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T EM A T I X
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X P A I M
PublicacionesCRAIM
Tesoros de la Matemática
Volumen 2
La geometría dinámica
Luis Augusto Campistrous
Instituto Centralde Ciencias PedagógicasMinisterio de Educación de
la República de Cuba, La Habana, Cuba
Jorge M. López
Departamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico, Río Piedras
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Tesoros de la Matemática
Volumen 2
La geometría dinámica
Luis Augusto Campistrous
Instituto Centralde Ciencias PedagógicasMinisterio de Educación de
la República de Cuba, La Habana, Cuba
Jorge M. López
Departamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico, Río Piedras
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© Todos los derechos reservadosPublicaciones CRAIMTesoros de la Matemática2008
La Geometría Dinámica
Tabla de contenido
Introducción .......................................................................................... v
Sobre la organización de este escrito ............................................. xiv
Actividad I: El punto medio de una cuerda en movimiento (GS)............3
Actividad II: El ortocentro (GC)..............................................................7
Actividad III: Más sobre el ortocentro (GS) ..........................................13
Actividad IV: Rectas y ángulos (GC) ....................................................21
Actividad V: Los ángulos de un triángulo (GC).................................... 27
Actividad VI: Las cuerdas en movimiento y las
medianas de los triángulos (GS).............................................................. 33
Actividad VII: Las homotecias (Interludio GC)..................................... 40
Actividad VIII: Algunos problemas optativos sobre la Geometría
Analítica del plano: Las homotecias y los movimientos rígidos (GC)...... 47
Actividad IX: Las bisectrices angulares y los equicentros (GC)............ 53
Actividad X: Las bisectrices angulares de los triángulos (GS)............... 65
Leyenda: GC = Geometría Cabri, GS = “Geometer’s Sketchpad”
1. La Geometría Dinámica, página ii
Introducción
Los dos libros más publicados en la historia de la humanidad son la Biblia y Los
Elementos de Euclides. El primero es el libro de las Sagradas Escrituras de las reli-
giones cristianas, las más extendidas del mundo occidental, el segundo un manual
de Geometría.
Este hecho es a primera vista sorprendente. Debido a la extensión del cristianismo y
el poder económico y político de la civilización occidental, parece natural que las Sa-
gradas Escrituras sean el libro más publicado de la historia, pero que el segundo lu-
gar lo ocupe un libro de Geometría parece inexplicable.
La explicación reside en el hecho de que Los Elementos es mucho más que un manual
de Geometría, es un modelo de pensamiento cuya perfección se mantuvo indis-
cutida por más de 23 siglos. En efecto su perfección se mantuvo sin tacha hasta el
siglo XIX y ya en el siglo XX en su afán de perfeccionarlo los matemáticos produje-
ron una revolución en las concepciones de la Matemática, siempre inspirados en el
modelo euclidiano.
La génesis de este éxito sin precedentes en la historia está en las raíces mismas del
pensamiento griego. En todos los campos del conocimiento la ciencia griega buscaba
encontrar los “elementos” que daban origen a todo lo conocido; así Anaximandro
consideraba al aire, el agua, el fuego y la tierra, los elementos del mundo material.
De todos estos intentos de encontrar los elementos, el único que lo logró y pudo ex-
plicar todo el conocimiento a partir de ellos fue Euclides. Este éxito lo convirtió en
un modelo que trascendió el ámbito de la Matemática, se transformó en un modelo
de pensamiento científico. De este modo la Geometría se integró al núcleo de los
conocimientos necesarios para el “desarrollo de la inteligencia y la excelencia
1. La Geometría Dinámica, página iii
moral”: Las siete Artes Liberales.
La misma fuerza del modelo y el interés por desarrollar el pensamiento (entiéndase,
pensamiento lógico) convirtieron a este texto científico en un texto escolar. Lo que
generó uno de los errores pedagógicos más duraderos de la historia: el tratar de
enseñar Geometría con un texto diseñado para sistematizar el conocimiento geomé-
trico de su época.
Durante siglos se utilizó directamente Los Elementos para la enseñanza. Más tarde se
sustituyó por manuales escolares con todas las desventajas de Los Elementos y sin las
ventajas que da a este último la genialidad de su autor. La preeminencia de este
modelo hizo que en la enseñanza se diera importancia a la exposición de los
resultados finales, perfectamente organizados, ocultando a los ojos de los aprendices
el proceso de búsqueda.
Durante siglos la enseñanza de la Geometría consistió en la repetición de cadenas
deductivas que “demostraban” teoremas, sin que aquellos que las repetían supieran
por qué lo demostraban ni cuál era el origen de esa afirmación, que supuestamente
habían demostrado.
Corresponde al matemático húngaro George Polya (1887-1985), el mérito de haber
rescatado la necesidad de convertir el proceso de búsqueda de las afirmaciones
matemáticas y sus demostraciones en objeto de enseñanza. Para este fin retoma la
antigua ciencia griega de la heurística (según el diccionario, heurística es el “arte de
inventar”) y la transforma en la heurística moderna.
En sus propias palabras: “la heurística moderna trata de comprender el método que
conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente
útiles en este proceso”. Son diversas sus fuentes de información y no se debe descui-
dar ninguna. Un estudio serio de la heurística debe tomar en cuenta el trasfondo
tanto lógico, como psicológico; no deben descuidarse las aportaciones hechas por
1. La Geometría Dinámica, página iv
autores tales como Pappus, Descartes, Leibniz y Bolzano, pero debe apegarse más a
la experiencia objetiva.
Una experiencia que resulta a la vez de la solución de problemas y de la observación
de los métodos del prójimo, constituye la base sobre la cuál se construye la heurís-
tica. En este estudio buscaremos, sin descuidar ningún tipo de problema, los puntos
comunes de las diversas formas de tratar cada uno de ellos y después trataremos de
determinar las características generales independientes del tema del problema.
Un estudio tal tiene objetivos “prácticos”; una mejor comprensión de las operaciones
mentales, típicamente útiles en la solución de un problema, y puede en efecto influir
favorablemente en los métodos de enseñanza, en particular en lo que se refiere a las
matemáticas.1
Más adelante, Polya señala: “Un Razonamiento Heurístico provisional, tan sólo
plausible, tiene un valor importante en el descubrimiento de la solución, pero no
debe admitirse como una demostración; incumbe a cada uno adivinar qué ocurre (en
el sentido de proponer conjeturas), pero también examinar las hipótesis. La naturaleza
del razonamiento heurístico se trata en indicios de progreso, pero la discusión se
podría ahondar”.2
En el párrafo anterior, Polya destaca algunas ideas que rompen con la tradición de
milenios en la enseñanza de la Matemática, en particular de la Geometría. Por pri-
mera vez en mucho tiempo se reconoce que en la Matemática hay que “adivinar”,
hacer “Razonamientos provisionales” sin el acabado perfecto de las demostraciones
elaboradas en los manuales tradicionales y, además, que hay que reconocer “indi-
cios” de progreso; que no hay seguridad en los avances, que no se adelanta en línea
recta, que hay retrocesos y vueltas.
1 Polya, George. Cómo plantear y resolver problemas, México DF: Editorial Trillas, 19892 Ibid
1. La Geometría Dinámica, página v
A pesar de que el libro de Polya fue publicado por primera vez en 1944, no es hasta
la década del 80, en el boom de la resolución de problemas, que sus ideas son
tomadas en cuenta. A partir de entonces la heurística comienza a ser ampliamente
difundida y se multiplican las experiencias para aplicarla en la enseñanza de la
Matemática.
Aunque hemos visto que Polya habla de “operaciones mentales” y “razonamientos
heurísticos”, los autores posteriores han acuñado diferentes términos para hacer re-
ferencia a ellas. Incluso muchos autores han llegado a construir una tipología de es-
tos procedimientos heurísticos.
Así por ejemplo, el alemán Horst Müller señala:
“... la psicología del aprendizaje ha demostrado que si los alumnos se
apropian de procedimientos que apoyen la realización consciente de las
actividades mentales exigidas, pueden llegar entonces a resultados mucho
mejores en la resolución independiente de problemas. Los procedimientos
con estas propiedades se llaman pro cedimientos heurísticos. La heurística es
una disciplina científica aplicable en todas las ciencias e incluye la elaboración
de principios, estrategias, reglas y programas que faciliten la búsqueda de la
vía de solución para problemas, es decir, para tareas no algorítmicas de
cualquier tipo y de cualquier dominio científico o práctico.”3
Algunos autores llegan a convertir esta tipología en un programa tan complejo que
llega a traicionar las ideas de Polya, pues casi se llega a algoritmizar el razonamiento
heurístico. Nosotros preferimos hablar de estrategias, en un sentido que trata de ser
el mismo de las operaciones mentales de las que habla Polya.
3 Müller, Horst. Formas del trabajo heurístico en la enseñanza de la Matemática. Boletín de la Sociedad Cubana deMatemática y Computación Nº 6, 1986
1. La Geometría Dinámica, página vi
Con la llegada a las aulas de las “súpercalculadoras” se incrementan las potenciali-
dades de la enseñanza heurística, estas calculadoras se convierten en “herramientas
heurísticas” que permiten hacer realidad la exploración, la búsqueda de suposicio-
nes y la formulación de conjeturas, así como detectar los indicios de progreso en su
trabajo.
Esto se hace aún más notable en el campo de la Geometría, en el que la introducción
de la Geometría Dinámica permite dar a la enseñanza de esta ciencia una orientación
nunca antes utilizada y hacer llevar a la práctica estrategias heurísticas que antes
apenas podían ser esbozadas.
En este material nos proponemos ilustrar el uso de la Geometría Dinámica en la en-
señanza de la Geometría y en la aplicación de las estrategias heurísticas para resol-
ver problemas, está concebida para llegar a los profesores, facilitarles su trabajo y
ayudarlos a generar ideas nuevas en el uso de estas herramientas.
Los cambios que hay que producir, tienen que estar dirigidos a una nueva manera
de trabajar estos contenidos donde se pueda explotar más y mejor los recursos tec-
nológicos actuales, exponer a los alumnos a situaciones activas de aprendizaje
donde se enfrenten continuamente a procesos de búsqueda, planteo de conjeturas,
comprobación experimental de ellas, entre otras formas de actuación.
En relación con lo antes planteado, la forma clásica de trabajar la Geometría,
presenta las figuras estáticas, por tanto aparece siempre una posición particular, una
concepción particular, una figura en particular. Esto hace que el alumno forme en su
imaginación y siempre presente a las figuras geométricas de una manera concreta e
independientemente de todas las cosas que se le puedan decir sobre el hecho de que
las figuras geométricas son abstractas, todo lo que pueda decirse sobre el hecho de
1. La Geometría Dinámica, página vii
que esas figuras son sólo un caso particular, que no deben asumirse las propiedades
de la figura concreta que están viendo. En la práctica el alumno siempre ve una
figura y siempre piensa sobre una figura y las propiedades las asocia con una
determinada figura.
