Polinomios ortogonales y sistemas integrables

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Facultad de Ciencias Fsicas Departamento de Fsica Terica II

(Mtodos Matemticos de la Fsica)

TESIS DOCTORAL

Polinomios ortogonales y sistemas integrables

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR

Carlos lvarez Fernndez

Director

Manuel Maa Baena

Madrid, 2014

Carlos lvarez Fernndez, 2014

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS

TESIS DOCTORAL

Polinomios ortogonales y sistemas integrables

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR

Carlos lvarez Fernndez

DIRIGIDA POR EL DOCTOR

Manuel Maas Baena

Departamento de Fsica Terica II(Mtodos Matemticos de la Fsica)

MADRID 2014

A mis padres y a mi hermano,sin cuyo apoyo nada de esto habra sido posible.

Agradecimientos

Sera infinita la lista que tendra que elaborar si quisiera recoger aqu los nombres de todaslas personas que han contribuido de una forma u otra a la realizacin de este trabajo. Como ellono es posible, me limitar a mencionar a aquellos que me vienen a la mente en este momento,sabiendo que sern muchos los omitidos y pidiendo perdn por ello por adelantado.

Podra empezar por hablar de aquellos que me han acompaado en el trabajo de estos ltimosaos, son los que primero me vienen a la mente, pero sera poco original, as que hablar de misprofesores. En cierta medida todos, pero los que ms merecen estar aqu son aquellos que duranteunos aos importantes e inolvidables me ensearon a apreciar e interesarme por las matemticasy la fsica, y tambin a escribir con correccin. As que ah van mis agradecimientos para DoaPura Sotillo, Don Guillermo Gallego, Don Juanjo Echenagusa y el insustituible Don AntonioMonteagudo, al que seguramente le hubiera gustado leer estas lneas. Ellos han sido mis primerosmodelos docentes los astros cuya estela intentar seguir.

Tambin han sido profesores mos muchos de los que hoy son compaeros de departamento,as que mi agradecimiento se extiende al Departamento de Mtodos Cuantitativos de la Univer-sidad Pontificia Comillas. A pesar de la diversidad de materias, Antonio Serrano, Ins Portillo,Mara Josefa Peralta, Lourdes Fernndez, Susana Carabias, Elena Jimnez Pulmario, EnriqueParra, Juan Manuel Lpez Zafra, Francisco Borrs, Carlos Martnez de Ibarreta y Toms Curto(y alguno que seguro que me olvido) tambin han contribuido ms de lo que creen a mi formaciny especialmente a que disfrute enseando.

Llegados ya al terreno de la fsica, mi formacin no habra sido la misma sin el Departamentode Fsica Terica II de la Facultad de Ciencias Fsicas de la Universidad Complutense de Madrid.Gracias a ellos pude complementar aquello que ya saba con todas las cosas nuevas que mequedaban por aprender y que aun hoy sigo aprendiendo, as que gracias a Artemio Gonzlez,Miguel ngel Rodrguez, Luis Manuel Gonzlez, David Gmez-Ullate, Luis Martnez, ManuelMaas, Francisco Guil, Carlos Moreno, Gabriel lvarez, Jos Ignacio Aranda, Javier Chinea, LuisGaray, Francisco Gonzlez, Lorenzo Abellanas, Piergiulio Tempesta y al resto de los miembrosque no han sido mis profesores (que pocos me he dejado fuera). No es simplemente lo que heaprendido de vosotros, sino que adems me inspiris cuando tengo que pensar la mejor forma dedar una clase. Hara tambin muchas menciones a mis profesores de otros departamentos, peroprefiero dejarlo en un gracias a todos vosotros.

Pasemos ya a quienes me han tenido que aguantar a ms o menos distancia durante estosltimos aos. Aqu el primero y el que ms merece mi agradecimiento ha sido Manuel Maas.Adems de aceptarme como estudiante en unas condiciones que no son nada estndar (compa-radas con las de un estudiante a tiempo completo) supongo que consider que precisamente por

v

vi AGRADECIMIENTOS

eso tendra algo especial que aportar. Le agradezco tambin su infinita paciencia cuando otrasobligaciones me dificultaban tener los clculos hechos a tiempo. Supongo que si estoy escribiendoesto es que no quedar ya ninguna cuenta por hacer, aunque he disfrutado mucho hacindolas.El hecho de a la vez estar y no estar en el departamento no ha hecho las cosas fciles paranadie, pero creo que no me puedo quejar del resultado, ya que aunque mi tiempo presencialha sido limitado, este departamento siempre ha tenido un lugar especial en mis ocupaciones ypreocupaciones.

No solo ha sido un placer (y un deber a la vez) trabajar con Manuel Maas, sino tambincon Ulises Fidalgo, al que agradezco sus aportaciones y sus conversaciones (no slo sobre mate-mticas). Igualmente agradezco a Guillermo Lpez y a Francisco Marcelln el cario y la buenaacogida que nos han dado en la Universidad Carlos III de Madrid, no slo invitndonos a loscongresos y seminarios, sino molestndose en pulir y corregir las ideas de nuestros trabajos.

Llego ya a aquellos con los que he compartido el papel de estudiante de doctorado en estacasa. En primer lugar estaran los antiguos compaeros que ya no siguen por aqu, pero conlos que he compartido aulas en la carrera en muchas ocasiones, Hctor, Isaac, Leticia, Berta,Rubn y lvaro. Tambin han sido compaeros mos (en este caso de Mster) David, (con quientuve el placer de trabajar) y Jacobo entre otros. Fue un placer compartir con vosotros un aode tan duro e intenso trabajo. Tampoco me olvido de Jenifer, Jos Carlos, Jos Luis, Gerardoy Giovanni; me hubiera gustado compartir ms tiempo adems de unos fugaces saludos cuandonos encontrbamos en el pasillo o en el comedor. A ti Giovanni te agradezco adems la buenacompaa en los congresos, cafs y paseos, el sentido del humor y la habilidad para tener siempreun punto de vista distinto.

Por ltimo tengo que agradecer a quienes son los primeros, sin los que jams podra haberrealizado esta tesis, mi familia. Ah estn mis primas, mis tos y mis abuelos, pero tienen un lugarespecial mis padres y mi hermano Alberto a los que dedico este trabajo. A vosotros os debo noslo infinito agradecimiento por vuestra ayuda y apoyo incondicional, sino lo ms importante,el fomento de la curiosidad y la inquietud, el hecho de que siendo yo nio abundaran libros deciencia entre los regalos. Nunca podr agradeceros lo suficiente vuestra educacin, pero esperoque dedicaros esta obra sirva de compensacin. Gracias a todos y perdn a los que he olvidadomencionar aqu.

Abstract

Motivation and objectives

This thesis explores the connections between two classic subjects that have been historicallyconnected to both mathematics and its application to study the behavior of physical systems.These subjects are the theory of integrable systems and the theory of orthogonal polynomials.In particular, we are interested in some properties of the Toda-type integrable systems (the 2Dmulti-component Toda hierarchy) that are relevant to describe families of orthogonal polynomialsand more general objects, like matrix orthogonal polynomials, multiple orthogonal polynomialsand orthogonal Laurent polynomials.

Our general method consists in setting a Gaussian factorization problem on a Lie group ofinfinite matrices. This has proved a powerful method because it allows to compute easily enoughsome objects that are present in the orthogonal polynomials theory, such as recurrence relationsand Christoffel-Darboux formulas. As the Gaussian factorization can be used to describe, bothintegrable systems and orthogonal polynomials it is a useful tool to connect both subjects. Forinstance, it allows to define a time evolution for the orthogonal polynomials that is the oneruled by the Toda integrable hierarchy. Consequently, the study of Lax equations, symmetriesand reductions involving polynomials becomes very natural.

The main motivation for our research line, that we began in [8] and continued in [9] and[10] was the publication of a paper by Mark Adler, Pierre van Moerbeke and Pol Vanhaecke [7].This paper studied the integrable structures of multi-component type that were present in thetheory of multiple orthogonal polynomials, that had a clear connection with the work made byEvi Daems and Arno Kuijlaars [38] about non-intersecting Brownian motions. Due to the knownconnections between the infinite Toda lattice hierarchy and the standard theory of orthogonalpolynomials, it was clear that more general Toda-type hierarchies had to be connected withsome generalizations of the standard orthogonal polynomial theory.

Results

We first give a general introduction in chapter 1, where we show the historical outline oforthogonal polynomials and integrable systems. The rest of the chapters are based in the seriesof papers that have been the result of our research and explore the subject under different angles.They are based in the connections between some generalized orthogonal polynomial theory andthe corresponding Toda-type integrable hierarchy.

Chapter 2 collects some of the results published in [87] and [88] and is devoted to the

vii

viii ABSTRACT

general theory of the Toda-type integrable systems under the point of view of factorizationproblems. In it, we review some known results about how to build the 2D multi-component Todaintegrable hierarchy using a Gaussian factorization problem, (that we will call also Gauss-Borelfactorization or even LU factorization) on an infinite dimensional Lie group in the way made byKenji Ueno and Kanehisha Takasaki [118]. Some of the results given in the section cover the wellknown dressing and undressing method, the Lax equations and the zero curvature equations (alsonamed Zakharov-Shabat equations). Following the ideas on [118], [21], [85] and [86] the knownideas about 2D multi-component Toda and multi-component KP where presented with somenew results about discrete flows and Hankel/Toeplitz reductions. The analysis of reductions wasthe seed of the following works as it led directly to the orthogonal polynomials theory that isstudied in the rest of the chapters, that is because there is a fundamental connection between thefactorization of an initial condition (that is present in integrable systems) and the factorizationof a moment matrix (that is present in orthogonal polynomials).

Chapter 3 reviews the results published in [8] and is devoted to the study of the connectionsbetween matrix orthogonal polynomials and some reductions of the 2D multi-component Todahierarchies in the semi-infinite case. Based in the ideas of Mark Adler and Pierre van Moerbeke(mainly in [4]) we study some generalizations of matrix polynomials and how they are connectedto Toda-type systems. The idea, as we said before is to see that the LU factorization problemcan be seen as both a problem for the initial condition of an integrable system and a problemfor a moment matrix. That idea acts like a bridge and allows us to obtain results on Christoffel-Darboux kernels and recursion relations. As the Riemann-Hilbert problem that is given in [4]is not correct, we tried to solve the situation in a different way, that was to use a multipleorthogonal framework and the results of [38] as a way to solve the problem. As a side-effect,that gave us the clue to build the approach that we took in the next chapter.

Chapter 4 shows the full potential of the factorization approach to connect 2D multi-component Toda hierarchies and multiple orthogonal polynomials of mixed type and collectsthe results published in Advances in Mathematics [9]. This is the main chapter of the thesis,where we build a connection between multiple orthogonal polynomials of mixed type and theToda-type hierarchies. Although there has been works that show connections between multipleorthogonal polynomials of mixed type and multi-component KP [7] they did not use the facto-rization point of view but a very indirect approach involving the Riemann-Hilbert analysis in[38]. We thus pursued a more direct approach that needed to modify the formulation of the 2Dmulti-component Toda lattice in the way proposed by [21] using partitions. This approach allowsus to set a Gauss-Borel factorization problem that describes both the multiple orthogonal familyand the multi-component integrable system. Following that way we were able to characterize therecurrence structure of the multiple orthogonal polynomials of mixed type and to compute theirChristoffel-Darboux formulas with only algebraic assumptions (avoiding the analytical approachused in Riemann-Hilbert techniques like [38]). Along with that we were able to characterize so-me key objects in the multiple orthogonal theories with their Toda lattice counterpart, like thepolynomials and their cauchy transforms with the baker functions. To conclude, we found the -function representation of all these objects using determinants.

