Polinomios Ortogonales. Propiedades y Aplicaciones

8/10/2019 Polinomios Ortogonales. Propiedades y Aplicaciones

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I n t e r p o l a c i

n

F r m u l a

s

d e c u a d r a t

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. ..

E l e c t r o s t t

i c a P o

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m i o s

O r t

o g o n a l e s

Polinomios OrtogonalesPropiedades y aplicaciones

Orthogonal Polinomials Properties and applications

Jiaqi Wang

Trabajo de Fin de Grado

Departamento de AnalisisMatem atico

Facultad de Matematicas

La Laguna, 18 de junio de 2014


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Dr D Ramn ngel Orive Rodrguez con N LF 420 5 9 8 01 -P C ate dr t ico de Uni ve r-s id ad ad sc ri to a l D ep a rt am en to d e An li s is Mate m t ic o d e la U niversid ad d e La L ag u na

CER TIFICA

Q u e la p rese n te m emori a t itul ad a :

Pol inomios Orioqon a les Prop iedades aplica ciones

h a s ido rea li zad a bajo su dir ecc ion por D Jiaqi Wang con N LE X3679099 -L

p a ra qu e as con ste en cumpl imi en to d e la leg is lac in vi ge n te a lo s e fectos opor tun osfirm an la pr ese n te e n L a L ag un a a 1 8 d e juni o d e 2 01 4


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Agradecimientos

A mi ta Aiqiong Shi,por su cuidado durante mi infancia,

a Ram on,por su inestimable ayuda durante la realizaci on de este trabajo,

y a mis amigos,por apoyarme en los momentos m as difciles de la carrera.


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Abstract

The main purpose of this report has been introducing one of the most importantand fruitful theories of the Applied Mathematics, namely, the theory of OrthogonalPolynomials. It is well known that this issue, though formally introduced within thecontents of Metodos Numericos II (Third Course of the Degree in Mathematics atULL), is essentially interdisciplinary by its theoretical development as well as its widerange of applications.

The current report starts summarizing some of the most basic and useful properties of these families of polynomials (minimal quadratic norm, behavior of zeros, recurrence

relations). Then, the particular case of the so-called Classical Orthogonal Polynomials,amongst them the case of the rst kind Chebyshev polynomials deserves special atten-tion, is analyzed with more detail.

Finally, some of the most important applications of the Orthogonal Polynomials (in-terpolation, numerical integration) are handled, to end showing a very interesting con-nection with the physical applications: the electrostatic interpretation of the zeros of certain families of Classical Orthogonal Polynomials, due to some seminal papers byT. J. Stieltjes (1856-1894). Moreover, we hope that this last topic may be the link withfurther researchs in the context of a Master or Doctorship in Mathematics.

Keywords: Orthogonal Polynomials, Chebyshev Polinomials, Interpolation, Quadrature Formulas, Electrostatic Interpretation.


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Captulo 1

Motivaci on y objetivos

Como suele ser habitual, no existe una unica raz on para elegir este tema para la rea-lizacion del Trabajo de Fin de Grado en Matematicas. No obstante, entre el conjuntode posibles argumentos en favor de esta elecci on hemos considerado oportuno destacarlos siguientes:

Se trata de un tema claramente transversal en cuanto a contenidos de muchasasignaturas y materias del actual Grado. Si bien, se introduce brevemente enlos contenidos de la asignatura de Metodos Numericos II (tercer curso), tantoen su desarrollo te orico como en sus aplicaciones conecta con gran cantidad dematerias: desde Algebra a todos las asignaturas de Analisis Matem atico (I-VI),pasando por las de Ecuaciones Diferenciales, las restantes materias de MetodosNumericos, la Fsica y la asignatura de Modelizaci on, por citar solamente lasconexiones mas evidentes. Este car acter marcadamente interdisciplinar creemosque convierte a este tema en un magnco candidato para poner broche de oronal al Grado en Matem aticas con un TFG.

Por otra parte, y aunque sus contenidos est an claramente encuadrados dentrode las capacidades y destrezas adquiridas durante la realizaci on del Grado enMatem aticas, creemos que este estudio introductorio, cuya naturaleza y car acterglobal nos ha permitido a su vez analizar algunos aspectos concretos con masdetalle, posibilita el puente hacia el inicio en tareas de investigaci on por nuestraparte en un futuro a corto plazo.

En cuanto a los objetivos de presente trabajo, cabe destacar:

Conocer la denicion de los polinomios ortogonales, as como sus propiedadesbasicas.

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Conocer los distintos tipos de polinomios ortogonales clasicos, entre ellos los po-linomios de Chebyshev de primera especie.

Aplicar los conocimientos en otros ambitos de la ciencia, tanto matem aticos (in-terpolaci on y formulas de cuadratura) como fsicos (electrost atica).


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Captulo 2

Denici on y propiedades generales

Comenzamos dando la denici on de los polinomios ortogonales para luego extraer deella algunas propiedades. Para mas detalles sobre el contenido de este captulo puedenconsultarse las referencias [1],[2] y [3].

2.1. Denici onSea [a, b] R , donde a < b , contemplando, por tanto, tambien losintervalos no acotados. Sea (x) una funci on peso en [a, b], que verica las siguientes

propiedades:

(x) > 0 en (a, b).

(x) es integrable en (a, b), es decir, (x) L1(x): b

a(x)dx < .

A partir de esta funci on peso se dene un producto escalar para el espacio vectorialde los polinomios P . Sean p, q P ,

p, q := b

a p(x)q (x)(x)dxy su correspondiente norma:

|| p|| = b

a p(x)2 (x)dx,

que es clave para denir los polinomios ortogonales.

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Polinomios ortogonales 5

Veamos para el caso k = n. Utilizamos un argumento parecido a la orto-gonalizacion de Gram- Schmidt. Construimos el polinomio de grado n + 1:

pn +1 (x) = xn +1 n

i=0

a i pi (x), donde ai = b

axn +1 pi (x)(x)dx.

La primera propiedad es evidente que la verica, pues tiene un termino degrado n + 1 que no se anula con los demas. La segunda propiedad tambienes evidente que se satisface, puesto que n = 1 > 0. Solo hace falta com-probar que se de la ultima, pues:

pn +1 , pi =

b

a

pn +1 (x) pi (x)(x)dx =

b

a

[xn +1

n

j =0

a j p j (x)] pi (x)(x)dx

= b

axn +1 pi (x)(x)dx

n

j =0

a j b

a p j (x) pi (x)(x)dx

= a i a i = 0, i {0, , n}.Por otro lado, pn +1 , pn +1 =

b

a( pn +1 (x))

2(x)dx = I > 0 al ser la inte-

gral de un polinomio no negativo y no nulo.

