DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO ANALÍTICO DE “PITCH CLASS” O “SET THEORY”

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Trabajo sobre uno de los métodos de análisis de la música del siglo XX de mayor difusión y uso, especialmente en los libros y análisis anglosajones.

© 2002, Agustín Charles Soler

1. Introducción  

La música del siglo XX, y en concreto la música que aborda el dodecafonismo y sus sistemas derivados,

serialismo y serialismo integral, precisa hoy de nuevas formas de análisis para poder observar la obra

de modo coherente, ya que buena parte de los procedimientos tradicionales no encajan bien, o bien no

son realmente útiles para su análisis. A este respecto en los paises anglosajones se utiliza un

procedimiento que poco a poco se ha ido imponiendo en el campo analítico, es el procedimiento

llamado “Pitch Class”o Set Theory”. Si bien en un principio el análisis basado en las teorías de Schenker

fue enormemente desarrollado, éste no tenía utilidad al aplicarlo a un sistema que carecía de

jerarquización musical, y en los casos que así era no se articulaba de forma lo suficientemente clara

como para poder ser abordado por aquél. El propio Allen Forte, una personalidad notable en el campo

del análisis musical, autor del libro The structure of atonal Music1[1] hace un análisis del sistema serial

que poco o nada tiene que ver con el sistema Schenkeriano, abordado en su libro Introducción al

análisis schenkeriano2[2] .

Este sistema, hoy tan necesario para la lectura de cualquier trabajo analítico en lengua

anglosajona es prácticamente desconocido en nuestro país, lo cual nos imposibilita abordar dichos

trabajos. Evidentemente, uno de los principales problemas a la hora de traducir los términos es el de su

semejanza con una terminología en español, ya que la anglosajona es breve y concisa, mientras que en

España poseemos un vocabulario musical limitado y falto de terminología. Por esa razón hemos

procurado añadir a cada definición el nombre de su equivalente inglés, ya que en muchos casos resulta

poco claro.

1[1] FORTE, Allen., The Structure of Atonal Music, New Haven: Yale University Press, 1973. 2[2] FORTE, Allen., Introduction to Schenkerian Analysis, New York: W.W. Norton & Company, Inc., 1982.

En la música del siglo XX se han abordado temáticas compositivas que a menudo surgen de la

adopción medios puramente contrapuntísticos que, en no pocos casos, tienen más que ver con cierta

música renacentista que con los procedimientos compositivos directamente antecesores a aquella. Estos

procedimientos compositivos, que en su mayoría tienen relación directa con el dodecafonismo se basan,

en su mayor parte, en una serie de combinaciones interválicas que constituyen el eje principal de su

lenguaje expresivo. Estos han dado lugar con posterioridad a una serie de tendencias concretas — en lo

referente al lenguaje sonoro — entre las que el serialismo integral ha sido una de las más significativas.

Para tales procedimientos compositivos, por otra parte completamente diferenciados de los utilizados en

el lenguaje musical común, se hace necesaria una nueva forma de análisis que aglutine de modo

coherente dicho lenguaje y pueda, a la vez, abrir posibilidades para una mayor clarificación de su

desarrollo musical.

El procedimiento de análisis de altura de sonido (Pitch Class), fue utilizado en primera instancia

por uno de los compositores americanos dodecafónicos de mayor relieve: Milton Babbitt, el cual definió

buena parte de su nomenclatura, ampliada posteriormente por Allen Forte, Benjamin Boretz, Paul Henry

Lang, George Perle y John Rahn entre otros. La mayoría de ellos han sido colaboradores asiduos de la

revista americana “Perspectives in new Music”, revista especializada en el análisis de la música del siglo

XX.

De dichos autores cabe destacar varios trabajos que por su concisión se han impuesto

paulatinamente. La mayoría son trabajos que tienen relación directa con la enseñanza del análisis, de

ahí su importancia. Tres destacan principalmente, el ya citado de Allen Forte “The Structure of Atonal

Music”, el libro de John Rahn “Basic Atonal Theory”3[3] , y el de George Perle “Serial Composition and

Atonality”4[4]. Existen, además, multitud de artículos en otros libros sobre el sistema, si bien la mayoría

desarrollan los mismos conceptos, ya sea resumiéndolos o ampliándolos. En este apartado, sin

embargo, no pretendemos hacer un decálogo del método, puesto que no es el objeto de nuestro estudio,

sino realizar una exposición metodológica mínima, desarrollando únicamente los aspectos que

conciernen a la tesis aquí emprendida.