To conclude, chapter 5 exploits the techniques discovered in chapter 4 to deal with multipleorthogonal polynomials into a different framework, that is the theory of Laurent orthogonal

ix

polynomials on the unit circle. That is because the CMV representation can be considered asa multicomponent approach to orthogonality on the unit circle where positive and negativepowers are treated separately. As a result it is possible to obtain very similar results to theones obtained in 3. In particular we propose a Gaussian factorization for the problem that leadsus to a very complete analysis, in particular the study of the five term recurrence relationsand Christoffel-Darboux formulas. In contrast with the difficulties that the Toeplitz symmetryoriginates in the classical treatment of the orthogonality on the circle, our treatment follows aHankel-like approach that makes the use of the previously used techniques very straight forward.After studying the standard CMV representation, what we do is to study generalized orderingsthat have snake-shaped matrices as a result. Once we study the Laurent polynomials, and theirCauchy transforms, we connect objects with the time evolution compatible with the Toda-typeintegrable structure that is studied in the other chapters. The consequence is the analysis of theorthogonal Laurent polynomials and their Cauchy transforms as solutions of the Toda system,so we obtain an alternative formulation of the previously known Toeplitz lattice. To conclude westudy the problem of finding a -function representation for the polynomials as we did before,showing some of the differences and similarities between the line case and the circle case. Allthese results were published in [10].

Conclusions

After the elaboration of this thesis, we have concluded that the use of Gaussian factorizationtechniques to look for connections between the Toda-type integrable hierarchies and the theoryof multiple orthogonal polynomials has been fruitful enough because of the following reasons.

The presence of a factorization problem is a key fact in both theories, Toda-type integrablesystems and orthogonal polynomials. In the orthogonal polynomial theory, the definitionof the so-called moment matrix is one of the posible angles to study the problem. In thecase of the analysis of integrable systems, the study of the dressing method applied toa Gaussian factorization problem is a very natural approach to the movement equationsthat characterize the Toda hierarchy as a dynamical system.

The use of an LU factorization to characterize an integrable system has been useful to studythe symmetries that are present in it. In fact the Hankel/Toeplitz symmetries in the inicialcondition of a 2D Toda type integrable system has been critical to build the connectionswith orthogonal polynomials. In fact the generalization of the Hankel symmetry that ispresent in the moment matrix of the classical orthogonal polynomials can be extendedto more general situation that have not been treated previously under our point of view,like the multiple orthogonal polynomials, and the orthogonal Laurent polynomials in theunit circle. In these cases, the consideration of generalized Hankel symmetries has been afundamental tool to obtain Christoffel-Darboux formulas using a different approach.

The method that we have developed has proved useful in providing a consistent approachfor all the different problems studied in our thesis. This methodology has consisted instudying the symmetries that are present in an orthogonal polynomial family and use

x ABSTRACT

them to build a time evolution structure compatible with generalizations of the Todaintegrable hierarchy.

Open problems

We have studied the connection between some generalized orthogonal polynomials (matrixpolynomials, multiple orthogonal polynomials, Laurent polynomials) and some Toda-typeintegrable systems under the point of view of factorization techniques. Our work has beenbiased towards and algebraic analysis of this connections. As a consequence we foundsome expressions for the recursion relations and Christoffel-Darboux kernels, but it isstill an open problem how the factorization techniques and the tools borrowed from theintegrability theory can lead to results of a more analytical nature, e.g. the analysis ofthe zeroes and the all the interesting questions regarding the asymptotic analysis of thepolynomials.

Another interesting and still open problem would be to generalize the techniques used topolynomials in more than one variable. This would be a logical step once we have dealtwith the one variable case.

ndice

Agradecimientos V

Abstract VII

1. Introduccin histrica, objetivos y resumen 1

2. La jerarqua de Toda bidimensional multi-componente 92.1. Planteamiento y problema de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Notacin empleada para sucesiones, lgebras y grupos de Lie . . . . . . . . . 102.1.2. Grupos de Lie y el problema de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Ecuaciones de Lax y Zakharov-Shabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1. Proceso de revestimiento. Operador de Lax y operadores C . . . . . . . . . . 122.2.2. Ecuaciones de Lax y Zakharov-Shabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3. Ecuaciones de Toda multi-componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Simetras y reducciones Toeplitz/Hankel por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Polinomios matriciales en la jerarqua de Toda 233.1. Polinomios bi-ortogonales matriciales y matrices de momentos . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1. El problema de factorizacin en el caso semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Construccin de polinomios matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3. El caso Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4. Frmulas de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Simetras de tipo Hankel multigraduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1. Relacin con los polinomios mltiplemente ortogonales . . . . . . . . . . . . 283.2.2. Problemas de Riemann-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. Frmulas de Christoffel-Darboux para simetras multigraduadas . . . . . . . . . . . . 333.4. Flujos de tipo Toda en la teora de polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.1. Introduccin de parmetros de evolucin temporal . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2. Ecuaciones de Toda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.3. Relaciones de recurrencia y simetras para el caso multigraduado . . . . . . . 43

xi

xii NDICE

4. El caso mltiplemente ortogonal 454.1. La factorizacin LU para polinomios mltiplemente ortogonales . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. La matriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2. La factorizacin de Gauss-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.3. Formas lineales y bi-ortogonalidad mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.4. Funciones de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.5. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.6. Frmulas de Christoffel-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2. Conexin con la jerarqua de Toda multi-componente . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.1. Deformaciones continuas de la matriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2. Ecuaciones de la jerarqua integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.3. Flujos discretos de Darboux-Miwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.4. Simetras, relaciones de recurrencia y string equations . . . . . . . . . . . . . 854.2.5. Ecuaciones bilineales y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Polinomios de Laurent en el crculo unitario 955.1. Factorizacin LU y ordenacin CMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1. Polinomios de Laurent bi-ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.1.2. Funciones de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.4. Operadores de proyeccin y ncleo de Christoffel-Darboux . . . . . . . . . . 1135.1.5. Polinomios asociados de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.6. La frmula de Christoffel-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2. Orden CMV extendido y polinomios ortogonales de Laurent . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.1. Orden CMV extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.2. Funciones de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.4. La frmula de Christoffel-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3. Jerarquas de tipo Toda bidimensional asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3.1. Flujos de Toda para el crculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3.2. Ecuaciones integrables de Toda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.3. Matrices CMV y la red de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3.4. Introduccin de flujos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.5. La ecuacin bilineal y las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Conclusiones y problemas abiertos 143

Captulo1Introduccin histrica, objetivos y resumen

Esta tesis trata de establecer conexiones entre dos reas clsicas de las matemticas cuyonacimiento y desarrollo ha estado ligado tambin a la resolucin de problemas fsicos. En concretohablamos aqu de la teora de los polinomios ortogonales y de la teora de los sistemas integrables,de las cuales haremos algunas menciones histricas antes de hablar del propsito de la tesis.

En primer lugar, hablemos de la teora de los polinomios ortogonales, cuyo cuerpo tericose remonta a los trabajos de Thomas Johannes Stieltjes [113] y de Pafnuti Lvvich Tchebichev[115], aunque ya se utilizaban desde Adrien-Marie Legendre en el estudio de la mecnica y laastronoma. Este es un tema que puede abordarse desde el punto de vista algebraico, desdela teora de aproximacin, o (sobre todo modernamente) desde el punto de vista del anlisisfuncional y la teora de la medida. La forma ms sencilla de plantear el problema es consideraruna familia de polinomios mnicos {Pn} donde Pn es de grado n, un intervalo de la recta real y una funcin w integrable y positiva en que llamaremos peso. Diremos que la familia {Pn}es una familia ortogonal en respecto al peso w si

Pn(x)Pm(x)w(x)dx = hnn,m. (1.1)

Habitualmente se suele definir el llamado funcional generatriz de momentos, L , introducidopor Riesz en [101] tal que L (f) =

f(x)w(x)dx. Asociado a l se definen los momentos

n := L (xn) =

xnw(x)dx que forman una serie numrica ntimamente ligada con el problema

de ortogonalidad. De hecho se denomina precisamente problema de momentos al problema deencontrar condiciones necesarias y suficientes para las que una sucesin arbitraria de nmeros nsean los momentos correspondientes a un problema de ortogonalidad. En esa lnea se denominaproblema de Stieltjes [113] al problema concreto cuando el intervalo es el [0,], problema deHamburger [65] al problema concreto en el intervalo (,), y problema de Hausdorff cuandoel intervalo es el [0, 1]. Para aspectos generales sobre problemas de momentos se puede consultar[105].

Ms que aspectos de naturaleza terica, como los relacionados con los problemas de momen-tos, nosotros utilizaremos algunos elementos concretos de la teora de polinomios ortogonalesy sus generalizaciones, en particular el estudio de las leyes de recurrencia y las frmulas deChristoffel-Darboux. Una de las propiedades ms importantes de los polinomios ortogonales esla existencia de relaciones de recurrencia de tres trminos, que permiten expresar los polinomios

1

2 1. INTRODUCCIN HISTRICA, OBJETIVOS Y RESUMEN

de la familia en funcin de los anteriores, de la forma

xPn(x) = Pn+1(x) + anPn(x) + bnPn1(x), (1.2)

recprocamente, Jean Favard [44], prueba la proposicin recproca. Es decir, bajo ciertas condi-ciones la existencia de relaciones de recurrencia con coeficientes dados, determina la existenciade un problema de ortogonalidad. Estas frmulas adoptan formas ms complejas cuando utiliza-mos una teora de polinomios generalizada (como sern las de tipo matricial, la correspondientea polinomios de Laurent, y la correspondiente al caso mltiplemente ortogonal), pero siemprecomparten la misma estructura. Adems, con los coeficientes que se obtienen en estas relacionesde recurrencia se construye la llamada matriz de Jacobi, que es la representacin del operadorde multiplicacin por x, de cuyo anlisis espectral se obtiene una gran cantidad de informacin,especialmente en referencia al comportamiento de los ceros de los polinomios de la familia orto-gonal, tema que, aunque clsico en la literatura de polinomios, no trataremos aqu. A pesar deeso s que utilizaremos el formalismo de la matriz de Jacobi por su conexin inmediata con lossistemas integrables, el otro tema que trataremos en esta tesis.

Otro resultado que utilizaremos con frecuencia es la llamada frmula de Christoffel-Darboux,que da una expresin compacta para evaluar sumas de productos de los n primeros polinomiosde una familia ortogonal

n1k=0

Pk(x)Pk(y)hk

= 1hn1

Pn(x)Pn1(y) Pn1(x)Pn(y)x y . (1.3)

y nuestro inters se centrar en encontrar equivalentes para esta frmula en casos ms generales.A pesar de su gran inters no tratamos aqu otros temas centrales de la teora de polinomios

ortogonales como puede ser el comportamiento de los ceros, las llamadas frmulas de cuadratura,o las cuestiones relacionadas con el comportamiento asinttico. Adems de la obra de GborSzeg, [114], que es de referencia en el desarrollo de la materia, gran parte de la teora estndarse puede encontrar en libros como el de Chihara, [31] o Freud [55].

