PIFMA-EMS PROGRAMA INTEGRAL PARA LA CAPACITACIÓN Y...

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PIFMA-EMS

PROGRAMA INTEGRAL PARA LA CAPACITACIÓN Y FORMACIÓN DE

DOCENTES EN MATEMÁTICAS

(CONTENIDOS, DIDÁCTICA Y EVALUACIÓN)

(ACTUALIZACIÓN Y PERFECCIONAMIENTO DEL PROFESORADO DE

MATEMÁTICAS DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR)

(PARA IMPARTIR EN DOS DIPLOMADOS DE 5 MESES / 170 HORAS, C/U)

Coordinador Académico: Dr. Andrés Fraguela Collar (FCFM),

Participantes: Dr. Jacobo Oliveros Oliveros (FCFM), Dr. Juan Alberto

Escamilla Reyna (FCFM), Dra. María Monserrat Morín Castillo (FCE), M.C.

Félix Aquino Camacho (Prof. de Mat. Preparatoria Calderón).

JUSTIFICACIÒN

El hecho de que el desarrollo del pensamiento lógico matemático sea uno de

los ejes principales de la educación básica y media superior hace que la

matemática no sea una asignatura más del programa educativo, sino que su

papel en el contexto de la educación es más relevante, ya que de la forma en que

se aprenda la matemática depende, en gran medida, que se desarrollen las

capacidades de pensamiento lógico y abstracto que son tan necesarias para

poseer una visión científica del mundo que nos rodea y para la construcción

del conocimiento en general.

Para lograr estas competencias y mejorar el nivel de la enseñanza de

matemáticas se requiere:

1. Fortalecer la formación de los maestros en los contenidos y procedimientos

de los programas de asignatura así como en los conocimientos que

complementan su preparación docente para que puedan alcanzar una visión

global debidamente estructurada de los programas que imparten así como del

carácter transversal del conocimiento matemático dentro del programa

educativo en cada nivel de enseñanza. Con ello se logrará fortalecer el llamado

pensamiento lógico matemático lo cual resulta imprescindible como base para

la promoción y adquisición del conocimiento en general.

2. Profundizar en las metodologías didácticas requeridas para impartir el

conocimiento en cada nivel de enseñanza en estrecha relación con los contenidos.

3. Establecer sistematización y orden para el desarrollo de los conocimientos.

4. Distinguir la diferencia entre el rigor necesario y el formalismo extremo con el

cual solamente se construye conocimiento formal. Al no hacer esta distinción se

ha llegado a la errónea exclusión del rigor en la enseñanza de la matemática,

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con lo cual se elimina una componente indispensable de la formación matemática

a cualquier nivel, dado que el objeto de estudio de la matemática es la

abstracción.

5. Es incuestionable que el proceso de construcción del conocimiento en el

estudiante debe comenzar a desarrollarse a partir de la propuesta, por parte del

maestro, de situaciones matemáticas que provoquen el surgimiento de

conceptos y problemas matemáticos, sin que sea expuesta de forma explícita la

intención del maestro. De esta manera se provoca que el estudiante guíe su

razonamiento únicamente por la lógica de la situación propuesta. Es por ello que

en el maestro recae la gran responsabilidad de conducir al estudiante a la

construcción del conocimiento matemático requerido y permearlo de la importante

concepción de que ese conocimiento brinda una herramienta para la solución de

los problemas planteados y de otros similares los cuales pueden tener dificultades

metodológicas aún mayores. Es precisamente en esta última parte en donde se

debe hacer explícito el rigor en la construcción y aplicación del conocimiento

matemático. En el lenguaje de las situaciones didácticas de Guy Brousseau, se

trata de las etapas de fortalecimiento y consolidación del conocimiento que

corresponden a las situaciones de validación e institucionalización que

adquieren un mayor significado a medida que se asciende en el nivel de

enseñanza.

6. Distinguir los límites para que al simplificar los programas y textos mediante la

eliminación de contenidos y aspectos conceptuales, no se trunquen puentes

que se requieren para darle continuidad y coherencia al conocimiento.

7. Motivar la construcción y apropiación de conocimientos a través de ejemplos

así como del planteamiento y solución de problemas prácticos sin descuidar los

aspectos conceptuales de los contenidos, los cuales son la base del

conocimiento matemático. Sin estas dos componentes se llega a una

tergiversación de la metodología didáctica correcta y a una visión practicista de

la enseñanza. Hay que tener en cuenta la necesidad de todas las componentes

del proceso, empezando por la motivación didáctica que conduce a la

construcción del conocimiento por parte del estudiante y continuando con su

consolidación a través del fortalecimiento del mecanicismo así como de la

comprensión de los conceptos y el desarrollo de la habilidad para demostrar

conjeturas y de aplicar los resultados en situaciones afines y diversas.

8.- Disminuir el excesivo énfasis en los aspectos “metodológicos y

pedagógicos” en la formación del maestro poniéndose en primer plano la

formación en los aspectos conceptuales y procedimentales de ya que de lo

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contrario se conduce a resultados deficientes en los procesos de motivación y

aplicación de los conocimientos (saber “cómo” sin saber “qué”).

Casi todos los aspectos mencionados pueden ser logrados favorablemente si se

distingue entre la forma en que el maestro debe adquirir y promover el

conocimiento y si el maestro aprende las matemáticas siguiendo una

metodología ordenada cuya secuencia no debe alterarse esencialmente. Esta

secuencia incluye los siguientes pasos:

a.- Comenzar por los aspectos conceptuales, procedimentales y actitudinales

de los contenidos requeridos en cada nivel de enseñanza, de una manera

estructurada y rigurosa sin caer en formalidades extremas innecesarias, pero

con el rigor necesario porque de lo contrario se pierde la esencia de la

matemática como ciencia. El rigor necesario en la matemática, es una herramienta

muy útil, aún desde los niveles más básicos de la educación, pues es lo que

permite justificar y unificar metodologías de solución de muchos problemas

aparentemente diferentes.

b.- Entender el origen práctico de los conceptos matemáticos y la relación de los

resultados importantes con la aplicación práctica, lo cual es el aspecto

fundamental que sirve como base para la motivación y para poder aplicar de

manera correcta la correspondiente metodología didáctica en la enseñanza de la

matemática.

c.- Aplicar los conceptos y resultados estudiados en la operatividad y el cálculo.

