 0,0002 (9,13) 97,9335 20,6515 0,9667 0,8772 0,9209 (9,13) 98,3078 21,9627 0,0253 0,6127 0,1244 (9,13) 98,8488 21,6790 0,0000 0,7599 0,0001 (9,13) 98,2692 21,9758 0,0435 0,5868 0,1597 (9,13) 98,8704 21,6075 0,0000 0,7753 0,0000 (9,13) 96,3791 21,9906 0,1895 0,5339 0,3181 (9,13) 98,4163 21,9861 0,0046 0,5552 0,0505 (9,13) 98,6311 20,8862 0,0000 0,8606 0,0063 (9,13) 97,6541 20,9013 0,8270 0,8594 0,8431 (9,13) 97,1628 21,7734 0,5814 0,7339 0,6532 (9,13) 98,1969 21,9551 0,1115 0,6242 0,2639 (9,13) 97,6360 21,3883 0,8180 0,8105 0,8142 (9,13) 98,4553 21,8527 0,0023 0,7029 0,0402 (9,13) 98,9671 20,4870 0,0000 0,8873 0,0000 (9,13) 97,6491 21,3817 0,8246 0,8114 0,8179 (9,13) 96,7379 21,8707 0,3689 0,6938 0,5060 (9,13) 97,8424 21,7044 0,9212 0,7537 0,8332 (9,13) 98,5263 21,4399 0,0006 0,8034 0,0214 (9,13) 98,3090 21,1211 0,0248 0,8404 0,1444 (9,13) 98,2550 21,2062 0,0527 0,8319 0,2093

- 236 -

(8,12) 97,9587 19,9891 0,9794 0,9129 0,9456 (8,12) 98,2566 19,3629 0,0515 0,9380 0,2199 (8,12) 97,7965 19,9837 0,8983 0,9132 0,9057 (8,12) 98,9143 19,7470 0,0000 0,9234 0,0000 (8,12) 97,2448 19,8401 0,6224 0,9195 0,7565 (8,12) 97,8034 19,9427 0,9017 0,9150 0,9083 (8,12) 96,6827 19,6516 0,3413 0,9272 0,5626 (8,12) 97,0027 19,9206 0,5014 0,9160 0,6777 (8,12) 98,2367 19,4902 0,0672 0,9334 0,2504 (8,12) 96,4857 19,9023 0,2428 0,9168 0,4719 (8,12) 96,6667 19,7630 0,3333 0,9227 0,5546 (8,12) 99,0027 19,9717 0,0000 0,9137 0,0000 (8,12) 97,6079 19,7674 0,8039 0,9225 0,8612 (8,12) 97,9176 19,9191 0,9588 0,9161 0,9372 (8,12) 97,3953 19,9849 0,6977 0,9131 0,7982 (8,12) 98,2361 19,5333 0,0676 0,9318 0,2511 (8,12) 96,6356 19,8240 0,3178 0,9202 0,5408 (8,12) 96,9056 19,9866 0,4528 0,9131 0,6430 (8,12) 98,5298 19,1750 0,0005 0,9445 0,0223 (8,12) 97,7607 19,7586 0,8804 0,9229 0,9014 (8,12) 97,4894 19,4631 0,7447 0,9344 0,8342 (8,12) 98,5640 19,9240 0,0002 0,9159 0,0151 (8,12) 97,9045 19,6154 0,9523 0,9286 0,9404 (8,12) 98,9080 19,8083 0,0000 0,9208 0,0000 (8,12) 97,6812 19,7491 0,8406 0,9233 0,8810 (8,12) 98,0061 19,8455 0,9407 0,9193 0,9299 (8,12) 97,7445 19,9818 0,8723 0,9133 0,8925 (8,12) 98,9827 19,8888 0,0000 0,9174 0,0000 (8,12) 97,8684 19,8550 0,9342 0,9189 0,9265 (8,12) 97,2581 19,6738 0,6291 0,9263 0,7634

Tabla 5.86. Resultados del experimento 5 para la función desirability y el índice D.

Escenario Índice D medio STD Índice D(7,11) 0,5352 0,3433 (9,11) 0,5621 0,3408 (7,13) 0,6399 0,3275 (9,13) 0,3432 0,3334 (8,12) 0,5797 0,3594

Tabla 5.87. Índice D medio y desviación estándar obtenidos en el experimento 5. El análisis de varianza se calcula con los datos obtenidos en la tabla 5.87 arrojando el resultado siguiente:

- 237 -

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A -0,14 0,55 2,99 1 0,55 4,74 3,91 B -0,06 0,10 0,53 1 0,10 0,84 3,91

AB -0,16 0,79 4,30 1 0,79 6,80 3,91 Error 16,95 92,18 146 0,12 Total 18,39 100,00 149

Tabla 5.88. Análisis de varianza del experimento 5 para el ajuste del índice D. Se puede ver que el factor A y la interacción AB son significativos, no siendo así para el factor B. El modelo ajustado incluirá el término correspondiente a este factor debido a que la interacción es significativa. El modelo ajustado es, en variables codificadas: 2121 08,003,007,053,0ˆ xxxxy −−−= y en variables naturales: 2121 08,062,090,035,6ˆ ξξξξ −++−=y Siguiendo la metodología, el paso siguiente es calcular la adecuación del modelo. Las dos primeras pruebas son la de la significación de los coeficientes del modelo y la de falta de ajuste:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 1,44 3 0,48 4,13 2,67 Residual 16,95 146 0,12

(Falta de ajuste LOF) 0,09 1 0,09 0,73 3,91 (Error puro) 16,86 145 0,12

Total 18,39 149 Tabla 5.89. Prueba de significación y de la falta de ajuste del experimento 5 para el ajuste del índice D. En la tabla 5.89 se observa como el modelo pasa ambas pruebas. La siguiente es el análisis gráfico de los residuales:

Respuestas Predicción Residuales 0,00 0,55 -0,55 0,83 0,55 0,28 0,12 0,55 -0,43 0,34 0,55 -0,21 0,76 0,55 0,21 0,02 0,55 -0,52 0,00 0,55 -0,55

- 238 -

0,60 0,55 0,06 0,06 0,55 -0,49 0,73 0,55 0,18 0,47 0,55 -0,08 0,89 0,55 0,34 0,78 0,55 0,23 0,80 0,55 0,26 0,69 0,55 0,14 0,33 0,55 -0,22 0,32 0,55 -0,23 0,69 0,55 0,14 0,76 0,55 0,21 0,80 0,55 0,25 0,91 0,55 0,36 0,90 0,55 0,35 0,00 0,55 -0,55 0,34 0,55 -0,21 0,93 0,55 0,38 0,93 0,55 0,38 0,22 0,55 -0,32 0,89 0,55 0,34 0,09 0,55 -0,46 0,88 0,55 0,33 0,00 0,57 -0,57 0,02 0,57 -0,55 0,89 0,57 0,31 0,22 0,57 -0,36 0,32 0,57 -0,25 0,93 0,57 0,36 0,54 0,57 -0,03 0,36 0,57 -0,21 0,08 0,57 -0,49 0,77 0,57 0,20 0,83 0,57 0,26 0,36 0,57 -0,21 0,50 0,57 -0,07 0,81 0,57 0,24 0,75 0,57 0,18 0,13 0,57 -0,44 0,59 0,57 0,02 0,79 0,57 0,21 0,83 0,57 0,26 0,85 0,57 0,27 0,88 0,57 0,30 0,95 0,57 0,38 0,00 0,57 -0,57 0,80 0,57 0,22 0,95 0,57 0,38 0,91 0,57 0,34 0,21 0,57 -0,36 0,82 0,57 0,25 0,73 0,57 0,15 0,00 0,57 -0,57

- 239 -

0,82 0,65 0,17 0,29 0,65 -0,36 0,93 0,65 0,28 0,20 0,65 -0,45 0,91 0,65 0,26 0,93 0,65 0,27 0,59 0,65 -0,06 0,89 0,65 0,24 0,01 0,65 -0,64 0,69 0,65 0,04 0,73 0,65 0,08 0,87 0,65 0,22 0,89 0,65 0,24 0,91 0,65 0,26 0,88 0,65 0,23 0,00 0,65 -0,65 0,91 0,65 0,26 0,74 0,65 0,09 0,55 0,65 -0,11 0,36 0,65 -0,29 0,93 0,65 0,28 0,05 0,65 -0,60 0,00 0,65 -0,65 0,86 0,65 0,21 0,86 0,65 0,21 0,60 0,65 -0,05 0,89 0,65 0,24 0,96 0,65 0,31 0,60 0,65 -0,05 0,31 0,36 -0,04 0,32 0,36 -0,03 0,82 0,36 0,47 0,00 0,36 -0,35 0,76 0,36 0,40 0,33 0,36 -0,03 0,45 0,36 0,10 0,72 0,36 0,36 0,01 0,36 -0,34 0,15 0,36 -0,20 0,00 0,36 -0,35 0,92 0,36 0,57 0,12 0,36 -0,23 0,00 0,36 -0,35 0,16 0,36 -0,20 0,00 0,36 -0,35 0,32 0,36 -0,04 0,05 0,36 -0,30 0,01 0,36 -0,35 0,84 0,36 0,49 0,65 0,36 0,30 0,26 0,36 -0,09 0,81 0,36 0,46 0,04 0,36 -0,31

- 240 -

0,00 0,36 -0,36 0,82 0,36 0,46 0,51 0,36 0,15 0,83 0,36 0,48 0,02 0,36 -0,33 0,14 0,53 -0,39 0,21 0,53 -0,32 0,95 0,53 0,41 0,22 0,53 -0,31 0,91 0,53 0,37 0,00 0,53 -0,53 0,76 0,53 0,22 0,91 0,53 0,38 0,56 0,53 0,03 0,68 0,53 0,15 0,25 0,53 -0,28 0,47 0,53 -0,06 0,55 0,53 0,02 0,00 0,53 -0,53 0,86 0,53 0,33 0,94 0,53 0,41 0,80 0,53 0,27 0,25 0,53 -0,28 0,54 0,53 0,01 0,64 0,53 0,11 0,02 0,53 -0,51 0,90 0,53 0,37 0,83 0,53 0,30 0,02 0,53 -0,52 0,94 0,53 0,41 0,00 0,53 -0,53 0,88 0,53 0,35 0,93 0,53 0,40 0,89 0,53 0,36 0,00 0,53 -0,53 0,93 0,53 0,39 0,76 0,53 0,23

Tabla 5.90. Residuales del experimento 5 para el ajuste del índice D.

- 241 -

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-0.65 -0.35 -0.04 0.57

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

0.27

Gráfica 5.59. Probabilidad normal de los residuales en el experimento 5 para el ajuste del índice D.

-0,70-0,60-0,50-0,40-0,30-0,20-0,100,000,100,200,300,400,500,600,70

0,35 0,45 0,55 0,65

Indice D predicho

Res

idua

les

Gráfica 5.60. Residuales frente a Ŷ en el experimento 5 para el ajuste del índice D.

- 242 -

-0,70

-0,50

-0,30

-0,10

0,10

0,30

0,50

0,70

0 50 100 150

Orden de Realización de la Simulación

Res

idua

les

Gráfica 5.61. Residuales frente al orden de simulación en el experimento 5 para el ajuste del índice D. En la grafica de la distribución normal se pede observar como la distribución de los residuales sigue aproximadamente una línea recta, aunque con algo de dificultad. También se puede apreciar como la rama de la izquierda se curva hacia abajo en su extremo, esto al igual que en el caso del tercer experimento de esta batería, se debe a que los residuales negativos no son tan grandes en valor absoluto como cabria esperar. Esto se aprecia con más claridad en las gráficas 5.60 y 5.61. En la 5.60 se observa como las hileras se van desplazando hacia valores negativos con mayor valor absoluto conforme avanzamos hacia la derecha. En la gráfica 5.61 se aprecia como la nube de puntos es más amplia e el semiplano correspondiente a los residuales negativos, indicando esto un valor absoluto mayor. Lo comentado no parece lo suficientemente grave como para no dar al modelo por adecuado.

- 243 -

13

12

7 8

Factor A

Facto

r B

9

0.40

0.45

0.50

0.54

0.55

0.55 0.56

0.56

0.57

0.60

Gráfica 5.62. Gráfica de contorno del índice D en el experimento 5. En la grafica de contornos correspondiente a este experimento se encuentra que el punto de la región de experimentación con mayor índice D es el (7,13). Una vez realizados los cinco experimentos vamos a analizar los resultados obtenidos. En una gráfica similar a la que se obtuvo al superponer las dos gráficas de contornos correspondientes al nivel de servicio medio y al inventario en proceso, vamos a superponer los puntos hallados (puntos negros). En esta gráfica también se ha representado con una línea verde la dirección de las mejores soluciones admisibles, de la que se habló en el apartado 5.4.

- 244 -

14

13

12

11

10109876

Nivel de Servicio - WIP

E (F

acto

r B)

K(0) (Factor A)

16.666 17.293 18.55317.959 19.150 19.747

20.343

20.941

21.546

22.177

22.832

97,4697,52

97,57 97,69 97,80 97,91 98,0397,63 97,74 97,86 97,97 98,08

Gráfica 5.63.Gráfica de contornos para nivel de servicio medio y WIP superpuestas con los puntos

hallados con las funciones desirability y la dirección de mejores soluciones admisibles. En la tabla siguiente se exponen los puntos hallados con la información de interés:

Experimento Combinación de pesos Punto Nivel de servicio medio IC (99%) WIP 1 (s1=1, t1=1, s2=1) (7,11) 97,519 97,067<>97,971 17,909 2 (s1=1, t1=10, s2=1) (7,11) 97,519 97,067<>97,971 17,909 3 (s1=10, t1=10, s2=1) (9,11) 97,763 97,456<>98,070 19,691 4 (s1=10, t1=10, s2=10) Modelo no adecuado 5 (s1=1, t1=10, s2=0,1) (7,13) 97,612 97,294<>97,930 19,867

Tabla 5.91. Puntos favorables según el análisis de las funciones desirability. Analizando la gráfica 5.63 vemos que todas las soluciones encontradas usando el método de la función desirability son buenas, en el sentido de que todas están alrededor de la trayectoria de las mejores soluciones admisibles. Por otro lado, analizando la tabla 5.91, vemos como las soluciones son acordes con lo que indican sus correspondientes pesos. Así, en el experimento número tres, en donde se le da gran importancia a alcanzar un nivel de servicio muy próximo al 98%, se obtiene un valor medio mayor que en los experimentos uno y dos, en donde al menos uno de los pesos s y t relajan esta condición. En el cuarto experimento las condiciones son las más exigentes de todas y el modelo no resulta adecuado, indicando esto que condiciones tan extremas no son beneficiosas. El quinto experimento es exigente en no sobrepasar el valor del 98% para el nivel de servicio pero resulta demasiado permisivo con el inventario en proceso ofreciendo el peor registro para este. Los experimentos 1 y 2 obtienen los mismos resultados por lo que endurecer la condición de no sobrepasar el nivel de servicio medio

- 245 -

de un 98% no parece tener la misma importancia que si se endurece la de alcanzar dicho registro. Fijándonos ahora en los intervalos de confianza vemos que el único que incluye al 98% de nivel de servicio es el correspondiente al experimento tres, haciendo que esta sea la única solución admisible encontrada. Por otro lado si aplicamos estrictamente el criterio de búsqueda empleado, vemos que la combinación de pesos que lo representa es la del experimento tres. Nosotros hemos perseguido obtener en primer lugar la combinación de parámetros K (0) y E que proporcionen el nivel de servicio más cercano posible al valor 98%, y una vez hecho esto, hemos buscado el WIP más pequeño, pero dándole menor importancia a esto último. La traducción de esto a pesos s y t sería (s1=10, t1=10, s2=1), que es precisamente la combinación escogida para el experimento número tres. Este resultado parece que nos proporciona la solución más cercana a nuestros deseos en la región de experimentación, pero no significa que sea la más cercana a ellos dentro del conjunto de todas las soluciones admisibles. Esto nos obliga, al igual que ocurriera en la sección 5.4, a estudiar la vecindad del punto (9,11), para lo que deberíamos construir una tabla igual a la 5.59 (ver sección 5.4) y seguir el mismo proceso visto en la sección 5.4, que nos lleva a la solución óptima (15,3). La pregunta que en este punto nos formulamos es si el uso en el sistema objeto de estudio de la función desirability aporta alguna ventaja al empleo del método gráfico de la superposición de las gráficas de contornos. En un principio parece que la respuesta es negativa debido a que, aún aplicando una combinación de pesos que refleja con bastante exactitud el criterio de búsqueda, su empleo no implica una disminución del número de observaciones a realizar, una vez se ha elegido el punto de la región de experimentación que más se aproxima a nuestros deseos. Una vez elegido este, el proceso ha seguir es el mismo en ambos casos, como ha quedado de manifiesto en el párrafo anterior. Sin embargo si que parece que puede ser útil a la hora de estudiar la vecindad de un punto de interés en donde estemos interesados en saber de una manera aproximada como se comportan de una manera conjunta las dos respuestas del sistema objeto de estudio. En el siguiente capítulo veremos cómo puede ser interesante su uso en el método de búsqueda que se va ha proponer.