El otro gran tema de la fsica matemtica que tratamos en la tesis es el de los sistemasintegrables clsicos. Desde la formulacin de la mecnica clsica por Isaac Newton los problemasde n cuerpos sometidos a la interaccin gravitatoria fueron un tema central de estudio para losastrnomos, fsicos y matemticos. As como el problema de dos cuerpos fue planteado y resueltopor el propio Newton, el problema de tres cuerpos se mostr de una naturaleza diferente. Apesar de que fue estudiado por el propio Newton, Euler, Jacobi [69], y Lagrange [81], no seencontraron ms que soluciones restringidas. Henri Poincar demostr finalmente que este era elcaso de sistema dinmico no integrable, para el cual no exista una solucin general reducible acuadraturas, y el conocido teorema de Liouville [83] da un criterio para reconocerlos utilizandola existencia de cantidades conservadas en involucin. Esto daba pie a pensar que los sistemasintegrables eran relativamente escasos.

El panorama cambia en el siglo XX cuando se empiezan a considerar nuevas aproximacionesy formulaciones de la teora de sistemas integrables. Estas nuevas aproximaciones estn relacio-nadas con el estudio de ecuaciones no lineales que tienen propiedades excepcionales, como laexistencia de soluciones solitnicas. Los solitones son soluciones de tipo ondulatorio a ecuacionesno lineales que incluyen un trmino no lineal y un trmino dispersivo. Sus caractersticas princi-pales son que conservan su amplitud a lo largo del tiempo y que tienen una interaccin no lineal

3con otros solitones. Fueron descritos por primera vez por el ingeniero naval John Scott Russell[103] al observar la propagacin de ondas en un canal poco profundo. La presencia de este tipo desoluciones es uno de los rasgos que presentan los sistemas integrables. Por ejemplo, la ecuacinde Korteweg-de Vries (KdV) [77] describe los solitones de Russell, pero tambin se encuentransoluciones de tipo solitnico en sistemas ms generales, como el de Kadomtsev-Petviashvili, [78](KP) o el propio sistema integrable de Toda que ser objeto de la tesis.

El llamado mtodo de scattering inverso, utilizado por Gardner, Greene, Kruskal y Miura[58], permiti resolver la ecuacin de Korteweg-de Vries para datos iniciales que decrecen losuficientemente rpido en el infinito y caracterizar analticamente las soluciones solitnicas quehaba observado Russell. Paralelamente se introdujo la formulacin en trminos de los llamadospares de Lax [82], idea central en los sistemas integrables, que consiste en expresar las ecuacionesdinmicas del sistema usando el llamado operador de Lax (que veremos que est relacionado conel operador de Jacobi de los polinomios ortogonales). Junto con ella, utilizaremos la formulacinen trminos de las ecuaciones de curvatura nula o de Zakharov-Shabat [120], junto con el llamadoargumento de Gelfand-Dickey [60]. Igualmente importantes son los desarrollos de la escuela deKyoto para encontrar tcnicas y caracterizaciones alternativas de los sistemas integrables, comolos debidos a Hirota [68] a Sato [104].

Los sistemas que estudiaremos en esta tesis son los de tipo Toda. El estudio de la jerarquaintegrable de Toda proviene histricamente de la llamada red de Toda. La red de Toda es unmodelo que fue propuesto por Morikazu Toda en 1967 [117] y que modela le evolucin deuna cadena unidimensional de partculas unidas por interacciones no lineales. El estudio de laspropiedades de cadenas no lineales viene motivado por el experimento de Enrico Fermi, John R.Pasta y Stanislaw Ulam [51]. Dicho experimento fue realizado en la dcada de los 50 del sigloXX con la mquina MANIAC-I del laboratorio de Los lamos. En l se estudi numricamenteel comportamiento de cadenas bajo distintos tipos de potenciales no lineales con un gran nmerode partculas.

Al tratarse de un sistema no lineal, se esperaba que hubiera una dilucin estadstica de laenerga conforme a la clsica hiptesis ergdica. El caso opuesto es el de los sistemas lineales,en los que todo el movimiento se puede describir utilizando los modos normales del sistema. Enellos, si las condiciones iniciales del sistema corresponden a un modo normal, toda la evolucincontina dentro de dicho modo normal. Los resultados sorprendentes mostraban que al introduciruna perturbacin en los sistemas lineales que estudiaron no haba una dilucin de la energa entretodos los modos normales de la cadena lineal sino que haba comportamientos que sugeran trazasde integrabilidad en el sistema.

La propuesta de Toda para estudiar este fenmeno fue el empleo de un potencial de inter-accin exponencial (r) = ab ebr + ar + const. que poda aproximarse por el de un osciladorarmnico para determinados valores de los parmetros. Toda obtuvo soluciones exactas me-diante el empleo de funciones elpticas que eran la generalizacin de los modos normales de lacadena lineal. Este hecho es de excepcional importancia, pues est conectado con la existenciade soluciones solitnicas.

La integrabilidad en el sentido de Liouville para la cadena de Toda unidimensional de Npartculas fue resuelta por Hnon [66] a travs del formalismo Hamiltoniano, que encontr ex-presiones para las correspondientes cantidades conservadas. Posteriormente, la representacin


del sistema con las llamadas variables de Flaschka [49, 50] permiten encontrar los pares de Laxcon los que se describe esta jerarqua habitualmente.

Esta tesis tiene como objeto el estudio de propiedades de las jerarquas de tipo Toda queson relevantes para la descripcin de familias de polinomios ortogonales matriciales, polinomiosmltiplemente ortogonales y polinomios de Laurent ortogonales en el crculo unidad. En concretoutilizaremos la jerarqua de Toda bidimensional multi-componente, de la cual daremos distintasformulaciones ligeramente distintas a lo largo de los captulos de los que consta la tesis.

El mtodo general de trabajo ser comenzar con el estudio de un problema de factoriza-cin sobre grupos de Lie (o ms concretamente sobre matrices infinitas). Este es un formalismoadecuado porque permite obtener con facilidad propiedades caractersticas de familias de polino-mios ortogonales como las relaciones de recurrencia y las frmulas de tipo Christoffel-Darboux.Adems, este formalismo permite tambin la introduccin de una evolucin temporal para lospolinomios ortogonales que es justo la caracterstica de la jerarqua de Toda, de modo que sucaracterizacin mediante las ecuaciones de Lax, y el estudio de simetras y reducciones es muynatural.

La principal motivacin para orientarnos hacia esa direccin que comenzamos en [8] (y quecontinuamos en [9] y [10]) fue el descubrimiento por Mark Adler, Pierre van Moerbeke y PolVanhaecke [7] de estructuras integrables de tipo multi-componente en la teora de polinomiosmltiplemente ortogonales, que tiene una clara conexin con el trabajo de Evi Daems y ArnoKuijlaars [38] sobre movimientos Brownianos no intersecantes. Teniendo en mente las conexionesconocidas de la jerarqua de Toda con la teora clsica de polinomios ortogonales y los modeloshermticos de matrices aleatorias (por ejemplo en [54]), era de esperar que el formalismo delas jerarquas de tipo multi-componente se pudiera aplicar al estudio y caracterizacin de lospolinomios mltiplemente ortogonales, modelos de matrices aleatorias y movimientos brownianosno intersecantes. En particular, el lmite semiclsico (o lmite sin dispersin) de las jerarquasintegrables multi-componente podra ser relevante para el anlisis del lmite de gran N , porejemplo [90].

En el captulo 2, que recoge los resultados del trabajo publicado en Inverse Problems [87]es de tipo introductorio. En l se formulan varias ideas ya conocidas de la jerarqua de Todabidimensional multi-componente desde el punto de vista de un problema de factorizacin (quellamaremos indistintamente factorizacin LU, factorizacin de Gauss o de Gauss-Borel) asociadoa un grupo de Lie de dimensin infinita. El trabajo de Mikio Sato [104], y posteriores desarrollosrealizados por la escuela de Kyoto a travs del uso de las identidades bilineales y el formalismo dela funcin en [39]-[41], sent las bases de la descripcin de las jerarquas integrables en trminosde grupos de Lie. En esta direccin hay que destacar tambin la contribucin de Motohico Mulase[93] en la que se muestra que los problemas de factorizacin, el llamado proceso de revestimiento,y los sistemas lineales son la clave para la integrabilidad del sistema. En este marco de procesosde revestimiento las jerarquas multi-componente de tipo Toda fueron analizadas en profundidadpor Kenji Ueno y Kanehisha Takasaki [118].

En [87] y [88] Manuel Maas y Luis Martnez Alonso realizaron un estudio detallado de lajerarqua de Toda bidimensional multi-componente donde estn algunas de las ideas inicialesque llevaron a la realizacin de esta tesis. Basndose tanto en [118] como en trabajos sobrela jerarqua KP multi-componente, entre los cuales estn [76], [21], [85] y [86] se present una

5versin de la jerarqua de Toda en la que se aportaban varias ideas originales, como la adicin deparmetros discretos y la discusin de algunas reducciones. Estas reducciones, ligadas a matricesde tipo Hankel/Toeplitz, son las que constituyeron parte de mi trabajo en [87] y son las quepermiten la conexin entre el problema de factorizacin en su forma abstracta y la factorizacinLU de una matriz de momentos, que es el que tiene inters desde el punto de vista de lospolinomios ortogonales.

El captulo 3, que recoge los resultados del segundo trabajo publicado en Inverse Problems[8] est dedicado a estudiar, en el caso semi-infinito, unas reducciones muy particulares de entrelas estudiadas en el captulo 2, las ligadas a soluciones relacionadas con polinomios ortogonalesmatriciales. Este campo ha sido un rea de inters creciente por las similitudes que tiene con elcaso escalar pero con una riqueza mayor [43]. Como comentamos anteriormente, la relacin delos polinomios mltiplemente ortogonales con la jerarqua de KP multi-componente fueron des-cubiertos en [7] y el formalismo de las string equation para sistemas integrables ha sido aplicadoa este caso particular en [90]. Mark Adler y Pierre van Moerbeke [4], introdujeron, en el contextode la llamada jerarqua de KP discreta, lo que llamaron polinomios ortogonales generalizadosy el problema de Riemann-Hilbert que los caracteriza. A pesar de parecer una extensin delproblema clsico de A.S. Fokas, A.R. Its, y A.V. Kitaev [53], el problema de Riemann-Hilbertplanteado en [4] no es correcto tal y como est planteado. Despus estudiaron las transformacio-nes de Darboux [5] que actan sobre este tipo de sistemas, y recientemente (para el caso Toeplitz)Mattia Cafasso [28] extendi este trabajo para incluir matrices por bloques que conectaban lospolinomios ortogonales matriciales con la red de Ablowitz-Ladick ([1, 2]) no abeliana. Utilizandolos mismos argumentos de [4] podemos razonar como sigue: i) por un lado la jerarqua de Todabidimensional multi-componente se puede entender como una factorizacin LU de cierta matrizinfinita con una evolucin temporal concreta ii) por otro lado, dicha matriz se puede ver comouna matriz de momentos para un problema de ortogonalidad y la correspondiente factorizacinLU permite obtener los polinomios matriciales generalizados. De este modo, podemos conectarla jerarqua de Toda bidimensional multi-componente con la teora de polinomios ortogonalesmatriciales. Para construir esta conexin primero relacionamos los polinomios matriciales orto-gonales y bi-ortogonales con la jerarqua de Toda bidimensional multi-componente empleandouna reduccin particular de tipo Hankel. Despus generalizamos la condicin de matrices porbandas que se obtiene en [4] al caso multi-componente y consideramos lo que llamamos sime-tra Hankel multi-graduada. Esto lleva de forma natural a una extensin multi-componente delos polinomios generalizados de Adler y van Moerbeke que en ciertos casos se pueden describirutilizando polinomios mltiplemente ortogonales mixtos con una normalizacin tipo II. Estaconexin nos permite plantear un problema de Riemann-Hilbert correcto para este problema,corrigiendo el error de [4]. En cierto modo, la forma de tratar el problema es similar al de [17]-[19], en el que se aborda el estudio de relaciones de recurrencia mediante la agrupacin vectorialde polinomios.

