CAPÌTULO UNO

PROPOSICIÒNUna proposición es una unidad semántica que sólo es verdadera o sólo es falsa. Las proposiciones se las representan con las primeras letras de abecedario en minúscula. ORACIONES QUE SON PROPOSICIONES.Las proposiciones que tienen precisión y no ambigüedades. Ejemplo:

a: 5 es un número par. (0) b: Incrementó el B.D.H. a $50.00 (1) C: 3467+56= 4624 (0) d: Machala es capital bananera. (0)

REQUISITO QUE DEBE TENER UNA PROPOSICIÒN: La proposición debe establecer su valor de verdad.

VALOR DE VERDAD.El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe la misma proposición y este valor puede ser falso o verdadero.OPERADORES LÒGICOSNEGACIÒN.El operador lógico de negación cambia el valor de verdad de una proposición. La negación se representa con los términos

CAPÌTULO UNO

gramaticales “no, ni, no es verdad que, no es cierto que”, y se lo representa simbólicamente por ¬a.

a ¬a0 11 0EJEMPLOS:

a: Tengo un billete de cinco dólares.¬a: No tengo un billete de cinco dólares. b: Quiero hacer el viaje.¬b: No quiero hacer el viaje. e: Mañana expondré mi proyecto de aula.¬e: Mañana no expondré mi proyecto de aula. d: El Ecuador tiene maravillosos lugares turísticos.¬d: El Ecuador no tiene maravillosos lugares turísticos.

CONJUNCIÒN.Este operador lógico relaciona dos preposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. La conjunción se representa con los términos gramaticales “y, pero, mas”, y se lo representa simbólicamente por a ∧ b.

CAPÌTULO UNO

a b a ∧ b0 0 00 1 01 0 01 1 1EJEMPLOS: a: Tengo buenas calificaciones.b: gano una beca.a ∧ b: Tengo buenas calificaciones y gano una beca. a: Trabajo demasiado.b: recibo bajo sueldo.a ∧ b: Trabajo demasiado pero recibo bajo sueldo. a: No estudié para el examen.b: obtuve buena calificación. a ∧ b: No estudié para el examen pero obtuve una buena calificación. a: Iré a la fiesta de María.b: me divertiré todo la tarde.a ∧ b: Iré a la fiesta de María y me divertiré todo la tarde.

DISYUNCIÒN.Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. La disyunción se representa con los términos

CAPÌTULO UNO

gramaticales “o” y se lo representa simbólicamente por a ∨ b. a b a ∨ b0 0 00 1 11 1 11 1 1EJEMPLOS: a: Tengo un libro de trigonometría.b: tengo un libro de algebra.a ∨ b: Tengo un libro de trigonometría o uno de algebra. a: Mañana tendré clases de matemática.b: tendré el concurso de pintura.a ∨ b: Mañana tendré clases de matemática o el concurso de pintura. a: Melisa comprará las cosas para la fiesta. b: Melisa junto con Pablo arreglaran el curso .a ∨ b: Melisa comprará las cosas para la fiesta o Melisa junto con Pablo arreglarán el curso. a: Guayas es zona arrocera.b: Quito es la capital de Chimborazo.a ∨ b: Guayas es zona arrocera o Quito es la capital de Chimborazo. DISYUNCIÒN EXCLUSIVA.

CAPÌTULO UNO

Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando una de ellas sea verdadera. La disyunción exclusiva a ∨ b se puede expresarse como (a ∨ b) ∧ ¬ (a ∨ b) En español se representa con los términos gramaticales “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o…, o…”.

a b a ⊻ b0 0 00 1 11 1 11 1 0 EJEMPLOS:

a: Estoy en Quito.b: Estoy en Guayaquil.a ⊻ b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. a: Iré con mi familia de paseo.b: Iré al cine con mis amigos. a ⊻ b: Me iré con mi familia de paseo o iré al cine con mis amigos. a: Canterè en el evento del Sàbado.b: Bailaré en festival del Viernes.a ⊻ b: Canterè en el evento del Sàbado o bailaré en festival del Viernes.