- 246 -

CAPÍTULO 6:

PROPUESTA DE OPTIMIZACIÓN

- 247 -

En esta sección vamos a ir explicando y aplicando cada uno de los pasos de la heurística propuesta con el fin de que la exposición sea lo más clara posible. En el capítulo anterior se ha recogido una información muy valiosa acerca del funcionamiento del sistema objeto de estudio en el presente proyecto y del comportamiento de la metodología RSM aplicada a él. En esta sección se propone una heurística que aprovecha este conocimiento y cuyo objetivo es encontrar la combinación de los parámetros K (0) y E que proporcionan el funcionamiento más cercano al ideal. Este ideal persigue que la línea de fabricación funcione con un nivel objetivo predeterminado del 98% y que lo haga con el inventario en proceso más pequeño, es decir, se pretende maximizar la capacidad productiva de la línea con el menor capital invertido en inventarios. Con la heurística propuesta se pretende llevar al óptimo o a sus inmediaciones con el menor número de simulaciones. Para ello nos basamos en el análisis de la forma de las superficies de respuesta reales que obtuvimos en la sección 5.4 al realizar la búsqueda exhaustiva. La superficie que se obtuvo para el WIP muestra que en la zona de interés esta es prácticamente un plano inclinado. Esto nos hace pensar que un modelo ajustado en ella recogerá con bastante aproximación su forma ya que esta no presenta complicaciones. La superficie real correspondiente al nivel de servicio medio, por el contrario, si que ofrece importantes particularidades que tenemos que tener en cuenta. Esta superficie ofrece dos zonas bien diferenciadas. Por un lado se tiene una zona en pronunciada pendiente, que comprende los valores para el nivel de servicio medio que van desde 0% hasta el 97% aproximadamente. Por otro lado, tenemos una zona casi plana y horizontal, que comprende desde el 97% y tiende ligeramente hacia el 100%. La particularidad más importante para nosotros radica en la línea que hace de “frontera” entre estas dos zonas. En la sección 5.4 se encontró que esta línea la formaban las soluciones admisibles para el nivel de servicio buscado y que presentaban la propiedad de que la suma de los parámetros K (0) y E era constante. El primer paso de la heurística va a ser encontrar la “trayectoria de las soluciones admisibles”. En la tabla 5.62 de la sección 5.4 se muestran las combinaciones que forman parte de esta trayectoria, en ella se observa que la serie comienza en la combinación (18,0) que corresponde con un sistema Conwip tradicional, en el que no existen tarjetas extras. Apoyándonos de nuevo en la forma de la superficie de respuesta para el nivel de servicio medio y en que esta recoge el comportamiento de un sistema Conwip (ver sección 5.3 y sección 5.4), proponemos como primer paso de la heurística plantear una pseudo trayectoria de máxima pendiente, aplicada a la línea de producción como si esta estuviera gobernada por un sistema Conwip tradicional. Se parte de un número razonablemente bajo de tarjetas y se va ha ir recorriendo la trayectoria hasta encontrar una solución admisible, es decir, se va buscar un intervalo de confianza en el que un nivel de servicio del 98% este incluido. También, se van a graficar el nivel de servicio medio, el inventario en proceso y el radio del intervalo de confianza, con objeto de

- 248 -

recopilar información que nos permita ir conociendo en mayor detalle el comportamiento del sistema. Este primer paso lo aplicamos al sistema objeto de estudio. En la siguiente tabla se muestran los puntos recorrido, con los resultados de interés recogidos en las simulaciones:

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 4 0 0,000 0,000<>0,000 3,933 5 0 6,211 4,066<>8,356 4,976 6 0 29,128 26,890<>31,366 6,011 7 0 45,973 44,335<>47,610 7,023 8 0 59,156 57,197<>61,114 8,023 9 0 70,908 69,387<>72,430 9,023

10 0 75,660 74,009<>77,311 10,022 11 0 83,749 82,530<>84,970 11,018 12 0 86,440 84,962<>87,918 12,015 13 0 91,205 89,966<>92,445 13,011 14 0 93,589 92,654<>94,555 14,009 15 0 95,238 94,244<>96,232 15,007 16 0 95,968 94,976<>96,960 16,005 17 0 97,080 96,488<>97,672 17,004 18 0 98,457 97,893<>99,021 18,002 19 0 98,801 98,505<>99,097 19,002

Tabla 6.1. Resultados de las simulaciones en el primer paso de la heurística propuesta. Observamos que la primera solución admisible de obtiene para 18 tarjetas. Antes de aceptar esta combinación como la adecuada, observemos las siguientes gráficas:

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de Tarjetas

Niv

el d

e Se

rvic

io m

edio

Gráfica 6.1. Evolución del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las simulaciones del primer paso de la

heurística propuesta.

- 249 -

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de Tarjetas

IC (9

9%)

Gráfica 6.2. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las

simulaciones del primer paso de la heurística propuesta. En la gráfica 6.1 se aprecia que el nivel de servicio medio evoluciona de la manera característica que lo hace un sistema Conwip. También se observa como el tamaño de los intervalos de confianza para el nivel de servicio medio disminuyen conforme aumenta el número de tarjetas. Para hacernos una idea de como evoluciona la admisibilidad de las soluciones, se puede estudiar la diferencia entre el límite superior e inferior de los intervalos de confianza y el valor del 98%. Por un lado se define el índice (LS-98), que es la diferencia entre el limite superior del intervalo de confianza y el valor objetivo. Si esta diferencia es positiva, es seguro que la solución no es admisible. Por otro lado se define el índice (98-LI), que es la diferencia entre el valor objetivo y el límite inferior del intervalo de confianza. En el momento en que esta diferencia sea negativa, es seguro que la solución no es admisible. Si graficamos ambos índices, la primera solución admisible será aquella en donde por primera vez no se cumpla ninguna de las dos condiciones anteriormente comentadas. En la gráfica 6.3 se grafican ambos índices. Podemos observar como el primer punto que es admisible es el correspondiente al de 18 tarjetas. También podemos observar como, conforme aumenta el número de tarjetas las soluciones van tendiendo a la admisibilidad.

-100

-80

-60-40

-20

0

20

4060

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213141516 17181920

Número de Tarjetas

Indi

ces

(LS-

98) y

(98-

LI)

(LS-98)(98-LI)

Gráfica 6.3. Evolución de la admisibilidad a lo largo de las simulaciones del primer paso de la heurística

propuesta.

- 250 -

Tras el estudio de los datos recogidos el número de tarjetas escogido es de 18. Este punto va a ser el primero de la “trayectoria de las soluciones admisibles” buscada. Una propiedad que cumplían las combinaciones pertenecientes a esta trayectoria era la de mantener constante el la suma de los parámetros K (0) y E. En nuestro caso esta constante vale 18. El segundo paso de la heurística va a ser la de recorrer esta trayectoria con el fin de encontrar la combinación que mejor se ajuste al criterio de la mejor solución. Para ello se simulan todas las combinaciones que cumplen esta propiedad y se recopilan los datos de interés, como son el nivel de servicio medio, los intervalos de confianza y el inventario en proceso medio. Es de esperar, por la forma de las superficies de repuesta reales, que el dato determinante en este paso sea el WIP, ya que si realmente nos encontramos en la “frontera” entre las dos zonas en las que se divide la superficie de respuesta para el nivel de servicio medio, es de esperar que el valor de este no ofrezca grandes variaciones. En la tabla siguiente se muestran las simulaciones de las combinaciones que suman 18 tarjetas con sus correspondientes resultados:

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 18 0 98,457 97,893<>99,021 18,002 17 1 97,891 97,395<>98,387 17,626 16 2 98,069 97,740<>98,398 17,408 15 3 97,776 97,385<>98,167 17,171 14 4 97,880 97,577<>98,183 17,330 13 5 97,726 97,322<>98,130 17,439 12 6 97,672 97,228<>98,116 17,660 11 7 97,828 97,450<>98,206 17,798 10 8 97,826 97,398<>98,254 17,790 9 9 97,552 97,181<>97,923 17,776 8 10 97,424 96,968<>97,880 17,804 7 11 97,519 97,067<>97,971 17,909 6 12 97,202 96,656<>97,748 17,905

Tabla 6.2. Resultados de las simulaciones en el segundo paso de la heurística propuesta. En la tabla anterior se observa como las soluciones (9,9), (8,10), (7,11) y (6,12) no son admisibles a no estar incluido en sus intervalos de confianza el valor del 98%. Esto nos puede hacer pensar que sería necesario aumentar el número de observaciones a aquellas que sus dos parámetros sumen 19 tarjetas para los casos donde el parámetro K (0) sea igual a 9, 8, 7 y 6. Antes de tomar una decisión al respecto, observemos las siguientes gráficas:

- 251 -

97

97,2

97,4

97,6

97,8

98

98,2

98,4

98,6

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

K(0)

Nive

l de

Serv

icio

med

io

Gráfica 6.4. Evolución del Nivel de Servicio medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la

heurística propuesta.

17,117,217,317,417,517,617,717,817,9

1818,1

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

K(0)

WIP

med

io

Gráfica 6.5. Evolución del WIP medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la heurística

propuesta.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

K(0)

IC(9

9%)

Gráfica 6.6. Evolución de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las

simulaciones del segundo paso de la heurística propuesta.

- 252 -

Como esperábamos la gráfica que ofrece un resultado claro es la 6.5, en donde se grafica el WIP frente al parámetro K (0). En ella se aprecia como claramente el inventario en proceso es inferior para la combinación (15,3). En la gráfica 6.4 se observa como el nivel de servicio aumenta ligeramente conforme lo hace el parámetro K (0) a lo largo de la “trayectoria de las soluciones admisibles”, y en la gráfica 6.6 se observa como los intervalos de confianza disminuyen ligeramente, en general, conforme aumenta K (0) a lo largo de esta trayectoria. Hay que hacer notar que en todas las gráficas anteriores el peor resultado en todas ellas lo ofrece la combinación (18,0), correspondiente a un sistema Conwip tradicional. Retomando las combinaciones (9,9), (8,10), (7,11) y (6,12), y teniendo en cuenta los resultados obtenidos, llegamos a la conclusión de que en este caso no merece la pena plantear nuevas observaciones. Sabemos por lo visto en la sección 5.4, que manteniendo el parámetro K (0) fijo, si aumentamos el E, aumentamos el inventario en proceso. Esto significa que, aunque muy probablemente las combinaciones (9,10), (8,11), (7,12) y (6,13) van a ser admisibles, estas van a tener un inventario en proceso mayor y por consiguiente no van a mejorar el correspondiente al de la combinación (15,3). Cuando se lleve a cabo este segundo paso hay que tener presente que la “trayectoria de las soluciones admisibles” es una dirección a seguir y no tiene por qué coincidir con una hilera de puntos. Esto se puede observar en la sección 5.4, por ejemplo en la tabla 5.62 o en la gráfica 5.31. Por esto no es de extrañar que en la hilera de puntos que cumplen que la suma de sus parámetros es 18 tengamos soluciones admisibles y en un punto dado empecemos a tenerlas en la hilera donde la suma vale 19. Por este motivo al hallar la combinación (15,3) deberemos estudiar su vecindad ya que no tenemos seguridad de haber encontrado el óptimo. En el caso de estar estudiando un sistema, que al aplicar este segundo paso, obtengamos resultados que ofrezcan dudas, si que sería necesario ampliar el número de observaciones. En este caso, sería muy importante la información que ofrecen las gráficas y el conocimiento de cómo se comportan, tanto el nivel de servicio medio como el inventario proceso, según varían los parámetros K (0) y E. Hallada la combinación (15,3), debemos estudiar su vecindad. Sabemos, por una parte, que la superficie de respuesta para el nivel de servicio medio, una vez se llega a la “trayectoria de las soluciones admisibles”, se asemeja a un plano ligeramente inclinado que tiende hacia valores del 100% para el nivel de servicio medio, y por otra parte, la superficie de respuesta para el inventario en proceso también se asemeja a un plano inclinado en la zona de interés. Esto nos hace pensar que la metodología RSM puede ofrecer muy buenos resultados si ajustamos sendos modelos en una región de experimentación que esta situada en esta zona. Esta región ha de ser elegida teniendo en cuenta una serie de condiciones, a saber:

• La región de experimentación ha de estar limitada por la “trayectoria de las soluciones admisibles” ya que si a ella pertenece algún punto de la zona de pendiente pronunciada, el modelo ajustado recogerá esa información, en la cual nosotros no estamos interesados. Creemos que el vértice con menores

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parámetros K (0) y E, de la región de experimentación debería pertenecer a la “trayectoria de las soluciones admisibles”. Así nos aseguramos que los modelos recojan la información y se ajusten a la zona que realmente nos interesa. El candidato para este vértice es la combinación hallada en el segundo paso.

Intentaremos escoger una región de experimentación amplia, con el fin de que en ella se incluyan un mayor número de combinaciones. La idea es abarcar otras hileras de puntos que puedan ofrecer una mejor solución a la hallada en el segundo paso. Pensamos que una región de experimentación con un radio de dos tarjetas puede ser suficiente. También pensamos que la forma de la región no tiene una especial relevancia, pudiéndose emplear tanto regiones cuadradas como rectangulares. En los casos estudiados anteriormente el incremento de K (0) y E ha sido uno el doble que el otro, es decir, la región de experimentación ha sido rectangular. El los siguientes emplearemos tanto regiones cuadradas como rectangulares. Veamos este tercer paso aplicado a nuestro sistema. Decidimos que la región de experimentación sea cuadra de radio dos y el punto con menores parámetros, K (0) y E, el (15, 3). La región de experimentación queda:

(15,3) (19,3)

(15,7)

(17,5)

Factor A

Facto

r B

(19,3)

Figura 6.1. Región de experimentación para el tercer paso de la heurística propuesta. Los nuevos escenarios se muestran en las dos siguientes tablas. En la primera en variables naturales y en la segunda en variables codificadas:

Escenario K(0) E 1 15 3 2 19 3 3 15 7 4 19 7 5 17 5

Tabla 6.3. Escenarios del tercer paso de la heurística propuesta en variables naturales.

- 254 -

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 6.4. Escenarios del tercer paso de la heurística propuesta en variables codificadas. Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido: Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP

1 97,776 0,391 17,171 0,305 2 98,700 0,340 19,962 0,463 3 98,214 0,312 19,995 0,626 4 98,921 0,253 20,948 1,019 5 98,527 0,232 19,876 0,839

Tabla 6.5. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer paso de la heurística propuesta. Primero se exponen los resultados obtenidos para el ajuste de un modelo para el nivel de servicio medio y a continuación los obtenidos para el ajuste de un modelo para el inventario en proceso medio. Para el nivel de servicio medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la tabla 6.6:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 0,82 19,96 22,87 1 19,96 45,73 3,91 B 0,32 3,26 3,73 1 3,26 7,47 3,91

AB -0,11 0,35 0,40 1 0,35 0,80 3,91 Error 63,72 73,00 146 0,44 Total 87,29 100,00 149

Tabla 6.6. Análisis de varianza para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística

propuesta. Se observa como los efecto principales son significativos, mientras que la interacción de ambos no lo es. El modelo ajusta es, en variables codificadas: 21 16.041.043.98ˆ xxy ++=

- 255 -

y en variables naturales: 21 08.020.055.94ˆ ξξ ++=y La batería de pruebas encaminadas a demostrar la adecuación de modelo se exponen a continuación. En la siguiente tabla se muestran las pruebas de la significación de los coeficientes y la de falta de ajuste:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 23,22 2 11,61 26,64 3,06 Residual 64,07 147 0,44

(Falta de ajuste LOF) 0,72 2 0,36 0,82 3,06 (Error puro) 63,35 145 0,44

Total 87,29 149 0,59 Tabla 6.7. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el nivel de servicio medio en el tercer paso

de la heurística propuesta. El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de ajuste. En la tabla y gráficas siguientes se muestran los residuales y los resultados del análisis gráfico de los residuales, respectivamente:

Respuestas Predicción Residuales 98,63 97,85 0,77 97,99 97,85 0,13 97,92 97,85 0,06 97,29 97,85 -0,57 96,92 97,85 -0,93 98,20 97,85 0,35 96,07 97,85 -1,78 98,54 97,85 0,68 97,28 97,85 -0,57 96,93 97,85 -0,93 96,92 97,85 -0,93 96,27 97,85 -1,59 97,27 97,85 -0,58 98,77 97,85 0,92 98,53 97,85 0,67 97,41 97,85 -0,45 98,87 97,85 1,01 97,83 97,85 -0,03 98,66 97,85 0,80 96,41 97,85 -1,45 97,19 97,85 -0,67

- 256 -

97,99 97,85 0,13 98,35 97,85 0,50 97,99 97,85 0,14 96,67 97,85 -1,19 98,83 97,85 0,98 98,65 97,85 0,80 98,17 97,85 0,32 98,57 97,85 0,72 98,16 97,85 0,31 98,93 98,67 0,26 98,96 98,67 0,29 99,09 98,67 0,42 99,32 98,67 0,65 99,25 98,67 0,58 98,64 98,67 -0,03 97,56 98,67 -1,11 98,41 98,67 -0,26 98,02 98,67 -0,65 98,44 98,67 -0,23 99,12 98,67 0,45 98,96 98,67 0,29 99,68 98,67 1,01 99,35 98,67 0,68 96,64 98,67 -2,03 97,99 98,67 -0,68 99,18 98,67 0,51 98,00 98,67 -0,67 97,49 98,67 -1,18 99,03 98,67 0,36 99,49 98,67 0,82 99,14 98,67 0,47 99,88 98,67 1,21 98,19 98,67 -0,48 99,52 98,67 0,85 99,00 98,67 0,33 98,22 98,67 -0,45 98,42 98,67 -0,25 98,41 98,67 -0,26 98,65 98,67 -0,02 98,13 98,18 -0,06 96,90 98,18 -1,29 98,78 98,18 0,59 98,79 98,18 0,60 98,78 98,18 0,59 97,95 98,18 -0,23 97,95 98,18 -0,23 97,81 98,18 -0,37 98,42 98,18 0,23 97,36 98,18 -0,83 98,43 98,18 0,25 97,68 98,18 -0,50 98,73 98,18 0,55 98,73 98,18 0,55

- 257 -

99,00 98,18 0,82 98,38 98,18 0,20 96,31 98,18 -1,87 97,96 98,18 -0,22 98,69 98,18 0,51 98,20 98,18 0,01 97,86 98,18 -0,32 99,10 98,18 0,92 98,39 98,18 0,21 97,83 98,18 -0,36 98,97 98,18 0,78 97,59 98,18 -0,59 98,63 98,18 0,45 98,69 98,18 0,51 97,45 98,18 -0,73 98,91 98,18 0,73 98,93 99,00 -0,07 98,93 99,00 -0,07 99,09 99,00 0,09 99,31 99,00 0,31 99,25 99,00 0,25 98,85 99,00 -0,15 97,76 99,00 -1,24 98,38 99,00 -0,62 98,93 99,00 -0,07 98,82 99,00 -0,18 97,84 99,00 -1,16 98,96 99,00 -0,04 99,68 99,00 0,68 99,35 99,00 0,35 98,64 99,00 -0,37 99,22 99,00 0,22 98,80 99,00 -0,20 99,48 99,00 0,48 98,58 99,00 -0,42 99,03 99,00 0,03 99,49 99,00 0,49 99,14 99,00 0,14 99,88 99,00 0,88 97,65 99,00 -1,35 99,52 99,00 0,52 99,00 99,00 0,00 98,39 99,00 -0,61 98,76 99,00 -0,24 99,34 99,00 0,34 98,65 99,00 -0,35 98,72 98,43 0,29 97,45 98,43 -0,98 98,80 98,43 0,38 98,89 98,43 0,47 99,02 98,43 0,59 98,91 98,43 0,48 97,51 98,43 -0,92

- 258 -

99,31 98,43 0,88 98,47 98,43 0,04 97,93 98,43 -0,50 98,13 98,43 -0,30 98,49 98,43 0,06 99,22 98,43 0,80 98,61 98,43 0,18 98,70 98,43 0,28 98,03 98,43 -0,40 98,14 98,43 -0,29 99,18 98,43 0,75 98,78 98,43 0,35 98,24 98,43 -0,18 98,24 98,43 -0,18 98,62 98,43 0,19 98,61 98,43 0,18 99,12 98,43 0,69 98,39 98,43 -0,04 98,28 98,43 -0,15 99,19 98,43 0,76 98,10 98,43 -0,33 98,81 98,43 0,38 97,91 98,43 -0,52

Tabla 6.8. Residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística propuesta.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-2.03 -1.22 -0.41 0.40 1.21

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 6.7. Probabilidad normal de los residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la

heurística propuesta.

