Polinomios de Hermite

Los polinomios osculadores son una generalización de los polinomios de Taylor y de Lagrange. Estos interpolan la función dada, coincidiendo con ella en n+1 puntos y en sus m derivadas. Un caso particular son los polinomios de Hermite, que interpola la función dada, y coincide con ella en n+1, y en n puntos de la derivada primera. El polinomio de Hermite está dado por

H2n+1(x) = Sumj=0n f(xj)Hn,j(x) + Sumj=0

n f'(xj)HHn,j(x)

donde

Hn,j(x) = [1 - 2(x-xj)L'n,j(xj)]L2n,j(x)

y

HHn,j(x) = (x-xj)L2n,j(x)

y los Ln,j son los polinomios de Lagrange.

Ejercicios:

Dibujar esquemáticamente los polinomios de Hermite (los H y los HH)

Si bien la descripción anterior es completa, el hecho de tener que evaluar los polinomios de Lagrange y sus derivadas, lo hace un poco tedioso. Una forma simple de encontrar los coeficientes es utilizando diferencias finitas, pero definiendo nuevos puntos zi en la forma:

z1 = z2 = x1

z3 = z4 = x2

y en general:z2i = z2i-1 = xi

Se hace el cálculo de diferencias finitas explicado anteriormente, pero como f[z2i,z2i-

1]=f[xi,xi] y este no está definido, entonces se usa la expresión del límite f[z2i,z2i-1]=f'(xi)

12.1 Definición

Definimos los polinomios de Hermite por:dn

Hn(t) = (-l)V2 — e-t2 . (12.1)

(Hn(t)}neN* son polinomios de grado n. Se tiene que:

Hn(-t) = (-1)nHn(t) , (12.2)

es decir, Hn es par si n es par, e impar si n es impar.Los primeros polinomios de Hermite son:

Ho(t) = 1 Hi(t)

= 2t H2(t) = 4t2

- 2 H3(t) = 8t3 -

12t Há(t) = 16t4

- 48t2 + 12

12.2 Funcion generatriz

Consideremos la función

Su desarrollo en serie de Taylor sera:

Como:

Se dice que e2tx-x2 es la función generatriz de los polinomios de Hermite, vale decir, es

aquella función de dos variables tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene

como coeficientes precisamente los polinomios de Hermite.

A partir de (12.4) se pueden encontrar relaciones entre los polinomios de Hermite. La

estrategia para hallarlas (para esta o cualquier otra funcion generatriz de otros polinomios) es

típica: derivar parcialmente respecto a alguna de las variables y luego comparar potencias de

x en los desarrollos en Taylor resultantes.

Observemos que, si bien solo tiene sentido considerar polinomios de Hermite con índice positivo, la expresion puede ser extendida a n = 0, aunque ello haga aparecer un factor H-1. En general, las relaciones de recurrencia que obtendremos pueden considerarse validas para cualquier índice entero, adoptando la convencion de que los polinomios con subíndices negativos tienen algun valor adecuado, por ejemplo, cero.

La relación expresa un polinomio de Hermite en terminos de un operador (en este caso la derivada) aplicado sobre el polinomio de Hermite inmediatamente superior. Un operador que tiene tal propiedad se denomina operador de bajada. En este caso, el operador de bajada de los polinomios de Hermite es (2n)-1dt.

2) Derivando respecto a x:

Comparando potencias de x:

H1(t) = 2tH0(t) ,

Hn+1 (t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 1 .O bien Hn+1(t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 0 .

2) Podemos utilizar las dos relaciones de recurrencia (12.5) y (12.6) para obtener una tercera:

Hn+1(t) = 2tHn(t) - Hn(t) .

Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite, a

saber, 2t-dt.

Derivando (12.7):

H+1 = 2Hn + 2ÍH; - H

Es decir, los polinomios Hn son una solución de la ecuación de Hermite:

y"(t) - 2ty/(t) + 2ny(t) = 0 .ObservacionUna gran cantidad de problemas físicos estón descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuacion de Laplace, la ecuacion de onda, la ecuacion de Schrodinger, etc.). Matematicamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Solo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta funcion de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recu¬rrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y tópicamente poseen una función generatriz, asó como operadores de subida y de bajada. En los capótulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no sera extraño encontrar las mismas caracterósticas que hemos identificado en los polinomios de Hermite.