CAPÌTULO UNO

CONDICIONAL.Este operador lógico se lo denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a→b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de consecuente sea falso. En español, la proposición a ⟶ b puede tener los siguientes términos gramaticales: “si a, entonces b”, “a sólo si b”, “a solamente si b”, “si a, b”, entre otras expresiones que denote causa y efecto. a b a ⟶ b0 0 10 1 11 0 01 1 1

EJEMPLOS: a: Juan gana el concurso.b: Juan dona $ 10.000.a ⟶b: Si Juan gana el concurso, dona $10.000. a: María viaja a Canadá.b: María estudia y aprueba en los exámenes.a ⟶ b: María viaja a Canadá solamente si estudia y aprueba en los exámenes. a: Camila aprueba el examen de matemáticas.

CAPÌTULO UNO

b: Camila viajará de vacaciones a la finca de sus abuelos. a ⟶ b: Si Camila aprueba el examen de matemáticas, viajará de vacaciones a la finca de sus abuelos.

REPRESENTACIONES SIMBÒLICAS.Recíproca a ⟶ bInversa ¬a ⟶ ¬bContrarrecíproca ¬b ⟶ ¬a

CONDICIONES NECESARIASBICONDICIONAL. Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a ⟷ b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. En español puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “a si y sólo si b”, “a si y solamente si”, “a implica b y b implica a”, “a cuando y sólo cuando b”.

a b a ⟷ b0 0 10 1 01 1 01 1 1 EJEMPLOS:

CAPÌTULO UNO

a: Un triangulo es equilátero.b: Un triangulo es equiángulo.a ⟷ b: Un triangulo es equilátero si y sólo si es equiángulo. a: Cristian es bueno en trigonometría. b: Cristian es bueno en matemáticas.a ⟷ b: Cristian es bueno en trigonometría si y sólo si es bueno en matemáticas. a: Viajerè de vacaciones.b: Apruebo el año escolar. a ⟷ b: Viajerè de vacaciones si y sòlo si Apruebo el año escolar.

EJERCICIOS.a: Elizabeth cumple con sus obligaciones.b: Elizabeth aprueba el examen.c: Elizabeth trabaja.d: Elizabeth no se va de vacaciones.a ⟶ ¬[ b ⟶ (¬c ∨ d)] : Elizabeth cumple con sus obligaciones sólo si no aprueba el examen solo si trabaja o se va de vacaciones.

TABLAS DE VERDAD Y FORMAS PROPOSICIONALESa: [ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ ¬p)] ∧ r [(p ∧ q) ⟶ (r ∨ ¬p)] = x p q r p ∧ q ¬p r ∨ ¬p [(p∧q)⟶(r ∨¬p)] x ∧ r0 0 0 0 1 1 1 0

CAPÌTULO UNO

0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1IMPLICACIÒN LÒGICA p ⟶ (q ⟶p) p q q ⟶ p p ⟶ (q ⟶p)0 0 1 10 1 0 11 0 1 11 1 1 1

Tabla de tautología. Es cuando todos los valores resultantes dan v, 1.(p ⟶q) ⟷ (¬q ⟶¬p)p q p ⟶ q ¬q ¬p ¬q ⟶¬p (p ⟶ q)⟺(¬q ⟶¬p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 1 0 0 1 1EJEMPLOS.

CAPÌTULO UNO

a: Pamela cumple con sus horas de trabajo.b: Pamela llega puntual al trabajo.c: Pamela asiste a la consulta médica.Pamela cumple con sus horas de trabajo sólo si llega puntual al trabajo y no asiste a la consulta médica.

a ⟶ (b ∧ ¬c)a b c ¬c

(b∧¬c)

a →(b ∧ ¬c)0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 10 1 1 0 0 11 0 0 1 0 01 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0

EJEMPLOS.a: Pamela se va de vacaciones..b: Pamela aprueba el examen.c: Pamela cumple con sus obligaciones.Si Pamela se va de vacaciones sólo si aprueba el examen y cumple con sus obligaciones.a →(b ∧ c)

a b c b ∧ c

a→(b ∧ c)

