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Texto manuscrito del profesor Cario Federici

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ARTÍCULOS

NUMEROSIDAD* Definición restringida de la numerosidad entendida como:

concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los elementos de dos o más conjuntos

Autor: Juan Carlos Negret P.

Aun antes de la construcción de los numeros cardinales propietivos es posible

comparar la numerosidad "entre" dos o más conjuntos. En efecto, sin contar, un sujeto

puede establecer si hay más personas que sillas en una reunión, más flores que floreros

en una mesa, etc.

La numerosidad es el nombre que le damos al concepto que permite comparar la

cantidad de cosas o eventos entre dos o más conjuntos, sin utilizar el número cardinal.

No se trata entonces, en un sentido estricto de una cuantificación, es una comparación

de una cualidad particular de los conjuntos: su dimensión física referida en este caso a "la

extensión discreta de los elementos" que los componen. Como esta extensión discreta

no ha sido aun contada, es una comparación aun cualitativa, pero muy aproximada a la

cuantificación.

Definamos entonces de manera más estricta la numerosidad: Es el nombre que le

damos al concepto que permite comparar cualitativamente la extensión discreta de los

elementos de dos o más conjuntos.

La operación que permite comparar la cantidad de cosas de dos o más conjuntos, sin

el uso del número, es la correspondencia uno a uno. En cuanto a la correspondencia, es

pertinente hacer una diferenciación entre correspondencia perceptiva, la correspondencia

cualitativa y la correspondencia cuantitativa:

Correspondencia perceptiva:

Es la que se establece buscando una buena forma perceptiva, esto es una organización

en el espacio de los objetos, de tal manera que queden previamente organizados de

acuerdo a un patrón.

Correspondencia cualitativa:

Es la que permite establecer relaciones entre conjuntos de objetos a partir de las

propiedades físicas de los objetos.

Correspondencia numérica:

Es la que permite establecer relaciones entre dos o más conjuntos a partir de las

propiedades lógicas que un sujeto les atribuye a los objetos. En este caso la propiedad

* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.

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que determina la relación es la numerosidad, entendida como la equivalencia uno a uno

entre los objetos de los conjuntos, sin una consideración necesaria por la disposición

espacial de los objetos (buena forma perceptiva) ni por las cualidades físicas de los mismos (correspondencia cualitativa).

El resultado de esta comparación se expresa en tres proposiciones

El conjunto A es más

El conjunto A es menos

El conjunto A es lo mismo de

numeroso que el conjunto B



En el lenguaje común estas proposiciones se expresan de manera variada con frases

como:

En la caja hay más

En la caja hay menos

En la caja hay lo mismo de

naranjas que en la mesa



En ambos casos la constante son los adverbios comparativos de orden: más que, menos que, Jo mismo que. Son los mismos adverbios con los que se construyen las relaciones

de orden primario. Lo importante es que cuando se aplican los adverbios de orden al

discurso, siempre se debe explicitar la cualidad que ordenan. Como en este caso se trata

de la numerosidad, se hace necesario enunciarla. Ejemplifiquemos la explicitación de la

numerosidad en los distintos niveles de abstracción del discurso:

Más naranjas que

Menos naranjas que

más cosas que

menos cosas que

más numeroso que

menos numeroso que

Cuando la relación señala una diferencia de numerosidad (más cosas que, menos cosas

que) se trata de una re lación de orden, cuando la relación establece una equivalencia de numerosidad, se trata de una relación de equivalencia.

RELACIONES DE ORDEN RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Es más numeroso que Es lo mismo de numeroso que

Es + que

Es que

Es que

La numerosidad es entonces, una relación de orden fundamental, sobre la cual se va a

construir el concepto de número cardinal propietivo. La numerosidad es el producto de

aplicar la correspondencia, siempre y cuando esta operación permita ordenar los conjuntos

comparados. La correspondencia como una habilidad lograda en sí misma, debe estar

ligada a las situaciones de numerosidad para recuperar su eficacia aritmética.

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ARTÍCULOS

CARDINALIDAD* Definiendo la cardinalidad como el concepto que permite establecer

numéricamente la cantidad de cosas de un conjunto

Autor: Juan Carlos Negret P

La cardinalidad es el nombre que le damos al concepto que permite establecer nu

méricamente la cantidad de cosas de un conjunto. El número que se utiliza en este caso

es el número cardinal propietivo, según ha sido definido por el Profesor Carlos Federici: Se llaman propietivos porque establecen una propiedad en los conjuntos: la cantidad de los

elementos que posee. Se diferencia de los números cardinales relativos o medidores porque éstos establecen relaciones.

La cardinalidad, como los demás conceptos, se construye enfrentando a los sujetos

a situaciones de cardinalidad. Una situación de cardinalidad, es una situación significativa

para el sujeto, la cual debe ser resuelta aplicando el concepto de cardinalidad.

La forma general de la situación de contabilidad se traduce en la presentación de un

conjunto de cosas o de eventos, ligados a la pregunta ¿Cuántas cosas hay?

Las situaciones de contabilidad son subsidiarias de las situaciones de numerosidad.

En efecto, una vez que el sujeto ha establecido que en un conjunto hay más cosas que

en otro, la pregunta siguiente es: ¿Cuántas cosas más? Esta pregunta puede presentarse

de muchas formas:

• ¿Cuántas cosas hay más en A que en B?

• ¿Cuántas cosas hay menos en A que en B?

• ¿Cuántas sobran en N

• ¿Cuántas faltan en B?

• Ni más, ni menos.

• Ni sobran, ni faltan.

• ¿Cuántos son estos?

Podemos introducir y clarificar con un ejemplo como un juego de bolos entre tres

niños:

Después de tirar con la pelota, Hugo, Paco y Luis obtuvieron el siguiente resultado:

• Hugo tumbó 3 bolos

• Paco tumbó 6 bolos

• Luis tumbo 8 bolos

* Este texto es una interpretación del autor. e laborada a partir de las lecciones del profesor Cario Federici.


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Se les pide que sobre un pape l dibujen la situación de los bolos después del tiro de la

pelota. Los tres niños reproducen con un dibujo realista de intención, la disposición de

los bolos. Después se les pide que señalen con rayas los bolos caídos y con cruces los bolos en pie.Acto seguido se hace la entrevista a Paco:

ENTREVISTADOR: ¿Quién ganó?

PACO: Luis ganó

E: ¿Por qué?

P: Porque tumbó más

Hasta aquí se trata de una situación de numerosidad. En efecto, Paco sin manejar nece

sariamente los números puede establecer una correspondencia uno a uno entre los bolos

derribados por él y por Luis, los de Hugo los descarta de entrada porque la diferencia

es marcada. La siguiente pregunta del entrevistador, en el mismo juego lo introduce en una situación de cardinalidad:

E: ¿Y cuántos más tumbó?

Paco mira los bolos, su dibujo, las rayas, y haciendo con los dedos la señal de dos,

dice:

P: Estos

E: Estos que tu señalas con los dedos son los mismos que las dos rayas, o que los dos

bolos dibujados, o que los dos bolos caídos?

P: Sí

E: ¿Y cuántos son estos?

P: Dos

Suponiendo en el mejor de los casos, que Paco no conozca el significado de dos, la

intención del ejercicio es mostrarle la equivalencia o la equinumerosidad de los sucesivos

conjuntos presentes en el juego: bolos, dibujo de los bolos, rayas, los cuales tienen una

propiedad común: Pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con los dedos de

la mano.

Esta equivalencia simultánea entre diversos conjuntos, que no es otra cosa que el

establecimiento de la semejanza entre varios conjuntos, puede ser ya nombrada, o renom

brada: pues todos los conjuntos que tengan tantos elementos como "éstos (señalando

con los dedos de la mano) se llaman conjuntos de "dos elementos".

El lector podría objetar muy posiblemente que el niño en esta situación ya sabe contar,

y que el ejercicio no tiene sentido. Ante esta objeción, respondemos de dos maneras:

En primer lugar, si bien el niño sabe contar y de inmediato dice que Luis tumbó dos

bolos más que él, la puesta en relación de los diversos conjuntos equivalentes, acompañada

de la expresión:" los bolos, el dibujo, las rayas se parecen porque tienen, como los dedos,

el mismo número de elementos ; y si no pongámoslos en correspondencia, y ese mismo

número se llama dos", le permite al niño, desde muy pequeño comprender, no solo el con

cepto del cardinal dos, sino acercarse a la definición aritmética formal, a la cual solo podrá

acceder con consistencia muchos años después. Se acompaña entonces, la comprensión de una conceptualización explícita, que permite además, resolver la situación, enunciarla,

decirla, hacerla discurso, lo que es pedagógicamente un significativo ava nce.