- 259 -

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

97,00 98,00 99,00

Nivel de servicio medio predicho

Res

idua

les

Gráfica 6.8. Residuales frente al nivel de servicio medio predicho en el tercer paso de la heurística

propuesta.

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

0 50 100 150

Orden de Realización de las Simulaciónes

Res

idua

les

Gráfica 6.9. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el nivel de servicio medio

en el tercer paso de la heurística propuesta.

- 260 -

En la gráfica de la probabilidad normal los puntos siguen muy aproximadamente una línea recta salvo en los extremos de ambas ramas. También se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivas de los residuales, ya que la rama de la derecha es algo más amplia que la de la izquierda. Ninguno de los aspectos comentados parece indicar que la distribución de los residuales se aparte de la condición de normalidad. En las otras dos gráficas no se aprecia que los residuales sigan ningún patrón que haga pensar que están relacionados con la salida o con el orden de realización de las observaciones. El modelo ajustado para el nivel de servicio medio se puede dar por adecuado. Para el inventario en proceso medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la tabla siguiente:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 1,88 105,12 18,69 1 105,12 47,48 3,91 B 1,90 108,87 19,35 1 108,87 49,17 3,91

AB -0,92 25,33 4,50 1 25,33 11,44 3,91 Error 323,24 57,46 146 2,21 Total 562,56 100,00 149

Tabla 6.9.Análisis de varianza para el WIP en el tercer paso de la heurística propuesta. En este caso tanto los factores principales como la interacción entre ambos resultan significativos, por lo que el modelo ajustado en variables codificadas y naturales, respectivamente, queda: 2121 49.095.094.059.19ˆ xxxxy −++= 2121 11.043.204.151.0ˆ ξξξξ −++−=y . Los resultados obtenidos para las pruebas de la significación de los coeficientes y la de falta de ajuste se exponen el la siguiente tabla:

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 239,32 3 79,77 36,03 2,67 Residual 323,24 146 2,21

(Falta de ajuste LOF) 3,07 1 3,07 1,39 3,91 (Error puro) 320,17 145 2,21

Total 562,56 149 3,78 Tabla 6.10. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el WIP en el tercer paso de la heurística

propuesta.

- 261 -

El modelo ajustado para el WIP supera las dos pruebas anteriores. Pasamos a realizar el análisis grafico de los residuales.

Respuestas Predicción Residuales 17,34 17,24 0,10 16,46 17,24 -0,79 17,06 17,24 -0,19 16,77 17,24 -0,47 17,81 17,24 0,57 17,67 17,24 0,42 16,92 17,24 -0,32 17,24 17,24 0,00 15,95 17,24 -1,29 16,93 17,24 -0,31 17,43 17,24 0,19 17,86 17,24 0,62 17,89 17,24 0,64 16,99 17,24 -0,26 17,08 17,24 -0,16 15,97 17,24 -1,27 17,50 17,24 0,26 16,93 17,24 -0,31 16,65 17,24 -0,60 17,90 17,24 0,66 17,94 17,24 0,69 17,86 17,24 0,62 15,53 17,24 -1,71 16,57 17,24 -0,67 17,53 17,24 0,29 17,79 17,24 0,55 17,77 17,24 0,53 16,69 17,24 -0,55 17,25 17,24 0,00 17,84 17,24 0,60 19,00 20,03 -1,03 19,10 20,03 -0,94 19,42 20,03 -0,62 20,09 20,03 0,06 19,00 20,03 -1,03 21,21 20,03 1,18 20,88 20,03 0,84 19,99 20,03 -0,05 21,16 20,03 1,13 19,71 20,03 -0,32 20,04 20,03 0,01 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 21,38 20,03 1,34 21,09 20,03 1,06

- 262 -

19,64 20,03 -0,39 21,20 20,03 1,16 20,57 20,03 0,54 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 21,41 20,03 1,38 19,00 20,03 -1,03 19,00 20,03 -1,03 21,04 20,03 1,01 21,06 20,03 1,03 21,61 20,03 1,57 19,23 20,03 -0,80 19,90 20,07 -0,16 18,39 20,07 -1,68 20,89 20,07 0,82 19,13 20,07 -0,94 21,55 20,07 1,48 21,71 20,07 1,64 19,47 20,07 -0,59 18,44 20,07 -1,62 17,21 20,07 -2,86 19,55 20,07 -0,52 20,67 20,07 0,60 20,49 20,07 0,43 19,19 20,07 -0,88 19,63 20,07 -0,44 20,33 20,07 0,26 17,23 20,07 -2,84 20,83 20,07 0,76 21,46 20,07 1,40 18,96 20,07 -1,11 21,98 20,07 1,91 19,47 20,07 -0,59 20,96 20,07 0,90 20,91 20,07 0,85 18,50 20,07 -1,56 20,62 20,07 0,55 21,51 20,07 1,45 21,45 20,07 1,39 18,94 20,07 -1,13 18,86 20,07 -1,21 21,62 20,07 1,56 19,00 21,02 -2,02 19,23 21,02 -1,79 19,92 21,02 -1,10 21,73 21,02 0,71 19,00 21,02 -2,02 24,15 21,02 3,13 23,38 21,02 2,36 21,30 21,02 0,28 24,04 21,02 3,02

- 263 -

20,72 21,02 -0,30 23,51 21,02 2,49 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 20,65 21,02 -0,37 22,32 21,02 1,31 20,30 21,02 -0,72 20,93 21,02 -0,09 22,70 21,02 1,68 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 23,31 21,02 2,29 19,00 21,02 -2,02 19,00 21,02 -2,02 23,75 21,02 2,73 23,81 21,02 2,79 20,08 21,02 -0,94 19,58 21,02 -1,44 21,48 19,59 1,89 20,80 19,59 1,21 21,85 19,59 2,26 20,44 19,59 0,85 21,10 19,59 1,51 17,00 19,59 -2,59 21,28 19,59 1,69 19,61 19,59 0,02 22,00 19,59 2,41 17,00 19,59 -2,59 18,83 19,59 -0,76 21,86 19,59 2,27 17,75 19,59 -1,84 21,49 19,59 1,90 18,42 19,59 -1,17 20,90 19,59 1,31 18,85 19,59 -0,74 17,55 19,59 -2,04 21,84 19,59 2,25 22,00 19,59 2,41 19,05 19,59 -0,54 20,83 19,59 1,24 20,92 19,59 1,33 17,42 19,59 -2,17 17,00 19,59 -2,59 21,45 19,59 1,86 19,72 19,59 0,13 19,07 19,59 -0,52 21,55 19,59 1,96 17,21 19,59 -2,38

Tabla 6.11. Residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística propuesta.

- 264 -

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-2.86 -1.02 0.82 2.65 4.49

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 6.10. Probabilidad normal de los residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística

propuesta.

-4,50

-3,50

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

3,50

4,50

17,00 18,00 19,00 20,00 21,00 22,00

WIP predicho

Res

idua

les

Gráfica 6.11. Residuales frente al WIP medio predicho en el tercer paso de la heurística propuesta.

- 265 -

-4,50

-3,50

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

3,50

4,50

0 50 100 150

Orden de Realización de las Simulaciónes

Res

idua

les

Gráfica 6.12. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el WIP medio en el tercer

paso de la heurística propuesta. En la gráfica de la distribución normal sigue aproximadamente una línea recta y en las otras dos gráficas no se aprecia ningún patrón que haga pensar que el modelo no es adecuado. Estos dos modelos ajustados son una aproximación de las superficies de respuesta reales por lo que los vamos a utilizar para buscar una combinación que se adecue a nuestros deseos y compararla con la hallada en el segundo paso de la heurística propuesta. Cómo ya hemos visto en las secciones 5.4 y 5.5, para la optimización multirespuesta se puede emplear el método gráfico de la superposición de las gráficas de contornos o el método de la función desirability. Nosotros proponemos usar este último pero usando una modalidad basada en la primera variante propuesta por Myers y Montgomery. (Ver sección 5.5). Esta modalidad emplea las respuestas predichas por los modelos ajustados para hallar las funciones desirability, di, lo que presenta las siguientes ventajas:

− La primera es que al usar las respuestas predichas no es necesario realizar simulaciones de la línea de producción.

− Para calcular las respuestas en la zona de interés y con ellas calcular las

funciones desirability, di, es una tarea que se realiza fácil y rápidamente, implementando las ecuaciones en una hoja de cálculo del programa EXCEL.

− Los resultados resultan más fáciles de interpretar que usando el método gráfico

de la superposición de las gráficas de contornos. Hallar el valor máximo del índice D, identificando a qué combinación pertenece con sólo mirar una matriz

- 266 -

construida con el programa EXCEL, es una tarea más rápida que interpretar dos gráficas superpuestas.

La función desirability, d1, empleada para el nivel de servicio medio es del tipo de las que se usa en el caso de intentar conseguir un valor determinado. En nuestro caso este valor es el correspondiente a un nivel de servicio medio del 98%. Los límites de aceptabilidad escogidos son el 96, como límite inferior, y de 99 como límite superior. En general, la forma de escoger los límites de aceptabilidad depende de lo que pretendamos buscar con el empleo de la función desirability. En este caso pretendemos buscar un nivel de servio medio que se aproxime lo máximo posible al valor del 98%, sin sobrepasarlo, por lo que no estamos interesados en valores muy superiores a este valor. Para que el empleo de esta metodología sea efectiva es necesario que entre el valor buscado y los límites de admisibilidad haya cierta distancia para que se puedan recoger un mínimo de soluciones admisibles. En nuestro caso, y teniendo en cuenta el tamaño de los intervalos de confianza para el nivel de servicio, creemos que una forma apropiada de hallar los límites superior e inferior de admisibilidad es sumar una unidad y restar dos al valor predeterminado, respectivamente. La función d1 queda:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤

≤≤

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

99ˆ981

98ˆ961

1

1

1

999899ˆ969896ˆ

1

1

yt

ys

dy

y

Para el WIP la función desirability, d2, escogida es del tipo usado en los casos en los que se pretenden minimizar la respuesta. La combinación hallada en el segundo paso tiene un WIP medio de 17,171, por lo que parece razonable escoger como límite inferior un valor de 15 y como límite superior un valor de 19. La expresión de la función d2 es la siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=191519ˆ2

2

2

y sd 19ˆ15 2 ≤≤ y

Las respuestas 1y y 2y se calculan a partir de los modelos ajustados, en variables naturales, para el nivel de servicio medio y para el inventario en proceso medio respectivamente. Este proceso se realiza en una hoja de cálculo del programa EXCEL, mediante dos matrices, una por respuesta, donde las filas corresponden a los valores del factor A (parámetro K (0)) y las columnas al factor B (parámetro E). A partir de estas dos matrices se construyen tres más, una para la función d1, otra para la función d2 y otra para el índice D. Este proceso apenas lleva unos minutos y, además, una vez

- 267 -

realizado, la actualización de la hoja de cálculo ante distintas combinaciones de los pesos s1, t1 y s2 es inmediata. Para identificar el máximo valor que alcanza el índice D en cada exploración, basta con restar a cada uno de los miembros de la matriz del índice D el valor máximo alcanzado en esta, con lo que todos los valores son negativos excepto el correspondiente al máximo que vale cero. La combinación que produce el mayor índice D es la correspondiente a la fila y a la columna de la casilla en donde se encuentra el cero. En la realización de este cuarto paso obtendremos tantas combinaciones candidatas a ser la óptimas como combinaciones de pesos planteemos. Consideramos que es suficiente con la realización de sólo aquellas combinaciones que mejor reflejen los criterios de búsqueda. Con tres o cuatro combinaciones, a lo sumo cinco, creemos que hay suficiente. Estas combinaciones se comparan con la hallada en el segundo paso, y de todas ellas elegimos la que ofrezca una solución admisible con el menor inventario en proceso. El método no asegura la consecución de la combinación óptima, pero creemos que proporciona una solución bastante próxima a la buscada, con la que el sistema funciona adecuadamente. La primera de las operaciones que forman parte de este paso, aplicadas al sistema objeto de estudio, es la de construir las matrices de respuesta calculadas a partir de los modelos ajustados:

Respuesta Modelo ajustado Nivel de servicio medio 211 08.020.055.94ˆ ξξ ++=y

WIP medio 21212 11.043.204.151.0ˆ ξξξξ −++−=y Tabla 6.12. Modelos ajustados usados en el cuarto paso de la heurística propuesta. Las matrices construidas a partir de estos modelos sólo dependen de las variables naturales 1ξ (parámetro K (0)) y 2ξ (parámetro E) por lo que van ser las mismas para cada combinación de los pesos s1, t1 y s2. Las matrices obtenidas son:

- 268 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

98,51

98,30

98,10

97,89

97,69

97,49

97,28

97,08

96,87

96,67

96,47

96,26

96,06

95,85

95,65

95,45

1

98,59

98,38

98,18

97,98

97,77

97,57

97,36

97,16

96,96

96,75

96,55

96,35

96,14

95,94

95,73

95,53

2

98,67

98,47

98,26

98,06

97,85

97,65

97,45

97,24

97,04

96,84

96,63

96,43

96,22

96,02

95,82

95,61

3

98,75

98,55

98,35

98,14

97,94

97,73

97,53

97,33

97,12

96,92

96,71

96,51

96,31

96,10

95,90

95,69

4

98,84

98,63

98,43

98,22

98,02

97,82

97,61

97,41

97,20

97,00

96,80

96,59

96,39

96,18

95,98

95,78

5

98,92

98,71

98,51

98,31

98,10

97,90

97,69

97,49

97,29

97,08

96,88

96,67

96,47

96,27

96,06

95,86

6

99,00

98,80

98,59

98,39

98,18

97,98

97,78

97,57

97,37

97,17

96,96

96,76

96,55

96,35

96,15

95,94

7

99,08

98,88

98,67

98,47

98,27

98,06

97,86

97,66

97,45

97,25

97,04

96,84

96,64

96,43

96,23

96,02

8

99,17

98,96

98,76

98,55

98,35

98,15

97,94

97,74

97,53

97,33

97,13

96,92

96,72

96,51

96,31

96,11

9

99,25

99,04

98,84

98,64

98,43

98,23

98,02

97,82

97,62

97,41

97,21

97,00

96,80

96,60

96,39

96,19

10

99,33

99,13

98,92

98,72

98,51

98,31

98,11

97,90

97,70

97,49

97,29

97,09

96,88

96,68

96,48

96,27

11

99,41

99,21

99,00

98,80

98,60

98,39

98,19

97,99

97,78

97,58

97,37

97,17

96,97

96,76

96,56

96,35

12

99,49

99,29

99,09

98,88

98,68

98,48

98,27

98,07

97,86

97,66

97,46

97,25

97,05

96,84

96,64

96,44

13

E

Ŷ1, N

ivel de servicio Medio

Tabla 6.13. Nivel de Servicio medio ajustado en el cuarto paso de la heurística propuesta.

- 269 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

19,54

18,61

17,69

16,76

15,83

14,90

13,98

13,05

12,12

11,19

10,27

9,34

8,41

7,48

6,56

5,63

1

19,79

18,97

18,16

17,35

16,54

15,72

14,91

14,10

13,29

12,47

11,66

10,85

10,04

9,22

8,41

7,60

2

20,03

19,34

18,64

17,94

17,24

16,54

15,85

15,15

14,45

13,75

13,06

12,36

11,66

10,96

10,27

9,57

3

20,28

19,70

19,11

18,53

17,95

17,37

16,78

16,20

15,62

15,03

14,45

13,87

13,29

12,70

12,12

11,54

4

20,53

20,06

19,59

19,12

18,65

18,19

17,72

17,25

16,78

16,31

15,85

15,38

14,91

14,44

13,97

13,51

5

20,77

20,42

20,07

19,71

19,36

19,01

18,65

18,30

17,95

17,59

17,24

16,89

16,54

16,18

15,83

15,48

6

21,02

20,78

20,54

20,30

20,07

19,83

19,59

19,35

19,11

18,87

18,64

18,40

18,16

17,92

17,68

17,45

7

21,27

21,14

21,02

20,90

20,77

20,65

20,53

20,40

20,28

20,15

20,03

19,91

19,78

19,66

19,54

19,41

8

21,51

21,50

21,49

21,49

21,48

21,47

21,46

21,45

21,44

21,44

21,43

21,42

21,41

21,40

21,39

21,38

9

21,76

21,86

21,97

22,08

22,18

22,29

22,40

22,50

22,61

22,72

22,82

22,93

23,03

23,14

23,25

23,35

10

22,00

22,23

22,45

22,67

22,89

23,11

23,33

23,55

23,77

24,00

24,22

24,44

24,66

24,88

25,10

25,32

11

22,25

22,59

22,92

23,26

23,60

23,93

24,27

24,60

24,94

25,28

25,61

25,95

26,28

26,62

26,96

27,29

12

22,50

22,95

23,40

23,85

24,30

24,75

25,20

25,65

26,11

26,56

27,01

27,46

27,91

28,36

28,81

29,26

13

E

Ŷ2, W

IP Medio

Tabla 6.14. WIP medio ajustado en el cuarto paso de la heurística propuesta.