2 Método de Pitch Class

   2.1 Enumeración de alturas

        2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS

3[3] RAHN, John., Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books, 1980. 4[4] PERLE, George: Serial Composition and Atonality. California: University of California Press, 1991.

2.1.1.1 ALTURAS (PITCH)

En buena parte de los análisis de la música del siglo XX se utiliza una nomenclatura basada en

la contabilización del numero de semitonos, para de ese modo poder analizar de forma clara y coherente

el discurso musical, junto al lenguaje de un compositor atonal determinado. De este tipo de

nomenclatura ya daba algunas nociones el propio Schoenberg en su libro el “Estilo y la Idea”5[5] .

Por tanto, la nomenclatura de intervalos que vamos a utilizar a lo largo del trabajo estará

supeditada a la siguiente tabla:

Segunda menor 1 Segunda mayor 2 Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa 5 Quinta disminuida 6 ( o Cuarta Aumentada), Tritono Quinta justa 7 Sexta menor 8 Sexta mayor 9 Séptima menor 10 Séptima mayor 11 Octava 12 ó 0)

 

La ordenación de sonidos o alturas (Pitch), se realiza en base al numero de semitonos de la

escala y en relación a la determinación de nota = 0 , como nota de partida:

Ejemplo 1

Así pues, a partir de una nota que determinamos base (como sería en la tonalidad clásica la

tónica) ésta puede ser movible dependiendo del centro tonal donde se halle la composición, o bien

determinada por el analista mediante los procedimientos que a continuación describimos.

5[5] SCHOENBERG, Arnold: Style and Idea (edición de Leonard Stein).New York: Belmont Music Publishers, 1975.

 

2.1.1.2 INTERVALO DE ALTURAS ORDENADO (ORDERED PITCH INTERVAL)

Este intervalo es el resultante de la distancia entre dos puntos, atendiendo al numero de la nota

de partida y ordenando su intervalo por el numero total de semitonos. Su fórmula es: ip <x,y> = y-x, y

se anota, por tanto, con corchetes. x se refiere al numero de la primera nota e y al de la última.

O sea, un intervalo (ip) determinado : ip <2, -11> = -11 -2 = -13 . Es por tanto, -13 el numero de

semitonos que hay entre una nota y otra ( los números negativos o positivos nos indican siempre la

dirección del intervalo).

Ejemplo 2

2.1.1.3 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADO (UNORDERED PITCH INTERVAL).

Este tipo de intervalo parte de la misma idea que el anterior , pero en él no identificamos la

dirección del intervalo, sino únicamente la distancia entre las 2 notas. Para ello se utiliza la misma

fórmula, pero utilizando el paréntesis en substitución del corchete: ip (x,y)= |y-x|.

Así pues, el intervalo anterior quedaría de la siguiente forma: ip <2, -11> = |-11 -2| = |-13| = 13 ,

por tanto, sin tener en cuenta su dirección.

    2.1.2- ORDENACION DE ALTURAS EN GRUPO CERRADO (PITCH CLASS) E INTERVALOS

La ordenación en Pitch Class (pc) es la equivalente a enumerar únicamente la escala de 0 a 11,

suprimiendo las altura del cambio de octava ( es decir 13,14,15 etc.):

Ejemplo 3

De es modo el numero base tiene como equivalentes a:

0 = (...-36,-24,-12,0,12,24,36,48 ...)

1 = (...-35,-23,-11,1,13,25,37,49 ...)

2 = (...-34,-22,-10,2,14,26,38,50 ...)

3 = (...-33,-21, - 9,3,15,27,39,51, ...)

4 = (...-32,-20, - 8, 4,16,28,40,52,...)

5 = (...-31,-19, - 7, 5, 17,29,41,53...)

etc..

