Pl (construcción algebraica y hoja de cálculo)

CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE MODELOS DE PLPROGRAMACIÓN LINEAL EN HOJA DE CÁLCULO (EXCEL)

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

NARVÁEZ RANGEL ERWIN ARTURO

SALDIVAR CORONA ERIC ALÁN

TOMAS CRUZ EDGAR6 OCTUBRE 2011

CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL MODELO

DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para la construcción algebraica del modelo de programación lineal, los pasos a seguir son los siguientes:

1. En primer lugar hay que identificar las variables de decisión del problema.

2. Buscar la función objetivo. Que es la función que queremos optimizar

3. Encontrar las restricciones.

4. Condición de no negatividad.

CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN

LINEAL

Ejemplo 1:


LINEAL

El problema fundamental de la programación lineal consiste en determinar una solución para un sistema de ecuaciones lineales simultáneas (las desigualdades se transforman en igualdades), que optimice una determinada función objetivo.

Sea el sistema de ecuaciones lineales simultáneas, con m ecuaciones y n variables (n > m):


LINEAL

Podemos escribir de forma matricial: Ax = b

Si suponemos que rango de A es r(A)=m, tomando cualquier submatriz B de A no singular de orden m, y haciendo iguales a cero las restantes n-m variables asociadas a los vectores columna de A que no están en B, la solución del sistema resultante:

De m ecuaciones con m incógnitas, se denomina solución básica y la representaremos por xB .


LINEAL

Definición.- Se denominan variables básicas a las variables del vector xB formado por las m variables asociadas con la solución básica y variables no básicas a las n-m restantes variables que se han igualado a cero.

Definición.- Se denomina base o matriz básica a toda matriz cuadrada B no singular de orden m, formada por un conjunto de vectores ai de A.

Las variables básicas pueden tomar valores positivos, negativos o cero, y si en particular una o más variables básicas toman el valor cero, la solución básica de denomina degenerada.

Notar que hay posibles soluciones básicas para el sistema de ecuaciones A.x=b.

BASADO EN HOJA DE CÁLCULO

Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo producto. Los planes de promoción para el próximo mes están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimada por unidad de publicidad se muestran a continuación :

TELEVISIÓN RADIO PRENSA

AUDIENCIA POR UNIDAD DE PUBLICIDAD

100,000 18,000 40,000

COSTO POR UNIDAD DE PUBLICIDAD

2,000 300 600

BASADO EN HOJA DE CÁLCULO

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas.

Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado.

El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00.

Se necesita determinar el plan óptimo para maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad.

SOLUCIÓN

Variables de decisión:

T = Unidades de publicidad a contratar en televisión.

R = Unidades de publicidad a contratar en radio.

P = Unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo : Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad.

Z = 100.000 T + 18.000 R + 40.000 P

SOLUCIÓN

Restricción 1 : Presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00.

2.000 T + 300 R + 600 P ≤ 18.500

Restricción 2 : La publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas.

R = 0,50 (T+R+P)

Restricción que al ser simplificada quedará expresada como :

– 0,50 T + 0,50 R – 0,50 P = 0

Restricción 3 : La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado.

T ≥ 0,10 (T+R+P)

Restricción que al ser simplificada quedará expresada como :

0,90 T – 0,10 R – 0,10 P ≥ 0

SOLUCIÓN

Coloque en la FILA 3 los valores que acompañan las incógnitas o variables de decisión en la función objetivo Z.

SOLUCIÓN

Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo matemático. Sea muy cuidadoso en el uso de los signos.

Nota: Para escribir el signo “=” en alguna celda se recomienda presionar una vez la tecla espaciadora y después “=”.

SOLUCIÓN

Introduzca “ceros” en las celdas donde usted quiere que se reflejen los resultados de “T”, “R” y “P” (en este caso B10, C10 y D10).

SOLUCIÓN

Introduzca las fórmulas en las celdas H5, H6 y H7 ; ellas reflejarán los valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema.

Celda H5 =B5*B10+C5*C10+D5*D10



SOLUCIÓN

Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda H10.

Celda H10 =B3*B10+C3*C10+D3*D10

En ella se reflejará el valor de Z máximo una vez aplicado “Solver”. Inicialmente reflejará cero.

SOLUCIÓN

Una vez que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan valores a las variables de decisión (celdas B10, C10 y D10), la columna “H” muestra de inmediato los valores de cada condición de restricción (celdas H5 hasta H7) y la celda H10 muestra la audiencia total.

SOLUCIÓN

Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una herramienta que incluye Excel llamada “ SOLVER”.

Para correr el Solver primero haga “clic” en el menú “Datos” y Posteriormente haga “clic” sobre el logotipo de “SOLVER” en la parte superior derecha de la pantalla.

SOLUCIÓN

Una vez seleccionado “Solver” se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.

SOLUCIÓN

En los círculos blancos donde se solicita el “Valor de la celda objetivo” indique “Máximo”. El modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la palabra máximo).

En el espacio central izquierdo, donde se solicita “Cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B10, C10 y D10, coloque $B$10:$D$10.

SOLUCIÓN

En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic en “Agregar”.

SOLUCIÓN

Como ya se introdujeron todas las restricciones haga “clic” en “Aceptar” y se presentará el cuadro de diálogo que resume el modelo completo.

SOLUCIÓN

Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, haga “clic” en el recuadro “Opciones” (lado central derecho) y aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de Solver”.

Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Adoptar no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos y que se enciendan los testigos).

SOLUCIÓN

Ahora seleccionamos “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B10, C10 y D10, y en la celda objetivo (H10) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”. (Verifique primero si Solver ha hallado una solución).

SOLUCIÓN

Y aparecerá la hoja de resultados:

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