No se puede desarrollar la habilidad del pensamiento lógico y abstracto aplicado a

la solución de problemas si antes no se ha desarrollado la habilidad de realizar

operaciones matemáticas y efectuar cálculos.

d.- Aplicar los conceptos y resultados estudiados en la solución de problemas.

Es importante entender que la cantidad total de conocimientos de matemáticas

que se adquiere en la educación preuniversitaria (primaria, secundaria y

bachillerato) es realmente muy reducida y lo verdaderamente importante es

desarrollar la habilidad para combinar y aplicar estos conocimientos en la

solución de problemas, ya sean puramente matemáticos o que tengan un

significado práctico.

e.- Desarrollar la capacidad de conjeturar afirmaciones matemáticas generales y

de poder demostrarlas con rigor.

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f.- Aprender a modelar situaciones prácticas utilizando herramientas matemáticas

y saber interpretar las soluciones matemáticas obtenidas del análisis de los

modelos en el lenguaje del mundo real que da origen al problema. Es necesario

comprender el campo de aplicabilidad práctica y las limitaciones de cada uno

de los temas principales de matemáticas que se estudian en la educación

preuniversitaria: aritmética, algebra elemental, geometría, trigonometría,

predicción y azar (estadística y probabilidad) y cálculo diferencial e integral.

El maestro debe comprender cuando un problema puede o no ser resuelto con

estas herramientas elementales.

Como conclusión podemos resumir en 4 puntos fundamentales las competencias

exigidas a un maestro de matemáticas de educación media superior:

1.- Conocer con profundidad los contenidos de su nivel de enseñanza y algo

más haciendo énfasis en los aspectos conceptuales y en el desarrollo de

competencias para plantear y resolver problemas.

2.- Conocer y saber aplicar la metodología didáctica correcta para propiciar el

conocimiento así como el manejo adecuado de las nuevas tecnologías y

software educativo de apoyo a la enseñanza de manera de promover y

consolidar los conocimientos con el rigor y el alcance requeridos.

3.- Ser un guía que enseñe a los alumnos a aprender a través del proceso

individual y colectivo de construcción del conocimiento y que sea capaz de

transmitir el placer por hacer matemáticas de una manera grata y creativa.

4. Conocer y saber aplicar los diferentes mecanismos de evaluación para

identificar continuamente el nivel de aprendizaje aprendizaje y las deficiencias

de sus alumnos.

Sin embargo, hemos visto que existen múltiples dificultades que limitan el

desarrollo de estas capacidades, por lo cual concluimos que existe una imperiosa

necesidad de incidir en la formación de los maestros, alrededor de los temas

mencionados, como uno de los aspectos clave para la solución de los problemas

que enfrenta el sistema nacional de educación. Dada la importancia de este

problema no se le puede continuar dando soluciones locales o a medias y por ello

se requiere de la implementación de un programa integral, coordinado por la

SEP y apoyado por las instituciones de educación superior, tal y como se propone

en esta primera versión dirigida a los maestros de matemáticas del nivel medio

superior de la BUAP. La presente propuesta es precisamente ese programa

integral al que hemos denominado PIFMA. En él se han tenido en cuenta todas las

limitaciones detectadas a la vez que se proponen las vías para erradicarlas. El

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presente programa ha sido propuesto después de un exhaustivo análisis que ha

tenido en cuenta importantes documentos como la Reforma Integral de la

Educación Básica; educación Primaria y Secundaria (Plan Nacional de Desarrollo

2007-2012, Programa Sectorial de Educación 2007-2012, Ley General de

Educación, etc), la RIEMS 2007 y muy particularmente el análisis de los planes y

programas de estudio en cada nivel de enseñanza así como varios programas de

capacitación de maestros que han sido impartidos hasta el momento por

diferentes instituciones y organizaciones en todo México .

Las conclusiones de este análisis han permitido el diseño del programa propuesto

con base a un enfoque por competencias. El mismo incluye citas a investigaciones

y estudios que están alineados a la Reforma Integral de la Educación Básica y la

RIEMS 2007 En él se especifican el enfoque y los lineamientos metodológicos

que han sido aplicados en el proceso de elaboración de los programas propuestos

así como la incorporación de las TICs y las fuentes de consulta básica y

complementaria que deberá utilizar el maestro durante su capacitación.

Esta propuesta incluye los tres ejes temáticos de la enseñanza de las

Matemáticas: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma espacio y

medida y manejo de la información; así como su correspondencia con los siete

temas principales que componen los programas de educación matemática:

aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, probabilidad y estadística,

además de la introducción al cálculo diferencial e integral en una variable real.

El presente proyecto se plantea el siguiente:

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar un programa integral de capacitación y formación de maestros en

matemáticas del nivel medio superior que ponga énfasis en los contenidos y los

aspectos conceptuales de los programas curriculares y en la necesaria

formación complementaria del maestro, de una forma sistemática y

estructurada, partiendo desde lo más básico, de manera que el maestro no

pierda de vista el papel integrador y la transversalidad del conocimiento

matemático, haciéndose recomendaciones de carácter didáctico y

metodológicas de forma simultánea y no independiente a la impartición de los

contenidos. Hacer énfasis en el desarrollo de habilidades para plantear

situaciones didácticas que motiven la construcción del conocimiento matemático

y para resolver problemas a partir de situaciones prácticas. Enseñar cómo se

debe guiar a los alumnos a buscar soluciones a través de la construcción del

conocimiento e inducirles el razonamiento lógico y abstracto característico de

la matemática. Ejemplificar los contenidos con el uso adecuado de las TICs a

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través de problemas resueltos e interactivos desarrollados con Software

educativo como Geogebra, Cabri, Math Expert y Excel y se discutirán diferentes

métodos de evaluación del aprovechamiento de los estudiantes.

Se entrenará a los maestros en el uso de la versión en línea del programa en su

totalidad el cual ha sido desarrollado en el marco de la plataforma Moodle con el

objetivo de que se convierta en una herramienta para la superación continua de

los maestros y también como apoyo para el trabajo con sus estudiantes.

Como un producto importante de este programa se escribirán más adelante libros

de consulta, los cuales servirán como material de apoyo adicional para el maestro.

