Pontificia Universidad Javeriana Faculdad de ciencias ...

Pontificia Universidad JaverianaFaculdad de ciencias

Departamento de Matemáticas

Una introducción a los números p-ádicos,su aritmética y algunas simulaciones en Python

Autor:Edgar StevenBaquero Acevedo

Supervisor:Dr. Leonardo Fabio

Chacón Cortés

Trabajo de grado presentado para optar por el título deMatemático.

Índice general

1. Los números p-ádicos 11.1. Construcción vía análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Algunas propiedades topológicas de Qp . . . . . . . . . 131.1.2. Relación de Qp con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. Aritmética p-ádica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1. Expansiones p-ádicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5. Sucesiones y series de números p-ádicos . . . . . . . . . 24

1.3. Construcción vía álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4. Sobre Diferenciación e Integración . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1. La derivadas y primitivas p-ádicas . . . . . . . . . . . . 301.4.2. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Modelando números p-ádicos 332.1. La clase Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1. Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2. Ejemplos de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. La clase GpnN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1. GpnN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3. Ejemplos de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.4. Árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. Laplaciano sobre árboles 433.1. Matriz Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Operador Laplaciano discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1. Matriz de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2. Ecuación de ultradifusión . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iii

iv ÍNDICE GENERAL

4. Apéndice: Sobre el uso del paquete 534.1. Configuración de ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Agradecimientos

Primero, dedico este trabajo a mi madre, a quien le agradezco infinita-mente lo que tengo, y lo que no; pues ella es el ejemplo de tener la tareamás grande y más difícil, la maternidad. A mi hermana, Johana, por ser elejemplo de esfuerzo y trabajo que siempre me motiva a seguir.

Segundo, agradezco a mi tutor de tesis, Leonardo Chacón, por ser pacien-te, por estar atento a mis dudas y siempre estar presente en la realización deeste trabajo; además, le agradezco el hecho de hacer que las cosas que en unprincipio parecían complicadas, fueran de mejor comprensión; pues consideroque es uno de los fines últimos de un maestro. También agradezco al profesorAndrés Vargas, por tomarse el tiempo de revisar mi trabajo.

Tercero, a mis amigos y familiares cuya extensa lista de nombres puedenno estar acá, les agradezco haberme brindado un momento de su vida paraalegrarme y hacer que los momentos de procrastinación sean más amenos.De esa lista me gustaría en epecial agradecer a Sebastián Gaitán y SebastiánCarrillo, que desde que inicié la carrera, han sido estudiantes ejemplo, de loscuales me he guiado para aprender de mis errores.

Por último, a todos aquellos que de una u otra manera este mundo les hanegado el honor de ser homenajeados, ya sea que lo merecieren o no, gracias.

v

Introducción

Per aspera ad astra.

Lucio Anneo Séneca

Los números p-ádicos fueron recientemente introducidos por K. Henselen las matemáticas modernas con el fin de solucionar varios problemas en lateoría de números. Como consecuencia, el desarrollo del análisis p-ádico seha visto involucrado en otras ramas de la ciencia, como la Biología, en dondelos fenómenos naturales son presentados como estructuras jerárquicas [5]; enla Física, donde juegan un papel importante en la teoría de cuerdas [8]; ypor supuesto, en las Ciencias de la computación, en donde son usados parahacer Data Mining y Criptografía [8].

En este trabajo explicaremos algunas nociones básicas de análisis en es-pacios ultramétricos, en particular en el cuerpo de números p-ádicos. De estamanera mostraremos una representación visual de los mismos, con el fin dedesarrollar un paquete amigable que pueda ser implementado por científicospara hacer cómputo p-ádico (por ejemplo en la codificación de información)y desarrollar simulaciones de ecuaciones presentes en sistemas complejos.

En el Capítulo 1 fijamos la notación y presentamos algunos resultadosbásicos sobre el análisis p-ádico, que serán utilizados a lo largo de este trabajo.Para una exposición más completa sobre el análisis p-ádico el lector puedeconsultar [1], [9], [12], [16].

Dado que el interés principal de este trabajo está enfocado al uso compu-tacional de los números p-ádicos y dado que existen paquetes ofrecidos porMathematica para hacer cómputos aritméticos de números p-ádicos, encon-tramos que estos cómputos en general son puntuales, es decir, son operacionesnúmero a número; luego, la representación gráfica de los mismos queda ensegundo plano. Además, la última fecha de revisión de los algoritmos es delaño 19961; razón por la cual requerimos de una forma amigable y eficente2

de realizar estos cómputos.1https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/556/2La eficiencia basada en el concepto de complejidad algorítmica.

vii

https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/556/

viii ÍNDICE GENERAL

En el Capítulo 2 se propone un diseño orientado a objetos (ya que esel paradigma de programación más común) para números p-ádicos; además,consideramos una implementación en Python3, dado que presenta caracterís-ticas deseables como ser moderno, orientado a objetos, ser de uso común porla mayoría de científicos, así como poseer frameworks y poseer estructuras dedatos que permiten, a diferencia de otros lenguajes, una manipulación mássimple de grafos y redes. Más específicamente, nos basamos en un paqueteabierto, ofrecido por la comunidad de desarrolladores, llamado NetworkX4,dedicado a la creación, manipulación, estudio de estructuras, funciones ydinámica de redes complejas.

La natulareza nos presenta varios tipos de estructuras jerárquicas; porejemplo en los sistemas complejos, los cristales, clústeres y proteínas sonobjetos de estudio. Ver por ejemplo [6, 3, 5]. Luego, se hace conveniente tratarde tener una noción acerca de los sistemas complejos. Un sistema complejoes un grupo formado por componentes que interactúan entre sí, con algunasconfiguraciones que, en el caso de proteínas, tienen asociadas funciones deenergía.

Esta noción introductoria nos lleva finalmente al Capítulo 3 con el finde estudiar la jerarquía ultramétrica presente en el estudio de proteínas (verpor ejemplo [5]), por medio de aproximaciones de estructuras asociadas a lasmismas y afines a la representación dada en el Capítulo 2.

Por último, desarrollamos el Apéndice 4 donde explicamos al lector cómoinstalar el paquete a través del uso del sistema de gestión de paquetes escritosen Python (pip); añadiento que es la primera versión de código abierto paraseguir desarrollando algoritmos no incluidos en este trabajo, por ejemplo, losrelacionados al estudio algebraico de los números p-ádicos.

3Se requiere el uso de Python 3.5 en adelante. Ver 4 para más requerimientos.4Para una documentación detallada acerca del paquete visitar: https://networkx.

github.io/documentation/latest/_downloads/networkx_reference.pdf

https://networkx.github.io/documentation/latest/_downloads/networkx_reference.pdf

https://networkx.github.io/documentation/latest/_downloads/networkx_reference.pdf

ÍNDICE GENERAL ix

Breve reseña de Hensel

Kurt Hensel Nació el 29 de diciembre de 1861 en lo que se conociócomo Könisberg, Prusia. A finales del siglo XIX y teniendo influencias deprofesores como Lipschitz, Weierstrass, Borchardt, Kirchhoff, Helmholtz yKronecker ; este último motivó el estudio del método de Weierstrass en seriesde potencias de funciones consiguiendo introducir los números p-ádicos, Qp.Su interés inicial estaba en encontrar la potencia exacta de un primo quedividiera el discriminante de un cuerpo de números5.

Más adelante, introdujo el concepto de cuerpo con valuación, que luegotendría gran influencia en el estudio del álgebra moderna. Desde esta época,la popularidad de los números p-ádicos creció sin parar, y durante el sigloXX hasta hoy en día se sigue desarrollando la inmensa teoría que de fondollevan a ramas de estudio como la teoría de números y aplicaciones [4].

5El discriminante de un cuerpo de números es un invariante numérico que "mide.eltamaño de el anillo de enteros del cuerpo.

Capítulo 1

Los números p-ádicos

1.1. Construcción vía análisis

Notación

Iniciamos este trabajo presentando la notación que usaremos a lo largodel mismo, para representar expansiones p-ádicas.

Desde la educación primaria, es bien conocida la separación de númerospor unidades, decenas, centenas, etc. Por ejemplo el número 437 tiene 7unidades, 3 decenas y 4 centenas. En otras palabras, el número 437 puedeser representado de la siguiente manera:

437 = 7 · 100 + 3 · 101 + 4 · 102,

que es la expansión decimal (o expansión en base 10) del número 437 (quetambién puede ser escrito como 43710). Cabe notar que todos los dígitosdependen de la base, y así cada dígito podría tomar valor en el conjunto de10 elementos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En este caso los números 4, 3 y 7 sonmenores a 10 (la base). Si el número contiene decimales, el razonamiento esel mismo. Por ejemplo el número 543,89 es el resultado de la expansión:

543,89 = 9 · 10−2 + 8 · 10−1 + 3 · 100 + 4 · 101 + 5 · 102.

Análogamente, al momento de expandir por una base cualquiera (ver 1.2.1para ver cómo hacerlo), sea esta q, tenemos que su representación por dígitoses la misma (en este trabajo) que la expansión decimal. Por ejemplo, la suma

2 · 8−2 + 2 · 8−1 + 3 · 80 + 4 · 81 + 7 · 82,

1

2 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS P -ÁDICOS

representa el número 743,22 en base q = 8, también denotado por 743,228,y es conocido como el sistema octal, donde cada dígito toma un valor en elconjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Ejemplos de sistemas de numeración conocidos, son el sistema binario,donde cada dígito toma un valor en {0, 1} (pues su base es 2); el sistema he-xadecimal, donde cada dígito toma un valor de 16 posibles (pues la base es 16),{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,B,C,D,E, F}; entre otros.

En este trabajo estamos interesados en los sistemas numéricos con baseprima (por ejemplo, el sistema binario con p = 2). Donde la representacióngeneral de un número x en base p:

x =l∑

k=−γ

akpk, con γ ∈ Z,

seráal . . . a2a1a0, a−1a−2 · · · a−γp. (1.1.1)

Introducida la notación que usaremos, empecemos.

El campo de los números p-ádicos

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Una norma en K es una función|·| : K → R>0 tal que para todo x, y ∈ K satisface las siguientes propiedades:

� |x| > 0, |x| = 0⇐⇒ x = 0,

� |xy| = |x| |y| ,

� |x+ y| 6 |x|+ |y|.

Además, una norma |·| en K define una métrica natural dada pord(x, y) = |x− y|.

Definición 1.1.2. Dos normas |·|1, |·|2 sobre un cuerpo K se dicen equiva-lentes si inducen la misma topología sobre K, i.e., todo abierto con respectoa una topología también lo es con respecto a la otra. Por notación decimosque |·|1 ∼|·|2.

La siguiente proposición es importante al momento de mostrar el teoremade Ostrowsky. Ver por ejemplo 1.1.13.

1.1. CONSTRUCCIÓN VÍA ANÁLISIS 3

Proposición 1.1.3. Sea K un cuerpo con dos normas |·|1, |·|2. Entonces|·|1 ∼|·|2 si, y sólo si, existe c ∈ R>0 tal que |·|1 = |·|c2.