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En segundo lugar, si el niño sabe contar y dice que Luis tumbó 8 bolos y él tumbó 6

bolos, la situación de contabilidad no se agota, pues la pregunta pertinente es: ¿Cuántos

más tumbó? Si Paco contestó, porque sabía que 8 es mayor que 6, que Luis ganó porque

tumbó más bolos, está entonces, a raíz de la pregunta, enfrentado a un nuevo problema;

¿Cuántos más tumbó? Se trata pues de una situación aditiva. En este punto podemos

suponer dos cosas: La primera es que Paco, la resuelve retrocontando o restando y dice "dos", si sucede así Paco no solamente ha construido la cardinalidad, sino que ya esta

manejando por lo menos las bases de la adición. La situación nos permitió descubrirlo,

pero en el caso de que no maneje aun los fundamentos de la adición, tendrá que establecer

una correspondencia uno a uno y señalar con los dedos o con los bolos y acto seguido

dirá "estos" señalando los dedos o los bolos cuántos más tumbó Luis que él. Pero además

como consecuencia de la actividad bien aplicada, el entrevistador tiene ya elementos adi

cionales, para hacer de esta situación de contabilidad una situación aditiva que le permite

establecer las formas y el nivel de manejo de la operación aditiva en Paco.

Esta simple actividad pedagógica complejizada solo por el análisis, puede ser repro

ducida de muchas formas y con muchos contenidos. Ella nos permite concluir:

• El hecho inmediato de que una actividad concreta, pone en escena de manera

simultánea e indivisa, múltiples situaciones evaluativas didácticas.

• La evidencia de que la didáctica no consiste sólo en la posibilidad de que el aprendiz

resuelva problemas, sino que solicitando e interviniendo en su discurso, él pueda

no sólo transformarlo, sino ir accediendo a la comprensión conciente del conoci

miento matemático. Si bien no se pretende que el niño elabore conceptualmente

las definiciones en intención del discurso matemático, si puede paulatinamente y

desde primer momento, estar asimilando inconscientemente el discurso aritmético

en todo su rigor.


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A RTÍCULOS

ORDEN Y ORDINALIDAD* Definiendo la ordinalidad como la estructura de orden discreto del sistema

de los números cardinales propietivos

Autor: Juan Carlos Negret P.

El orden fundamental del sistema de los números cardinales propietivos o la ordinalidad

Los Números Cardinales Propietivos son los nú meros que permiten establecer la cardi

nalidad: cant idad de cosas o eventos de un conjunto. Los números cardinales propietivos

son un sistema ordenado. El orden fundamental de los números cardinales consiste en

una serie o sucesión de elementos discretos.

Definimos po r Ordinalidad a la Estructura de Orden Discreto del sistema de los números cardinales propietivos.

La construcción de la ordinalidad

La est ructura o perato r ia de Orden del sistema de los números ha de ser constru ida

po r el niño, y no se confunde con el Orden Perceptivo o Figura/ de los elementos de una

figura, ni con el Orden Revelado u O rden memorizado de la ser ie de los núme ros.

El orden figural

Consiste en la asimilación de una serie de objetos dispuestos o rdenadamente en el espa

cio -una figu ra o una configuración- con una imagen mental -esquema intuitivo de orden-.

La acción de niño consiste aquí en reconocer o discriminar una serie o en realizar

mate r ial mente esa ser ie.

Orden revelado

Consiste en la enunciación consecutiva y memoríst ica de los números card inales sin

una comprensión sistemática de las relaciones que esa o rdenación implica. Se trata de la

sucesión revelada, o sucesión significante aprendida que permite repet ir la sucesión de

los números. La significación de esta sucesión es variable. Comprender el o rden de los

cardinales es comprender la razón lógica de dicha sucesión.

* Este texto es una interpretación del autor. elaborada a part ir de las lecciones del profesor Cario Federici.


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El orden operatorio

Las relaciones de orden elemental:

Las relaciones de orden elemental son las que le permiten al sujeto comprender y establecer la diferencia en una cualidad o en una propiedad física o lógica entre parejas

de objetos.

Las cualidades y propiedades que pe rmiten comparar y ordenar por su diferencia los

objetos, son múltiples. En el cuadro siguiente se il ustran de manera general algunas:

CUALIDAD FÍSICA CUALIDAD LÓGICA

Diferencias en:

• Color

• Olor

• Sabor

• Sonoridad

• Tamaño

• Otros:

Edad

Afectos y Gustos

CANTIDAD

Discreta Continua o Magnitud

• Numerosidad • Longitud

• Cardinalidad • Anchura

• Área

• Peso

Disposición Espacial Secuencia Temporal

• Cerca de • Antes de

• Lejos de • Después de

El orden elemental se establece en el lenguaje a partir de:

Adjetivos Connotativos C alificativos Comparativos: Dan el grado de signifi-

cación de un sustantivo comparando una cualidad entre dos objetos.

• Comparat ivo de igualdad: Tanto ... como

• Comparativo de Superioridad: Más ... que

• Comparativo de Inferioridad: Menos ... que

Es posible comparar consecutivamente pares de objetos sin que se establezca una

ordenación sistemática de los tres o más elementos

Dados los elementos A.B.C.D.E.F con una diferencia de tamaño. El sujeto puede

establecer consecutivamente en el t iempo:

Momento 1: A mayor que B

Momento 2: C menor que B

Momento 3: A mayor que C

Momento 4: A mayor que F

Es posible también que el sujeto establezca relaciones entre ternas aplicando las

nociones de

Grande, mediano y pequeño


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La composición de las relaciones de orden elemental:

Una ordenación de tres o más elementos implica la composición de las relaciones:

• Es más grande que el primero y a la vez el más pequeño de los que quedan. ..

La introducción de un elemento en una serie implica la coordinación de las relaciones:

• Va aquí porque es mayor que y menor que .. .

Las relaciones de orden superior:

Las relaciones de orden superior son las que permiten hacer la ordenación de tres o

más elementos en un solo sistema ordenado.

Las relaciones de orden superior se construyen a partir de la composición de las

relaciones de orden elemental, o bien componiendo las binas -cuando comparten un elemento común-, o bien componiendo las ternas, -cuando comparten un elemento

en común-, para producir un sólo conjunto sistemáticamente ordenado.

Esta ordenación se realiza mediante una operación que es la composición de dos o más relaciones de orden elemental. En este caso se trata de una composición aditiva de relaciones de orden, para diferenciarla de la composición multiplicativa en la cual el niño debe ordenar dos o más conjuntos entre sí.

El producto de esta composición le permite al aprendiz organizar una serie de objetos estableciendo entre ellos una relación de orden superior a partir de las diferencias con

secutivas en una o más propiedades de los objetos: la numerosidad, para las cantidades discretas y la magnitud para las cantidades continuas.

Los significantes del lenguaje que dan cuenta de esta relac ión son:

Operadores o relatores La preposición

Siguiente de (los siguientes) entre

El siguiente de (el inmediatamente

siguiente)

El producto de la composición busca que el aprendiz:

• Componga relaciones:

- Más que ... y menos que ...

- Mayor que ... y menor que .. .

- Antes de . .. y después de .. .

• Establezca relaciones de consecutividad:

- El siguiente de ...

- Los siguientes de ...


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ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN OPERATORIA DE LA ESTRUCTURA DE ORDEN

ORDENACIÓN DE ELEMENTOS

ESTADIO lA

Ningún intento de seriación o realización de colecciones figurales.

ESTADIO 1 B

Fracaso en la serie total, pero asoc1ac1ones por

cualidades absolutas (grandes, pequeños)

a. Pares incordiándoos entre sí (pares de elemen

tos grandes y pequeños).

b. Tríos incordiándoos entre sí (uno grande, uno mediano, uno pequeño, etc.).

c. Seriación en línea de los vértices correcta pe ro

sin base horizontal.

d. Seriación en techo con cobert ura.

ESTADIO 11

Éxito mediante tanteos, pero si se agregan como suplemento nuevos elementos intercalares, el aprendiz

no ensaya método alguno para colocarlos de una vez, prefie re, en general, comenzar de nuevo.

ESTADIO 111

Éxito operativo reconocible por tres caracte res:

a. El sujeto sigue un método sistemático consisten

te en partir del mayor de todos y, a continuación, del más grande de los restantes, etc. (lo que

implica la coordinación de las dos relaciones de orden).

b. Los elementos intercalares se colocan sin dificultad.

c. El sujeto admite la transitividad (no siendo A y e vis ibles juntos).

SISTEMA LINGÜISTICO

DICOTOMÍAS: Los términos utilizados son

"grande" y "pequeño"; bien sea que diga "pequeño,

pequeño, grande, grande" o "pequeño, grande; pequeño, grande".

TRICOTOMÍAS: Int roducen el término " mediano"; bien sea "pequeño, pequeño, mediano, mediano, gran

de, grande" o "pequeño, mediano, grande; pequeño, mediano grande"

ETIQUETAJES: Se utilizan categorizaciones detalladas o nombres siempre diferentes para cada

elemento. Por ejemplo: " pequeño del todo, algo pequeño, pequeño, medio pequeño, medio grande,

etc.

DESCRIPCIONES COMPARATIVAS CON SENTIDO ÚNICO

Por e jemplo:"EI más pequeño, más grande, todavía más grande, el más grande". Cuando se solicita la

descripción con sentido inverso el niño esta confuso, porque el penúltimo, que era "todavía más grande",

se convierte en "más pequeño", lo cual le cuesta aceptar.