Por otra parte este programa en su totalidad se está desarrollando

simultáneamente sobre la plataforma Moodle, donde además de la exposición

escrita de los temas incluidos en el programa, se involucran varios recursos que

favorecen el aprovechamiento por parte de los maestros y les permite utilizar el

programa no solamente como una plataforma de aprendizaje sino también como

medio auxiliar en su práctica docente frente a sus alumnos. Estos recursos

incluyen explicaciones detalladas de aspectos conceptuales y resultados

importantes así como la resolución de ejercicios y problemas, con el apoyo de

conferencias filmadas, además de la posibilidad de realizar chats con un facilitador

del curso y de hacer ligas a direcciones de internet, textos auxiliares e interactivos,

que complementan las explicaciones dadas en el texto mostrado en línea y

facilitan la comprensión, permitiendo también profundizar en los conocimientos

adquiridos. Todos los temas expuestos están enriquecidos por una buena cantidad

de ejemplos, ejercicios, problemas y situaciones didácticas interactivas que

abarcan todos los temas tratados los cuales han sido construidos utilizando los

software educativos Descartes, Geogebra, Cabri, Math Expert y Excel.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DEL PROGRAMA

1.- Promover en los profesores los conocimientos requeridos para impartir la

asignatura de Matemáticas en el nivel medio superior, lo cual significa conocer

muy bien los contenidos que se deben impartir y algo más. En la formación del

maestro es necesario incluir “algo más” aparte de los contenidos propios de su

nivel de enseñanza. Esto está motivado por dos razones fundamentales:

a.- Para una enseñanza de calidad el maestro debe ubicarse en una posición de

dominio de los contenidos que debe promover y no restringirse únicamente a

los contenidos específicos del programa. Sólo así el maestro es capaz de manejar

dudas y enfrentar situaciones problemáticas en clase.

b.-Con respecto a los programas actuales de matemáticas en los diferentes

niveles de enseñanza, se requiere añadir ciertos contenidos para darle

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continuidad, coherencia y sistematización al conocimiento matemático del

maestro

2.- Promover la adquisición de los conocimientos de una manera sistemática y

estructurada de manera que el profesor tenga un dominio global de la materia

que le permita ver la interrelación entre los temas que imparte, su importancia

conceptual en el contexto general del conocimiento y su utilidad para enfrentar

situaciones reales, en lugar de ver cada tema como una componente aislada de la

asignatura.

3.- Mostrar la metodología y los aspectos didácticos de la enseñanza de forma

intrínsecamente vinculada a los contenidos y no como un tema aparte. Esto se

hará a través de una exposición coherente y unificada de los contenidos que el

maestro debe dominar con profundidad de Aritmética, Algebra Elemental,

Geometría, Trigonometría, Estadística y Probabilidades, Algebra Vectorial, los

Fundamentos del Cálculo y los Principios del Cálculo Diferencial e Integral, vistos

como la extensión natural del trabajo con los números, que se desarrolla en la

aritmética, al estudio de los vectores y funciones. Al respecto es muy importante

transmitir las limitaciones de los conocimientos básicos para resolver ciertos

problemas “prácticos” importantes que requieren de herramientas más sofisticadas

como las que brinda el Cálculo.

4.- Desarrollar capacidades de razonamiento deductivo e inductivo en los

profesores que les permita ser claros a la hora de promover los conocimientos y

capaces de crear “en vivo” sus propios argumentos para ejemplificarlos.

5.- Desarrollar habilidades para utilizar el lenguaje y los conocimientos

matemáticos como herramienta para formular y resolver problemas prácticos a

través de la elaboración de actividades didácticas que induzcan la construcción del

conocimiento.

6.- Ejercitar a los profesores en la forma de preparar, planear y conducir sus

clases.

7.- Proporcionar criterios de evaluación que permitan conocer el

aprovechamiento real y las deficiencias del alumnado de manera sistemática.

8.- Promover en los profesores el placer por hacer matemáticas de una manera

grata y creativa y la capacidad de poder transmitir esta experiencia a sus alumnos.

9.- Certificar este programa de manera que le sea útil al maestro para el programa

de estímulos.

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10.- Crear condiciones reales para que los profesores que cursen este programa

de formación puedan continuar estudios superiores de Maestría y Doctorado en

Enseñanza de la Matemática.

OTROS COMPONENTES DEL PROGRAMA QUE SON VALOR AGREGADO A LOS CURSOS a.- Recomendaciones didácticas y metodológicas de cómo el maestro debe aprender los temas y cómo debe enseñar a aprenderlos a sus estudiantes. b.- Entrenamiento en el manejo de la Plataforma Moodle en la que se tendrán contenidos todos los temas del curso con una exposición coherente, fluida, con ejemplos, problemas resueltos, indicaciones didácticas y metodológicas, listados de ejercicios y problemas y una serie de recursos adicionales para que el profesor pueda ampliar sus conocimientos y la plataforma le sirva como una fuente permanente de educación continua y posteriormente como una herramienta para el trabajo con sus estudiantes. c.- Entrenamiento en el manejo de las TICs; búsquedas en internet, cómo comunicarse en línea, uso de Office y en particular Excel, manejo de Software Educativo para el nivel Medio Superior en Matemáticas tales como Geogebra, Cabri y Math Expert y preparación de interactivos en Matemáticas para el trabajo docente. d.- Diferentes formas de evaluar el aprovechamiento de los estudiantes. e.- ¿Cómo seleccionar talentos? f.- Entrenar a los maestros en la habilidad de plantear y resolver problemas y en la aplicación de la matemática para enfrentar problemas prácticos. g.- Entrenar a los maestros para que puedan preparar a sus estudiantes para enfrentarse a exámenes de carácter nacional e internacional para evaluar su aprovechamiento académico y para realizar pruebas de ingreso a instituciones de Educación Superior. COMPETENCIAS

Las competencias docentes son las que formulan las cualidades individuales, de

carácter ético, académico, profesional y social que debe reunir el docente de la

EMS, y consecuentemente definen su perfil.

La existencia misma de este PROGRAMA obedece a la imperiosa necesidad de la

mejora continua de los conocimientos del docente.

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Aquellos docentes que tomen este curso satisfacen de manera inmediata la

primera de las competencias señaladas en el acuerdo 447, pues les permitirá

empezar a organizar su formación continua a lo largo de su trayectoria

profesional. Particularmente, las diferentes actividades que se han programado

en estos diplomados (las cuales se encontrarán en las llamadas recomendaciones

al término de cada unidad) le permitirán por un lado, aprender de manera

individual y por otro, de manera colectiva a través de proyectos de equipo (con los

compañeros del diplomado). Además, se promueve que lleve al salón de clases

algunas de estas actividades y que presente algunos de los resultados obtenidos

con sus estudiantes a fin de poder evaluar el material aprendido; de esta manera

participan activamente en la construcción de nuevas estrategias de

enseñanza y aprendizaje. Esto a su vez le permitirá, a través de la reflexión de

sus propios procesos de construcción del conocimiento, poder modificar los

paradigmas que conoce actualmente.