        2.1.2.1.- INTERVALO DE ALTURAS ORDENADAS EN GRUPO CERRADO (ORDERED PITCH CLASS INTERVAL)

A este tipo de intervalos Milton Babbitt los enumera intervalos directos (directed intervals), y es el

intervalo resultante del la suma del numero de semitonos total en una dirección, pero teniendo en cuenta

únicamente el numero de la nota (o sea numeración de 0 a 11). En este tipo de intervalos, y en el caso

de sumas negativas se utiliza la suma del intervalo 12 (módulo 12), y significa que a un resultado

negativo se le debe añadir 12, siendo numero válido el resultante. La fórmula es la siguiente: i<a,b> = b-

a . b y a son las notas primera y última del intérvalo. Veámoslo en el ejemplo siguiente:

i<5,1> = 1-5 = (-4) , ((+ mod.12)) = (8)

Ejemplo 4

Como puede observarse, el resultante de la suma de ambos es siempre la escala de 12

semitonos, es decir 4+8 = 12.

        2.1.2.2 INTERVALO DE ALTURAS DESORDENADAS EN GRUPO (UNORDERED PITCH CLASS INTERVAL)

Éste es el que resulta de la suma por el camino más corto, quedando siempre las alturas

constreñidas a un intervalo el máximo de 6 semitonos (recuérdese que todos los intervalos pueden ser

invertidos, manteniendo siempre entre sí las mismas notas. De ese modo puede convertirse, por

ejemplo, un intervalo de sexta mayor en uno de tercera menor (9 = 3). La fórmula utilizada para ello, es

la siguiente: i(a,b) = la más pequeña de i<a,b> e i<b,a>. Como puede observarse hasta aquí, se

utilizan siempre paréntesis para los intervalos desordenados. Si obtenemos el resultado en números

negativos deberá añadirse a aquel un numero de 12 semitonos (mod. 12), como en el anterior ejemplo.

Por tanto, su utilización será: i(11,0) = i(0,11) = 1. Esta es, además, la fórmula abreviada de

i(11,0) = 0 -11 = (-11) , ((+ mod.12)) = 1. Veámoslo en el ejemplo siguiente:

 

Ejemplo 5

Hasta aquí hemos observado todas las posibilidades posibles de combinación a partir de una

nota base. Conocer una u otra nos será de gran utilidad para desarrollar toda la teorización siguiente, sin

la cual no sería posible abordarla. Para dejar en claro todo este tipo de combinación, vamos a analizar

con todas las posibilidades expuestas hasta el momento la serie utilizada por Anton Webern en el Tema

de su Sinfonía Op. 21.

Ejemplo 6

    2.1.3.- ORDENACION EN FORMA DE ESCALA (ESCALISTICA) DE LAS ALTURAS E INTERVALOS.

En el análisis de un fragmento musical, aparece, en primer lugar, el problema de la ordenación

de sus notas (alturas) en base a un determinado tipo de escala, para poder resumir así, y de modo

factible, la distribución de los 12 sonidos. Es evidente que el compositor a menudo no utiliza una escala

determinada, si bien ésta se halla subyacente, aunque sea de modo involuntario. Nuestro trabajo

consiste aquí, en dar una visión ordenada y coherente del discurso musical, convirtiéndolo así en

analíticamente comprensible.

        2.1.3.1.- PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FORMA IDEAL (NORMAL FORM).

El procedimiento básicamente utilizado en el análisis de alturas (Pitch Class), es el de obtener el

camino más corto de su distribución interválica, es decir, el elemento de menor longitud según la escala

cromática. Para ello la ordenación de las alturas podría parecer suficiente, aunque el problema erradica

en que no podemos basar siempre las alturas sobre una única altura base, por ejemplo Do = 0, ya que

en la mayoría de casos, ésta puede no ser la altura central de la obra, sino una más dentro del discurso

sonoro.

O sea, si tenemos, por ejemplo, el acorde siguiente:

Ejemplo 7

La ordenación de sus alturas, desde el ámbito de octava, sería la siguiente, junto con todas sus

posibles combinaciones:

0 2 6 11

2 6 11 0

6 11 0 2

11 0 2 6

Ejemplo 8

Así, tenemos cuatro combinaciones posibles y la pregunta es la siguiente, ¿cuál es la ideal?.

