Algunas demostracionesdel Teorema de Pitágoras

Francisco Javier García Capitán

Introduccion

Este artıculo presenta algunas de las muchas demostraciones del teoremade Pitagoras:

El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rec-tangulo es equivalente a la suma de los cuadrados descritos sobrelos otros lados.

El teorema, atribuido a Pitagoras (569-475 a.C.), o mas bien a su es-cuela, (los pitagoricos), aparece como la Proposicion I.471. Por supuesto, lademostracion de Euclides, con su figura del “molino de viento”no podıa faltaraquı.

Muchas otras demostraciones, de varias clases, pueden encontrarse enlos artıculos de Yanney y Calderhead en la revista American MathematicalMonthly ([1], [2], [3], [4]) y tambien en la paginas web de Alexander Bogo-molny ([5]) y Eric Weisstein ([6]).

En todas las demostraciones, a menos que se especifique lo contrario, nosreferiremos a un triangulo ABC, rectangulo en C con lados AB = c, BC = ay CA = b.

1Con esta notacion queremos indicar la Proposicion 47 del Libro I de los Elementos deEuclides.

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1. Demostraciones resultantes de relaciones

de semejanza entre triangulos rectangulos

De este tipo de demostraciones, la mas simple es la atribuda a Lagrange:trazamos la perpendicular CD a AB. Obtenemos ası tres triangulos seme-jantes.

A D B

C

abx

y c-y

y

b=b

cc− ya

=a

c

⇒ yc = b2

c(c− y) = a2

}⇒ c2 = a2 + b2.

Una demostracion parecida consiste en trazar una perpendicular a ABdesde A que corta a la prolongacion de BC en D.

D C B

A

cxb

y a

c

y + a=a

cb

y=a

b

⇒ c2 = a2 + ay

b2 = ay

}⇒ c2 = a2 + b2.

Hay muchısimas formas mas de usar la semejanza de triangulos para ob-tener el teorema de Pitagoras, aunque no son tan simples como las anteriores.Como tercer ejemplo, consideremos un punto E sobre el cateto AC de ma-nera que si trazamos por E una paralela a BC, resulta EC = ED. Se formanlos triangulos semejantes ABC, ADE, AEF y EDF .

A DF B

C

E

Sean x = ED = EC, y = DF , v = AF .Entonces:

AC

AE=BC

DE⇒ bx = (b− x)a⇒ x =

ab

a+ b,

BC

DF=AB

ED⇒ ax = yc⇒ y =

ac

c=

a2b

(a+ b)c.

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AB

AE=AC

AF⇒ cv = (b− x)b⇒ v =

b3

(a+ b)c

AB

AD=AC

AE⇒ c(b− x) = (v + y)b⇒ c · b2

a+ b=

[b3

c(a+ b)+

a2b

c(a+ b)

]b⇒

⇒ c2 = a2 + b2.

Veamos una demostracion mas que usa triangulos semejantes, que Yanneyy Calderhead asignan a Hoffman.

Consiste en suponer cierto el teorema que queremos demostrar.

Entonces AB2 = AC2 +BC2, AC2 = AD2 +CD2 y BC2 = BD2 +CD2.Por tanto,

A D B

CAB2 =AC2 +BC2 =

=AD2 + CD2 +BD2 + CD2

=AD2 +BD2 + 2CD2 =

=AD2 +BD2 + 2AD ·BD =

=(AD +BD)2.

Y como la igualdad AB = AD +BD que se deduce es cierta, tambien loes lo supuesto, y el teorema queda demostrado.

Evidentemente esta forma de razonar es incorrecta, pues podemos partirde la igualdad falsa −1 = 1, elevar al cuadrado y obtener una igualdadcierta 1 = 1. Para demostrar el teorema de Pitagoras usando la idea de lademostracion de Hoffman, hagamos

AB2 =(AD +BD)2 = AD2 +BD2 + 2AD ·BD =

=AD2 +BD2 + 2CD2 =AC2

BC2CD2 + 2CD2 +

BC2

AC2CD2 =

=CD2

AC2BC2

(AC4 + 2AC ·BC +BC4

)=

(AC2 +BC2)2

AB2,

de donde, obtenemos AB2 = AC2 +BC2.

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2. Demostraciones basadas en propiedades

metricas de la circunferencia

A

B

C

D

E

L

Tomando como centro uno de los extremos dela hipotenusa, por ejemplo B, y radio dicha hipo-tenusa, trazamos una circunferencia.

Prolongamos el cateto AC a la cuerda AL y elcateto BC al diametro CD. Entonces

AC · CL = DC · CEb · b = (c− a) · (c+ a)

b2 = c2 − a2

c2 = a2 + b2.