Otra característica destacable de estos diplomados es que se ha organizado el

contenido de manera secuencial, de forma que el docente logre dominar y

estructurar los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo, empezando desde los conceptos más básicos de aritmética, hasta

los conocimientos de cálculo diferencial e integral. En cada uno de los temas

desarrollados se destaca el origen de los conceptos, su interrelación, su

consistencia lógica y a través de problemas reales, se relacionan los diferentes

saberes disciplinares. Esta secuencia le permitirá, conforme avance en el

diplomado, utilizar los conocimientos previamente adquiridos y valorarlos en su

real dimensión y con ello, a través de proyectos y ejemplos procurar esta

valoración en los estudiantes; con ello podrá planificar los procesos de

enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, muy

particularmente las competencias disciplinares correspondiente a las Matemáticas

(tanto básicas como extendidas), reforzando también las competencias genéricas

básicas como son las de expresión y comunicación en los estudiantes pues

en estos proyectos los estudiantes deben expresar ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas para comunicarse con el

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profesor y sus compañeros. Para ello debe identificar los elementos básicos que le

permitirán usar una herramienta matemática o un modelo específico y desechar

aquella información que puede no ser valiosa para dar una respuesta a la

pregunta o problema planteado. El desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo

de los estudiantes así como su trabajo en forma colaborativa se verá

beneficiada a través de los proyectos que el profesor puede desarrollar, para lo

cual puede tomar elementos de su entorno para su elaboración, aunque en

principio podría tomar los sugeridos en el diplomado. La presentación de los

estudiantes debe estar apoyada por las tecnologías de la información. Por ello, se

propone dentro de los diplomados el uso de las tecnologías de la información

como parte de la formación básica del docente.

Los diplomados pretenden desarrollar en el docente la capacidad de comunicar

una idea de diferentes maneras y con diferentes ejemplos, en un contexto en el

que se logre que el estudiante la adquiera y la haga propia; de esta forma el

docente enmarcará esos ejemplos o proyectos en la problemática sociocultural

para promover el desarrollo de los estudiantes mediante el aprendizaje. De

hecho para lograr esto, en el diplomado se tomará en cuenta lo siguiente:

Se han dividido los ejercicios propuestos en tres niveles (en los ejercicios

resueltos se observan estos tres niveles):

1. Ejercicios cuya solución es directa, es decir, se obtiene la solución del

problema de manera casi inmediata al aplicar un concepto, definición o

resultado con el propósito de que el docente asimile y maneje el concepto.

2. Ejercicios en los que se requiere traducir o interpretar la situación planteada

a un problema o modelo matemático con la herramienta vista en ese tema.

Con esto se pretende que el docente distinga la herramienta matemática

que debe utilizar para plantear el problema, resolverlo e interpretar su

solución.

3. Ejercicios en los que hallar la herramienta matemática adecuada para

resolver un problema no sea obvia de distinguir y tenga que manejar el

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material aprendido anteriormente para hallarla. Además, el propio problema

puede no ser fácil de plantear matemáticamente.

El último nivel puede subdividirse en dos subniveles: el segundo de los cuales

correspondería a proyectos que requieren tiempo para hallar la solución. En este

nivel (3), es conveniente que el profesor que imparte la clase permita que el

aspirante explore diferentes posibilidades de plantear y resolver el problema, sin

menospreciar ninguna idea y apoyando al estudiante, para que, en caso de que

alguna sea errónea, el mismo se dé cuenta que dicha propuesta no lleva a la

solución y proponga nuevas alternativas.

Es recomendable que este orden se aplique para que el aspirante alcance a

profundizar en los conceptos, definiciones y/o resultados del tema con un mínimo

de esfuerzo necesario.

Como parte de las actividades de los docentes, llevarán a su salón de clase

algunos ejercicios de los diferentes niveles para plantearlo a los alumnos. Deberán

entregar un informe y discutirlo en el grupo como parte de sus actividades.

De esta manera evaluará los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un

enfoque formativo ya que con el esquema planteado dará seguimiento al

proceso de aprendizaje y al desarrollo académico de los estudiantes y les podrá

proponer alternativas para que se superen. Con los trabajos en equipo se

pretende que la coevaluación con sus pares se fomente. Asimismo, esto puede

fomentar la coevaluación entre los estudiantes con el trabajo en equipo. Así podrá

construir ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo para

favorecer entre los estudiantes el deseo de aprender, y les proporciona

oportunidades y herramientas para avanzar en sus procesos de construcción del

conocimiento, se promueve el pensamiento crítico, reflexivo y creativo, a partir de

los contenidos educativos establecidos, situaciones de actualidad e inquietudes de

los estudiantes y se motiva a los estudiantes en lo individual y en grupo, y se

generan expectativas de superación y desarrollo.

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Al realizar este tipo de ejercicios, se propone como una meta hallar la solución de

un problema, a la cual puede llegar de diferentes maneras o enfoques. Con ello se

promueve el respeto a la diversidad de ideas entre colegas y estudiantes,

favoreciendo el diálogo como mecanismo para la resolución de conflictos

personales e interpersonales con lo que se alienta la expresión de opiniones

personales, en un marco de respeto. Con esto el docente generará un ambiente

que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.

Como una consecuencia del diplomado podría desarrollarse un taller de

solución de problemas prácticos para estudiantes de las preparatorias que los

profesores escogerán junto con sus estudiantes y elegirán por cada preparatoria

uno o dos equipos de cinco estudiantes, cada uno para que desarrollen estos

proyectos. Se propone que a todos los grupos se les dé un reconocimiento y que

se haga una mención a los mejores tres proyectos. Las soluciones podrían subirse

en la red para que los otros grupos y profesores tengan acceso a ellas. Con esto

el docente promueve y colabora con su comunidad educativa en proyectos

de participación social y crea y participa en comunidades de aprendizaje.

En los diplomados se dará una vez al mes una sesión sobre el uso del

software educativo y las tecnologías de la información a fin de que el docente

cuente con estas herramientas como material básico para su práctica docente.

Las competencias disciplinares básicas de matemáticas buscan propiciar el

desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes.

Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas

puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Se darán

elementos a los docentes para que puedan desarrollar a través de los ejemplos,

problemas y proyectos las competencias del Acuerdo 444 de la SEP:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para

la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático

y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o

natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las

magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo

rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso

o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos.

CONTENIDO DE LOS DIPLOMADOS

El primer diplomado tiene el siguiente contenido:

1. ARITMÉTICA (EL ESTUDIO DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS).

2. ALGEBRA ELEMENTAL (EL TRABAJO CON VARIABLES Y EL ESTUDIO

DE LAS RELACIONES ARITMÉTICAS ENTRE ELLAS).

3. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA (EL ESTUDIO DE LAS FIGURAS

ESPACIALES ELEMENTALES Y DE LAS RELACIONES ENTRE SUS

PROPIEDADES MÉTRICAS Y ANGULARES) CON FUNDAMENTOS DE

ÁLGEBRA VECTORIAL

El segundo diplomado está constituido por:

4. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (EL ESTUDIO CUANTITATIVO DEL

AZAR Y LA TOMA DE DECISIONES EN BASE A LA RECOPILACIÓN,

ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS).

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5. PRINCIPIOS DEL CÁLCULO EN UNA VARIABLE (EL ESTUDIO DE

LAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL).

A lo largo de ambos diplomados se irán intercalando en sesiones magistrales,

temas sobre:

6. LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA EN EL NIVEL MEDIO

SUPERIOR.

en las que se reunirá a todos los profesores para que simultáneamente escuchen,

comenten y extraigan conclusiones sobre los diferentes temas tratados. Esto no

interrumpe la secuencia lógica de los contenidos sino al contrario fortalece los

contenidos con elementos complementarios e importantes en la formación del

docente.

A continuación se exponen los contenidos de cada uno de estos seis módulos.

0. INTRODUCCIÓN: LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA EN EL NIVEL

MEDIO SUPERIOR.

0.1 El origen de la matemática y sus etapas de desarrollo a lo largo de la

historia de la humanidad.

0.2 La matemática como ciencia, como medio para el desarrollo del

pensamiento lógico y abstracto y como lenguaje y herramienta científica

para estudiar el mundo real. El papel de la matemática en el objetivo

general de la enseñanza media superior.

0.3 Problemas matemáticos y problemas reales. La modelación matemática.

Tipos de modelos.

0.4 El papel de la información, la abstracción y el razonamiento lógico en la

modelación matemática de problemas reales.

0.5 La enseñanza de las Matemáticas dirigida a la resolución de problemas.

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0.6 Los problemas matemáticos en la enseñanza media superior: clasificación e

ideas generales sobre sus métodos de solución.

0.7 La didáctica de la enseñanza de las matemáticas en la enseñanza media

superior. Secuencia metodológica en la enseñanza y el aprendizaje de la

matemática.

0.8 Las tecnologías de información y el software educativo aplicado a la

enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel medio superior.

0.9 El rol del maestro de matemáticas en la enseñanza media superior.

1. ARITMÉTICA (EL ESTUDIO DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS).

1.1 Elementos de teoría de conjuntos:

1.1.1 Introducción

- Contenido.

- Fundamentación.

1.1.2 Subconjuntos. Relación de inclusión. Igualdad de conjuntos.

1.1.3 Operaciones con conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia y

producto cartesiano.

1.1.4 Funciones entre conjuntos:

- Concepto de función, formas de representación (gráfica y tabular) e igualdad de

funciones

- Composición de funciones y función inversa.

- Propiedades de las funciones en relación con las operaciones con conjuntos.

- Funciones Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas (su relación con la función

inversa). Conjuntos equipotentes y cardinalidad.

1.1.5 Recomendaciones:

- Al docente para profundizar en los conocimientos adquiridos.

- Al docente, de tipo secuenciales y didácticas (motivaciones, énfasis y

profundidad con que se deben impartir los conocimientos).

- Al facilitador para el óptimo desempeño al impartir el tema utilizando la

plataforma Moodle.

- Listado de ejercicios, problemas y proyectos.

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1.2 Conjuntos numéricos:

1.2.1 Introducción

- Contenido.

- Fundamentación.

1.2.2 Cómo surgen los conjuntos numéricos; naturales, enteros, racionales,

reales.

1.2.3 Propiedades algebraicas de las operaciones aritméticas en los conjuntos

numéricos.

1.2.4 Orden en los conjuntos numéricos:

- Propiedades del orden.

- Cotas inferior y superior de un conjunto, conjuntos acotados, intervalos.

- Valor absoluto y sus propiedades.

- Supremo e ínfimo (máximo y mínimo). Definiciones y propiedades.

- Axioma del supremo y algunas consecuencias: Propiedad arquimediana de los

números naturales e irracionalidad de 2, 3, ...

1.2.5 Principio de inducción.

1.2.6 Formas de representación de los números reales: sistemas de numeración

(decimal, binario, etc.), geométrica.

1.2.7 Potencias, radicales y logaritmos de números reales. Notación científica.

1.2.8 Funciones numéricas:

- Ejemplos elementales de funciones reales de variables reales (lineales,

cuadráticas, valor absoluto, parte entera, signo) y su representación gráfica.

- Operaciones algebraicas con funciones numéricas (suma, producto y cociente de

funciones).

- Orden entre funciones numéricas.

- Funciones de variable real. Funciones crecientes, decrecientes, monótonas,

pares e impares. Representación gráfica de funciones mediante tabulación en el

plano cartesiano.

- Construcción de la gráfica de af(x)+b y f(ax+b) utilizando la gráfica de f(x).

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- Imágenes y preimágenes de conjuntos definidos por funciones numéricas de

variable real, conjunto de las raíces de una función real numérica. Cálculo de las

raíces de funciones lineales y cuadráticas.

1.2.9 Introducción a los números complejos.

1.2.10 Recomendaciones:





plataforma Moodle.


1.3 Introducción a la teoría de números:

1.3.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

1.3.2 Divisibilidad en el conjunto de los números naturales. Números primos;

algoritmo de Euclides. Descomposición de un número natural en potencias de

factores primos.

1.3.3 Concepto y métodos de cálculo de mínimo común múltiplo (m. c. m.) y

máximo común divisor (m. c. d.)

1.3.4 Congruencias.

1.3.5 Problemas diofánticos.

1.3.6 Métodos de conteo. El teorema del producto y los diagramas de Venn.

Combinatoria; permutaciones, combinaciones y variaciones.

1.3.7 Recomendaciones





plataforma Moodle.