Para ello debemos realizar las formulaciones antedichas entre las diferentes distancias interválicas

determinando, de ese modo, cuál de ellas es la que tiene la suma menor, que será, a su vez, la ideal.

i<0,2> + i<2,6> +<6,11> = 2 + 4 + 5 = 11

i<2,6> + i<6,11> +<11,0> = 4 + 5 + 1 = 10

i<11,0> + i<0,2) +i <2,6> = 1 + 2 + 4 = 7

 

Es por tanto, la última, la que posee la combinación 11, 0 ,2 ,6 la ideal, por lo que debe realizarse

la numeración a partir de Si = 0 en vez de Do = 0 como forma ideal (normal form). Veámoslo ahora en

un ejemplo más práctico, en el fragmento de Die Jakobsleiter de Schoenberg:

Ejemplo 9

Tomando como punto de referencia el acorde culminante del compás 6, tenemos la combinación

de alturas siguiente:

0 3 6 9 10 11

3 6 9 10 11 0

6 9 10 11 0 3

9 10 11 0 3 6

10 11 0 3 6 9

11 0 3 6 9 10

 

Ejemplo 10

Al realizar la formulación se observa que hay tres que son iguales en cuanto a su longitud:

3 6 9 10 11 0

6 9 10 11 0 3

9 10 11 0 3 6

Otra forma de realizarlo rápidamente es la de sumar el numero de intervalos entre cada una de

las alturas (3 + 1 + 1 + 1 + 3 = 9).

Para ordenar esta combinación y determinar cuál es la ideal, debemos ahora realizar la operación

entre las notas los extremas de cada uno de los grupos, de los cuales, en esta ocasión también

obtendremos idénticos resultados. El siguiente paso será realizar la operación sobre el primero y

penúltimo :

i<3,11> = 8

i <6,0> = 6

i <9,3> = 6

De este modo el primero queda ya eliminado por ser el numero mayor. Posteriormente lo

realizaremos con el antepenúltimo numero de los 2 restantes:

i<6,11> = 5

i<9,0> = 3

 

Así, determinamos que la combinación {9, 10 ,11, 0, 3, 6} es la que deberá ser tomada como

forma ideal. Esto nos viene a confirmar, sin embargo, algo que ya veíamos desde el inicio, que la forma

ideal (normal form), , es siempre la que tiene los intervalos más pequeños en general y es, además, la

que principalmente sitúa dichos intervalos al inicio de la escala. O sea, en una combinación de

{8,3,7,0,6,9} la ordenación será:

a/ 0,3,6,7,8,9, con la que quedarían los intervalos siguientes:

b/ 3 3 1 1 1 3 intervalos

0 3 6 7 8 9 (0) pc ( Pitch Class)

Queda como forma ideal la siguiente:

c/ 6 7 8 9 0 3 pc

1 1 1 3 3 intervalos

 

2.2.- Operaciones básicas con modelos de alturas (Pitch Class).

        2.2.1.- TRANSPOSICION

            2.2.1.1 TRANSPOSICION DE ALTURA (PITCH TRANSPOSITION) ( )

La resolución de transposición de altura se realiza aquí en base a la determinación de una nota

de partida (pitch), hacia una nota de transposición, o sea: desde una nota x y un intervalo n. La fórmula

es la siguiente (x) = x + n. Veámoslo en el siguiente ejemplo:

(-10) = -10 + 20 = 10

Ejemplo 11

La numeración "p" es lo que diferenciará a la transposición de alturas (Pitch), de la de Tn , como

transposición de grupo de alturas (pitch Class). Así, podríamos transportar una línea de alturas con el

mismo procedimiento:

Ejemplo 12

        2.2.1.2.- TRANSPOSICION DE GRUPOS DE ALTURAS (PITCH CLASS TRANSPOSITION) (Tn ).

El procedimiento para este modelo es similar al anterior, preservando únicamente las alturas de

números entre 0 a 11 (al igual que en el capítulo anterior), de tal modo que no se mantiene el contorno

de la línea del grupo, aunque sí la semejanza entre ellos.