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ARTÍCULOS

UNA APROXIMACIÓN

AL CONCEPTO DE NÚMERO Presentando al número como un sistema y diferenciándolo

del sistema numérico y del de numeración

Autores: Equipo investigador

de fa Facultad de Psicofogia de fa Universidad javeriana

¿Cuál es el significado que tiene un numeral de una cifra como el 7?

Su significado formal es: el conjunto de todos los conjuntos que se pueden poner en

correspondencia término a término con un conjunto como <x,x,x,x,x,x,x>.lgual podría

decirse de otros numerales. Para un niño el conjunto <x,x,x,x,x,x,x,> puede ser por

ejemplo 7 dedos extendidos, o mejor aún, los dedos de una mano y dos de la otra.

Pero si bien este es el significado formal de 7, no puede pensarse que el concepto

de SISTEMA NUMÉRICO esta compuesto de los significados aislados de los numeroso.

Por el contrario debe pensarse en términos de un SISTEMA, de tal manera que puede

afirmarse que el concepto de un número existe gracias a la existencia de los otros, a las

relaciones y a las operaciones (al menos de tipo aditivo, para el caso de números peque

ños) que se establecen entre ellos.

La diferencia entre el significado que le asigna un adulto que ha hecho una elaboración

conceptual del número y el que asigna un niño que apenas esta construyéndolo, consiste

en que para el primero es un concepto que hace parte de un sistema de conceptos: el

sistema numérico, que no remite a una imagen particular, sino a la red de relaciones y

operaciones que conforman el sistema (el 7 es mayor que otros números y a las vez menor

que otros, pero también que este 7 es el inmediato siguiente de ... y a la vez el inmediato

anterior a ... y que es el resultado de múltiples composiciones o descomposiciones aditivas:

6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, ... y 8 - 1, 9 - 2, 1 O -3, ... ). Todas estas relaciones y operaciones se dan

en el pensamiento de manera simultánea y sin necesidad de realizar ningún proceso de

razonamiento que le suponga hacer inferencias, simplemente esta información se tiene

sin más, precisamente porque el 7 no es un concepto aislado sino que esta ligado a un

sistema. Es decir, el verdadero concepto de número no es un concepto par ticular sino el

sistema total de los numeroso, ¿Qué pasa en el caso del niño? El significado, en un mo

mento más (o menos elaborado de su construcción -hay momentos que corresponden

a niveles más rudimentarios- remite a imágenes muy ligadas a las situaciones concretas,

por ejemplo dedos, que cada vez se van integrando en una red de relaciones (hay más,

hay menos, hay lo mismo) y acciones (reunión o agregación, descomposición o desagre

gación) mentales que, como ya se dijo, aun se encuentran muy ligadas a acciones físicas

y como tales adolecen de la movilidad necesaria para que cada imagen este ligada a la

* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. Jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.


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multiplicidad de relaciones y operaciones que el sistema numérico comporta. Esto se

ilustra muy bien con lo que contestaba un niño de primer grado al que se le pedía que

calculara ¿cuántas canicas reúnen Pedro y Alberto, si el primero tiene 4 y el segundo

3! El niño contestaba "7". Al preguntársele como lo hacia contestaba: "Yo estiré en mi

mente 4 deditos y después 3 deditos y después los conté". Mientras se permanezca en

este plano, las relaciones y operaciones que se puedan ligar la gran conquista del niño son escasas y resultan aun muy r ígidas. En síntesis, en el caso del adulto el concepto es

abstracto y en el caso del niño el "concepto" aún se encuentra a medio camino, entre

las acciones físicas y la abstracción conceptual.

Aclarado lo anterior ¿Cómo pensar el significado de un numeral como "75"! ¿Qué

es lo que se representa un sujeto en su pensamiento al escuchar"setenta y cinco" o leer

"75"! ¿Será que se pueden formar imágenes de "75" parecidas a las que en un momento

se pueden formar de números pequeños como "7"! Es difícil sostener tal posición. Defi

nitivamente aquí ya no se puede estar tan directamente ligado a lo concreto. Parece más

razonable pensar que en este plano las imágenes que se construyen se hacen sobre la

base de relaciones y operaciones más abstractas, y como tales deben soportarse en un

sistema de numerales -no necesariamente el que corresponde al producto terminado

del sistema decimal de numeración- con los cuales se pueda operar. Quizás la imagen

más elemental que pueda pensarse como adecuada sea la de 7 grupos de diez y 5 sueltas.

Pero de nuevo en este plano no se puede pensar un número aislado de los otros sino

como un sistema total, axial como se planteo arriba para los números pequeños, solo

que en este caso las relaciones y operaciones de composición que se requieren resultan

mas complejas, esto se mostrará mas adelante.

Antes de pasar a hacer un estudio de la lógica que comporta el sistema decimal de

numeración, y aunque resulte reiterativo, conviene dejarnos la siguiente inquietud: La

forma como tradicionalmente se procede al enseñar los números mayores que 9 consiste

en enseñar la sucesión numérica 1 O, 1 1, 12, .. , tratando de mostrar las reglas que rigen

su escritura, considerando que de all í surge la lógica necesaria para llenar de significado

estos numerales. Lo que se procura mostrar en este trabajo puede sintetizarse en:

Está del lado de lo que es propiamente el sistema numérico -no de los numerales- ,

el niño tiene que reconstruir en este nuevo plano lo que ya construyó en el nivel

inferior. Es decir debe reconstruirse ese sistema de relaciones y operaciones que dará

origen al concepto de número en este nuevo rango numérico.Y esto debe ayudarse

a elaborar al niño, simultáneamente con la enseñanza del sistema de los numerales,

para que estos cobren un real significado.

Los numerales escritos en el sistema decimal de numeración y los algoritmos for

males de las operaciones matemáticas, requieren una lógica más o menos compleja

a la que el niño no logra acceder por el hecho de representarle un numeral como

tantas decenas y tantas unidades y por adiestrarlo en los procedimientos. Insistir en

lo que tradicionalmente se hace lleva al niño a memorizar, sin lograr una adecuada

comprensión del Sistema Decimal de Numeración que a su vez soporte una profunda

comprensión de los algoritmos. El camino pedagógico que parece ser más conveniente

es adecuar el estud io del Sistema Decimal de Numeración a las elaboraciones que el

niño va logrando en ese proceso constructivo del concepto de números mayores.

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ARTÍCULOS

COMPRENSIÓN DEL VALOR POSICIONAL (Basado en la teoría de Kan1ii)

Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar el sistema de unidades

en su cabeza y lo divida en partes de diez Autor: Caro/ Susana Acosta C.

En cuanto a la importancia que tiene para los niños la comprensión del valor po

sicional de nuestro sistema de numeración, es imperativo hacer referencia al trabajo

desarrollado por Constante Kamii, quien retoma la tesis piagetana sobre la construcción

del número para analizar y justificar las dificultades que presentan, los aprendices de

primero a quinto de primaria, para construir el sistema de decenas y manejar la noción

de valor posicional.

Con respecto a las razones por las cuales el valor de posición es tan difícil, Constante

Kamii resalta tres puntos:

l. El concepto de número corresponde al conocimiento lógico-matemático, cuyo ori

gen descansa en la acción mental del niño y no en grupos de objetos de la realidad

externa.

2. Construir el número toma muchos años, el niño no puede construir el sistema de

decenas sobre el sistema de unidades, hasta tanto pueda conservar e l sistema de

unidades en su cabeza y lo divida en partes de diez.

3. El valor de posición involucra la multiplicación. Por ejemplo "sesenta y uno" significa

"seis veces diez y uno más". La multiplicación tiene que construirse sobre la suma y

no como una simple extensión de la misma.

Estos tres puntos responden las innumerables preguntas que diariamente nos hacemos

los maestros del porqué hasta nosotros mismos le tememos a las matemáticas, sufrimos al

aprenderlas y le huimos a enseñarlas; y es que si nosotros mismos aún no entendemos la

lógica de la construcción de nuestro sistema de numeración, muy difícilmente podremos

hacer que nuestros aprendices lo hagan, de allí la importancia de retomar el artícu lo de

Kamii: "Valor de posición: una explicación de sus dircultades e implicaciones educacionales

para los alumnos de primaria", en el cual se hace una detallada explicación sobre las tres

clases de conocimiento distinguidas por Piaget. En primer lugar el conocimiento fís ico

referido al reconocimiento de los objetos que existen en la realidad externa y que pue

den conocerse por observación. En segundo lugar, el conocimiento lógico matemático

conformado por las relaciones que cada individuo construye por ejemplo al establecer

diferencias o similitudes mediante la comparación de dos o mas objetos o sucesos. El

niño continúa construyendo el conocimiento lógico-matemático mediante la coordina

ción de relaciones previamente creadas ante los objetos. Por ejemplo coordinando las

relaciones de igualdad, diferencia, y más, es capaz de deducir que hay más animales que

vacas en el mundo. Por último el conocimiento social tiene por fuente las convenciones

* Basado en el art ículo: "El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales" 1988.