Por ejemplo, aunque enunciamos que la suma de los ángulos interiores de cualquier
triángulo es de 180 grados, siempre el alumno lo va a ver asociado a un determinado
triángulo, y difícilmente él va a asumir esa propiedad, cualquiera que sea el trián-
gulo, porque va a tener alguna figura concreta en su cabeza.
En el trabajo con esta propiedad, que es quizás una de las que más se trabaja, se le
hace ver al alumno que da lo mismo que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u
obtusángulo, pero sin embargo no se tiene tanto cuidado con la figura que sirve de
modelo. De igual modo se enuncia, por ejemplo, el hecho de que la distancia entre
dos puntos es el menor camino, o que cada lado de un triángulo es menor que la
suma de los otros dos, y también eso siempre se ve asociado a una determinada
forma de figura.
Ahora bien, cuando las figuras geométricas adquieren la forma de moverse, es de-
cir, adquieren dinamismo, estamos en presencia de la Geometría Dinámica. Ésta
permite que el alumno se forme una idea más general de esas figuras geométricas, y
que no asocie las propiedades a una forma particular de las figuras.
Por ejemplo, en el caso de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, él podrá
ver que cuando movemos el triángulo esto hace que se mantenga la suma de sus án-
gulos interiores y permite, además, precisar el caso especial del triángulo rectángulo y
el caso límite, que es el caso en que un ángulo se hace 180 grados y los otros dos
1. La Geometría Dinámica, página viii
miden 0 grados.
De igual modo sucede con la propiedad de que en todo triángulo, cada lado es me-
nor que la suma de los otros dos, donde con esta variante dinámica se puede, ade-
más de comprender de una manera más general la propiedad, también precisar el
caso límite, es decir, cuando los tres puntos están en línea recta que es cuando se
obtiene la igualdad.
Lo mismo pasa con cualquier tipo de figura, por ejemplo cuando se toma un para-
lelogramo cualquiera y se analiza la amplitud de sus ángulos opuestos, el alumno
podrá apreciar que cualquiera que sea la forma de ese paralelogramo, se va a man-
tener la propiedad de que esos ángulos son iguales o que tienen la misma amplitud.
Sin embargo, si se toma la longitud de los lados consecutivos, los alumnos verán que
la propiedad de igualdad de dos lados consecutivos sólo se va a cumplir en un tipo
muy particular de cuadrilátero (el rombo y, en particular, el cuadrado) pues cuando
uno lo mueve va a obtener variaciones.
1. La Geometría Dinámica, página ix
Esto hace que la Geometría Dinámica permita a los alumnos formarse conceptos mu-
cho más generales acerca de las figuras geométricas y comprender de una manera
más completa las propiedades geométricas. De esa manera el alumno no va a asociar
ya cada propiedad con una forma particular de la figura.
Otra ventaja de la Geometría Dinámica es que permite aprovechar plenamente una
de las estrategias heurísticas en la solución de problemas geométricos, que difícil-
mente pueda ser aprovechada en otros casos, que es la estrategia de mover la figura.
De esta manera el alumno puede mover la figura y conservar ciertas propiedades, y
puede formarse una imagen de qué cosa es lo que ocurre al hacer las variaciones y
así tener ideas de cómo resolver el problema. Es decir, esto permite realizar esta
estrategia heurística, ya recomendada por Polya en el año 1944 en la primera edición
de su libro How to solve it, que de otra forma es casi imposible de hacer. Lo mismo
ocurre con la estrategia heurística de “considerar casos particulares”, “considerar
casos límites”, así como “medir y comparar”, entre otras; en las cuales al darle
movilidad a la figura se hacen visibles de una manera muy natural y se pueden
alcanzar esos casos y formarse una idea de cuál puede ser la solución del problema.
Por otra parte, cuando se va a hacer dinámica una figura, es necesario mantener
determinadas condiciones. La Geometría Dinámica permite fijar las propiedades
básicas de las figuras, para poderlas mover de manera que continúen siendo lo que
se quiere que sean. Para ello es necesario saber exactamente qué se puede mover y
cómo se puede mover.
Como antes se planteó, esta concepción permite hacer la introducción de la tecnolo-
gía, en este caso el empleo de calculadoras, súpercalculadoras y computadoras, en el
proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría. Pues con ella existe la
posibilidad de “mover las figuras geométricas”, es decir, variarlas de modo que
adquieran dinamismo, y antes hemos dicho que cuando eso sucede estamos en
1. La Geometría Dinámica, página x
presencia de la Geometría Dinámica. Ésta permite que el alumno se forme una idea
más general de esas figuras geométricas y no asocie las propiedades a una forma
particular de las figuras, no obstante, habría que incluir algunos elementos de
contenido, especialmente en lo que a habilidades se refiere, que permitan también
que aprendan a “mover en una figura o variarla”.
A continuación ilustraremos, con ejemplos desarrollados, como se puede utilizar la
tecnología para dinamizar la Geometría.
Luis Augusto Campistrous
Instituto Central de Ciencias Pedagógicas
Ministerio de Educación de la República de Cuba
La Habana, Cuba, Agosto 2002
Dr. Jorge M. López
Departamento de Matemáticas y Ciencia de Cómputos
Universidad de Puerto Rico
Río Piedras
1. La Geometría Dinámica, página xi
Sobre la organización de este escrito
El presente fascículo consiste de una colección variada de problemas geométricos
cuya dilucidación se puede conseguir de manera creadora y efectiva mediante la
utilización de los programas de exploración geométrica hoy disponibles en el
mercado.4 Básicamente, el escrito consiste de problemas geométricos acompaña-
dos de guías heurísticas que mueven al estudiante hacia la exploración y la for-
mulación de argumentos lógicos para la confección de demostraciones sobre los
hallazgos observados. También se presentan “interludios” teóricos con apoyo en
la calculadora, en los que se expone al estudiante a resultados geométricos im-
portantes, pero basado más en argumentos algebraicos y lógicos y con menos
“experimentación”.
Típicamente las actividades tienen varias secciones:
El ambiente de exploración
Se emplea para “mostrar” al estudiante, mediante la calculadora fenómenos
curiosos de un “ambiente geométrico” creado por los autores. Al mismo
tiempo se pregunta sobre lo que está observando y se promueve la
formulación de conjeturas sobre lo observado. En esta primera etapa las
conjeturas esperadas son en cierto sentido “primitivas”, ya que luego de la
orientación heurística presentada en la actividad, es de esperarse que el estu-
diante pueda formular conjeturas muchos más detalladas.
Preguntas guías para la realización de observaciones
Estas preguntas constituyen propiamente dichas las guías heurísticas de la
4 Al momento de escribir este documento ello significa básicamente dos programas a saber “TheGeometer’s Sketchpad” y “Geometría Cabri”. El libro se ha confeccionado empleando estosprogramas, los cuales están instrumentados en las calculadoras TI-89, TI-92 y en la nueva Vogage 200.Hay otros programas en el mercado, aunque no vinculados con las calculadoras (hasta dondenosotros sabemos), como Cinderella y “The Geometric SupperSupposser”. De cualquier manera,cualquiera de estos programas, ejecutables o no en la calculadora, es adecuado para trabajar lasactividades aquí presentadas.
1. La Geometría Dinámica, página xii
actividad.
Formulación de conjeturas
En esta sección de una actividad se espera que el estudiante pueda formular
conjeturas mucho más abarcadoras y detalladas, e idealmente que pueda
generar las demostraciones correspondientes de sus hallazgos.
Advertimos al maestro que las actividades pueden incluir actividades más o
menos directas, pero también pueden contener actividades cuya dilucidación sea
un tanto sofisticada y suponen un tanto de madurez por parte del estudiante.
Esperamos que las actividades presentadas ayuden a generar una atmósfera de
“investigación” y exploración en el salón de clases, que sirva para proyectar en el
estudiante la imagen de que la matemática es una disciplina “viva” donde con
mucha frecuencia lo mejor de ésta es lo que parece estar por descubrirse.
1. La Geometría Dinámica, página xiii
1. La Geometría Dinámica, página xiv
Actividades
La Geometría Dinámica, página 2
La Geometría Dinámica, página 3
Actividad I: El punto medio de una cuerda en movimiento (GS)
El ambiente de exploración
Emplea uno de los programas geométricos discutidos y dibuja una circunferencia
en la que traces una cuerda como la que se muestra.
Figura 1
En el dibujo se ha identificado un extremo de la cuerda como P (el punto móvil,
como veremos), y también se ha construido el punto medio m de la cuerda.
Emplea los recursos del programa, haz los ajustes necesarios para que el punto m
genere un trazo al moverse (en nuestro caso se ha introducido un botón de
animación). Como una opción adicional, si deseas, puedes dar animación al
punto P para que se mueva alrededor de la circunferencia.
Preguntas guías para la realización de observaciones:
1. ¿Qué tipo de trazo se observa cuando se mueve el punto P a lo largo de la
circunferencia? ¿Qué dos puntos especiales de la figura parecen estar en el trazo
obtenido?
2. Repite el procedimiento y ubica el “punto fijo” de la cuerda en diferentes lugares
La Geometría Dinámica, página 4
de la circunferencia. Contesta las preguntas anteriores, sobre las figuras que se
obtienen con la reubicación del extremo fijo de la cuerda.
Formulación de conjeturas:
1. ¿Cuál es el centro del círculo que parece describir el trazo del punto medio de la
cuerda? ¿Cuál es su radio?
Figura 2
Figura 3
2. Completa la siguiente conjetura: El lugar geométrico del punto medio de una
cuerda de cuyos extremos se mueve a lo largo de su circunferencia es...
3. Propón una demostración para la conjetura.
La Geometría Dinámica, página 5
4. Frasea la conjetura 2 de arriba, emplea los términos “homotecia” y “lugar
geométrico”. (De no saber qué es una “homotecia”, puedes examinar la sección
sobre homotecias más adelante.)
5. ¿Qué ocurre si se toma otro punto en la cuerda? Por ejemplo un punto a 2/3
partes de la distancia total de la cuerda, medida a partir del punto fijo de ésta.
¿Cómo representarías tal situación en el programa?
La Geometría Dinámica, página 6
La Geometría Dinámica, página 7
Actividad II: El ortocentro (GC)
El ambiente de exploración
En esta actividad nos referimos a uno de los puntos notables clásicos en los trián-
gulos, el ortocentro. Comenzamos por construir un triángulo y construimos sus
tres alturas. Un teorema de la Geometría plana asevera que las alturas de
cualquier triángulo son cevianas1, concurrentes del triángulo (el punto común es
el ortocentro). Para convencernos de que no se trata de un fenómeno casual
debido a las características de algún triángulo particular, en esta exploración
habremos de variar la forma del triángulo y veremos que se conserva la pro-
piedad mencionada del ortocentro.