En el captulo 4, que recoge los resultados del trabajo de Advances in Mathematics [9], seintroducen y estudian elementos propios de la teora de los polinomios mltiplemente ortogonales.La construccin de conexiones entre ambas estructuras (polinomios mltiplemente ortogonalesy jerarquas integrables) es el tema central del captulo 4 y de hecho, de toda la tesis.

La ortogonalidad mltiple de polinomios es un tema conectado con varias reas de las Mate-


mticas. En particular con el de la llamada aproximacin racional simultnea. La historia de laaproximacin racional simultnea empieza en 1873 con el conocido artculo [67] en el que Her-mite prueba la trascendencia de la constante de Euler e. Con posterioridad, en los aos 1934-35,K. Mahler dio varias lecciones en la Universidad de Groningen [84] donde sent las bases de lateora. Mientras tanto, dos estudiantes de Malher, J. Coates y H. Jager, hicieron importantescontribuciones a este respecto (ver [32] y [70]).

Los polinomios mltiplemente ortogonales se han empleado pruebas de irracionalidad (enteora de nmeros). Por ejemplo, en [24], F. Beukers muestra que la prueba de Apery (ver [14])de la irracionalidad de la funcin de Riemann (3) puede ser reformulada en trminos de unacombinacin de polinomios mltiplemente ortogonales de tipo I y tipo II, llamada ortogonalidadmltiple mixta. La ortogonalidad de tipo mltiple tambin ha aparecido en teoras de matricesaleatorias y movimientos brownianos no intersecantes (ver, por ejemplo, [25], [38] y [80]). Comoes conocido, en [53] se encontr un problema de Riemann-Hilbert que caracteriza a los polinomiosortogonales, y posteriormente [15] este resultado fue extendido a los polinomios mltiplementeortogonales de tipo I y tipo II. En [38] la ortogonalidad de tipo mixto se caracteriza desde estaperspectiva y se emplea para obtener una frmula de Christoffel-Darboux para este tipo depolinomios.

Como hemos comentado, M. Adler y P. van Moerbeke mostraron como el problema defactorizacin de Gauss-Borel aparece en lo que definen como jerarqua de KP discreta [3]-[5]. Enestos trabajos se clarifica (desde el punto de vista de la teora de grupos) por qu la ortogonalidadestndar para polinomios y la integrabilidad de ecuaciones no lineales estn tan relacionados.De hecho, la factorizacin de Gauss-Borel de la matriz de momentos de un sistema ortogonalse puede entender como la factorizacin de Gauss-Borel de la jerarqua integrable asociada.Para ver la conexin entre el trabajo de Mulase y el de Adler y van Moerbeke se puede ver[48]. En el trabajo reciente [7], se muestra que la construccin mltiplemente ortogonal descritaen los prrafos anteriores est ligada con la jerarqua KP multi-componente. De hecho, dadosunos pesos (~w1, ~w2) y grados (~1, ~2) los autores construyen una matriz finita que tiene el papelde matriz de momentos, y usando el problema de Riemann-Hilbert de [38], prueban que losdeterminantes de las matrices de momentos construidas son funciones que verifican la ecuacinbilineal de la jerarqua de KP multi-componente. Sin embargo, a pesar de que los autores lohan hecho en sus trabajos anteriores, no se menciona ninguna factorizacin de Gauss-Borel en eltrabajo ms reciente. Por eso, el objetivo del captulo 4 es la construccin de una factorizacin deGauss-Borel apropiada en el grupo de las matrices semi-infinitas que conducen a la ortogonalidadmltiple y a la integrabilidad de forma simultnea.

Por ltimo, el captulo 5, que recoge los resultados del segundo trabajo publicado en Ad-vances of Mathematics [10], estudia los polinomios ortogonales de Laurent en el crculo unitario(OLPUC), un tema fuertemente relacionado con el de los polinomios ortogonales en el crculounitario (OPUC), ver [114], [106] y [107]. A pesar de que es bien conocido por sus aplicacionesa la teora de la aproximacin estamos interesados principalmente en su conexin con la teorageneral de los sistemas integrables.

Los polinomios ortogonales en la recta real y los polinomios en el crculo unitario tienenmuchas conexiones y aspectos similares. Es bien conocido, por ejemplo que hay una profundaconexin entre los polinomios ortogonales en la recta real (OPRL) en [1, 1] y los OPUC (por

7ejemplo [55, 22]). Si en los polinomios ortogonales en la recta real, es de inters el comportamientode sus ceros, tambin hay un nmero relevante de estudios sobre el comportamiento de los cerosde los OPUC, por ejemplo [13, 20],o [57, 62, 91, 97], que tienen aplicaciones en teora de la sealy teora de prediccin de series temporales, ver [71, 73, 98, 99].

Para el anlisis de los polinomios ortogonales en el crculo unitario generalmente se aplicantcnicas asociadas a la teora espectral, que requieren el estudio del operador de multiplicacinpor z. El estudio de la matriz asociada a este operador da una gran cantidad de informacin, yen particular conduce a la existencia de las relaciones de recurrencia entre polinomios. Ambos,los polinomios ortogonales en la recta real y los polinomios ortogonales en el crculo unitariotienen leyes de recurrencia, pero hay una diferencia fundamental entre ambas. Mientras que enel caso real las relaciones de recurrencia de tres trminos tpicas de los polinomios en la rectaestn asociados a una matriz tridiagonal, el llamado operador de Jacobi. Sin embargo en el casodel crculo este razonamiento conduce a una matriz de Hessenberg [64], ms complicada que lamatriz tridiagonal asociada al operador de Jacobi (ya que no es una matriz con un nmero finitode diagonales que no se anulan).

Los polinomios ortogonales de Laurent en la recta real (OLPRL), fueron introducidos en[74, 75] en el contexto del llamado problema fuerte de momentos de Stieltjes, (generalizacindel problema clsico de Stieltjes) el problema de encontrar una medida positiva tal que susmomentos

j =Rxjd(x) j = 0,1,2, . . . (1.4)

sean conocidos. Cuando el problema tiene solucin, existen polinomios {Qn} tales queRxn+jQn(x)d(x) = 0, j = 0, . . . , n 1, (1.5)

que se denominan polinomios de Laurent o L-polinomios. La teora de polinomios de Laurenten la recta fue desarrollada en paralelo con la teora de polinomios ortogonales, ver [33, 42, 72]y [96]. Los polinomios ortogonales de Laurent fueron llevados de la recta real al crculo unitario[116] y trabajos posteriores ampliaron el trabajo (por ejemplo [36, 29, 34, 35]), tratando temascomo las relaciones de recurrencia, teoremas de tipo Favard, frmulas de cuadratura, y frmulasde Christoffel-Darboux.

El anlisis de los OLPUC, especialmente usando la representacin de Cantero-Moral-Velz-quez (CMV1) [29] es til para estudiar propiedades de los llamados polinomios de Szeg (lospolinomios ortogonales en el crculo unitario). Esto es por diferentes razones. En primer lugar,como mencionamos anteriormente, mientras que los OLPUC son siempre densos en L2(T, ) estono es en general cierto en los OPUC, ver [26] y [36]. En segundo lugar, la biyeccin entre losOLPUC en la representacin CMV y los polinomios ordinarios en el crculo unitario (o polinomiosde Szeg) permite reemplazar las complicadas relaciones de recurrencia con una relacin con solocinco trminos ms parecida a la que aparece en el caso real. La representacin del operador demultiplicacin por z es mucho ms natural si se usan matrices CMV que si se usan matrices detipo Hessenberg. Esta es nuestra principal motivacin para emplear este tipo de matrices comoun elemento principal en nuestro marco. Otros trabajos han revisado y ampliado el estudio de

1Emplearemos esta denominacin porque es la ms habitual, a pesar de que esta representacin ya se conocaanteriormente, por ejemplo en D. S. Watkins [119].


las matrices de tipo CMV, por ejemplo [108, 79]. rdenes alternativos para la base de potenciasde z sobre la que se construye el espacio de polinomios tambin se pueden consultar en [35]en el que se estudian diversas generalizaciones de las originales propuestas en el trabajo CMVoriginal.

Las jerarquas integrables tambin aparecen en este contexto. En [6] se estudia la conexinentre los OPUC y las jerarquas de tipo Toda, que se llama en este caso la red de Toeplitz. Unareduccin relevante de las ecuaciones de la red de Toeplitz fue encontrada por Leonid Golinskii[63] empleando los llamados flujos de Schur cuando la medida es invariante bajo conjugacin.Otro trabajo interesante sobre el tema es [92]. La red de Toeplitz se ha probado equivalente a lared de Ablowitz-Ladik, [1, 2], y ese trabajo fue generalizado a la conexin entre la ortogonalidadmatricial en el crculo y la red no abeliana de Ablowitz-Ladik en [28]. Ambos tienen que tratarcon el operador Hessenberg para la multiplicacin por z. Otros trabajos donde se relacionan lospolinomios en el crculo unitario con una estructura integrable son los de Irina Nenciu [94] (desdeun punto de vista ms Hamiltoniano) el de Barry Simon [109] (que profundiza en el estudio delos flujos de Schur en la linea de [63]) y el de Bertola [23]. En la lnea de los flujos de Schurtambin tenemos [45]-[47].

Nuestro objetivo en ese captulo es explorar la conexin entre los sistemas integrables de tipoToda y la ortogonalidad en el crculo desde un punto de vista distinto. Como probamos en estecaptulo, la representacin CMV sirve de puente entre las tcnicas de factorizacin usadas en elcaptulo 4 y el caso circular. Veremos que muchos resultados all obtenidos sobre frmulas deChristoffel-Darboux (CD), deformaciones continuas y discretas, y expresiones ligadas a la funcin se pueden extender al caso circular bajo la eleccin adecuada de la matriz de momentos y losoperadores de traslacin.

Captulo2La jerarqua de Toda bidimensionalmulti-componente

2.1. Planteamiento y problema de factorizacin

Con el fin de que sirva como introduccin en este captulo se construye la jerarqua de Todabidimensional multi-componente [118] desde el punto de vista de un problema de factorizacinen un grupo de Lie de dimensin infinita. Mientras que en el resto de los captulos el enfoque esde tipo semi-infinito y ligado a la teora de polinomios ortogonales, en este caso abordaremos elproblema desde la perspectiva doblemente infinita en un marco terico ms abstracto.