Kamii


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establecidas por la gente, su principal característica es su carácter totalmente arbitrario;

de esta manera, las palabras "uno", "dos" y "tres" y la escritura de los numerales 1, 2

y 3 pertenecen al conocimiento social, pero sus conceptos numéricos pertenecen al conocimiento lógico-matemático.

Para Kamii en la enseñanza tradiciona l, la principal dificultad con el valor posicional se encuentra en la suposición errada de que los numerales simplemente representan

números de objetos o grupos de objetos y realmente la dificultad va más allá va más allá,

se trata de un problema de abstracción conceptual; sobre este tema Piaget distinguió

dos clases de abstracción: Empírica, que tiene que se evidencia cuando el niño se centra

en una sola propiedad de los objetos e ignorar las otras; por otro lado la abstracción

reflexiva que involucra la construcción de las relaciones entre objetos, es este tipo de abstracción el que se señala como "vital" dentro de las matemáticas y la que precisamente

los maestros pasamos por alto.

Si un niño ha construido el número mediante abstracción reflexiva (por síntesis de

orden e inclusión jerárquica), no podría dar a las palabras "uno", "dos" y "tres" ... el

significado que un adulto les da.

Entonces, la construcción del sistema de decenas, en el cual " una decena", "dos dece

nas","tres decenas" ... involucra la construcción de un segundo sistema jerárquico sobre el

primero que los niños han construido, esta construcción requiere de una división mental

del primero, en partes iguales de diez, mientras el primer sistema permanece intacto.

Después de hacer esta d ivisión, el niño debe hacer un proceso de ordenamiento y de

inclusión jerárquica de las mismas.

A continuación se presentan las entrevistas aplicadas a niños de diferentes grados de

primaria, basadas en la experiencia de Kamii.

ENTREVISTA 1:

Andrés -7 años 6 meses- grado primero. (Situación tomada de Const.l.nce Kamii)

Se verificará que el niño cuenta, lee y escribe los números hasta 99.

E: ¡Cuántas fichas hay aquí? (Se le entrega un montón de 36 fichas)

N: Cuenta correctamente de uno en uno

E: A un amigo tuyo le pedimos que contara cuántas fichas había en este montón (de

43) y él hizo así: Primero formó un grupo de di ez (Se for ma delante del niño y contando de uno en uno el grupo de diez y se separa del montón de 43), después

hizo otra de diez (se forma el segundo grupo) y siguió así, ¡entiendes?

N: Sí.

E: Cuando formó todos los grupos de diez, nos dijo cuántas fichas había en el mon

tón. Puedes contar como lo hace tu amigo? Se le revuelven los dos montones

antes hechos.

N: Forma los grupos de diez y los va separando sobre la mesa. (4 grupos de diez y 3 sueltas)

E: ¡Cuántas fichas hay?

N: 1 O (A la vez que señala el primer grupo), al llegar al segundo, toma de a uno y

cuenta de" 1 1, 12, ... ",hace lo mismo con el tercero y el cuarto, ...

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ENTREVISTA 2:

Juan -8 años- Segundo

E: Explica el procedimiento de agrupar de a diez. ¿Tú lo puedes hacer así?

N: Sí

E: ¿Cuántos hay aquí? (Se le entrega un montón de 58)

N: Hace 5 montones de a 1 O y deja los restantes aparte. 1 O, 20, 30, 40, 50 y 8 (A

medida que cuenta cada grupo de diez, pone una mano sobre él como indicando

que ya lo contó).

¿Por qué el primer niño no puede dar cuenta de la cantidad de fichas contando de

diez en diez? Al hacer grupos de diez, el niño se enfrenta a un conjunto con unidades

heterogéneas (las de diez y las de uno), si no está en capacidad de manejarlas simultánea

mente se vera en la obligación de homogenizarlas para poderlas contar. Podrá dar cuenta

o de los grupos de diez o de las sueltas, pero no de ambos a la vez; al hacer los grupos

de diez, la totalidad se divide en partes y para dar cuenta de la totalidad el niño debe ser

capaz de volverla a componer en el pensamiento. Esto lo ilustra Kamii ( 198) "Cuando pedí a los niños de primer grado que contaran las fichas por decenas, inmediatamente preguntaron " ¿Usted quiere grupos de diez?" Yo les conteste que quería que contaran las fichas por

decenas, de la forma que quisieran, e hicieron grupos de diez. Después les pregunte

que cuántas fichas había por todo, contestaron "siete" (refiriéndose a los siete grupos),

cuando pregunte" ¿En total siete fichas?, dando a entender que no estaba satisfecha con

esta respuesta, los niños de primero cambiaron su respuesta a "diez" (significando que

en cada grupo había diez). Estas respuestas no son sorprendentes, si se tiene en cuenta

que las relaciones cuantitativas de parte a todo son muy difíciles antes de los 7 u 8 años

de edad. La mayoría de los alumnos de primero pueden pensar en la totalidad y en las

partes sucesivamente, pero no simultáneamente ... "

SEGUNDA SITUACIÓN

E: Resulta que tú tienes 142 rayas, con esas rayas vas a hacer grupos de a diez.

¿Cuántos grupos de diez puedes hacer?

N: ¿Con rayas? ¿Cuántas rayas hay?

E: Son 142 rayas.

N : Y en grupos de a diez ... ¿Ciento qué?

E: 142

N: ¡Ya! . . . 1 O grupos

E: 1 O grupos. ¿Por qué?

N: Uno empieza 1 O, 20, 30, 40, 50: serían S grupos y otros 1 O, 20, 30, 40, 50, son diez

grupos ... (Guarda silencio como si ya hubiera terminado)

E: Con esos diez grupos ¿Cuántas rayas tendrías?

N : 100 rayas


30

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(ífr"As·

El niño sigue haciendo intentos por resolver el problema, finalmente la entrevista

se desenvuelve as í:

E: Entonces ¡Cuántos grupos se forman con las 142 rayas?

N: Son 1 O grupos ... ¡Ah, no! Son 1 1 O grupos

E: ¡Por qué?

N: Porque mira, iban 100 y eran 142, serían 140 grupos.

E: ¡Serían 140 grupos de diez?

N: Sí

E: ¡Por qué?

N: Como habían 1 O grupos de diez, uno completa 1 00 y uno suma otros 1 O y quedan

110, y otros 10, 120 y otros 10, 130 y otros 10 son 140 ...

E: ¡ 140 qué?

N: 140 grupos de diez

E: ¡Y cuántas rayas son?

N: ¡En total? 140 rayas

E: La pregunta que te hago es: Con las 142 rayas ¡Cuántos grupos de diez pueden

salir?

N: ¡De diez? ... 1 OO ... , 1 O, 240 (Haciendo cuentas mentalmente) 140 serían ... 140

grupos de 1 O.

E: ¡ 140 grupos de diez?

N: Sí, 140 grupos de diez.

E: Y si tienes 140 grupos de diez, ¡Cuántas rayas son?

N: 140 rayas (convencido, le parece obvio)

E: O sea que ¡Es lo mismo tener 140 rayas que tener 1 O grupos de diez?

N: ¡No! (Lo dice con seguridad)

Nota: El niño cae en la cuenta de la contradicción, reinicia sus cuentas hasta terminar

resolviendo correctamente el problema.

RESULTADOS:

Sumando a la experiencia de Kamii las entrevistas anteriormente expuestas, podemos

reafirmar sus conclusiones:

l. Contar fichas a su manera: La mayoría de los estudiantes de primaria, cuentan por

unidades grandes cantidades de fichas. Contar por decenas, mediante la completa

separación en grupos de diez no aparece en los primeros grados. Una técnica fre

cuentemente usada fue contar pares, sin e mbargo, ésta es tan sólo una forma más

rápida de contar unidades.

2. Contar Fichas por decenas: En esta parte se evidencia claramente que la dificultad que

presentan los aprendices para contar unidades de segundo orden tiene que ver con

la dificultad para establecer relaciones parte-todo. Se presentan situaciones como:

- No saber como contar las fichas, es decir, niños a los cuales les fue imposible en

contrar la manera de contar las fichas presentadas por decenas.


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- Contar cada ficha como si fuera una decena, es decir, se relaciona con la matemática moderna, la cual enseña a los niños a hacer grupos de dos, tres, cuatro, etc., y codificar

y decodificar grupos de números y de unidades en una variedad de bases.

- No diferenciar el todo en sus partes, es decir, contar grupos de diez, separarlos

físicamente pero no poder dar cuenta de qué cantidad están conformando esos grupos de diez

- Hacer grupos de diez conservando el todo. en donde se hacen los grupos de diez pero se mant iene la totalidad al poder expresar que cifra representan esos grupos

de diez.

Al analizar estas entrevistas podemos comprender la conclusión de Kamii con respecto a la enseñanza de las matemáticas en los primeros grados: "La dificultad generalizada del valor de posición puede deberse, por lo menos en parte, a los procedimientos clásicos de enseñanza. El procedimiento de empezar con las unidades estimula a los niños a contestar irreflexivamente respuestas sin pensarlas. Los procedimientos convencionales parecen ser eficientes para el adulto. Pero los niños pequeños no piensan como los adultos y si quisiéramos mejorar la enseñanza necesitaríamos enfocarla en la forma como ellos piensan. El valor de posición y los procedimientos convencionales son producto de centurias de construcción por parte del adulto. Los niños no pueden "tragarse" estos productos en su forma final. Para dominar el valor de posición y continuar con otras cosas que dependen de su fundamentación, ellos deben seguir un proceso de reconstrucción".'