Por tanto, si tomaramos pn +1 (x) = pn +1 (x)

I , obtendramos un polinomioque verica las tres propiedades y, por tanto, concluimos la prueba porinduccion, justicando as la existencia.

Unicidad.Supongamos que { pn (x)}n =0 es una sucesion de polinomios ortogonales que ve-rica las propiedades y sea {q n (x)}n =0 otra sucesion de polinomios que satisfacelas mismas. Veamos entonces que pn = q n , n N :Sea n N . Como {q 0, q 1, , q n } forma una base del subespacio P n :

a0, a1, , an R /p n (x) =n

i=0a i q i (x).

Por vericar la propiedad 2 se tiene que:

j < n, 0 = pn , q j = n

i=0

a i q i (x), q j = a j .

Con lo cual se tiene pn (x) = an q n (x). Por otro lado,1 = pn , pn = an q n , a n q n = a2n = an = 1,al ser una sucesion de polinomios que verica la primera propiedad. Con esto


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6 Jiaqi Wang

tenemos que pn (x) = q n (x), n

N

{ pn (x)

}n =0 =

{q n (x)

}n =0 , luego se

verica la unicidad.

A continuaci on veremos algunas propiedades importantes que satisfacen los polino-mios ortogonales.

2.2. Propiedades1. Norma cuadr atica m nima

Los polinomios ortogonales tienen la norma || || denida en la seccion 2.1 mni-ma, como se reeja en la siguiente proposicion:Proposici on 2.2.1 (Norma cuadr atica minima) Sea pn (x) el enesimopolinomio ortogonal m onico. Entonces, para cualquier q n (x) polinomio m onicode grado n se tiene:

||q n || || pn || .O lo que es equivalente,

|| pn

|| = mn

qn = xn

+ ||q n

|| .

[Demostraci on]: Sea q n (x) = xn + an 1xn 1 + a0 un polinomio monico degrado n y sea pn (x) el polinomio de grado n ortogonal monico. Est a claro quetn 1 P n 1 : q n (x) = pn (x) + tn 1(x). Ahora bien:

||q n ||2 = pn , pn = pn , pn + 2 pn , t n 1 + tn 1, t n 1 .Por ortogonalidad se tiene que pn , t n 1 L 2 = 0, luego:

||q n

||2 =

pn , pn + tn 1, t n 1 =

|| pn

||2 +

||tn 1

||2

|| pn

||2 .

Tomando races cuadradas en la desigualdad anterior obtendramos que:

q n = xn + , ||q n || || pn || || pn || = mnqn = x n + ||q n || .


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2. F ormula de recurrencia

Teorema 2.2.1 (F ormula de recurrencia a tres terminos) Sea la fun-ci on peso y { pn }n =0 su sucesi on de polinomios ortonormales asociados. En-tonces, se verica:

n 1, xpn (x) = an +1 pn +1 (x) + bn pn (x) + an pn 1(x), (2.1)

siendo pn (x) = n xn + , an = n 1

n> 0, bn =

b

axp2n (x)(x)dx.

[Demostraci on]: Observamos que, por ser { p0, , pn } una base de P n , existenc0, c1, , cn R tales que:

xpn (x) = n xn +1 + = n n +1

pn +1 +n

k =0

ck pk (x). (2.2)

A esto se anade que si j < n = deg(xp j (x)) < n + 1, y como consecuencia dela ortogonalidad:

0 = b

a xpn (x) p j (x)(x)dx = c j

b

a p2 j (x)dx = c j || p j || = c j ,

lo que nos ayuda a reducir nuestra expresion (2.2):

xpn (x) = n n +1

pn +1 (x) + cn pn (x) + cn 1 pn 1(x). (2.3)

Si multiplicamos por pn (x)(x) en ambos lados de la igualdad e integramosrespecto de x:

b

axp2n (x)(x)dx =

n n +1

b

a pn +1 (x) pn (x)(x)dx + cn

b

axp2n (x)(x)dx

+ cn 1 b

a pn 1(x) pn (x)(x)dx

= n n +1

pn +1 , pn + cn pn , pn + cn 1 pn 1, pn = cn = bn .

Haciendo lo mismo, esta vez multiplicando por pn 1(x) en ambos miembros dela igualdad, se tendra que:


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b

axpn 1(x) pn (x)(x)dx =

n n +1

b

a pn 1(x) pn +1 (x)(x)dx + cn

b

a pn (x) pn 1(x)

+ cn 1 b

axpn 1(x) pn 1(x)(x)dx

= n n +1

pn 1, pn +1 + cn pn , pn 1 + cn 1|| pn 1||2 = cn 1.

Utilizando ahora la igualdad

xpn 1(x) = n 1

n pn (x) +

n +1

k =0

k pk (x) = n 1

n pn (x) + pn 1 + pn 2

y la ortogonalidad, obtenemos:

cn 1 = b

axpn 1(x) pn (x)(x)dx =

b

a[ n 1 n

pn (x) + pn 1(x)

+ pn 2(x)] pn (x)(x)dx = n 1

n b

a p2n (x)(x)dx = an .

Sustituyendo estos coecientes en la ecuaci on (2.3) se obtiene el resultado pe-dido.

Ademas, existe un resultado de tipo inverso que incluimos seguidamente sindemostraci on. Si cierta sucesion de polinomios satisface esta relaci on de recurrencia sera ortogonal, resultado que se recoge en el siguiente teorema.

Teorema 2.2.2 (Teorema de Favard) Sea { pn }n =0 una sucesi on de polino-mios que satisface la relaci on de recurrencia a tres terminos, con a0 > 0, con las condiciones iniciales p0(x) =

2

a0; p1(x) =

1

a1a0(x

bo). Entonces, existe

una funcion (x) tal que la sucesi on es ortonormal respecto de dicha funci on peso.

3. Ceros de los polinomios ortogonales

Teorema 2.2.3 Dos polinomios ortogonales consecutivos no tienen ceros co-munes. Es decir, n N , C pn C pn +1 = , donde C q denota el conjunto de ceros de un polinomio q .