El esquema del captulo es el que sigue: En la seccin 2.1 introducimos un problema defactorizacin en un grupo de Lie como el presentado en [118]. Este problema de factorizacin tienesu motivacin en las ideas usadas (en el marco de KP) para la llamada jerarqua KP discreta.A continuacin definimos una deformacin del problema de factorizacin inicial mediante laintroduccin de parmetros temporales continuos y discretos. Los parmetros continuos generanlos flujos clsicos de Toda, mientras que los parmetros discretos dan lugar a flujos discretos(que no haban sido considerados antes para esta jerarqua) que se formulan de manera anlogaa los flujos de Toda clsicos. Ms adelante, en la seccin 2.2 derivamos las llamadas ecuacionesde Lax continuas y discretas para la jerarqua de Toda bidimensional multi-componente, dondetambin mostramos algunos ejemplos de ecuaciones de la jerarqua. En particular se obtienenecuaciones de tipo Toda multi-componente puramente discretas y otras que combinan partesdiscretas con partes continuas. Terminamos el captulo con la seccin 2.3 en la que estudiamosalgunas reducciones de esta jerarqua para las que se obtienen matrices Hankel y Toeplitz porbloques. La consideracin de estas reducciones est motivada por su relevancia en el estudio delas conexiones entre la teora de la integrabilidad en redes de tipo Toda y la teora de polinomiosortogonales y mltiplemente ortogonales. Estas conexiones ya se han investigado en trabajosprevios sobre la jerarqua de Toeplitz [6] o la jerarqua de Ablowitz-Ladik [28]. Algunas deestas reducciones caracterizan soluciones de Toda peridicas en las variables discretas. Otras sinembargo son relaciones de tipo Hankel/Toeplitz y generalizaciones de la reduccin bigraduada[30], asociada con flujos extendidos de la jerarqua de toda unidimensional.

9

10 2. LA JERARQUA DE TODA BIDIMENSIONAL MULTI-COMPONENTE

2.1.1. Notacin empleada para sucesiones, lgebras y grupos de Lie

A lo largo de este captulo utilizaremos las siguientes notaciones de uso comn. Llamaremos{Ekl}Nk,l=1 a la base cannica estndar (Ekl)kl = ll kk de MN (C) y designaremos con INa la matriz identidad de MN (C). Utilizaremos MN (C) para designar al lgebra asociativa dematrices complejas N N y consideraremos el espacio lineal de sucesiones1 doblemente infinitascon valores en MN (C)

f : Z 7 MN (C)n 7 f(n)

El operador de traslacin acta sobre esas sucesiones de modo que (f)(n) := f(n + 1).Una sucesin X : Z MN (C) puede actuar multiplicando por la izquierda sobre este espacio,y por lo tanto hemos de manejar expresiones del tipo Xj , donde X = X(n) es una sucesinque acta multiplicando por la izquierda: (Xj)(f)(n) := X(n) f(n+ j). Adems, si definimosel producto (X(n)i) (Y (n)j) := X(n)Y (n + i)i+j tenemos que el conjunto g de series deLaurent en es un lgebra asociativa, que puede ser dotada tambin de estructura de lgebrade Lie con el conmutador habitual para operadores lineales. Es interesante sealar que se puedepensar en g como MN (MZ(C)) adems de como el conjunto de series de Laurent en concoeficientes en MN (C). Es decir, matrices doblemente infinitas con coeficientes en MN (C), obien matrices N N cuyos coeficientes son matrices doblemente infinitas de nmeros complejos.

Esta lgebra de Lie tiene la siguiente descomposicin.

g = g+ g, (2.1)

donde

g+ :={j0

Xj(n)j , Xj(n) MN (C)}, g :=

{j

2.1. PLANTEAMIENTO Y PROBLEMA DE FACTORIZACIN 11

Definimos ahora tambin dos operadores W0, W0 G

W0 :=Nk=1

Ekksk e

j=0 tjkj

, (2.3)

W0 :=Nk=1

Ekksk e

j=1 tjkj, (2.4)

donde sk, sk Z, tjk, tjk C son parmetros de deformacin, que en adelante sern consideradosparmetros de evolucin temporal discreta y continua respectivamente.

El problema de factorizacin Dado un elemento g G, que admite la factorizacin (2.2),y un conjunto de parmetros de deformacin s = (sk, sk), t = (tjk, tjk) donde j = 1, 2, . . . , yk = 1, . . . , N consideramos el problema de factorizacin deformado (dependiente del tiempo)

W0gW10 = S(s, t)1S(s, t), S G y S G+. (2.5)

En este captulo solo estudiaremos el llamado sector de carga nula

|s| :=Nj=1

sj + sj = 0, (2.6)

y consideraremos valores lo suficientemente pequeos para los parmetros de tipo continuocomo para que la factorizacin se pueda seguir realizando. La razn para elegir este tipo dedesplazamientos en este captulo es la existencia de condiciones iniciales no factorizables cuandono se respeta esa condicin.

Habitualmente, pero no siempre, no consideraremos los tiempos t0k. La razn para ello esque la factorizacin obtenida aadiendo esos tiempos solo aade factores multiplicativos, peroaun as sern tiles en las reducciones que se vern al final del captulo.

Para terminar la seccin definiremos algunos subgrupos y sublgebras que tendrn un papelimportante en el trabajo posterior. En primer lugar, un operador A = jZAj(n)j conmutacon si y solo si sus coeficientes Aj no dependen de n. Por lo tanto, el centralizador de en ges z := {A g : [A,] = 0} =

{jZAjj , Aj MN (C)

}. Es fcil comprobar que z g es

una sublgebra de Lie y una interpretacin para esta situacin es identificar los elementos de zcon matrices doblemente infinitas de tipo Toeplitz por bloques N N .

Una sublgebra abeliana h de z est dada por el centralizador de {, Ekk}Nk=1 en g; esdecir, h := {A g : [A,] = [A,Ekk] = 0, k = 1, . . . , N} =

{jZAjj , Aj diagN (C)

}donde

diagN (C) es la sublgebra de matrices diagonales deMN (C). Entonces, h es el conjunto de seriesde Laurent en con coeficientes diagonales e independientes de n.

Dos subgrupos especialmente importantes son: G z = {IN + c11 + c22 + , cj MN (C)} y G+ z = {c0 + c1 + c22 + , c0 GL(N,C), cj MN (C), j 1}.

Finalmente, tenemos los subgrupos de Lie abelianos H := G h y H := G h. De lasdefiniciones anteriores se sigue que W0, W0 toman valores en H.


2.2. Ecuaciones de Lax y Zakharov-Shabat

2.2.1. Proceso de revestimiento. Operador de Lax y operadores C

Definicin 2.1. Definimos los llamados operadores de revestimiento W, W como sigue

W := SW0, W := SW0. (2.7)

En trminos de estos operadores de revestimiento el problema de factorizacin (2.5) en G sepuede escribir como

Wg = W . (2.8)

De esta definicin se sigue el siguiente desarrollo en para los operadores S, S

S = IN + 1(n)1 + 2(n)2 + G,S = 0(n) + 1(n) + 2(n)2 + G+,

(2.9)

aunque tambin usaremos en algunas ocasiones la notacin

:= 1, e := 0.

Se pueden obtener entonces las siguientes expresiones para W y W

W = (IN + 1(n)1 + 2(n)2 + ) ( Nk=1

Ekksk exp( j=0

tjkj)),

W = (0(n) + 1(n) + 2(n)2 + ) ( Nk=1

Ekksk exp( j=1

tjkj)). (2.10)

Definicin 2.2. Los operadores de Lax L, L, Ckl, Ckl, Ckl, Ckl g estn dados porL := WW1, L := W1W1, (2.11)

Ckl := WEklW1, Ckl := WEklW1 (2.12)Ckl := SEklS1, Ckl := SEklS1. (2.13)

Debido a que W0, W0 H, en la definicin anterior de L, L, Ckk y Ckk, podemos reemplazarlos operadores W y W por S y S, respectivamente.

Las siguientes frmulas se obtienen mediante clculo directo a partir de la definicin

Proposicin 2.3. 1. Se verifican las siguientes relaciones

Ckl = Lsksl exp(j=0

(tjk tjl)Lj))Ckl,

Ckl = Lsksl exp(j=1

(tjk tjl)Lj))Ckl.(2.14)

2. Los operadores de Lax tienen los siguientes desarrollos

L = + u1(n) + u2(n)1 + , L = u0(n)1 + u1(n) + u2(n) + ,Ckl = Ekl + Ckl,1(n)1 + Ckl,2(n)2 + , Ckl = Ckl,0(n) + Ckl,1(n) + Ckl,2(n)2 + .

(2.15)

2.2. ECUACIONES DE LAX Y ZAKHAROV-SHABAT 13

3. Los operadores C satisfacen

IN =Nk=1

Ckk, IN =Nk=1

Ckk, (2.16)

CklCkl = lkCkl , CklL = LCkl,CklCkl = lkCkl , CklL = LCkl.

(2.17)

2.2.2. Ecuaciones de Lax y Zakharov-Shabat

En esta seccin utilizaremos el problema de factorizacin (2.8) para deducir dos grupos deecuaciones que llamaremos ecuaciones de Lax y ecuaciones de Zakharov-Shabat (o de curva-tura nula), que como mostraremos a continuacin son formas equivalentes de caracterizar laintegrabilidad del sistema. Introduzcamos primero la notacin que vamos a utilizar

Definicin 2.4. 1. Los desplazamientos de carga nula TK para K = (a, b) se definen comosigue

sa sa + 1, sb sb 1,

dejando constantes el resto de las variables discretas.

2.

jk :=W0tjk

W10 , jk :=W0tjk

W10 ,

qK := (TKW0)W10 , qK := (TKW0)W10 , K = (a, b).

3.

Rjk := WjkW1, Rjk := W jkW1,UK := WqKW1, UK := W qKW1.

(2.18)

4.

Bjk := (Rjk)+, Bjk := (Rjk) g, (Rjk), (Rjk) g,K := (UK U1K )UK = (UK U1K )+UK G, (UK U1K ) G.

(2.19)

Se pueden definir tambin los siguientes objetos

pia :=

Ekk, a = k S,0, a S, pia :=0, a S,Ekk, a = k S, (2.20)

y con las definiciones anteriores se puede comprobar que

jk = Ekkj , jk = Ekkj ,qK = IN + pia( IN ) + pib(1 IN ), qK = IN + pia(1 IN ) + pib( IN ), K = (a, b).


Se puede comprobar a partir de la definicin que el conjunto de los operadores de traslacindiscreta dejan invariante el sector de carga nula y constituyen un grupo conmutativo, es decir

TKTK = TKTK , (2.21)T(a,b)T(b,a) = id, (2.22)

y adems satisfacen las relaciones cclicas

T(a,b)T(b,c)T(c,a) = id. (2.23)

Proposicin 2.5. Las relaciones (2.21)-(2.23) son equivalentes a

T(a,b)T(b,c) = T(b,c)T(a,b) = T(a,c), (2.24)

donde T(a,a) = id.

Demostracin. Obviamente (2.24) se deduce de (2.21)-(2.23). Tambin es fcil ver que (2.22) y(2.23) se deducen de (2.24). La parte no trivial de la proposicin es probar que (2.24) implica(2.21):

T(a,b)T(c,d) = T(a,c)T(c,b)T(c,b)T(b,d) = T(a,c)T(c,b)T(b,d)T(c,b)= T(a,c)T(c,d)T(c,b) = T(c,d)T(a,c)T(c,b) = T(c,d)T(a,b).