1 Kamii. M. El valor de posición, una explicación de sus dificultades e implicaciones educacionales para los

alumnos de primaria. 1998.


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ARTÍCULOS

SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES Entendidad como las situaciones de la vida escolar o cotidiana que para ser resueltas

requieren de la realización de una operación aditiva numérica

Autores: Equipo investigador

de fa Facultad de Psicología de fa Universidad javeriana

A continuación presentamos un trabajo de investigación y conceptualización sobre

situaciones aditivas numéricas simples que son propias de la etapa del desarrollo en la

cual se encuentran los aprendices. En la primera parte se describen las diferentes clases

de situaciones aditivas numéricas simples, ejemplificando cada una de ellas; en la segunda

parte se muestran también de forma ejemplificada los diferentes procedimientos a emplear

para resolver dichas situaciones, y por último se presentan los procedimientos a seguir

en la resolución de cada tipo de situación.

l. Clasificación descriptiva de las situaciones aditivas numéricas simples

Entendemos por situaciones aditivas numéricas simples, las situaciones de la vida

escolar o cotidiana que para ser resueltas requieren de la realización de una operación

aditiva numérica. Se llaman "simples" para diferenciarlas de las situaciones aditivas nu

méricas "compuestas" las cuales requieren para su resolución de la realización de dos o

más operaciones aditivas numéricas.

Toda situación aditiva numérica simple presenta tres elementos, los cuales correspon

den lógicamente a dos partes (P 1 y P2) y una totalidad (T) resu ltante de la composición

de las dos partes. Su forma genérica sería:

Parte uno (P 1) + Parte dos complementaria (P2) = T (Totalidad)

Como se trata de una situación problema, esto es, una situación que ha de ser resuelta

por el sujeto, se caracteriza porque presentan dos elementos conocidos para obtener el

tercero desconocido a partir de estos dos.

De acuerdo a diversos factores , las situaciones aditivas numéricas simples son sus

ceptibles de ser clasificadas y tipificadas lógicamente. Con el propósito de hacer una

clasificación lógica de dichas situaciones, presentamos el siguiente cuadro que ilustra sin

orden alguno diferentes situaciones aditivas numéricas simples:

* Equipo compuesto por:Angela María Robledo. jorge Castaño G. y Juan Carlos Negret P.


1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

DIVERSAS SITUACIONES ADITIVAS NUMÉRICAS SIMPLES

• Pedro tiene 15 bolitas, Javier tiene 16 bolitas, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?

• Tienes 1 O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas al final?

• Pedro t iene 15 bolitas, ¿Cuántas bolitas le faltan para completar 30?

• Pedro t iene $100 y Javier tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier?

• Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?

• Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de

empezar el juego?

Primer lapso

Situaciones Aditivas de la forma 1 (con evento)

En un primer análisis de las situaciones presentadas se puede observar que algunas

de ellas se caracterizan porque se refieren a sucesos ocurridos en el tiempo, en donde

un evento transforma una situación inicial. Se tienen por ejemplo 5 bolas, se ganan 8 y se

pregunta por e l número de bolas con las que se queda después del juego. En términos

generales podemos definir estas situaciones porque se componen de un Estado Inicial

(Ei), un Evento (Ev) que transforma el estado inicial, y un estado Final (Ef) resultante de

esa t ransformación. De manera más sistemática podríamos analizar esas situaciones así:

Segundo lapso Tercer lapso

Estado inicial--i> Ei Evento --i> Ev Estado Final--i> Ef

Tienes 4 bolitas

Dato 1

Pedro tiene S bolitas

juegas y te ganas 5 ¿Con cuántas te quedaste?

Situaciones Aditivas de la forma 11 (sin evento)

Las situaciones restantes se caracterizan porque no hacen referencia a un evento

que transforme en algún momento un estado de cosas. Presentan dos datos que hacen

referencia a estados de cosas y se hace una pregunta que pone en relación esos datos,

preguntándose por el tercer dato que cumple la re lación especificada. Podemos ilustrar

estas situaciones así:

Dato 2 Dato resultante

Javier tiene 16 ¿Cuántas bolitas tiene más Javier que Pedro?

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En las primeras situaciones mencionadas se trata de dar cuenta de una T RANS

FORMACIÓN CONCRETA, que sucedió realmente, descrita por el EVENTO. En las

otras situaciones se trata de encontrar mediante una operación el dato que verifica la

RELACIÓN ABSTRACTA, que la situación demanda, descrita por la pregunta. En otras palabras la pregunta define la re lación aditiva que el sujeto tiene que establecer entre

los elementos conocidos para obtener una operación aditiva numérica, el elemento

desconocido. Como consecuencia de lo anterior encontramos que las primeras situa

ciones implican temporalidad, a diferencia de las segundas que hacen abstracción de toda

temporali dad.

En el cuadro siguiente presentamos las situaciones aditivas clasificadas de acuerdo a la presencia de una TRANSFORMACIÓN real descrita por un EVENTO (situaciones

con evento), o de una RELACIÓN (situaciones sin evento).

Las 4 situaciones aditivas numéricas simples sin evento

·Tipo de situación Forma de pregunta Ejemp.los

Tipo 1 ¿Cuánto se reúne? . Pedro tiene 15 bolitas, ¿Cuánto suma? Etc. Javier tiene 16 bolitas,

¿Cuántas bolitas reúnen entre los dos?

Tipo 11 ¿Cuánto es la diferencia? • Pedro tiene 50 bolitas, ¿Cuál es la resta? Etc. Javier tiene 16 bolitas

¿Cuál es la diferencia de bolitas entre Pedro y Javier?

Tipo 111 ¿Cuánto le falta? • Pedro tiene 15 bolitas, ¿Cuánto menos? ¿Cuántas bolitas le faltan ¿Cuánto hay que ponerle? para completar 30? Etc. • Pedro tiene $15, José tiene

$30, ¿Cuánto menos tiene Pedro con relación a José?

Tipo IV ¿Cuánto le sobra? • José tiene $30, ¿Cuánto le ¿Cuánto más? sobra con relación a Juan ¿Cuánto hay que quitarle? que tiene $18? Etc. • Pedro tiene $1 00 y Javier

tiene $80, ¿Cuánta plata más tiene Pedro que Javier?


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(ífr"As·

Las 6 situaciones aditivas numéricas simples con evento

Tipo de la situación Forma de la situación Ejemplo estados-evento

Tipo 1 Ei Ev+ 1 • Tiene 4 bolitas, juegas y te ganas 5 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedaste al final?

Tipo 11 Ei Ev- ? • Tienes 1 O bolitas, juegas y pierdes 4 bolitas, ¿Con cuántas bolitas te quedas?

Tipo 111 Ei ?+ Ef • Tienes 25 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 32 bolitas, ¿Qué pasó en el juego? ¿Cuántas bolitas ganaste?

Tipo IV Ei 1_ Ef • Tienes 23 bolitas, juegas y al final del juego te das cuenta que tienes 15 bolitas, ¿Qué pasó en el en el juego? ¿Cuántas bolitas perdiste?

Tipo V 1 Ev+ Ef • Jugaste y ganaste 4 bolitas, y al final del juego quedaste con 9 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar el juego?

Tipo VI ? Ev- Ef • Jugaste y perdiste 7 bolitas, y al final del juego te quedaste con 8 bolitas, ¿Cuántas bolitas tenías antes de empezar a jugar?

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11. Esquemas cognitivos usados para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples

A continuación se presentan los diferentes esquemas cognitivos que se emplean para resolver las situaciones adit ivas numéricas, dichos esquemas permiten comprender la

lógica de resolución de cada una de las situaciones anteriormente descritas.

Situación de tipo 1: Composición

Este tipo de situación sucede cuando un estado se ve transformado por un evento

positivo (ganar, recibir, etc.); o cuando se presentan dos datos referidos a estados de

cosas y se pregunta por LA SUMA (o la reunión o el total, etc.). Lo que se demanda

lógicamente para resolverlas es que el sujeto tenga al menos una INTUICIÓN DE LA

RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.

EJEMPLOS:

Forma 1: Tienes 6 monedas, en casa te regalan 3 monedas más, ¿Con cuántas monedas te quedas

al final?

Forma 11: Tienes 1 O monedas y Juan tiene 8, ¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?

Forma directa -y ún ica- de asimilar y resolver la situación: En este caso el sujeto re

suelve la situación reuniendo física o mentalmente los conjuntos que la situación presenta o, adicionando numéricamente los datos de la misma.

En términos de relaciones de parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto

le basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una composición

de los datos considerados como partes para obtener la totalidad , (P 1 + P2 ---P T).

En ciertos casos es posible el reconocimiento de que esa totalidad abarca las dos partes

(T ---P P 1 + P2). El esquema que sintetiza las relaciones descritas, se expresa en la

siguiente fórmula:

PI + P2 ---P?