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[Demostraci on]: Supongamos, por reducci on al absurdo, que existen N , x0 [a, b]/p n (x0) = pn +1 (x0) = 0. Utilizando la formula de recurrencia:

0 = x0 pn (x0) = an +1 pn +1 (x0) + bn pn (x0) + an pn 1(x0) = an pn 1(x0) pn 1(x0) = 0 ,...

0 = x0 p1(x0) = a2 + b2 p2(x0) + a1 p0(x0) p0(x0) = 0 .

Lo cual es claramente un absurdo puesto que p0 1a0

> 0.

Proposici on 2.2.2 pn , el enesimo polinomio ortogonal respecto de la funci on peso , tiene exactamente n ceros en el intervalo (a, b).

[Demostraci on]: Supongamos, por reduccion al absurdo, que C pn = {x1, , xm },m < n es el conjunto de ceros de pn en (a, b). Construimos el polinomiom

i=1

(x xi ), que es de grado m. Por ortogonalidad se tendra entonces que:

b

a

m

i=1

(x x i ) pn (x)(x)dx = m

i=1

(x xi ), pn = 0.

Por otro lado, al ser:

C pn = {x1, , xm } = q n m P n m /p n (x) =m

i=1

(x xi )q n m (x).Ademas, C qn m [a, b] = . Sustituyendo esto en nuestra ecuacion:

b

a

m

i=1

(x xi ) pn (x)(x)dx = b

a

m

i=1

(x xi )2q n (x)(x)dx = 0.Lo cual es un absurdo puesto la integral un polinomio que no cambia de signoen [a, b], un intervalo de medida no nula, se anula #.

Por ultimo, otro teorema nos asegura que los ceros de dos polinomios ortogonalesest an entrelazados. Para ello, denotemos por xm,k el k- esimo cero de pm (x),y supongamos que ordenamos en forma decreciente los ceros de los polinomios pn , pn +1 , esto es:

xn,n < x n,n 1 < < x n, 1,xn +1 ,n +1 < x n +1 ,n < < x n +1 ,1.


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Entonces, se tiene:

Proposici on 2.2.3 (Separacion de ceros) Sean pn , pn +1 dos polinomios ortogonales consecutivos respecto de la funci on peso . Entonces, sus ceros est an ordenados de modo que verican las inecuaciones:

xn +1 ,k +1 < x n,k < x n +1 ,k , k = 1, , n.La idea de la proposicion queda recogida en la siguiente imagen.

xn+1,n+1

xn,n

xn+1,n

xn,n-1

xn+1,n-1

xn,2

xn+1,3

xn+1,2

xn,1

xn+1,1...

a b

Figura 2.1: Distribucion de los ceros de dos polinomios ortogonales consecutivos, degrados n y n + 1, respectivamente, en el intervalo ( a, b).


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Captulo 3

Polinomios ortogonales clasicos

Hablaremos en esta secci on sobre algunos de los polinomios ortogonales clasicos quetuvieron una importancia no solo en el desarrollo de esta teora sino tambien en lasaplicaciones a otras ciencias. Para mayor informacion, pueden consultarse, entre otras,las referencias [4] y [6].

Se clasican en tres grandes familias: Jacobi, Laguerre y Hermite . En funcion de lascaractersticas del intervalo de denici on [a, b], segun se trate de un intervalo acotado[a, b], semi- innito [a, ) o innito (R ).

Haciendo uso, si fuese necesario, de transformaciones lineales elementales, bastaestudiar los intervalos [ 1, 1], [0, ) y R = (, + ), quedando as cubiertos todoslos casos posibles.

3.1. Polinomios de JacobiEn este caso el intervalo de soporte es [1, 1]. Dependen de dos parametros( > 1, > 1), a partir de los cuales se construye la funci on pesow(x) = (1 x) (1 + x) ,x (1, 1). Surgen de la necesidad del estudio del movimien-

to de los planetas en trabajos de Legendre y de Gauss, quienes introdujeron el casoparticular ( = = 0). El enesimo polinomio de Jacobi se denota por P (, )n .

Satisfacen las siguientes propiedades:

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1. Relaci on de Ortogonalidad

P (, )n (x), P (, )

m (x) = 1

1P (, )n (x)P (

, )m (x)(x)dx

=2 + +1

n!(2n + + + 1)(n + + 1)( n + + 1)

(n + + + 1) , n = m,

0, n = m.2. F ormula de Rodrigues

P (, )n (x) = 1

(2)n n!(1 x) (1 + x)dn

dxn[(1

x) + n (1 + x) + n ],

que, mediante la regla de Leibniz permite obtener una expresi on explcita:

P (, )n (x) =n

k =0

n + n k

n + k (x 1)k (x + 1) n k .

3. Coeficiente principal o director

k(, )n = 12n 2n + + n .

4. Soluci on de una E.D.O.El polinomio de Jacobi de orden n es solucion de la ecuacion diferencial de se-gundo orden con coecientes polinomicos:

(x2 1)y (x) + [(2 + + )x + ]y (x) n[n + 1 + + ]y(x) = 0 . (3.1)Cuando los par ametros cumplen la igualdad = se denominaran Polinomios de

Gegenbauer o Polinomios Ultraesfericos . Entre ellos se encuentran las siguientes

subfamilias de polinomios:

Polinomios de Chebyshev de primera especie ( = = 12

). Se denotan porT n (x). A estos les dedicaremos un estudio m as profundo por la riqueza de suspropiedades.

Polinomios de Chebyshev de segunda especie ( = = 12

). Se denotan por U n (x).

Polinomios de Legendre ( = = 0). Se denota por P n (x).


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3.1.1. Polinomios de Chebyshev (Primera especie)Como ya mencionamos en el apartado 3.1, se trata de un caso particular de los

polinomios de Jacobi con = = 12

. Con lo cual nuestra funci on peso queda:

(x) = 1

1 x2.

Estos polinomios los introduciremos de un modo diferente para probar seguidamentesu ortogonalidad respecto de la funci on peso anterior.

Empecemos haciendo uso de las identidades trigonometricas para deducir las ecua-ciones explcitas de estos polinomios.