Podemos ver que la función presenta el mismo comportamiento ya que:

Por tanto el comportamiento asintótico de la función p en viene dado por la

función anterior (la función e» /2 se comporta también igual que la función p en y ^ ±cxi sin

embargo conduce a soluciones que no son normalizables). Por tanto, podemos escribir la

solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la siguiente forma:

donde el producto tiene que converger a cero en Vamos a ver la ecuación diferencial que debe verificar la función u(y). Introduciendo la función p(y) anterior en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, teniendo en cuenta que:

Se obtiene:

Para resolver esta ecuación diferencial vamos a desarrollar la función v en potencias de y.

Introducimos este desarrollo en serie en la ecuación, teniendo en cuenta que

O bien

Para que esta función de y sea nula todos los coeficientes del desarrollo deben ser

nulos, por lo que obtenemos la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes an:

Mediante esta relación de recurrencia obtenemos la solución de la ecuación. Como la ecuación diferencial es de segundo orden en la solución deben aparecer dos constantes de integración, de modo que podemos tomar como constantes de integración los coeficientes a0 y a1 - A partir de estos dos coeficientes, mediante la relación de recurrencia, podemos obtener el resto de los coeficientes del desarrollo de la función u(y). Vamos a analizar ahora el comportamiento de la función u(y) para valores grandes de y. Dentro del desarrollo de u(y) en serie de potencias de y, los coeficientes más significativos para valores grandes de y serán los de n grande, de modo que vamos a analizar cómo se comportan los coeficientes an para valores grandes de n. De acuerdo con la relación de recurrencia se obtiene que:

Por otro lado vamos a desarrollar la función ey2 en potencias de y:

de modo que los coeficientes del desarrollo de la función ey2 se comportan de la siguiente

forma para valores grandes de n:

En consecuencia, la función u(y) se comporta como la función ey2 para valores grandes

de y, por tanto al multiplicar u(y) por e_y/2 se obtiene una función que diverge para . La

única posibilidad de que el producto u(y)e_y/2 sea convergente para y ^ ±c» consiste en que

el desarrollo en serie de la función «(y) no contenga los infinitos términos, sino que se corte

para algún valor de n, de modo que a partir de ese valor el resto de los coeficientes sean

nulos y «(y) sea un polinomio. Para que esto ocurra se debe verificar que

Para algún valor de n. Esta ecuación nos da los posibles valores de A, de modo que A = 2n

+ 1 donde n es un número entero. Los auto valores del hamiltoniano son por tanto de la

forma:

y forman un espectro discreto no degenerado. Nos queda un pequeño detalle y es que tenemos dos series de coeficientes números: unos que parten del valor a0 y otros que parten del valor al (potencias pares e impares del desarrollo). Si una de las dos serie se cortan la otra no tiene por que cortarse, de modo que tenemos que exigir que el coeficiente a0 l de la serie que no se corta sea nulo. De este modo sólo nos queda una constante arbitraria que nos permite normalizar las autofunciones del hamiltoniano. Vamos a ver cómo se generan las autofunciones del Hamiltoniano.

El primer autovalor se obtiene para n = 0 y por tanto A = 1. En la relación de

recurrencia vemos que la serie de potencias pares se corta en el segundo término, es decir

que sólo aparece un témino par, a0. En este caso tenemos que exigir que a i sea nulo. El

estado fundamental es por tanto de la forma:

donde C0 es una constante de normalización. Podemos ver que la energía del estado fun-

damental se corresponde con la estimación que hicimos previamente a partir del principio

de indeterminación.

El primer estado escitado corresponde a n = 1 y por tanto . En este caso es la

serie de potencias impares la que se corta, por lo que hay que imponer que a0 sea nulo. El

primer estado excitado es por tanto de la forma:

donde de nuevo Ci es una constante de normalización (posteriormente veremos por qué

introducimos las constantes C0, C 1 , - - - en lugar de utilizar las a0, a 1 ,… . )

El segundo estado escitado se obtiene para n = 2 y por tanto 5. Ahora es la serie de

coeficientes pares la que se corta de modo que a i = 0. Si partimos de a0 el siguiente

coeficiente será a2 = —2a0, de modo que podemos escribir el segundo estado excitado

como:

donde las funciones #n(y) son polinomios de grado n que se denominan los polinomios de

Hermite. Se puede comprobar que las autofunciones del Hamiltoniano forman una base del

espacio de funciones de onda. En el siguiente apartado veremos la forma explícita de los

polinomios de Hermite y algunas de sus propiedades. En la siguiente figura podemos ver

las primeras autofunciones del Hamiltoniano, así como la densidad de probabilidad de

encontrar a la partícula.