Demostración. Sean |·|1 ∼|·|2. Queremos ver que |x|1 = |x|c2, para todo x ∈ Kno nulo (pues el caso x = 0 es trivial) y algún c > 0, es decir

ln|x|1 = c ln|x|2 . (1.1.2)

Sea y ∈ K tal que 0 < |y|1 < 1, luego, existe un a(x) > 0 tal que|x|1 = |y|a(x)1 . Nótese que para r1, r2 ∈ Q tales que r1 < a(x) < r2 se tieneque |y|r12 < |x|2 < |y|

r22 , luego |x|2 = |y|a(x)2 (continuidad). Así se tendrá:

|x|1 = |y|a(x)1 ⇔ ln|x|1 = a(x) ln|y|1|x|2 = |y|a(x)2 ⇔ ln|x|2 = a(x) ln|y|2 .

Combinando las anteriores ecuaciones, se tiene:

ln|x|1 =|y|1|y|2

ln|x|2 .

Luego, en la ecuación 1.1.2 tómese c =|y|1|y|2

.Recíprocamente, supongamos que existe c > 0 tal que |x|1 = |x|c2 luego:

|x− a|1 < r ⇔|x− a|c2 < r ⇔|x− a|2 < r1c ,

es decir, una bola abierta con la norma |·|1 lo es con la norma |·|2.

Proposición 1.1.4 (Equivalencia Lipschitz ). Sea K un cuerpo con dos nor-mas |·|1, |·|2. Entonces |·|1 ∼|·|2 si, y sólo si existen constantes k1, k2 positivastales que:

k1|x|1 < |x|2 < k2|x|1 ,

para todo x ∈ K.

Demostración. Supongamos que |·|1 ∼|·|2, luego las bolas

{B1(x, r) : x ∈ K, r > 0},{B2(x, r) : x ∈ K, r > 0},

constituyen dos bases para una misma topolgía enK. Sea B1(0, 1) un abierto,luego existe un r > 0 tal que B2(0, r) ⊂ B1(0, 1), es decir que |y|2 < r implica|y|1 < 1. Tómese k1 tal que 0 < k1 < r, y x ∈ K no nulo. Nótese que z =


k1x|x|1

satisface |z|2 = k1 < r, lo cual implica que |z|1 = k1|x|1|x|2

< 1, es decirk1|x|1 < |x|2. Análogamante se tendrá la desigualdad |x|2 < k2|x|1.

Recíprocamente, supongamos que existen constantes positivas k1, k2 talesque k1|x|1 < |x|2 < k2|x|1, para todo x ∈ K. Sea x ∈ K y tómese y ∈ B2(x, k1r),luego|y − x|2 < k1r, entonces k1|y − x|1 < |y − x|2 < k1r, es decir|y − x|1 < r,lo cual implica y ∈ B1(x, r), luego B2(x, k1r) ⊂ B1(x, r). Por otra parte, to-memos y ∈ B1(x,

rk2

), luego|y − x|1 <rk2, entonces|y − x|2 < k2|y − x|1 < b r

k2,

es decir |y − x|2 < r, en donde se sigue y ∈ B2(x, r), así B1(x,rk2

) ⊂ B2(x, r).Luego las dos normas generan la misma topología en K.

Proposición 1.1.5. Sea K un cuerpo con dos normas |·|1, |·|2 tales que|·|1 ∼|·|2, entonces una sucesión (xn) es de Cauchy respecto a |·|1 si, y sólo sies de Cauchy respecto a |·|2.

Demostración. Por la proposición 1.1.4, existen k1, k2 > 0 tales quek1|x|1 < |x|2 < k2|x|1 , para todo x ∈ K.

Sin pérdida de generalidad, sea (xn) una sucesión de Cauchy respecto a|·|1. Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que:

|xm − xn|1 <ε

k2, para m,n > N.

Como|xm − xn|2 < k2|xm − xn|1, entonces|xm − xn|2 < ε para todom,n > N .Es decir, (xn) es una sucesión de Cauchy respecto a |·|2Definición 1.1.6. Una norma‖·‖ sobre un cuerpoK se dice no-arquimedianao ultramétrica, si la condición (3) (en la definición 1.1.1) es reemplazada por

‖x+ y‖ ≤ máx{‖x‖, ‖y‖},∀x, y ∈ K. (1.1.3)

Nota 1.1.7. Dado que

‖x+ y‖ ≤ máx{‖x‖, ‖y‖} 6 ‖x‖+ ‖y‖,∀x, y ∈ Q,

la condición 1.1.3 es también llamada desigualdad triangular fuerte.

Dada la definición de norma ultramétrica, podemos introducir normas noarquimedianas sobre el cuerpo de números racionales.

Definición 1.1.8. Fijemos un primo p, sea x ∈ Qr {0} expresado de formaúnica como x = pv a

b, donde v es un entero y a, b son primos relativos con p.

Definimos la función ‖ · ‖p de la siguiente manera:

‖x‖p = p−v,

donde el entero v = v (x) se denomina el orden p-ádico de x y será denotadopor Ord (x). Por definición ‖0‖p = 0, y Ord(0) = +∞.


Ejemplo 1.1.9. Cálculo de la función ‖ · ‖p para distintos p’s.

∣∣∣∣− 66

500

∣∣∣∣p

=

∣∣∣∣− 33

250

∣∣∣∣p

=

∣∣∣∣−3 · 11

2 · 53

∣∣∣∣p

=

33250

si p =∞;

2 si p = 2;13

si p = 3;

53 si p = 5;

1 si p = 7;111

si p = 11;

1 si p = 13;...

1 otro caso.

Proposición 1.1.10 (Fórmula Adélica del producto). Sea x ∈ Q tal quex 6= 0, entonces:

∞∏p

‖x‖p = 1, con ‖x‖∞ = |x| y p primo.

Demostración. Sea x = ±pa11 pa22 · · · pann . Con pj 6= pi para j 6= i y ai ∈ Z.Entonces

‖x‖pj =

{p−ajj pj 6=∞,pa11 p

a22 · · · pann pj =∞.

Luego

∞∏p

‖x‖p =‖x‖p1‖x‖p2 · · ·‖x‖pj · · ·|x|

= p−a11 p−a22 · · · p−ajj · · · pa11 pa22 · · · pann= (p−a11 pa11 )(p−a22 pa22 ) · · · (p−ann pann ) = 1.

Teorema 1.1.11. ‖ · ‖p es una norma no arquimediana.

Para la demostración, usaremos la ayuda del siguiente lema.

Lema 1.1.12. Sea ‖·‖ es una norma enQ. ‖·‖ es una norma no arquimedianasi, y sólo si ‖n‖ 6 1 para todo n ∈ Z,


Demostración del Lema1.1.12. Sea n ∈ N tal que n > 1 . Entonces, paratodo x, y ∈ Q, tenemos:

‖x+ y‖n = ‖(x+ y)n‖ =

∥∥∥∥∥∥n∑k=0

(n

k

)xkyn−k

∥∥∥∥∥∥≤

n∑k=0

∣∣∣∣∣(n

k

)∣∣∣∣∣ ‖x‖k‖y‖n−k,dado que

(nk

)es un entero y usando la hipótesis tenemos:

‖x+ y‖n ≤n∑k=0

‖x‖k‖y‖n−k ≤ (n+ 1)máx{‖x‖, ‖y‖}n.

Finalmente, tomamos raíz n-ésima a ambos lados y hacemos n → ∞ yasí concluimos que ‖ · ‖ es una norma no arquimediana.

Por otro lado, supongamos que ‖·‖ es no arquimediana. Por inducción,veamos que ‖n‖ 6 1. Para el caso base, se tiene que ‖±1‖ 6 1. Luego,supongamos que ‖n‖ 6 1. Entonces:

‖n+ 1‖ 6 máx{‖n‖ ,‖1‖} 6 1,

por hipótesis. Luego, ‖n‖ 6 1, para todo n ∈ Z.

Demostración del Teorema 1.1.11. Las primeras dos condiciones de normason claras a partir de la definición de ‖·‖p. Para ver la desigualdad triangularfuerte, sean x = pα a

b, y = pβ c

d, con a, b, c, d primos relativos con p entonces

por definición: ‖x‖p = p−α y ‖y‖p = p−β. Ahora, sin pérdida de generalidadsupongamos que α ≤ β, luego

x+ y = pα(ab

+ pβ−αc

d

).

Como ‖ab

+ pβ−α cd‖p = 1, tenemos que ‖x+ y‖p = p−α. Entonces

‖x+ y‖p ≤ máx{‖x‖p, ‖y‖p}.

Una pregunta natural es la siguiente: ¿Qué normas existen en Q?


Teorema 1.1.13 (Ostrowski). Cualquier norma no trivial sobre Q es equi-valente al valor absoluto usual, o a una norma p-ádica ‖·‖p, para algún primop.

Demostración. Supongamos que tenemos una norma arquimediana ‖ · ‖, lue-go, existe un k ∈ N tal que ‖k‖ ≥ 1. Sea n0 el mínimo de los k que sa-tisfacen la anterior condición. Luego podemos encontrar un α > 0 tal que‖n0‖ = |n0|α = nα0 (pues la función nx0 es continua y alcanza todos los realespositivos, entonces el número ‖n0‖ ∈ R>0 tiene pre-imagen α > 0).Ahora, sea n ∈ N, y escribámoslo en base n0, es decir:

n = a0 + a1n0 + · · ·+ asns0, (1.1.4)

donde 0 6 ai 6 n0 − 1, i = 0, 1, . . . , s y as 6= 0. Luego:

‖n‖ =‖a0 + a1n0 + · · ·+ asns0‖

≤ ‖a0‖+ ‖a1n0‖+ · · ·+ ‖asns0‖= ‖a0‖+ ‖a1‖nα0 + · · ·+ ‖as‖nsα0 .

Dado que n0 es el natural más pequeño tal que ‖n0‖ ≥ 1, entonces ‖ai‖ ≤ 1,luego:

‖n‖ ≤ 1 + nα0 + · · ·+ nsα0

= nsα0(1 + n−α0 + · · ·+ n−sα0

)6 nsα0

∞∑i=0

( 1

nα0

)i= nsα0

nα0nα0 − 1

.

Como n ≥ ns0, entonces:

‖n‖ 6 Knsα0 6 Knα,

donde K =nα0nα0−1

es una constante que no depende de n. Sea N ∈ N luego:

‖n‖N =∥∥∥nN∥∥∥ 6 KnNα ⇔ ‖n‖ 6 N

√Knα.

Haciendo N →∞ se tiene:‖n‖ 6 nα. (1.1.5)

Ahora, veamos que ‖n‖ > nα. Nótese que ns0 6 n < ns+10 , ya que por (1.1.4):

n = a0 + a1n0 + · · ·+ asns0

≤ (n0 − 1) + (n0 − 1)n0 + · · ·+ (n0 − 1)ns0= ns+1

0 − 1 < ns+10 ,


entonces

n(s+1)α0 =

∥∥ns+10

∥∥ =∥∥n+ ns+1

0 − n∥∥ 6 ‖n‖+

∥∥ns+10 − n

∥∥ ,luego:

‖n‖ ≥∥∥ns+1

0

∥∥− ∥∥ns+10 − n

∥∥ ≥ n(s+1)α0 −

(ns+10 − n

)α.