La formulación utilizada sería: por una pc x y un pc intervalo n, Tn (x) = x + n (mod.12). En ella

utilizaremos el módulo 12 en el caso de los números negativos. De ese modo, teniendo en cuenta que el

numerador de Do es cero podríamos aplicar los modelos de Pc del siguiente modo:

a) T8(7)= 7+8 = 15 = 15-12 = 3

b) T10<0,1,4>=<0+10, 1+10, 4+10>=<10,11,14>=<10,11,2>

i<x,y>:1,3 i<x,y>:1,3

 

c) T8{11,0,2,4} = {11+8, 0+8, 2+8, 4+8} = {19,8,10,12} = {7,8,10,0}

Ejemplo 13

 

    2.2.2.-INVERSION

La inversión es una operación relativamente simple, puesto que se trata de convertir a la altura x

en negativa.

 

        2.2.2.1.- INVERSION DE ALTURA

La inversión de altura tiene en cuenta la altura ordenada normalmente (Pitch):

I (x) = - x + n, ó x-n.

Por ejemplo: I(7) = -7 + 8 = 1. Veámoslo en un ejemplo:

a) <0,3,7,8,-1> = <-0,-7,-8,-(-1)> = <0,-3,-7,-8,1>

b) <0,3,7,8,-1> = <-5,-8,-12,-13,-4>

c)

Ejemplo 14

        2.2.2.2.- INVERSION DE GRUPO DE ALTURAS

Esta inversión tiene en cuenta a la altura básica de numeración entre 0 y 11, de forma que como

se ha realizado anteriormente, en las numeraciones negativas habría que añadirle el numero

complementario 12 (mod. 12). La formulación sería la siguiente: para un intervalo x y un intervalo pc n,

Tn I(x)= x+n (mod 12).

Por ejemplo, T10 I (11) = -11 + 10 (= -1) +((mod 12 )) = 11. De este modo las transposiciones

resultarían del siguiente modo:

Ejemplo 15

 

    2.2.3.- OPERACIONES COMPUESTAS

Las operaciones compuestas son, por tanto, el producto de 2 ó más operaciones, es decir, la

multiplicación de la operación X con la Y, primero la operación X , y posteriormente la Y, lo cual lo

escribimos como Y (X(z)).

La formulación debe realizarse de derecha a izquierda, en este orden: primero X en z, después Y

en la imagen de z bajo X. Por ejemplo:

Formulación Procedimiento

T11 I(T7(T0 I(T2(T5(x))))) = | 5+2 = 7

T11 I (T7(T0 I(T7(x)))) = | 0-7 = -7 (+12)= 5

T11 I(T7 (T5 I(x))) = | 5+7 = 12 (-12)= 0

T11 I(T0I(x)= | -0-11=-11 (+12)=11

T11 (x) = x+ 11

 

            2.2.3.1OPERACIONES MULTIPLICATIVAS

Cuando el argumento aparece multiplicado, éste es llamado multiplicativo. En el modelo de 12

notas, el grupo x = -x es idéntico al grupo x= 11. x (ej: x=1,1 = -1 =11 y 1 = 11. 1 = 11. De este modo la

pc inversión Tn I(x) = -x+n es idéntica a la operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n.

Por ejemplo, en el círculo de cuartas y quintas justas se utiliza el modelo de multiplicación

siguiente - quedando como el círculo de cuartas y quintas, aunque transformado (recordemos que a los

valores negativos, y que exceden de 12 semitonos, se le suma o resta el numero 12 respectivamente

(mod. 12)):

M5(x) - Círculo de cuartas

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5.x 0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7

M7 (x) - Círculo de quintas

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7.x 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5

Teniendo en cuenta que la operación Tn (x) = x+n es idéntica a la operación multiplicativa Tn

M11(x) = 11. x+n, tenemos que:

Tn M11(x) = 11. x+n

T5 M7 {1,4,7,10} = {7+5, 4+5, 1+5, 10+5} = {0,9,6,3} = {0,3,6,9}.

 

 

    2.3.-GRUPOS DE TIPOS (SET TYPES)

        2.3.1.- TIPOS

Los grupos y líneas de alturas y pc son normalmente clasificados en diferentes tipos o formas. Un

grupo familiar de pc sería el acorde mayor tríada, y un tipo de línea, la escala mayor. Para clasificar a

ambos vamos a establecer una diferencia entre las propiedades estructurales de los grupos y el de las

líneas.