Figura 1
Figura 2
1 Es decir segmentos desde un vértice de un triángulo hasta un punto en el interior del lado opuesto.
La Geometría Dinámica, página 8
Si empleamos una construcción como las presentadas en las Figuras 1 y 2
podemos observar que el ortocentro se desplaza del interior al exterior del
triángulo, al ubicar en diferentes posiciones del plano uno de los vértices del
triángulo. ¿A qué se debe este desplazamiento? ¿Cómo se mueve el ortocentro al
transformar el triángulo de esta manera?
En esta actividad limitaremos el estudio a un caso especial siguiendo las
recomendaciones de la heurística. Consideremos un triángulo inscrito en una cir-
cunferencia y estudiemos la variación del ortocentro al variar la posición del
triángulo en dicha circunferencia. Para ello necesitamos un triángulo que se
mueva conservando la misma circunferencia circunscrita. Nos preguntamos:
¿Cómo podemos lograr que un triángulo se mueva libremente en una
circunferencia? La construcción debe realizarse de modo que los tres vértices
puedan moverse libremente en la circunferencia de suerte que se pueda observar
el movimiento resultante del ortocentro. Para ello activaremos la traza para ese
punto. Por otra parte, en la Figura 3 se ha construido un triángulo con las
características que acabamos de enunciar, y en él se ha construido el ortocentro
empleando dos de las tres alturas. Para mayor claridad se han ocultado las líneas
empleadas en la construcción del ortocentro. En la Figura 4 se puede apreciar el
trazo resultante a medida que se mueve el ortocentro como resultado del
movimiento del vértice B alrededor de la circunferencia.
La Geometría Dinámica, página 9
Preguntas guías para la realización de observaciones:
1. ¿Qué crees que ocurre? ¿Qué propiedades del comportamiento dinámico de la
figura podemos conjeturar?
2. Repite el proceso con el movimiento de los vértices A y C, respectivamente, y
observa. ¿Se refuerza o se refuta tu conjetura?
Figura 3
Figura 4
Figura 5
La Geometría Dinámica, página 10
Formulación de conjeturas
1. Aparentemente, la trayectoria del ortocentro es una circunferencia congruente con
la circunferencia en la que está inscrito el triángulo. Prueba la conjetura.
[Sugerencias: Algunas propiedades conocidas pudiesen muy bien ser relevantes en
la dilucidación del problema sobre decidir cuándo un conjunto de puntos dados
queda sobre una circunferencia. Piensa en primer lugar en los teoremas sobre las
condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea concíclico2. Piensa también en la
caracterización del arco capaz como el lugar geométrico de los puntos desde los
cuales se ve un segmento bajo un ángulo fijo. Observa que el ángulo B en la Figuras
6 y 7 es un ángulo constante, inscrito sobre la cuerda AC del círculo y analiza la
relación entre el ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices A y C y
el ángulo B del triángulo.
Figura 6
Traza las alturas mencionadas y utiliza el instrumento de medición de GC para
obtener el valor de los ángulos implicados.
Cambia la forma del triángulo moviendo vértices sobre la circunferencia. Nota
2 Es decir, inscriptible en un círculo.
La Geometría Dinámica, página 11
que en las Figuras 6 y 7 se han representado dos posiciones diferentes del
triángulo. ¿Qué puedes decir sobre los dos ángulos mencionados? ¿Cuál es su
suma? ¿Qué sugiere esto respecto a una posible confirmación de la conjetura?
¿Puedes escribir ahora una demostración?
Figura 7
Comienza trazando una figura como la que aparece en la de la Figura 8 a
continuación.
Figura 8
Intenta ahora hallar una relación entre el ángulo AHC, formado por las alturas y
el ángulo B del triángulo. Como sospechas que estos ángulos son suplementa-
La Geometría Dinámica, página 12
rios, podrías investigar la relación del ángulo AHC con los ángulos A y C (cuya
suma angular es suplementaria al ángulo B). Prueba que ∠HAC = 90° − ∠C y
que ∠HCA = 90° − ∠A , para luego concluir que ∠HAC + ∠HCA = 180° −
∠A + ∠C( ) = 180° − ∠B( ). Esto funciona en el arco más pequeño. Para el arco
mayor algo análogo funciona.]
2. La segunda conjetura se refiere a la congruencia de ambas circunferencias. Recuer-
da que dos circunferencias son congruentes si y sólo si sus radios son iguales.
Recuerda que el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo R, está dada por
la relación b/sen (B) = 2R , donde b es el lado opuesto al ángulo B. Explica
entonces, empleando el problema anterior, ¿por qué las circunferencias son
congruentes?
La Geometría Dinámica, página 13
Actividad III: Más sobre el ortocentro (GS)
Las cuerdas en movimiento y las alturas de los triángulos
El ambiente de exploración
En este ejemplo transformamos un poco las condiciones del ejemplo de la Actividad
I para relacionarlo con la Actividad II. Dibuja una circunferencia y en ella traza una
cuerda como la que se muestra.
Figura 1
Esta cuerda permanecerá, como veremos, inmóvil en el presente experimento.
Emplea los recursos del programa GS, dibuja otra cuerda cuyos extremos no
coincidan con los de la cuerda ya dibujada y rotula un extremo como PM (“punto
móvil” -el otro extremo, PF, es el “punto fijo” de la cuerda-).
Figura 2
La Geometría Dinámica, página 14
Luego dibuja una perpendicular desde PM a la recta que contiene la cuerda inicial
AB como se muestra en la Figura 3. Construye una perpendicular desde el punto B
hasta la recta que contiene el segmento que va desde PF a PM. En la Figura 4 se
aprecian ambas perpendiculares dibujadas y el punto de intersección de tales
perpendiculares. ¿Hay algunas rectas ocultas en la figura?
Figura 3
Figura 4
La Geometría Dinámica, página 15
Figura 5
Ahora realiza los ajustes necesarios para que el punto de intersección genere un
trazo al mover el punto PM a lo largo de la circunferencia. Como una opción
adicional, si deseas, puedes dar animación al punto P para que se mueva alrededor
de la circunferencia. Notarás en la Figura 5 una curva un tanto exótica que queremos
investigar (se han ocultado las perpendiculares trazadas). En las Figuras 6 y 7 se
pueden apreciar varias de las curvas que se generan a medida que se cambia la
posición del punto PF.
Figura 6
Figura 7
Nota que en la Figura 7 los trazos obtenidos son “casi” círculos, lo que aparenta
haber ocurrido cuando el punto PF “casi” coincide con el extremo A de la cuerda
La Geometría Dinámica, página 16
original, o cuando PF coincide con la reflexión del punto A en torno al diámetro del
círculo paralelo a la cuerda original.
Preguntas guías para la realización de observaciones:
L1
L2
PF = (c, d)
PM = (rcos(t), rsen(t))
A = (0, a)
B = (0, -a)
(0, 0)
Figura 8
Considera la Figura 8. En ella hemos representado el punto móvil PM a base de las
funciones trigonométricas del ángulo t, medido en posición normal en el círculo con
centro en el origen y radio r. Además hemos colocado la cuerda original
verticalmente, de manera que los extremos sean puntos en una recta vertical con
coordenadas (a, b) y (a, -b), de manera que PF tenga coordenadas (c, d). Claramente
la curva original diferirá de ésta por una rotación y alguna traslación, ¿por qué?
Hemos denotado por (x, y) al punto de intersección de las perpendiculares descritas
anteriormente en el enunciado del problema.
La Geometría Dinámica, página 17
1. Prueba que si r es el radio del círculo, entonces:
La ecuación de la recta desde el punto B perpendicular al segmento que une
los puntos PF y PM esta dada por
y + b = −
r cos( t ) − cr sen (t) − d
x − a( ).
Claramente, la recta desde PM perpendicular a la recta AB esta dada por
y = r sent .
El punto de intersección de estas dos rectas es:
x =
− r2sen 2 (t) + ar cos( t) − (b − d)r sen(t) + (bd − ac)r cos( t ) − c
(I - a)
y = r sent (I - b)
Claramente podemos emplear la calculadora para resolver el problema bajo
consideración. En las siguientes pantallas se han representado en el editor de
ecuaciones paramétricas de una calculadora Voyage 200 las ecuaciones de arriba,
tomando r =1, y ubicando a PF en los puntos indicados.
Izquierda c = 0, d = 1; derecha c = - 1, d=0Figura 9
Repite el procedimiento ubicando el “punto fijo” de la cuerda movible en
La Geometría Dinámica, página 18
diferentes lugares de la circunferencia. Observa las gráficas que se obtienen con
la re-ubicación del extremo fijo de la cuerda.
Izquierda c = 0, d = -1; derecha c = - 2 /2 , d= - 2 /2Figura 10
Formulación de conjeturas:
1. Describe las curvas que se obtienen cuando el punto fijo de la cuerda móvil se
coloca sobre el extremo A de la cuerda fija inicial de la circunferencia. ¿Pasa algo
similar en el extremo B?
Figura 11
2. Dibuja la bisectriz perpendicular de la cuerda fija inicial del círculo y
construye los dos puntos de intersección con la circunferencia. ¿Qué ocurre
con la curva que se traza a medida que el punto fijo se acerca a los puntos
construidos? ¿Qué puedes conjeturar sobre las “curvas límites”? En la Figura
12 se muestran los resultados que se obtienen en las trazas cuando el extremo
La Geometría Dinámica, página 19
fijo de la cuerda móvil se ha colocado sobre una de las intersecciones de la
bisectriz perpendicular de la cuerda fija con la circunferencia original.
Figura 12
3. Prueba que a medida que el punto (c, d) se “acerca” al punto (a, b), el trazo de
las ecuaciones paramétricas I – a y I – b se “acerca” a una circunferencia. En
las ecuaciones paramétricas I – a y I – b supón que el punto (c, d) coincide con
el punto (a, b). [Sugerencias: Demuestra primero que,
x = a +
bd − r2 + r 2 cos 2 (t) + (d − b)cos( t )r cos( t ) − c
.
Luego sustituye c = a y d = b y demuestra que las ecuaciones se transforman
en
x = 2a + r cos( t)
y = r sen(t) .
Observa que estas son las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro
(2a, 0) y radio r, y que en efecto es la imagen bajo una reflexión3 en torno a la
recta vertical x = a del círculo original. Repite el procedimiento con el punto c
= -a y d = b. ¿Qué obtienes? Completa la siguiente conjetura: “El lugar
3 Una reflexión respecto a una recta L es una transformación que deja fijos los puntos de la recta y que envíacualquier otro punto P al punto en el lado opuesto de la recta P´, de manera que L biseca perpendicularmente alsegmento PP´. Véase sección sobre homotecias y movimientos rígidos.
La Geometría Dinámica, página 20
geométrico del ortocentro4, de un triángulo inscrito en una circunferencia, a
medida que uno de sus vértices se mueve a lo largo de la circunferencia es…
Debes emplear la palabra “reflexión”. Formula otra conjetura similar de
acuerdo a lo discutido en este problema].