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1.4 El uso de la aritmética en la solución de problemas prácticos y teóricos:

1.4.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

1.4.2 Las operaciones aritméticas.

1.4.3 Razones y proporciones: proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

1.4.4 Porcentajes: interés simple y compuesto, tasas.

1.4.5 m. c. m. y m. c. d.

1.4.6 Problemas de conteo.

1.4.7 Principio de inducción.

1.4.8 Sumas de sucesiones numéricas.

1.4.9 Sucesiones recurrentes. Problemas de dinámica poblacional.






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2. ALGEBRA ELEMENTAL (EL TRABAJO CON VARIABLES Y EL ESTUDIO

DE LAS RELACIONES ARITMÉTICAS ENTRE ELLAS).

2.1 Expresiones algebraicas como resultado de efectuar operaciones

algebraicas con variables:

2.1.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

2.1.2 Operaciones algebraicas con variables. Polinomios, fracciones racionales y

radicales.

2.1.3 Manipulación de expresiones algebraicas; reducción de términos

semejantes, eliminación de paréntesis.

19

2.1.4 Operaciones con polinomios; suma y producto, división de un polinomio por

un binomio de la forma x-a, división sintética, resto de la división.

2.1.5 Descomposición en factores. Factorización de polinomios de segundo grado,

trinomios cuadrados perfectos, diferencia de potencias pares e impares.

2.1.6 Potencias de un binomio. Números combinatorios y triangulo de Pascal.

2.1.7 Operaciones con fracciones racionales; sumas productos y cocientes.

2.1.8 Descomposición de una fracción racional en fracciones simples

2.1.9 Racionalización de fracciones que contienen radicales.

2.1.10 Funciones numéricas definidas con expresiones algebraicas

- Evaluación de una expresión algebraica. Raíces y polos.

- Funciones lineales. Gráficas mediante tabulación.

- Polinomios en una variable. Teorema fundamental del algebra. Graficas

mediante tabulación. Caso particular de los polinomios de segundo grado.

- Fracciones racionales. Graficas mediante tabulación.






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2.2 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones:

2.2.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

2.2.2 Ecuaciones lineales. Interpretación gráfica de la solución.

2.2.3 Ecuaciones cuadráticas. Interpretación gráfica de la solución.

2.2.4 Ecuaciones que pueden transformarse en lineales o cuadráticas.

2.2.5 Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. Métodos de sustitución y

eliminación.

2.2.4 Ecuaciones y sistemas con fracciones racionales.

20

2.2.5 Ecuaciones y sistemas con radicales.

2.2.5 Ecuaciones y sistemas con valor absoluto.

2.2.6 Ecuaciones y sistemas combinados.


- Al docente para profundizar en los conocimientos adquiridos




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2.3 Desigualdades e inecuaciones:

2.3.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

2.3.2 Algunas desigualdades importantes; relación entre la media aritmética y la

media geométrica entre n números reales positivos.

2.3.3 Inecuaciones lineales. Métodos analíticos y gráficos de búsqueda de las

soluciones

2.3.4 Cuadráticas. Métodos analíticos y gráficos de búsqueda de las soluciones

2.3.5 Con fracciones racionales.

2.3.6 Con radicales.

2.3.7 Con valor absoluto.

2.3.7 Combinadas.

2.3.8 Sistemas de inecuaciones.






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2.4 El trabajo con variables como método para resolver problemas:

2.4.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

2.4.2 Esquema del procedimiento para resolver problemas prácticos utilizando

modelos algebraicos elementales:

- Selección de las variables.

- Interpretación de los datos para construir modelos mediante ecuaciones,

sistemas de ecuaciones o inecuaciones, usando las variables.

- Resolución de las ecuaciones e inecuaciones a través de procedimientos

numéricos o mediante un análisis de sus gráficas.

- Interpretación de los resultados numéricos obtenidos y su utilización para dar

respuesta al problema en su planteamiento original.

- Verificación del resultado.

- Generalización de procedimientos y generación de métodos de solución de

problemas más generales a partir de la solución de casos particulares.

- Detección de ideas comunes en los métodos de solución de diferentes tipos de

problemas.

2.4.3 Aplicaciones. Problemas que conducen a ecuaciones lineales o cuadráticas.

-Problemas de proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

- Problemas de cálculo de edades.

-Problemas de soluciones químicas.

-Problemas de llenado y vaciado de tanques con varias llaves simultáneamente.

-Problemas para calcular números con propiedades prefijadas.

-Problemas geométricos de cálculo de perímetros y de áreas.

-Problemas extremales y métodos elementales de solución.

-Problemas físicos de cálculo de distancia, velocidades promedio, aceleraciones y

aplicaciones de los conceptos de energía cinética y potencial.



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3. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA (EL ESTUDIO DE LAS FIGURAS

ESPACIALES ELEMENTALES Y DE LAS RELACIONES ENTRE SUS

PROPIEDADES MÉTRICAS Y ANGULARES) CON FUNDAMENTOS DE

ÁLGEBRA VECTORIAL.

3.1 Geometría Descriptiva:

3.1.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

3.1.2 Rectas y Ángulos

-Concepto de ángulo y su medición: Sistema sexagesimal (grados) y circular

(radianes) y

equivalencias. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.

-Posiciones relativas de 2 rectas en el plano y ángulos determinados por ellas.

- Paralelismo y perpendicularidad.

- Ángulos determinados por una recta que corta a dos rectas paralelas.

3.1.3 Triángulos:

-Propiedades de sus ángulos interiores y exteriores.

-Clasificación de los triángulos según sus ángulos y la longitud de sus lados

-Segmentos y puntos notables en un triángulo: alturas y ortocentro, bisectrices e

incentro,

mediatrices y circuncentro, transversales de gravedad y baricentro, medianas.

-Teorema de Pitágoras. Generalizaciones. Longitud de un segmento.

-Teoremas de Euclides para la altura correspondiente a la hipotenusa y para los

catetos de un

triangulo rectángulo.

23

- Área de un triángulo rectángulo.

- Criterios de congruencia de triángulos.

- Criterios de semejanza de triángulos.

3.1.4 Cuadriláteros y otros polígonos

- Paralelogramos: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides, trapecios y

trapezoides.

- Polígonos regulares e irregulares.

-Perímetro y área de polígonos.

3.1.5 Circunferencia y círculo.

- Conceptos asociados a la noción de circunferencia: radio, diámetro, cuerda,

arco, recta secante y tangente.