- 270 -

Una vez se tienen las matrices de respuesta hay que decidir qué combinaciones de pesos se estudian. En nuestro caso se parte de la combinación (s1=1, t1=1, s2=1), que como se vio en la sección 5.5 es la que le da una importancia moderada a cada uno de los objetivos a alcanzar por las funciones d1 y d2. Después se repite el proceso para una combinación (s1=1, t1=10, s2=1), en la que se exige que el nivel de servicio medio aceptable prácticamente no supere el valor determinado, que en nuestro caso es el 98%. A esta combinación le sucede la (s1=10, t1=10, s2=1) en donde se exige que el nivel de servicio medio aceptable sea prácticamente el 98% en todos los casos. Esta serie de experimentos finaliza con la combinación (s1=5, t1=8, s2=5) en donde se pide que el nivel de servicio medio aceptable este próximo al 98%, pero no de una manera tan fuerte como antes, y que el inventario en proceso aceptable este bastante próximo al limite inferior. Las matrices correspondientes a las funciones desirability, d1, d2 y al índice D, para la combinación (s1=1, t1=1, s2=1), son las siguientes:

- 271 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,49

0,70

0,90

0,95

0,84

0,74

0,64

0,54

0,44

0,34

0,23

0,13

0,03

0,00

0,00

0,00

1

0,41

0,62

0,82

0,99

0,89

0,78

0,68

0,58

0,48

0,38

0,27

0,17

0,07

0,00

0,00

0,00

2

0,33

0,53

0,74

0,94

0,93

0,83

0,72

0,62

0,52

0,42

0,32

0,21

0,11

0,01

0,00

0,00

3

0,25

0,45

0,65

0,86

0,97

0,87

0,76

0,66

0,56

0,46

0,36

0,25

0,15

0,05

0,00

0,00

4

0,16

0,37

0,57

0,78

0,98

0,91

0,81

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,19

0,09

0,00

0,00

5

0,08

0,29

0,49

0,69

0,90

0,95

0,85

0,75

0,64

0,54

0,44

0,34

0,24

0,13

0,03

0,00

6

0,00

0,20

0,41

0,61

0,82

0,99

0,89

0,79

0,68

0,58

0,48

0,38

0,28

0,17

0,07

0,00

7

0,00

0,12

0,33

0,53

0,73

0,94

0,93

0,83

0,73

0,62

0,52

0,42

0,32

0,22

0,11

0,01

8

0,00

0,04

0,24

0,45

0,65

0,85

0,97

0,87

0,77

0,66

0,56

0,46

0,36

0,26

0,16

0,05

9

0,00

0,00

0,16

0,36

0,57

0,77

0,98

0,91

0,81

0,71

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,09

10

0,00

0,00

0,08

0,28

0,49

0,69

0,89

0,95

0,85

0,75

0,65

0,54

0,44

0,34

0,24

0,14

11

0,00

0,00

0,00

0,20

0,40

0,61

0,81

0,99

0,89

0,79

0,69

0,58

0,48

0,38

0,28

0,18

12

0,00

0,00

0,00

0,12

0,32

0,52

0,73

0,93

0,93

0,83

0,73

0,63

0,52

0,42

0,32

0,22

13

E

Función Desirability, d

1

Tabla 6.15. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).

- 272 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,10

0,33

0,56

0,79

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,01

0,21

0,41

0,62

0,82

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,09

0,27

0,44

0,61

0,79

0,96

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,12

0,26

0,41

0,55

0,70

0,85

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,20

0,32

0,44

0,55

0,67

0,79

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,17

0,26

0,35

0,44

0,53

0,62

0,70

0,79

0,88

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,09

0,15

0,21

0,27

0,33

0,39

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

2

Tabla 6.16. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).

- 273 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,26

0,54

0,73

0,82

0,86

0,80

0,73

0,66

0,58

0,48

0,36

0,17

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,06

0,41

0,64

0,74

0,80

0,83

0,76

0,69

0,61

0,52

0,42

0,27

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,26

0,50

0,64

0,71

0,76

0,77

0,72

0,65

0,56

0,46

0,33

0,10

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,32

0,50

0,60

0,65

0,68

0,69

0,67

0,60

0,50

0,39

0,23

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,29

0,43

0,51

0,55

0,58

0,58

0,56

0,52

0,44

0,30

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,27

0,36

0,41

0,44

0,44

0,42

0,38

0,31

0,16

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,14

0,21

0,24

0,24

0,22

0,15

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Índice D

Tabla 6.17. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).

- 274 -

En esta última tabla se observa como el mayor valor le corresponde a la pareja (14,1), por lo que para esta combinación de pesos esta es la combinación de parámetros que se compara con la hallada en el segundo paso de la heurística. Para la combinación de pesos (s1=1, t1=10, s2=1), los resultados son:

- 275 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,03

0,36

0,95

0,84

0,74

0,64

0,54

0,44

0,34

0,23

0,13

0,03

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,01

0,14

0,99

0,89

0,78

0,68

0,58

0,48

0,38

0,27

0,17

0,07

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,05

0,55

0,93

0,83

0,72

0,62

0,52

0,42

0,32

0,21

0,11

0,01

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,01

0,22

0,97

0,87

0,76

0,66

0,56

0,46

0,36

0,25

0,15

0,05

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,08

0,82

0,91

0,81

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,19

0,09

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,03

0,34

0,95

0,85

0,75

0,64

0,54

0,44

0,34

0,24

0,13

0,03

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,99

0,89

0,79

0,68

0,58

0,48

0,38

0,28

0,17

0,07

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,52

0,93

0,83

0,73

0,62

0,52

0,42

0,32

0,22

0,11

0,01

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,21

0,97

0,87

0,77

0,66

0,56

0,46

0,36

0,26

0,16

0,05

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,08

0,78

0,91

0,81

0,71

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,09

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,95

0,85

0,75

0,65

0,54

0,44

0,34

0,24

0,14

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,12

0,99

0,89

0,79

0,69

0,58

0,48

0,38

0,28

0,18

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,50

0,93

0,83

0,73

0,63

0,52

0,42

0,32

0,22

13

E

Función Desirability, d

1

Tabla 6.18. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).

- 276 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,10

0,33

0,56

0,79

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,01

0,21

0,41

0,62

0,82

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,09

0,27

0,44

0,61

0,79

0,96

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,12

0,26

0,41

0,55

0,70

0,85

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,20

0,32

0,44

0,55

0,67

0,79

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,17

0,26

0,35

0,44

0,53

0,62

0,70

0,79

0,88

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,09

0,15

0,21

0,27

0,33

0,39

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

2

Tabla 6.19. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).

- 277 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,05

0,34

0,73

0,82

0,86

0,80

0,73

0,66

0,58

0,48

0,36

0,17

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,01

0,17

0,64

0,74

0,80

0,83

0,76

0,69

0,61

0,52

0,42

0,27

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,07

0,38

0,64

0,71

0,76

0,77

0,72

0,65

0,56

0,46

0,33

0,10

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,16

0,50

0,60

0,65

0,68

0,69

0,67

0,60

0,50

0,39

0,23

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,27

0,43

0,51

0,55

0,58

0,58

0,56

0,52

0,44

0,30

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,27

0,36

0,41

0,44

0,44

0,42

0,38

0,31

0,16

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,14

0,21

0,24

0,24

0,22

0,15

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Índice D

Tabla 6.20. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=1, t1=10, s2=1). Para esta combinación de pesos la combinación de parámetros con mayor índice D vuelve a ser la misma, la pareja (14, 1).

- 278 -

Veamos lo sucedido para (s1=10, t1=10, s2=1):

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,03

0,36

0,58

0,19

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,01

0,14

0,89

0,30

0,09

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,05

0,55

0,47

0,15

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,01

0,22

0,73

0,24

0,07

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,08

0,82

0,38

0,12

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,03

0,34

0,59

0,19

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,91

0,31

0,09

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,52

0,48

0,15

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,21

0,74

0,25

0,07

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,08

0,78

0,39

0,12

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,61

0,20

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,12

0,93

0,31

0,09

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,50

0,49

0,15

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

1

Tabla 6.21. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).

- 279 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,10

0,33

0,56

0,79

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,01

0,21

0,41

0,62

0,82

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,09

0,27

0,44

0,61

0,79

0,96

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,12

0,26

0,41

0,55

0,70

0,85

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,20

0,32

0,44

0,55

0,67

0,79

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,09

0,17

0,26

0,35

0,44

0,53

0,62

0,70

0,79

0,88

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,09

0,15

0,21

0,27

0,33

0,39

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

2

Tabla 6.22. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).

- 280 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,05

0,34

0,57

0,38

0,23

0,11

0,05

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,01

0,17

0,61

0,43

0,27

0,15

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,07

0,38

0,45

0,30

0,18

0,09

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,16

0,44

0,31

0,19

0,11

0,05

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,27

0,28

0,19

0,11

0,06

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,13

0,10

0,06

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Índice D

Tabla 6.23. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=10, t1=10, s2=1). En esta ocasión la pareja correspondiente al mayor índice D es la (16,2).

- 281 -

Por último, para la combinación (s1=5, t1=8, s2=5), se obtiene:

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,06

0,44

0,76

0,43

0,23

0,11

0,05

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,02

0,20

0,94

0,55

0,30

0,15

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,01

0,09

0,62

0,69

0,38

0,20

0,09

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,03

0,30

0,85

0,49

0,26

0,13

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,01

0,13

0,85

0,62

0,34

0,17

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,05

0,42

0,77

0,44

0,23

0,11

0,05

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,02

0,20

0,95

0,55

0,30

0,15

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,01

0,08

0,59

0,69

0,39

0,20

0,09

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,28

0,86

0,50

0,27

0,13

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,82

0,62

0,34

0,18

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,41

0,78

0,44

0,23

0,11

0,05

0,02

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,19

0,96

0,56

0,31

0,15

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,08

0,57

0,70

0,39

0,20

0,10

0,04

0,01

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

1

Tabla 6.24. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).

- 282 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,00

0,00

0,06

0,31

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,00

0,00

0,01

0,09

0,37

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,09

0,30

0,83

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,05

0,17

0,43

0,96

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,05

0,14

0,30

0,61

1,00

1,00

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,02

0,04

0,09

0,17

0,31

0,53

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Función Desirability, d

2

Tabla 6.25. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).

- 283 -

K(0)

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4

0,00

0,00

0,04

0,21

0,37

0,48

0,33

0,21

0,13

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,01

0,11

0,22

0,33

0,38

0,26

0,16

0,09

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,00

0,03

0,11

0,18

0,25

0,28

0,19

0,11

0,06

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,07

0,12

0,15

0,15

0,14

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,03

0,05

0,06

0,07

0,06

0,04

0,02

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,01

0,02

0,02

0,01

0,01

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

E

Índice D

Tabla 6.26. Índice D, en el cuarto paso de la heurística propuesta para los pesos (s1=5, t1=8, s2=5). El mayor índice D se vuelve a encontrar para la pareja (14,1).

- 284 -

Recopilando las combinaciones con mayor índice D encontrados en esta fase de la heurística, tenemos que se han encontrado dos candidatas a ser la combinación elegida, la (14,1) y la (16,2). La simulación de la (16,2) ya se realizó en el segundo paso. Ahora realizamos la simulación de la (14,1). En la tabla siguiente se muestran las tres con sus correspondientes datos de interés:

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 14 1 95.042 94,081<>96,003 14.931 15 3 97,776 97,385<>98,167 17,171 16 2 98,069 97,740<>98,398 17,408

Tabla 6.27. Comparativa de soluciones candidatas. En la tabla 6.27 se puede ver como de las dos combinaciones obtenidas en el cuarto paso de la heurística, la que es admisible es la que se ha obtenido con la combinación de pesos más exigente. Esto esta en consonancia con los resultados obtenidos en la sección 5.5. Por otro lado, esta combinación ya la habíamos tenido en cuenta en el segundo paso, donde resulto elegida la combinación (15,3) al tener esta menor inventario en proceso medio. No obstante, la combinación (16,2) no sería mala solución de ser elegida, aunque la (15,3) es algo mejor. En la sección 5.4 se realizo la búsqueda exhaustiva en prácticamente todo el espacio de soluciones y se encontró que la combinación óptima es la (15,3). En esta ocasión la heurística ha proporcionado la mejor de las soluciones, pero nosotros creemos que no siempre va ha ser así cuando la apliquemos a otros sistemas operando en otras condiciones. Creemos, no obstante, que proporcionara una buena solución realizando un número bajo de simulaciones. En nuestro caso, el número de simulaciones empleadas al aplicar la heurística ha sido de 33, frente a las 200 de la búsqueda exhaustiva o las 53 que se emplearon en la sección 5.5 empleando sólo el método de la función desirability. A modo de resumen, los pasos de la heurística propuesta se exponen a continuación:

1. Consideramos el sistema como si fuese un sistema Conwip tradicional y simulamos todos los casos hasta encontrar una solución admisible, que será aquella que en su intervalo de confianza para el nivel de servicio primero contenga el valor del 98%. Conviene partir de un número razonablemente bajo de tarjetas. Se construyen la gráficas del nivel de servicio medio e intervalo de confianza para el nivel de servicio frente al número de tarjetas, para tener un conocimiento más preciso del comportamiento del sistema.

2. Se simulan todas las combinaciones de parámetros K (0) y E, cuya suma sea

igual al número de tarjetas del sistema Conwip tradicional encontrado en el paso 1. Construir las gráficas del nivel de servicio medio, inventario en proceso medio e intervalo de confianza para el nivel de servicio frente al parámetro K (0) con objeto de comprobar el comportamiento del sistema. Se elige la combinación con menor inventario en proceso, teniendo la precaución de que sea una solución admisible.

- 285 -

3. Se estudia la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM, ajustando sendo modelos para el nivel de servicio medio y el inventario en proceso medio. La región de experimentación ha de elegirse de forma que el vértice con menor valor para los parámetros K (0) y E sea la combinación hallada en el paso 2. Se recomienda que la región de experimentación sea amplia.

4. Utilizar el método de la función desirability para encontrar soluciones

candidatas. Construir las funciones desirability d1, para el nivel de servicio medio, y d2 para el inventario en proceso. Las respuestas a emplear en su construcción son las respuestas de los modelos ajustados para el nivel de servicio medio y el inventario en proceso medio hallados en el paso 3. La función d1 ha de ser del tipo usado para encontrar soluciones que tiendan a un valor determinado y la función d2 ha de ser del tipo usado para minimizar las soluciones. Se plantean diferentes combinaciones de pesos y se comparan las soluciones halladas con la que se obtuvo en el paso 2. Se escogerá aquella que, siendo admisible, tenga menor WIP.

Esto expresado en forma de esquema:

Heurística Propuesta

Considerar el sistema como un tradicional.Para la primera solución admisible hacer de tarjetas= .Construir

Conwipcte

Nº

gráficas del nivel de servicio medio e intervalo de confianza.

Simular todas las combinaciones tales que K (0) E = cte WIP

K (0)

+ y elegir aquella admisible con menor .

Construir las gráficas del nivel de servicio medio, inventario en proceso medio e intervalo de confianza para el nivel de servicio frente al parámetro .

Estudiar la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM

Utilizar el método de la función para encontrar soluciones candidatas.desirability

Figura 6.2. Esquema de la heurística propuesta.

- 286 -

CAPÍTULO 7:

EXPERIMENTO DE CONFIRMACIÓN

- 287 -

En este capítulo vamos comprobar la validez de la heurística propuesta en capítulo seis, aplicándola a un sistema diferente operando en un entorno distinto al empleado en todos los experimentos que se han llevado a cabo en los capítulos anteriores. Al proponer una heurística que nos permita determinar los parámetros K (0) y E que gobiernan un sistema de producción PS, una de las características perseguidas es que sea aplicable a la mayor variedad de situaciones, por esta razón, el experimento que se ha diseñado para comprobar su validez debe de ser sustancialmente distinto. Se consideran las mismas hipótesis presentadas en la sección 3.3, excepto que la línea es equilibrada. En este caso el tiempo de proceso de las máquinas que componen la línea de producción no es el mismo para cada una de ellas. En la literatura no queda claro si un sistema pull equilibrado mejora o no, a uno desequilibrado. Por ejemplo, Sarker y Harris, 1988, y Gupta y Gupta, 1989, mostraron que un sistema equilibrado ofrece mejores ratios de salida que uno no equilibrado, mientras que Villeda et al, 1988, mostraron lo contrario. Esto hace que el hecho de emplear un sistema no equilibrado en el experimento de confirmación sea de interés. En la bibliografía se definen diferentes patrones de desequilibrio (Hillier y Boling, 1966), entre los que encontramos el denominado Bowl, donde las dos últimas máquinas tienen los tiempos de proceso más elevados, el Funnel, donde los tiempos de proceso se acortan conforme se avanza en la estación y el Reversed Funnel, en el que los tiempos de proceso se alargan conforme se avanza en la estación. En nuestro caso el patrón seguido es que la máquina con distinto tiempo de proceso ocupa la parte central de la línea de producción. Meral y Erkip, 1991, definieron el grado de desequilibrio, DI (Degree of Imbalance), como una medida del equilibrio de una línea. El DI viene definido por la siguiente expresión:

( ) ( )TWC

NN

TWCPTPTN

TWCDI ii *max;minmax⎭⎬⎫−−

⎩⎨⎧= (74)

Donde: PTi es el tiempo de proceso de la estación en una línea formada por N estaciones.

NTWC es el tiempo de proceso de una estación en una línea equilibrada formada por N

estaciones. TWC es la capacidad de trabajo total, tomado como la suma de los tiempos de proceso de la línea. En la literatura se encuentran habitualmente los siguientes grados de desequilibrio:

- 288 -

Autores DI

Villena et al, 1988 0.0 a 1.4 (paso 0.2) 0.0 a 0.7 (paso 0.1)

Meral y Erkip, 1991 0.0, 0.1, 0.2, 0.45 Yavuz y Satir, 1995 0.0, 0.1, 0.3, 0.5

Tabla 7.1. Grados de desequilibrio utilizados en la literatura (Gaury, 2000). Antes de elegir el DI es importante tener en cuenta que los tiempos de proceso entre las diferentas máquinas no deben de diferir en más del 20% (Lageweg et al, 1978). El nuevo sistema empleado esta compuesto por cinco máquinas, donde la que ocupa la posición central tiene distinto tiempo de proceso. Las máquinas que ocupan las posiciones primera, segunda, cuarta y quinta, tienen tiempos de procesado distribuidos por una función exponencial de media 3. El 20% de este valor es 0.6, por lo que la máquina central funciona con un tiempo de procesado de 3.6, lo que significa un DI de 0.15. La demanda viene distribuida por una función exponencial, que tras una serie de pruebas piloto ofrece valores razonables para una media de 5, por lo que este es el valor tomado para aquella. El primer paso de la heurística propuesta en el capítulo seis consiste en considerar al sistema como si fuese un sistema Conwip tradicional y simular todos los casos hasta encontrar una solución admisible. En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos:

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 9 0 8,070 25, 919<>29,907 9,066

10 0 42,098 40,618<>43,578 10,053 11 0 58,455 57,398<>59,511 11,050 12 0 64,086 62,222<>65,950 12,040 13 0 73,771 72,456<>75,086 13,030 14 0 81,117 79,329<>82,904 14,026 15 0 83,461 82,137<>84,786 15,021 16 0 88,080 86,967<>89,193 16,051 17 0 91,092 90,385<>91,789 17,013 18 0 93,236 92,420<>94,052 18,009 19 0 95,024 94,557<>95,490 19,007 20 0 96,527 95,872<>97,181 20,006 21 0 97,145 96,812<>97,479 21,004 22 0 97,860 97,247<>98,473 22,004 23 0 98,242 97,702<>98,782 23,003

Tabla 7.2. Resultados de las simulaciones en el primer paso de la heurística para el experimento de

confirmación.

- 289 -

La primera solución admisible se obtiene para 22 tarjetas, ya que presenta el primer intervalo de confianza en el que un valor del 98% de nivel de servicio es admisible.