4. Se tiene un círculo con una cuerda fija y se construyen los puntos del círculo
en la bisectriz perpendicular de esta cuerda fija. Luego se traza una cuerda
desde uno de estos dos puntos, digamos D, hasta otro punto P en la
circunferencia y se construye el punto de intersección X de la perpendicular
de DP en D y la perpendicular desde P a la recta que contiene la cuerda fija
original (cuando existe tal intersección). Describe el lugar geométrico de X, a
medida que P se mueve a lo largo de la circunferencia original. Tu conjetura
debe emplear frases como “recta tangente a la circunferencia en D” y
“reflexión del círculo”.
5. Demuestra tu conjetura.
44 En la Geometría plana se demuestra que las tres alturas de un triángulo se encuentran en un punto llamadoortocentro. Véase actividad anterior.
La Geometría Dinámica, página 21
Actividad IV: Rectas y ángulos (GC)
El ambiente de exploración
En esta actividad nos proponemos estudiar las relaciones que se establecen entre
los ángulos determinados por la intersección de dos o más rectas no paralelas en
el plano. La situación más simple se produce en el caso de dos rectas no
paralelas. Este será nuestro tema de exploración en esta actividad. Esta es una
situación conocida por nosotros desde grados tempranos de los estudios
escolares. En nuestra exploración de los ángulos formados por dos rectas no
paralelas emplearemos el programa de la GC. La Figura 1 muestra una situación
particular, pero típica, en la que se muestra que dos rectas no paralelas han
determinado cuatro ángulos, aunque tan sólo dos medidas angulares. Nota que
los ángulos son iguales dos a dos.
Figura 1
En esta imagen se puede ver que los ángulos que se oponen por el vértice tienen
la misma medida, mientras que los que yacen sobre una misma recta (los
adyacentes) son suplementarios. Ahora exploramos un poco para ver si tal
circunstancia se debe a una posición particular de las rectas o es una
La Geometría Dinámica, página 22
característica general de este tipo de situación geométrica. Emplea las
funcionalidades dinámicas de la GC, mueve las rectas y observa cómo cambian
los ángulos resultantes; examina la Figura 2. ¿Qué observas?
Figura 2
Formulación de conjeturas:
1. Ahora añade una tercera recta a la figura de suerte que no haya ningún par
de ellas paralelas. Es decir, estarás explorando la situación general de dos
rectas que son cortadas por una secante o transversal. Aunque inicialmente te
hemos indicado que la exploración se hará suponiendo que ningún par de las
rectas trazadas son paralelas, más adelante no asumiremos ninguna posición
especial para tales rectas.
Figura 3
La Geometría Dinámica, página 23
2. Representa en una figura, como la 3, la situación descrita a continuación.
Emplea los recursos y las funciones del Cabri para representar rectas generales.
En nuestro caso se puede apreciar que las rectas representadas no son paralelas.
¿Cuántos ángulos han determinado las rectas representadas? Recuerda que los
ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida, ¿cuántas medidas
angulares puedes identificar? Ahora debes mover la figura y observar lo que
ocurre. ¿Cuántos ángulos observas? ¿Cuántas medidas? Nota que siempre se
tienen ocho ángulos y cuatro medidas independientes.
Esta situación se ilustra en la Figura 4, en otra posición.
Figura 4
¿Qué conjeturas puedes formular sobre los ángulos que forman dos rectas
cortadas por una transversal?
La Geometría Dinámica, página 24
Figura 5
3. Exploremos ahora con algunos casos especiales. Dibuja dos rectas paralelas y
traza una transversal o secante. Piensa en alguna situación como la que se ha
representado en la Figura 5.
4. ¿Cuántos ángulos puedes identificar? ¿Cuántas medidas? ¿Cómo comparan el
número de ángulos y el número de medidas angulares de este caso con el caso de
una sola recta cortada por una transversal? ¿Qué puedes decir de las medidas de
todos los ángulos agudos y todos los ángulos obtusos en este caso?
5. La conjetura del problema anterior sintetiza los teoremas relativos a ángulos
entre paralelas cortadas por una secante y también hace evidente que se trata de
un resultado que se ajusta al caso de las rectas paralelas. Sin embargo, para
garantizar la veracidad del resultado, se requiere una demostración. En este
ejercicio te pedimos que confecciones tal demostración y para ello te ofrecemos
las siguientes sugerencias. Primeramente, observa que se requiere demostrar que
los ángulos en las mismas posiciones son congruentes; ver la Figura 6. Esa idea
nos hace pensar en la posibilidad de desplazar una recta respecto a la otra.
La Geometría Dinámica, página 25
Figura 6
Esta operación se representa en las Figuras 6 y 7, en las que sólo se han representado
las medidas de dos ángulos correspondientes para simplificarlas. La Figura 7 es el
resultado de realizar una traslación en la dirección de la recta secante y se puede
comprobar que los ángulos de la misma denominación se superponen, es decir,
tienen la misma medida.
Figura 7
De esta forma se elabora el siguiente resultado: Cuando dos rectas son cortadas
por una secante, si dichas rectas son paralelas, y sólo si lo son, los ángulos de la
misma denominación son iguales y los de diferente denominación son
suplementarios. ¿Qué crees que significa la terminología del resultado? ¿Puedes
confeccionar un argumento que demuestre la aseveración?
La Geometría Dinámica, página 26
La Geometría Dinámica, página 27
Actividad V: Los ángulos de un triángulo (GC)
El ambiente de exploración
En esta actividad continuaremos investigando sobre ángulos. En la anterior ana-
lizamos lo que se puede decir cuando los ángulos se generan al cortarse dos
rectas o cuando una recta corta a otras dos y, en particular cuando esas dos rectas
son paralelas. En esta actividad nos referimos a tres rectas en posición general,
que determinan un triángulo y a todos los ángulos que se generan en esa situa-
ción. ¿Puedes explicar porqué en esta situación, en la que hay tres puntos en los
que se intersectan las rectas tomadas por pares, hay un total de 12 ángulos que
son iguales por pares? Examina la Figura 1.
Figura 1
¿Por qué entonces resultan seis medidas diferentes que resultan ser suplemen-
tarias dos a dos? Así pues se tienen tres valores independientes como se muestra
en la Figura 2. Nos preguntamos entonces si estos tres valores son realmente
independientes o es posible encontrar alguna relación entre ellos. Seguramente
has escuchado que la suma de tales ángulos es 180º. Ahora queremos crear un
ambiente de exploración y búsqueda que te permita decidir la naturaleza de la
La Geometría Dinámica, página 28
suma mencionada.
Figura 2
Formulación de conjeturas:
1. Ante una situación como la representada en la Figura 2 es difícil formular una
conjetura razonable. En la situación presente eso significa fijar el valor de alguna
de las medidas.
2. Comencemos considerando que uno de los ángulos es recto. Esta idea puede ser
fructífera, ya que de esa forma quedan sólo dos valores independientes y es más
sencillo formular una conjetura. La Figura 3 ilustra la situación que resulta.
Figura 3
¿Qué puedes observar de los dos ángulos agudos del triángulo? ¿Qué se observa
La Geometría Dinámica, página 29
de los ángulos externos del triángulo? Formula conjeturas que comiencen de la
siguiente manera: La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es…
La suma de cada uno de los ángulos exteriores de un triángulo rectángulo es igual a la
suma…
3. Nota que una de las afirmaciones está muy ligada a la situación particular que
hemos elegido. Transforma ahora la figura empleando los recursos del
programa. La Figura 4 por ejemplo muestra una tal transformación. ¿Qué puedes
decir de tus conjeturas a la luz de tal transformación?
Figura 4
4. En la Matemática se emplea con frecuencia la consideración de casos especiales
(como en el ejercicio anterior), de una situación dada para luego emplear tales
casos en la dilucidación de la situación general. Considera ahora el caso general;
en la Figura 5 hemos representado una tal “situación general”. Compara en este
caso también la medida de cada ángulo exterior con la suma de las medidas de
los dos interiores no adyacentes. ¿Qué puedes observar? Con respecto a los
ángulos interiores, ¿se conserva acaso la condición de que la suma de dos de
ellos sea igual al tercero? ¿Puedes decir algo sobre la suma de los tres ángulos
La Geometría Dinámica, página 30
internos? ¿Cómo compara esto con la conjetura correspondiente en el caso del
triángulo rectángulo?
Figura 5
Transforma aún más la figura, como se ha hecho, por ejemplo, en las Figuras 6 y
7.
Figura 6
Figura 7
La Geometría Dinámica, página 31
5. Ahora te pedimos que confecciones una demostración para la propiedad sobre la
suma de los ángulos internos de un triángulo arbitrario. Para ello te pedimos que
recuerdes la Actividad IV. En nuestro caso, sin embargo no parecen haber rectas
paralelas. Sin embargo, es posible introducirlas trazando una recta a través de un
vértice y paralela al lado opuesto. Traza una tal recta en tu figura; observa la
Figura 8.
Nota la recta paralela trazada. ¿Cómo “descompone” esta recta al ángulo exte-
rior? ¿Cómo comparan los ángulos de la descomposición con los ángulos
interiores no adyacentes? ¿Cómo puedes justificar esta igualdad a base de las
propiedades que has estudiado sobre dos rectas paralelas cortadas por una
secante? Nota que en cada caso la secante es la recta que contiene a uno de los
lados del triángulo.
Figura 8
La Geometría Dinámica, página 32
La Geometría Dinámica, página 33
Actividad VI: Las cuerdas en movimiento y las medianas de los triángulos (GS)
El ambiente de exploración
En este ejemplo transformamos un poco las condiciones del ejemplo de la
Actividad III. Dibuja una circunferencia y en ella traza una cuerda como la que
se muestra.
Figura 1
Esta cuerda permanecerá, como veremos, inmóvil en el presente experimento.
Emplea los recursos del programa GS, dibuja otra cuerda cuyos extremos no
coincidan con los de la cuerda ya dibujada y rotula un extremo como PM (punto
móvil -el otro extremo, PF, es el “punto fijo” de la cuerda-).
Figura 2
La Geometría Dinámica, página 34
Luego dibuja los puntos medios de las cuerdas trazadas, como se muestra en la
Figura 3 (M y N) y construye los segmentos de PM a M y de B a N, como se
muestra en la misma figura. Continúa construyendo el punto de intersección de
los segmentos. Luego oculta los segmentos y “marca” el punto de intersección,
para que describa un trazo cuando se mueva.
Figura 3
Figura 4
La Geometría Dinámica, página 35
Figura 5
En las Figuras 4 y 5 se pueden apreciar los trazos del punto de intersección de los
segmentos a medida que ubicamos el punto PF en diferentes lugares de la
circunferencia. Puedes notar que en el caso en que el punto fijo se hace coincidir
con el punto A, parecería que la traza describe un círculo como en la Figura 6.