0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 0 0

CAPÌTULO UNO

1 1 0 0 01 1 1 1 1

EQUIVALENCIA LÒGICAPROPIEDADES CONJUNCIÒN DISYUNCIÒNCONMUTATIVA (p ∧ q) ≡ (q ∧ p) (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)ASOCIATIVA [( p∧q)∧r]≡[p∧(q∧r)] [( p∨q)∨r]≡[p∨(q∨r)]IDEMPOTENCIA (p∧p)≡p (p∧p)≡pABSORCIÒN (p∧0)≡0 (p∨1)≡1

LEYES DE LOS OPERADORES¬0=1¬1=0 NEGACIÓN

¬(¬p)= p DOBLE NEGACIÒNp∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) DISTRIBUTIVAS¬(p∧q)≡(¬p∨¬q)¬(p∨q)≡(¬p∧¬q) DE MORGAN

(p∨¬q)≡1 TERCERO EXCLUIDO(p∧¬q)≡0 CONTRADICCIÒN(p ⟶ q)≡(¬q ⟶ ¬p) CONTRARRECÌPROCA(p⟶q)≡(¬p∨q)(¬p⟶q)≡(p∨q)¬(p⟶¬q)≡(p∧q) IMPLICACIÒN(p≡q)≡[(p⟶q)∧(q⟶p)](p≡q)≡(q≡p) EQUIVALENCIA

CAPÌTULO UNO

EJERCICIOS:(p ∧ q)⟶r ≡ ¬p ⟶r(¬p ∨ ¬q)⟶r(¬p ∨ ¬q) ∨ r ≡ p ∨ qTraduzca el siguiente lenguaje: No quiero ir al estadio ni ver televisión.p: Quiero ir al estadio.q: ver televisión ¬p ∧ ¬q ≡ ¬(p ∨ q) Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos, o pierde y trata de ganar el próximo juego.p: Mi equipo gana el juego de futbol.q: Obtiene los 3 puntos.r: Pierde.s: Trata de ganar el próximo juego.(p ∧ q)∨(r ∧ s) Guayaquil mejora su imagen, si la Municipalidad realiza obras o los ciudadanos colaboran en el aseo de la calles.m: La Municipalidad realiza obras.n: Los ciudadanos colaboran en el aseo de la calles.p: Guayaquil mejora su imagen.p→(m∨n) Mis padres me compran un carro sólo si me porto bien y apruebo el curso.q: Mis padres me compran un carro.r: Me porto biens: Apruebo el curso.

CAPÌTULO UNO

q→(r∧s)EJERCICIO EN CLASE:Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer, no me siento bien y no puedo estudiar.a: Siempre que tengo hambre.b: Tengo tiempo para comer.c: Me siento bien.d: Puedo estudiar.a) (¬b ∧ a) ⟶ (c ∧ d)b) (¬c ∨ d) ⟶ (a ∨¬b) c) (c ∧ d) ⟶ (a ∨ ¬b) d) (¬a ∨ b) ⟶ (c ∨ d) e) (c ∨ d) ⟶ (¬a ∨ b) SOLUCIÒN:(a ∧ ¬b) ⟶ (¬c ∧ ¬d) ⇒ ¬(¬c ∧ ¬d) = (c ∨ d) ¬(a ∧ ¬b) = (¬a ∨ b) (c ∨ d) ⟶ (¬a ∨ b)

RAZONAMIENTOS: PREMISAS o HIPÒTESISSon proposiciones que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis.Es válido cuando es una tautología. H1 ∧ H2 ∧ H3 ..... Hn ⟶ C Antecedente Consecuente

CAPÌTULO UNO

Ejemplo:“Si Pablo recibió el e-mail, entonces tomó el avión y estará aquí al mediodía. Pablo no tomó el avión. Luego, Pablo no recibió el e-mail.”SOLUCIÒN:a: Pablo recibió el e-mail. b: Pablo tomó el avión.c: Pablo estará aquí al mediodía.

