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Instituto UniversidadTecnológico Nacional de AutónomaTlalnepantla de México
Nuestras instituciones, le agradecen al comité organizador, por la gentileza que tuvieron para invitarnos a tan relevante evento; que, asistimos con mucha alegría y gran satisfacción.
México, D.F., agosto de 07
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Instituto UniversidadTecnológico Nacional de AutónomaTlalnepantla de México
Ponencia:
Una nueva alternativa para la resolución de determinantes, a través del teorema del determinante simétrico.
México, D.F., agosto de 07
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Instituto UniversidadTecnológico Nacional de AutónomaTlalnepantla de México
Equipo de trabajo:
Rosalía Trujillo SánchezJesús López Sánchez yTeodoro M. Ceballos
México, D.F., agosto de 07
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Introducción
• Con este trabajo, buscamos intercambiar resultados científicos, experiencias y didácticas, sobre diferentes enfoques en la enseñanza de las matemáticas en la enseñanza tecnológica y universitaria.
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El presente reporte:
Aborda una problemática sobre la enseñanza de la matemática en la carrera de Ingeniería Industrial; en la asignatura de álgebra lineal y particularmente, con la resolución de determinantes de orden (2x2) y orden superior; a través del Teorema del Determinante Simétrico.
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Planteamiento del problema
Cuando se aborda en el Discurso Matemático Escolar (DME), la teoría de resolución de determinantes; utilizamos el método de Gabriel Cramer, Sarrus o reducción del orden.
En la aplicación de estos métodos, siempre se considera tomar un sentido positivo y otro negativo, es decir
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Regla de CramerOrden (2x2) ó básico:
11 12
21 22
x xdet A =
x x
Sentido positivo
Sentido negativo
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Orden (3x3) ó Superior
11 12 13
21 22 23
31 32 33
y y y
det B = y y y
y y y
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Método de reducción, transformación de orden o de los cofactores:
+ - +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 23 21 23 21 2211 12 13
31 3232 33 31 33
x x x
det A = x x x
x x x
de donde
x x x x x xdet A = + x x x
x xx x x x- +
Sentido
positivo
Sentido
negativo
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Método de Sarrus
( )
( )
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21
1 Columnas aumentadas
x x x x x
det A = x x x x x
x x x x x
2 Renglones aumentados
x x x
x x x
det B = x x x
x x x
x
M
M
M
22 23x x
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Este uso de sentido positivo y la inadecuada didáctica de que al sentido negativo lo multiplicamos por (-1); provoca en el aprendedor, mucha incertidumbre, pues en la mayoría de los casos, éstos tienden a equivocarse, y dado que este es uno de los dos temas que contiene una unidad de estudio de la materia de álgebra lineal; casi siempre la reprueban.
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¿Contribuirá como un nuevo método el Teorema del Determinante Simétrico, para alcanzar un aprendizaje significativo, para la resolución de determinantes de orden básico y de orden superior; contra los métodos antes mencionados?
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Justificación:
Como una costumbre académica en la enseñanza de la teoría de determinantes; siempre favorecemos, la regla de Cramer para resolver determinates de orden (2x2) y el método de los cofactores para uno de (3x3) y que en nuestro trabajo llamamos el primero de orden superior.
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Esta regla que por cierto es uno de los teoremas de Cramer; en su aplicación se complica por el manejo de los sentidos positivo, negativo y por lo que a este; además, se le tiene que multiplicar por (-1), hace que la regla no sólo sea confusa, sino que la vuelve muy lenta para el cálculo del valor del determinante.
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Mientras que:
El teorema del Determinante Simétrico (TDS), es un nuevo método alternativo que tiene dos ventajas singulares: primero, no se emplea el sentido positivo y negativo que se utiliza con la regla de Cramer; sino que, únicamente usa la entrada primaria que propuso Leibniz y segundo, al no utilizar este algoritmo de Cramer; sencillamente, el TDS es más rápido para el cálculo del valor del determinante.
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Objetivo:
Los aprendedores serán capaces de resolver determinantes de orden básico y de orden superior, i.e.; (2x2), (3x3),…,(nxn): n es un entero (+), con un nivel de aceptación de 100 %, después de haberse llevado a cabo un aprendizaje significativo.
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Hipótesis del trabajo:
Todos los alumnos que cursan la materia de álgebra lineal en la carrera de Ingeniería Industrial, dominarán sin error, la Teoría del Teorema del Determinante Simétrico; para resolver determinantes de orden (2x2) y como consecuencia, aprobarán la unidad deestudios.
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Fundamentación teórica:
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A
B &,,,,,,,,;
Simétrico
A ; A
BBSimétrico
Teorema JCE-1 (del Determinante Simétrico con sentido derecho inyectivo, directo o con entrada primaria de Leibniz). Sea el
y
ℝ
; mientras que, el
y
B
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Teorema JCE-2 (del determinante simétrico con sentido izquierdo inyectivo o con
entrada secundaria de Leibniz). Sea el
A y
B &,,,,,,,,; ℝ
)(ESSimétrico
R AA mientras que el
Simétrico
R BB
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Ejercicio. Calcular el valor de los determinantes de A y B, si estos están por
54
32A y
814
752
236
B
Utilizando los métodos de: (a) Cramer, (b) Cayley, (c) Sarrus e (d) el determinante simétrico definido por los Teoremas JCE-1 con EPL y finalmente, (e) el determinante simétrico definido por el Teorema JCE-2 con ESL.