Figura 6
Formulación de conjeturas:
1. Describe las curvas que se obtienen cuando el punto fijo de la cuerda móvil se
coloca sobre el extremo A de la cuerda fija inicial de la circunferencia. ¿Pasa algo
similar en el extremo B? ¿Qué crees que ocurre en el extremo B? ¿Qué piensas
hubiese ocurrido si en lugar de dibujar segmentos hubiésemos dibujado rectas?
Repite el experimento dibujando rectas en lugar de segmentos y contrasta lo que
observas en tal caso, con lo que observaste en este caso.
2. Considera la Figura 7 en la que vemos el círculo dibujado y en la que hemos
trazado los segmentos descritos anteriormente. En este ejercicio deseamos
determinar las ecuaciones paramétricas del punto de intersección de las rectas
La Geometría Dinámica, página 36
que pasan, por un lado por los puntos N, B, y por el otro, por los puntos M y PM.
Nota que como hicimos anteriormente, hemos expresado las coordenadas del
punto PM como funciones trigonométricas del ángulo en posición normal del
punto. Demuestra que las coordenadas del punto de intersección están dadas
por:
x =
br 2 cos 2( t) + r(bc − a(b − d))cos(t) + a(r(a − c)sen( t) − ad − bc )r(2b + d)cos(t) + r(a − c)sen (t ) − a(2b + d)
y =
br sen(t)(r cos(t) − 2a + c)r(2b + d)cos( t ) + r(a − c)sen (t) − a(2b + d)
PF = (c, d)A = (a, b)
B = (a, -b)PM = (r cos(t), r sen(t))
Figura 7
[Sugerencias: Coloca la cuerda fija AB de manera vertical en un sistema de
coordenadas, como se muestra, y sea M el punto medio de la cuerda (Nota que M
= (a, 0).) Demuestra que la recta que pasa B y M tiene ecuación
La Geometría Dinámica, página 37
y + b =
d + 2b + r sen(t)c − 2a + r cos( t)
(x − a).
Por otra parte la ecuación de la recta que pasa por D y N, el punto medio del
segmento de PF a PM, tiene ecuación
y =
r sen(t )r cos( t ) − a
(x − a) .
Si resuelves simultáneamente por x y por y tenemos,
x =
br 2 cos 2( t) + r(bc − a(b − d))cos(t) + a(r(a − c)sen( t) − ad − bc )r(2b + d)cos(t) + r(a − c)sen (t ) − a(2b + d)
y =
br sen (t)(r cos( t) − 2a + c)r(2 b + d)cos( t ) + r(a − c)sen (t) − a(2b + d)
.
Puedes graficar estas ecuaciones paramétricas para distintos valores de a, b, c, d
y r, sujetos, claro está a las relaciones que hay entre estas variables que se
deducen del hecho de que los pares (a, b) y (c, d) están en el círculo de radio r.
En la Figura 33 la pantalla de la izquierda corresponde a los valores r=1,
a = b = 2 /2 , c = 1 , d = 0. La pantalla de la derecha corresponde a los valores
r=1, a = b = 2 /2 , c = 1, d = 0.
Figura 8
Notarás que en estas pantallas aparecen asíntotas, que corresponden a valores en
La Geometría Dinámica, página 38
los que se anulan denominadores (hablando un tanto informalmente, el “lápiz”
de la calculadora tiene que “regresar” de un extremo del infinito al otro y deja
una huella que es la asíntota). En el GC se puede hacer el mismo experimento
con mejores resultados gráficos, pero en este caso queremos verificar que
obtenemos los mismos trazos que con el GS].
3. Examina las ecuaciones paramétricas obtenidas, predice qué ocurre cuando el
punto (c, d) coincide con el punto (a, b). Demuestra que el trazo límite es
x =
r3
cos(t) +2 a3
y =
r3
sen (t ) .
¿Cuál es la gráfica de estas ecuaciones paramétricas? Demuestra qué es un
círculo de radio r/3 y centro (2a/3, 0). Recuerda que las medianas de un
triángulo se encuentran en un punto común conocido como el centroide o
baricentro. Concluye que el lugar geométrico del punto del baricentro de un
triángulo inscrito en un círculo, uno de cuyos vértices se mueve a lo largo de la
circunferencia es la imagen homotésica del círculo original, la cuál es un círculo
con centro… y radio…
La Geometría Dinámica, página 39
Figura 9
4. Repite el ejercicio 3, cuando el punto (c, d) coincide con el punto (a, -b). ¿Cuál
es el lugar geométrico en este caso? ¿Por qué?
La Geometría Dinámica, página 40
Actividad VII: Las homotecias (Interludio, GS)
Introducción
Una transformación del plano es una función que a cada punto P del plano se le
asigna algún otro punto del plano, digamos H(P). Por ejemplo, la corresponden-
cia que mueve cada punto del plano tres unidades a la derecha es una
transformación del plano llamada traslación. En nuestro caso estamos interesados
en ciertas transformaciones del plano llamadas homotecias. En esta discusión
denotaremos por |P, Q| a la distancia entre los puntos P y Q del plano. Al
utilizar esta notación podemos decir que una homotecia H es una transformación
del plano, para la cual existe algún número α tal que |H(P),H(Q)| = α |P, Q|
para todos los puntos P y Q del plano. Si α > 1 decimos que H es una ampliación
y si α < 1, decimos que H es una contracción. El caso α = 1 es particularmente
interesante, como veremos, y en tal caso decimos que H es un movimiento rígido
del plano. En esta sección todas nuestras homotecias serán contracciones. Una
propiedad interesante de las contracciones es que todas tienen un punto fijo
único llamado centro; un punto fijo de una transformación H es un punto P que
queda inmóvil bajo la acción de la transformación, es decir, tal que H(P) = P. ¿Por
qué necesariamente tiene que ser único un punto fijo de una homotecia? Sin
embargo, como el lector fácilmente descubre, los movimientos rígidos pueden
tener un número infinito de puntos fijos.
El ambiente de exploración
En los programas de exploración geométrica que estamos utilizando, es posible
La Geometría Dinámica, página 41
representar ampliaciones y contracciones del plano. Por ejemplo en el GS una
homotecia (llamada genéricamente dilatación), se específica mediante dos
parámetros, como se muestra en la siguiente pantalla:
.
Figura 1
La razón indicada (en este caso 1:2) muestra que se trata de una homotecia con
parámetro α = 1/2.
Preguntas guías para la realización de observaciones:
Dibuja un triángulo, un círculo y un ángulo en la pantalla del GS. Escoge además un
centro C para la homotecia con parámetro α = 1/2. El resultado obtenido podría ser
parecido al que se muestra en la figura 2.
Figura 2
La Geometría Dinámica, página 42
Luego de completar el trazado de las figuras indicadas, escógelas todas y aplica una
transformación homotésica, primeramente con razón α = 1/2 y luego con α = 1/3.
En la próxima figura se muestra la transformación con el valor α = 1/2 y en la que
sigue inmediatamente se observa la transformación correspondiente con α = 1/3.
Figura 3
Figura 4
En cada caso identifica las figuras originales así como las imágenes homotésicas
correspondientes. Nota que en algunos casos las figuras obtenidas son
congruentes (es decir una de ellas se puede hacer coincidir con la otra luego de
un movimiento rígido5). En otros casos las figuras obtenidas son similares, es
5 En algunos casos esta definición se sustituye por otra que no permite la reflexión de una figura, pues la últimatiene “salir del plano” para asumir su nueva posición. En esta sección no emplearemos esta variante de ladefinición.
La Geometría Dinámica, página 43
decir, las razones de partes correspondientes siempre son por la misma razón (en
este caso α). Determina el caso del que se trata en cada una de las figuras
dibujadas.
1. Demuestra que una homotecia H es una transformación “inyectiva” o uno-
uno, es decir, si P y Q son puntos del plano y H(P) = H(Q), entonces P = Q.
2. ¿Cuál es la imagen homotésica de un círculo? Es decir, ¿qué figura se forma al
transformar un círculo mediante una homotecia? Pruébalo; es fácil probar qué
es parte de un círculo, pero no tan fácil probar qué es un círculo completo. En
otras palabras, para una homotecia dada, no sabemos que cualquier punto
arbitrario del plano es la imagen homotésica de algún otro punto del plano
(Es decir, en lenguaje matemático, no sabemos que una homotecia es una
función del plano sobre sí mismo –y lo es-).
3. ¿Cuál es la imagen homotésica de un triángulo? Describe la relación entre el
triángulo original y el triángulo transformado empleando la palabra
“similar”. (Aquí también aplican los comentarios del ejercicio anterior.
Puedes suponer que una homotecia es una transformación o función del
plano sobre el plano).
4. ¿Cuál es la imagen homotésica de un ángulo (Dos rayos con un punto
común)? ¿Cambiará su medida?
5. Traza un círculo como el que se muestra en la figura 5 y toma un punto
arbitrario A como centro de una homotecia que ahora definiremos.
La Geometría Dinámica, página 44
Figura 5
Determina ahora la imagen homotésica del círculo con razón 1/2.
Figura 6
Luego, traza una cuerda desde el punto A hasta algún otro punto de la
circunferencia.
Figura 7
Halla el punto o los puntos de intersección de la cuerda trazada con el círculo
La Geometría Dinámica, página 45
transformado y rotula los mismos como se muestra en la figura.
Figura 8
Traza segmentos entre los puntos A y B y entre los puntos B y C. Utiliza los
recursos de medición del programa geométrico para determinar las longitudes
de tales segmentos. ¿Qué observas? (Véase Figuras 9 y 10) Mueve le punto C
para que ocupe diferentes posiciones en la circunferencia. ¿Qué observas? ¿Qué
puedes decir del punto medio de una cuerda de un círculo a medida que un
extremo se mueve a lo largo del círculo?
Formulación de conjeturas:
1. ¿Cuál es la imagen homotésica de un círculo?
2. ¿Cuál es la imagen homotésica de un triángulo? Describe la relación entre el
triángulo original y el triángulo transformado, emplea la palabra “similar”.
3. ¿Cuál es la imagen homotésica del ángulo (Dos rayos con un punto común)?
4. Demuestra que toda contracción tiene un punto fijo único y que ese punto es
el centro. Demuestra lo mismo para las ampliaciones (α > 1). ¿Qué ocurre
cuando α = 1? ¿Puedes caracterizar todas las homotecias del plano con α = 1,
La Geometría Dinámica, página 46
es decir, todos los movimientos rígidos del plano?
Figura 9
Figura 10
5. ¿Qué tienen que ver las imágenes homotésicas de un círculo con el lugar
geométrico del punto medio de una cuerda del mismo, uno de cuyos extre-
mos se mueve libremente en la circunferencia? ¿Puedes demostrar la conje-
tura?
6. ¿Cómo se transforma el área de una figura en una transformación homoté-
sica? Prueba tu conjetura para algunas figuras como triángulos, cuadrados y
círculos.