H1 ∧ H2 ∧ Hn ⟶ CH1: p ⟶ (q ∧ r) H2: ¬q C: ¬p [(p ⟶ (q ∧ r)) ∧ (¬q)] ⟶ ¬pp q r q ∧ r p⟶(q ∧ r) ¬q H1 ∧ H2 ¬p H1 ∧ H2 ⟶ C0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 1“Si el crimen ocurrió después de las 4:00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 4:00 o antes, entonces Carlos no pudo, haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometió. Por lo tanto, el crimen involucra dos personas,a: Si el crimen ocurrió después de las 4:00.

CAPÌTULO UNO

b: Pepe no pudo haberlo cometido.c: Carlos pudo haber cometido el crimen.d: El crimen involucra dos personas.H1 ∧ H2 ∧ Hn ⟶ CH1: a ⟶ (¬b) = (a⟶¬b)H2: (¬a) ⟶ (¬c) = ¬a ⟶ ¬cH3: (¬c) ⟶ d= (¬c ⟶d)C: d(a⟶¬b)∧( ¬a ⟶ ¬c )∧(¬c ⟶d)[(p⟶¬q)∧( ¬p ⟶ ¬r )∧(¬r ⟶s)]⟶sp q r s ¬q p→¬q ¬p ¬r H2 H3 H

1∧H2∗∧H3

[∗∧H3]⟶s0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 10 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 CONJUNTOS Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.

CAPÌTULO UNO

La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras: Por compresión, para referirnos a alguna característica de los elementos.A= 𝑥/𝑥 es consonante de la palabra amistad. Por extensión o tabulación, cuando se listan todos los elementos.A= 𝑑, 𝑚, 𝑠, 𝑡 Por medio de diagramas de ven cuando se desea representarlo gráficamente.

Note que: A𝑑∈A𝑏∉A

A= 𝑥/𝑥 es un digito impar en el sistema de numeración decimal.N(A)= 5, porque A= 1, 3, 5, 7, 9 Totalidad de elementos que tiene un conjunto.EJEMPLOS:CONJUNTO VACIO:A= 𝑥/𝑥 es un numero para o impar a la vez.CONJUNTO UNITARIO:A= ∗CONJUNTO FINITO:A= 𝑥/𝑥 es un habitante del Ecuador.CONJUNTO INFINITO: A= 𝑥/𝑥 es numero entero.CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSO:A= 𝑥/𝑥 es un letra del alfabeto español

𝑡 𝑑𝑚 𝑠

CAPÌTULO UNO

EJERCICIOS EN CLASE: Determine cual de los siguientes conjuntos es vacío:

a) A=Ø b) D=Ø c) B=Ø,Ø d) C=Ø,Ø e)M= xx≠ x

Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a)N(A)=N(D) Verdadero d)N(C)=1 Falsob)N(D)=N(C) Verdadero e)N(B)=N(C)+1 Falso c)N(C)=N(M) Falso

CUANTIFICADORES.CUANTIFICADOR UNIVERSAL.Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje forma un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.EJEMPLOS:∀𝑥, 2𝑥 + 3𝑥= 5𝑥∃𝑥, 2𝑥 + 2𝑥= 4𝑥“Para todo número 𝑥, se cumple 2𝑥 + 3𝑥= 5𝑥”“Existe por lo menos un número 𝑥, para lo cual se cumple 2𝑥 + 2𝑥= 4𝑥”

SUBCONJUNTOS.

