POLÍGONOS I. TRIÁNGULOS. DIBUJO TÉCNICO II

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

T3. POLÍGONOS.TRIÁNGULOS

b

B

R 50

1

2

3

426 m

m

ha ma33 m

m

A

a

b

c

B Cr

Cb

c

a

B

A

1R 5

6 m

m40

mm

h

54 mmB

A

C

c b

a 1

TRIÁNGULOS. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES.

A

I

B

C

ba

ab

c

bb

bc

A

Mc Ma

MdC

B

D

mb

ma

md

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma

2/31/3

mb

mC

BisectricesINCENTRO

MediatricesCIRCUNCENTRO

MedianasBARICENTRO

AlturasORTOCENTRO

T3. POLÍGONOS. TRIÁNGULOS

PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.

2p = a + b + c

A

a

c

b

2p

C´ C´´B

C


Construye un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos


ab

B



a

1. Trazamos el lado a

ab

B

B



a

a

2. Transportamos el ángulo B al extremo de a

b

B

B

A´

A

C



a

a

3. Desde C, trazamos un arco de radio el lado B,

que corta al lado oblicuo del ángulo C en A y A´

b

B

B

A´

A

C



a

a

4. El problema tiene dos soluciones, una ABC, y la

otra A´BC

b

B

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo la hipotenusa ay la diferencia de los catetos


ab-c



Si en un triángulo rectángulo cualquieraabatimos el cateto menor sobre el mayor,

la distancia que nos queda en el mayor seráde c-b.

Al mismo tiempo, el ángulo que se forma entreA, D y C siempre será de 45º, ya que sería

la diagonal de un supuesto cuadrado entre ADEC, independientemente de lo que

midan los catetos

ac-b

b a

D B

C E

A

c

45º

c-b



1. Por tanto, trazamos una recta r y situamos b-c sobre ella

r

B

ac-b

D c-b



2. Trazamos un ángulo de 45º apoyado en la recta r y con vértice en D, en dirección

hacia donde estará la C

45ºr

ac-b

B

D c-b



3. Trazamos un arco con radio a desde B,que cortará a la recta oblicua del ángulo

trazado anteriormente en C

C

45ºr

a

ac-b

B

D c-b



4. Teniendo situada la hipotenusa (a) con los dos vértices B y C y la recta r donde irá b,

sólo tenemos que trazar una perpendiculardesde r a B y obtendremos así los dos catetos

aa

C

45º90ºr D

A

ac-b

B

c-b



5. Teniendo los tres vértices ya podemostrazar el triángulo

aa

C

45º90ºr D

b

bA

ac-b

c-b

B



Si en un triángulo rectángulo cualquieraabatimos el cateto menor sobre el mayor,

la distancia que nos queda en el mayor seráde c-b.

Al mismo tiempo, el ángulo que se forma entreA, D y C siempre será de 45º, ya que sería

la diagonal de un supuesto cuadrado entre ADEC, independientemente de lo que

midan los catetos

ac-b

b a

D B

C E

A

c

45º

c-b

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo la hipotenusa ay la suma de los catetos b y c


ac+b



c+bSi en un triángulo rectángulo cualquiera

abatimos el cateto menor en la continuación del mayor, el vértice A, que es vértice del ángulo recto, estará en la bisectriz

del ángulo formado por DAB, o lo que es lo mismo, en la

intersección entre la mediatriz de DC y la prolongación del cateto mayor.

