Plasticidad b
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Introducción a la teoría de la plasticidad - II
2011 – 2do Cuatrimestre
Planteo para estudio analítico
• e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica,
• f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico,
• g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.
f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico
• Se trata de establecer relaciones constitutivas. • Teorías *de la deformación total *incrementales • Ventajas y desventajas. • Comportamiento plástico ideal
Teoría de Prandlt y Reuss • Asume: dε = dεe+dεp (materiales elastoplásticos) y los ejes
principales de tensiones y deformaciones coinciden . • Postula que los incrementos de deformación plástica son
instantáneamente proporcionales a las tensiones desviadoras actuantes
donde dλ es una función instantánea del punto del cuerpo en el que se considera el estado. Puede evaluarse usando tensiones y deformaciones equivalentes
λεεεεεε ds
ds
ds
ds
ds
ds
dzx
pzx
yz
pyz
xy
pxy
zz
pzz
yy
pyy
xx
pxx ======
equiv
pequiv
equivijijijijp
equivp
ijp
ij
ijp
ij
dd
dssdsddddd
sdd
σε
λ
σλλλεεεε
λε
23
)(32
32)(
32).)(
32()()
32(
.
2222
=⇒
====
⇒=
Teoría de Prandlt y Reuss • Para escribir los incrementos de la deformación elástica en función
de las tensiones, se toman incrementos en la Ley de Hook generalizada. Para calcular los incrementos de la deformación plástica se utiliza proporcionalidad anterior y la expresión de la parte desviadora sij del tensor de tensiones:
xyequiv
pequivxy
xyxy
xy
zyxequiv
pequiv
zyx
zyxzyxxx
ijijkkijp
ijeijij
dG
dsd
Gd
d
dddd
E
ddddE
d
ejemplopor
sddE
dE
ddd
σσεσ
λσ
ε
σσσσε
σσνσ
σσσλσσνσε
λδσνσνεεε
+=+=
+−++−=
=+−++−=
+−+
=+=
2.
2
)](21[)]([1........
)](21.[
32)]([1
:.
.))1((
Teoría de Levy y Mises
• Asume dε = dεp (materiales rigido-plásticos) y la otras hipótesis de la teoría de Prandlt-Reuss.
• Operando en forma similar al caso anterior:
xyequiv
equivxy
zyxequiv
equivzyxxx
ijp
ijij
dd
ddd
ejemploporsddd
σσε
ε
σσσσε
σσσλε
λεε
=
+−=+−=
==
)](21[)](
21.[
32
:.,...
λεεεεεε ds
ds
ds
ds
ds
ds
dzx
zx
yz
yz
xy
xy
zz
zz
yy
yy
xx
xx ======
Teoría de Levy y Mises
• Con cálculos similares al caso anterior:
xyequiv
pequiv
xyxy
zyxequiv
pequiv
zyxxx
ijp
ijij
dsdd
d
dd
ejemploporsddd
σσε
λε
σσσσε
σσσλε
λεε
==
+−=
=+−=
==
.
)](21[........
)](21.[
32
:.
.
Planteo para estudio analítico
• e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica,
• f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico,
• g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.
g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.
• Modificación de la superficie de fluencia por endurecimiento o ablandamiento.
• Sólo trataremos endurecimiento lineal
Hipótesis simplificativas • Para la consistencia en la formulación
(espacio de tensiones admisibles en plasticidad quasiestática)
Eσadm = Eσ ∪ ∂ Eσ = {σ / F (σ,α) ≤ 0}.
Endurecimiento isotrópico Endurecimiento cinemático
Caso de estudio: objetivo
• Endurecimiento isotrópico – solicitación uniaxial: • En el espacio de las tensiones admisibles Eσ
adm las siguientes situaciones son posibles:
j) En régimen elástico (Eσ):
σ = E ε => dσ = E dε , (Ley de Hooke) jj) En régimen elasto-plástico (Eσ): en descarga:
dF(σ,α)<0 => dσ = E dε , (Ley de Hooke) en carga plástica:
dF(σ,α)=0
• postulamos que la relación es dσ = Eplast dε , • queremos hallar una expresión para Eplast
Caso de estudio: planteo del problema
• Elegiremos, como variable (funcional) de endurecimiento α= α(σ, εp) a una función que verifique: y α(εp=0) = 0. Si el proceso de deformación es monótono creciente α= εp, ésto no es válido bajo condiciones generales de deformación.
• Dar una ley de endurecimiento significa especificar la función
σy(α) , que en este caso será:
σy(α)=σy + H’α => dσy(α)=H’dα
Caso de estudio: planteo del problema
• Completamos la expresión de F, que en este caso (ya sea que usemos el criterio de Tresca o de von Mises ) es
• Sobre la superficie de fluencia Eσ se verifica F(σ,α)=0. por lo tanto diferenciando y teniendo en cuenta que dF(σ,α)=0 , se tiene:
)'(),( ασσασ HF y +−=
.'0)(')(')(
0)(
p
p
y
dHddsignHdsigndHdsign
dd
εσ
εσσσασσ
ασσ
=⇒
=−=−⇒
=−
Caso de estudio: ecuación constitutiva en el rango elastoplástico
• De lo anterior, con la hipótesis de aditividad de los incrementos de
deformación resulta:
''.......