La Geometría Dinámica, página 47
Actividad VIII: Algunos problemas optativos sobre la Geometría Analítica del
plano: Las homotecias y los movimientos rígidos (GS)
El ambiente de exploración
Demuestra o convéncete de algún modo que toda homotecia con parámetro α < 1
tiene un punto fijo único conocido como centro. ¿Qué ocurre cuando α ≥ 1?
Muestra mediante ejemplos que en el caso α = 1 puede ocurrir lo siguiente: que
todos los puntos del plano podrían ser puntos fijos, que el conjunto de todos los
puntos fijos formen una recta, o sólo existe un punto fijo. ¿Te aventuras a describir
todos los movimientos rígidos del plano (α = 1)? [Sugerencia: Dada una homotecia
H, considera las imágenes repetidas de un punto P: H(P), H(H(P)), H(H(H(P))), etc.
Emplea el GS para representar tales imágenes. Observa la figura que se obtiene con
α = 1/2].
Figura 1
La Geometría Dinámica, página 48
Preguntas guías para la realización de observaciones:
1. Una reflexión sobre una recta L es una función RL que envía los puntos del plano al
plano mismo de tal manera que:
a. Si P es un punto de L, entonces RL (P) = P;
b. Si P no es un punto de L, entonces RL (P) es el punto distinto de P tal
que la recta L es la bisectriz perpendicular del segmento de P a RL (P) .
Figura 2
Demuestra que si RL es una reflexión, entonces RL es una composición de la forma
TQ °R ′ L , donde TQ es una traslación por un punto Q y R ′ L es una reflexión sobre una
recta ′ L que pasa por el origen. [Sugerencia: Una traslación por un punto (o vector
Q) es la transformación o función TQ definida por TQ(P) = P− Q para todo punto P
del plano; aquí la operación de resta es la “vectorial” usual dada por
x,y( )− ′ x , ′ y ( ) = x − ′ x ,y − ′ y ( ) , donde todas las variables representan números reales.
2. Sea RL una reflexión sobre la recta L y suponga que L pasa por el origen. Enton-
ces existen números reales h y k tal que y R L[(x, y)] = hx + ky , kx − hy( ), donde
h2 + k 2 = 1, y la relación es válida para todo punto del plano (x, y). [Sugerencias
La Geometría Dinámica, página 49
para una demostración: Sea θ ∈[0,π ) la inclinación de la recta L y sean c = cos(θ) ,
s= sen(θ ) . Verifica que la ecuación de L este dada por cy – sx = 0. Sea (u, v) un
punto cualquiera del plano y nota que la distancia de (u, v) a la recta L es |cv –
su|. Discutimos el caso |cv – su| = cv – su; el otro caso es similar. Prueba que la
ecuación de la recta a través de (u, v) y perpendicular a L está dada por sy + cx =
sv + cu. La intersección de esta última recta con la recta L se puede demostrar
que tiene coordenadas x = c(sv + cu) y y = s(sv + cu). El punto de reflexión
deseado entonces estaría dado por,
2(c(sv + cu), s(sv + cu)) – (u, v) = 2csv + c2u − s2u, 2csu + s 2v - c2v( ).
Nota que este último punto no es otro que,
sen 2θ( )v + cos 2θ( )u, sen 2θ( )u- cos 2θ( )v( ) y esta claro cuáles son los escogidos de h
y k].
3. Demuestra que la función RL como la definida en el ejercicio anterior es una
reflexión sobre una recta L que pasa por el origen.
4. En este ejercicio se presentan sugerencias para determinar todos los movimientos
rígidos del plano que fijan el origen. Supón que T es un movimiento rígido del
plano, es decir, que para todo par de puntos P y Q del plano, |T(P),T(Q)|= |P.
Q|. Suponga que además T fija el origen O = (0, 0), es decir, T(O) = O. Tomamos
dos puntos especiales U = (1,0) y V = (0, 1). Suponemos que las imágenes de U y
V bajo la acción de T están dadas, digamos, por (c, s) y (a, b) respectivamente.
Pruebe las relaciones
La Geometría Dinámica, página 50
| T(U), T(V)| = 2
| T(U),0| = 1
| T(V),0| = 1
y demuestra mediante ellas que,
c2 + s 2 = 1
a 2 + b 2 = 1
c − a( )2 + s − b( )2 = 1
De estas últimas relaciones prueba que ac + bs =0 y finalmente, que i) a = - s y b =
c, o que ii) a = s y b = - c. Damos sugerencias para el caso i), ya que es el caso ii)
uno análogo. Sea P = (x, y) un punto arbitrario del plano. Supón que T(P) = (w, z)
y calcula las siguientes cantidades,
|O, T(U)| = |O, U|
|O, T(P)| = |O, P|
|T(P), T(U)| = |P, U|, y
|T(P), T(V)| = |P, V|,
para obtener las relaciones siguientes:
c2 + s2 = 1
w 2 + z 2 = x 2 + y 2
w − c( )2 + z − s( )2 = x − 1( )2 + y2
w + s( )2 + z − c( )2 = x 2 + y − 1( )2
Demuestra entonces que x = wc + zs y que y = zc – ws. Al resolver estas
La Geometría Dinámica, página 51
ecuaciones por w y z vemos que T[(x, y)] = (w, z) = (sx + cy , cx – sy). De acuerdo
al ejercicio 3, en este caso T es una reflexión sobre una recta. En el caso restante,
el lector puede demostrar, si empleamos razonamientos análogos, que para todo
par de números reales x. y tenemos T[(x, y)] = (cx - sy , sx + cy). Ésta es una
rotación del plano que deja el origen fijo. Invitamos al lector que experimente con
valores específicos de s y c para explorar las diferencias entre los dos tipos de
movimientos rígidos.
5. Demuestra que todo movimiento rígido del plano es la composición de una
rotación en torno al origen y una traslación.
6. Observa que la transformación identidad es una rotación, (¿por qué?) pero no
una reflexión. Demuestra además, que si dos rotaciones en torno al origen (es
decir, que fijan el origen) se componen, entonces la función resultante es otra
rotación. Demuestra también que una rotación en torno al origen es una función
1-1 (como todas las homotecias) y también sobre. Por lo tanto la función inversa
existe. Prueba que ésta última es también una rotación. Demuestra que la
composición de rotaciones que fijan al origen es una operación conmutativa, es
decir, si R y S son rotaciones en torno al origen, entonces R °S = S°R. Todas estas
propiedades sobre las rotaciones se resumen al decir que “las rotaciones en torno
al origen forman un grupo comutativo bajo la operación de composición”.
7. Demuestra que si H es una homotecia con factor α , entonces existen números
reales a, b, h, k, tal que a2 + b2 = α 2 y se cumple una de las siguientes
condiciones:
La Geometría Dinámica, página 52
H[(x,y)] = (ax− by + h,bx+ ay+ k) para todo punto del plano (x, y), o
H[(x,y)] = (ax+ by + h,bx− ay+ k) para todo punto del plano (x, y).
Además toda transformación de este tipo es una homotecia con parámetro
α = a2 + b2 .
[Sugerencia: Luego de una traslación se obtiene una homotecia que fija el origen
′ H y 1
α′ H es un movimiento rígido.]
8. Una función f : R → R es un movimiento rígido de la recta si |f(x) – f(y)| = |x –
y| para todo par de números reales x, y. Demuestra que existe un número real b
tal que i) f(x) = x + b para todo número real x, o ii) ) f(x) = - x + b para todo
número real x.
9. Indica por qué el siguiente argumento para demostrar el ejercicio anterior es
inadecuado: “Como f es un movimiento rígido, |f(x) – f(0)| = |x – 0| = |x| y
tenemos f(x) – f(0) = ± x. Por lo tanto, f(x) = ± x + b para toda x, donde b = f(0)”.
La Geometría Dinámica, página 53
Actividad IX: Las bisectrices angulares y los equicentros (GC)
El ambiente de exploración
En esta actividad continuaremos en la exploración de los puntos notables de un
triángulo. En este caso se trata de las bisectrices de los ángulos interiores de un
triángulo cualquiera. En la Geometría Clásica se demuestra que tales bisectrices
concurren todas en un punto llamado el incentro. En la Figura 1 hemos trazado las
tres bisectrices de un triángulo arbitrario.
Figura 1
Figura 2
Resulta verdaderamente sorprendente que las tres bisectrices concurran en un
mismo punto. Emplea los recursos dinámicos del programa para transformar el
triángulo original. En la Figura 2 se muestra una tal transformación. Observa que
La Geometría Dinámica, página 54
las bisectrices angulares siguen siendo concurrentes. Esto nos lleva a pensar que
ciertamente la concurrencia de las bisectrices parece ser una general que se da en
todos los triángulos. Dicho sea de paso, el punto de concurrencia se conoce como
“incentro” del triángulo, ya que es el centro del círculo inscrito en el triángulo.
Prueba esta última aseveración. Explica por qué este punto, a diferencia del
ortocentro de un triángulo, siempre queda siempre ubicado en el interior del
triángulo. En la Figura 3 se ha trazado el círculo inscrito a un triángulo dado.
Figura 3
Explica cómo al conocer el incentro de un triángulo se puede trazar el círculo
inscrito. Verifícalo con la calculadora.
Ahora pasamos de esta situación un tanto estática (el triángulo posee un único
incentro), a una situación más dinámica y fluida. Si hacemos variar el triángulo
así habrá de variar el incentro y, de paso, la circunferencia inscrita. La Figura 4
ilustra la trayectoria del incentro cuando se hace variar el triángulo. ¿Cuál es la
relación entre el movimiento del triángulo y la de su incentro y su círculo
inscrito?
La Geometría Dinámica, página 55
Formulación de conjeturas:
1. Ahora concentraremos nuestra atención a un tipo particular de movimiento: el
movimiento de uno de los vértices del triángulo a lo largo de su circunferencia
circunscrita. En este contexto veremos nuevamente la pregunta original relativa
al lugar geométrico del incentro. ¿Cómo se construye la circunferencia
circunscrita del triángulo? ¿Cómo se determina su centro, el circuncentro?
Demuestra ambas conjeturas.
Figura 4
2. En el recuadro izquierdo de la Figura 5 se muestra la trayectoria del incentro,
cuando uno de los vértices recorre la circunferencia circunscrita. En el recuadro
derecho de la misma Figura se muestran los trazos obtenidos luego de
desplazados dos diferentes vértices del triángulo.
La Geometría Dinámica, página 56
Figura 5
De la Figura parecería que cuando el vértice describe la circunferencia circunscrita,
el incentro recorre dos arcos de otras circunferencias. ¿Se trata realmente de arcos de
circunferencia? Y si así fuera, ¿de qué circunferencias se trata? Para abordar estas
preguntas podemos seguir una práctica milenaria de la Matemática, que consiste en
preguntarnos por las relaciones existentes entre lo dado (el incentro) y lo buscado (los
arcos de circunferencia – si es que en efecto los son– que “abrazan” a un segmento,
en nuestro caso, uno de los lados del triángulo dado).