El signo + representa las acciones aditivas que el sujeto debe ejecutar.

El signo ---P representa el PRODUCTO de las situaciones aditivas.

Situación de tipo 2: Descomposición

Esta situación sucede cuando un estado se ve transformado por un evento negativo

(perdió, entregó, etc.); o porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por la RESTA (o la diferencia, etc.). Lo que demanda lógicamente para re

solver estas situaciones es que el sujeto descubra, intuitivamente, al menos en ellas una

SITUACIÓN DE DESCOMPOSICIÓN.


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1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

EJEMPLO:

Forma 1: Tienes 1 O monedas, vas a la tienda y gastas 4 monedas, ¿Con cuántas monedas te quedas!

Forma 11: Ayer tenías 1 O monedas y hoy sacaste 4 ¿Cuántas monedas te quedan!

Formas de asimilar y resolver esta situación

a. Forma Directa: Por la vía de la descomposición: En este caso el sujeto resuelve la

situación separando física o mentalmente el conjunto correspondiente al número menor del conjunto correspondiente al número mayor, o sustrayendo numéricamente

el dato menor del dato mayor.

En términos de las relaciones parte y todo, para resolver esta situación, al sujeto le

basta tener la INTUICIÓN de que lo que se le demanda es hacer una DESCOMPOSICIÓN

de la totalidad para obtener la parte desconocida (T- P 1 --i> P2), intuición que puede

ser lograda por el sujeto preoperatorio. Pero tal como se dice es una INTUICIÓN. El

hecho de reconocer que la totalidad se puede descomponer en dos partes y que al retirar

una queda la otra, no necesariamente supone que el sujeto reconozca que al retirar una

parte lo que queda es la parte complementaria.

El esquema que sintetiza las relaciones descritas, lo expresamos en la siguiente for

mula: T-PI --i>?

b. Forma con transformación por la vía del complemento: En este caso el sujeto

resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que le falta para completar

el dato mayor.

En términos de las relaciones parte y todo a diferencia de la forma directa de repre

sentarse y resolver la situación, en este caso el sujeto se representa, ya en algún grado,

la coordinación de las relaciones de composición y descomposición.

Esta coordinación cuando es operatoria es la equivalencia que se expresa en la fór

mula: T - P 1 = P2 4--i> P 1 + P2 = T

Como en este momento se trata de una coordinación intuitiva, es como si el sujeto

se representara que la obtención de la parte desconocida (P2) por la descomposición

del todo, corresponde a buscar el complemento de la parte conocida con respecto al

TODO.

El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en

la siguiente fórmula:

(T - P 1 --i> ?) ===P (P + --i> T)

El signo===Prepresenta la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia entre

las relaciones descritas.

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Situaciones de tipo 3: Complemento

Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de FORMA

porque un estado se ve transformado por un evento positivo (ganó, recibió, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó, etc.); o cuando se

trata de una situación de FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados

de cosas y se pregunta por LO QUE FALTA (o cuanto menos, cuántos debe poner para . .. ,

etc.). Lo que demanda lógicamente para resolver estas situaciones es que el sujeto descubra en ellas UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO.

EJEMPLO:

Forma 1: Tienes 18 monedas, en tu cumpleaños te regalan varias monedas y cuando te das cuenta ya tienes 25 monedas, ¿Cuántas monedas te regalaron?

Forma 11: Si tienes 18 monedas, ¿Cuántas te faltan para completar 30?

Formas para asimilar y resolver esta situación

a. Forma directa por la vía del complemento: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato menor, buscando lo que falta para completar el dato

mayor.

En términos de las relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha

de comprender que lo que se le demanda es encontrar el complemento de la parte conocida con respecto al todo.

Para comprender que a una parte (P 1) se le puede agregar otra parte (P2) para

complementar el todo, es necesario que el sujeto tenga intuición de COMPOSICIÓN y que comprenda que la parte que ha de encontrar (P2) es ahora la parte

complementaria (que notamos P2). Esto no significa que el sujeto comprende que el complemento equivalga a la sustracción de la parte conocida de la totalidad.

Como se desconoce una de las partes, la fórmula del esquema como el sujeto se representa esta situación es:

PI +

b . Forma con transformación por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto

resuelve la situación sustrayendo del dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reconoce como la parte.

Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado la

coordinación de las relaciones de composición y descomposición, pueda representarse esta situación.

Es como si el sujeto representara que la obtención de la parte complementaria (P2)

con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ); corresponde a comprender que la parte complementaria (P2) es lo que queda una vez que a la totalidad le


40

EJEMPLO:

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sustrae la parte conocida (P 1 ). El esquema que sintetiza las relac iones y la coordinación

descritas, lo expresamos en la siguiente fórmu la:

P 1 + ? ---i> T ===P T - P 1 ---i> P2

El signo ===P representa la coordinación intuitiva que no es aún la equivalencia

entre las relaciones descritas.

Situaciones de tipo 4: Excedencia

Este tipo de situaciones se caracteriza cuando se trata de una situación de la FORMA

1 porque un estado se ve transformado por un evento negativo (pe rdió, entregó, etc.) que es desconocido, produciéndose un nuevo estado conocido (se quedó con ... );o cuando se

trata de una situación de la FORMA 11 porque se presentan dos datos referidos a estados de cosas y se pregunta por LO QUE SOBRA (o ¿Cuánto más! ¿Cuántos se deben quitar

para ... !, etc.). Lo que se demanda lógicamente para resolver la situación es que el sujeto descubra en ella UNA RELACIÓN DE EXCEDENCIA.

Forma 1: Tienes 25 monedas, vas a la tienda y compras varias golosinas, te quedaron 1 O monedas, ¿Cuántas monedas gastaste!

Forma 11: Tienes 25 monedas Juan tiene 50, ¿Cuántas monedas más tiene Juan!

Formas resolver esta situación

a. Forma directa por la vía de la excedencia: En este caso el sujeto resuelve la situación partiendo del dato mayor, y buscando el dato que sustraído a éste, le permite

obtener el dato conocido.

En términos de relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto ha de comprender que lo que se le demanda es encontrar la excedencia del todo conocido

con respecto a la parte conocida.

Para comprender que se puede encontrar lo que a la totalidad (T) le sobra con res

pecto a una parte conocida (P2), parecería bastar que el sujeto tenga la intuición de la descomposición. El esquema que sintetiza de manera general las relacio nes descritas

en esta forma de representarse la situación, se puede expresar en la fórmula:

T-? ---i> PI

b. Forma con transformación:

• Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo el dato mayor que reconoce como la totalidad, el dato menor que reco

noce como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de


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(ífr?J.s·

la forma directa de representarse y resolver esta situación, es también posible que

si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición

y descomposición, puede representársela como una relación de descomposición. Es como si el sujeto se representara que la obtención de la parte excedente (P2) con

respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ), corresponde a comprender que la parte excedente (P2) es lo que queda una vez que a la totalidad se le sustrae

la parte conocida (P 1 ). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación

descritas lo expresamos en la siguiente fórmula:

(T - ? --i> P 1 ) ~ (T-PI --i> ?)

• Por la vía del complemento: En este caso el sujeto puede resolver la situación

buscando el complemento de la parte menor con respecto a la parte mayor. Este tipo de resolución se produce porque además de las formas precedentes de re

presentarlas y resolver esta situación, es también posible que si el sujeto tiene en algún grado, la coordinación de las relaciones de composición y descomposición,

pueda representarse y resolver esta situación buscando el complemento de la parte conocida con respecto al todo conocido. Es como si el sujeto se representara que

la obtención de la parte excedente (P2) con respecto al todo (T) a partir de la parte conocida (P 1 ), corresponde a comprender que la parte excedente (?) desconocida

es lo que le falta a la parte conocida (P 1) para completar la total idad. El esquema que sintetiza las relaciones y coordinación descritas, se expresa en la siguiente

fórmu la:

(T - ? --i> P 1 ) ~ ( p 1+}

Situaciones de tipo 5: Complemento a izquierda

Este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA 1 se caracterizan por

que un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía) se ve t ransformado por un evento posit ivo (juega y gana, recibe, etc.) produciendo un nuevo estado conocido (se

queda con). Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial desconocido (cuánto ten ía) es que el sujeto establezca UNA RELACIÓN DE COMPLEMENTO

A IZQUIERDA

EJEMPLO:

Forma 1: Te encontraste 3 monedas y con las que tenías reuniste 9 monedas ¡Cuántas monedas

tenías al principio!?

Forma 11: No aplica

Formas resolver esta situación

a. Forma directa por la vía del complemento a la izquierda: En términos de las

relaciones parte y todo para resolver esta situación, el sujeto se representa que lo que t iene que encontrar es la parte desconocida (P 1) que adicionada con la parte co-


42

1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

nocida (P2) le produce la totalidad. Para comprender que el estado inicial es una parte

desconocida, que adicionada con el evento que es la otra parte, produce el estado final

que es la totalidad, es necesario que el sujeto tenga la intuición de la composición:

? + P2 ---i> T

Pero en este caso con la intuición de la descomposición resultaría insuficiente. En efecto, además de la intuición de la composición, en esta situación el sujeto debe te

ner en cuenta de manera más precisa las relaciones de temporalidad, presente en las

situaciones anterio res de la FORMA I.Y esto porque en los casos anteriores, el sujeto

establece las relaciones parte y todo en el mismo orden en que suceden en el tiempo

puesto que siempre conoce el estado inicial. En este caso, lo que sucede es que el sujeto

tiene que representarse un evento que actuó en el pasado, sobre un estado inicial que él desconoce.