''
'')
'11(
'11
HEHEEd
HEHEd
dEH
HEdHE
dH
dE
ddd
plast
pe
+=⇒
+=⇒
+=+=+=+=
εσ
σσσσεεε
Caso de estudio: conclusiones • La expresión anterior permite explicar diversos comportamientos:
• l) H’>0 => Eplast>0 lo que indica endurecimiento (ver figura a)). En
particular, si H’=∞ => Eplast=E y no hay fluencia.
• ll) H’=0 => Eplast=0 es el caso de elasto-plasticidad ideal (figura b))
• lll) H’<0 => Eplast<0, plasticidad con ablandamiento. Si H’= -E => Eplast=-∞ (ver figura b))
a b
Generalización Para tratar la plasticidad en estados complejos de tensiones solo
comentaremos dos tendencias en el caso de metales con endurecimiento, asumiendo
• que la variación unitaria de volumen es despreciable, • que los ejes de tensiones y de incrementos de la deformación se
mantienen paralelos a los largo de todo el proceso y -como antes- que el endurecimiento es isotrópico,
• que la expresión de f(I1, I2, I3) está determinada por el criterio de von Mises y la ley de endurecimiento es lineal)
Trataremos los siguientes casos: • Endurecimiento por deformación (hipótesis de curva universal de
flujo) • Endurecimiento por trabajado (se asume que la tensión equivalente
σequiv es una función del trabajo plástico total )
Endurecimiento por deformación Plantea la existencia de una curva universal del flujo. Hipotesis: , H una función conveniente. • proporcionalidad (para las teorías de Prandlt-Reuss o de Levy-Mises) • las cargas son aplicadas radialmente, producen componentes de tensión proporcionales y sigue siendo válida la hipótesis de pequeñas deformaciones; es posible integrar los incrementos plásticos Ahora hay una expresión funcional que relaciona σequiv y εequiv, que se
supone derivable,
• Si no pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elásticas
• Si pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elásticas
'23)(
'H
dd
dd
ddH
Hequiv
equivp
equiv
equivp
equiv
pequiv
σσ
λεσ
εε
=⇒==
equivequivequiv
equivpequivequiv d
HHd
dd σσσ
σεε .
'1
23.
'23
===
equivequivequivequiv
equivequiv
pequiv
eequivequiv d
Hd
EHd
dE
ddd σσσσ
σσεεε .
'1
231.
'231
+=+=+=
∫= )( pequivequiv dH εσ
Endurecimiento por trabajado
• Se asume que la tensión equivalente σequiv es una función del trabajo plástico total
• Es un caso particular del anterior en el que la relación universal se puede expresar en términos del potencial plástico Bajo hipótesis suficientes, esta teoría propone la siguiente relación
• Procediendo de manera similar
• Se obtiene:
• Y, cuando se pueden despreciar las deformaciones elásticas,
∫== pequivequivppequiv dWconWG εσσ ..),..(
223
equiv
p
equiv
pequivp
equivequivp
dWddddW
σσε
λεσ ==⇒=
equivequiv
pequiv
pequiv
eequivequiv d
dWd
Eddd σ
σσεεε .
231
2+=+=
equivequiv
ppequivequiv d
dWdd σ
σεε .
23
2==
Fluencia plana • Se conoce con este nombre al proceso de deformación plástica en el que las
mayores deformaciones se producen solamente en un plano (pudiéndose despreciar las que resultan en la dirección normal a dicho plano). Esto puede suceder porque el mismo material restringe las deformaciones o porque la herramienta usada en el proceso impide las deformaciones en una dirección. Es el caso de la laminación de metales (a) o de compresión de planchas entre placas paralelas (b).
a
b
Fluencia plana Sea xy el plano en el que se produce la deformación, entonces: • el flujo de deformación es siempre paralelo al plano xy y es
independiente de la variable z, lo que implica que los únicos incrementos de deformación NO nulos son dεxx, dεyy y dεxy que sólo dependen de x e y.
• Si los incrementos de deformaciones elásticas son despreciables frente a los correspondientes a las deformaciones plásticas ( pueden aplicarse las relaciones de Levy-Mises) y se obtiene
lo que significa que la dirección z es principal y vale : • si se asume constancia de volumen, de la ecuación (13) se deduce que dεxx = -dεyy.
00
00
=⇒==
=⇒==
yzyzrquiv
equivyz
xzxzrquiv
equivxz
dd
dd
σσσε
ε
σσσε
ε
20)](
21[ yx
zyxzrquiv
equivzz
dd
σσσσσσ
σε
ε+
=⇒=+−=