Además, por la desigualdad (1.1.5), se tiene que∥∥ns+1

0 − n∥∥ 6

(ns+10 − n

)αy, como ns0 6 n < ns+1

0 , entonces:

‖n‖ ≥ n(s+1)α0 −

(ns+10 − n

)α ≥ n(s+1)α0

[1−

(1− 1

n0

)α]= K ′n

(s+1)α0 ≥ K ′nα,

con K ′ = 1−(

1− 1n0

)α, luego, tomando a M ∈ N, tenemos que:

‖n‖M =∥∥∥nM∥∥∥ ≥ K ′nMα ⇔ ‖n‖ ≥ M

√K ′nα,

luego, tomando M →∞, se tiene:

‖n‖ ≥ nα. (1.1.6)

Entonces, de (1.1.5) y (1.1.6) se tiene que para todo n ∈ N:

‖n‖ = nα = |n|α .

Por lo tanto, por la proposición 1.1.3, ‖·‖ es quivalente al valor absoluto |·|α,para algún α > 0.

Por otro lado, sea‖·‖ no-arquimediana, luego, por el Lema1.1.12 se tieneque ∀n ∈ N,‖n‖ 6 1. Dado que‖·‖ no es trivial, entonces existe n0, el mínimoque satisface que ‖n0‖ < 1. Veamos que n0 es primo:

Supongamos que n0 = n1n2, con n1, n2 < n0, luego ‖n1‖ = ‖n2‖ =1, en donde se sigue que

‖n0‖ =‖n1‖‖n2‖ = 1.

Luego, n0 es primo, digamos p := n0.Sea n ∈ Z tal que p - n. Veamos que ‖n‖ =1:

Como p - n, entonces, por el algoritmo de la división se tiene:

n = rp+ s, con 0 < s < p,

por la minimalidad de p respecto a ‖·‖, entonces ‖s‖ = 1. Además‖rp‖ < 1, pues ‖p‖ < 1 y ‖r‖ 6 1. Luego:

‖n− s‖ =‖rp‖ <‖s‖ = 1.

En 1.1.34, tomando a x := n− s y y := s, entonces ‖n‖ = 1.


Ahora, sea k ∈ Z un entero arbitrario, escribámoslo de tal manera que k =pvk′ y tal que p - k′, entonces:

‖k‖ =‖pv‖∥∥k′∥∥ =‖pv‖ =‖p‖v .

Con m := ‖p‖ < 1 entonces m = 1pα, para algún α > 0. La existencia de α

está dada al hecho de que p−x es una función sobreyectiva en R+. Luegoexiste la preimagen para ‖p‖ en el rango de p−x. Luego:

‖k‖ =‖p‖v =1

pαv=‖k‖αp .

Luego, por la proposición 1.1.3, ‖·‖ es equivalente a ‖·‖p.

Nota 1.1.14. Las normas ‖·‖p y ‖·‖q no son quivalentes si p y q son primosdistintos. Por ejemplo, sea p = 5 y q = 7, la sucesión xn =

(57

)n se tiene que

‖xn‖5 = 5−n → 0 y ‖xn‖7 = 7n →∞,

cuando n→∞.El valor absoluto usual sobre Q tampoco es equivalente a una norma

p-ádica. Por ejemplo, considérese la sucesión xn = (1p)n, entonces

|xn| = p−n → 0 y ‖xn‖p = pn →∞,

cuando n→∞. Lo cual contradice la proposición 1.1.5.

Teorema 1.1.15 (Caracterización de sucesiones de Cauchy). Una sucesión(xn)n∈N en Qp es de Cauchy, si, y sólo si:

lımn→∞

‖xn+1 − xn‖p = 0. (1.1.7)

Demostración. � (⇒) Definición de sucesión de Cauchy.

� (⇐) Supongamos 1.1.7, entonces para todo ε > 0 existe N tal quen > N implica:

‖xn+1 − xn‖p < ε.

Ahora, sea m > n > N , entonces:

‖xm − xn‖p = ‖xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + · · · − xn‖p6 máx{‖xm − xm−1‖p, . . . , ‖xn+1 − xn‖p} < ε.


Figura 1.1: Completaciones respecto a las distintas normas en Q

Definición 1.1.16. Sea (K,‖·‖) un cuerpo métrico. Sea KN el anillo de todaslas sucesiones en K. Definimos C,N como el subanillo de todas las sucesionesde Cauchy y el subanillo de todas las sucesiones finalmente nulas, respecti-vamente.

Queremos construir un cuerpo (K,‖·‖) tal que K ⊂ K densamente.

Definición 1.1.17 (Completación de un cuerpo métrico). Sea (K,‖·‖) uncuerpo métrico. Sean C,N los subanillos de todas las sucesiones de Cauchyy de todas las sucesiones finalmente nulas, respectivamente. Definimos elcociente de anillos K := C/N como la completación de K.

Nota 1.1.18. La norma ‖·‖ : K → R+, sobre la completación de K estádefinida tal que para todo (xn) +N ∈ K:∥∥(xn) +N

∥∥ = lımn→∞‖xn‖ .

Dado que(Q, d(x, y) = ‖x− y‖p

)es un espacio métrico. La completación

de Q con respecto al valor absoluto usual conduce a R. La completación deQ con respecto a ‖ · ‖p se obtiene adjuntado a Q los límites de las sucesionesde Cauchy con respecto a ‖·‖p, y esta completación se conoce como el cuerpode los números p-ádicos, y se denota por Qp.


Lema 1.1.19. Sea (Q, ‖ · ‖p) el cuerpo de números racionales y sea Qp sucompletación. Sea ψ : Q→ Qp tal que:

ψ(r) = (r, r, . . . ) +N ,

donde (r, r, . . . )+N es el coset por izquierda de Qp, que claramente contienela sucesión constante (r, r, . . . ). Entonces ψ es un monomorfismo de anillosque preserva distancias.

Demostración. Veamos lo siguiente:

� ψ es homomorfismo: nótese que ψ = φ ◦ ψ, donde φ : C → Qp,ψ : Q→ C están definidas por:

ψ(r) = (r, r, . . . ), y φ((xn)) = (xn) +N ,

que son homomorfismos. Luego, ψ es homomorfismo (pues es composi-ción de homomorfismos).

� ψ es inyectivo: sean r1, r2 ∈ Q tales que ψ(r1) = ψ(r2), luego:

(r1, r1, . . . ) +N = (r2, r2, . . . ) +N ,

es decir:

(r1, r1, . . . )− (r2, r2, . . . ) ∈ N ⇔ (r1 − r2, r1 − r2, . . . ) ∈ N ,

luego lımn→∞ a− b = 0, es decir a = b.

� ψ preserva distancias: sean r1, r2 ∈ Q, luego:

‖ψ(r1)− ψ(r2)‖p = ‖ψ(r1 − r2)‖p= ‖(r1 − r2, r1 − r2, . . . ) +N‖p= lım

n→∞‖r1 − r2‖p (por definición)

= ‖r1 − r2‖p.


Lema 1.1.20. Sea (Q, ‖ · ‖p) el cuerpo de números racionales y sea (xn) ∈ C.Entonces (xn) converge en Q si, y sólo si, existe r ∈ Q tal que(xn) ∈ (r, r, . . . ) +N .

Demostración.

lımn→∞

‖xn − r‖p = 0⇔ (xn − r) ∈ N

⇔ (xn)− (r, r, . . . ) ∈ N⇔ (xn) ∈ (r, r, . . . ) +N .

Teorema 1.1.21. (Q, d(x, y) = ‖x − y‖p) y (Q, d(x, y) = |x − y|) no sonespacios completos.

Demostración. Notemos primero que Q es un conjunto contable y que Qp

es no contable (úsese el mismo argumento de la diagonal de Cantor sobre larepresentación p-ádica de Zp). Sean C,N subanillos sobre (Q, ‖ · ‖p), respec-tivamente.

Por definición Qp = C/N . Luego, definamos ψ := Q→ Qp como:

ψ(r) = (r, r, . . . ) +N ,

que por el Lema1.1.19, es un monomorfismo que preserva distancias. Ademásψ no es sobreyectivo (pues Qp no es contable), luego existe una sucesión (xn)en C tal que (xn) +N /∈ ψ(Q) que por el Lema 1.1.20, se tiene que (xn) noes convergente en (Q, ‖ · ‖p).

Ejemplo 1.1.22. Damos un procedimiento que nos permitirá ver de maneraanalítica la no-completitud de Q. Tomemos p 6= 2 y (Q, d(x, y) = ‖x− y‖p).Construyamos una sucesión de Cauchy que no converge en Q con la normap-ádica. El procedimiento es algorítmico. Para esto, iniciamos tomando unnúmero, llamémoslo a tal que:

� a no es cuadrado en Q

� p - a

� a es residuo cuadrático módulo p. i.e., x2 ≡ a (mod pn) tiene solución.

Una forma de hallar a es tomar un cuadrado en Z y sumarle un múltiplode p. Así, construiremos la sucesión (xn) de la siguiente manera:

� Tomamos x0 solución de x2 ≡ a (mod p)


� Construimos a x1 tal que x1 ≡ x0 (mod p) y además x21 ≡ a (mod p2)

� Recursivamente, construimos xn tal que:

xn ≡ xn−1 (mod pn) y x2n ≡ a (mod pn+1)

Veamos que (xn) es de Cauchy; nótese que:

‖xn+1 − xn‖p = ‖kpn‖p 6 ‖pn‖p = p−n → 0,

cuando n → ∞; que, por la caracterización 1.1.15 se tiene que (xn) es deCauchy. Veamos que no es convergente en Q; nótese que:

‖x2n − a‖p = ‖spn+1‖p 6 ‖pn+1‖p 6 p−(n+1) → 0,

cuando n→∞. Luego, si lımn→∞ xn existiera, tendría que ser√a. Pero a no

es cuadrado en Q, lo cual contradice el hecho de que a no es cuadrado en Q.

Ejemplo 1.1.23. Para el caso del valor absoluto usual sobre Q, considéresela sucesión (an) definida por

an =fn+1

fn.

Donde (fn) es la sucesión de números de Fibonacci. Un resultado conocidoes el siguiente:

lımn→∞

an =1 +√

5

2.

Entonces (an) es una sucesión de Cauchy que no converge en Q.

1.1.1. Algunas propiedades topológicas de Qp

Las normas p-ádicas pueden extenderse al espacio n dimensional Qnp to-

mando‖x‖p := max

16i6n‖xi‖p, para x = (x1, . . . , xn) ∈ Qn

p .

Así, Qnp con la distancia d(x, y) = ‖x − y‖p es un espacio métrico cuyas

distancias pertenecen al conjunto discreto {pγ} ∪ {0}, con γ ∈ Z; entonces,los abiertos básicos están definidos por:

Bnγ (a) = {x ∈ Qp : ‖x− a‖p < pγ}, γ ∈ Z.


Nota 1.1.24. Bnγ (a) es un grupo aditivo, ya que la norma ultramétrica de sus

elementos dan la clausura. Además las propedades de asociatividad, identidade inverso se tienen gracias a su construcción.

Así, también podemos definir la esfera n-dimensional con centro en a ∈ Qnp

y radio pr como:

Snr (a) = {x ∈ Qnp : ‖x− a‖p = pr}, r ∈ Z.