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Solución (a). Como el
4
2
54
32 EPAA
4
2
5
3 .222212104352
5
3 A
ES
y como el
2
3
1
4
2
6
814
752
236
EP
EP
EP
BB
3
1
2
1
5
3
EP
EP
EP
1
2
3
8
7
2
EP
EP
EP
- 1
2
3
4
2
6
ES
ES
ES
3
1
2
1
5
3
ES
ES
ES
2
3
1
8
7
2
ES
ES
ES
321 PrPrPr EPdeoductosEPdeoductosEPdeoductosB
321 PrPrPr ESdeoductosESdeoductosESdeoductos , de donde se implica que
424840484240)7)(1)(6()8)(2)(3()4)(5)(2()2)(1)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( B
.12612634160)34(160 BB
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Solución (b). 4
2
54
32 EPAA
ES4
2
5
3 222212103452
5
3 A
y como el
2
3
1
4
2
6
814
752
236
EP
EP
EP
BB
3
1
2
1
5
3
EP
EP
EP
1
2
3
8
7
2
EP
EP
EP
1
3
2
4
2
6
ES
ES
ES
2
1
3
1
5
3
ES
ES
ES
3
2
1
8
7
2
ES
ES
ES
-
321 PrPrPr EPdeoductosEPdeoductosEPdeoductosB
321 PrPrPr ESdeoductosESdeoductosESdeoductos , de donde se implica que
484240484240)2)(3)(8()6)(7)(1()2)(5)(4()2)(1)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( B
.12612634160)34(160 BB
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Solución (c). Como todos sabemos, este método únicamente es aplicable para resolver determinante de orden 33
Además, sólo calcularemos para el caso de columnas aumentadas, veamos
2
3
1
4
2
6
814
752
236
EP
EP
EP
BB
2
1
3
3
5
1
EP
EP
EP
-
- 3
1
2
2
3
1
1
2
3
1
5
3
4
2
6
8
7
2
EP
EP
EP
EP
EP
EP
EP
EP
EP
1
3
2
4
2
6
ES
ES
ES 3
1
2
3
5
1
ES
ES
ES
-
- 2
1
3
1
3
2
3
2
1
1
5
3
4
2
6
8
7
2
ES
ES
ES
ES
ES
ES
ES
ES
ES
Con el
-
- ;
de donde se desprende que el
484240484240)3)(2)(8()6)(7)(1()2)(5)(4()1)(2)(2()4)(7)(3()8)(5)(6( B
12612634160)34(160 BB
.
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Solución (d). Teorema JCE-1 del Determinante Simétrico con EPL, con el
4
2
54
32 EP
SimétricoAA
5
3EP .2222)12()10()4)(3()5)(2(4
2
A
814
752
236
B14
522
84
723
81
756
ordende
reducciónConBcon el
1
56
).(
EP
EPLSimétrico
R BB8
7EP
1
5
4
2EP
8
7EP
4
2
4
22 EP
1
5
EP
4
2
-3
)4)(5()1)(2(2)4)(7()8)(2(3)1)(7()8)(5(6 Simétrico
B
72198363619818212333620)2(2)28(1637406 Simétrico
B
126126 BBSimétrico
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Solución (e). Como el
ESESLconSimétricoAAA
4
211
54
32)(
3
5ES 4
2
; por consiguiente,
el
.222211012125341 A .22 A
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Solución (1.4.2-Teorema JCE-2 del Determinante Simétrico con entrada secundaria de Leibniz). Como el
814
752
236
B14
522
84
723
81
756
ordende
reducciónConB
de donde,
.negativosignodeentradacon
ordenenreducidoSimétrico
BB R ; es decir el
Entrada con signo negativo.
ESB1
56
7
8ES1
5ES4
23
7
8ES
4
2
-2 ES4
2ES1
5
2
4
-
-
126721983636198182123336B .126B
|B| = -6[(-1)(7)+(8)(5)]+3[(4)(7)+(8)(-2)]-2[(4)(-5)+(-1)(-2)]=-6[-7+40]+3[28-6]-2[-20+2]
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES1. Los Teoremas JCE-1 y 2 del determinante simétrico con entradas
primaria y secundaria de Leibniz, sólo pueden ser aplicados a determinantes de orden (2x2) que son la última reducción de orden a la que converge un determinante de orden superior (DOS), i.e., determinantes de orden
Por ejemplo, el determinante de orden superior (3x3), se transforma en tres de orden base (2x2) al pivotear en los elementos
para la (ESL). Recordar el método de reducción de orden o de los cofactores para la solución de un (DOS).
Se obtienen resultados idénticos por cualquiera de los métodos, i.e., la Regla de Cramer, Cayley, Sarrus o de los Teoremas JCE-1 y 2 del determinante simétrico.
Por los Teoremas JCE-1 y 2 del determinante simétrico, se obtienen más rápidamente los resultados. El nuevo paradigma que en este trabajo estamos presentando, evita el conflicto que provocan los otros métodos con respecto a la multiplicación por (-1).
( ) ( ) ( )3 3 , 4 4 ,..., :x x nxn n +Î ¢
11 12 13, y + a a a+ -