La igualdad AC ·CL = DC ·CE es valida paracualquier punto C dentro de la circunferencia en virtud de la ProposicionIII.35. Aunque la demostracion en los Elementos de esta proposicion usael teorema de Pitagoras (Proposicion I.47), puede demostrarse facilmenteusando la semejanza de los triangulos ACD y ECL.

En efecto, los angulos inscritos ∠CAD y ∠CEL son iguales, por abarcarel mismo arco. Igual les ocurre a los angulos ∠ADC y ∠ELC. Por tanto, lostriangulos ACD y ECL son semejantes y AC

DC= EC

LC, que es lo que hemos

usado.

B

A C

D

E

Si ahora trazamos una circunferencia con centro B yradio el lado menor BC, resulta que el lado AC es tangentea dicha circunferencia.

La Proposicion III.37 nos dice que AD · AE = AC2.Entonces, b2 = (c− a)(c+ a), es decir c2 = a2 + b2.

Podemos usar la semejanza de triangulos, en este casode ADC y ACE, para demostrar la igualdad AD·AE = AC2. La clave esta enque el angulo inscrito AEC y el angulo semiinscrito ACD son iguales, porabarcar el mismo arco.

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Para terminar esta seccion, veamos dos demostraciones mas que usan laProposicion III.37:

A

B C

D

En primer lugar, describamos circunferenciascon diametros AC y BC. Estas circunferencias secortaran sobre un punto D del segmento AB.

AC2 =AB · ABBC2 =BD · AB

AC2 +BC2 =AB · (AD +BD) = AB2.

A

B C

D

LH

E

Para la otra demostracion dibujamos dos cir-cunferencias, una centrada en A con radio ACy otra centrada en B con radio BC. TendremosAC2 = AH · AD y BC2 = BL ·BE. Por tanto,

AC2 +BC2 = (AB −BC)(AB +BC)+

+ (AB − AC)(AB + AC) =

=2AB2 − AC2 −BC2,

de donde es evidente el resultado buscado.

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3. Demostraciones basadas en la

comparacion de areas

La primera demostracion que incluimos de este tipo es la de Euclides, conla conocida “figura del molinillo”:

A

BC

D

E

J

FG

H

I

K

Expresando las areas con parentesis, y teniendo en cuenta que si en untriangulo dejamos fija la base y movemos el otro vertice por una paralela ala base, el area no varıa, es cierto que

(BKJE) = 2(BJE) = 2(BEC) = 2(BAF ) = 2(BCF ) = (BCGF ).

De forma parecida obtenemos que (AKJD) = (ACIH). Por tanto,

(ABED) = (BKJE) + (AKJD) = (BCGF ) + (ACIH),

como se pretendıa demostrar.

Segun Proclo, esta demostracion es del mismo Euclides, que la conci-bio para que este teorema pudiera estar en el Libro I y no tuviera que esperarhasta que se desarrollaran las teorıas de proporcion y semejanza de los LibrosV y VI.

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Veamos alguna de las muchısimas variaciones de esta demostracion.

A

BC

D

E

J

FGN O

H

I

K

L

M

Una de ellas, en la que intervienen paralelogramos, hace ver que

(BKJE) = (BCLE) = (BFMA) = (BFGC).

Del mismo modo se prueba que (AKJD) = (AHIC) y sumando obtenemosel resultado buscado.

Otra forma parecida de obtener el mismo resultado es razonar que

(BKJE) = (BONC) = (BFGC)

y obtener (AKJD) = (AHIC) de forma similar.

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4. Demostraciones por diseccion

Comencemos esta seccion con la demostracion debida al matematico ara-be Thabit Ibn Qurra (826-901):

A

A

B

B

Esta es otra, debida a H. Perigal (1873):

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Referencias

[1] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 3, 65-67, 110-113, 169-171 y 299-300, 1896.

[2] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 4, 11-12, 79-81,168-170, 250-251 y 267-269, 1897.

[3] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 5, 73-74, 1898.

[4] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 6, 33-34 y 69-71,1899.

[5] http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/

Pagina de Alexander Bogomolny dedicada al teorema de Pitagoras y susmuchas demostraciones.

[6] http://www.mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html

Pagina de Eric Weisstein, en la que ademas de algunas demostraciones,puede encontrarse una extensa bibliografıa.

[7] http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/elements.htmlPagina con los Elementos de Euclides. Ademas de contener las demos-traciones de todas las proposiciones, hay applets de Java que permitenmanipular las figuras.

[8] www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/java/html/pythagoras.html

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