Además Snγ (a) ={x : ‖x− a‖p = pγ

}= Bn

γ (a)\Bnγ−1(a) y Bn

γ (a) ⊂ Bnγ′(a)

siempre que γ < γ′, luego

Bnγ−1(a) =

{x : ‖x− a‖p < pγ

}, Bn

γ (a) =⋃γ′6γ S

nγ′(a)⋃

γ Bnγ (a) =

⋃γ S

nγ (a) = Qn

p − {0},⋂γ B

nγ (a) = {a} ,

con γ ∈ Z.Cabe notar que B0(0) = Zp es el conjunto de los enteros p-ádicos, S0(0) =

Z×p es el grupo multiplicativo de los elementos invertibles en Zp y B−1 = pZpes el ideal maximal de Zp (ver la siguiente sección).

La topología de Qp tiene diferencias sorprendentes cuando se compara conla topología de R, esto es consecuencia de la desigualdad triangular fuerte(ya que el principio arquimediano no es válido en Qp) y como consecuencia,obtenemos propiedades simples e interesantes. Nos permitimos mencionaralgunas.

Teorema 1.1.25. � Si b ∈ Br(a), entonces Br(a) = Br(b). En otraspalabras todo punto de una bola abierta es centro de la misma;

� Toda bola es a su vez, un conjunto cerrado y abierto;

� Dos bolas en Qp son disyuntas o una contiene a la otra; es decir, sia, b ∈ Qp, y r, s ∈ Z, se tiene que Br(a) ∩ Bs(b) 6= ∅ si, y sólo si,Br(a) ⊆ Bs(b) o Bs(b) ⊆ Br(a);

Demostración. � Por definición: b ∈ Br(a) si, y sólo si, ‖b − a‖p < r.Ahora, sea x ∈ Br(a). Luego, la desigualdad triangular fuerte nos diceque:

‖x− b‖p 6 máx{‖x− a‖p, ‖b− a‖p} < pr,

luego, x ∈ Br(b). Entonces Br(a) ⊆ Br(b). Análogamente, se demuestrala otra contenencia, entonces Br(a) = Br(b).

� La bola Br(a) es abierta en Qp, veamos que es cerrada: sea x ∈ B(a, r)y s 6 r, tal que Br(a) ∩Bs(x) 6= ∅. Luego existe y tal que:

y ∈ Br(a) ∩Bs(x).


Entonces ‖y − a‖p < pr, y ‖y − x‖p < ps, aplicando la desigualdadtriangular fuerte tenemos que:

‖x− a‖p 6 máx{‖x− y‖p, ‖y − a‖p} < pmáx{s,r} 6 pr,

es decir x ∈ Br(a).

� Sin pérdida de generalidad, sea r 6 s. Si la intersección no es vacía,existe c ∈ Br(a)∩Bs(a). Ahora por (1.1.25), sabemos queBr(a) = Br(c)y Bs(b) = Bs(c). Luego:

B(a, r) = B(c, r) ⊆ B(c, s) = B(b, s).

Nota 1.1.26. Un resultado conocido en topología es que todo espacio mé-trico es un espacio de Hausdorff. En particular Qp es de Hausdorff. Ver porejemplo [15].

Teorema 1.1.27. {Bγ(a) : r ∈ Z, a ∈ Qp} es contable.

Demostración. Veamos que cada número p-ádico a se relaciona con un racio-nal a (de ser esto posible, se tiene que es contable, pues, el conjunto de nú-meros racionales es contable). Sea a ∈ Qp escribámoslo tal que: a = a+ζp−γ,con ζ ∈ Zp y a =

∑−γ−1k=−m akp

k ∈ Q. Por el Teorema 1.1.1 ítem 1, veamos queBγ(a) = Bγ(a). Sea x ∈ Bγ(a), entonces:

‖x−a‖p 6 pγ ⇔ ‖pγ(x−a)‖p 6 1⇔ ‖pγx−pγa‖p 6 1⇔ ‖pγx−apγ−ζ‖p 6 1,

es decir, ‖pγ(x−a)−ζ‖p 6 1. Si ‖pγ(x−a)‖p = ‖ζ‖p entonces ‖pγ(x−a)‖p 6 1,en donde se sigue que ‖x−a‖p 6 pγ, y así a es centro, es decir, Bγ(a) = Bγ(a).Si ‖pγ(x−a)‖p 6= ‖ζ‖p, entonces ‖pγ(x−a)−ζ‖p 6 máx{‖pγ(x−a)‖p, ‖−ζ‖p},luego ‖pγ(x− a)‖p 6 1 lo cual implica que ‖x− a‖p 6 pγ, y así a es centro,es decir, Bγ(a) = Bγ(a).

Teorema 1.1.28. Qp es un espacio localmente compacto.

Demostración. Veamos que las bolas cerradas en Qp son compactas. Es su-ficiente con ver que las bolas centradas en 0 lo son. Sea Bγ(0), con γ ∈ Z,luego:

Bγ(0) = {x ∈ Qp : ‖x‖p < pγ}

={ ∞∑k=γ

akp−k : ak ∈ {0, . . . , p− 1}

}.


Ahora, tomemos D = {0, . . . , p − 1} y dotémoslo con la topología discreta.Nótese que el espacio producto Dω es compacto (de hecho es un conjunto deCantor en p = 3). Veamos que Bγ(0) como subespacio de Qp es homeomorfoa Dω. Sea φ : Dω → Bγ(0) tal que:

φ((ak)k∈ω) =∞∑k=γ

ak−γp−k,

que es biyectiva con inversa φ−1 : Bγ(0)→ Dω definida por:

φ−1( ∞∑k=γ

akp−k)

= (ak+γ)k∈ω.

Nótese que Bγ(0) tiene como base un conjunto de bolas abiertas de la formaBε(x) donde x ∈ Bγ(0) y ε > γ. Fijemos una de esas bolas, sea Bε(x) con x =∑∞

k=γ akp−k. Si y ∈ Bγ(0) tal que y =

∑∞k=γ bkp

−k, entonces ‖x− y‖p = p−m,con m = mın{k > γ : ak 6= bk}. Así y ∈ Bε(x) si, y sólo si, m > ε. Es decir:

Bε(x) ={y ∈ Bγ(0) : mın{k > γ : ak 6= bk} > ε

},

por lo tanto:

φ−1(Bε(x)) = {(bk+γ)k∈ω : ak+γ = bk+γ}, para todo k < ε− γ,

que es un abierto básico en el espacio producto Dω. Así, φ se una biyeccióncontinua. Además, los conjuntos de la forma φ−1(Bε(x)) son base para Dω,y así, el mismo cómputo será válido para mostrar que φ−1 es continua, luegoφ es homeomorfismo, por lo tanto toda bola cerrada es compacta, lo cualimplica a su vez que Qp es localmente compacto.

Definición 1.1.29. Decimos que un espacio topológico es conexo si no puedeser escrito como la unión de dos abiertos disyuntos no vacíos. Por otro lado,decimos que un espacio es disconexo si es la unión de dos abiertos disyuntosno vacíos.

Definición 1.1.30. Los subconjuntos conexos maximales de un espacio to-pológico son llamados componentes conexos.

Definición 1.1.31. Decimos que un espacio topológico es totalmente disco-nexo si todas sus componentes conexos son singletons.

Teorema 1.1.32. Qp es totalmente disconexo.


Demostración. Veamos que para todo x ∈ Qp, la componente conexa Cx dex es el singleton {x}. Sea x ∈ Qp y supongamos que {x} ( Cx. Luego existeγ ∈ N tal que Bγ(x) ∩ Cx 6= Cx. Nótese que:

Cx = (Bγ(x) ∩ Cx) ∪ ((Qp \Bγ(x)) ∩ Cx),lo cual es la unión disyunta de dos abiertos, luego Cx es disconexo, contra-dicción. Entonces Cx = {x}, es decir, Qp es totalmente disconexo.

Teorema 1.1.33. N es denso en Zp.

Demostración. Sea x = · · · a2a1a0 ∈ Zp. Considérese la sucesión (xn) en Ndefinida como:

xn = 000anan−1 · · · a2a1a0 =n∑k=0

akpk,

luego ‖x− xn‖p 6 p−n.

Lema 1.1.34. Sean x, y ∈ Qp tales que ‖x‖p 6=‖y‖p . Entonces:

‖x+ y‖p = máx{‖x‖p ,‖y‖p}

Demostración. Sin pérdida de generalidad, sea ‖x‖p <‖y‖p, luego

‖x+ y‖p 6‖y‖p .

Por otro lado

‖y‖p =‖y + x− x‖p6 máx{‖x+ y‖p ,‖x‖p}, como ‖x‖p 6‖y‖p6‖x+ y‖p .

Entonces‖x+ y‖p =‖y‖p .

Un resultado simple, pero sorprendente, es el siguiente:

Corolario 1.1.35. Todos los triángulos en Qp son isósceles.

Demostración. Sean x, y, z ∈ Qp distintos, luego:

‖x− y‖p = ‖x− y + z − z‖p = ‖(x− z) + (z − y)‖p= máx{‖x− z‖p, ‖z − y‖p}, por 1,1,34. Ver Figura 1.2.


y z

x

‖x− z‖p‖x− y‖p

‖z − y‖p

Figura 1.2: Todos los triángulos en Qp son isósceles

1.1.2. Relación de Qp con RCabe preguntarse si existe alguna relación entre los números p-ádicos y

los números reales; lo cual es cierto, ya que existe una correspondencia conlos Conjuntos de Cantor, los cuales sólo nombraremos. Ver por ejemplo [1].

Así, tomaremos el camino de relacionar estos dos conjuntos a través deuna función ρ : Qp → R+ conocida como Monna map, definida por:

ρ :∞∑j=γ

xjpj →

∞∑j=γ

xjp−j−1, xj = 0, 1, . . . , p− 1, γ ∈ Z, (1.1.8)

que es una función continua, sobreyectiva pero no inyectiva. Además satisfacelas siguientes propiedades

� |ρ(x) − ρ(y)| 6 ‖x − y‖p, para todo x, y ∈ Qp. Es decir, ρ satisface ladesigualdad de Hölder,

� ρ (pγx) = p−γρ(x), para todo x ∈ Qp.

Demostración. la propiedad 2 es clara por la construcción de ρ, luego proba-remos 1. Sean x =

∑∞j=α xjp

j, y =∑∞

j=β yjpj números p-ádicos. Sin pérdida

de generalidad sea α 6 β. Luego

ρ(x)− ρ(y) =

β−1∑j=α

xjp−j−1 +

∞∑j=β

(xj − yj

)p−j−1.

Si α < β, entonces:

|ρ(x)− ρ(y)| 6 (p− 1)∞∑j=α

p−j−1 = p−α = ‖x− y‖p.

1.2. ARITMÉTICA P -ÁDICA 19

Si α = β, entonces ‖x− y‖p = p−γ, con γ > α. Así

ρ(x)− ρ(y) =∞∑j=γ

(xj − yj

)p−j−1,

además

|ρ(x)− ρ(y)| 6 (p− 1)∞∑j=γ

p−j−1 = p−γ = ‖x− y‖p.

1.2. Aritmética p-ádicaAquí, nos adentramos en lo que concierne al cómputo de números p-ádicos,

pues su representación en secuencia de dígitos da la posibilidad de utilizarel sistema numérico para codificar información. Por ejemplo, en ciencias dela computación, criptografía para ser exactos, se observó que la dinámica delos números p-ádicos está relacionada a las instrucciones de un computadorpara generar números aleatorios rápidamente. Ver por ejemplo [2].