1. Usando la expresion del coseno de la suma de dos angulos:

cos((n + 1) t) = cos ( t)cos(nt ) sin(t)sin(nt ). (3.2)2. Usando la expresion del coseno de la diferencia de dos angulos:

cos((n 1)t) = cos ( t)cos(nt ) + sin ( t)sin(nt ). (3.3)Sumando los ecuaciones (3.2) y (3.3), y despejando cos ((n + 1) t), se tendra que:

cos((n + 1) t) = 2 cos ( t)cos(nt ) cos((n 1)t). (3.4)Como la aplicacion:

cos : [0, 2] [1, 1]t cos(t)es una biyeccion de conjuntos, haciendo el cambio de variable

x = cos ( t)

t = arc cos( x) en la ecuacion (3.4), si denotamos por

T k (x) := cos( k arc cos(x)), se tendra que T k (x) es un polinomio en la variable x yobtendramos la siguiente formula de recurrencia:

T n +1 (x) = 2 xT n (x) T n 1(x), x [1, 1]. (3.5)Utilizando dicha f ormula de recurrencia (3.5), podemos calcular los primeros termi-

nos:

n = 0 = T 0(x) = cos(0arccos( x)) = cos(0) = 1.


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n = 1 = T 1(x) = cos(arc cos x) = x.

Y as sucesivamente, aplicando la recursividad:

n = 2 = T 2(x) = 2xT 1(x) T 0(x) = 2x2 1. n = 3 = T 3(x) = 2xT 2(x) T 1(x) = 4x3 3x. n = 4 = T 4(x) = 2xT 3(x) T 2(x) = 8x4 8x2 + 1.

...

n = k = T k (x) = 2 xT k 1(x) T k 2(x).Por tanto, se tiene que n N :

T n es un polinomio de grado n. El coeciente principal es 2n 1. T n es par n es par.T n es impar

n es impar.

T n (x) = ( 1)n T n (x)[Demostraci on]: Procedemos por inducci on:

Para k = 1, T k (x) = x, que es un polinomio de grado 1, su coeciente principales 21 1 = 1 y adem as la funcion es impar como lo es k = 1. Supongamos cierto para k n:T k es un polinomio de grado k, su coeciente principal es 2k 1, y ademas su

paridad coincide con la del numero k:

deg(T k ) = k. T k (x) = 2 k 1xk + . . .. T k (x) = ( 1)k T k (x).

Veamos para el caso k = n. Usando la f ormula de recurrencia a tres terminos (3.5) y las hipotesis de induccion,obtenemos:T n +1 (x) = 2xT n (x)T n 1(x) = 2x (2n 1xn + . . .)+2 n 2xn 1 + . . . = 2n xn +1 + . . .


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Luego es trivial que verica las propiedades 1 y 2, pues claramente es un polino-mio de grado n +1 y adem as su coeciente principal es 2n = 2 (n +1) 1 . Ademas,usando otra vez la f ormula de recurrencia a tres terminos se comprueba queconserva la simetra:

T n +1 (x) = 2xT n (x) T n 1(x) = 2x(1)n T n (x) (1)n 1T n 1(x)= ( 1)n +1 (2xT n (x) T n 1(x)) = ( 1)n +1 T n +1 (x).

Con esto concluimos por inducci on que las tres propiedades se verican.

Estamos en condiciones para dar una denicion de los polinomios de Chebyshev deprimera especie.

Denicion 3.1.1 (Polinomios de Chebyshev de primera especie) La suce-si on de polinomios {T n (x)}n =0 que verican la f ormula de recurrencia (3.5) con las condiciones iniciales T 0 1, T 1(x) = x se denominan polinomios de Chebyshev de primera especie.Adem as, si x [1, 1], los polinomios de Chebyshev se representa por:

T n (x) = cos( n arccos(x)) .

Denotamos por tn (x) := T n (x)

2n 1 al enesimo polinomio m onico de dicha sucesi on.

Ademas otra representacion de T n (x), |x| > 1, se describe en la siguiente proposicion.Proposici on 3.1.1 Sea x C , |x| > 1. Entonces, el polinomio de Chebyshev de primera especie puede ser representado mediante la expresi on:

T n (x) = 12

[(x + x2 1)n (x x2 1)n ], n Z + . (3.6)

Desarrollando (3.6), usando el binomio de Newton, se tiene la f ormula explcita delos polinomios de Chebyshev de primera especie:

T n (x) = 12

n

k =0

nk x

n k ( x2 1)k 12

n

k =0

nk x

n k (1)k ( x2 1)k

= . . . =[ n2 ]

k =0

xn 2k (x2 1)k .


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Veamos ahora que

{T n (x)

}n =0 , denidos en el (3.1.1), son efectivamente una sucesi on

de polinomios ortogonales. Para ello, es suciente hacer el cambio de variable x = cos en las integrales correspondientes.

Proposici on 3.1.2 (Ortogonalidad) Para todos n, m Z + , los polinomios denidos en 3.1.1 cumplen que:

T n , T m = 1

1T n (x)T m (x)

dx 1 x2

=, n = m = 0,2

, n = m > 0,0, n

= m.

Por tanto, adem as:

||T n || = , n = m = 0,

2 , n = m > 0.

A continuaci on, daremos mas propiedades de los polinomios ortogonales de Chebys-hev: la localizaci on de ceros y la norma uniforme mnima .

Proposici on 3.1.3 (Localizaci on de ceros del polinomio de Chebyshev)El enesimo polinomio de Chebyshev T n (x) tiene n ceros simples en los puntos:

xk = cos2k + 1

2n , k = 0, 1, 2, . . . , n 1,

todos ellos en el abierto (1, 1).[Demostraci on]: En (1, 1) los polinomios de Chebyshev se representan por:

T n (x) = cos( n arccos(x)) .

Luego, los posibles ceros de T n en (1, 1) verican:T n (x) = 0 cos(n arccos(x)) = 0 n arccos(x) Z + 2

k Z : x = cos2k + 1

2n .

Ahora bien, observamos que para k = 0, . . . , n 1, se tienex0 = cos

2n

, . . . , x n 1 = cos(2n 1)

2n , que es un conjunto de n ceros dis-

tintos para T n . Aplicando el teorema fundamental de algebra , T n tiene exactamente


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n ceros en C , luego el numero de ceros de T n en (

1, 1) es a lo sumo n. Por tanto,

concluimos queC T n = x0 = cos

2n

, . . . , x n 1 = cos(2n 1)

2n constituyen todos los ceros

del polinomio ortogonal de Chebyshev de grado n.