Al mismo tiempo, el ángulo que se forma entre CDA siempre será de 45º

b a

D

C

Ac+b

c B45º

a



D B

c+b

1. Lo primero que hacemos es trazar el segmento c+b

c+ba

45º



c+b

2. Trazamos el ángulo de 45º en el extremo D

c+b

D B

a

45º



a

c+b

3. Con centro en B, trazamos un arco de radio a, que cortará al lado oblicuo

del ángulo en los puntos C y C´

c+b

D

C

C´

B

90º 90º45º



a

c+b

4. Ahora solo hay que trazar la perpendicular desde el segmento

DB a C y a C´ para obtenerA y A´, ya que el problema tiene

dos soluciones

c+b

DA A´

C

C´

B

90º 90º45º



a

ab

c

c+b

5. Las dos soluciones son ABC y A´BC´.

c+b

DA A´

C

C´

B

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo un cateto by la suma de la hipotenusa a y el otro cateto c


a (hipotenusa)+c

b

90º

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo un cateto by la suma de la hipotenusa a y el otro cateto c


b

b

C

N

1. Al tratarse de un triángulo rectánguloy tener un cateto, podemos trazar

un ángulo recto y situar el cateto cen un lado y la suma de a + b en el otro (a +b es un cateto más la

hipotenuda abatida)

a (hipotenusa)+c

a+c

A

90º

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo un cateto cy la suma de la hipotenusa a y el otro cateto b


c

c

2. Unimos C con N y hallamos la mediatriz.

El lugar donde dicha mediatriz cortaal segmento a+c es el vértice

B del triángulo

a (hipotenusa)+b

a+b

C

A BN

90º

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo un cateto cy la suma de la hipotenusa a y el otro cateto b


c

c a

b

2. Unimos C con N y hallamos la mediatriz.

El lugar donde dicha mediatriz cortaal segmento a+c es el vértice

B del triángulo

a (hipotenusa)+b

a+b

C

A BN

Construcción de un triángulo rectángulo en el vértice A, conociendo un cateto by la resta de la hipotenusa a y el otro cateto c (a-c)


ba (hipotenusa)-c


1. Dibujamos el cateto b en la perpendicular a una recta auxiliar

r que será la recta donde más tarde situaremos el cateto c.


ba (hipotenusa)-c

b

A


b

2. Situamos, sobre la recta ry a un lado del segmento b, la

medida a-c


b

r

a (hipotenusa)-c

a-cN

C

A


b

N

C

3. Unimos N con C y trazamosla mediatriz de dicho segmento


b

r

a (hipotenusa)-c

a-c A


b

N

C

A B

4. El punto B, donde la mediatrizcorta a la recta r es el vértice que

faltaba del triángulo


b

r

a (hipotenusa)-c

a-c


b

a

cN

C

A B

5. Uniendo los vértices, obtenemosel triángulo


b

r

a (hipotenusa)-c

a-c


Construcción de un triángulo isósceles ABC (AB = AC), conociendo

el ángulo A y el segmento a + ha (altura de a)

a + ha

A


1. Se dibuja un triángulo auxiliar AB´C´



a + ha

A

A

B´ C´


2. Sobre la prolongación de AN, altura de dicho triángulo,marcamos la

medida AN´+ B´C´, y obtenemosel punto M´.



a + ha

A

A

B´ N´

M´

C´


3. Situamos el segmento a+ha dadoen la altura del triángulo auxiliar,

obteniendo así el punto M, y prolongamos los lados iguales del triángulo auxiliar



a + ha

A

A

B´ N´

M´

M

C´


4. Unimos B´M´ y C´M´.



a + ha

A

A

B´ N´

M´

C´

M


5. Hacemos paralelas a B´M´ y C´M´desde M, y obtenemos los vértices B y C buscados



a + ha

A

A

B´

B C

N´

M´

M

C´

Construye un triángulo equilátero de 50 mm de ALTURA


A1



A1

2



A1

2

3



A

R 50

1

2

3

4



A

R 50


1

2

3

4


C Ab

52 mm

Construye un triángulo RECTÁNGULO sabiendo que el CATETO b mide 52 mmy la MEDIANA de c, mc, mide 56 mm


C Ab



1

C Ab

R 5

6 m

m



Cb

c

B

A

1R 5

6 m

m




Cb

a

c

B

A

1R 5

6 m

m


Construye un triángulo RECTÁNGULO sabiendo que la MEDIANA mide 33 mm y la ALTURA DE LA HIPOTENUSA 26 mm