1.2.1. Expansiones p-ádicas

Dado que todo número entero n ∈ Z, puede ser escrito en base p, es decir,como la suma finita

n =l∑

i=0

aipj, con xi ∈ {0, 1, . . . , p− 1} y p fijo,

podemos, de manera algorítmica, calcular los coeficientes asociados al enteropositivo n como sigue:

a0 = n mod p =⇒ n1 =n− a0p

,

a1 = n1 mod p =⇒ n2 =n1 − a1

p,

a2 = n2 mod p =⇒ n3 =n2 − a2

p,

...

así, la representación de un entero p-ádico por dígitos está dada por 1.1.1

n = al . . . a3a2a1a0p,

y su representación es conocida como el Código de Hensel de n.


Ejemplo 1.2.1. Sea n = 5353 y sea p = 5, entonces la representación p-ádicade 5353 en base 5 está dada por:

a0 = 5353 mod 5 = 3 =⇒ n1 =5353− 3

5= 1070,

a1 = 1070 mod 5 = 0 =⇒ n2 =1070− 0

5= 214,

a2 = 214 mod 5 = 4 =⇒ n3 =214− 4

5= 42,

a3 = 42 mod 5 = 2 =⇒ n4 =42− 2

5= 8,

a4 = 8 mod 5 = 3 =⇒ n5 =8− 3

5= 1,

a5 = 1 mod 5 = 1 =⇒ n6 =1− 1

5= 0.

Y en notación 5-ádica: 5353 = 1324035.

En otras palabras, el código de Hensel de 5353 es 1324035.

Más adelante (Proposición 1.2.16) veremos que un número p-ádico tieneuna representación

x =∞∑

j=−N

ajpj,

donde aj ∈ {0, . . . , p− 1}. Nótese que la serie

1 + p+ p2 + p3 + · · ·converge a 1

1−p en la norma p-ádica .

Ejemplo 1.2.2. Por ejemplo, consideremos x tal que su serie de expansiónes

x = 2 + 3p+ p2 + 3p3 + p4 + 3p5 + p6 + · · ·= 2 + 3p

(1 + p2 + p4 + · · ·

)+ p2

(1 + p2 + p4 + · · ·

)= 2 +

(3p+ p2

) (1 + p2 + p4 + · · ·

),

y como 1 + p2 + p4 + · · · converge a(1− p2

)−1, tenemos

x = 2 +3p+ p2

1− p2.

Como caso particular, tomando p = 5, tenemos que

x = 2 +3 · 5 + 52

1− 52=

1

3,

por lo tanto, la expansión 5-ádica de 13es · · · 13131325.


Ejemplo 1.2.3.

14,315 = 1 · 5−2 + 3 · 5−1 + 4 · 50 + 1 · 51 = 241/25

14135 = 1 · 50 + 3 · 51 + 4 · 52 + 1 · 53 = 241

143105 = 0 · 50 + 1 · 51 + 3 · 52 + 4 · 53 + 1 · 54 = 1205

1.2.2. Suma

Sean α = (ai) y β = (bi) dos enteros p-ádicos, entonces, podemos definirla suma como una sucesión (ci) de dígitos p-ádicos y una sucesión (εi) en{0, 1} (usualmente conocidos como carries en la aritmética convencional desecundaria), tales que:

� ε0 = 0,

� ci = ai + bi + εi ó ci = ai + bi + εi − p, donde alguno de los dos es undígito p-ádico; es decir, ci ∈ {0, . . . , p−1}. Dado el caso de ci se tendráque εi+1 = 0 o εi+1 = 1.

Ejemplo 1.2.4. Tomando p = 7, se tiene:

· · · 2 5 1 4 1 3

+ · · · 1 2 1 1 0 2

· · · 4 0 2 5 1 5

Esta suma en los enteros p-ádicos es asociativa, conmutativa y ademássatisface que k + 0 = k (donde 0 es el entero p-ádico con dígitos 0’s).

Ejemplo 1.2.5. 0− 1 en los 7-ádicos:

· · · 0 0 0 0 0 0

− · · · 0 0 0 0 0 1

· · · 6 6 6 6 6 6

Esto quiere decir que −1 = · · · 6667.

Luego, se sigue inmediatamente de la propiedad ultramétrica que los en-teros p-ádicos forman un grupo abeliano con la suma y más generalmenteBγ(a), con γ ∈ Z forman un grupo aditivo.


Representación de números negativos

Si x =∑∞

i=γ aipi, entonces −x =

∑∞i=γ bip

i, donde bγ = p − aγ ybi = (p− 1)− ai con i > γ.

Ejemplo 1.2.6. Con p = 5

1

3= · · · 13131325 ⇒ −

1

3= · · · 31313135,

5

3= · · · 131313205 ⇒ −

5

3= · · · 313131305.

Ya construida la suma, se le puede dar sentido a la operación multipĺicar.p-ádicos.

1.2.3. Multiplicación

Definición 1.2.7. Un número p-ádico es llamado unidad si no es múltiplode una potencia negativa de p y su primer dígito no es 0.

Ejemplo 1.2.8. Los números · · · 3145 y · · · 245 son unidades, mientras que· · · 3105 y · · · 1321,245 no lo son.

Así, un número p-ádico no-unidad x =∑∞

j=−N ajpj es un número que

puede escribirse de la forma x = u · p−N donde u es un número unidad. Porejemplo

· · · 4105 = · · · 415 · 51

· · · 1321,245 = · · · 1321245 · 5−2.

Así, tomando los números p-ádicos no-unidad x = u · p−N1 y y = v · p−N2 conu, v unidades, definimos la multiplicación x ·y = u ·v ·p−(N1+N2). Es decir, queel problema se reduce a aplicar el método de multiplicación de secundariasobre u, v unidades.


Ejemplo 1.2.9. Con p = 7, sea u = · · · 2514137 y v = · · · 1211027 númerosunidades. Luego

· · · 2 5 1 4 1 3

× · · · 1 2 1 1 0 2

· · · 5 3 3 1 2 6

· · · 0 0 0 0 0

· · · 1 4 1 3

· · · 4 1 3

· · · 2 6

+ · · · 3

· · · 3 1 0 4 2 6

Así, u · v = · · · 2514137 × · · · 1231027 = · · · 3104267.

1.2.4. División

Los cálculos de divisiones en los enteros p-ádicos no difieren de los métodostradicionales de división.

Ejemplo 1.2.10. Tomando p = 7, calculemos ···4217···1537:

5 1 6 · · ·3 5 1

)1 2 4 · · ·1 6 1 · · ·

3 2 · · ·3 5 · · ·

4 · · ·4 · · ·

· · ·

Luego, ···4217···1537 = · · · 6157, ver por ejemplo [11].

Nota 1.2.11. Los anteriores procedimientos de multiplicación y división,hechos sobre Zp pueden ser extendidos de manera natural a Qp, pues elproblema se reduce a operar números unidades.


Ejemplo 1.2.12. Al momento de multiplicar los números no-unidades, sean

x = · · · 2514,137 = · · · 2514137 · 7−2 = u · 7−2,y = · · · 121,1027 = · · · 1211027 · 7−3 = v · 7−3,

con u, v como en el ejemplo 1.2.9. Luego

x · y = u · v · 7−(2+3).

Por el ejemplo 1.2.9, tenemos que u · v = · · · 3104267, luego

x · y = · · · 3104267 · 7−5 = 3,104267.

1.2.5. Sucesiones y series de números p-ádicos

Teorema 1.2.13. Si

lımn→∞

xn = x, con xn, x ∈ Qp y ‖x‖p 6= 0,

entonces la sucesión (‖xn‖p)n∈N se estabiliza, es decir, existe N ∈ N tal que:

‖xn‖p = ‖x‖p, para todo n > N.

Demostración. Por definición de límite, se tiene que existe un N > 0 tal que:

‖xn − x‖p < ‖x‖p, para todo x y n > N,

Luego:

‖xn‖p = ‖xn + x− x‖p 6 máx{‖xn − x‖p, ‖x‖p} = ‖x‖p.

Consideremos ahora la serie:∞∑j=1

xj, xj ∈ Qp. (1.2.1)

Decimos que la serie converge, si la sucesión de sumas parciales Sn =∑n

j=1 xjconverge en Qp, y que converge absolutamente si

∑∞j=1 ‖xj‖p converge en R.

Además convergencia absoluta implica convergencia.

Teorema 1.2.14. Una serie∑∞

j=1 xj, xj ∈ Qp converge en Qp, si, y sólo si,lımn→∞ xn = 0. En tal caso:

‖∞∑j=1

xj‖p 6 máxj‖xj‖p.


Demostración. � (⇒) Si S = 0, no hay nada que probar. En otro caso,por 1.1.7, se tiene que ‖S‖p = ‖SN‖p para algún N muy grande. lo cualimplica que xn → 0, luego:

‖S‖p = ‖SN‖p 6 máx16j6N‖xj‖p = máxj‖xj‖p.

� (⇐) La serie converge si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales (Sn)converge. Además xn = Sn+1 − Sn, entonces en virtud del teorema1.1.15 la serie converge si, y sólo si, xn → 0.

Ejemplo 1.2.15. En Qp tenemos que:∞∑n=1

n2(n+ 1)! = 2.

Veamos por inducción que la n-ésima suma parcial de la anterior serie, satis-face:

N∑n=1

n2(n+ 1)! = 2 + (N − 1)(N + 2)!.

Caso N = 1 :

1∑n=1

n2(n+ 1)! = 1 · 2 = 2 = 2 + (1− 1)(1 + 2)!,

Luego, supongamos que la ecuación es válida para N , veamos que es válidapara N + 1:

N+1∑n=1

n2(n+ 1)! =N∑n=1

n2(n+ 1)! + (N + 1)2(N + 2)!

= 2 + (N − 1)(N + 2)! + (N + 1)2(N + 2)!

= 2 + (N + 2)!(N − 1 +N2 + 2N + 1

)= 2 +N(N + 3)!

.

Dado que ‖(N + 2)!‖p → 0, cuando N →∞, entonces:∥∥∥∥∥∞∑n=1

n2(n+ 1)!− 2

∥∥∥∥∥p

= lımN→∞

‖2 + (N − 1)(N + 2)!− 2‖p = 0.

Desde el año 1971 se abrió el siguiente problema: ¿Puede ser∑∞

n=0 n!un número racional para algún primo p? Por ahora, se sabe que

∑∞n=0 n!

converge en cada Qp. Pero nada se sabe de su valor.


Figura 1.3: 2-ádicos: representación de los 2-ádicos de la forma∑4

k=−4 ak2k.

Para una comprensión más detallada, ver 2.

1.3. CONSTRUCCIÓN VÍA ÁLGEBRA 27

Proposición 1.2.16. Todo número p-ádico se puede escribir de manera úni-ca como la suma de una serie convergente en Qp de la forma:

∞∑k=−∞

akpk, con ak ∈ {0, . . . , p− 1} (1.2.2)

y en donde ak = 0, para k 6 −N y a−N 6= 0. A −N se le denomina el ordendel número. Ver por ejemplo [1].

La parte fraccionaria de x ∈ Qp, denotada como {x}p, es el siguientenúmero racional:

{x}p :=

0 si x = 0, u Ord(x) > 0

pv|v|−1∑j=0

xjpj si Ord(x) < 0.

Así, para todo x ∈ Qp

x =−1∑i=v

aipi +

∞∑i=0

aipi

=: {x}p + [x]p.