Entonces para representarse las partes a componer debe reconstruir, en el tiempo,

la situación y comprender que lo que tenía era una parte que modificada por el evento

-la otra parte- le produjo el estado final -/a totalidad-. Esto se refleja de manera muy clara

cuando a algunos sujetos al presentarles la situación exigen que se les de el estado inicial.

Veamos un ejemplo en la siguiente entrevista:

E: No sabías cuántas bolitas tenías, juegas y ganas 5 bolitas, y ahora tienes 13 bolitas.

¿Cuántas bolitas tenías antes de jugar!

N: Pero ¿Cuántas tenía al principio!

E: Eso es lo que te estoy preguntando

N: Si no me dice cuántas tenía al comienzo, no le puedo responder.

Esto explica por qué las situaciones de tipo 5, que se resuelven a partir de la intui

ción de la composición son más difíciles de resolver para los sujetos, que las anteriores

que se basan en esta misma intuición. En efecto, si bien un sujeto tiene la intuición de la

composición (P 1 + P2 ---i> T),lo que se le dificulta aquí es reconocer en los datos del

problema, qué corresponde a las partes y qué al todo, y cuáles son las relaciones entre

ellos y la incógnita. El esquema que representa las relaciones descritas en esta forma de

presentarse y resolver la situación, se pueden expresar en la fórmula:

? + Ev ---i> Ef

? + P2 ---i> T

b. Formas con transformación

Por la vía del complemento a derecha: En este caso el sujeto puede resolver la situación

partiendo del evento, buscando lo que le falta para completar el estado final. Este tipo

de resolución se produce porque además de la forma precedente de representarse y

resolver esta situación, el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relacio

nes de composición y descomposición y el manejo de las relaciones de temporalidad

implicadas en la situación, que le permiten comprender el dato-evento como la parte

conocida a la que se le demanda encontrar el complemento.


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(ífr?J.s·

Es como si el sujeto se representara que la parte desconocida (P 1 !), corresponde a

obtener el complemento a derecha de la parte conocida (P2) con respecto al todo. El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación descritas, lo expresamos en la

siguiente fórmula:

(? + P2 --i> T) ~ ( P2 +? --i> T)

Por la vía de la sustracción: En este caso el sujeto puede resolver la situación sustrayendo del dato -estado final- que reconoce como la totalidad y el dato-evento

que corresponde como una de las partes. Este tipo de resolución se produce porque además de la forma directa de representarse y resolver esta situación es también posible

que si el sujeto tiene, en algún grado, la coordinación de las relac iones de composición

y descomposición , puede presentarse que el complemento a izquierda se puede hacer corresponder con la descomposición.

Es como si el sujeto representara que la parte desconocida (P 1) es lo que queda una

vez que a la totalidad se le sustrae la parte conocida (P2). El esquema que sintetiza las relaciones y la coordinación escritas, lo expresamos en la siguiente fórmula:

( ? + P2 --i> T) ~ (T - P2 --i> ?)

Situaciones de tipo 6: Recomposición

En este caso para resolver este tipo de situaciones que solo se presentan en la FORMA

se caracterizan porque un estado inicial desconocido (no se sabe cuánto tenía ... ) se ve transformado por un evento negativo (juega y pierde, entrega, etc.) produciéndose un

nuevo estado conocido (se queda con ... ) Lo que se demanda lógicamente para encontrar el estado inicial escocido, es que el sujeto establezca una relac ión de composición

que por el carácter fuertemente temporal de esta situación llamamos RELACIÓN DE COMPOSICIÓN.

EJEMPLO:

Forma 1: Gastaste 6 monedas y te quedaron 8, ¿Cuántas monedas ten ías antes de gastar!

Forma 11: No aplica

Formas para asimilar y resolver esta situación

a. Forma directa por la vía de la descomposición: En términos de las relaciones parte y todo para resolver esta situación el sujeto se representa que lo que tiene

que encontrar es la totalidad desconocida -el estado inicial- que al sust raerle la parte conocida -el evento- le produce la otra parte -el estado final- . Para comprender que

el estado inicial es la totalidad desconocida a la que al sustraerle la parte conocida -el evento- produce el estado final que es la otra parte:


44

1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

E·? l.

T?

Ev ......P Ef

P 1 ----i> P2

Ahora, para tener la intuición de la descomposición, en este caso, se requiere que el

sujeto sea capaz de representarse el estado inicial como el Todo. Pero en este caso el

todo es desconocido el sujeto debe conservarlo a pesar de que fue descompuesto por el evento - una de las Partes- que le produjo el estado final -la otra Parte-.

111. Procedimientos para la resolución de situaciones aditivas numéricas simples

Cuando el sujeto se ve enfrentado a una situación aditiva en primera instancia se

representa la situación asimilada a determinados esquemas cognitivos tal como los presentados anteriormente. Pero para la resolución de la situación el sujeto realiza una

especie de acciones particulares que llamamos PROCEDIMIENTOS.

Siguiendo los planteamientos de Piaget, los procedimientos consisten en secuencias de acciones que sirven de medios para conseguir el objetivo, siendo este lo que determina

las acciones. Estas consecuencias son verdaderos sistemas de acción que en tanto tales se pueden identificar y se caracterizan en términos generales porque:

Están estrictamente vinculados a los esquemas cognitivos, los cuales les otorgan significación y pertinencia.

Están dirigido a alcanzar un objetivo.

Es difícil abstraerlos de su contexto, ya que se relacionan con situaciones específicas

y heterogéneas.

Son temporales, en el sentido en que el método posterior sustituye al anterior que ya no resulta necesario.

Son transferib les entre situaciones pero no generalizables como los esquemas.

Procedimiento 1: Reunión y conteo

Es aquel que cuando para resolver una situación, el sujeto procede de la siguiente manera:

• Junta física o mentalmente los conjuntos A y B.

Cuenta el número de elementos del conjunto resultante C.

Expresado dicho procedimiento en una fórmula sería: R(A;B) e ere

En donde R(A;B) significa la reunión de los conjuntos A y B; y crC significa el número cardinal del conjunto C.


H&G

... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s·

ENTREVISTA

lván- 6 años-preescolar

E: Tienes 4 bolitas y te ganas S bolitas. ¡Cuántas bolitas tienes en total?

N : (Dibuja primero 4 bolitas y después las otras S)

o o

Me quedo con 9.

o o

o o

o o

E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9?

o

N: Conté 1 ,2,3,4,S,6,7,8,9, (señalando las bolitas)

Procedimiento 2:Agregación sucesiva y reflexión

En este caso el sujeto parte del cardinal del primer conjunto y agrega sucesivamente

el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:

CRa (+lyrB -i> CRc

Donde(+ 1) elevado al "crB" significa que la acción de agregar 1 se repite tantas veces como lo indica el cardinal B, hasta obtener el cardinal C.

ENTREVISTA

Fabio- 8 años-Primero

E: Tienías 4 bolitas jugaste y ganaste S bolitas. ¡Con cuántas bolitas quedaste al final?

N: 9 (contesta inmed iatamente)

E: ¡Cómo hiciste para saber que eran 9?

N: Pensando

E: ¡Cómo?

N: En la mente

E: ¡Cómo pensaste en la mente?

N: Sumando. Dice 4 (levanta la mano), S (agachando un dedo), 6 (agachando el siguiente), y así sucesivamente 7,8,9

El sujeto adiciona los cardinales a los dos conjuntos, bien sea acudiendo a los algo

ritmos aritméticos posic ionales o no posicionales.

Procedimiento 3: Adición por procedimientos no posicionales: El sujeto

adiciona los cardinales de los conjuntos por procedimientos no posicionales descomponiendo y recomponiendo los cardinales con los que opera.

Los procedimientos no posicionales son muy diversos dependiendo de las cantidades

con las que se esté trabajando. En algunas ocasiones se descompone el número en decenas (el 24 en 20 y 4) en otras ocasiones se le agrega al número lo necesario para completar

la decena siguiente (el 24 al 30), etc.


46

ENTREVISTA

1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

Procedimiento lB: Adición por procedimientos posicionales: El sujeto adi

ciona los cardinales de los conjuntos siguiendo el procedimiento posicional (el algoritmo

aritmético que se aplica cuando se suman los cardinales dispuestos en columnas).

Diego -9 años- Grado Segundo

E: Tienes 23 fichas. Estamos jugando y te ganas 15 fichas. ¿Cuántas tienes en total?

N: 38 (dudando)

E: ¿Cómo hiciste para saber que eran 38?