26 m

m

ma

a

A

B C

ha

r



26 m

m

ma

a

A

B C

ha

A

B Ca

m 33=CB anaidem

Desde un punto arbitrario trazamosun arco de 32 mm, medida de la mediana

del lado BC (hipotenusa). Donde el arco corte a la paralela de r estará el vértice que falta (A)

r



26 m

m

ha ma33 m

m

ma

a

A

B C

ha

A

B Ca

r




26 m

m

ha ma33 m

m

ma

a

A

B C

ha

A

a

b

c

B Cr


Construir un TRIÁNGULO ISÓSCELES de BASE (lado desigual) 48 mm, y de ALTURA 40 mm


A

48 mm

Bc



A

48 mm

B

C

hc

40 m

m

c




A c

ab

48 mm

B

C

hc

40 m

m


Construye un TRIÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que la BASE mide 52 mm yLAS MEDIANAS IGUALES 48 mm


A

52 mm

Bc

1/3 mb

2/3 mb

b

B



A

52 mm

Bc 1

1/3 mb

2/3 mb

b

B



A

52 mm

B

2

R 32

c 1

48 mm

2/3 48 mm = 32 mm

1/3 mb

2/3 mb

b

B



A

52 mm

B

C

c 1

2

3

R 32

48 mm

2/3 48 mm = 32 mm

1/3 mb

2/3 mb

b

B



Construye un TRIÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que el SEMIPERÍMETRO mide 54 mm y LA ALTURA 40 mm


2p = a + b + c

Perímetro de un triángulo : 2p = a + b + c

AC1 C2a

cb

C

B



2p = a + b + c


AC1 C2a

cb

C

B

40 m

m

h

1



2p = a + b + c


Perímetro de un triángulo isósceles

SEMIPERÍMETRO: 2p/2

PERÍMETRO: 2p

AC1 C2a

cb

C

B

40 m

m

h

54 mm1




2p = a + b + c


Perímetro de un triángulo isósceles

SEMIPERÍMETRO: 2p/2

PERÍMETRO: 2p

AC1 C2a

cb

C

B

40 m

m

h

54 mmB

A

C

c b

a 1


Construye un TRIÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que la ALTURA Y UNO DE LOS LADOS IGUALESsuman 66 mm, Y EL ÁNGULO OPUESTO A LA BASE mide 60º


c

c

66 m

m

h

C

66 m

m

B

A



c

c

66 m

m

h

CB

A

= 2

66 m

m

15º

B30º60º

15º

30º



c

c

66 m

m

h

CB

A

= 2

66 m

m

15º

B

A

30º

30º60º

15º

30º



c

c

66 m

m

h

CB

A

= 2

66 m

m

15º

B C

A

30º

30º60º

15º

30º



c

c

66 m

m

66 m

m

h

CB

A

15º

= 2

B C

A

30º

30º60º

15º

30º



Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO sabiendo que UN LADO MIDE 48 mm,su ALTURA 53 mm, y el ángulo opuesto mide 45º


BA

48 mm



BA

48 mm

h =

48 m

m



BA

O

45º

h =

48 m

m



BA

a

b

c

C

45º

h =

48 m

m

O




BA

a´b´

c

C´

45º

h =

48 m

m

O

a

b

C


Dibuja el triángulo con los siguientes datos:A = 60ºB = 45º

hc = 40 mm


hc

C


hc = 40 mm


hc

45º60º

C


hc = 40 mm


hc

45º

45º

60º

60º

C

BA


hc = 40 mm



hc = 40 mm

hc

45º

45º

60º

60º

C

BA


Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO sabiendo que UN LADO MIDE 68 mm,su ALTURA 42 mm, y otra altura 60 mm