1.3. Construcción vía álgebra

El conjunto

Zp = {x ∈ Qp : |x|p 6 1} = {x ∈ Qp : x =∞∑i=i0

aipi, i0 > 0},

es llamado el conjunto de los enteros p-ádicos.

Teorema 1.3.1. Zp es un subanillo de Qp.

Demostración. sean x, y ∈ Zp, luego ‖x + y‖p 6 max{‖x‖p, ‖y‖p} 6 1 y‖xy‖p = ‖x‖p‖y‖p 6 1, luego x + y ∈ Zp y xy ∈ Zp. Además ‖1‖p =1, lo cual implica que 1 ∈ Zp. También se tiene inverso aditivo −x, pues‖ − x‖p = ‖ − 1‖p‖x‖p 6 1, es decir, −x ∈ Zp.

Proposición 1.3.2. Un entero p-ádico x =∑∞

i=i0aip

i, i0 > 0 es invertibleen Zp si, y sólo si, a0 6= 0. Ver por ejemplo [10, 16].


Así, el grupo de los números invertibles en Zp está dado por:

Z×p ={x ∈ Zp : ‖x‖p = 1

}={x ∈ Zp : x =

∞∑k=0

xkpk, x0 6= 0

},

que es un grupo multiplicativo del anillo Zp. Luego, para todo x ∈ Z×p setiene que ‖x‖p = 1, y estos elementos son llamados unidades de Qp (tal comolo vimos en la sección de aritmética).

Ejemplo 1.3.3. 1− p es invertible en Zp, pues su inverso es∑∞

k=0 pk = 1

1−p .

Por definición, un ideal es maximal si no está estrictamente contenido enun ideal. Un ideal principal por izquierda I de un anillo R es el ideal tal queI = rR para algún r ∈ R.

Proposición 1.3.4. El anillo Zp es un dominio de ideales principales. Másexactamente, cualquier ideal de Zp tiene la forma

pmZp ={x ∈ Zp : x =

∑i>m

aipi}, m ∈ N.

Ver por ejemplo [10, 16].

AsíZp ⊃ pZp · · · ⊃ pkZp ⊃ · · · ⊃

⋂k>0

pkZp = {0}

Desde el punto de vista geométrico los ideales de la forma pmZp, m ∈ N,forman un sistema fundamental de vecindades del origen en Qp.

Además, Zp es un anillo local, cuyo ideal maximal es:

pZp = {x ∈ Zp : ‖x‖p < 1}.

Sea x =∑∞

k=0 aikpk un entero p-ádico, considérese la aplicación:

π1 :Zp → Z/pZx 7→ a0 (mod p),

y nótese que es un homomorfismo de anillos. Luego, de manera más general,podemos definir:

πn : Zp → Z/pnZ

x 7→n−1∑k=0

akpk (mod pn),

1.3. CONSTRUCCIÓN VÍA ÁLGEBRA 29

que también es un homomorfismo de anillos. También, se puede obsevar queπn(x) ≡ πn+1(x) (mod pn), pues

n∑k=0

akpk −

n−1∑k=0

akpk = anp

n.

Más generalmente, se tiene que πn(x) ≡ πm(x) (mod pn), siempre quem > n.Ahora, definimos el siguiente homomorfismo:

π :Zp →∞∏n=0

Z/pnZ

x 7→ (π1(x), π2(x), . . . ).

Dado que el rango de π es un subanillo de sucesiones (y1, y2, . . . ) quesatisfacen que yn+1 ≡ yn (mod pn), definimos a lim←−n Z/p

nZ como el rango deπ. Y es conocido como el límite proyectivo de los cuerpos Z/pnZ.

Ahora, consideremos una sucesión en (y1, y2, . . . ) ∈ lim←−n Z/pnZ. Sea xn

un entero en {0, . . . , pn−1} tal que xn ≡ yn (mod pn) y escribámoslo en basep:

xn =n−1∑k=0

a(n)k pk.

Nótese que la expansión acaba en el término que contiene n−1, pues xn < pn

por construcción. La condición xn+1 ≡ xn (mod pn) implica que a(n+1)k = a

(n)k

para todo k ∈ {0, . . . , n−1}. Es decir, para un k fijo, se tiene que la sucesión(a

(n)k )n>k converge, digamos, a un ak. Ahora, por la anterior construcción,

definimos:

φ : lim←−n

Z/pnZ → Zp

(y1, y2, . . . ) 7→ . . . a2a1a0,

como la inversa de π restringida al rango.Luego, π es un isomorfismo, y así:

Zp ∼= lim←−n

Z/pnZ.

Nota 1.3.5. Zp es un anillo sin divisores de 0, luego podemos obtener elcampo de fracciones de Zp para obtener

Qp = Frac(Zp).


Además Qp = Zp[1p ], pues

Zp[x] ={ N∑

i=0

aixi, ai ∈ Zp, N ∈ N

}={ N∑

i=0

( ∞∑k=0

aikpk)xi}, aik ∈ {0, · · · , p− 1}.

Luego:

Zp[1

p

]={ N∑

i=0

( ∞∑k=0

aikpk)p−i}, aik ∈ {0, · · · , p− 1}.

1.4. Sobre Diferenciación e Integración

1.4.1. La derivadas y primitivas p-ádicas

En los números p-ádicos no es posible definir una derivada local o puntual,pues normalmente definimos:

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h.

Pero el anterior límite no tiene sentido definirlo, ya que el numerador es unnúmero complejo en el caso más general, mientras que el denominador es unnúmero p-ádico. Así, el cociente no está definido en un mismo espacio; poresta razón debemos recurrir a una definición alternativa.

Definición 1.4.1. Una función f : Bγ ⊆ Qp → Qp se dice analítica si sepuede expandir como una serie de potencias convergente en

f(x) =∞∑n=0

anxn,

con x ∈ Bγ, an ∈ Qp.

Para m = 0, 1, 2, . . . podemos diferenciar término a término y obtener lassiguientes series:

f (m)(x) =∞∑n=m

n(n− 1) · · · (n−m+ 1)anxn−m,

1.4. SOBRE DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN 31

f (−m)(x) =∞∑n=0

1

(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+m)anx

n+m.

Las cuales son llamadas derivadas y primitivas, respectivamente. Este tipode funciones no serán de particular interés en el desarrollo de este trabajo,luego cabe considerar funciones de valor complejo. Ver por ejemplo [1].

1.4.2. Integración

Como vimos al final de la sección 1.1.1, (Qp,+) es un grupo topológicolocalmente compacto. Así, un resultado conocido en teoría de la medida es-tablece que (Qp,+) tiene una única medida dx (ver por ejemplo [7]), llamadala medida de Haar de Qp. Así nos permitimos introducir la definición deintegral sobre Qp.

Definición 1.4.2. Decimos que una función f : Qp → C es integrable en Qp

si existelımN→∞

∫BN

f(x)dx.

Por notación, decimos que f ∈ L1(Qp).

Además como BN = BN(0) = ∪γSγ(0), se tiene que si f es integrable,entonces: ∫

BN

f(x)dx =N∑

γ=−∞

∫Sγ

f(x)dx,∫Sγ

f(x)dx =

∫Bγ

f(x)dx−∫Bγ−1

f(x)dx.

Capítulo 2

Modelando números p-ádicos

2.1. La clase NúmeroComo se mostramos en el capítulo 1, la representación estándar de un

número en Qp está dada por:

∞∑k=−∞

akpk, con ak ∈ {0, . . . , p− 1} y ak = 0, para k 6 −N . (2.1.1)

Para modelar estas representaciones, se hace necesario restringirnos alcaso de sumas finitas, luego, las principales características del número lasrepresentamos por medio de atributos y métodos.

2.1.1. Diseño

Definimos la clase Número (Number) como sigue:

Cuadro 2.1: clase Número (number).

NumberAtributo Tipo Descripción

p integer Número primon integer Número entero negativo tal que pn 6 ‖x‖pN integer Número entero positivo tal que ‖x‖p 6 pN

Método Tipo-retorno Funciónshow () void Muestra los dígitos del númeroorder () integer Retorna el orden del número. Ver 1.1.8 y 1.2.16.len () integer Retorna la cantidad de dígitos del númeronorm () float Calcula la norma del número. Ver 1.1.8

33

34 CAPÍTULO 2. MODELANDO NÚMEROS P -ÁDICOS

Así, la representación del número será de la forma:

x = a−n · · · a0 · · · a−Np (2.1.2)

Para la implementación, ver por ejemplo 1.2.16

2.1.2. Ejemplos de uso

Sea x = 342,5367 = 6 · 7−3 + 3 · 7−2 + 5 · 7−1 + 2 · 70 + 4 · 7 + 3 · 72 yrepresentémoslo como una instancia de la clase Número (Number). En estecaso p = 7, n = −3 y N = 2. Además satisface que p−3 6 ‖x‖p 6 p2. EnPython:

1 d i g i t s = [ 3 , 4 , 2 , 5 , 3 , 6 ]2 x = Number(7 ,−3 ,2 , d i g i t s ) #i n i t i a l i z a t i o n o f x3

4 x . show ( )5 >> [3 , 4 , 2 , 5 , 3 , 6 ]6

7 x . order ( )8 >> −29

10 x . norm ( )11 >> 4912

13 x . l en ( )14 >>6

Listing 2.1: Instancia de la clase Número (Number)

2.2. La clase GpnN

Dado que Qp es infinito, y tiene elementos con posibles infinitos dígi-tos, se hace necesario considerar un subconjunto finito, el cual modelaremossiguiendo un esquema de diseño orientado a objetos.

2.2.1. GpnN

Definimos a GpnN como un subconjunto de Qp tal que:

GpnN :={x ∈ Qp : x =

−n∑k=−N

akpk, ak ∈ {0, · · · , p− 1} y pn 6 ‖x‖p 6 pN

},

(2.2.1)

2.2. LA CLASE GpnN 35

donde n 6 0 y N > 0 y la representación por dígitos está dada por 2.1.2.Nótese que (GpnN ,+) es un grupo abeliano de oden pN−n+1. Esta noción

de grupo aditivo viene dada por el capítulo anterior, donde estudiábamosalgunas propiedades topológicas y asociábamos una estructura natural degrupo sobre las bolas {Bγ(0) : γ ∈ Z}. Luego, podemos pensar en GpnNcomo el cociente de los grupos aditivos Bn(0)/BN(0) (donde N > 0 y n 6 0son enteros). Sin embargo, nos gustaría tener un poco más de estructura,pero, la multiplicación y la división no son operaciones cerradas en GpnN .

2.2.2. Diseño

Definimos la clase GpnN como sigue:

Cuadro 2.2: Clase GpnN .

GpnNAtributo Tipo Descripción

p integer Número primon integer Número entero negativo tal que

pn 6 ‖x‖pN integer Número entero positivo tal que

‖x‖p 6 pN

numbers seq[number] Contenedor con números de laclase número (Number)

Método Tipo-retorno FunciónGpnN_export () void Crea un archivo con todos los po-

sibles números y sus normas p-ádicas

console_printing () void Imprime por consola los númerospertenecientes a este conjunto

p_sum (n1:number, n2:number) number Retorna la suma de dos númerosp_sub (n1:number, n2:number) number Retorna la resta de dos númerosp_mul (n1:number, n2:number) number Retorna el producto de dos núme-

rosp_div (n1:number, n2:number) number Retorna división de dos números

p_inverse (n:number) number Retorna el inverso multiplicativode un número

representation_tree () void Crea una imagen que representatodo el conjunto


2.2.3. Ejemplos de uso

Por notación−R = _R. Tomamos la instancia deGpnN , donde n = −3 = _3,N = 3 y p = 7. Así:

G7_33 ={x ∈ Qp : x =

3∑k=−3

ak7k, con ak ∈ {0, · · · , 6} y 7−3 6 ‖x‖p 6 73

}.