                2.3.1.1 TIPOS CARDINALES

Por lo general se clasifican según el numero de los miembros que lo integran. La enumeración,

así como los nombres normalmente utilizados, son los siguientes:

Cardinales Tipo de nombre En inglés

0 Grupo nulo Null set

1 Mónada Monad

2 Díada Dyad

3 Tríada Trichord

4 Quatríada Tetrachord

5 Quintíada Pentachord

6 Acorde de 6 notas Hexachord

7 Acorde de 7 notas Septachord

8 Acorde de 8 notas Octachord

9 Acorde de 9 notas Nonachord

10 Acorde de 10 notas Dedachord

11 Acorde de 11 notas Undecachord

12 Acorde de 12 notas Aggregate

 

            2.3.1.2LOS Tn TIPOS

Los Tn tipos son los referentes a la transposición de un determinado grupo, en los que n tiene la

función de denominar, con respecto a la numeración 0, la altura en que se encuentra con respecto a la

fórmula inicial. O sea, que en el supuesto de denominar a Do = 0, la numeración equivaldría a lo

siguiente:

T0 = {0,4,7} ( fórmula de partida, es decir, 0 equivale transposición nula)

T1 = {1,5,8}

T2 = {2,6,9}

T3 = {3,7,10}

T4 = {4,8,11}

etc.

T0 T1 (0,4,7)

Ejemplo 16

Para poder distinguir entre los diferentes tipos o formas usaremos {0,4,7} como la forma

representativa del tipo de tríada, y (0,4,7)Tn, como nombre del tríada tipo. La nomenclatura Tn es

necesaria para distinguirlo del Tn/ TnI - tipo.

            2.3.1.3LOS Tn/ TnI - TIPOS

En este caso, la equivalencia {0,4,7} tendrá 24 grupos distintos de pc:

T0 = {0,3,7} T0I = {5,9,0}

T1= {1,4,8} T1I= {6,10,1}

T2= {2,5,9} T2I= {7,11,2}

etc.

Véase la simultaneidad resultante realizada con dicha formulación en el siguiente extracto del

Octet de Stravinsky:

Ejemplo 17

Véase en el ejemplo siguiente la simultaneidad vertical de aquel y su autorrelación :

Ejemplo 18

Obsérvese que algunos de los subgrupos (subsets) aparecen en más de un lugar:

Ejemplo 19

 

        2.3.2.- APLICACIONES

            2.3.2.1.- COMO ENCONTRAR EL TIPO DE GRUPO

Véase inicialmente el siguiente ejemplo, el cual nos servirá de guía poder seguir la organización

general de forma más clara:

(serie interválica). <1, 5> <5, 1>

(0,1,6)Tn (0,5,6)Tn Tn- Tipos

[0,1,6] Tn/TnI Tipo

Ejemplo 20

El orden del procedimiento es el siguiente:

a/ Listado del grupo en su forma ideal (escala)

b/ Transportar el grupo para que su primera nota sea 0

* Esta es la "forma representativa" del grupo Tn - tipo

c/ Realizar la TnI en el grupo y repetir los pasos 1 y 2

* Esta es la "forma representativa" del grupo de inversión Tn-tipo

d/ Comparar el Tn-tipo de las formas representativas, y la suma de ambas será la

forma representativa de Tn/TnI-tipo.

 

        2.3.3.- SIMETRIA

                2.3.3.1 PRINCIPIO DE SIMETRIA

El principio de simetría (degree of symmetry), se halla en las posibilidades de repetición que

ofrece un elemento. Es decir, como más simétrico sea menos miembros tendrá, teniendo en cuenta que

el numero total de posibilidades son 24 (12 normales y 12 invertidas), deberemos dividir el numero de 24

posibilidades por el numero de sus variantes, que se fundamenten únicamente en los mismos números

de altura (pitch)6[6]. Veámoslo en los siguientes ejemplos:

a/ {0,4,8} puede actuar desde T0, T4 y T8 .