La definicin implica que Bjk = (CkkLj)+, Bjk = (CkkLj) y adems tambin se ve que de(2.18) y (2.19) se puede deducir que

K = pia + aK + aK1, (2.25)

para ciertas sucesiones de matrices aK(n) y aK(n).Ahora podemos derivar los siguientes sistemas lineales para los operadores de revestimiento,

las ecuaciones que satisfacen los operadores de Lax y las condiciones de compatibilidad parael sistema que resulta. Esta es la caracterizacin de la jerarqua de Toda bidimensional multi-componente como sistema integrable

Teorema 2.6. 1. Los operadores de revestimiento satisfacen las siguientes ecuaciones lineales

W

tjk= BjkW,

W

tjk= BjkW,

W

tjk= BjkW ,

W

tjk= BjkW , (2.26)

TKW = KW, TKW = KW . (2.27)

2. Se verifican las llamadas ecuaciones de Lax

L

tjk= [Bjk, L],

L

tjk= [Bjk, L],

Ckktjl

= [Bjl, Ckk],Ckktjl

= [Bjl, Ckk],

L

tjk= [Bjk, L],

L

tjk= [Bjk, L],

Ckktjl

= [Bjl, Ckk],Ckktjl

= [Bjl, Ckk],(2.28)

TKL = KL1K , TKL = KL1K ,

TKCkk = KCkk1K , TKCkk = KCkk1K .

(2.29)


3. Se satisfacen las ecuaciones de Zakharov-Shabat o de curvatura nulaBiktjl

Bjltik

+ [Bik, Bjl] = 0,

Biktjl

Bjltik

+ [Bik, Bjl] = 0,

Biktjl

Bjltik

+ [Bik, Bjl] = 0,

(2.30)

TKBjk =Ktjk

1K + KBjk1K ,

TKBjk =Ktjk

1K + KBjk1K ,

(2.31)

(TKK)K = (TKK)K . (2.32)

Demostracin. 1. El problema de factorizacin (2.5) implica el conjunto de ecuaciones enderivadas parciales

W

tjkW1 = S

tjkS1 + SjkS1 =

S

tjkS1 = W

tjkW1,

W

tjkW1 = S

tjkS1 = S

tjkS1 + SjkS1 =

W

tjkW1,

(2.33)

y de ecuaciones en diferencias finitas

(TKW )W1 = (TKS)qKS1 = (TK S)qK S1 = (TKW )W1. (2.34)

En primer lugar, vemos que (2.33) implica StjkS1+Rjk = Stjk S1 y StjkS1 = Stjk S1+

Rjk, por lo tanto StjkS1 = (Rjk) g , Stjk S1 = (Rjk)+ g+, StjkS1 = (Rjk)

g y Stjk S1 = (Rjk)+ g+ de modo que usando otra vez (2.33) obtenemos

W

tjkW1 = (Rjk) +Rjk = Bjk = (Rjk)+ = W

tjkW1,

W

tjkW1 = (Rjk) = Bjk = (Rjk)+ + Rjk = W

tjkW1.

(2.35)

La ecuacin (2.34) implica

(TKW )W1 = (TKS)qKS1 = (TKS)S1UK = (TK S)S1UK = (TK S)qK S1 = (TKW )W1(2.36)

de modo que ((TKS)S1)1 ((TK S)S1) = UK U1K y concluimos que (TKS)S1 =(UK U1K ) G y (TK S)S1 = (UK U1K )+ G+ que introducido de nuevo en (2.36)nos da

(TKW )W1 = (TKS)qKS1 = (UK U1K )UK = K= (UK U1K )+UK = (TK S)qK S1 = (TKW )W1. (2.37)


2. De la definicin (2.11) obtenemos

L

tjk=[ Wtjk

W1, L],

L

tjk=[ Wtjk

W1, L],

L

tjk=[ Wtjk

W1, L],

L

tjk=[ Wtjk

W1, L],

Ckktjk

=[ Wtjk

W1, Ckk],

Ckkjk

=[ Wtjk

W1, Ckk],

Ckktjk

=[ Wtjk

W1, Ckk],

Ckktjk

=[ Wtjk

W1, Ckk],

TKL = ((TKW )W1)L((TKW )W1)1, TKL = ((TKW )W1)L((TKW )W1)1,TKCkk = ((TKW )W1)Ckk((TKW )W1)1, TKCkk = ((TKW )W1)Ckk((TKW )W1)1,

y usando (2.26) y (2.27) se obtienen (2.28) y (2.29), respectivamente.

3. La compatibilidad de (2.26) y (2.27) implica (2.30)-(2.32).

Proposicin 2.7. Las relaciones(T(a,b)(b,c)

)(a,b) =

(T(b,c)(a,b)

)(b,c) = (a,c). (2.38)

y las condiciones de compatibilidad (2.32) son equivalentes.

Demostracin. Slo es necesario mostrar que (2.38) implica (2.32) ya que la recproca es evi-dente. Procedemos como en la prueba de la proposicin 2.5

(T(a,b)(c,d))(a,b) = (T(a,b)(T(b,d)(c,b))(b,d))(a,b)= (T(a,d)(c,b))(T(a,b)(b,d))(a,b)= (T(a,d)(c,b))(a,d)= (T(c,b)(a,d))(c,b)= (T(c,b)(T(b,d)(a,b))(b,d))(c,b)= (T(c,d)(a,b))(T(c,b)(b,d))(c,b)= (T(c,d)(a,b))(c,d).

2.2.3. Ecuaciones de Toda multi-componente

Escribimos aqu algunas de las ecuaciones no lineales que aparecen como consecuencia delproblema de factorizacin (2.8). De (2.35) y (2.37), teniendo en cuenta que S G y queS G+, deducimos el siguiente corolario

Corolario 2.8. Tenemos las expresiones

B1k = Ekk + Uk,B1k = Uk1,K := pia + aK + aK1, K = (a, b),

(2.39)


donde los coeficientes tienen las expresiones alternativas

Uk := (n)Ekk Ekk(n+ 1) = (e(n))t1k

e(n),

Uk = e(n)Ekk e(n1) =(n)t1k

,

aK := IN pia pib + (TK(n))pia pia(n+ 1) =eTK(n)(IN pib) e(n), a S,IN pib, a S,

aK := eTK(n) pia e(n1) =

0, a S,(TK(n))(IN pib) (IN pib)(n) + pib, a S.

(2.40)

De (2.40) deducimos el siguiente conjunto de ecuaciones no lineales con k S y l S

(n)Ekk Ekk(n+ 1) = (e(n))t1k

e(n),(n)t1l

= e(n)Ell e(n1),

(T(k,b)(n))Ekk Ekk(n+ 1) + IN Ekk pib = eT(k,b)(n) (IN pib) e(n),(T(l,b)(n))(IN pib) (IN pib)(n) + pib = eT(l,b)(n) Ekk e(n1) .

(2.41)

Estas ecuaciones constituyen lo que llamamos ecuaciones de Toda multi-componente.Observemos que si combinamos las dos primeras ecuaciones obtenemos

t1l

((e(n))t1k

e(n))

= e(n)Ell e(n1)Ekk Ekk e(n+1)Ell e(n)

que es la extensin matricial de la ecuacin de Toda bidimensional, que aparece para N = 1:

2(n)t1t1

= e(n)(n1) e(n+1)(n) .

Si en la ltima ecuacin fijamos b = l S entonces tenemos

(l,l)(n) = eT(l,l)(n)Ell e(n1),

que considerada simultaneamente con la primera nos da

(l,l)((e(n))

t1ke(n)

)= eT(l,l)(n)Ell e(n1)Ekk Ekk eT(l,l)(n+1)Ell e(n),

que es una ecuacin mixta de tipo Toda.Se puede obtener tambin una ecuacin totalmente discreta por ejemplo cuando combinamos

las ltimas dos ecuaciones, es decir

(l,l)(

eT(k,b)(n)(INpib) e(n))

= T(k,b)(

eT(l,l)(n)Ell e(n1))EkkEkk eT(l,l)(n+1)Ell e(n) .

Procediendo de este modo podemos obtener un conjunto de ecuaciones continuas y discretastipo Toda. Finalmente, observemos que cuando N = 1 tenemos solo la traslacin T(s1,s1) quecorresponde a la traslacin n n+ 1.


2.3. Simetras y reducciones Toeplitz/Hankel por bloques

Para terminar el captulo consideramos algunas reducciones de la jerarqua de Toda bidimen-sional multi-componente. En primer lugar discutimos una extensin de la reduccin peridica de[118] y la reduccin bigraduada de [30] al caso mltiple, que llamaremos reduccin de tipo Toe-plitz/Hankel. Finalmente discutimos una extensin de la reduccin unidimensional presentadaen [118]. Estas reducciones sern relevantes cuando trabajemos en casos semi-infinitos, como seda al estudiar las conexiones de la jerarqua de Toda con las familias de polinomios ortogonales,polinomios ortogonales matriciales y polinomios mltiplemente ortogonales.

Dados dos conjuntos {`k}, {`k}, k {1, 2, . . . , N} buscamos condiciones iniciales g que satis-fagan

g( Nk=1

Ekk`k

)=( Nk=1

Ekk`k)g. (2.42)

La relacin (2.42) da lugar a las siguientes ligaduras sobre los operadores de Lax, que en adelantellamaremos string equations

Nk=1

CkkL`kj =

Nk=1

CkkL`kj , (2.43)

que se verifican para cualquier j Z.Para estudiar estas reducciones utilizamos los conjuntos

S := {k {1, 2, . . . , N} : `k > 0}, S0 := {k {1, 2, . . . , N} : `k = 0},S := {k {1, 2, . . . , N} : `k > 0}, S0 := {k {1, 2, . . . , N} : `k = 0},

de modo que S = S+ S0 S, y S = S+ S0 S.Vamos a utilizar primero el siguiente lema

Lema 2.9. Si se satisface la string equation (2.43), entonces, para cualquier j > 0 tenemos que

k(S+S0)

Bj`k,k +kS+

Bj `k,k =Nk=1

CkkL`kj =

Nk=1

CkkL`kj ,

k(SS0)

Bj|`k|,k +kS

Bj|`k|,k =Nk=1

CkkL`kj =

Nk=1

CkkL`kj .

(2.44)

Demostracin. La proyeccin en g+ de A =Nk=1CkkL

`kj , j > 0, esk(S+S0)Bj`k,k mientrasque la proyeccin en g de A =

Nk=1 CkkL

`kj , j > 0, es kS+ Bj `k,k. La primera frmula es

simplemente la expresin A = A+ +A. La segunda frmula se obtiene de forma similar cuandoj < 0.

Proposicin 2.10. Si se verifica (2.43), tenemos que

2.3. SIMETRAS Y REDUCCIONES TOEPLITZ/HANKEL POR BLOQUES 19

1. Los operadores de revestimiento satisfacen

k(S+S0)

W

tj`k,k+kS+

W

tj `k,k= W

Nk=1

Ekkj`k ,

k(S+S0)

W

tj`k,k+kS+

W

tj `k,k= W

Nk=1

Ekkj`k ,

k(SS0)

W

tj|`k|,k+kS

W

tj|`k|,k= W

Nk=1

Ekkj`k ,

k(SS0)

W

tj|`k|,k+kS

W

tj|`k|,k= W

Nk=1

Ekkj`k ,

(2.45)

para j > 0.

2. Los operadores de Lax presentan las siguientes relaciones de invariancia:

k(S+S0)

L

tj`k,k+kS+

L

tj `k,k=

k(S+S0)

L

tj`k,k+kS+

L

tj `k,k= 0,

k(SS0)

L

tj|`k|,k+kS

L

tj|`k|,k=

k(SS0)

L

tj|`k|,k+kS

L

tj|`k|,k= 0,

(2.46)

donde j > 0.