(2.2.2)

En Python:

1 G7_33 = GpnN(7 ,−3 ,3) #i n i t i a l i z a t i o n2 G7_33 . generate_numbers ( )

Listing 2.2: inicialización de la clase G7_33

La segunda línea genera todos los posibles números de la forma∑3

k=−3 ak7k y

los guarda en una lista de números de tipo Número (Number). En este caso,si quisiéramos visualizar los números asociados a G7_33 , podemos verloslistados usando el método console_printing de la clase GpnN .

1 G7_33 . conso l e_pr in t ing ( )2

3 >>[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ]4 >>[0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ]5 .6 .7 .8 >>[6 ,6 ,6 ,6 ,6 ,6 ,5 ]9 >>[6 ,6 ,6 ,6 ,6 ,6 ,6 ]

Listing 2.3: Visualización de números en G7_33

Nota 2.2.1. El orden de los números en GpnN coincide con el orden inducidoen R+ a través de la función 1.1.8 definida como Monna map.

Suma

Para sumar dos números, usamos un algoritmo simple de complejidadlineal. Este algoritmo necesita de la inicialización del conjunto con el quese vaya a computar. Por ejemplo, si quisieramos sumar x = 4324,3215 yy = 23,41235 construimos el mínimo GpnN que contenga a x, y.

Dado que x, y son de la forma x =∑3−3 ak5

k y y =∑1−4 bk5

k, el mínimoGpnN ⊂ Q5 que contiene a x, y es G5_34. Así efectuamos x+ y en Python:


1 G5_34 = GpnN(5 ,−3 ,4) #i n i t i a l i z a t i o n2

3 x_dig i t s = [ 4 , 3 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ]4 y_dig i t s = [ 0 , 0 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 ]5 x = Number(5 ,−3 ,4 , x_dig i t s )6 y = Number(5 ,−3 ,4 , y_dig i t s )7

8 x_plus_y = G5_34 .p_sum(x , y )9 x_plus_y . show ( )

10 >>[4, 4 , 0 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 ]

Listing 2.4: suma de números en G5_34

Así 4324,3215 + 23,41235 = 4403,23335.

Nota 2.2.2. En la línea 3 y 4 se agregaron ceros a los dígitos, ya quex = 4324, 3215 = 4324, 32105 y y = 23, 41235 = 0023, 41235.

Resta

Análogo a la suma, usamos un algoritmo de complejidad lineal paraefectuar la resta de dos números, como en el ejemplo anterior tomemosx = 4324,3215 y y = 23,41235. De nuevo, construimos el mínimo GpnN quecontenga a x, y y así G5_34 será el subconjunto de Q5 que contiene x, y.Luego x− y en Python:


3 x_dig i t s = [ 4 , 3 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ]4 y_dig i t s = [ 0 , 0 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 ]5

6 x = Number(5 ,−3 ,4 , x_dig i t s )7 y = Number(5 ,−3 ,4 , y_dig i t s )8

9 x_minus_y = G5_34 . p_sub(x , y )10 x_minus_y . show ( )11 >>[4, 3 , 0 , 0 , 4 , 0 , 3 , 2 ]

Listing 2.5: resta de números en G5_34

Así 4324,3215 − 23,41235 = 4300,40325.

Producto

Nota 2.2.3. Supongamos que se multiplica un número de m dígitos con otroque tiene n dígitos. Luego, el producto tiene a lo máximo m+ n dígitos. Sinembargo, realizar estos cómputos, representan costos (computacionalmente)


a medida que m,n se hacen grandes (cosa que no pasa con la suma). Lue-go, nos restringimos a hacer multiplicaciones en el conjunto donde se estétrabajando.

Para entender esta idea tomemos x = 3214,3453567 y y = 53452,1437.Nótese que el mínimo GpnN ⊂ Q7 que contiene a x, y es G7_46 . Lue-go el producto será de la forma

∑4−6 ak5

k. Es decir, el producto tendrá−n + N + 1 = −(−4) + 6 + 1 = 11 dígitos a lo más, y no 10 + 8 = 18que es la suma de la cantidad de dígitos de x, y respectivamente.

Siendo así, procedemos a calcular x · y en Python:


3 x_dig i t s = [ 0 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 4 , 5 , 3 , 5 , 6 ]4 y_dig i t s = [ 5 , 3 , 4 , 5 , 2 , 1 , 4 , 3 , 0 , 0 , 0 ]5


9 x_by_y = G7_46 . p_mul(x , y )10 x_by_y . show ( )11

12 >>[4, 0 , 0 , 6 , 2 , 0 , 0 , 5 , 0 , 0 , 0 ]

Listing 2.6: producto de números en G7_46

Luego 3214,3453567 · 53452,1437 = · · · 40062,0057

División

La observación 2.2.3, hecha para el producto aplica para la división. Luegotomando x, y como en el producto:


3 x_dig i t s = [ 0 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 4 , 5 , 3 , 5 , 6 ]4 y_dig i t s = [ 5 , 3 , 4 , 5 , 2 , 1 , 4 , 3 , 0 , 0 , 0 ]5


9 x_div_y = G7_46 . p_div (x , y )10 x_div_y . show ( )11 >>[5, 1 , 3 , 3 , 0 , 3 , 3 , 2 , 3 , 6 , 2 ]

Listing 2.7: división de números en G7_46

Así 3214,345356753452,1437

= · · · 51330,3323627


Aproximando Inversos

Dado que la división puede llegar a ser un proceso infinito, se hace ne-cesario restringir algunos coeficientes de su resultado. Entonces, hallar elinverso de un número x, básicamente corresponde a computar 1p

x. Luego, la

aproximación del inverso de x = 49873210,5489611 está dada por:1 G11_75 = GpnN(11 ,−7 ,5) #i n i t i a l i z a t i o n2

3 x_dig i t s = [ 4 , 9 , 8 , 7 , 3 , 2 , 1 , 0 , 5 , 4 , 8 , 9 , 6 ]4 x = Number(11 ,−7 ,5 , x_dig i t s )5 x_inverse = G11_75 . p_inverse ( x )6 x_inverse . show ( )7 >>[7, 7 , 7 , 2 , 7 , 4 , 6 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ]

Listing 2.8: inversión de números en G11_75

Luego x−1 = 111x

= 11149873210,5489611

= · · · 7772746211.

2.2.4. Árboles

Denotamos porMmn = {x0, x1, . . . , xmn} a las hojas del árbol con n niveles

y m ramas. Si fijamos 0 < C < 1, podemos dotar a Mmn de una estructura

ultramétrica y así, definimos la distancia enMmn como d(xi, xj) = CN∗, donde

N∗ es el nivel del ancestro común más cercano a xi, xj. Así, (Mmm , d) es un

espacio ultramétrico.Si tomamos M2

3 = {x0, x1, . . . , x7}, tenemos que

xi xj N∗ distancia

x0 x1 2 C2

x0 x2 1 Cx0 x3 0 1

Luego, la estructura de árbol resulta natural al momento de representarlos números p-ádicos tomando C = 1

ppara GpnN . Luego, la implementación

de un modelo para el conjunto G2_22 ⊂ Q2 (con p = 2, n = −2 y N = 1),está dado por:

1 G2_21 = GpnN (2 ,−2 ,1) #i n i t i a l i z a t i o n2 G2_21 . generate_numbers ( )3 G2_21 . r ep r e s en ta t i on_t r e e ( )

Listing 2.9: Representación en árbol de G2_21


Figura 2.1: M2n

...

x1 x2

......

......

......

...

x2n−1 x2n Nivel n

...

Nivel 2

Nivel 1

Nivel 0

Figura 2.2: M23

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

Así, la función representation_tree() mostrada en el anterior código,exportará una imagen en formato PNG de la siguiente forma:


Donde los nodos hoja representan números de la forma:

x =2∑−1

ak2k = a−1 · 2−1 + a0 · 20 + a1 · 2 + a2 · 22,

y que además satisfacen 2−2 6 ‖x‖2 6 2. Dado que los ak ∈ {0, 1}, conk ∈ {−1, 0, 1, 2}, denotamos la elección de ak por las aristas del árbol, así,decir que ak ∈ {0,1} será equivalente a decir que ak ∈ {Negro,Rojo} eneste ejemplo.

Luego, si quisiéramos saber qué número es el que está ubicado en la partederecha del árbol, de color azul, sólo seguimos el camino propuesto por laimagen. Así, partiendo desde la raíz, tenemos que el camino hasta llegara este nodo será Negro → Negro → Negro → Rojo, es decir que elnúmero es 000,12 y tiene norma 2−1; tal como lo indica la barra ubicadaen la parte derecha de la imagen. Nótese que el camino desde la raíz denotaa2 → a1 → a0 → a−1.

Nota 2.2.4. En casos más generales, el entendimiento de la imagen seráparecido. Luego, entre más grande sea el primo, más colores en las aristashabrá, así como habrá más normas y el recorrido de los elementos desde laraíz denotará a−n → an−1 → · · · → a0 → · · · → a−N+1 → a−N .


(a) G2_22 (b) G2_32

(c) G2_33 (d) G2_43

Figura 2.3: Representación en árbol de los números 2-ádicos.

Capítulo 3

Laplaciano sobre árboles

3.1. Matriz LaplacianaDado un grafo simple G con n vértices, definimos la matriz Laplaciana

L ∈Mn(R) como:L = D − A,

dondeD,A son las matrices de grados e incidencia del grafo, respectivamente.Así, se tiene que las entradas de esta matriz estarán dadas por:

Li,j :=

grado (vi) si i = j,−1 si i 6= j y vi es adyacente a vj,0 e.o.c.

Esta matriz tiene propiedades, de las cuales nombraremos las que nos intere-san:

� L es simétrica;

� L es semidefinida-positiva (sus autovalores son positivos);

� La suma por filas o columnas es 0.

Esta matriz es llamada así, puesto que coincide con el laplaciano discreto.Ver por ejemplo [13]. Razón por la cual podemos hacer una interpretacióndel mismo.

3.2. Operador Laplaciano discreto

Supongamos una función ~φ(t) que describe la distribución de calor dentrode un grafo en un tiempo dado. Así, φi(t) es el calor en el nodo i en el tiempo t.

43

44 CAPÍTULO 3. LAPLACIANO SOBRE ÁRBOLES

Luego, el calor transferido entre los nodos i y j es directamente proporcional ala diferencia de calor entre los mismos 1, es decir, proporcional a φi(t)−φj(t).Así, para una constante k (conocida como constante de capacidad de calor)esto se representa de la siguiente forma:

dφi(t)

dt= −k

∑j

Aij(φi(t)− φj(t)

)= −k

φi(t)∑j

Aij −∑j

Aijφj(t)

= −k

φi(t) grado (vi)−∑j

Aijφj(t)

= −k

∑j

(δij grado (vi)− Aij

)φj(t)

= −k∑j

(`ij)φj(t),

que se reescribe como:

d~φ(t)

dt= −k(D − A)~φ(t)

= −kL~φ(t),

es decir:d~φ(t)

dt+ kL~φ(t) = 0. (3.2.1)

Nótese que la ecuación 3.2.1 tiene la forma de la ecuación de calor, dondela matriz L toma el valor de ∇2. Por esta razón, hablamos de L como elLaplaciano de un grafo.