Proposici on 3.1.4 (Maximos del polinomio de Chebyshev) El enesimo

polinomio m onico de Tchebyshev tn (x) = T n (x)

2n 1 verica que:

||tn ||[ 1,1] = m axx [ 1,1] |tn (x)| = 12n 1

, n N .Adem as, dicho m aximo se alcanza en los puntos:

xk = coskn

, k = 0, 1, . . . , n ,

situados en el abierto (1, 1).[Demostraci on]: .

1. Cota superiorBasta usar la denici on de los polinomios de Chebyshev:

||tn ||[ 1,1] = ||T n ||[ 1,1]

2n 1 = |cos(n arccos(x))|

2n 1 12n 1

.

2. Extremos

Veamos que los puntos en los que se alcanzan dicho maximo son efectivamentelos citados.

|tn (x)| = 12n 1 | T n (x)| = 1 | cos(n arccos(x))| = 1

k Z : x = coskn

.

Pero teniendo en cuenta la periodicidad de la funcion cos(x), se tiene la igual-dad de conjuntos:

coskn

/k Z = coskn

/k = 0, , n 1 .


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18 Jiaqi Wang

El lema anterior nos ayudara a demostrar el siguiente teorema de suma importancia.

Teorema 3.1.1 (Norma uniforme mnima) La norma uniforme (en el in-tervalo [1, 1], denotado por || ||[ 1,1]) de un polinomio de Chebyshev m onicode grado n es mnima en relaci on a todos los polinomios monicos de grado n. Esto es:

P n (x) = xn + . . . , ||P n ||[ 1,1] ||tn ||[ 1,1],donde la desigualdad es estricta salvo el caso de igualdad P n tn .

De manera equivalente, se tiene:

n N , mnP n = x n + ... ||P n ||[ 1,1] = ||tn ||[ 1,1]. (3.7)

El signicado de esta proposici on consiste en que los polinomios ortogonales deChebyshev m onicos de grado n tienen la menor desviaci on en [1, 1] respecto de la metrica uniforme .

[Demostraci on]: Sea P n (x) = xn + an 1xn 1 + . . . + a0 = tn (x) un polinomio monicoarbitrario de grado n. Supongamos que, por reduccion al absurdo:

||P n ||[ 1,1] ||tn ||[ 1,1].Est a claro que existe ln 1 P n 1 tal que P n (x) = tn (x) + ln 1(x). Consideremosahora xk = cos

kn

n 1

k =0. Evaluando en dichos puntos obtenemos que:

P n (xk ) = tn (xk ) + ln 1(xk ) = ln 1(xk ) = P n (xk ) (1)k

2n 1 . (3.8)

Multiplicando ambos lados de la igualdad (3.8) por ( 1)k obtendramos, usandonuestra hip otesis:(1)k ln 1(xk ) = ( 1)k P n (xk ) +

12n 1

= ||tn ||[ 1,1] + ( 1)k P n (xk ).Acotando la expresi on anterior por la desigualdad triangular y usando nuestra hip ote-sis:


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(1)k ln 1(xk ) = ||tn ||[ 1,1]+( 1)k P n (xk ) ||tn ||[ 1,1]||P n ||[ 1,1] > 0, k = 0, . . . , n 1.(3.9)La ecuacion (3.9) nos dice que:

(1)k ln 1(xk ) > 0 = ln 1(xk ) > 0, k par,ln 1(xk ) < 0, k impar.

Esto viene a decir que el polinomio ln 1 P n 1 cambia de signo al menos n veces en[

1, 1], concretamente en cada uno de los subintervalos ( xk , xk +1 ), k = 0, . . . , n

1.

Por el teorema de Bolzano, para cada k, ck (xk , xk +1 ) : ln 1(xk ) = 0 , k =0, . . . , n 1. Luego se tendra un polinomio de grado a lo sumo n 1 que se anulan veces en [1, 1], de donde concluimos que ln 1(x) 0 = tn P n #. Esto ultimoes un absurdo puesto que supusimos tn = P n . As concluimos que:

||P n ||[ 1,1] ||tn ||[ 1,1].

3.2. Polinomios de LaguerreEl intervalo de soporte en este caso es (0 ,

), es decir, semi- innito. La funci on

peso depende de un par ametro, > 1, siendo (x) = x e x , x (0, ). El enesimopolinomio de Laguerre se denota por Ln .Verican las siguientes propiedades:

1. Relaci on de Ortogonalidad

Ln (x), Lm (x) =

0Ln (x)L

m (x)(x)dx =

(n + + 1)n!

, n = m,0, n = m.

2. F ormula de Rodrigues

Ln (x) = ex

n!xdn

dxn[e x xn + ],

de donde, utilizando la f ormula de Leibniz:

Ln (x) =n

k =0

n + n k

(x)kk!

.


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20 Jiaqi Wang

3. Coeficiente principal

kn = (1)n

n! .

4. Soluci on de E.D.O.El enesimo polinomio de Laguerre es solucion de la ecuacion diferencial de segun-do orden:

xy (x) + ( + 1

x)y (x) + ny(x) = 0 .

3.3. Polinomios de HermiteFueron utilizados por Laplace, en su Tratado de Mec anica Celeste . Tambien fueron

objeto de estudio para Chebyshev y Hermite, cuyo nombre se empleo para bautizarlos.La notaci on habitual es, para estos polinomios, H n (x), para cada n Z + . Cumplen lassiguientes propiedades:

1. Relaci on de OrtogonalidadH n (x), H m (x) =

H n (x)H m (x)(x)dx =

2n n!, n = m,0, n = m.

2. Generaci on por la f ormula de Rodrigues

H n (x) = ( 1)n ex2 dn

dxn[e x

2

].

Utilizando la regla de Leibniz obtenemos que:

H n (x) = n![ n2 ]

k =0

(1)k (2x)n 2k(n 2k)!k!

.

3. Coeficiente principalkn = 2n .

Resumimos las principales propiedades de los polinomios ortogonales cl asicos en lasiguiente tabla.