0102030405060708090

100

0 5 10 15 20 25

Número de Tarjetas

Niv

el d

e Se

rvic

io m

edio

Gráfica 7.1. Evolución del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las simulaciones del primer paso de la

heurística para el experimento de confirmación.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 5 10 15 20 25

Número de Tarjetas

IC(9

9%)

Gráfica 7.2. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las

simulaciones del primer paso de la heurística para el experimento de confirmación. En el segundo paso de la heurística se recorre la “trayectoria de las soluciones admisibles”, formada por aquellas combinaciones que la suma de los parámetros K (0) y E sumaban el número de tarjetas hallado en el primer paso. En este caso este valor es de 22. En la tabla siguiente se muestran las combinaciones que cumplen con esta condición:

- 290 -

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 22 0 97,860 97,247<>98,473 22,004 21 1 98,198 97,655<>98,741 21,401 20 2 97,598 97,001<>98,196 21,381 19 3 97,778 97,262<>98,294 21,257 18 4 97,647 97,115<>98,178 21,332 17 5 97,832 97,378<>98,287 21,565 16 6 97,672 97,242<>98,102 21,507 15 7 97,738 97,259<>98,216 21,641 14 8 97,543 97,080<>98,006 21,729 13 9 97,700 97,205<>98,195 21,674 12 10 97,466 96,851<>98,082 21,770 11 11 97,570 97,102<>98,038 21,808 10 12 97,606 97,112<>98,099 21,875 9 13 97,511 96,940<>98,083 21,854

Tabla 7.3. Resultados de las simulaciones en el segundo paso de la heurística para el experimento de

confirmación

97,4

97,6

97,8

98

98,2

98,4

5 10 15 20 25

K(0)

Nive

l de

Ser

vici

o m

edio

Gráfica 7.3. Evolución del Nivel de Servicio medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la

heurística para el experimento de confirmación.

- 291 -

21,2

21,4

21,6

21,8

22

22,2

5 10 15 20 25

K(0)

WIP

med

io

Gráfica 7.4. Evolución del WIP medio a lo largo de las simulaciones del segundo paso de la heurística

para el experimento de confirmación.

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

5 10 15 20 25

K(0)

IC(9

9%)

Gráfica 7.5. Evolución de de los intervalos de confianza del Nivel de Servicio Medio a lo largo de las

simulaciones del segundo paso de la heurística para el experimento de confirmación. Observando las gráficas anteriores, podemos observar como, en general, el nivel de inventario medio aumenta conforme lo hace el parámetro K (0), como el tamaño de los intervalos de confianza presenta el valor más pequeño para la combinación K (0) =16, E = 6, aumentando a partir de esta y como el menor WIP medio los obtenemos para K (0) = 19, E = 3, siendo esta última la combinación elegida como candidata a óptima, en este paso de la heurística. En la tabla 7.3 no observamos ninguna combinación que no sea admisible, por lo que este segundo paso lo podemos dar por finalizado y pasar al tercero. En el tercer paso se aplica la metodología RSM para estudiar la vecindad de la combinación hallada en el paso anterior. Recordemos que la finalidad es ajustar sendos modelos para el nivel de servicio medio y para el inventario medio para, en el cuarto paso, aplicar la metodología de la función Desirability de optimización multirespuesta.

- 292 -

Escogemos una región de experimentación cuadrada con punto central, de radio dos, cuyo vértice de menores parámetros K (0) y E es el K (0) = 19, E = 3. Podríamos haber elegido una región rectangular o con otro radio, siempre que hubiésemos tenido en cuanta las indicaciones señaladas en el capítulo seis. El resultado hubiera sido el mismo, tal y como hemos comprobado mediante la realizado de pruebas piloto. La región elegida es:

(19,3) (23,3)

(19,7)

(21,5)

Factor A

Facto

r B

(23,3)

Figura 7.1. Región de experimentación del tercer paso de la heurística para el experimento de

confirmación. Los escenarios se muestran en la tabla siguiente, tanto en variables naturales como en variables codificadas:

Variables Naturales Escenario K(0) E

1 19 3 2 23 3 3 19 7 4 23 7 5 21 5 Variables Codificadas

Escenario K(0) E 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 0 0

Tabla 7.4. Escenarios del tercer paso de la heurística para el experimento de confirmación.

- 293 -

Los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas en estos escenarios han sido: Escenario Nivel de servicio medio (%) STD Nivel de Servicio WIP medio STD WIP

1 97,778 0,516 21,257 0,424 2 98,889 0,324 24,029 0,542 3 98,293 0,252 23,872 0,965 4 98,965 0,294 24,731 0,993 5 98,484 0,328 22,828 0,862

Tabla 7.5. Resultados de las simulaciones de los escenarios del tercer paso de la heurística para el

experimento de confirmación. El análisis de varianza para el ajuste de un modelo para el nivel de servicio medio ofrece el siguiente resultado:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 0,90 23,84 21,62 1 23,84 42,25 3,91 B 0,30 2,62 2,38 1 2,62 4,64 3,91

AB -0,22 1,45 1,31 1 1,45 2,57 3,91 Error 82,38 74,69 146 0,56 Total 110,29 100,00 149

Tabla 7.6. Análisis de varianza para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística para el

experimento de confirmación. Los factores A y B (K (0) y E, respectivamente) son significativos, mientras que la

interacción AB no, por lo que el modelo a ajustar es, variables codificadas: 21 15.045.048.98ˆ xxy ++= y en variables naturales: 21 07.022.043.93ˆ ξξ ++=y La adecuación del modelo se prueba con la prueba de significación de los coeficientes, la prueba de falta de ajuste y el análisis gráfico de los residuales:

- 294 -

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 26,46 2 13,23 23,07 3,06 Residual 84,28 147 0,57

(Falta de ajuste LOF) 1,45 2 0,73 1,27 3,06 (Error puro) 82,83 145 0,57

Total 110,74 149 0,74 Tabla 7.7. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el nivel de servicio medio en el tercer paso

de la heurística para el experimento de confirmación. El modelo propuesto supera tanto la prueba de significación como la de la falta de ajuste. En la tabla y gráficas siguientes se muestran los residuales y los resultados del análisis gráfico de los residuales, respectivamente:

Respuestas Predicción Residuales 98,74 97,89 0,85 98,06 97,89 0,17 98,25 97,89 0,36 99,05 97,89 1,16 96,20 97,89 -1,69 98,10 97,89 0,21 98,41 97,89 0,52 96,56 97,89 -1,33 98,82 97,89 0,93 98,74 97,89 0,85 97,59 97,89 -0,29 97,76 97,89 -0,13 98,25 97,89 0,37 98,64 97,89 0,75 98,53 97,89 0,64 96,17 97,89 -1,72 98,42 97,89 0,53 98,46 97,89 0,57 98,14 97,89 0,25 98,66 97,89 0,77 95,60 97,89 -2,29 97,44 97,89 -0,45 96,10 97,89 -1,79 98,08 97,89 0,19 98,14 97,89 0,25 95,44 97,89 -2,44 98,16 97,89 0,27 98,40 97,89 0,51 97,93 97,89 0,04 97,53 97,89 -0,36 99,54 98,78 0,76 98,58 98,78 -0,20 99,58 98,78 0,80 99,32 98,78 0,54

- 295 -

98,90 98,78 0,12 99,11 98,78 0,33 98,18 98,78 -0,60 98,77 98,78 -0,01 98,35 98,78 -0,43 98,09 98,78 -0,69 98,30 98,78 -0,48 99,32 98,78 0,54 99,35 98,78 0,57 99,54 98,78 0,76 98,96 98,78 0,18 98,93 98,78 0,15 99,54 98,78 0,76 98,45 98,78 -0,33 98,75 98,78 -0,03 97,49 98,78 -1,29 98,89 98,78 0,11 99,26 98,78 0,48 99,19 98,78 0,41 99,24 98,78 0,46 98,96 98,78 0,18 97,93 98,78 -0,85 99,76 98,78 0,98 99,88 98,78 1,11 99,58 98,78 0,80 96,94 98,78 -1,84 98,07 98,18 -0,11 97,76 98,18 -0,42 98,40 98,18 0,21 98,17 98,18 -0,02 97,41 98,18 -0,78 98,41 98,18 0,23 98,75 98,18 0,57 98,82 98,18 0,64 98,72 98,18 0,53 98,75 98,18 0,57 97,68 98,18 -0,51 97,85 98,18 -0,33 98,25 98,18 0,07 97,57 98,18 -0,61 99,04 98,18 0,86 99,01 98,18 0,83 97,00 98,18 -1,19 98,19 98,18 0,00 98,86 98,18 0,67 98,44 98,18 0,26 98,20 98,18 0,02 98,82 98,18 0,63 98,57 98,18 0,38 98,40 98,18 0,22 98,40 98,18 0,22 98,80 98,18 0,62 97,53 98,18 -0,65

- 296 -

98,40 98,18 0,22 97,62 98,18 -0,57 98,90 98,18 0,72 99,54 99,08 0,46 98,58 99,08 -0,50 99,58 99,08 0,51 99,32 99,08 0,25 98,90 99,08 -0,18 98,56 99,08 -0,51 99,51 99,08 0,44 98,78 99,08 -0,30 98,40 99,08 -0,68 97,99 99,08 -1,08 98,58 99,08 -0,49 99,32 99,08 0,25 99,28 99,08 0,20 99,54 99,08 0,46 98,66 99,08 -0,41 99,58 99,08 0,50 99,54 99,08 0,46 98,45 99,08 -0,62 98,96 99,08 -0,12 99,07 99,08 -0,01 98,89 99,08 -0,18 99,38 99,08 0,30 97,99 99,08 -1,08 99,37 99,08 0,30 98,25 99,08 -0,83 97,27 99,08 -1,80 99,76 99,08 0,68 99,88 99,08 0,81 99,58 99,08 0,51 98,44 99,08 -0,63 99,25 98,48 0,76 98,35 98,48 -0,13 99,12 98,48 0,63 97,29 98,48 -1,19 98,48 98,48 0,00 99,10 98,48 0,62 98,77 98,48 0,29 98,35 98,48 -0,13 98,09 98,48 -0,39 97,02 98,48 -1,46 98,80 98,48 0,32 99,25 98,48 0,77 98,71 98,48 0,23 97,00 98,48 -1,48 99,18 98,48 0,70 98,31 98,48 -0,17 99,49 98,48 1,01 98,03 98,48 -0,45 99,03 98,48 0,54 98,71 98,48 0,23

- 297 -

98,73 98,48 0,25 98,73 98,48 0,25 98,68 98,48 0,20 98,76 98,48 0,28 97,33 98,48 -1,15 98,45 98,48 -0,03 97,26 98,48 -1,22 99,02 98,48 0,53 99,11 98,48 0,63 98,09 98,48 -0,39

Tabla 7.8. Residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística para el

experimento de confirmación.

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-3.44 -2.29 -1.14 0.01 1.16

Residuales

% d

e pr

obab

ilidad

nor

mal

Gráfica 7.6. Probabilidad normal de los residuales para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la

heurística para el experimento de confirmación.

- 298 -

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

97,50 98,50 99,50

Nivel de Servicio medio predicho

Res

idua

les

Gráfica 7.7. Residuales frente al nivel de servicio medio predicho en el tercer paso de la heurística para el

experimento de confirmación.

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

0 50 100 150

Orden de Realización de las Simulaciónes

Res

idua

les

Gráfica 7. 8. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el nivel de servicio medio en el tercer paso de la heurística para el experimento de confirmación.

- 299 -

La gráfica de la normal, muestra como los puntos siguen con dificultad una línea recta, aunque no de manera que nos haga pensar que se aparta del supuesto de normalidad. Por otro lado se observa que puede haber un ligero sesgo hacia los valores positivos de los residuales, ya que la rama de la derecha es algo más amplia que la de la izquierda. En las gráficas del nivel de servicio y el orden de realización de las simulaciones frente a los residuales, no se aprecia ningún patrón que haga pensar que están relacionados con la salida o con el orden de realización de las observaciones, por lo que damos por adecuado al modelo. Para el inventario en proceso medio el análisis de varianza obtenido se muestra en la tabla siguiente:

Termino Efectos SS Porcentaje g.d.l MSS Fo Fo Tablas A 1,82 98,86 15,70 1 98,86 34,30 3,91 B 1,66 82,56 13,11 1 82,56 28,64 3,91

AB -0,96 27,43 4,36 1 27,43 9,52 3,91 Error 420,83 66,83 146 2,88 Total 629,68 100,00 149

Tabla 7.9. Análisis de varianza para el WIP en el tercer paso de la heurística para el experimentote

confirmación. Se aprecia como los dos factores principales y la interacción entre ellos son significativos. El modelo ajustado, en variables codificadas y naturales, es por tanto: 2121 48.083.091.034.23ˆ xxxxy −++= 2121 12.092.205.181.0ˆ ξξξξ −++−=y Para las pruebas de la significación de los coeficientes y la de falta de ajuste, los resultados obtenidos se muestran en la tabla 7.10

Termino SS g.d.l MSS Fo Fo Tablas Modelo 208,85 3 69,62 24,15 2,67 Residual 420,83 146 2,88

(Falta de ajuste LOF) 9,98 1 9,98 3,52 3,91 (Error puro) 410,85 145 2,83

Total 629,68 149 4,23 Tabla 7.10. Prueba de significación y de la falta de ajuste para el WIP en el tercer paso de la heurística

para el experimentote confirmación.

- 300 -

El modelo ajustado pasa las pruebas anteriores. A continuación se muestran los residuales y el análisis gráfico de estos.

Respuestas Predicción Residuales 21,50 21,13 0,37 21,49 21,13 0,36 21,94 21,13 0,81 20,14 21,13 -0,98 21,92 21,13 0,80 21,47 21,13 0,34 21,11 21,13 -0,02 21,50 21,13 0,37 21,66 21,13 0,53 19,71 21,13 -1,42 21,42 21,13 0,29 19,12 21,13 -2,00 19,00 21,13 -2,12 21,64 21,13 0,51 21,41 21,13 0,28 21,62 21,13 0,49 21,72 21,13 0,60 21,91 21,13 0,78 21,42 21,13 0,29 21,79 21,13 0,66 21,25 21,13 0,13 21,93 21,13 0,80 21,94 21,13 0,81 21,03 21,13 -0,10 21,74 21,13 0,62 21,89 21,13 0,76 21,92 21,13 0,79 19,01 21,13 -2,12 21,92 21,13 0,79 21,59 21,13 0,46 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 24,96 23,90 1,06 26,00 23,90 2,10 24,27 23,90 0,37 23,33 23,90 -0,57 23,57 23,90 -0,33 24,90 23,90 1,00 23,00 23,90 -0,90 23,42 23,90 -0,48 23,00 23,90 -0,90 25,82 23,90 1,92 25,84 23,90 1,94 23,00 23,90 -0,90

- 301 -

23,00 23,90 -0,90 25,77 23,90 1,87 25,86 23,90 1,96 23,00 23,90 -0,90 24,89 23,90 0,99 24,72 23,90 0,82 24,53 23,90 0,63 24,25 23,90 0,35 23,75 23,90 -0,15 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 23,00 23,90 -0,90 25,94 23,90 2,04 22,18 23,74 -1,57 24,14 23,74 0,40 22,73 23,74 -1,01 25,18 23,74 1,43 23,23 23,74 -0,51 25,11 23,74 1,37 21,33 23,74 -2,42 25,97 23,74 2,23 23,97 23,74 0,23 25,49 23,74 1,75 24,64 23,74 0,90 19,28 23,74 -4,46 19,00 23,74 -4,74 25,16 23,74 1,42 24,35 23,74 0,61 25,71 23,74 1,97 25,35 23,74 1,61 25,78 23,74 2,04 24,77 23,74 1,02 22,66 23,74 -1,08 24,24 23,74 0,50 23,53 23,74 -0,22 25,83 23,74 2,09 21,96 23,74 -1,78 25,08 23,74 1,34 25,65 23,74 1,90 25,32 23,74 1,58 19,01 23,74 -4,74 23,68 23,74 -0,06 25,81 23,74 2,07 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 28,28 24,60 3,67 25,38 24,60 0,77 25,96 24,60 1,36 23,41 24,60 -1,19 24,31 24,60 -0,29

- 302 -

27,42 24,60 2,82 23,00 24,60 -1,60 24,45 24,60 -0,15 23,00 24,60 -1,60 24,65 24,60 0,05 24,88 24,60 0,28 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 27,86 24,60 3,26 29,20 24,60 4,59 23,00 24,60 -1,60 23,92 24,60 -0,68 27,61 24,60 3,01 24,95 24,60 0,35 26,03 24,60 1,43 24,76 24,60 0,15 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 23,00 24,60 -1,60 29,85 24,60 5,24 21,00 23,34 -2,34 24,79 23,34 1,44 21,00 23,34 -2,34 23,29 23,34 -0,05 22,24 23,34 -1,10 21,00 23,34 -2,34 21,73 23,34 -1,61 24,80 23,34 1,46 21,75 23,34 -1,59 25,73 23,34 2,39 22,13 23,34 -1,21 21,00 23,34 -2,34 25,56 23,34 2,21 25,63 23,34 2,29 21,00 23,34 -2,34 23,00 23,34 -0,34 21,00 23,34 -2,34 22,45 23,34 -0,90 21,80 23,34 -1,54 25,14 23,34 1,80 23,92 23,34 0,58 24,58 23,34 1,23 21,07 23,34 -2,27 21,00 23,34 -2,34 24,63 23,34 1,29 24,99 23,34 1,65 25,55 23,34 2,21 21,00 23,34 -2,34 21,00 23,34 -2,34 21,00 23,34 -2,34

Tabla 7.11. Residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística para el experimento de

confirmación.

- 303 -

1

5

2030

50

7080

95

99

10

90

-4.74 -2.24 0.25 2.75 5.24

Residuales

% de

prob

abilid

ad n

orma

l

Gráfica 7.9. Probabilidad normal de los residuales para el WIP medio en el tercer paso de la heurística

para el experimento de confirmación.

-5,50

-4,50

-3,50

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

3,50

4,50

5,50

21,00 22,00 23,00 24,00

WIP medio predicho

Res

idua

les

Gráfica 7.10. Residuales frente al WIP medio predicho en el tercer paso de la heurística para el

experimento de confirmación.