Además, la ecuación 3.2.1 es un sistema de ecuaciones de primer ordencuya solución para ~φ(t) es una combinación lineal de autovectores de L(conautovalores (λi)):

|V |∑i=1

ci(t)~vi, con V es el conjunto de vértices.

Reemplazando en la ecuación 3.2.1, tenemos:

1Ley de enfriamiento de Newton

3.2. OPERADOR LAPLACIANO DISCRETO 45

d(∑

i ci(t)~vi)

dt+ kL

∑i

ci(t)~vi

= 0

∑i

[dci(t)

dt~vi + kci(t)L~vi

]=

∑i

[dci(t)

dt~vi + kci(t)λi~vi

];

⇒ dci(t)

dt+ kλici(t) = 0,

que es una ecuación homogénea, cuya solución está dada por:

ci(t) = ci(0)e−kλit.

Definición 3.2.1 (Árbol de Cayley). Un árbol en el cual todos sus nodosque no son hojas tiene un número constante de ramas n, es llamado n-árbolde Cayley.

Figura 3.1: 3-árboles de Cayley

Nótese que la definición anterior viene dada por la definición de grafode Cayley. Además, dado que los números p-ádicos se pueden representar enp-árboles de Cayley, presentamos algunas ecuaciones.


3.2.1. Matriz de transición

En el anterior capítulo definimos el grupo GpnN (2.2.1):

GpnN :={x ∈ Qp : x =

−n∑k=−N

akpk, ak ∈ {0, · · · , p− 1} y pn 6 ‖x‖p 6 pN

}.

Nótese que GpnN tiene cardinal pN−n+1(recordemos que n 6 0), luego GpnNes finito y así, podemos indexar sus elementos, sean {x1, . . . , xpN−n , xpN−n+1}y corresponderlos inyectivamente con el conjunto {1, . . . , pN−n, pN−n+1} através de la siguiente función:

l : {1, . . . , pN−n+1} → GpnN ⇒ l(i) = xi.

Definimos una matriz de réplica a la matriz Q = (Qab) de tamañopN−n+1 × pN−n+1, como un operador en el espacio de funciones del conjunto{1, . . . , pN−n+1} tal que

Qij = ρ(‖l(i)− l(j)‖p), (3.2.2)

donde ρ es una función que depende de la distancia p-ádica entre l(i) y l(j).Luego, la estructura de la matriz Q con p = 2 es de tipo Parisi ([14]):

Q =

0 q1 q2 q2 q3 q3 q3 q3 . . .q1 0 q2 q2 q3 q3 q3 q3 . . .q2 q2 0 q1 q3 q3 q3 q3 . . .q2 q2 q1 0 q3 q3 q3 q3 . . .q3 q3 q3 q3 0 q1 q2 q2 . . .q3 q3 q3 q3 q1 0 q2 q2 . . .q3 q3 q3 q3 q2 q2 0 q1 . . .q3 q3 q3 q3 q2 q2 q1 0 . . .

... . . .

Luego, definimos la matriz de transición W , a partir de la matriz de réplicacomo:

Wij =

{Qij i 6= j,

−∑N−n+1

γ 6=i Qiγ i = j.

Dado GpnN ⊂ Qp, sabemos que tiene una representación natural de(N−n+1)-árbol de Cayley. Para entender mejor la representación, tomemoscomo ejemplo a G2_11; nótese que |G2_11| = 8, por lo tanto, podemosindexar sus elementos en {1, . . . , 8}, ver por ejemplo 3.2. LuegoG2_11 tendráuna matriz de transición W con la siguiente estructura (matriz de Parisi):


Figura 3.2: G2_11

w3

w2

w1

1 2

w1

3 4

w2

w1

5 6

w1

7 8

W =

w0 w1

w1 w0w2

w2w0 w1

w1 w0

w3

w3

w0 w1

w1 w0w2

w2w0 w1

w1 w0

En general, esta matriz muestra las interacciones entre los nodos ho-jas (que es donde inicialmente se encuentran los números p-ádicos en la re-presentación dada en el capítulo anterior). Además, dado que la ecuación3.2.2 establece que la matriz depende de la distancia asociada a dos estadosi, j ∈ {1, . . . , pN−n+1}, damos un ejemplo de tales matrices Qij, tomando ρcomo sigue:

Qij = ρ(‖l(i)− l(j)‖p) =C

‖l(i)− l(j)‖αp + 1, l(i), l(j) ∈ GpnN. (3.2.3)


(a) Matriz de G2_22 (b) Matriz de G2_32

(c) Matriz de G2_33 (d) Matriz de G2_43

Figura 3.3: Matrices de Parisi asociadas a los estados de las figuras 2.3 conα = 2 y C = 3


3.2.2. Ecuación de ultradifusión

Análogamente a como se estableció la ecuación de calor sobre grafos(3.2.1),definimos la ecuación maestra como sigue:

dui(t)

dt=∑j 6=i

Wjiuj(t)−∑j 6=i

Wijui(t), (3.2.4)

donde ui es la probabilidad de transición, es decir, la probabilidad de pasardel estado i al estado j en el tiempo t.

Además, como hicimos con la ecuación 3.2.1, podemos llevar la ecuación3.2.4 a la forma:

d~u(t)

dt= W~u(t).

Cuya solución, estará dada de manera estándar como una combinación linealde autovectores de W :

~u(t) =

pN−n+1∑i=1

ci(t)vi,

con:ci(t) = ci(0)e−λit.

Así, la solución numérica del problema anterior con distintas condicionesiniciales está dada por las figuras 3.4, 3.5 y 3.6.


(a) t = 0 (b) t = 3,33

(c) t = 6,67 (d) t = 10

Figura 3.4: Comportamiento de la solución en distintos t ∈ [0, 10] para lacondición inicial constante u(0) = ~1 en G2_05 .


(a) t = 0 (b) t = 3,33

(c) t = 6,67 (d) t = 10

Figura 3.5: Comportamiento de la solución en distintos t ∈ [0, 10] para lacondición inicial u(0) aleatoriamente distribuida, con cada entrada en [0, 1],en G2_05 .


(a) t = 0 (b) t = 3,33

(c) t = 6,67 (d) t = 10

Figura 3.6: Comportamiento de la solución en distintos t ∈ [0, 10] para lacondición inicial u(0) en forma de campana de Gauss, en G2_33 .

Capítulo 4

Apéndice: Sobre el uso delpaquete

Dado que uno de los objetivos de este trabajo estuvo enfocado haciael uso de algoritmos para el cómputo de números p-ádicos, así como la re-presentación visual de los mismos para modelar ecuaciones de difusión, nospermitimos escribir este apéndice con el fin de que usted, como lector, puedausar los algoritmos aquí presentados.

4.1. Configuración de ambienteComo mencionamos al comienzo del Capítulo 2, el uso de varios algorit-

mos presentes en este trabajo, tienen dependencias de paquetes, las cualescomentaremos antes de introducir la instalación del paquete.

Suponemos que el lector cuenta con un ambiente de Python ya configu-rado. Si no, en el caso de Windows es necesario instalar una distribución depaquetes científicos que son requisitos para nuestro paquete; esta puede serAnaconda1, Python(x,y)2 o WinPython3, entre otras opciones.

En Linux sólo será necesario tener pip instalado (pues la mayoría de dis-tribuciones cuentan con Python previamente instalado), donde la instalaciónvaría según la distribución4.

1https://www.anaconda.com/2https://python-xy.github.io/3https://winpython.github.io/4https://www.tecmint.com/install-pip-in-linux/

53

https://www.anaconda.com/

https://python-xy.github.io/

https://winpython.github.io/

https://www.tecmint.com/install-pip-in-linux/

54 CAPÍTULO 4. APÉNDICE: SOBRE EL USO DEL PAQUETE

Paquetes requeridos

Los siguientes paquetes son usados por la implementación realizada eneste trabajo, nos permitimos nombrar algunas características:

◦ PyGraphviz Principalmente usado para dibujar grafos. Paquete basadoen GraphViz.

◦ NumPy Posee representación de matrices en grafos; además, es usadopara hacer cómputo de alto rendimiento con grafos;

◦ SciPy Representa matrices dispersas y posee métodos numéricos.

◦ pandas Contiene dataFrames para la manipulación de datos.

◦ Matplotlib Usado para dibujar datos en forma de arreglos.

Una vez instalado pip, podemos ejecutar el siguiente comando en la terminal,o en su defecto, en el símbolo del sistema según sea el caso para instalar lospaquetes dependientes:

$ pip install numpy scipy pandas matplotlib pygraphviz pydot

Instalación de nuestro paquete (padics)

Con el fin de usar las funcionalidades mostradas en el Capítulo 2, hemosconfigurado un paquete distribuible con el fin de que usted como lector, lopueda probar si lo desea. La instalación simple requiere del uso del sistemade control de vesiones, Git5.

◦ Abrir la terminal o el símbolo del sistema según el sistema operativo.

◦ Ejecutar $ pip install git+https://github.com/ed4st/padics-package

Testeando

Para ver si se instaló, cree un script de Python, importe el paquete padicsy alguna clase (Number, GpnN) y pruebe instanciando alguna función pre-sentada en el Capítulo 2. Por ejemplo, calculemos el orden y la norma delnúmero 321,347:

5https://git-scm.com/downloads

https://git-scm.com/downloads

4.1. CONFIGURACIÓN DE AMBIENTE 55

1 from pad ic s . Number import Number2

3 x = Number (7 , −3 , 2 , [ 3 , 2 , 1 , 3 , 4 ] )4 pr in t ( x . order ( ) , x . norm ( ) )5 >> −2 49

Listing 4.1: test del paquete

Notas sobre el paquete

Dado que el paquete está en sus primeras versiones y además el tiempo esun gran limitante, la documentación existente es sólo la presentada en estetrabajo. Por ejemplo, los algoritmos que se usaron en el Capítulo 3 les faltainstructivo de cómo usarlos. Sin embargo, el código6 está comentado con elfin de que futuros desrrolladores puedan acceder y puedan tener un primeracercamiento de lo que se establece allí. En resumidas cuentas, listaremos lastareas que faltan por hacer para que el paquete sea estable:

◦ Hacer unit testing sobre los algoritmos allí presentados, pues algunospueden ejecutarse con parámetros no deseados.

◦ Mejorar el control de excepciones.

◦ Mejorar documentación de uso.

◦ Crear más modulos para poder modificar el código de manera estruc-tural.

◦ Implementar más algoritmos, como los de expansiones p-ádicas, o losasociados al estudio de álgebra (como el Lema de Hensel), para hacercriptografía.

◦ Implementar la versión del algoritmo de Karatsuba en números p-ádicospara mejorar la complejidad algorítmica de la función de multiplicación(p_mul()) de la clase GpnN.

◦ Para las personas que no tienen suficiente dominio de linux, sería muybueno crear una interfaz gráfica del paquete.

6https://github.com/ed4st/padics-package

https://github.com/ed4st/padics-package

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57

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