Adems, siNk=1

(`k + `k) = 0,

entonces,

1. Los operadores de revestimiento verifican

W (s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = W (s1, . . . , sN , s1, . . . , sN )Nk=1

Ekk`k ,

W (s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = W (s1, . . . , sN , s1, . . . , sN )Nk=1

Ekk`k .

(2.47)

2. Los operadores de Lax son peridicos

L(s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = L(s1, . . . , sN , s1, . . . , sN ),L(s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = L(s1, . . . , sN , s1, . . . , sN ).

(2.48)

Demostracin. Las ecuaciones (2.45) y (2.46) se siguen del lema anterior y del Teorema 2.6.Para deducir (2.47) y (2.48) procedemos como sigue. Si

Nk=1

`k +Nk=1

`k = 0,


la periodicidad se sigue de la factorizacin

SW0( Nk=1

Ekk`k)g = SW0g

( Nk=1

Ekk`k

)= SW0

( Nk=1

Ekk`k

)observando que

W0(s1 + `1, . . . , sN + `N ) = W0(s1, . . . , sN )Nk=1

Ekk`k ,

W0(s1 + `1, . . . , sN + `N ) = W0(s1, . . . , sN )Nk=1

Ekk`k ,

y teniendo en cuenta la propiedad de unicidad del problema de factorizacin deducimos lascondiciones peridicas para las soluciones

S(s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = S(s1, . . . , sN , s1, . . . , sN ),S(s1 + `1, . . . , sN + `N , s1 + `1, . . . , sN + `N ) = S(s1, . . . , sN , s1, . . . , sN ),

que implican (2.47) y (2.48).

Ahora justificamos el nombre dado a esta reduccin. Si escribimos g = jZ gj(n)j , ypensamos en esta condicin como un elemento de MN (MZ(C)), es decir g =

Nk1,k2=1 gk1k2Ek1k2

y gk1k2 =jZ gj,k1k2(n)j entonces (2.42) da como resultado

gj,k1k2(n) = gj+`k1+`k2 ,k1k2(n `k1). (2.49)

Si `k1 + `k2 = 0, entonces gj,k1k2 es una funcin |`k1 |-peridica en n. Si el periodo es 1, obtenemosque gk1k2 es una matriz doblemente infinita tipo Toeplitz. En el caso general trataremos conmatrices tipo Toeplitz por bloques y tipo Hankel por bloques doblemente infinitas.

Definicin 2.11. Dada una matriz por bloques = (i,j)i,jZ compuesta de bloques p q i,jdecimos que es una matriz Toeplitz por bloques si i+1,j+1 = i,j y una matriz Hankel porbloques si i+1,j1 = i,j .

Proposicin 2.12. La condicin (2.49) implica para gk1k2 que

Para `k1 `k2 > 0 es una matriz doblemente infinita tipo Hankel por bloques |`k1 | |`k2 |.

Para `k1 `k2 < 0 es una matriz doblemente infinita tipo Toeplitz por bloques tipo |`k1 ||`k2 |.

Para `k1 = 0 con `k2 6= 0 tenemos una estructura diagonal por bandas con anchura |`k2 |, ypara `k2 = 0 con `k1 6= 0 una matriz doblemente infinita por bloques |`k1 | |`k1 |.

Demostracin. Llamemos aij al conjunto de los elementos de la matriz doblemente infinitagk1k2 , analizamos ahora el significado de (2.49) en distintas situaciones:

2.3. SIMETRAS Y REDUCCIONES TOEPLITZ/HANKEL POR BLOQUES 21

Caso Hankel por bloques: Suponemos aqu que `k1 `k2 > 0. En particular discutimos el casoen el que ambos enteros son positivos. Si empezamos por el elemento aij la ecuacin (2.49)indica que es igual a otro elemento. Para determinar la posicin de este otro elemento en lamatriz observamos que (2.49) requiere moverse en la fila i-sima `k1+`k2 posiciones hacia laderecha y en la diagonal que pasa por esa posicin moverse hacia la izquierda `k1 posicionesen esa diagonal, es decir subir `k1 posiciones y a la izquierda tambin `k1 posiciones. Esonos da una estructura por bloques sobre las antidiagonales que se corresponde con unaestructura de tipo Hankel.

Para enteros negativos `k1 , `k2 < 0 la discusin es parecida, reemplazando los movimientosen la fila hacia la derecha con movimientos hacia la izquierda y los movimientos hacia arribade la diagonal con movimientos hacia abajo, de modo que tenemos la misma estructuraHankel por bloques.

Caso Toeplitz por bloques: Ahora suponemos que `k1 `k2 < 0. Suponemos que `k1 espositivo. Entonces, si `k1 > |`k2 | si empezamos por el elemento aij la ecuacin (2.49)indica que este elemento es igual a otro, por ejemplo aij . Para determinar la fila i y lacolumna j, observamos que (2.49) nos indica avanzar en la fila i-sima `k1|`k2 | posicionesa la derecha y en la diagonal que pasa por esa posicin ir a la izquierda `k1 posiciones en esadiagonal, es decir, subir `k1 posiciones y desplazarse a la izquierda tambin `k1 posiciones.De este modo tenemos

aij = ai`k1 ,j+`k1|`k2 |`k1 = ai`k1 ,j|`k2 |.

Para el caso `k1 < |`k2 | utilizamos gj,k1k2(n) = gj+|`k2 |`k1 ,k1k2(n + `k1) de modo que nosmovemos |`k2 | `k1 posiciones a la derecha y en la diagonal `k1 posiciones hacia abajo, loque suma `k1 filas hacia abajo y `k1 columnas a la derecha, es decir

aij = ai+`k1 ,j+| `k2 |`k1+`k1= ai+`k1 ,j+|`k2 |

y obtenemos el mismo resultado, lo que inmediatamente nos indica que la estructura debloques sobre las diagonales corresponde a una matriz de tipo Toeplitz por bloques.

Se puede discutir de forma similar el caso de `k1 negativo y positivo `k2 .

El caso `k1 = 0 con `k2 6= 0 da gj,k1k2(n) = gj+`k2 ,k1k2(n), que implica una estructuraperidica en las bandas diagonales, mientras que `k2 = 0 con `k1 6= 0 da gj,k1k2(n) =gj+`k1 ,k1k2(n+ `k1), que describe una estructura por bloques `k1 `k1 .

Esta estructura Toeplitz/Hankel por bloques no slo aparece en la estructura de gk1k2 sinotambin en la estructura de g en s misma, pensada como un elemento de MZ(MN (C)); porejemplo, si cogemos `k = `k = 1, k = 1, . . . , N obtenemos una matriz Toeplitz doblementeinfinita por bloques N N , mientras que para `k = `k = 1, k = 1, . . . , N obtenemos una matrizHankel doblemente infinita por bloques N N .

Para el caso particular `k = `k, k = 1, . . . , N , tenemos que g es una matriz doblementeinfinita por bloques y

gNk=1

Ekk`k =Nk=1

Ekk`kg, gNk=1

Ekk`k =Nk=1

Ekk`kg.


De estas dos condiciones equivalentes para g concluimos para g2 la siguiente restriccin

g2Nk=1

Ekk`k =Nk=1

Ekk`kg2,

es decir, g2 es una matriz doblemente infinita Toeplitz por bloques y la solucin para la condicing2 es de tipo peridico con periodos que satisfacen para cada componente: `k = `k, k =1, . . . , N .

Para el caso de una componente tenemos la condicin

L`1 = L`1 . (2.50)

Si `1 + `1 = 0 podemos elegir `1 = ` N y `1 = ` y la restriccin para g es g` = `g quelleva a L` = L`, es decir, la reduccin `-peridica de la jerarqua de Toda bidimensional deuna componente [118]. Cuando `1, `1 > 0 son dos enteros no negativos esta condicin (2.50) dacomo resultado la reduccin de una componente de la jerarqua de Toda bidimensional en laque es posible considerar flujos adicionales descrita en [30], con el nombre de bigraduada. Poreso llamaremos a esta reduccin reduccin multigraduada cuando todos los `k, `k son positivos.Hay que destacar que esta restriccin multigraduada sobre g no es de tipo peridico y S = S+adems de S = S+.

Reduccin unidimensional y generalizaciones Dado un conjunto de enteros no negativos queviene dado por {`k, `k}k{1,...,N} pedimos a g en (2.8) la siguiente restriccin

g( Nk=1

Ekk(`k + `k

))=( Nk=1

Ekk(`k + `k

))g.

Ahora, ya que zj +zj = (z+z1)j +aj,j2(z+z1)j2 + +aj,0, para algn aj,i Z tenemos

g ( Nk=1

Ekk(j `k + j `k

))=( Nk=1

Ekk(j`k + j`k

))g

y por lo tantoNk=1

Ckk(Lj`k + Lj`k

)=

Nk=1

Ckk(Lj`k + Lj`k

)se verifica para cualquier j 0.

De aqu concluimos queNk=1

(Bj`k,k + Bj `k,k) =Nk=1

Ckk(Lj`k + Lj`k

)=

Nk=1

Ckk(Lj`k + Lj`k

)y por lo tanto deducimos la invariancia

Nk=1

( Ltj`k,k

+ Ltj `k,k

) =Nk=1

( Ltj`k,k

+ Ltj `k,k

) = 0. (2.51)

En el caso de una componente si elegimos `1 = `1 = 1 obtenemos la invariancia bajo tj1 +tj1

,j > 0. Esta es la reduccin unidimensional discutida en [118].

Captulo3Polinomios matriciales en la jerarqua de Toda

Como comentamos en la introduccin, en este captulo se tratan de adaptar los resultadosobtenidos en el captulo 2 al caso de los polinomios ortogonales matriciales. En la seccin 3.1se construyen familias de polinomios matriciales a partir de una factorizacin gaussiana. En laseccin 3.2 se analiza el caso Hankel multigraduado, que dar lugar a la conexin de los polino-mios matriciales con polinomios de tipo mltiplemente ortogonal y al estudio de determinadosproblemas de Riemann-Hilbert, ofreciendo una solucin al error presente en [4]. En la seccin 3.3se introduce una tcnica para construir frmulas de Christoffel-Darboux y generalizaciones apro-piadas para los polinomios estudiados. Finalmente, en la seccin 3.4 conectamos los resultadosobtenidos en el captulo 2 con estas soluciones particulares asociadas a polinomios ortogona-les. Los resultados presentes en este captulo, tal y como hemos comentado en la introduccinfueron publicados en Inverse Problems [8] a excepcin de la seccin 3.3, que se realiz con pos-terioridad y que ha constituido un trabajo [11] enviado a Journal of Mathematical Analysis andApplications.

3.1. Polinomios bi-ortogonales matriciales y matrices de momentos

3.1.1. El problema de factorizacin en el caso semi-infinito

En primer lugar vamos a fijar las bases tericas para la construccin de la jerarqua semi-infinita de Toda en trminos de grupos de Lie al igual que se hizo en el captulo 2 para el casodoblemente infinito. Llamaremos al operador de desplazamiento para sucesiones matriciales.A diferencia del captulo 2 donde se consideraban sucesiones matriciales en el dominio Z, quedaba lugar a matrices por bloques doblemente infinitas, aqu nos limitaremos a considerar suce-siones de Z+ a matrices complejas, es decir, matrices infinitas por bloques. El lgebra asociativade operadores lineales sobre estas sucesiones se puede identificar con el lgebra asociativa dematrices semi-infinitas con entradas en CNN . Con la definicin usual del conmutador paraoperadores lineales esta lgebra es tambin un lgebra de Lie que llamaremos g cuyo grupo deLie G es el grupo de operadores invertibles de g.