42 m

m

A B68 mm



42 m

m

68 mmA B

M

h



42 m

m

R 60 m

m

68 mmA

Hb

B

M

h




42 m

m

R 60 m

m

68 mmA

C

Hb

B

M

h


Dibuja el TRIÁNGULO sabiendo que EL LADO c MIDE 56 mm,LA MEDIANA mb mide 46 mm, y LA ALTURA hb, 44 mm


A c B



A

M

c B

h

44 mm

hb



A

M

c

b

B

h

44 mm

hb



A

M

c

b

B

h

44 mm

hb

mbmb

B



A

C

M

c

b

B

h

44 mm

hb

mbmb

B




A

C

M

c

b

a

B

hb

mb

44 mm

hb

mb

B

B


Dibuja el TRIÁNGULO sabiendo que EL ÁNGULO A = 75º, EL LADO b = 50 mmy LA MEDIANA mc = 52 mm


75º

A



75º

A

C

b50 m

m



75º

A

C

b50 m

m

mc =

52 m

m



75º

A B

C

b50 m

m

mc =

52 m

m



Dibuja un TRIÁNGULO ESCALENO sabiendo que UN LADO mide 54 mm, otroLADO 34 mm, y la MEDIANA DEL TERCERO 37mm


54 mm

A B



54 mm

A Bma

ma x 2

a

A

34 m

m



54 mm

34 m

m

37 X

2 m

m

A B

N

ma

ma x 2

a

A



54 mm

34 m

m

37 X

2 m

m

A

C

B

N

ma

ma x 2

a

A



Dibuja un TRIÁNGULO sabiendo que EL ÁNGULO A = 75º, EL B = 45º, Y LA BISECTRIZ DE a (wa) = 42 mm


A

75º



A

75º42 mm



A B

75º45º

42 mm

wa

P




A B

C

a

b

c

75º42 mm

wa

P

45º


Dibuja un TRIÁNGULO ESCALENO sabiendo que EL ÁNGULO A = 45º, EL LADO c = 65 mm, Y LA BISECTRIZ DE B (wb) = 50 mm


A45º



A c

45º

65 mm

B



A

P

45º

65 mm

50 m

mBc



A

1

45º

65 mm

50 m

mA

1

45º

65 mm

50 m

mB

3

2c



A

1

B

C

a

45º

65 mm

50 m

m

3

2c



A

1 3

2B

C

a

45º

65 mm

50 m

m


c


Dibuja un TRIÁNGULO sabiendo que EL ÁNGULO A = 75º, LA BISECTRIZ

DE A (wa) = 46 mm Y EL LADO b = 56 mm,


A

75º




75º

wa

A




75º 46 mm

wa

A




75º 46 mm

56 m

m

wa

A

C




75º 46 mm

56 m

m

wa



A

C


Dibuja un TRIÁNGULO ESCALENO sabiendo que UN LADO MIDE 52 mm y LAS MEDIANAS DE LOS

OTROS DOS 45 Y 60 mm respectivamente


A

52 mm

Bc




A

O

52 mm

(Baricentro) 40 m

m

30 mm

45 mm

60 mm

B

45 x 2/3 = 30

60 x 2/3 = 40

1

1´

1´

2

1

2

2´

2´

3

3

3´

3´

1/3 mb

2/3 mbb

B

c




A

mb

O

52 mm

(Baricentro) 40 m

m

30 mm

45 mm

60 mm

B

45 x 2/3 = 30

60 x 2/3 = 40

1

1´

1´

2

1

2

2´

2´

3

3

3´

3´

1/3 mb

2/3 mbb

B

c




A c

b

mb

O

52 mm

(Baricentro) 40 m

m

30 mm

45 mm

60 mm

B

45 x 2/3 = 30

60 x 2/3 = 40

1

1´

1´

2

1

2

2´

2´

3

3

3´

3´

1/3 mb

2/3 mbb

B




A c

b

C

a

mb

O

52 mm

(Baricentro) 40 m

m

30 mm

45 mm

60 mm

B

45 x 2/3 = 30

60 x 2/3 = 40

1

1´

1´

2

1

2

2´

2´

3

3

3´

3´

1/3 mb

2/3 mbb

B




30 m

m

hc

C

Dibuja un TRIÁNGULO sabiendo que la ALTURA DE c (hc) = 30 mm,LA MEDIANA DE c (mc) = 36 mm, Y LA BISECTRIZ DE c (wc) = 32 mm