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Tipo Notaci on Dominio Peso (x) Cte. principal

P (, )n (x) (1 x) (1 x) , 12n 2n + + n, > 1

Jacobi

Chebyshev 1 T n (x)

(1, 1)1

1 x212n

2n 1nChebyshev 2 U n (x) 1 x2

12n

2n + 1n

Gegenbauer C n (x) (1 x2) , > 1 1

2n 2n + 2

n

Legendre P n (x) 1 1

2n 2n

n

Laguerre Ln (x) (0, ) x e x , > 1 (1)n

n!Hermite H n (x) R e x

2

2n

Cuadro 3.1: Principales tipos de polinomios ortogonales y sus propiedades.


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Captulo 4

Aplicacion a la interpolaci on

Una de las aplicaciones de los polinomios ortogonales es el uso de sus ceros comonodos de interpolaci on. Empezaremos por describir brevemente el problema de inter-polacion de Lagrange. Para m as detalles, veanse las referencias [1] y [2].

Queremos aproximar funciones mediante polinomios. El problema consiste en, dadoun vector x = ( x0, x1, x2, , xn ) t de nodos y una funcion f , con el correspondientevector de imagenes y = ( y0 = f (x0), y1 = f (x1), y2 = f (x2), , yn = f (xn )) t , hallarel polinomio pn (x) = an xn + + a0, o, lo que es lo mismo, el vector coecientesa = ( a0, a1, a2,

, an )t , pn

P , de manera que:

pn (x0) = y0 a0 + a1x0 + + an xn0 = y0, pn (x1) = y1 a0 + a1x1 + + an xn1 = y1,... pn (xn ) = yn a0 + a1xn + + an xnn = yn .

De manera matricial, este ultimo sistema quedara:

Ma = y. (4.1)

Siendo:

M = V AND[x0, x1, , xn ] =1 x0 x20 xn01 x1 x21 xn1... ... ... ... ...1 xn x2n xnn

.

Esta ultima es una matriz de Vandermonde, y como adem as los nodos x0, x1, , xn23


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24 Jiaqi Wang

son distintos, det(M ) = det(V AND[x0, x1,

, xn ]) =

i


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en juego los polinomios ortogonales.

Este termino calcula la norma del m aximo de un cierto polinomio monico de gradon + 1. Supongamos, sin perdida de generalidad, que estamos trabajando en el intervalo[1, 1]. Sabemos que el polinomio de Chebyshev monico de grado n + 1 es el que tienela norma del maximo mnima entre todo los polinomios monicos de grado n + 1. Portanto, si tomamos los nodos como los ceros del n + 1 -esimo polinomio de Chebyshev,

es decir, para cada i, xi = cos 2i + 12(n + 1)

C T n +1 , la igualdad (4.2) quedar a:

||f (x) pn (x)|| = ||f (n +1) ( (x))||

(n + 1)!

n

i=0

x cos 2i + 12(n + 1)

,

y como los xi = cos 2i + 12(n + 1)

son los ceros del polinomio (n +1) -esimo, se tendra por

denicion que:

||f (x) pn (x)|| = ||f n +1 ( (x))||

(n + 1)! ||tn || = ||f n +1 ||

(n + 1)!2n.

Esta ultima cota parece muy razonable para nuestro prop osito de controlar el errorde aproximaci on. En la practica, se observa que obtiene resultados realmente intere-santes. Ilustraremos lo anterior con un ejemplo: utilizando estos nodos se obtiene unaaproximaci on la funcion de Runge f (x) = 1

1 + 25x2, x [1, 1]. Dado que utilizamos

9 nodos en cada caso, denotamos por p8(f ) el polinomio obtenido por interpolaci on ypor q 8(f ) usando los nodos de Chebyshev. Los gracos mostrados a continuacion hansido realizados con la ayuda del programa Mathematica .

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1 f(x)

p 8(f;x)q 8(f;x)

Figura 4.1: Comparaci on entre los polinomios interpoladores obtenidos mediante dosclases de nodos, equiespaciados y nodos de Chebyshev.


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26 Jiaqi Wang

La Figura 4.1 reeja la enorme calidad de aproximacion mediante el uso de los ce-ros de los polinomios de Chebyshev como nodos. Observamos claramente que p8(f ) esuna buena aproximacion en el centro del intervalo, pero esta va empeorando conformenos acercamos a los extremos: 1 y 1. El polinomio q 8(f ), por su parte, realiza unabuena aproximaci on tanto en los extremos como en los centros del intervalo. Podemosobservar que en el centro del intervalo es ligeramente mejor usando los nodos equies-paciados que los de Chebyshev, pero dicha pequena ventaja no compensa la malaaproximaci on en los extremos.

Si representamos los errores de aproximaci on, vease la Figura 4.2, observamos a unmejor este comportamiento.

-1 -0.5 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4 Error p 8(f;x)Error q 8(f;x)

Figura 4.2: Comparaci on entre los errores de los polinomios interpoladores con nodosequiespaciados y nodos de Chebyshev para aproximar la funcion de Runge.

Observamos que los errores del polinomio q 8(f ) se pueden acotar y se distribuyenmas o menos uniformemente a lo largo del intervalo [1, 1]. Mientras tanto, los erroresde aproximaci on de q 8(f ) se disparan conforme nos acercamos a los extremos.


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Captulo 5

Aplicacion a las f ormulas de

cuadraturaEl contenido de este captulo trata sobre las denominadas f ormulas de cuadratura.

Para una mayor informacion sobre este tema puede consutarse, por ejemplo, la refe-rencia [2].

En los cursos elementales de an alisis hemos utilizado las sumas de Riemann paraaproximar las integrales denidas. Esto es, dado una funci on integrable f en un inter-valo (a, b),

< a < b n 1. Denimos n (x) =

n

i=0

(t t i ), siendo {t i}ni=1 el conjuntode nodos. La siguiente proposicion da respuesta a nuestro problema.

Proposici on 5.0.2 Dada una f ormula de cuadratura obtenida por interpolaci on,son equivalentes:

1. n (t) satisface la ecuaci on b

an (t) p(t)(t)dt = 0, p P k 1, k = 1, , n.

2. El grado de exactitud de la f ormula es exactamente n 1 + k, k = 1, , n.

[Demostraci on]: Probemos la equivalencia.

