MATEMATICAS 1º ESO

TRIGONOMETRÍA

TEOREMA DE PITÁGORAS

a2+b2=c2

Hugo Izquierdo BonetMiguel Llanes Hurtado

INDICE

Historia Definiciones Demostración Utilidades Bibliografía

HISTORIA

Descubrimiento Escuela de Pitágoras.

Pirámide de Kefrén, .Siglo XXVI a.c

Se asume a Pitagoras (580 a.C. - 500 a.C.) la paternidad del teorema del mismo nombre, porque fue quien sistematizó la relación entre los catetos y la hipotenusa en los triángulos rectos en una fórmula matemática. Babilonios y egipcios Ya habían construido triángulos que satisfacían la misma relación Los dibujos de Nazca ¿Utilizaban el Teorema de la cuerda?

Euclides(300 a.C. aprox) fue el primero en demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras, usando un diagrama que algunos llaman el "molino de viento"

DEFINICIÓN El Teorema de Pitágoras establece que en un

triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).

Cateto b

Hipotenusa

Cateto aa2+b2=c2

DEMOSTRACIÓN Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura

coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

DEMOSTRACIÓN Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales:

todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

 a / a´ = b / b´

 a2 = a´ c

DEMOSTRACIÓNLos resultados obtenidos son el teorema del cateto Sumando para ambos triángulos:

a2+b2= a´ c + b´ c = c( a´+ b´)

Pero ( a´+ b´) = c , por lo que finalmente resulta:

a2+b2= c2

DEMOSTRADO

http://www.youtube.com/watch?v=yDR5FDcMO5o

UTILIDADES Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que

proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra

Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.

BIBLIOGRAFÍA

Teorema de Pitágoras - Wikipedia, la enciclopedia libre

PLATÓN: Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Ediciones Ibéricas. Madrid, 1958

PAUL STRATHERN: Pitágoras y su teorema. Siglo XXI de España Editores. Madrid, 1999

LOOMIS E. S.: The Pythagorean Proposition. NCTM. Michigan, 1940

GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.: Pitágoras. El filósofo del número. Nivola. Madrid, 2001