Tomemos un elemento g G y consideremos el siguiente problema de factorizacin gaussia-na g = S1S donde S es una matriz triangular inferior por bloques, con Sii = IN , y tal queIN CNN es la matriz identidad, y S es una matriz triangular superior por bloques. En [48]

23

24 3. POLINOMIOS MATRICIALES EN LA JERARQUA DE TODA

se demuestra que este tipo de factorizacin se puede hacer si todos los menores principales nose anulan. Esto sugiere que la factorizacin inicial se puede mantener bajo pequeas deforma-ciones continuas, que conduce a una versin dinmica de la misma g(t) = S(t)1S(t) donde tes un conjunto de variables complejas. Tal y como se discuti en [87] (y que se ha presentadode forma abreviada en el captulo 2) esta factorizacin conduce a una jerarqua integrable deecuaciones en derivadas parciales no lineales conocida como la jerarqua de Toda bidimensionalmulti-componente.

Si Ejk, j, k = 1, . . . , N es la base cannica de CNN la matriz asociada al operador dedesplazamiento hacia delante es la matriz por bloques (INi,i+1),mientras que > es el operadorasociado a la matriz traspuesta que traslada hacia atrs (representado por la matriz (INi+1,i)).A diferencia del caso doblemente infinito aqu no tenemos un 1, ya que la traslacin carecede inverso.

3.1.2. Construccin de polinomios matriciales

Siguiendo los trabajos realizados por M. Adler y P. van Moerbeke para el caso escalar, cons-truimos familias de polinomios ortogonales matriciales y polinomios bi-ortogonales matricialesa partir de una matriz semi-infinita g que admita una factorizacin de Gauss o LU, es decirg = S1S.

Como primer paso definimos las siguientes familias de polinomios matriciales.

Definicin 3.1.

p(z) = {pi(z)}i0 := S(z), p(z) = {pi(z)}i0 := (S1)(z), (3.1)

donde (z) := (IN , zIN , z2IN , . . .)> y el smbolo indica la conjugacin hermtica.

A continuacin consideremos una aplicacin sesquilineal , cuyas entradas sean polino-mios matriciales. Dados dos polinomios P (z) = ik=0 Pkzk y Q(z) = jl=0Qlzl (de grados i, j,respectivamente) tenemos que el carcter bilineal obliga a que la aplicacin tenga la siguienteforma

P (z), Q(z) =

k=1,...,il=1,...,j

PkzkIN , zlIN Ql ,

donde zkIN , zlIN denota la matriz de dicha aplicacin en la base cannica. Por lo tanto, paracada (k, l) tenemos que zkIN , zlIN es una matriz compleja N N .

Esta aplicacin tiene las siguientes propiedades que definen a una forma sesquilineal, peroteniendo en cuenta que sus entradas son matrices

1. Es lineal en la primera componente:

c1P1(z) + c2P2(z), Q(z) = c1P1(z), Q(z)+ c2P2(z), Q(z), c1, c2 CNN .

2. Es antilineal en la segunda componente:

P (z), c1Q1(z) + c2Q2(z) = P (z), Q1(z)c1 + P (z), Q2(z)c2, c1, c2 CNN .

3.1. POLINOMIOS BI-ORTOGONALES MATRICIALES Y MATRICES DE MOMENTOS 25

Proposicin 3.2. 1. Si ziIN , zjIN = gij donde gij es el bloque de g en la posicin (i, j),entonces las familias p(z) y p(z) son familias bi-ortogonales matriciales para la aplicacinsesquilineal, es decir

pi(z), pj(z) = ijIN . (3.2)

Adems, se verifican las siguientes ecuaciones que en adelante llamaremos relaciones deortogonalidad

pi(z), zlIN = 0, l = 0, . . . , i 1, zlIN , pj(z) = 0, l = 0, . . . , j 1. (3.3)

2. Si la matriz g es hermtica entonces p(z) y p(z) son dos familias de polinomios ortogonalesmatriciales, adems las dos familias son proporcionales.

Demostracin. 1. Con las definiciones anteriores para p(z) y p(z) tenemos:

pi(z) =i

k=0Sikz

k, pj(z) =jl=0

(S1lj )zl,

donde Sik y S1lj son bloques (i, k) y (l, j) para S y S1, respectivamente. Entonces

pi(z), pj(z) =i,j

k,l=0SikzkIN , zlIN S1lj =

k,l0

SikzkIN , zlIN S1lj

= (SgS1)ij = (SS1SS1)ij = ijIN ,

tal y como queramos probar.

Las relaciones de ortogonalidad (3.3) se prueban por induccin. En primer lugar tenemosque pi(z), p0(z) = 0, pero p0(z) = (S100 ) es invertible y por lo tanto concluimos quepi(z), IN = 0. Ahora, pi(z), p1(z) = 0, pero p1(z) = (S111 )z + (S101 ), y usando laantilinealidad, el resultado anterior y el hecho de que (S111 ) es invertible deducimos quepi(z), zIN = 0. De este modo procedemos sucesivamente.

2. Estudiemos las condiciones bajo las que p(z) es una familia de polinomios ortogonalesmatriciales. Si tomamos dos polinomios de la familia, como pi(z) =

ik=1 Sikz

k y pj(z) =jl=1 Sjlz

l tenemos que

pi(z), pj(z) =i,j

k,l=1SikzkI, zlI(Sjl) =

k,l=0

SikzkIN , zlIN (S)lj

= (SS)ij = (SS)ij .

Por construccin SS es triangular superior por bloques y su conjugada hermtica es

(SS) = SS = S(Sg) = SgS = SgS = SS,

consecuentemente SS es hermtica y triangular superior por bloques, lo que implica queSS es una matriz diagonal por bloques. Adems los bloques diagonales son matrices com-plejas hermticas N N . De ah concluimos que pi(z), pj(z) = ijhi, (con hi hermtica)y que p(z) = hp(z), donde h = diag(h1, h2, . . .).


3.1.3. El caso Hankel

Vamos a tomar el caso particular de g como una matriz que verifica una simetra Hankel porbloques, es decir g = g> o expresado en componentes

(g)ij = gi+1,j = gi,j+1 = (g>)ij . (3.4)

En este caso tenemos para los bloques de la matriz g la estructura

gij = (i+j), (3.5)

para ciertas matrices (j) CNN .Proposicin 3.3. Supongamos que g es una matriz de tipo Hankel por bloques. Si llamamos (j)

a una determinada matriz de momentos por bloques, (es decir (j) =R x

j(x)dx) entonces laaplicacin sesquilineal , es un producto escalar en la recta cuya matriz de momentos es g, esdecir,

P (x), Q(x) =RP (x)(x)Q(x)dx. (3.6)

Demostracin. Por una parte tenemos que P (x), Q(x) = ij Pi(i+j)Qj . Usando la defini-cin anterior

R x

j+k(x)dx = xjIN , xkIN = (j+k) (la simetra Hankel asegura que solo haydependencia en j + k) y tenemos entonces que:

P (x), Q(x) =ij

Pi(i+j)Qj =

ij

Pi

Rxj+k(x)dxQj

=RP (x)(x)Q(x)dx.

3.1.4. Frmulas de recurrencia

Vamos a ver como las relaciones clsicas de recurrencia a 3 trminos para polinomios or-togonales se pueden obtener como una consecuencia de las simetras de tipo Hankel. Para elloaplicamos el procedimiento de revestimiento usado en el captulo 2 para obtener los llamadosoperadores de Jacobi

Definicin 3.4. Mediante el proceso de revestimiento definimos los operadores J, J como sigue

J := SS1, J := S>S1, (3.7)

estos operadores permiten construir las relaciones de recurrencia

Proposicin 3.5. 1. Ambos operadores de Jacobi son iguales, es decir J = J .

2. J es una matriz tridiagonal por bloques, es decir, para ciertas matrices u, v se verifica que

J = + u+ v>. (3.8)

3. Se verifican la siguientes propiedades de tipo espectral

Jp(z) = zp(z), Jp(z) = zp(z). (3.9)

3.2. SIMETRAS DE TIPO HANKEL MULTIGRADUADAS 27

4. Las sucesiones de polinomios pn(z), pn(z) satisfacen una relacin de recurrencia a trestrminos dada por

zpn(z) = pn+1(z) + u(n)pn(z) + v(n)pn1(z),zpn(z) = v(n+ 1)pn+1(z) + u(n)pn(z) + pn1(z).

(3.10)

Demostracin. Para el primer apartado necesitamos la factorizacin de Gauss y la condicin(3.4)

J =SS1 = SS1SS1SS1 = SS1SgS1 = SS1Sg>S1 = S>S1 = J .

El segundo apartado se deduce del hecho de que J es por construccin una matriz por bloquesque se anula por encima de la primera diagonal superior, mientras que J es una matriz cuyosbloques se anulan por debajo de la primera diagonal inferior. De la igualdad de ambas matricesdeducimos que la matriz J = J es tridiagonal y por lo tanto el enunciado es cierto.

El tercer apartado se deduce de las definiciones de J, p y p de forma que

Jp(z) = SS1S(z) = S(z) = zp(z),Jp(z) = (S1)S(S1)(z) = (S1)(z) = zp(z).

Para el cuarto apartado, aplicamos las propiedades anteriores a la sucesin de polinomiospn(z) de modo que sabemos que existen sucesiones de matrices u(n), v(n) tales que

zpn(z) = Jpn(z) = ( + u(n) + v(n)>)pn(z) = pn+1(z) + u(n)pn(z) + v(n)pn1,

y aplicando la misma idea obtenemos la frmula para los pn(z).

3.2. Simetras de tipo Hankel multigraduadas

Dado un multi-ndice ~n = (n1, . . . , nN ) con na enteros no negativos definimos para A g lapotencia A~n = Na=1AnaEaa.Definicin 3.6. Para dos multi-ndices ~n y ~m decimos que una matriz g es de tipo Hankelmultigraduada (~n, ~m) si

~ng = g(>)~m. (3.11)

Si volvemos a considerar que gij denota un bloque de g podemos escribir de forma extendidagij = (gij,ab)1a,bN . Con esta notacin la condicin de Hankel multigraduada se escribe comogi+na j,ab = gi j+mb,ab.

Se puede construir una familia de matrices que presenten esa simetra Hankel multigraduadaa partir de una familia de pesos matriciales j,ab a la que asociamos la siguiente matriz demomentos

gij,ab =Rxij,ab(x)dx, (3.12)

donde los pesos satisfacen la condicin de periodicidad generalizada del tipo

j+mb,ab(x) = xnaj,ab(x). (3.13)


Dados los pesos 0,ab, . . . , mb1,ab, todos los dems estn fijados por (3.13). Este tipo de estruc-tura para los pesos del problema de ortogonalidad ya se estudi en [4] para el caso particular deuna componente (N = 1) y adems con n1 = m1.

Proposicin 3.7. Supongamos que la matriz de momentos g con una simetra de tipo Hankelmultigraduada admite una representacin en trminos de un conjunto de pesos matriciales {j,ab}establecidos en las ecuaciones (3.12) y (3.13).

1. Los polinomios matriciales pi asociados a dicha matriz de momentos satisfacen las siguien-tes condiciones generalizadas de ortogonalidad

Polinomios ortogonales y sistemas integrables

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