- 304 -

-5,50

-4,50

-3,50

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

3,50

4,50

5,50

0 50 100 150

Orden de Realización de las Simulaciónes

Res

idua

les

Gráfica 7.11. Residuales frente al orden de realización de las simulaciones para el WIP medio en el tercer

paso de la heurística para el experimento de confirmación. No se aprecia ningún patrón que nos haga pensar que el modelo no es adecuado. El cuarto paso de la heurística emplea la metodología de la función desirability aplicada a los dos modelos ajustados en el paso anterior. Estos son:

Respuesta Modelo ajustado Nivel de servicio medio 21 07.022.043.93ˆ ξξ ++=y

WIP medio 2121 12.092.205.181.0ˆ ξξξξ −++−=y Tabla 7.12. Modelos ajustados usados en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación. Recordemos que para el nivel de servicio se emplea una función desirability, d1, es del tipo usado para buscar un valor determinado, en nuestro caso, el nivel de servicio medio del 98%, y para el caso del inventario en proceso, una función desirability, d2, del tipo usado en los casos en los que se pretenden minimizar la respuesta. (esto se estudia en detalle en la sección 5.5). Los límites de admisibilidad para la función desirability, d1, han sido del 96% para el inferior y del 99% para el superior. Para la desirability, d2, y a tenor de los resultados

- 305 -

obtenidos en los dos primeros pasos de la heurísticas, el límite inferior ha sido de 18 y el superior de 22. Las matrices de respuesta que se obtienen con estos modelos para el espacio de interés de las combinaciones de los parámetros son:

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

98,63

98,41

98,19

97,96

97,74

97,52

97,30

97,07

96,85

96,63

96,40

96,18

95,96

95,74

95,51

95,29

1

98,71

98,48

98,26

98,04

97,81

97,59

97,37

97,15

96,92

96,70

96,48

96,25

96,03

95,81

95,59

95,36

2

98,78

98,56

98,33

98,11

97,89

97,67

97,44

97,22

97,00

96,77

96,55

96,33

96,11

95,88

95,66

95,44

3

98,85

98,63

98,41

98,19

97,96

97,74

97,52

97,29

97,07

96,85

96,63

96,40

96,18

95,96

95,73

95,51

4

98,93

98,70

98,48

98,26

98,04

97,81

97,59

97,37

97,14

96,92

96,70

96,48

96,25

96,03

95,81

95,58

5

99,00

98,78

98,56

98,33

98,11

97,89

97,66

97,44

97,22

97,00

96,77

96,55

96,33

96,10

95,88

95,66

6

99,08

98,85

98,63

98,41

98,18

97,96

97,74

97,52

97,29

97,07

96,85

96,62

96,40

96,18

95,96

95,73

7

99,15

98,93

98,70

98,48

98,26

98,03

97,81

97,59

97,37

97,14

96,92

96,70

96,47

96,25

96,03

95,81

8

99,22

99,00

98,78

98,55

98,33

98,11

97,89

97,66

97,44

97,22

96,99

96,77

96,55

96,33

96,10

95,88

9

99,30

99,07

98,85

98,63

98,41

98,18

97,96

97,74

97,51

97,29

97,07

96,85

96,62

96,40

96,18

95,95

10

99,37

99,15

98,92

98,70

98,48

98,26

98,03

97,81

97,59

97,36

97,14

96,92

96,70

96,47

96,25

96,03

11

99,44

99,22

99,00

98,78

98,55

98,33

98,11

97,88

97,66

97,44

97,22

96,99

96,77

96,55

96,32

96,10

12

99,52

99,30

99,07

98,85

98,63

98,40

98,18

97,96

97,74

97,51

97,29

97,07

96,84

96,62

96,40

96,18

13

99,59

99,37

99,15

98,92

98,70

98,48

98,26

98,03

97,81

97,59

97,36

97,14

96,92

96,70

96,47

96,25

14

E

Ŷ1, N

ivel de servicio Medio

Tabla 7.13. Nivel de Servicio medio ajustado en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación.

- 306 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

23,55

22,62

21,68

20,75

19,82

18,89

17,96

17,02

16,09

15,16

14,23

13,30

12,37

11,43

10,50

9,57

1

23,72

22,91

22,10

21,29

20,47

19,66

18,85

18,04

17,22

16,41

15,60

14,79

13,98

13,16

12,35

11,54

2

23,90

23,21

22,51

21,82

21,13

20,44

19,74

19,05

18,36

17,66

16,97

16,28

15,59

14,89

14,20

13,51

3

24,08

23,50

22,93

22,36

21,78

21,21

20,64

20,06

19,49

18,92

18,34

17,77

17,20

16,62

16,05

15,48

4

24,25

23,80

23,34

22,89

22,44

21,98

21,53

21,07

20,62

20,17

19,71

19,26

18,81

18,35

17,90

17,44

5

24,43

24,09

23,76

23,42

23,09

22,76

22,42

22,09

21,75

21,42

21,08

20,75

20,42

20,08

19,75

19,41

6

24,60

24,39

24,17

23,96

23,74

23,53

23,31

23,10

22,88

22,67

22,45

22,24

22,03

21,81

21,60

21,38

7

24,78

24,68

24,59

24,49

24,40

24,30

24,21

24,11

24,02

23,92

23,83

23,73

23,64

23,54

23,44

23,35

8

24,95

24,98

25,00

25,03

25,05

25,08

25,10

25,12

25,15

25,17

25,20

25,22

25,25

25,27

25,29

25,32

9

25,13

25,27

25,42

25,56

25,70

25,85

25,99

26,14

26,28

26,42

26,57

26,71

26,86

27,00

27,14

27,29

10

25,31

25,57

25,83

26,10

26,36

26,62

26,89

27,15

27,41

27,68

27,94

28,20

28,47

28,73

28,99

29,25

11

25,48

25,86

26,25

26,63

27,01

27,40

27,78

28,16

28,54

28,93

29,31

29,69

30,08

30,46

30,84

31,22

12

25,66

26,16

26,66

27,16

27,67

28,17

28,67

29,17

29,68

30,18

30,68

31,18

31,69

32,19

32,69

33,19

13

25,83

26,45

27,08

27,70

28,32

28,94

29,56

30,19

30,81

31,43

32,05

32,67

33,30

33,92

34,54

35,16

14

E

Ŷ2, W

IP Medio

Tabla 7.14. WIP medio ajustado en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación.

- 307 -

A continuación elegimos las combinaciones de pesos de las funciones desirability, d1 y d2 que se van a estudiar. Cuando se expuso la heurística en el capítulo seis se estudiaron los casos:

Pesos s1 t1 s2 Combinación 1 1 1 1 Combinación 2 1 10 1 Combinación 3 10 10 1 Combinación 4 5 8 5

Tabla 7.15. Combinaciones de pesos para el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación. Las matrices correspondientes a las funciones desirability, d1, d2 y al índice D, para la combinación (s1=1, t1=1, s2=1), son las siguientes:

- 308 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,37

0,59

0,81

0,98

0,87

0,76

0,65

0,54

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,29

0,52

0,74

0,96

0,91

0,80

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,02

0,00

0,00

0,00

2

0,22

0,44

0,67

0,89

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,28

0,16

0,05

0,00

0,00

0,00

3

0,15

0,37

0,59

0,81

0,98

0,87

0,76

0,65

0,54

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

0,00

4

0,07

0,30

0,52

0,74

0,96

0,91

0,80

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,02

0,00

0,00

5

0,00

0,22

0,44

0,67

0,89

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,28

0,16

0,05

0,00

0,00

6

0,00

0,15

0,37

0,59

0,82

0,98

0,87

0,76

0,65

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

7

0,00

0,07

0,30

0,52

0,74

0,97

0,91

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,01

0,00

8

0,00

0,00

0,22

0,45

0,67

0,89

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,27

0,16

0,05

0,00

9

0,00

0,00

0,15

0,37

0,59

0,82

0,98

0,87

0,76

0,65

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

10

0,00

0,00

0,08

0,30

0,52

0,74

0,97

0,91

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,01

11

0,00

0,00

0,00

0,22

0,45

0,67

0,89

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,27

0,16

0,05

12

0,00

0,00

0,00

0,15

0,37

0,60

0,82

0,98

0,87

0,76

0,64

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

13

0,00

0,00

0,00

0,08

0,30

0,52

0,74

0,97

0,90

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,12

14

E

Función Desirability, d

1

Tabla 7.16. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).

- 309 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,08

0,31

0,54

0,78

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,00

0,00

0,18

0,38

0,58

0,79

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,00

0,04

0,22

0,39

0,56

0,74

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,20

0,34

0,48

0,63

0,77

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,12

0,23

0,34

0,46

0,57

0,69

0,80

0,91

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,15

0,23

0,31

0,40

0,48

0,56

0,65

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,10

0,15

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

2

Tabla 7.17. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=1, t1=1, s2=1).

- 310 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,25

0,55

0,69

0,77

0,80

0,73

0,65

0,56

0,45

0,30

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,00

0,41

0,59

0,68

0,73

0,75

0,68

0,59

0,49

0,36

0,13

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,00

0,20

0,45

0,57

0,64

0,67

0,67

0,62

0,53

0,41

0,23

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,23

0,41

0,51

0,56

0,58

0,57

0,53

0,45

0,30

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,31

0,40

0,44

0,46

0,45

0,40

0,32

0,12

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,19

0,27

0,30

0,29

0,25

0,16

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Índice D

Tabla 7.18. Índice D en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los

pesos (s1=1, t1=1, s2=1). En esta última tabla se observa como el mayor valor le corresponde a la pareja (17,1), por lo que para esta combinación de pesos esta es la combinación de parámetros que se compara con la hallada en el segundo paso de la heurística.

- 311 -

Para la combinación de pesos (s1=1, t1=10, s2=1), los resultados son:

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,01

0,13

0,98

0,87

0,76

0,65

0,54

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,05

0,68

0,91

0,80

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,02

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,02

0,31

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,28

0,16

0,05

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,01

0,13

0,98

0,87

0,76

0,65

0,54

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,05

0,69

0,91

0,80

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,02

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,02

0,31

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,28

0,16

0,05

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,98

0,87

0,76

0,65

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,70

0,91

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,01

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,27

0,16

0,05

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,98

0,87

0,76

0,65

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,71

0,91

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,13

0,01

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,94

0,83

0,72

0,61

0,50

0,39

0,27

0,16

0,05

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,14

0,98

0,87

0,76

0,64

0,53

0,42

0,31

0,20

0,09

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,72

0,90

0,79

0,68

0,57

0,46

0,35

0,24

0,12

14

E

Función Desirability, d

1

Tabla 7.19. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).

- 312 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,08

0,31

0,54

0,78

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,00

0,00

0,18

0,38

0,58

0,79

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,00

0,04

0,22

0,39

0,56

0,74

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,20

0,34

0,48

0,63

0,77

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,12

0,23

0,34

0,46

0,57

0,69

0,80

0,91

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,15

0,23

0,31

0,40

0,48

0,56

0,65

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,10

0,15

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

2

Tabla 7.20. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=1, t1=10, s2=1).

- 313 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,10

0,55

0,69

0,77

0,80

0,73

0,65

0,56

0,45

0,30

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,00

0,35

0,59

0,68

0,73

0,75

0,68

0,59

0,49

0,36

0,13

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,00

0,12

0,45

0,57

0,64

0,67

0,67

0,62

0,53

0,41

0,23

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,23

0,41

0,51

0,56

0,58

0,57

0,53

0,45

0,30

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,31

0,40

0,44

0,46

0,45

0,40

0,32

0,12

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,19

0,27

0,30

0,29

0,25

0,16

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Índice D

Tabla 7.21.Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los pesos

(s1=1, t1=10, s2=1). Para esta combinación de pesos la combinación de parámetros con mayor índice D vuelve a ser la misma, la pareja (17, 1).

- 314 -

Veamos los resultados para (s1=10, t1=10, s2=1):

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,01

0,13

0,83

0,25

0,06

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,05

0,68

0,38

0,10

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,02

0,31

0,56

0,16

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,01

0,13

0,83

0,25

0,06

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,05

0,69

0,38

0,10

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,02

0,31

0,56

0,16

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,82

0,25

0,06

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,70

0,37

0,10

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,56

0,16

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,13

0,82

0,24

0,06

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,71

0,37

0,10

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,32

0,55

0,16

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,14

0,81

0,24

0,06

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,72

0,37

0,10

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

1

Tabla 7.22. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).

- 315 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,08

0,31

0,54

0,78

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,00

0,00

0,18

0,38

0,58

0,79

0,99

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,00

0,04

0,22

0,39

0,56

0,74

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,20

0,34

0,48

0,63

0,77

0,91

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,12

0,23

0,34

0,46

0,57

0,69

0,80

0,91

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,06

0,15

0,23

0,31

0,40

0,48

0,56

0,65

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,10

0,15

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

2

Tabla 7.23. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=10, t1=10, s2=1).

- 316 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,10

0,51

0,37

0,22

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,00

0,35

0,38

0,24

0,13

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,00

0,12

0,35

0,25

0,15

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,21

0,22

0,15

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,11

0,07

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Índice D

Tabla 7.24. Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los

pesos (s1=10, t1=10, s2=1). La combinación con mayor índice D es la (20,1). Por último, para la combinación (s1=5, t1=8, s2=5), se obtiene:

- 317 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,01

0,19

0,91

0,50

0,25

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,01

0,09

0,74

0,61

0,32

0,15

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,04

0,39

0,75

0,40

0,20

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,02

0,19

0,91

0,50

0,25

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,01

0,09

0,74

0,61

0,32

0,15

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,04

0,39

0,75

0,40

0,19

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,02

0,20

0,91

0,50

0,25

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,01

0,09

0,75

0,61

0,32

0,15

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,40

0,75

0,40

0,19

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,20

0,90

0,49

0,25

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,09

0,76

0,61

0,32

0,15

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,40

0,74

0,40

0,19

0,08

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,20

0,90

0,49

0,25

0,11

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,09

0,77

0,61

0,31

0,15

0,06

0,02

0,01

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

1

Tabla 7.25. Función Desirability, d1, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).

- 318 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,28

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,07

0,30

0,95

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

2

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,06

0,22

0,63

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,10

0,27

0,64

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,06

0,15

0,33

0,63

1,00

1,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,03

0,06

0,11

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Función Desirability, d

2

Tabla 7.26. Función Desirability, d2, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de

confirmación con los pesos (s1=5, t1=8, s2=5).

- 319 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 8

0,00

0,00

0,00

0,05

0,15

0,27

0,34

0,21

0,12

0,05

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1

0,00

0,00

0,00

0,01

0,07

0,15

0,21

0,24

0,14

0,07

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

2

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

0,06

0,11

0,14

0,14

0,09

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

3

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,03

0,05

0,07

0,06

0,04

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

4

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,02

0,02

0,02

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

5

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

11

0,00

0,00

0,00

0,00

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0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

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0,00

0,00

12

0,00

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0,00

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0,00

0,00

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0,00

0,00

0,00

13

0,00

0,00

0,00

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0,00

0,00

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0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

14

E

Índice D

Tabla 7.27. Índice D, en el cuarto paso de la heurística para el experimento de confirmación con los

pesos (s1=5, t1=8, s2=5). El mayor índice D se vuelve a encontrar para la pareja (17,1).

- 320 -

En esta fase de la heurística las combinaciones halladas a ser candidatas a la combinación elegida son la (17,1) y la (20,1). En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos en la simulación de ambas y se comparan con la obtenida en el segundo paso:

K(0) E Nivel de servicio medio IC (99%) para el nivel de servicio WIP medio 17 1 94,805 94,159<>95,451 17,957 20 1 97,370 96,836<>97,905 20,699 19 3 97,778 97,262<>98,294 21,257

Tabla 7.28. Comparativa de soluciones candidatas para el experimento de confirmación. En la tabla anterior se aprecia que de las dos combinaciones halladas en este paso ninguna es admisible, sin embargo la que se ha obtenido con la combinación de pesos más exigente es la que más próxima esta de ser admisible. Recordar que esto mismo ocurría cuando se aplicó la heurística al sistema estudiado en el capítulo 6. Pudiera parecer que la aplicación de la metodología RSM fracasa al no proporcionar una solución admisible, sin embargo nosotros no creemos eso. Si comparamos la combinación (20,1) con la combinación (19,3), vemos que hay poca diferencia entre ellas, por lo que consideramos que la aplicación de esta metodología en la heurística es beneficiosa, porque proporciona un método aceptable y complementario a la búsqueda que se hace en los dos primeros pasos de la heurística. A continuación se realiza la búsqueda exhaustiva en prácticamente todo el espacio de soluciones en busca de la combinación óptima con el fin de compararla con la solución que se ha hallado con la aplicación de la heurística propuesta y descubrir que grado de fidelidad ofrece esta última.

- 321 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

98,242

97,860

97,145

96,527

95,024

93,236

91,092

88,080

83,461

81,117

73,771

64,086

58,455

42,098

27,913

0

98,880

98,360

98,198

97,370

96,696

96,114

94,805

93,012

90,925

87,487

83,720

80,274

73,624

63,904

58,454

1

98,862

98,803

98,328

97,598

97,368

96,739

96,088

94,555

92,787

90,866

87,555

83,721

80,490

73,803

67,697

2

98,889

98,642

98,611

97,881

97,778

97,292

96,720

95,959

94,170

92,793

90,618

87,743

82,973

80,758

73,361

3

98,760

98,706

98,148

97,828

97,647

97,422

96,712

96,370

94,079

92,899

90,752

87,643

82,754

80,017

4

98,484

98,355

98,262

97,899

97,832

97,186

97,061

96,172

94,794

92,970

90,568

87,518

82,894

5

98,290

98,345

98,297

97,890

97,672

97,122

96,552

95,971

94,298

92,681

90,829

87,789

6

98,293

98,264

98,232

97,937

97,738

97,327

96,660

96,192

94,365

92,334

90,517

7

98,378

98,386

98,051

97,691

97,543

97,135

96,349

96,220

94,438

92,494

8

98,307

98,051

98,160

97,680

97,700

97,223

96,583

96,056

94,382

9

98,276

98,153

98,188

98,300

97,784

97,466

97,195

96,757

95,928

10

98,335

98,107

98,271

98,313

97,697

97,570

97,202

96,388

11

98,329

98,341

98,020

98166

98,124

97,603

97,606

97,256

12

98,151

98,236

98,287

98,103

97,634

97,511

13

98,196

98,331

98,241

97,524

14

E

Nivel de Servicio M

edio

Tabla 7.29. Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Nivel de servicio medio.