1) = 2) :Sea p P n 1+ k . Por el algoritmo de la divisi on en el anillo de los polinomios


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concluimos que:

q P k 1, r P n 1 : p(x) = q (x)n (x) + r(x).Apoyandonos en esta divisi on podemos concluir que:

b

a p(t)(t)dt =

b

an (t)q (t)(t)dt +

b

ar (t)(t)dt. (5.2)

Ahora bien, el primer termino de (5.2) es claramente nulo mientras que el segun-do podemos escribirlo de otra manera, utilizando la interpolaci on. Supongamos

que P n 1(r (t); t) =

n

i=1 r (t i )i (t) es el polinomio interpolador de r(t) P

n 1,entonces,

b

ar (t)(t)dt =

b

a pn 1(r (t); t)dt =

n

i=1

r (t i ) b

ai (t)(t)dt =

n

i=1

i r (t i ).

Ahora utilizando la denici on del resto:

n

i=1

i r (t i ) =n

k =1

k [ p(tk ) q (tk )n (tk )] =n

k =1

k p(tk ) = 0 .

Donde la ultima igualdad se concluye por n (tk ) = 0 , k = 1, , n.2) = 1) :

Sea p P k 1 pn P n 1+ k , luego por exactitud se tiene que:

b

an (t) p(t)(t)dt =

n

k =1

k n (tk ) p(tk ) = 0 ,

donde concluimos utilizando otra vez la denici on de n .

Este teorema nos dice que si queremos obtener grados de exactitud mayores tendramosque imponer condiciones sobre los nodos {t1, , tn }. Ademas, nos da informacion parasaber el mayor grado de exactitud que podemos obtener. Concluimos que, cualesquieran nodos que tomemos, el grado de exactitud es como maximo 2n 1. Esto se debe aque si fuera exacto para 2n, entonces 2) se vericara para k = n. Como n P n 1,

b

a2n (t)(t)dt = 0, es decir, n , n = 0, por tanto, n n respecto a la funcion


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32 Jiaqi Wang

peso no negativa , lo cual es un absurdo.

Trataremos de conseguir este maximo nivel de exactitud, d = 2n 1. Aplicando laequivalencia, se ha de vericar que:

p P n 1, b

an (t) p(t)(t) = 0 p P n 1, n , p = 0.

Esta condici on nos indica que en realidad n (t) = n (t; ) es el enesimo polinomioortogonal respecto a la funci on peso (t). Esto signica, por construcci on, que los no-dos que debemos tomar son los ceros del enesimo polinomio ortogonal. La formula decuadratura con el grado de precision, maxima, 2n

1, recibe el nombre de cuadratura

gaussiana , pues fue Gauss quien primero descubri o para el caso 1 y mas tardeChristoffel lo extendi o. Ademas, podemos hallar la expresi on de los coecientes k :

k = b

a

n (t; )(t tk )n (tk ; )

dt, k {1, , n}.

Concluimos el captulo comentando algunas caractersticas de la cuadratura gaus-siana.

1. Los nodos de interpolacion tk son distintos, fruto de que estos son los ceros delpolinomio ortogonal correspondiente.

2. Los pesos k son todos positivos. Esto ultimo se prueba f acilmente gracias a unaobservacion realizada por Stieltjes. En efecto, como 2 j P 2n 2 y el grado deexactitud es 2 n 1:

b

a2 j (t)dt =

n

k =1

k 2 j (tk ) = j , j {1, , n}.

De esta ultima igualdad se observa claramente que j son mayores que cero puesconstituyen la integral de una funcion no negativa.

3. Convergencia uniforme para toda funcion continua. La f ormula de cuadraturade Gauss converge para cualquier funci on continua. En realidad, esto es unaconsecuencia del teorema de aproximaci on de Weierstrass . Este ultimo permitededucir que si p2n 1(f ; .) denota el polinomio de grado 2n1 que mejor aproximaa f en [a, b] en el sentido de la norma uniforme, entonces: lm

n ||f p2n 1|| = 0.


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Para justicarlo, bastara estudiar el comportamiento asintotico del error E n (f ).Teniendo en cuenta que el grado de exactitud es d = 2n 1, se sigue que, utili-zando la denicion del error:

|E n (f )| = |E n (f p2n 1)| = |I (f p2n 1) I n (f p2n 1)|.Aplicando la desigualdad triangular:

|E n (f )| |I (f p2n 1)|+ |I n (f p2n 1)|=

b

a |f (t)

p2n 1(f ; .)

|dt +

n

k =1

k

|f (tk )

p2n 1(f ; tk )

|,

donde esta ultima nos da una cota del error:

|E n (f )| ||f p2n 1|| b

a(t)dt +

n

k =1

k 0.

El ultimo razonamiento se ha hecho en virtud de la positividad de los k , esta-

blecidos en la propiedad 2) y de la integral b

a(t)dt, que se trata del area que

encierra la funci on peso en el intervalo (a, b).

Para completar el captulo incluimos un ejemplo pr actico. Utilizaremos las f ormu-las de cuadratura para aproximar ciertas integrales.

Sean (x) = 1 1 x2

, x (1, 1), y sea f (x) la funcion a integrar. Vamos aaproximar I (f ) =

1

1f (x)

dx 1 x2

por medio de

I n (f ) =

n

k =1k f (tk ) =

2

n

k =1f (cos(

2k

1

2n )),

la formula de cuadratura de Gauss- Chebyshev. Haremos para cada funci on unatabla con los errores. Los calculos han sido realizados con la ayuda de MatLab.

f (x) = ex

Los resultados obtenidos son magncos: con s olo 10 puntos el error es des-preciable para el ordenador. Sin embargo, esto invita pensar que la raz on


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34 Jiaqi Wang

n

|I (f )

I n (f )

|2 0,01556064 5,92 10 76 3,14 10 128 4,44 10 1610 0.

Cuadro 5.1: Tabla de errores de la f ormula gaussiana para f (x) = ex .

para dicha convergencia es debido a que f (x) = ex C es una funcion

regular y muy suave.

Probemos con una funci on que no es derivable para ver su bondad.

f (x) = |x|n |I (f ) I n (f )|4 0,05234438 0,012909116 0,00321638

30 0,00091414560 0,00022848180 0,000128516

100 0,0000822491

Cuadro 5.2: Tabla de errores de la f ormula Gaussiana.

A pesar de que no sea una funcion derivable siquiera, la convergencia tam-bien se da en este caso, aunque de forma m as lenta. Es decir, necesitamostomar un mayor n umero de puntos para obtener errores cada vez menores.No obstante, podemos concluir que la estimacion es bastante buena.


