Generación de trayectorias de velocidad de viento con distribución Weibull y autocorrelación exponencial:

Caso de estudio en Oaxaca, México

Jonatan Pablo Arenas López Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

jarenasl0800@alumno.ipn.mx

Mohamed Badaoui Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

mbadaoui@ipn.mx

Resumen—Este artículo analiza un enfoque para construir un modelo de velocidad de viento basado en el proceso de Ornstein-Uhlenbeck y una transformación sin memoria llamada proceso de traslación. El modelo es capaz de generar trayectorias de velocidad de viento con distribución Weibull y una función de autocorrelación con decaimiento exponencial a la observada en un conjunto de datos de velocidad del viento de una ubicación en particular. Con el objetivo de mostrar la eficiencia del modelo, se obtienen los parámetros para configurar el modelo a partir de un análisis de datos de mediciones de velocidad del viento registradas en una ubicación de México, donde se encuentra ubicado el parque eólico llamado Oaxaca I. Finalmente, se comparan las propiedades estadísticas de las trayectorias generadas por el modelo matemático con las propiedades estadísticas del conjunto de datos de velocidad del viento.

Palabras Clave—Velocidad del viento, Ecuaciones Diferenciales

Estocásticas, Proceso de Ornstein-Uhlenbeck, Transformación sin memoria, Distribución Weibull.

I. INTRODUCCIÓN

Debido a las ventajas de la energía renovable, existe una tendencia creciente en la investigación académica, así como invertir en la energía renovable por parte del sector industrial. El viento, que es una de las fuentes renovables más esenciales, tiene un gran potencial energético sin que se genere contaminación del aire o del suelo. La energía producida por una planta de generación eólica es afectada por las características estadísticas de la velocidad del viento en su ubicación.

Por lo anterior, es importante contar con modelos que sean capaces de imitar las propiedades estadísticas de velocidad de viento a las observadas en una ubicación real, para ser incorporados a estudios de la economía y la operación del sistema de potencia [1], evaluación de confiabilidad de capacidad de generación [2] y estudios dinámicos y control de aerogeneradores [3].

Entre los antecedentes de las técnicas utilizadas para el modelado de la velocidad del viento se encuentran las series temporales, filtros de Kalman [4], el modelo compuesto de cuatro componentes [5], entre otros.

La mayoría de los estudios publicados informan que la distribución Weibull de dos parámetros a menudo proporciona un buen ajuste a las distribuciones de velocidad del viento observadas en muchos sitios del mundo [6]. Otra característica observada a partir de los datos de velocidad del viento es que la función de autocorrelación se caracteriza generalmente por un decaimiento exponencial en el intervalo de horas [7]. Por medio del análisis de datos históricos registrados, se puede estimar la distribución de probabilidad de la velocidad del viento y su función de autocorrelación.

II. BASES DEL MODELO

A. Proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Sean 𝛼 y 𝜃 dos constantes positivas, se considera la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE):

𝑑𝑋 = −𝛼𝑋 𝑑𝑡 + 𝜃𝑑𝑊 (1)

con condición inicial 𝑋 . La solución de la ecuación (1) es conocida con el nombre de

proceso de Ornstein-Uhlenbeck y está dada por:

𝑋 = 𝑋 𝑒 + 𝜃 𝑒 ( ) 𝑑𝑊 (2)

Para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck se tienen las siguientes propiedades [8]:

1) Esperanza 𝐸(𝑋 ) = 𝑋 𝑒 .

RVP-AI/2018 PONENCIA 78, ES RECOMENDADA POR EL COMITE DE GENERACION DEL CAPITULO DE POTENCIA DEL IEEE SECCION MEXICO Y, PRESENTADA EN LA REUNION INTERNACIONAL DE VERANO, RVP-AI/2018, ACAPULCO GRO., DEL 15 AL 20 DE JULIO DEL 2018.

PONENCIA 78 GEN3

2) Varianza

𝑉𝑎𝑟(𝑋 ) =𝜃

2𝛼(1 − 2𝑒 ).

3) Covarianza

𝐶𝑜𝑣(𝑋 , 𝑋 ) =𝜃

2𝛼𝑒 ( ) − 𝑒 ( ) .

De lo anterior, es fácil observar que cuando 𝑡 ⟶ ∞, se tiene

𝐸(𝑋 ) ⟶ 0 y 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ) ⟶ , la cual es una solución

estacionaria en el límite, y además 𝐶𝑜𝑣(𝑋 , 𝑋 ) ⟶ 𝑒 ( ),

entonces la autocorrelación estacionaria está dada por:

𝐴𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑋 , 𝑋 ) = 𝑒 ( ) (3)

B. Transformaciones sin memoria

Las transformaciones sin memoria se pueden usar para generar procesos de difusión con distribuciones de probabilidad específicas.

Se considera un proceso estocástico Gaussiano 𝑋 . El proceso

𝑌 = 𝑔(𝑋 ) (4)

es no Gaussiano a menos que 𝑔 sea una función lineal. Se dice que 𝑔 es una transformación sin memoria debido a que el valor 𝑌 en un instante arbitrario 𝑡 depende solo del valor de 𝑋 en 𝑡. Como 𝑋 es un proceso Gaussiano, 𝑌 se define por las funciones de media y covarianza, y el mapeo 𝑔. Además, 𝑌 es estacionario en sentido estricto si 𝑋 es estacionario [9].