Los siguientes ejercicios están concebidos para ayudarte a demostrar que los arcos
observados en los trazos son en efecto porciones de circunferencias las cuales se
pueden describir a base de los excentros y el incentro del triángulo dado.
3. Construye un triángulo ABC inscrito en un círculo como se muestra en la Figura
6. Construye el incentro I del triángulo. Luego, mide el ángulo AIC y observa su
medida a medida que mueves el vértice B del triángulo a lo largo de la
circunferencia. ¿Qué observas? Nota que la medida del ángulo se mantiene
constante cuando el punto B se mantiene en el mismo lado del segmento AC,
pero que cambia cuando B se mueve al lado opuesto. ¿Cuánto suman las
medidas de estos dos ángulos? En las Figuras 7 y 8 se muestra un resultado de
un caso específico. Enuncia una conjetura y pruébala. [Sugerencias: Recuerda que
el arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales un segmento
se ve bajo un ángulo constante. Esta observación podría resultar útil en la
determinación de las circunferencias. Construye los ángulos bajo los cuales se ve
La Geometría Dinámica, página 57
el lado desde el incentro y comprueba si varían o no al describir la circunferencia.
La Figura 6 ilustra el ángulo descrito y cómo varía su medida al variar el vértice
libre sobre la circunferencia.
Figura 6
Figura 7
La Geometría Dinámica, página 58
Figura 8
¿Cuánto mide el ángulo ACI al compararse con el ángulo C? ¿Y el ángulo CAI al
compararse con el ángulo A? Observa que la medida del ángulo B es constante a
medida que movemos el vértice B a lo largo de la circunferencia en el mismo
lado del segmento AC. Al utilizar estas observaciones y el dato de que las
medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados, demuestra
que en la Figura 6, ∠AIC = 180 ° − (∠A + ∠C)/2 = 90° + ∠B/2 . ¿Por qué?
Si denotamos por I 1 al incentro correspondiente cuando B se encuentra en un la-
do dado del segmento AC (que podrías denotar por B 1) y por I 2 cuando B = (B 2 )
está en el lado opuesto, entonces, si empleamos la relación anterior se demuestra
que,
∠AI 1C + ∠AI 2C = 270° ].
4. Usa esta última relación y la ley de senos para demostrar que los arcos de trazos
están, en general, contenidos en circunferencias de diferentes radios. ¿Qué
circunferencias son? ¿Son congruentes con la circunferencia original?
[Sugerencias: Ya habíamos mencionado que dos circunferencias son congruentes
cuando y sólo cuando tienen igual diámetro. De acuerdo a la ley de senos, el
diámetro de la circunferencia original está dado por:
2 R =
bsen B
=b
sen 180 ° − B( ).
En el caso de los arcos descritos por el incentro tenemos, si utilizamos el mismo
resultado:
La Geometría Dinámica, página 59
2 R1 =
bsen I1
y 2 R2 =b
sen I 2
.
Por otra parte, nota que,
∠I 1 + ∠I2 < 180° (¿Por qué?).
Por consiguiente, sen I 1 ≠ sen I2 (¿por qué?) de donde podemos concluir que R1≠≠≠≠
R2].
Sin embargo, es de esperar que se completara al menos una circunferencia. ¿Qué
puede faltar? ¿Qué, si algo, estamos dejando de considerar que nos hace perder
la simetría del resultado? Un poco de reflexión nos convence de que hemos
considerado el incentro, que no es otra cosa que el punto de intersección de las
bisectrices de los ángulos interiores, pero que en un triángulo hay, además,
ángulos exteriores. Esto significa que tenemos bisectrices de esos ángulos y otros
posibles puntos de intersección.
5. En este problema te pedimos que explores la concurrencia de las bisectrices de
los ángulos externos del triángulo con la de sus ángulos internos. La primera
idea para tratar de completar la simetría es considerar los ángulos exteriores y
buscar la posibilidad de que también sean concurrentes. La Figura 7 muestra un
caso en el que no son concurrentes, eso elimina la posibilidad de tener un
excentro como punto de intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores.
La Geometría Dinámica, página 60
Figura 9
Aunque es mucho esperar tener la concurrencia de las bisectrices exteriores,
existen otras posibles combinaciones que puedes explorar. Siempre que en una
combinación intervengan dos bisectrices interiores, su punto de intersección es el
incentro que ya consideramos. Pero existe otra posibilidad que ahora te pedimos
que explores.
Figura 10
Nota que es posible explorar la situación en que se tienen dos bisectrices de
ángulos exteriores y una del ángulo interior no adyacente a ellos. Es razonable
pensar que no puede considerarse otro ángulo interior porque sus vértices
coinciden con uno de los ángulos exteriores, y las bisectrices se cortan en dicho
vértice, por lo que no se pueden cortar en el exterior del triángulo. La Figura 10
La Geometría Dinámica, página 61
muestra una de las tres posibilidades y que, en efecto, son concurrentes. Prueba
que el punto obtenido, llamado excentro, sirve de centro a una circunferencia que
es tangente a un lado del triángulo y a la prolongación de los otros dos. En la
Figura 10 se ha identificado como E1 para destacar que es sólo uno de tres
posibles. En la Figura 11 hemos representado el incentro y los tres excentros.
6. En este problema te pedimos que reflexiones sobre las dos circunferencias, cuya
existencia sospechamos al trazar el lugar geométrico del incentro. Para ver si
hemos logrado recuperar la simetría de la situación te pedimos que explores
haciendo uso de la Geometría Dinámica sobre lo qué ocurre con los excentros
cuando uno de los vértices recorre la circunferencia.
Figura 11
Figura 12
La Geometría Dinámica, página 62
Figura 13
En la Figura 12 se muestra lo que ocurre con el incentro, y en la Figura 13 se
muestra lo que ocurre con los tres excentros a medida que se desplaza uno de los
vértices del triángulo original en la circunferencia circunscrita. En este último
caso vemos que se obtiene una figura que en cierto modo parece el complemento
de la que describe el movimiento del incentro. El cuadro se completa si
consideramos el movimiento del incentro y de los tres excentros
simultáneamente (conocidos por el nombre genérico de excentros) como se
muestra en la Figura 14.
Figura 14
En esta figura aparecen claramente las dos circunferencias cuya existencia hemos
inferido y cuyos diámetros se calcularon al estudiar el movimiento del incentro.
La Geometría Dinámica, página 63
Considera el caso especial del triángulo equilátero. ¿Qué ocurre con el incentro y
el circuncentro en este caso? Observa la Figura 15. Sin embargo, a la hora de
estudiar el movimiento no puede ser analizado, pues si variamos las condiciones
deja de ser equilátero. Se trata entonces de considerar un triángulo isósceles y el
movimiento del vértice opuesto a la base, en cuyo caso la trayectoria del incentro
pasa por el circuncentro como ilustra la Figura 16. Este último caso muestra que
la distancia entre el incentro y el circuncentro puede llegar a valer cero en
algunos casos y no en otros. ¿De qué depende esta distancia? ¿Se puede expresar
en función de otros elementos del triángulo?
7. Trata de formular una conjetura sobre el lugar geométrico del incentro y los
excentros de un triángulo, a medida que uno de los vértices del mismo se mueve
a lo largo de la circunferencia circunscrita. Sé tan detallado como puedas.
Figura 15
La Geometría Dinámica, página 64
Figura 16
La Geometría Dinámica, página 65
Actividad X: Las bisectrices angulares de los triángulos (GS)
El ambiente de exploración
Ahora nos ocupamos de las bisectrices angulares de los triángulos en el contexto
del programa GS. También seguiremos una cobertura alterna a la de la actividad
IX. Se sabe que las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo también
son cevianas concurrentes, es decir, comparten un punto común llamado
“incentro” (que es el centro del círculo inscrito en el triángulo; demuéstralo). Es
posible presentar una discusión general sobre este problema, empleando curvas
paramétricas y explorando las situaciones “límites” de tales curvas (como en los
casos ortocentro y el baricentro). Pero hemos preferido seguir otro camino, ya
que en este caso la situación es mucho más complicada.
Figura 1
En la pantalla izquierda de la Figura 1 se aprecia un triángulo ABC, inscrito en
un círculo. Note que hemos dibujado las bisectrices de los ángulos internos del
triángulo desde los vértices A y C. Hemos dotado al punto de intersección de las
bisectrices angulares, el punto D, de la capacidad de generar un trazo cuando
éste se mueve. Luego, hemos empleado las funcionalidades del programa GS
para ocultar las bisectrices angulares mencionadas y hemos animado el punto B a
La Geometría Dinámica, página 66
lo largo del círculo para examinar el trazo obtenido; ver Figura 2. Note que se ha
formado algo así como un lente visto de perfil, o una cuña, en el lado fijo del
triángulo. Queremos explorar la naturaleza de este trazo un tanto extraño.
Veamos.
Figura 2
Figura 3
Si animamos, por ejemplo el punto C, se observa un trazo similar al de la Figura
2; véase la Figura 3.
Formulación de conjeturas:
1. En este ejercicio te pedimos que pruebes que las bisectrices de los ángulos
internos de un triángulo son cevianas, es decir, son concurrentes.
La Geometría Dinámica, página 67
2. Describe lo que ocurre si en lugar de tomar las bisectrices angulares internas,
también adicionamos una bisectriz externa. Por ejemplo, si revelamos todas las
partes ocultas de la figura que hemos construido, podemos prolongar el lado CA
mediante una recta y luego, ubicar un punto externo al triángulo, digamos E,
opuesto a C con respecto al punto A, como se muestra en la Figura 4. Luego,
como se muestra en la misma Figura, bisecamos el ángulo BAE y construimos la
intersección de esta bisectriz con la bisectriz interna que pasa por C y D. Luego,
ocultamos las rectas auxiliares que hemos dibujado, así como el punto externo E,
y trazamos el lugar geométrico de los dos puntos de intersección de las dos
bisectrices angulares, una de ellas externa. En la Figura 5 se puede apreciar el
nuevo lugar geométrico.
La Geometría Dinámica, página 68
Figura 4
Figura 5
¿Qué hubiese ocurrido si hubiésemos prolongado el lado BA? ¿Hubiéramos
tenido acaso alguna situación diferente a la descrita en la Figura 5? ¿Tienes
alguna idea de lo que ocurre? Traza perpendiculares al segmento AB en los
puntos A y B y observa lo que ocurre; examina la Figura 6.
Figura 6
3. En la pantalla de la Figura 6 se observa el punto F, el cual es, en este caso, la
intersección de la bisectriz del ángulo externo formado por la prolongación de
AC en el extremo A y la bisectriz del ángulo C, (la bisectriz del ángulo externo
formado por la prolongación de AB en B y el lado AC también, se demuestra,
La Geometría Dinámica, página 69
pasa por F). Decimos que el punto F es un excentro del triángulo ABC.