- 322 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

97,702<>98,782

97,247<>98,473

96,812<>97,479

95,872<>97,181

94,557<>95,490

92,420<>94,052

90,385<>91,789

86,967<>89,193

82,137<>84,786

79,329<>82,904

72,456<>75,086

62,222<>65,950

57,398<>59,511

40,618<>43,578

25, 919<>29,907

0

98,531<>99,228

97,821<>98,898

97,655<>98,741

96,836<>97,905

96,182<>97,210

95,454<>96,774

94,159<>95,451

92,204<>93,820

90,126<>91,725

86,353<>88,621

82,323<>85,117

78,484<>82,064

72,548<>74,699

61,592<>66,217

57,144<>59,764

1

98,536<>99,187

98,532<>99,074

97,867<>98,789

97,001<>98,196

96,793<>97,943

96,213<>97,266

95,372<>96,805

94,021<>95,089

91,998<>93,577

90,077<>91,656

86,501<>88,609

82,582<>84,860

78,702<>82,277

72,574<>75,032

67,700<>70,694

2

98,565<>99,213

98,366<>98,919

98,358<>98,864

97,502<>98,260

97,262<>98,294

96,717<>97,867

96,208<>97,232

95,249<>96,669

93,953<>94,887

92,009<>93,578

89,775<>91,462

86,795<>88,691

81,523<>84,423

79,025<>82,491

71,992<>74,731

3

98,433<>99,086

98,436<>98,977

97,861<>98,436

97,377<>98,278

97,115<>98,178

96,957<>97,887

96,234<>97,190

95,694<>97,046

93,508<>94,649

92,068<>93,730

89,967<>91,538

86,724<>88,563

81,347<>84,162

78,692<>81,343

4

98,155<>98,812

98,082<>98,628

97,975<>98,548

97,553<>98,245

97,378<>98,287

96,645<>97,627

96,661<>97,461

95,533<>96,810

94,242<>95,345

92,174<>93,765

89,852<>91,283

86,547<>88,488

81,616<>84,351

5

98,055<>98,525

98,119<>98,572

98,012<>98,582

97,562<>98,218

97,242<>98,102

96,646<>97,599

96,095<>97,009

95,357<>96,584

93,662<>94,934

91,786<>93,576

90,076<>91,583

86,634<>88,944

6

E

IC (99%

) para el Nivel de Servicio

- 323 -

98,041<>98,545

98,024<>98,503

97,874<>98,591

97,608<>98,266

97,259<>98,216

96,827<>97,827

96,158<>97,135

95,576<>96,808

93,789<>94,941

91,467<>93,200

89,732<>91,301

7

98,087<>98,669

98,201<>98,572

97,951<>98,352

97,267<>98,116

97,080<>98,006

96,574<>97,695

95,855<>96,842

95,584<>96,856

93,750<>95,126

91,679<>93,310

8

98,011<>98,603

97,847<>98,255

97,953<>98,366

97,224<>98,137

97,205<>98,195

96,65/8<>97,787

96,144<>97,021

95,483<>96,629

93,800<>94,964

9

97,916<>98,636

97,816<>98,490

97,918<>98,459

98,089<>98,510

97,388<>98,179

96,851<>98,082

96,620<>97,770

96,339<>97,175

95,237<>96,619

10

98,094<>98,575

97,828<>98,386

98,050<>98,492

98,044<>98,582

97,206<>98,189

97,102<>98,038

96,564<>97,841

95,718<>97,057

11

98,063<>98,595

98,145<>98,537

97,644<>98,397

97,893<>98,439

97,824<>98,425

97,205<>98,002

97,112<>98,099

96,608<>97,904

12

97,875<>98,428

97,940<>98,531

98,050<>98,524

97,750<>98,456

97,133<>98,135

96,940<>98,083

13

97,906<>98,432

98,060<>98,602

98,002<>98,480

97,077<>97,971

14

Tabla 7.30. Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Intervalos de confianza del nivel

de servicio.

- 324 -

K(0)

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

23,003

22,004

21,004

20,006

19,007

18,009

17,013

16,051

15,021

14,026

13,030

12,040

11,050

10,053

9,066

0

23,317

22,280

21,401

20,699

19,781

18,889

17,957

16,973

15,987

15,010

14,018

13,023

12,035

11,048

10,050

1

23,698

22,541

21,842

21,381

20,568

19,798

18,882

17,922

16,961

15,991

15,004

14,012

13,020

12,033

11,440

2

24,029

22,954

22,273

21,903

21,257

20,598

19,807

18,875

17,914

16,978

15,986

15,001

14,012

13,021

12,031

3

23,153

22,402

22,528

21,388

21,332

20,691

19,830

18,879

17,950

16,971

15,982

15,004

14,015

13,019

4

22,828

22,930

22,266

22,130

21,565

20,658

20,364

18,917

17,942

16,972

15,992

15,003

14,012

5

23,294

22,879

22,673

22,296

21,507

20,731

19,907

18,934

17,957

16,979

15,988

15,003

6

23,872

23,565

22,966

22,387

21,641

20,802

19,861

18,948

17,951

16,985

15,993

7

24,561

23,710

23,135

22,487

21,729

20,763

19,876

18,952

17,968

16,978

8

24,803

23,984

23,250

22,586

21,674

20,844

19,917

18,936

17,975

9

25,575

24,728

24,113

23,481

22,612

21,770

20,889

19,931

18,969

10

25,554

24,911

24,376

23,565

22,640

21,808

20,885

19,951

11

26,380

25,603

25,126

24,320

23,673

22,710

21,875

20,932

12

25,933

25,460

24,556

23,629

22,780

21,854

13

25,379

24,652

23,709

22,817

14

E

WIP m

edio

Tabla 7.31.Búsqueda exhaustiva para el experimento de confirmación. Inventario en proceso.

- 325 -

En color azul se han remarcado las soluciones admisibles con menor inventario en proceso que se han encontrado. Como se puede observar, la combinación de parámetros admisible que ofrece un menor inventario en proceso en la (19, 3) que es la misma que se ha encontrado al aplicar la heurística. La heurística propuesta aplicada tanto al experimento llevado a cabo en la sección 5.4 como el realizado en este capítulo ha ofrecido la solución óptima en ambos casos, por lo que parece ser que es un método fácil, rápido y fiable de encontrar la combinación de los parámetros K (0) y E de un sistema de la producción PS, que hacen que este funcione muy cercano a un nivel de servicio del 98%, con el menor inventario en proceso.

- 326 -

CAPÍTULO 8:

CONCLUSIONES

- 327 -

El objeto del presente proyecto es la propuesta de un método para la optimización de un sistema de control de la producción del tipo Conwip adaptativo. Para el desarrollo de este proyecto ha sido necesario superar diferentes fases que, a modo de resumen, se muestran a continuación. FASES Fase 1: Estudio del sistema Conwip adaptativo Para comprender mejor las características y el funcionamiento de los sistemas de la producción basados en tarjetas, se hace en el capítulo 2 una introducción y un posterior estudio de estos, haciendo un repaso de la literatura existente al respecto. Este capítulo comienza con una introducción a los sistemas basados en tarjetas, explicando las diferencias entre los sistemas push y pull y porqué estos últimos son superiores a los primeros. También se hace un repaso a la filosofía Just In Time (Justo a Tiempo). A continuación se describe el sistema Conwip, su funcionamiento en entornos contra stock y contra pedido, y se enumeran sus ventajas e inconvenientes. La parte final de este capítulo se dedica a estudiar los distintos sistemas que ajustan el número de tarjetas de forma dinámica. Se presta especial atención al modelo propuesto por Tardif y Maaseidvaag, ya que es en el que se basa el modelo PS propuesto por Framiñan et al, que es el objeto de estudio de este proyecto. Estos autores desarrollaron un procedimiento para controlar de forma dinámica el número de tarjetas en sistemas de control de la producción basados en tarjetas, operando tanto en entornos contra stock como contra pedido. El método se basa en el compromiso entre el inventario de productos terminados FGI y la demanda acumulada en un cierto instante, siendo el objetivo conseguir un nivel de servicio (o tasa de salida) predeterminado minimizando a su vez el WIP y los costes asociados a la demanda acumulada. Este sistema utiliza como datos de entrada do parámetros, el K (0) y E, que corresponden con un número fijo de tarjetas que van a operar a lo largo de la línea de producción y con un número de tarjetas extras, respectivamente. Sin embargo, en los estudios del sistema propuesto PS no se ofreció ningún método para la optimización de los parámetros K (0) y E, por lo que el objeto del presente proyecto es estudiar en profundidad la determinación e importancia de los parámetros K (0) y E, para posteriormente proponer un método o heurística que permita hallar la combinación de estos parámetros que hagan funcionar al sistema en el nivel de servicio predeterminado con el menor inventario en proceso. Fase 2: Estudio de las técnicas RSM de optimización En el presente proyecto se han empleado las técnicas del diseño y análisis de experimentos para conocer la importancia de los parámetros y la metodología de la superficie de repuesta, RSM, para la optimización del mismo. Estas herramientas estadísticas se describen en profundidad en el capítulo 4, donde se han introducido todos

- 328 -

los conceptos necesarios con la realización de dos ejemplos con el fin de arrojar claridad a la exposición. Fase 3: Aplicación de las técnicas RSM al sistema objeto de estudio Una vez descritas las herramientas matemáticas necesarias se ha procedido a la experimentación comenzando esta con la realización un experimento de caracterización en el fin de conocer el grado de significación de los parámetros K (0) y E, en la respuesta del sistema, que en nuestro caso son el nivel de servicio y el inventario en proceso. Observando los resultados obtenidos se llega a la conclusión de que los parámetros K (0) y E, así como su interacción son significativos en la respuesta. El nivel de servicio aumenta al hacerlo los parámetros K (0) y E, y lo hace más conforme aumenta el número K (0). La interpretación de la interacción es algo más compleja, pero todo parece indicar que el nivel de servicio aumenta más al hacerlo el parámetro K (0) con valores pequeños del número de tarjetas extra E. La experimentación prosigue con la realización de los experimentos encaminados a la optimización del sistema. El primero de esta fase de la experimentación se realiza para un nivel de servicio predeterminado del 100%, con el objeto de estudiar inicialmente el comportamiento del sistema así como la importancia relativa de los parámetros de funcionamiento del mismo. Sin embargo este nivel de servicio parece elevado para los datos de la línea y datos de la demanda, por lo que se repite el proceso para un nivel de servicio objetivo del 98%. Tras aplicar los métodos del análisis canónico y de la máxima pendiente para avanzar por la superficie de respuesta en busca de un punto cercano a los criterios de búsqueda, se llega a una combinación admisible desde el punto de vista del nivel de servicio medio. Esto esta bien como primera aproximación, pero no nos podemos quedar aquí ya que hasta ahora no se han tenido en cuenta los intervalos de confianza para el nivel de servicio. Consideramos que una solución es admisible cuando el valor de nivel de servicio objetivo del 98% esta incluido en el intervalo de confianza del nivel de servicio. Debido a que ya no se puede explorar la superficie de respuesta por lo métodos anteriormente nombrados y a que la búsqueda de la combinación óptima implica el compromiso del nivel de servicio y del inventario en proceso, se decide aplicar el método gráfico de optimización de la superposición de las gráficas de contorno. Para ello se ajusta, en una región de experimentación alrededor del punto hallado anteriormente, un modelo para el nivel de servicio y otro para el inventario en proceso. Tras estudiar la información de las gráficas de contorno, la forma de las superficies de respuesta y las soluciones candidatas se aprecia que las soluciones admisibles guardan una relación lineal. Si las representamos en las graficas de contornos se aprecia como están alineadas, lo que hace pensar que a lo largo d esta trayectoria podremos encontrar la solución buscada. Se analizan todas las combinaciones que pertenecen a esta trayectoria y se descubre que son admisibles, y que además, son las que menor inventario en proceso tienen. Entre todas ellas escogemos la que menor WIP presenta. A

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esta trayectoria la denominamos “trayectoria de las soluciones admisibles” y a lo largo de ella se cumple que la suma de los parámetros K (0) y E se mantiene constante. Para averiguar si la solución encontrada es la óptima o esta cerca de esta, se plantea una búsqueda exhaustiva, dando como resultado que la combinación hallada es la mejor de todas. Este resultado no era el esperado, pero abre la puerta a plantear un método de búsqueda más sencillo y rápido de lo que esperábamos. Fase 4: Aplicación de la función desirability Antes de ello se considera oportuno estudiar el método de optimización multirespuesta de la función desirability, como alternativa de optimización al planteamiento inicial de superposición de las gráficas de contornos. Presenta además por una parte la ventaja de ser analítico y poder implementarse en un ordenador, y por otra que el experimentador puede influir en el proceso de optimización mediante el valor que le de a los distintos pesos de las funciones desirability que en él se emplean. Tras su estudio y aplicación al sistema objeto de este proyecto, se llega a la conclusión de que su uso no aporta grandes ventajas desde el punto de vista computacional, sin embargo sí que puede ser de gran utilidad su empleo en el estudio de la superficie de respuesta en una zona de interés en la que estemos interesados conocer el comportamiento de varias respuestas a la vez. Como propuesta de optimización se plantea el uso de una heurística que utiliza por un lado el seguimiento de la “trayectoria de las soluciones admisibles” y por otro lado la exploración de la vecindad de la mejor solución de esta trayectoria para asegurar su idoneidad, ya que no se tiene la seguridad de haber encontrado la combinación óptima. Los pasos que sigue la heurística son cuatro:

1. Buscar el punto de partida de la “trayectoria de las soluciones admisibles” mediante el estudio del sistema como si este fuese un Conwip tradicional.

2. Estudiar las combinaciones que forman parte de la “trayectoria de las soluciones

admisibles” y escoger aquella con menor WIP.

3. Estudiar la vecindad de la solución hallada aplicando la metodología RSM para ajustar sendos modelos para el nivel de servicio y el inventario en proceso.

4. Aplicar el método de la función desirability para encontrar soluciones

candidatas, escogiendo la mejor entre estas y la hallada anteriormente. Esta heurística se aplica al sistema y se llega a la misma solución encontrada anteriormente. El resultado es prometedor, pero es necesario validar el comportamiento de la heurística propuesta aplicándola a un sistema PS distinto del utilizado hasta este momento. El nuevo sistema va a estar formado por cinco máquinas con distintos tiempos de procesado (sistema desequilibrado). También va ser diferente el tiempo de llegada de la

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demanda. Tras aplicar la heurística al nuevo sistema se comprueba la calidad de la solución proporcionada por esta realizando una búsqueda exhaustiva en el espacio de soluciones. El resultado de este experimento de confirmación es que la heurística propuesta vuelve a dar como resultado la combinación óptima. RESUMEN CONCLUSIONES Cómo conclusión de todo lo expuesto se puede decir que se ha hallado un método sencillo y lo suficientemente eficaz de encontrar la combinación de parámetros que hacen que un sistema PS funcione muy próximo al nivel de servicio predeterminado con un inventario en proceso bajo. Sin embargo hay que tener en cuenta que no tenemos factores objetivos para afirmar que la heurística propuesta proporciona el óptimo en todas las situaciones posibles en las que un sistema PS pueda operar, aunque el los dos entornos en la que la hemos utilizado haya alcanzado la solución óptima. Pensamos que en el caso de no alcanzarla, la solución que se encuentre será próxima a ella, y seguramente el sistema opere ofreciendo buenos resultados. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN Parece interesante que futuras investigaciones prueben su validez en otros escenarios como pueden ser:

• Sistemas operando en un entorno contra pedido.

• Líneas de producción con un mayor número de estaciones.

• Líneas en donde se tengan en cuenta averías de las máquinas.

• Líneas con reprocesado de piezas defectuosas.

• Líneas con piezas de desecho que haya que eliminar del sistema (Scrap).

• Sistemas multiproducto.

• Sistemas en donde no hay infinita disponibilidad de producto.

• Sistemas cuyas máquinas puedan procesar más de un producto a la vez.

• Sistemas con otro tipo de distribuciones estadísticas distintas a la exponencial para los tiempos de proceso de las máquinas y tasa de llegada de clientes.

• Sistemas en los que el tiempo de llegada de los clientes se modele con

una distribución distinta de la exponencial.

• Sistemas en los que la demanda espere a ser satisfecha.

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• Sistemas con otros grados de desequilibrio, diferentes al usado en el

experimento de confirmación.

• Sistemas en los que los almacenes intermedios tengan capacidad finita.

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ANEXO:

RESULTADOS OBTENIDOS EN EL PROCESO DE DETERMINACION DE LOS

PARÁMETROS DE SIMULACIÓN

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En este anexo se presentan los valores obtenidos en las diferentes simulaciones y réplicas de los cinco experimentos aleatorios utilizados en la determinación de los parámetros de simulación:

• Tiempo efectivo de simulación • Warm-up o periodo de calentamiento • Número de réplicas

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1-CÁCULO DEL TIEMPO EFECTIVO DE SIMULACIÓN (T-W) En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el warm-up, con un valor de 30.000 unidades de tiempo y el número de réplicas con 50. El valor inicial del tiempo efectivo de simulación es de 70.000 unidades de tiempo, decreciendo de 5.000 unidades en 5.000 unidades, hasta un valor final de 5.000.