- Conceptos asociados a la noción de círculo: sectores circulares y anillos.

- Posición relativa entre dos circunferencias: concéntricas, secantes y tangentes.

- Polígonos regulares inscritos y circunscritos en una circunferencia.

- Longitud de arcos y cuerdas. Área de sectores angulares y de figuras

geométricas cuyo borde se compone de segmentos de recta y arcos de

circunferencia.

- Relaciones métricas y angulares en la circunferencia.

3.1.6 Superficies y cuerpos geométricos:

- Esferas, cubos, paralelepípedos, conos y pirámides.

- Superficies y cuerpos de revolución.

- Áreas de superficies geométricas y volúmenes de cuerpos geométricos.






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3.2 Geometría Analítica en el plano:

3.2.1 Introducción

24

- Contenido

- Fundamentación

3.2.2 Nociones Básicas; coordenadas cartesianas en el plano, distancia entre

puntos, curvas y lugares geométricos. Coordenadas polares.

3.2.3 La línea recta.

3.2.4 La circunferencia.

3.2.5 Secciones cónicas

- La parábola.

- La elipse.

-La hipérbola.

Focos, excentricidad y recta directriz.

3.2.6 Giro y traslación paralela de los ejes coordenados.

3.2.7 Ecuación general de las curvas de segundo grado. Reducción a la forma

canónica mediante traslación y rotación de ejes coordenados.

3.2.8 Ecuaciones paramétricas.

3.2.9 Secciones cónicas.






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3.3 Geometría Analítica en el espacio:

3.3.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

3.2.2 Nociones Básicas; coordenadas cartesianas en el espacio, distancia entre

puntos, curvas y lugares geométricos. Coordenadas esféricas.

25

3.3.3 Rectas y planos y sus ecuaciones. Ecuación de la recta determinada por dos

puntos, recta perpendicular a un plano, rectas paralelas. Plano determinado por

tres puntos no colineales.

3.3.4 La esfera y su ecuación.

3.3.5 Poliedros, superficies cilíndricas y cónicas. Superficies de revolución.

3.3.6 Superficies de segundo orden: elipsoides, paraboloides e hiperboloides.

3.3.7 Forma general y representación paramétrica de las curvas y superficies en el

espacio. Volúmenes.






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3.4 Trigonometría:

3.4.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

3.4.2 Relaciones y funciones trigonométricas primarias y sus gráficas (seno,

coseno y tangente).

3.4.3 Sistemas de ejes coordenados y valores de las funciones trigonométricas en

los diferentes cuadrantes y en los ángulos notables.

3.4.4 Funciones trigonométricas inversas.

3.4.5 Fórmulas trigonométricas: Identidad Pitagórica, funciones trigonométricas de

la suma y la diferencia de 2 ángulos. Funciones trigonométricas del duplo y la

mitad de un ángulo.

3.4.6 Aplicaciones de las funciones trigonométricas a la resolución de triángulos

rectángulos; generalización para triángulos isósceles y polígonos regulares.

3.4.7 Problemas que conducen a la resolución de triángulos rectángulos.

26

3.4.8 Ley de los senos y los cosenos y su aplicación a la resolución de triángulos

no rectángulos.

3.4.9 Aplicación al cálculo de áreas de triángulos cualesquiera.

3.4.10 Ecuaciones trigonométricas.

3.4.11 Fórmula de Euler y números complejos






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3.5 Vectores en el plano y en el espacio:

3.5.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

3.5.2 Vectores en el plano y en el espacio como entes geométricos y algebráicos.

Punto de apoyo, dirección, sentido y magnitud. Radio vector de un punto.

Interpretación física.

3.5.3 Suma de vectores y producto de vectores por escalares. Ejemplos;

diagramas de fuerzas.

3.5.4 Vectores no coloniales y no coplanares. Descomposición de vectores en el

plano con respecto a dos vectores fijos no colineales y en el espacio con respecto

a tres vectores no coplanares.

3.5.5 Producto escalar, vectorial y mixto de vectores. Aplicación: proyecciones,

cálculo de áreas y volúmenes. Condiciones de ortogonalidad, colinealidad y

coplanaridad de vectores.

3.5.6 El concepto de espacio vectorial. Vectores linealmente independientes.

Bases y dimensión de un espacio vectorial. Los espacios R2 y R3 como espacios

vectoriales. Otros ejemplos de espacios vectoriales.


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3.6 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales:

3.6.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

3.6.2 Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Su solución a

través del método de eliminación Gaussiana.

3.6.3 Formulación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.

3.6.4 Operaciones con matrices: sumas, producto por escalares y composición.

3.6.5 Existencia de la matriz inversa. Su uso para resolver sistemas de ecuaciones

lineales.

3.6.6 Las matrices como transformaciones lineales.

3.6.7 Determinante y rango. Aplicación al estudio de los sistemas de ecuaciones

lineales y al cálculo del producto mixto de vectores.

3.6.8 Matrices simétricas. Vectores y valores propios. Reducción a la forma

diagonal mediante cambios de coordenadas.






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4. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (EL ESTUDIO CUANTITATIVO DEL AZAR

Y LA TOMA DE DECISIONES EN BASE A LA RECOPILACIÓN,

ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS).

4.1 Teoría de la probabilidad:

4.1.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

4.1.2 Introducción: Sucesos o eventos aleatorios, sucesos o eventos

determinísticos. Existencia objetiva de ambos tipos de eventos. El objeto de

estudio de la teoría de la probabilidad. ¿Qué significa la probabilidad de ocurrencia

de un evento o suceso aleatorio?

4.1.3 Conceptos básicos: Experimento aleatorio. Espacio muestral (finito o

discreto e infinito). Suceso aleatorio elemental. Suceso o evento aleatorio. Suceso

seguro o cierto y suceso imposible. Suceso opuesto. Sucesos aleatorios

excluyentes. Clase completa de sucesos. El suceso suma y suceso producto.

Definición de probabilidad de un suceso en el marco de un espacio muestral finito

o infinito numerable.

4.1.4 Axiomas asociados a la definición de la probabilidad.

4.1.5 Probabilidad condicional. Sucesos independientes (dos sucesos).

Independencia en conjunto (más de dos sucesos). Probabilidad de un suceso

suma y de un suceso producto. Teorema de Bayes y teorema de la probabilidad

total.

4.1.6 Definición clásica o a priori de probabilidad. Aplicación de las técnicas de

conteo al cálculo clásico de probabilidades.