T0 lo omitimos, es obvio;

T4 {0,4,8} = {4,8,0} = {0,4,8}; T8 {0,4,8} = {8,0,4} = {0,4,8}

Por lo tanto, este tiene principios de simetría (cada uno de los números puede

actuar como simétrico), y a esto hay que añadirle, además, la simetría de la

inversión, que como es natura, en este caso será la misma, con lo que el numero

de grupos es [0,4,8] = 24/6 = 4. Estas son, efectivamente, las únicas

posibilidades transpositivas del grupo:

[0,4,8] = { {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}};[0,4,8]

b/ {0,3,7} no admite ninguna otra combinación que mantenga sus mismos números

de altura, por ejemplo: T3 {1,3,7} = {4,6,10}; por tanto será 1 el numero de

posibilidades combinatorias, o sea: T0 [0,3,7] = 24/1 = 24, que es el numero

total de posibilidades.

 

            2.3.3.2 INVERSION SIMETRICA

6[6]Para poder combinarse entre sí, es necesario que cada una de las posibles combinaciones no posea otro número de altura más que los que se hallan en la formulación original.

Una inversión simétrica del grupo siempre se halla en sentido canónico, y estos intervalos son

sus propios retrógrados (retrógrado-simétrico). Cada ordenación canónica está bajo la voluntad de TxI,

donde la inversión de x es igual a la suma del primero y último miembro de esta ordenación.

En el anterior ejemplo A, {0,4,8}, tiene 3 elementos canónicos, {0,4,8},{4,8,0} y {8,0,4}, en los que

cada uno se mueve con la simetría interna de distancia de 4 semitonos <4,4>, con lo que el índice es

0+8 = 8,4 +0 = 4 y 8+4 = 0. En el ejemplo B {0,1,3,4} tiene el orden canónico {0,1,3,4}, que es un orden

retrógrado simétrico <1,2,1> con lo que el índice es 0+4 = 4.

Por ejemplo {0,2,4,5,7,9} están en orden canónico <2,2,1,2,2>, por lo que fórmula es T9 I.

Veámoslo mejor en la siguiente representación gráfica:

7 0 2 7 índice = 2

 

0 1 3 4 índice = 4

 

0 2 4 5 7 9 índice = 9

 

0 4 8 índice = 8

(4= 1/2 índice = centro de la inversión simétrica)

7 0 1 2 7 índice = 2

(1 = 1/2 índice = centro de la inversión simétrica)

 

        2.3.3.3 TRANSPOSICION SIMETRICA

Este tipo es en realidad muy sencillo, la transposición simétrica será pues la lógica transposición

de un segmento simétrico:

T4{0,1,4,5,8,9} = {4,5,8,9,0,1} etc.

 

2.3.4.- UNION Y SEPARACION DE LOS GRUPOS DE INVERSION SIMETRICA

Este tipo de unión será la producida por la unión de 2 grupos de inversión entre sí: {0,2,5} U T 2 I

{0,2,5} = {0,2,5} U {2,0,9} = {0,2,5,9} = {9,0,2,5} en su forma normal = orden canónico <3,2,3>. Ejemplo:

{0,1,3,4} con respecto a T4 I divididos en varias partes de T4I subgrupos relativos:

{0,1,4} U {0,3,4} = {0,1,4} U T4I {0,1,4}

{0,1,3} U {1,3,4} = {0,1,3} U T4I {0,1,3}

{0,1} U {3,4} = {0,1} U T4I {0,1}

{0,3} U {1,4} = {0,3} U T4I{0,3}

 

2.4.-TEOREMAS DE ALTURAS COMUNES

Los teoremas de alturas comunes pretenden, ante todo, resumir ciertos pasos complejos con el

fin de acelerar el trabajo analítico y proporcionar, de ese modo, una visión abreviada de todo el proceso

de alturas y su autorrelación interna.

 

    2.4.1.- MULTIPLICIDAD; CONTENIDO INTERVALICO, VECTOR INTERVALICO

        2.4.1.1 MULTIPLICIDAD

La multiplicidad es la cantidad de veces que un intervalo se repite dentro de un grupo de alturas

determinadas. Así, en un grupo de alturas {0,2,4,5,7,9,11}, el intervalo 4 es repetido 3 veces:

i(0,4) = 4

i(5,9) = 4

i(7,11)= 4

La multiplicidad de 4 en este grupo es de 3, lo cual se escribiría del siguiente modo: MB(K), o sea:

MD(4) = 3, es decir, la multiplicidad en el grupo D del intervalo 4 es 3.