Experimento 1 WIP Nivel de servicio

T-W Media IC(99) Media IC(99) 5000 18,329 0,349 29,821 4,829 10000 18,498 0,236 27,728 3,490 15000 18,436 0,205 28,159 3,069 20000 18,487 0,167 27,562 2,531 25000 18,499 0,146 27,858 2,185 30000 18,473 0,125 28,363 1,887 35000 18,481 0,110 28,418 1,637 40000 18,509 0,108 28,001 1,581 45000 18,482 0,104 28,279 1,504 50000 18,487 0,103 28,351 1,481 55000 18,484 0,096 28,387 1,369 60000 18,496 0,091 28,195 1,311 65000 18,511 0,091 27,905 1,316 70000 18,515 0,083 27,893 1,166

Experimento 2 WIP Nivel de servicio

T-W Media IC(99) Media IC(99) 5000 22,443 0,403 44,103 5,415 10000 22,550 0,311 42,662 4,235 15000 22,598 0,247 42,443 3,469 20000 22,606 0,202 42,264 2,773 25000 22,583 0,183 42,992 2,514 30000 22,578 0,177 42,818 2,476 35000 22,581 0,160 42,733 2,073 40000 22,601 0,148 42,473 1,822 45000 22,615 0,139 42,063 1,720 50000 22,603 0,115 42,067 1,384 55000 22,614 0,114 41,980 1,385 60000 22,615 0,115 42,105 1,331 65000 22,603 0,108 42,198 1,234 70000 22,622 0,099 41,960 1,207

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Experimento 3

WIP Nivel de servicio T-W Media IC(99) Media IC(99) 5000 20,574 0,453 36,125 5,829 10000 20,385 0,313 38,786 4,123 15000 30,345 0,283 39,183 3,708 20000 20,418 0,254 38,473 3,337 25000 20,442 0,228 38,211 2,964 30000 20,398 0,207 39,028 2,648 35000 20,409 0,190 38,802 2,400 40000 20,405 0,177 38,927 2,236 45000 20,417 0,159 38,693 2,048 50000 20,411 0,147 38,864 1,913 55000 20,419 0,133 38,777 1,706 60000 20,410 0,127 38,910 1,659 65000 20,408 0,119 38,997 1,568 70000 20,402 0,117 39,093 1,508

Experimento 4 WIP Nivel de servicio

T-W Media IC(99) Media IC(99) 5000 19,674 0,365 34,628 4,661 10000 19,688 0,257 33,468 3,647 15000 19,890 0,207 31,660 2,973 20000 19,862 0,178 31,593 2,519 25000 19,862 0,171 31,550 2,329 30000 19,897 0,155 31,294 2,067 35000 19,877 0,140 31,630 1,894 40000 19,881 0,134 31,492 1,832 45000 19,886 0,123 31,382 1,735 50000 19,880 0,120 31,399 1,731 55000 19,862 0,109 31,642 1,536 60000 19,856 0,100 31,812 1,432 65000 19,877 0,096 31,497 1,321 70000 19,885 0,089 31,373 1,249

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Experimento 5

WIP Nivel de servicio T-W Media IC(99) Media IC(99) 5000 19,864 0,412 39,425 6,144 10000 19,850 0,323 39,483 5,045 15000 19,860 0,283 39,795 4,192 20000 19,886 0,253 39,904 3,806 25000 19,910 0,218 39,672 3,365 30000 19,961 0,184 39,270 2,807 35000 19,971 0,167 38,761 2,490 40000 19,979 0,158 38,437 2,255 45000 20,000 0,146 38,249 1,950 50000 20,010 0,142 38,026 1,944 55000 20,022 0,136 37,854 1,911 60000 20,038 0,138 37,633 1,951 65000 20,030 0,129 37,833 1,831 70000 20,033 0,121 37,759 1,728

WIP Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5

T-W IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) 5000 0,349 0,403 0,453 0,365 0,412 10000 0,236 0,311 0,313 0,257 0,323 15000 0,205 0,247 0,283 0,207 0,283 20000 0,167 0,202 0,254 0,178 0,253 25000 0,146 0,183 0,228 0,171 0,218 30000 0,125 0,177 0,207 0,155 0,184 35000 0,110 0,160 0,190 0,140 0,167 40000 0,108 0,148 0,177 0,134 0,158 45000 0,104 0,139 0,159 0,123 0,146 50000 0,103 0,115 0,147 0,120 0,142 55000 0,096 0,114 0,133 0,109 0,136 60000 0,091 0,115 0,127 0,100 0,138 65000 0,091 0,108 0,119 0,096 0,129 70000 0,083 0,099 0,117 0,089 0,121

- 342 -

Nivel de Servicio

Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5 T-W IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) 5000 4,829 5,415 5,829 4,661 6,144 10000 3,490 4,235 4,123 3,647 5,045 15000 3,069 3,469 3,708 2,973 4,192 20000 2,531 2,773 3,337 2,519 3,806 25000 2,185 2,514 2,964 2,329 3,365 30000 1,887 2,476 2,648 2,067 2,807 35000 1,637 2,073 2,400 1,894 2,490 40000 1,581 1,822 2,236 1,832 2,255 45000 1,504 1,720 2,048 1,735 1,950 50000 1,481 1,384 1,913 1,731 1,944 55000 1,369 1,385 1,706 1,536 1,911 60000 1,311 1,331 1,659 1,432 1,951 65000 1,316 1,234 1,568 1,321 1,831 70000 1,166 1,207 1,508 1,249 1,728

- 343 -

2- CÁCULO DEL WARM-UP O PERIODO DE CALENTAMIENTO (W):

En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el tiempo efectivo de simulación, con un valor de 35.000 unidades de tiempo y el número de réplicas con 50. El valor inicial del warm-up es de 30.000 unidades de tiempo, decreciendo de 1.000 unidades en 1.000 unidades, hasta un valor final de 1.000.

Experimento 1 WIP Nivel de servicio

W Media IC(99) Media IC(99) 1000 18,540 0,115 27,349 1,770 2000 18,546 0,114 27,286 1,792 3000 18,543 0,120 27,257 1,861 4000 18,558 0,118 27,049 1,847 5000 18,558 0,119 17,056 1,863 6000 18,557 0,122 27,113 1,882 7000 18,543 0,126 27,257 1,997 8000 18,534 0,129 27,151 2,053 9000 18,539 0,133 26,993 2,085 10000 18,535 0,129 27,000 2,036 11000 18,527 0,127 27,138 2,024 12000 18,530 0,133 27,113 2,074 13000 18,539 0,131 27,024 2,065 14000 18,541 0,130 27,067 2,034 15000 18,540 0,130 27,009 2,043 16000 18,537 0,129 27,154 2,047 17000 18,537 0,128 27,227 2,016 18000 18,530 0,124 27,397 1,926 19000 18,528 0,121 27,474 1,901 20000 18,515 0,116 27,749 1,881 21000 18,511 0,118 27,737 1,918 22000 18,505 0,117 27,826 1,863 23000 18,481 0,120 28,207 1,850 24000 18,471 0,115 28,420 1,792 25000 18,474 0,115 28,498 1,817 26000 18,464 0,123 28,592 1,811 27000 18,478 0,120 28,555 1,793 28000 18,488 0,119 28,491 1,720 29000 18,484 0,114 28,460 1,686 30000 18,481 0,110 28,418 1,627

- 344 -

Experimento 2

WIP Nivel de servicio W Media IC(99) Media IC(99)

1000 22,691 0,179 41,955 2,474 2000 22,689 0,177 41,833 2,472 3000 22,683 0,170 41,803 2,413 4000 22,687 0,168 41,822 2,367 5000 22,680 0,165 41,909 2,342 6000 22,670 0,172 42,088 2,483 7000 22,654 0,176 42,092 2,484 8000 22,685 0,173 41,723 2,464 9000 22,691 0,178 41,647 2,495 10000 22,708 0,179 41,508 2,457 11000 22,699 0,182 41,525 2,471 12000 22,714 0,177 41,580 2,358 13000 22,676 0,169 41,913 2,281 14000 22,675 0,169 41,767 2,232 15000 22,679 0,160 41,677 2,135 16000 22,677 0,156 41,855 2,134 17000 22,682 0,158 41,897 2,182 18000 22,671 0,157 42,067 2,158 19000 22,664 0,156 42,158 2,118 20000 22,654 0,155 42,282 2,075 21000 22,660 0,155 42,097 2,072 22000 22,659 0,158 42,104 2,162 23000 22,646 0,156 42,234 2,153 24000 22,632 0,161 42,363 2,166 25000 22,630 0,170 42,444 2,237 26000 22,621 0,174 42,636 2,246 27000 22,596 0,177 42,820 2,301 28000 22,582 0,176 42,823 2,284 29000 22,590 0,168 42,727 2,202 30000 22,581 0,160 42,733 2,073

- 345 -

Experimento 3

WIP Nivel de servicio W Media IC(99) Media IC(99)

1000 20,585 0,175 36,646 2,283 2000 20,568 0,185 36,828 2,363 3000 20,576 0,192 36,736 2,419 4000 20,575 0,191 36,805 2,421 5000 20,537 0,188 37,282 2,413 6000 20,519 0,198 27,485 2,491 7000 20,501 0,195 37,565 2,486 8000 20,513 0,198 37,456 2,533 9000 20,477 0,200 37,862 2,593 10000 20,475 0,190 37,927 2,509 11000 20,476 0,188 37,987 2,531 12000 20,468 0,184 38,077 2,472 13000 20,483 0,178 37,953 2,396 14000 20,483 0,179 37,956 2,415 15000 20,477 0,187 38,029 2,525 16000 20,461 0,189 38,143 2,563 17000 20,456 0,182 38,194 2,500 18000 20,439 0,180 38,351 2,443 19000 20,439 0,181 38,315 2,414 20000 20,439 0,178 38,330 2,341 21000 20,420 0,173 38,518 2,272 22000 20,425 0,168 38,570 2,242 23000 20,408 0,176 38,923 2,273 24000 20,401 0,178 39,065 2,253 25000 20,392 0,179 39,173 2,231 26000 20,400 0,185 39,113 2,329 27000 20,408 0,190 39,065 2,378 28000 20,402 0,193 39,007 2,431 29000 20,395 0,196 38,914 2,462 30000 20,409 0,190 28,802 2,400

- 346 -

Experimento 4

WIP Nivel de servicio W Media IC(99) Media IC(99)

1000 19,765 0,134 32,162 1,720 2000 19,765 0,133 32,236 1,737 3000 19,787 0,133 31,956 1,737 4000 19,798 0,133 31,788 1,723 5000 19,819 0,140 31,624 1,777 6000 19,814 0,146 31,763 1,876 7000 19,830 0,153 31,625 1,939 8000 19,831 0,150 31,703 1,933 9000 19,846 0,151 31,612 1,980 10000 19,854 0,149 31,545 1,978 11000 19,855 0,149 31,510 1,951 12000 19,836 0,148 31,709 1,948 13000 19,842 0,147 31,643 1,923 14000 19,842 0,142 31,643 1,919 15000 19,853 0,142 31,524 1,957 16000 19,851 0,140 31,419 1,871 17000 19,855 0,151 31,359 1,927 18000 19,849 0,152 31,467 1,847 19000 19,839 0,145 31,601 1,857 20000 19,840 0,144 31,572 1,878 21000 19,840 0,138 31,567 1,829 22000 19,853 0,143 31,559 1,901 23000 19,853 0,144 31,590 1,921 24000 19,864 0,142 31,383 1,908 25000 19,884 0,138 31,368 1,821 26000 19,899 0,142 31,283 1,872 27000 19,889 0,139 31,323 1,864 28000 19,892 0,139 31,333 1,850 29000 19,877 0,142 31,633 1,922 30000 19,877 0,140 31,630 1,894

- 347 -

Experimento 5

WIP Nivel de servicio W Media IC(99) Media IC(99)

1000 20,132 0,152 35,784 2,576 2000 20,132 0,157 35,697 2,641 3000 20,124 0,162 35,781 2,675 4000 20,109 0,165 35,987 2,700 5000 20,097 0,161 36,318 2,592 6000 20,074 0,159 36,652 2,578 7000 20,063 0,162 36,821 2,576 8000 20,056 0,163 36,988 2,491 9000 20,040 0,161 37,095 2,434 10000 20,047 0,162 37,031 2,471 11000 20,039 0,166 37,248 2,568 12000 20,036 0,170 37,442 2,652 13000 20,032 0,174 37,618 2,660 14000 20,019 0,177 37,722 2,661 15000 20,031 0,183 37,595 2,709 16000 20,015 0,188 37,765 2,841 17000 20,025 0,188 37,606 2,920 18000 20,041 0,184 37,494 2,912 19000 20,032 0,182 37,770 2,900 20000 20,015 0,186 37,983 2,888 21000 20,013 0,180 38,082 2,782 22000 20,007 0,180 38,109 2,737 23000 20,012 0,174 38,087 2,714 24000 20,027 0,176 38,018 2,726 25000 20,033 0,177 38,205 2,677 26000 20,005 0,173 38,446 2,556 27000 19,992 0,172 38,548 2,566 28000 19,980 0,172 38,761 2,580 29000 19,958 0,172 39,001 2,545 30000 19,971 0,167 38,761 2,490

- 348 -

WIP

Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5 W IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99)

1000 0,115 0,179 0,175 0,134 0,152 2000 0,114 0,177 0,185 0,133 0,157 3000 0,120 0,170 0,192 0,133 0,162 4000 0,118 0,168 0,191 0,133 0,165 5000 0,119 0,165 0,188 0,140 0,161 6000 0,122 0,172 0,198 0,146 0,159 7000 0,126 0,176 0,195 0,153 0,162 8000 0,129 0,173 0,198 0,150 0,163 9000 0,133 0,178 0,200 0,151 0,161 10000 0,129 0,179 0,190 0,149 0,162 11000 0,127 0,182 0,188 0,149 0,166 12000 0,133 0,177 0,184 0,148 0,170 13000 0,131 0,169 0,178 0,147 0,174 14000 0,130 0,169 0,179 0,142 0,177 15000 0,130 0,160 0,187 0,142 0,183 16000 0,129 0,156 0,189 0,140 0,188 17000 0,128 0,158 0,182 0,151 0,188 18000 0,124 0,157 0,180 0,152 0,184 19000 0,121 0,156 0,181 0,145 0,182 20000 0,116 0,155 0,178 0,144 0,186 21000 0,118 0,155 0,173 0,138 0,180 22000 0,117 0,158 0,168 0,143 0,180 23000 0,120 0,156 0,176 0,144 0,174 24000 0,115 0,161 0,178 0,142 0,176 25000 0,115 0,170 0,179 0,138 0,177 26000 0,123 0,174 0,185 0,142 0,173 27000 0,120 0,177 0,190 0,139 0,172 28000 0,119 0,176 0,193 0,139 0,172 29000 0,114 0,168 0,196 0,142 0,172 30000 0,110 0,160 0,190 0,140 0,167

- 349 -

Nivel de Servicio

Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5 W IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99)

1000 1,770 2,474 2,283 1,720 2,576 2000 1,792 2,472 2,363 1,737 2,641 3000 1,861 2,413 2,419 1,737 2,675 4000 1,847 2,367 2,421 1,723 2,700 5000 1,863 2,342 2,413 1,777 2,592 6000 1,882 2,483 2,491 1,876 2,578 7000 1,997 2,484 2,486 1,939 2,576 8000 2,053 2,464 2,533 1,933 2,491 9000 2,085 2,495 2,593 1,980 2,434 10000 2,036 2,457 2,509 1,978 2,471 11000 2,024 2,471 2,531 1,951 2,568 12000 2,074 2,358 2,472 1,948 2,652 13000 2,065 2,281 2,396 1,923 2,660 14000 2,034 2,232 2,415 1,919 2,661 15000 2,043 2,135 2,525 1,957 2,709 16000 2,047 2,134 2,563 1,871 2,841 17000 2,016 2,182 2,500 1,927 2,920 18000 1,926 2,158 2,443 1,847 2,912 19000 1,901 2,118 2,414 1,857 2,900 20000 1,881 2,075 2,341 1,878 2,888 21000 1,918 2,072 2,272 1,829 2,782 22000 1,863 2,162 2,242 1,901 2,737 23000 1,850 2,153 2,273 1,921 2,714 24000 1,792 2,166 2,253 1,908 2,726 25000 1,817 2,237 2,231 1,821 2,677 26000 1,811 2,246 2,329 1,872 2,556 27000 1,793 2,301 2,378 1,864 2,566 28000 1,720 2,284 2,431 1,850 2,580 29000 1,686 2,202 2,462 1,922 2,545 30000 1,627 2,073 2,400 1,894 2,490

- 350 -

3- CÁCULO DEL NÚMERO DE RÉPLICAS (n): En todos las simulaciones y réplicas se van a mantener constantes el tiempo efectivo de simulación, con un valor de 35.000 unidades de tiempo y el warm-up con 18.000 unidades de tiempo.

Experimento 1 WIP Nivel de servicio n Media IC(99) Media IC(99) 5 18,538 0,377 28,295 6,805 10 18,567 0,232 27,507 3,899 15 18,635 0,179 26,148 3,160 20 18,607 0,154 26,432 2,691 25 18,590 0,137 26,846 2,426 30 18,555 0,145 27,227 2,330 35 18,553 0,149 27,042 2,316 40 18,554 0,143 27,083 2,220 45 18,538 0,135 27,350 2,055 50 18,530 0,124 27,397 1,926

Experimento 2 WIP Nivel de servicio n Media IC(99) Media IC(99) 5 22,779 0,339 22,664 4,327 10 22,847 0,238 20,587 4,418 15 22,807 0,178 20,434 3,237 20 22,766 0,153 20,408 2,643 25 22,669 0,197 20,396 2,802 30 22,664 0,185 20,409 2,566 35 22,660 0,183 20,383 2,504 40 22,649 0,168 20,423 2,310 45 22,646 0,160 20,417 2,154 50 22,671 0,157 20,439 2,158

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Experimento 3 WIP Nivel de servicio n Media IC(99) Media IC(99) 5 22,664 0,475 19,790 6,294 10 20,587 0,386 19,790 5,256 15 20,434 0,329 19,803 4,700 20 20,408 0,291 19,836 4,083 25 20,396 0,255 19,762 3,508 30 20,409 0,227 19,829 3,115 35 20,383 0,203 19,850 2,735 40 20,423 0,191 19,872 2,581 45 20,417 0,175 19,839 2,332 50 20,439 0,173 19,849 2,331

Experimento 4 WIP Nivel de servicio n Media IC(99) Media IC(99) 5 19,790 0,278 33,449 4,094 10 19,790 0,164 32,871 2,375 15 19,803 0,161 32,329 2,411 20 19,836 0,212 31,824 2,740 25 19,762 0,214 32,542 2,590 30 19,829 0,210 31,699 2,524 35 19,850 0,190 31,323 2,286 40 19,872 0,175 31,103 2,142 45 19,839 0,162 31,583 2,024 50 19,849 0,152 31,467 1,947

Experimento 5 WIP Nivel de servicio n Media IC(99) Media IC(99) 5 20,166 0,288 35,877 6,789 10 20,249 0,321 34,466 5,451 15 20,158 0,318 35,422 5,028 20 20,153 0,249 35,346 4,055 25 20,071 0,259 36,459 3,887 30 20,134 0,236 35,876 3,417 35 20,077 0,211 37,007 3,238 40 20,037 0,204 37,333 3,112 45 20,055 0,190 37,268 2,873 50 20,031 0,183 37,595 2,709

- 352 -

WIP Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5 n IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) 5 0,377 0,339 0,475 0,278 0,288 10 0,232 0,238 0,386 0,164 0,321 15 0,179 0,178 0,329 0,161 0,318 20 0,154 0,153 0,291 0,212 0,249 25 0,137 0,197 0,255 0,214 0,259 30 0,145 0,185 0,227 0,210 0,236 35 0,149 0,183 0,203 0,190 0,211 40 0,143 0,168 0,191 0,175 0,204 45 0,135 0,160 0,175 0,162 0,190 50 0,124 0,157 0,173 0,152 0,183

Nivel de Servicio Exp.1 Exp.2 Exp.3 Exp.4 Exp.5 n IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) IC(99) 5 6,805 4,327 6,294 4,094 6,789 10 3,899 4,418 5,256 2,375 5,451 15 3,160 3,237 4,700 2,411 5,028 20 2,691 2,643 4,083 2,740 4,055 25 2,426 2,802 3,508 2,590 3,887 30 2,330 2,566 3,115 2,524 3,417 35 2,316 2,504 2,735 2,286 3,238 40 2,220 2,310 2,581 2,142 3,112 45 2,055 2,154 2,332 2,024 2,873 50 1,926 2,158 2,331 1,947 2,709