Ciertamente parecería que las Figuras 5 y 6 muestran porciones distintas de dos
“ciertas” circunferencias que se intersecan. También parecería que la “frontera”
que determina lo que se puede apreciar de las circunferencias del lugar
geométrico en la Figura 6 son las rectas perpendiculares al segmento AB en sus
extremos. Parecería además que las partes de las circunferencias que quedan
fuera de la franja del plano entre las dos paralelas son generadas por los
excentros que no hemos dibujado. Parece pues que hay una cierta conjetura en
“el aire”. En la próxima sección exploramos estas situaciones.
4. Con la ayuda de la calculadora dibuja un triángulo arbitrario ABC como se
muestra en la Figura 7. Define el punto I como la intersección de las bisectrices
de los ángulos interiores B y C del triángulo dado. Desde I traza perpendiculares
ID, IE e IF a los lados del triángulo AC, AB y BC respectivamente. (Nota que en
la Figura 7 se han ocultado algunas de las rectas o semirectas auxiliares
empleadas para la construcción de la figura). Utiliza los recursos del programa
para medir la longitud de los segmentos ID, IE e IF. ¿Qué observas? Compara las
medidas de los ángulos BAF y FAC. ¿Qué observas? Deforma el triángulo y
repite las medidas.
La Geometría Dinámica, página 70
Figura 7
Para probar tus observaciones comienza por probar mediante congruencia de
triángulos que los triángulos BEI y BFI son congruentes y concluye que EI y FI
son congruentes. De la misma manera prueba la congruencia de los triángulos
FCI y DCI, también son congruentes para concluir que IF e ID son congruentes.
Concluye que I es el centro de un círculo tangente a los lados del triángulo
original, el círculo inscrito. Ahora demuestra que los triángulos EAI y DAI son
congruentes y concluye que los ángulos EAI y DAI son congruentes. Concluye
que las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo son cevianas
concurrentes del triángulo.
5. En este ejercicio te invitamos a explorar la relación entre la intersección de las
bisectrices de dos ángulos externos de un triángulo con la del ángulo interno
distante (es decir el ángulo interno que no comparte un vértice con los ángulos
externos). Deberás tener presente que la bisectriz de un ángulo es el lugar
geométrico de todos los puntos que están equidistantes de los lados del ángulo
dado. (Si tienes duda, demuéstralo). En la Figura 8 se ha trazado un triángulo
arbitrario ABC y se han trazado además las bisectrices de los ángulos externos
La Geometría Dinámica, página 71
ACD y CAE (aquí D y E son puntos en las prolongaciones de los lados BA y BC
del triángulo ABC en la dirección de A y C respectivamente). El punto EX
(excentro) es el punto de intersección de las dos bisectrices construidas.
Figura 8
6. Traza el segmento de B a EX y mide los dos ángulos que se forman internamente
en el vértice B del triángulo. ¿Qué observas? Deforma el triángulo original y
vuelve a cotejar las medidas correspondientes. ¿Qué observas?
Explica por qué la distancia de EX al lado AC es la misma que la distancia a la
recta BCD. Explica que las distancias correspondientes al lado AC y a la recta
BAE son también iguales. Entonces el punto EX es equidistante de las rectas BAE
y BCD. Explica entonces porqué está en la bisectriz del ángulo B del triángulo
original. Concluye que las bisectrices de dos ángulos externos y la bisectriz del
ángulo interno correspondiente son concurrentes.
7. En este ejercicio volvemos al problema original de la determinación del lugar
geométrico del incentro y los excentros de un triángulo dado, a medida que uno
de sus vértices se mueve a lo largo del círculo circunscrito al triángulo. En el
La Geometría Dinámica, página 72
ejercicio te pedimos que demuestres que el incentro y su excentro
correspondiente, así como los dos vértices del lado fijo del triángulo (los vértices
que no se mueven) forman un cuadrilátero “inscriptible”, es decir, un
cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia. Este dato, ciertamente,
de ser cierto podría servirnos para describir el lugar geométrico deseado. En este
ejercicio necesitas recordar que un cuadrilátero es inscriptible si y sólo si sus
ángulos opuestos son suplementarios. Si nunca has visto este resultado debes
verificar su demostración en algún libro de Geometría o, mejor aún, probarlo tú
mismo. (Ciertamente está claro que la condición es necesaria, ¿por qué?)
En la Figura 9 hemos construido el triángulo ABC con su circunferencia
circunscrita y hemos dibujado el incentro I y el excentro correspondiente E.
Como bien puedes observar hemos ocultado varias rectas auxiliares necesarias
para la construcción del incentro y su excentro correspondiente. Utiliza las
funcionalidades del programa para medir los ángulos internos del cuadrilátero
IAEB. ¿Qué observas?
Si denotamos indistintamente los ángulos y sus medidas como es usual, entonces
demuestra que las medidas de los siguientes ángulos son las indicadas:
Ángulo IAB:
12
∠A
Ángulo BAE:
12
∠B + ∠C( )
Ángulo IBA:
12
∠B
La Geometría Dinámica, página 73
Ángulo ABE:
12
∠A + ∠C( ) .
Figura 9
Concluye entonces que ∠IAB y ∠BAE son complementarios (lo cual es muy
interesante). Concluye además que ∠IAE y ∠IBE son suplementarios. Pero
entonces ∠AIB y ∠AEB también son suplementarios.
Figura 10
En la Figura 10 hemos trazado el círculo, y ubicamos su centro mediante la inter-
sección de las bisectrices perpendiculares de dos de los lados del cuadrilátero (en
nuestro caso, AI y BI) y hemos empleado a B como punto en la circunferencia.
La Geometría Dinámica, página 74
Repite esta construcción por ti mismo. ¿Qué observas? Mueve el vértice C a lo
largo del círculo circunscrito al triángulo inicial. ¿Qué observas? Esto completa el
ejercicio.
Continuemos en nuestro intento por describir el lugar geométrico de los
incentros y los excentros a medida que el vértice C del triángulo inicial se mueve
a lo largo del circuncírculo del triángulo. Ahora debemos hacer que los puntos E
e I dejen trazos a medida que C se mueve a lo largo del círculo circunscrito. Nota
que las circunferencias “se invierten” y cambian de tamaño dependiendo del
lado de la cuerda AB en la que se encuentran el incentro o el excentro; véase
Figura 11.
Figura 11
Estas gráficas son interesantes ya que nos muestran dos circunferencias que
parecen ser los lugares geométricos deseados, y es evidente que nos las muestran
parcialmente. En nuestro caso, el círculo pequeño es el que empleamos en la
discusión del ejercicio anterior, pero, claramente, existe otra circunferencia que se
describe cuando el incentro cambia lados, respecto a la cuerda AB del circuncír-
La Geometría Dinámica, página 75
culo.
8. Ahora queremos que consideres la Figura 12 en la que se muestra el triángulo
original con su circunferencia circunscrita y otra circunferencia que ahora
definimos.
Figura 12
Toma la cuerda BC (el lado fijo del triángulo) y dibuja su bisectriz perpendicular,
denotando por C1 y C2 las intersecciones de tal bisectriz con la circunferencia
original. Emplea a C1 como centro y toma la longitud del segmento desde C1 a B
(o a C, lo mismo da, ¿por qué?) como radio, traza un círculo como el que se
muestra. Toma un punto I en el círculo construido y dibuja un diámetro IC1E
como el que se muestra. Extiende el segmento en su extremo I hasta que toque la
circunferencia circunscrita en A como se muestra (lo cual define una posición del
triángulo inicial). Prueba que I es el incentro de ABC y que E es el excentro que
corresponde a A. [Sugerencias: Nota que los arcos BC1 y C1C son congruentes y
concluye que los ángulos BAC1 y C1AC son congruentes, ¿por qué? Esto
La Geometría Dinámica, página 76
muestra que I está en la bisectriz del ángulo A del triángulo original y lo mismo
ocurre con E. Para terminar la demostración es suficiente demostrar que el rayo
BI biseca el ángulo B del triángulo original y que el rayo BE biseca el ángulo
externo del triángulo que se obtiene al prolongar el lado AB en B. Utiliza
primeramente la calculadora para verificar que la propiedad se cumple a medida
que el vértice A se mueve libremente sobre el círculo circunscrito. Nota que en
las Figuras 13 y 14 hemos extendido el lado a B en su extremo B con el fin de
poder medir los ángulos externos. ¿Qué observas? ¿Cómo se podría demostrar?].
Figura 13
Figura 14
En la Figura 14 hemos presentado una figura ampliada, con
construcciones auxiliares y que podría serte útil. Nota que como BAC y C1AC
La Geometría Dinámica, página 77
son arcos congruentes (recuerda M es el punto medio de la cuerda BC y C1 es el
centro del círculo construido), entonces los ángulos correspondientes son
también congruentes, de manera que el rayo AI es en efecto la bisectriz del
ángulo A del triángulo original. (Recuerda que la bisectriz angular consiste de
todos los puntos equidistantes de los lados del ángulo dado). Para demostrar que
I es en efecto el incentro, tendrías que demostrar que los ángulos ABI e IBC son
congruentes. Una posibilidad es la siguiente: traza perpendiculares desde I hasta
el lado AB del triángulo (intersección J) y hasta el lado fijo del triángulo, es decir,
hasta BC (intersección K) y demuestra que el cuadrilátero IJBK es inscriptible.
Prueba que los segmentos IM e IJ son congruentes y concluye que los arcos
correspondientes son congruentes. Explica por qué de este dato podemos
concluir que los ángulos ABI e IBC son congruentes.
9. Repite una construcción análoga en el otro extremo de la cuerda BC para
demostrar que el punto diametralmente opuesto a I, es decir E, es el excentro
correspondiente.
10. Explica por qué todos los puntos escogidos I y E como en los ejercicios 5 y 6 cons-
tituyen todos los incentros y excentros correspondientes (opuestos a A respecto a
BC) del triángulo original. Recuerda que tres puntos diferentes definen una
circunferencia.
11. De los problemas 5 y 6 puedes apreciar que el lugar geométrico del incentro del
triángulo y el excentro opuesto al ángulo A del triángulo, está formado por los
puntos de dos circunferencias que quedan entre dos rectas paralelas (las
La Geometría Dinámica, página 78
perpendiculares al segmento BC en sus extremos). Puedes apreciar, además que
las circunferencias cambian a medida que el incentro cambia lados respecto al
lado fijo del triángulo ABC. Explica por qué esto ocurre. Prueba que un punto en
cualquiera de las dos circunferencias que no quede en la franja definidas por las
rectas paralelas definidas anteriormente, es un excentro del triángulo.
12. Ahora completa la conjetura: El lugar geométrico del incentro y los excentros de
un triángulo, a medida que uno de sus vértices se mueve a lo largo de la
circunferencia circunscrita consiste de dos circunferencias… Sé tan explícito
como puedas.
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