Considerando la transformación sin memoria de la ecuación (4) donde 𝑋 es un proceso Gaussiano estacionario con media cero y varianza uno y sea 𝑔 = 𝐹 (Φ(∙)) donde 𝐹 es una función de distribución acumulada arbitraria y Φ denota la función de distribución acumulada de 𝑁(0,1). El proceso

𝑌 = 𝐹 Φ(𝑋 ) = 𝑔(𝑋 ) (5)

se le llama un proceso de traslación [9, 10, 11]. Debido a la transformación sin memoria, no se garantiza que la autocorrelación de 𝑌 sea la autocorrelación del proceso original 𝑋 definida por (3), [12, 13]. En este trabajo la autocorrelación se analiza numéricamente.

C. Distribución Weibull

A continuación, se muestran la función de distribución acumulada (FDA) y la función de densidad de probabilidad (FDP) de la distribución Weibull:

𝐹 (𝑢) = 1 − 𝑒 , ∀𝑢 ≥ 0 (6)

𝑝 (𝑢) = ∙ ∙ 𝑒 , ∀𝑢 ≥ 0 (7)

donde 𝜆 y 𝑘 , son los parámetros de escala y forma respectivamente.

La media y la varianza de la distribución Weibull están dadas por:

𝜇 = 𝜆 ∙ Γ 1 +1

𝑘 (8)

𝜎 = 𝜆 ∙ Γ 1 + − 𝜇 (9)

respectivamente. En (8) y (9), Γ(∙) representa la función Gamma.

III. CONSTRUCCION DEL MODELO

Por simplicidad, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck (2) se adapta a una distribución 𝑁(0, 1). Lo anterior se logra tomando de la varianza de la solución estacionaria del proceso de Ornstein-Uhlenbeck 𝜃 = √2𝛼, es decir:

𝑑𝑋 = −𝛼𝑋 𝑑𝑡 + √2𝛼𝑑𝑊 (10)

A la solución de (10) se le aplica una transformación sin memoria del tipo (5)

𝑌 = 𝐹 Φ(𝑋 ) (11)

donde Φ(∙) es la FDA de la distribución 𝑁(0, 1), y 𝐹 (∙) es el FDA de la distribución de Weibull dada por (6).

IV. CASO DE ESTUDIO

El modelo propuesto es utilizado para modelar la velocidad de viento de una ubicación del mundo real. Tal ubicación es Santo Domingo Ingenio, Oaxaca donde se encuentra ubicado el parque eólico llamado Oaxaca I. Los datos fueron proporcionados por el Centro Nacional de Control de la Energía (CENACE) y consisten de 4416 valores que pertenecen al promedio de velocidad de viento de cada hora de los meses de marzo a agosto de 2017.

A. Analisis de datos

La figura 1 muestra el histograma normalizado del conjunto de datos considerado y el ajuste de FDP considerando una distribución de Weibull. Los parámetros de la distribución Weibull obtenidos en el proceso de ajuste son 𝜆 = 6.751262 y 𝑘 = 1.821892.

Fig. 1. Densidad de probabilidad de los datos horarios de velocidad media del viento.

La figura 2 muestra la autocorrelación del conjunto de datos considerado para retardos de tiempo de hasta 84 horas. La línea gris es la autocorrelación calculada a partir de los datos, mientras que la línea negra corresponde al ajuste exponencial según la expresión (3). El coeficiente de autocorrelación obtenido del ajuste exponencial es 𝛼 = 0.030062.

Fig. 2. Autocorrelación de los datos horarios de velocidad media del viento.

De las figuras anteriores se observa que la distribución Weibull y la función exponencial son buenas aproximaciones para el histograma normalizado y la autocorrelación del conjunto de datos de velocidad del viento, respectivamente.

B. Simulaciones

Los resultados obtenidos con el análisis de datos anterior se utilizan para configurar el modelo. Para obtener trayectorias de velocidad del viento del modelo desarrollado es necesario utilizar técnicas de integración numérica para la dar solución a la EDE (10). Aplicando el esquema implícito de Milstein a (10):

𝑋 = 𝑋 +ℎ

2(−𝛼𝑋 − 𝛼𝑋 ) + √2𝛼∆𝑊 (12)

donde ℎ es el paso del tiempo de integración, y 𝛥𝑊 ~ 𝑁 (0, √ℎ) son incrementos aleatorios del proceso de Wiener. El lector interesado puede encontrar otros esquemas de integración en [14, 15, 16].

En la figura 3 se muestra una trayectoria de velocidad de viento generada con el modelo.

En la figura 4 y la figura 5 se muestran las propiedades estadísticas de las trayectorias generadas por el modelo propuesto. En la figura 4 se muestra la función de densidad de probabilidad Weibull a la que se ajustaron los datos y densidad de probabilidad de 1000 trayectorias de viento generadas mediante el modelo propuesto. La figura 5 muestra el promedio de las autocorrelaciones de 1000 trayectorias de viento generadas mediante el modelo propuesto.