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4.2 Variables aleatorias:

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4.2.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

4.2.2 Introducción. El concepto de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas

y continuas.

4.2.3 Variables aleatorias discretas: Concepto de ley de distribución de

probabilidad o ley de probabilidad de una variable aleatoria. Función de

probabilidad y función de distribución. Propiedades de las funciones de

probabilidad y de la las funciones de distribución. Representación gráfica de cada

una de estos tipos de funciones

4.2.4 Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

4.2.5 Varianza y desviación estándar.

4.2.6 Variables aleatorias independientes.

4.2.7 Funciones de una variable aleatoria.

4.2.8 Variables aleatorias continuas. Concepto de ley de distribución de

probabilidad o ley de probabilidad de una variable aleatoria. Función de

probabilidad y función de distribución.

4.2.9 Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

4.2.10 Varianza y desviación estándar.

4.2.11 Variables aleatorias independientes.

4.3.10 Funciones de una variable aleatoria.

4.2.12 Desigualdad de Tchebyshev y ley de los grandes números. (Esta ley se

puede establecer con todo rigor en el caso discreto y extenderlo al caso continuo,

todo ello para evitar el uso de integrales en situaciones algo abstractas)






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4.3 Distribuciones de probabilidad:

4.3.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

4.3.2 Distribución binomial o de Bernoulli.

4.3.3 Distribución normal o de Gauss.

4.3.4 Teorema del límite central.

4.3.5 Aproximación normal de la distribución binomial.






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4.4 Recolección, representación, descripción y análisis exploratorio de

datos. Estadística descriptiva:

4.4.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación

4.4.2 Introducción. Objeto de trabajo de la estadística. Conceptos básicos; datos

cualitativos y cuantitativos (discretos y continuos), población, muestra.

4.4.3 Partes integrantes de la estadística: estadística descriptiva y estadística

inferencial.

4.4.4 Definición de muestreo, censos, poblaciones finitas e infinitas. Métodos de

muestreo.

4.4.5 Representación tabular y gráfica de datos. Distribuciones de frecuencias,

frecuencias relativas, acumuladas y acumuladas relativas. Histogramas y

polígonos de frecuencia. Gráficas de barra, de pastel y de líneas.

31

4.4.6 Medidas numéricas de tendencia central para datos no agrupados y

agrupados. Medias aritmética, geométrica y armónica. Mediana, moda, cuartiles,

deciles y percentiles.

4.4.7 Caso de datos bivariados.

4.4.8 Medidas numéricas de dispersión absolutas y para datos agrupados. Rango,

desviación media y estándar, varianza, momentos y sesgos.

4.4.9 Medidas numéricas para datos cuantitativos bivariados; covarianza y

correlación.






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5. PRINCIPIOS DEL CÁLCULO EN UNA VARIABLE (EL ESTUDIO DE LAS

FUNCIONES DE VARIABLE REAL).

5.1 Límite y continuidad:

5.1.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación (p.ej. la necesidad de la noción de límite para definir las

nociones básicas del Cálculo, derivada e integral, y también para extender las

potencias enteras y fraccionarias que se pueden definir con herramientas del

álgebra y obtener la función exponencial)

5.1.2 Límite y puntos de acumulación de sucesiones de números reales.

Propiedades; unicidad y propiedades algebraicas del límite de sucesiones. Criterio

de Cauchy para la convergencia de sucesiones. Convergencia de series

numéricas. Criterio de Weierstrass de convergencia de series. Algunos ejemplos

de series convergentes; series de potencias y otras relacionadas.

32

5.1.3 Límite de funciones. Propiedades algebraicas del límite de funciones. Límite

de una función compuesta.

5.1.4 Funciones puntualmente y globalmente continuas. Propiedades principales.

Relación entre el límite de sucesiones y la continuidad puntual. Principio del

Máximo y Teorema del Valor Intermedio.

5.1.5 Continuidad uniforme.






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5.2 Cálculo diferencial en una variable real:

5.2.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación (Necesidad del Cálculo Diferencial para el estudio de algunos

problemas relacionados con:

- la Geometría Analítica; derivadas y tangentes

- el cálculo de valores extremos de funciones reales de variable real

- el cálculo numérico de raíces de ecuaciones

Se puede hablar de los orígenes del Cálculo y los diferentes enfoques que se han

dado de este concepto desde sus inicios)

5.2.2 La noción de derivada y sus interpretaciones geométrica, física y como

medida de las variaciones de una magnitud respecto a una variable independiente.

Funciones derivables. Propiedades. Derivadas de orden superior.

5.2.3 Ejemplos de funciones derivables y cálculo de sus derivadas. Derivación

implícita.

5.2.4 Las funciones exponencial y logaritmo. Funciones simples.

5.2.5 La derivada para caracterizar el crecimiento, la convexidad, las asíntotas y

los extremos locales de una función. Teoremas de Rolle y del Valor Medio.

33

5.2.6 Fórmula de Taylor y su uso para el cálculo de valores aproximados de una

función y el cálculo de límites indeterminados.

5.2.7 Trazado de curvas.

5.2.8 Extremos y problemas de optimización. Aplicación a problemas geométricos

y otros problemas prácticos.






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5.3 Cálculo integral en una variable real:

5.3.1 Introducción

- Contenido

- Fundamentación (Necesidad del Cálculo Integral para el estudio de algunos

problemas relacionados con la Geometría Analítica; Integrales y Áreas, volúmenes

y longitudes de curvas. Se puede hablar de los orígenes físicos y de diferentes

enfoques para su introducción)

5.3.2 Introducción al concepto de integral. La integral como límite de sumas.

Propiedades de la integral. Interpretación geométrica como área bajo una curva.

Teorema del Valor Medio Integral.

5.3.3 Primitivas y el teorema fundamental del cálculo; la relación entre derivación e

integración.

5.3.4 Métodos elementales de cálculo de integrales

- Cambio de variables.

- Integración por partes.

5.3.5 Integración de algunas funciones especiales

- Funciones racionales.

- Funciones racionales en seno y coseno.

- Funciones racionales en x y raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado.

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5.3.6 Aplicaciones de la integral:

- Cálculo de límites de promedios variables.

- Cálculo de longitudes de curvas.

- Cálculo de áreas de figuras planas de geometría compleja.

- Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución.

- Aplicaciones físicas; cálculo de masas, centros de gravedad y momentos de

inercia






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