CAPÌTULO UNO

El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenido en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A⊆B)⇔∀𝑥 [(𝑥∈A) → (𝑥∈B)]

EJEMPLOS: Si A= ∗, +, a, entonces P(A)= ∅, ∗, +, a, ∗, +, ∗, a, +, a, AA partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:∗, + ⊂ A∗, + ∈ P(A)Ø ∈ P(A)Observe que N(P(A))= 23= 8. Dado el conjunto B= 1, ∗, Ω, construya P(B).N(P(B))= 22 =4P(B)= Ø, 1, ∗,Ω, B.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS.Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente se representa por:(A=B)⇔ [(A⊆B) ∧ (B⊆A)]

CONJUNTO PROPIO: Si A es subconjunto de B, pero B no es subconjunto de A, se dice que A es subconjunto propio de B. (A⊂ B) ⇔ (A⊆B) ∧ ¬(A= B)

CONJUNTO POTENCIA: Dado el conjunto A, su conjunto de potencia es aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).P(A)= B/B ⊆ A

CAPÌTULO UNO

CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES.Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son intersecantes si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.

Re

UNIÒN ENTRE CONJUNTOS.La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por elementos que los pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como:A∪B= 𝑥/(𝑥∈A) ∨ (𝑥 ∈ B)

INTERSECCIÒN ENTRE CONJUNTOS.La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como:A∩B= 𝑥/(𝑥∈A) ∧ (𝑥 ∈ B)

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−¿B y se define como:A−¿B= 𝑥/(𝑥∈A) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)

A B

CAPÌTULO UNO

Re

Re

Re

DIFERENCIA SIMÈTRICA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∆ B y se define como:A ∆ B= 𝑥/[(𝑥∈A) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)]∨[(𝑥∈B) ∧ ¬(𝑥 ∈ A)]

COMPLEMENTACIÒN ENTRE CONJUNTOS.La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como:AC= 𝑥/(𝑥∈Re) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)

A B

A B

ACA

CAPÌTULO UNO

EJERCICIOS EN CLASES: Dado el Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y los conjuntos:A= 1, 2, 3, 4, 5B= 2, 4, 6, 8C= 1, 3, 6, 7Determine:a) AC = 6, 7, 8b) A∪B= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8c) A∩B= 1, 3d) B−¿C= 2, 4, 8e) A ∆B= 1, 3, 5, 6, 8 Sea el conjunto referencial Re y los conjuntos no vacíos A, B y C definidos así:Re= *, ¡, #, $, %, &, ?A= *, ¡, #, $B= ¡, %, &,?C= %, &,?Entonces el conjunto [(A-B)C ∪ C]C es:a) Re b)Ø c)%, &, ? d)¡ e) A-BSOLUCIÒN.(A-B)= *, #, $(A-B)C= ¡, %, &, ?(A-B)C ∪ C= ¡, %, &, ?[(A-B)C ∪ C]C= *, #, $ Sean A, B, C subconjuntos de un conjunto referencial Re, tal A∪B∪C= Re y la intersección entre cualquiera dos de ellos es vacío, entonces para cualquier subconjunto del Re.

A B

X

CAPÌTULO UNO

D= (D∩A)∪(D∩B) ∪(D∩C)SOLUCIÒN.Re=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A=1, 5, 7, 9B=2, 3, 5, 8C=1, 4, 6, 7. 5D=1, 4, 6, 7, 9(D∩A)∪(D∩B) ∪(D∩C)=1, 4, 6, 7, 9(D∩A)=1, 7, 9(D∩B)=Ø (D∩C)=1, 4, 6, 7 A∪B∪C=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B∩D=Ø

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES ENTRE CONJUNTOS.(A∪B) = (B∪A) Unión X (A∪B) ⇔ (X∈A)∧ (X ∈B)X ∈ (A∪B) ⇔ (X∈A) ∨ (X∈B) (Unión)X ∈ (A∪B) ⇔ (X∈B) ∨ (X∈A) (Disyunción) LEY DE MORGAN(A∪B)C = AC∩ BC ⇒ Ley de Morgan.X ∈(A U B) ⇔ (X ∈Re)∧¬ (X ∈ (A U B)) Re

N(A∪B)=N(A) + N(B) – N(A ∩ B)