Fig. 3. Trayectoria de velocidad de viento generada por el modelo propuesto.

Fig. 4. Densidad de probabilidad de las velocidades de viento generadas por el modelo.

Fig. 5. Autocorrelación de las velocidades de viento generadas por el modelo.

V. CONCLUSIONES

En este trabajo se describe la construcción de un modelo para generar trayectorias de velocidad de viento capaz de reproducir las propiedades de distribución de probabilidad y autocorrelación de decaimiento exponencial observadas en una

ubicación del mundo real. El modelo se parametriza haciendo un análisis de datos de mediciones de velocidades de viento de una ubicación en particular. En este caso, el análisis de los datos para una ubicación de México, donde se encuentra ubicado el parque eólico llamado Oaxaca I, arroja que la distribución Weibull y autocorrelación de decaimiento exponencial parecen ser una buena aproximación.

Es importante hacer notar que el modelo propuesto no se limita a la distribución Weibull y puede utilizarse con otras distribuciones de probabilidad.

Una de las ventajas de este modelo matemático es describir y modelar las trayectorias de velocidad del viento para diferentes escalas de tiempo.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al Centro Nacional de Control de la Energía (CENACE) por haber proporcionado los datos de velocidades de viento utilizados en el artículo.

Este trabajo fue desarrollado en un proyecto de investigación apoyado por la Secretaria de Investigación y Posgrado (SIP) del IPN, el cual se titula “Un modelo estocástico de velocidades de viento para plantas de generación eólica” con Clave: 20172231.

REFERENCIAS

[1] Morales, J.M., Conejo A.J., Pérez-Ruiz J. “Simulating the impact of wind

production on locational marginal prices”, IEEE Trans. Power Syst. 26 (2) (2011) 820 - 828.

[2] Leite A.P., Borges C.L.T., Falcao D.M. “Probabilistic wind farms generation model for reliability studies applied to Brazilian sites”, IEEE Trans. Power Syst. 21 (4) (2006) 1493 -1501.

[3] Andrew, K., Wenyan , L., Zhe , S. “Dynamic control of wind turbines”, Renew. Energy 35 (2) (2010) 456 - 463.

[4] Lei, Ma., Shiyan, Luan., Chuanwen, Jiang., Hongling, Liu., Yan, Zhang. “A review on the forecasting of wind speed and generated power”. Renewable and Sustainable Energy Reviews 13 (2009) 915–920.

[5] Anderson, P. M., Bose, A. “Stability simulation of wind turbine systems. Transactions on Power Apparatus and Systems”, Vol. PAS-102, No. 12, December 1983.

[6] Tuller, Stanton E., Brett, Arthur C. “The Characteristics of Wind Velocity that Favor the Fitting of a Weibull Distribution in Wind Speed Analysis”. Journal of Climate and Applied Meteorology 1984;30:124-134.

[7] Brett, Arthur C., Tuller, Stanton E. “The Autocorrelation of Hourly Wind Speed Observations”. Journal of Applied Meteorology 1991;23: 823-833.

[8] Gardiner, C. “Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences”. 3rd ed, Springer-Verlag, 2004.

[9] Grigoriu, Mircea. “Applied Non-Gaussian Processes: Examples, Theory, Simulation, Linear Random Vibration, and MATLAB Solutions”, Prentice Hall, 1995.

[10] Grigoriu, Mircea. “Stochastic Calculus: Applications in Science and Engineering”. Springer, 2002.

[11] Grigoriu, Mircea. “Stochastic Systems: Uncertainty Quantification and Propagation”. Springer, 2012.

[12] Zárate-Miñano, Rafael., Anghel, Marian., Francesca., Milano, Federico. “Continuous wind speed models based on stochastic differential equations”. Applied Energy 104 (2013) 42-49

[13] Zárate-Miñano, Rafael., Madia Mele. Francesca., Milano, Federico. “SDE-based Wind Speed Models with Weibull Distribution and Exponential Autocorrelation”. IEEE, 2016.

[14] Cyganowski, Sasha., Ombach, Jerzy., Platen, Eckhard. “From Elementary Probability to Stochastic Differential Equations with MAPLE”. Springer, 2001.

[15] Kloeden, Peter E., Platen, Eckhard. “Numerical solution of stochastic differential equations (Stochastic Modelling and Applied Probability 23)”. Springer, 1994.

[16] Kloeden, Peter E., Platen, Eckhard., Schurz, Henri. “Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments”. Springer, 2003.

Jonatan Pablo Arenas López. Ingeniero Electricista por la ESIME Zacatenco (2014). Estudiante de la Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME-IPN. Sus áreas de interés se centran en el modelado y el análisis estocástico de sistemas eléctricos. Mohamed Badaoui. Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad Mohamed I (1998). Maestro en Ciencias con Especialidad en Matemáticas por la ESFM-IPN (2003) y Doctor en Ciencias Matemáticas por la FC-UNAM (2012).