30 m

m

hcmc

36 mmC



30 m

m

hcmc

wc

36 mm32 mm

C



30 m

m

hcmc

wc

36 mm32 mm

C

D



30 m

m

hcmc

wc

36 mm32 mm

C

O

D




30 m

m

hcmc

wc

36 mm32 mm

C

BA

D

O

AD = DB

=


B Ca

Dibuja un TRIÁNGULO cuyos datos son: el LADO a dado, LA ALTURA DE a = 43 mm,LA MEDIANA de a = 65 mm y EL VÉRTICE A se halla lo más a la derecha posible.

Hallar su INCENTRO


B C

43 m

m

a


Hallar su INCENTRO


B M C

43 m

m

a


Hallar su INCENTRO


B M C

A

43 m

m

65 m

m

a


Hallar su INCENTRO



Hallar su INCENTRO

B a M C

A

43 m

m

65 m

m

Incentro


B

r

Dibuja un TRIÁNGULO cuyos datos son: EL LADO c = 50 mm, LA MEDIANA de a = 52 mmy el´ÁNGULO b = 67º 30´, uno de los lados de este ángulo es la semirrecta r y su vértice

su extremo B. El lado a se halla sobre r. Calcula su ORTOCENTRO


B

r

Construcción ángulo 67º30´:1. Dibujamos un ángulo de 135º

(90º + 45º)

135º




B

r

Construcción ángulo 67º30´:2. Si dividimos 135 : 2 = 67,5.

67,5 = 67º30´

67º30´

135º




B

r

A

c

67º30´

50 m

m




B

r

A

c

67º30´

50 m

m

52 mm

Ma




B Cr

A

c

67º30´

50 m

m

52 mm

Ma






B Cr

A

Oc

50 m

m

52 mm

Ma


Ba

C

mc

mb

Dibuja un TRIÁNGULO cuyos datos son: el LADO a dado y LAS MEDIANAS

Mb Y Mc conocidas


Ba

C

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2


Mb Y Mc conocidas


Ba

C

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2

2/3 mc


Mb Y Mc conocidas


B

Bc

aC

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2

2/3 mc

2/3

mb


Mb Y Mc conocidas


B

Bc

aC

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2

2/3 mc

2/3

mb

mb mc

Mc Mb


Mb Y Mc conocidas


B

Bc

aC

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2

2/3 mc

2/3

mb

mb mc

Mc Mb

A


Mb Y Mc conocidas



Mb Y Mc conocidas

B

A

Bc

aC

mc

mb

1

1´

1´

1

3

2

2´3´

3

2

2/3 mc

2/3

mb

mb mc

Mc Mb


Mb Mc

. Construir el TRIÁNGULO ABC en el que LOS PIES DE SUS MEDIANAS, PUNTOS Ma, Mb y Mc,son vértices de otro triángulo cuyos datos son: el LADO MbMc dado, MbMa = 40 mm y McMa = 30 mm.

El punto Ma está situado por encima del lado MbMc


Mb

Ma

Mc

40 m

m

30 m

m



T3. POLÍGONOS. TRIÁNGULOST3. POLÍGONOS. TRIÁNGULOS

Mb

Ma

Mc

40 m

m

30 m

m






Mb

Ma

Mc

40 m

m

30 m

m

A

C B


POLÍGONOS I. TRIÁNGULOS. DIBUJO TÉCNICO II

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