N: Tenía 23 y gané 15, entonces pensé que eran 20 y si eran 15 entonces eran 35;y después sumé los otros tres y me dio el resultado

ENTREVISTA

Procedimiento 4: Separación y conteo

Para resolver la situac ión el sujeto procede de la siguiente manera:

• Separa física o mentalmente el conjunto A del C.

• Cuenta el número de elementos del conjunto resultante B.

Expresado este procedimiento en una fórmu la, sería:

S(A,C) ~ crB

En donde S(A,C) significa la separación del conjunto A del conjunto C , y crB significa el cardinal del conjunto B.

FABIO -8 años- Grado Primero

E: Tienes 17 bolitas juegas y al final miras y tienes 25 bolitas. ¡Qué pasó durante el juego?

N: (El niño pinta las 17 bolitas y se queda en silencio)

E: Y al final miras y tienes 25 bolitas, ¿Qué pasó?

N: No entendí nada

E: (Repite el problema)

N: Que le gané a mi hermano

E: ¡Cuántas?

N: (El niño pinta las 25 bolitas) y dice le gané 25

E: Pero tu ya tenías 17 bolitas

N: Le gané 8 ... Tapé las mías y conté las que le gané a mi hermano

Procedimiento 5: Desagregación sucesiva y reflexión

El sujeto parte del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad y desagrega

sucesivamente (-1) el número de veces designado por el cardinal del segundo conjunto. Su fórmula es:


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... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s·

CrC (-1) erA -i> crB

Donde (-1) elevado al erA significa que la acción de desagregar se repite tantas veces como lo indique el cardinal A, hasta obtener el cardinal B.

ENTREVISTA

Wilson -7 años- Grado Primero

E: No sabías cuántas bolitas tenías, jugaste y ganaste 7 bolitas, al final quedaste con 1 1 bol itas

¿Cuántas bolitas ten ías al principio!

N: No me acuerdo, repítemelo

E: (Repite el problema)

N: ¿Cuántas me gané?

E: 7 bolitas

N: (Dibuja 1 1 palitos y él mismo se pregunta ¿Con cuántas terminé? Y se contesta). Con 1 1 (Se pregunta ¿me gané 7? Entonces tacha 7 palitos y dice:) Tenía 4 bolitas al principio

E: {Por qué sabes que tenías 4!

N: Porque 4 más 7 igual a 1 1

Procedimiento 6: Sustracción

El sujeto sustrae e l cardinal del conjunto menor del cardinal del conjunto mayor, bien

sea acudiendo a algoritmos aritméticos posicionales o no pos icionales.

Procedimiento 6": Sustracción Por Procedimientos No Posicionales: El sujeto

sustrae el cardinal del conjunto que reconoce como la parte, del cardinal del conjunto que reconoce como la totalidad por procedimientos no posicionales, descomponiendo

o recomponiendo los cardinales con los que opera. Al igual que en el caso de la adición , estos procedimientos son muy diversos depend iendo de las cantidades con las que se

este trabajando.

Procedimiento 6b: Sustracción Por Procedimientos Posicionales: El sujeto sustrae el cardinal del conjunto -parte del cardinal del conjunto Todo- siguiendo el

procedimiento posicional (el algoritmo aritmético que se aplica cuando se sustraen los cardinales dispuestos en columnas).

ENTREVISTA

Camilo -7 años- Grado Primero

E: No sabías cuántas bolitas tenías, te ganaste 2 bolitas, al final quedaste con 6 bolitas. Entonces ¿Cuántas bolitas ten ías al principio?

N: 4

E: ¿Cómo supiste que eran 4!

N: Pues yo ten ía un montoncito que no sabía cuánto era, entonces me gané 2, entonces me quedan

6, porque 6-2=4. Entonces me di cuenta de que tenía 4 al principio


1-'M'CJG I-<AMA

(ífr"As·

Los Procedimientos Posibles Para Resolver Las Situaciones Aditivas

Nombre Descripción del procedimiento Fórmula lógica

Hipótesis y verificación El sujeto asume hipotéticamete un dato y lo verifica en la situación.

Reunión y conteo El sujeto reune los conjuntos presentes o figurados y obtiene cuenta (obtiene R(A, B) ---] C ---] crC el cardinal) del conjunto resultante.

Separación y conteo El sujeto separa física o mentalmente el conjunto -parte del conjunto- S(C,A) --] B ---] crB todo y cuenta el conjunto que le queda.

Conteo repetido y el sujeto parte del cardinal del primer reflexión conjunto y cuenta repetidamente CrA(+ l)CrB --] ere

(agregando + 1) el número designado por el cardinal del segundo conjunto.

Reconteo repetido y El sujeto parte del cardinal del conjunto reflexión todo y retrocuenta repetidamente

(desagregando -1) el número de veces crC(-l)c,.s --] erA

designado por el cardinal del conjunto-parte.

Adición por El sujeto adiciona los cardinales de los procedimientos No conjuntos por procedimientos no posicionales ANP posicionales, descomponiendo y

recomponiendo los cardinales con los que opera.

Adición por El sujeto adiciona los cardinales de los procedimientos conjuntos siguiendo el procedimiento posicionales APP posicional (el algoritmo aritmético).

Sustracción por El sujeto resta el cardinal del conjunto procedimientos no parte del conjunto todo por posicionales SNP procedimientos no posicionales,

descomponiendo y recomponiendo los cardinales.

Sustracción por El sujeto resta el cardinal del conjunto procedimientos parte del cardinal del conjunto todo posicionales APP siguiendo el procedimiento posicional

(el algoritmo aritmético).

48 Portafolio del educador del Programa Cifras® de Herramientas & Gestión® H&G Prohibido lo reproducción por cualquier medio (fotocopia, m icrofi'mación, etc.) - w·ww.herromientosygestion.com • [email protected]

PROGRAMA

(ifr?J.S©

Caja de herramientas Cuadro con los tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas

de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución

H E RRA MI E N TA S & GES T I Ó N

... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s·

Tipos de situaciones aditivas numéricas simples, formas de preguntar, esquemas y procedimientos para su resolución

SITUACIONES FORMAS FORMAS PSICOLÓGICAS DE REPRESENTACIÓN Y RESOLUCIÓN DE LAS SITUACIONES

TIPO DE

DE SITUACIÓN PREGUNTAR ESQUEMAS ADITIVOS NUMÉRICOS PROCEDIMIENTOS

TIPO 1 ¿Con cuántos se PI + P2 --i> ' Reunión y Conteo

Composición quedó? Agreg. Sucesiva y reflexiva Adición

¿Con cuántos se T- PI --i> ? Separación y Conteo

TIPO 11 quedó? Desagrreg. Sucesiva y reflexiva

Descomposición Sustracción

¿Cuál es la T- PI --i> ' ===P PI + ? --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva diferencia Adición

¿Cuántos ganó? PI ' --i> T T - Pl--i> '

Separación y conteo + ===P Desagreg. Sucesiva y reflexiva

TIPO 111 ¿Cuántos le Sustracción

Complemento faltan?

a Izquierda ¿Cuántos p + ' --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva

menos? Adición

¿Cuántos perdió? T - ? --i> PI ==::p T - PI --i> ?

Separación y conteo Desagreg. sucesiva y reflexiva

¿Cuántos le Sustracción

TIPO IV sobran?

T-? --i>PI ===P PI + ?--i>T Agreg. Sucesiva y reflexiva

Excedencia ¿Cuántos más? Adición

¿Cuántos hay Agreg. Sucesiva y reflexiva

que quitarle? T-?--i> PI Hipótesis y verificación

Separación y conteo

' + PI --i> T===P T- Pl--i> ' Desagreg. Sucesiva y reflexiva Sustracción

TIPO V

Complem ento ¿Cuántos ten ía? ' + Pl--i> T ===P PI + ?--i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva

a derecha Adición

' PI --i> T Agreg. Sucesiva y reflexiva

+ Hipótesis y verificación

TIPO VI ' - P 1 --i> P2 ==::p P2 + PI --i> T Recomposición

¿Cuántos ten ía? Todos excepto separación y

PI + P2 --i> T conteo

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... 1-(0GKAMA

(ífr?J.s·

Alcance y secuencia conceptual

El siguiente esquema representa la relación directa y articulación de los fundamentos

teóricos expuestos en esta primera parte, con cada una de las fases y pasos que hacen

parte de la metodología del Programa Cifras. Pretendemos ilustrar de forma práctica el

alcance y secuencia conceptual de nuestra propuesta.

Sistema/concepto Fase/pasos Artículo

. Signos y numerosidad . Dígitos. Pasos l y2 . Numerosidad . Cifras paso 1

. Cardinalidad . Dígitos: Paso 3 . Cardinalidad . Cifras pasos 2 a 4

. Orden y secuencia . Dígitos: Pasos 4 y S . Orden y ordinalidad

. Cifras: Pasos 3 a S

. Composición y descomposición . Dígitos: Paso 6 . Una aproximación al concepto de número

. Sumas . Dígitos: Pasos 7 y 8 . Comprensión el valor posicional

. Restas . Cifras: Pasos 6 a 8 . Situaciones aditivas numéricas simples

. Complemento

. Problemas


Portafolio Cifras - Fundamentos

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