        2.4.2.2 CONTENIDO INTERVALICO

 

El listado de multiplicidades aparecidas en un grupo de pc de cada intervalo desordenado, de una

serie entre 1 y 6, es llamado "contenido de intervalo" de grupo pc. Los pasos para hallarlo son los

siguientes:

Grupo interválico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)

0, 11, 5, 9, 4, 2, 7 1 2 3 4 5 6

i(0,11) = 1 0,11,5,9,4,2,7 1

i(0,5) = 5 1

i(0,9) = 3 1

i(0,4) = 4 1

i(0,2) = 2 1

i(0,7) = 5 1

i(11,5) = 6 11,5,9,4,2,7 1

i(11,9) = 2 1

i(11,4) = 5 1

i(11,2) = 3 1

i(11,7) = 4 1

i(5,9) = 4 5,9,4,2,7 1

i(5,4) = 1 1

i(5,2) = 3 1

i(5,7) = 2 1

i(9,4) = 5 9,4,2,7 1

i(9,2) = 5 1

i(9,7) = 2 1

i(4,2) = 2 4,2,7 1

i(2,7) = 5 2,7 1

Total: 2 5 4 3 6 1

Por lo que {0,2,4,5,7,9,11} = D

MD(1) = 2

MD(2) = 5

MD(3) = 4

MD(4) = 3

MD(5) = 6

MD(6) = 1

 

 

 

            2.4.2.3VECTOR INTERVALICO

Una vez asumidas las multiplicidades de los intervalos en orden creciente de 1 a 6, el numero de

intervalos es de 6 <2,5,4,3,6,1>, de tal modo que este resultado es llamado "vector interválico". O sea, el

"Vector interválico" de un grupo pc es una ordenación de las multiplicidades de los intervalos 1,2,3,4,5,6

en ese orden. Véase en el siguiente ejemplo práctico:

Ejemplo 21

En este grupo interválico el contenido de vector debería seguir los pasos antedichos:

Grupo interválico pc Orden Intervalos posibles i(x,y)

0, 7, 4, 11, 8, 3 1 2 3 4 5 6

i(0,7) = 5 0,7,4,11,8,3 1

i(0,4) = 4 1

i(0,11) =1 1

i(0,8) = 4 1

i(0,3) = 3 1

 

i(7,4) = 3 7,4,11,8,3 1

i(7,11) = 4 1

i(7,8) = 1 1

i(7,3) = 4 1

 

i(4,11) = 5 4,11,8,3 1

i(4,8) = 4 1

i(4,3) = 1 1

 

i(11,8) = 3 11,8,3 1

i(11,3) = 4 1

 

i(8,3) = 5 8,3 1

Total: 3 0 3 6 3 0

El vector interválico es <3,0,3,6,3,0>, o sea, 3 en el intervalo 1, 0 en el intervalo 2, 3 en el

intervalo 3, 6 en el intervalo 4, 3 en el intervalo 5 y 0 en el intervalo 6.

            2.4.2.4 NO VARIACIONES DEL CONTENIDO INTERVALICO; Z-GRUPOS RELATIVOS (Z-Related sets).

El contenido de intervalo o vector interválico de los grupos pc son invariables en su forma Tn y TnI

(transportando o invirtiendo se mantiene siempre el mismo tipo de intervalo). Todos los grupos de un Tn-

tipo o Tn/TnI-tipo tienen el mismo contenido interválico.

Algunos grupos pueden tener el mismo contenido interválico de un diferente Tn-tipo y Tn/TnI-tipo.

Tales grupos son llamados Z - relativos (Z - related, definición realizada por Allen Forte en su libro The

Structure of Atonal Music). Por ejemplo: {0,1,4,6} y {0,1,3,7} son las formas representativas,

separadamente, de los Tn/TnI-tipos, pero no son relativas en su transposición ni en su inversión, sin

embargo, mantienen el mismo vector interválico <1,1,1,1,1,1>. Esta última es la llamadas Z-relativa.

Por lo tanto, los Z - relativos son los intervalos que tienen una relación de vector interválico

aunque no guarden entre sí un mismo contenido, en cuanto a relación interválica se refiere.