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Captulo 6

Aplicacion fsica: interpretaci on

electrostatica de cerosEn este captulo trataremos de aplicar lo aprendido sobre los polinomios ortogonales

para estudiar un tema conocido de la fsica: el campo electrico. En un curso elementalde fsica, se han introducido las primeras nociones de fuerza electrica entre dos cargasq 1, q 2 de la forma:

(x1,q 1)

(x2,q 2)F12

Figura 6.1: Fuerza electroestatica entre dos cargas.

F 12 = kq 1q 2r 2

= k q 1q 2

|x1 x2|2,

siendo k la constante de Coulomb, r la distancia entre ambas cargas. Dicha fuerzalleva asociado un potencial electrico, dado por la expresion:

35


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36 Jiaqi Wang

(x1,q 1)

(x2,q 2)

(x3,q 3)

(xn-2 ,q n-2 )

(x4,q 4)

(xn-1 ,q n-1 )

(xn,q n)

C

Figura 6.2: n cargas distribuidas aleatoriamente en el plano complejo.

V 12 = kq 1q 2

r = k

q 1q 2

|x1 x2|,

Ahora bien, supongamos que nuestro estudio se desarrolla en un espacio donde reinaun modelo diferente, en el cual la expresion de la fuerza electrica entre dos cargas q 1, q 2(con posiciones x1 e x2 respectivamente) es, en m odulo:

| F 12| = k |q 1q 2|

|x1 x2|,

siendo su correspondiente potencial asociado:

V 12 = kq 1q 2 log|x1 x2|.Trabajaremos en el plano complejo. Para simplicar nuestro estudio, normalizando

si fuese necesario, obtendramos el potencial como:

V 12 = q 1q 2 log |x1 x2|.Si en lugar de 2 disponemos de n cargas q 1, , q n , con sus respectivas posicionesx1, , xn , podemos establecer la energa mutua del sistema como:

E (x1, , xn ) =1 i


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38 Jiaqi Wang

+1 x1

x2

+1 K

0 +1

+1

0

Figura 6.4: Subconjunto K en el caso n = 2.

No es difcil justicar la existencia de dicho mnimo. Para ello, es equivalente probarque la funcion L(x1, , xn ) = e E T (x 1 , ,x n ) alcanza un m aximo absoluto en K . Peroesto es evidente dado que:

1. K es compacto, al ser cerrado y acotado.

2. L(x1, , xn ) es una funcion continua en K .Luego existira al menos una n -upla: (x1, , xn ) K tal que:

E T (x1, , xn ) = mn(x 1 , ,x n ) K E T (x1, , xn ).Observamos que, de hecho, el maximo de L, es decir, el mnimo de nuestra energa

E T , no se alcanza en la frontera de K . Esto es debido a que:

Si i = j : xi = x j = L(x1, , xn ) = 0. Si i {1, 2, , n} : |xi | = 1 = E T (x1, , xn ) = 0.

Luego ha de alcanzarse en el interior de K . Esto implica que en realidad hablamosde un mnimo absoluto y a la vez local. Por tanto, en dicho punto ( x1, , xn ) el vectorgradiente de E T ha de ser nulo, esto se traduce en:

E T = 0 E T x k

= 0 , k = 1, , n. (6.1)


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Teniendo en cuenta que

x log

1

|x y| =

1

x y, sustituyendo esto en la igualdad

(6.1) obtenemos:

x k

E T (x1, , xn ) = j = k

1xk x j

+ a

xk 1 +

bxk + 1

= 0, k = 1, , n, (6.2)que se trata de un sistema no lineal de n ecuaciones y n incognitas. Adem as, si

denotamos por p(x) =n

j =1

(x x j ) al polinomio cuyos ceros son las posiciones de lascargas que optimizan la energa total, no es difcil comprobar que:

p (xk ) p (xk )

= 2 j = k

1xk x j

.

Con esto podemos reescribir (6.2):

12 p (xk ) p (xk )

+ p

xk 1 +

q xk + 1

= 0, k = 1, , n.Quitando los denominadores, multiplicando por el producto de los mismos, nos que-

da:

((xk )2

1) p (xk ) + 2( a(xk + 1) + b(xk 1)) p (xk ) = 0 , k = 1, , n. (6.3)Si denotamos por Q(x) = ( x2 1) p (x) + 2( a(x + 1) + b(x 1)) p (x), la condicion(6.3) es equivalente a que Q(xk ) = 0 , k = 1, , n. Como deg( p) = n:

deg(Q) n = Q P n . Q(xk ) = 0 , k = 1, , n.

Luego en realidad Q es igual a p salvo un factor escalar, es decir, R : Q = p.Para determinar bastara igualar los coecientes de los monomios de mayor grado aambos lados de la igualdad:

= 2(a + b)n + n(n 1). (6.4)Sustituyendo esta informacion (6.4) en la ecuacion (6.3) tenemos que:

(x2 1) p (x) + 2( a(x + 1) + b(x 1)) p = p. (6.5)Que es una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden con coecientes po-

linomicos. Sabemos que los polinomios de Jacobi P (, )n constituyen una soluci on para


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40 Jiaqi Wang

la ecuacion ya estudiada en (3.1):

(x2 1)y + [( + + 2)x ( )]y n(n + + + 1)y = 0.Ajustando los par ametros de manera adecuada, comparando (6.5) y (3.1), se obtie-

nen:

= 2a 1 > 1. = 2b1 > 1.Se tiene, as, que el polinomio enesimo ortogonal de Jacobi P

(, )n , con = 2a 1, = 2b1 es una solucion para nuestra ecuacion diferencial.

Es decir, las posiciones optimas de las cargas vienen dadas en terminos de los cerosdel polinomio de Jacobi P (2a 1,2b 1)n . Ademas, esta soluci on es unica por construcci on,dado que hay un unico punto crtico, puesto que la ecuacion diferencial (3.1) tiene unaunica solucion polinomica; concluimos, as, que se trata mnimo absoluto buscado.

En trabajos posteriores, T. J. Stieltjes extendi o este analisis al caso de varias cargasrepulsivas jas en el eje real (problema de Heine- Stieltjes), y al caso de intervalos noacotados (Laguerre y Hermite). No obstante, m as de un siglo despues de los trabajospioneros de Stieltjes sigue habiendo numerosos e interesantes problemas abiertos en elcampo de la interpretacion electrost atica de ceros de polinomios.


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Polinomios Ortogonales. Propiedades y Aplicaciones

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