A B

X

T

CAPÌTULO UNO

Re

N(A) = N(A-B) + N(A∩B)N(A-B) = N(A) – N(A∩B)EJEMPLO: Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:Encuesta a 1000 personas.Teleamazonas: 620Canal Uno: 400Ecuavisa: 590Teleamazonas y Canal Uno: 195Canal Uno y Ecuavisa: 400Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno: 300N(Re)=1000 ReN(T)=620N(C)=400N(E)=590N(T∩C)=195N(C∩E)=190N(T∩E)=400N(T∩E)-N(C)=300SOLUCIÒN.N(T∩E) – N(C)=300N(C)= N(T∩E) – 300N(C)= 400 – 300N(C)= 100FÒRMULA: A U B= N(A) + N(B) –N(A ∩ B)

C

E

CAPÌTULO UNO

N(T)∪N(C) ∪ N(E) = T∪ C ∪ET U C U E = N(T)+N(C)+N(E)−¿N(T ∩ C) −¿N(C ∩ E)−¿N(T ∩ E) + N(T ∩ E)−¿N(C) T U C U E = 620+400+590+195+190+400+ 400-300T U C U E = 1610-785+100T U C U E = 1710-785T U C U E = 925 ReN(T ∩ C)= 195-100=95N(C ∩ E)= 190-100=90N(T ∩ E)= 400-100=300N(T)= 620-(300+100+95) N(T)= 620-495=125N(C)= 400-(95+90+100)N(C)=400-285=125N(E)= 590-(90+300+100)N(E)=590-490=100

DETERMINAR:a)(A ∪ B) ∩ (CC ∪ BC)C Reb) (A−¿B) ∪ (CC −¿B)Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A= 1, 2, 3, 4, 5B= 2, 4, 6, 8C= 1, 3, 6, 7SOLUCIÒN. A ∪ B :1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 CC= 2, 4, 5, 8 BC= 1, 3, 5, 7CC ∩ BC = 2, 4, 5, 8 ∩ 1, 3, 5, 7 (CC ∩BC) = 1, 2, 3, 4, 6, 7,8(A∪B) ∩ (CC ∩ BC)= 1, 2, 3, 4, 6,8 Sol.

T C

E

A B

C

CAPÌTULO UNO

A−¿B= 1, 2,3CC= 2, 4, 5,8(CC −¿B) = 5(A−¿B) ∪ (CC −¿B) = 1, 3,5 Sol.

DETERMINAR A, B Y C SI SE CONOCE.Re= 1, 2, 3, 4, 5,6A−¿B= 1, 2,3A−¿C= 1,2(B−¿C)−¿A= 4C−¿(A ∪B)= 5(A ∪ B ∪ C) = 6 SOLUCIÒN.A= 1, 2,3B= 4C= 3,5 Re

EJERCICIOS EN CLASE.A= 1, 2 B= 1, 2, 3 C= 1, 3 D= 3, 4, 5DETERMINAR:

a)A=B. Falso.b)A=C. Verdadero.c)B y D son distintos. Verdadero.d)A=D. Falso.

A B

C

CAPÌTULO UNO

A= 1, 2, 3 23= 8p(A)= O, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, A A= x, y, x a) x p(A). Falso.b) x p(A). Verdadero.c) x p(A). Verdadero.d) x p(A). Falso.e) O, p(A). Verdadero.p(A)= O, x, y, x, x, y, x, x, y, x, AC= O N(p(C))= 02N(A)21= 0DETERMINE EL VALOR DE VERDAD.

a) (AUBUC)-C. Falso.b) [(A-B)C∩C] - A. Falso.c) A ∩ (B-C)C. Falso. d) [CC ∩(AUB)] ∪ (A∩B). Verdadero.SOLUCIÒN:A= 1, 2, 3, 4, 5B= 3, 6, 8, 9C= 2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13

a) (AUBUC)-C (AUBUC)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 (AUBUC)-C= 1, 5, 6, 9b) [(A-C)C ∩ C]-A A-C= 1, 2, 4, 5

CAPÌTULO UNO

(A-C)C= 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13(A-C)C∩C= 3, 7, 8, 10, 11, 12, 13[(A-C)C ∩C]-A= 7, 8, 10, 11, 12, 13c) A∩(B-C)C(B-C)= 6, 9(B-C)C= 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13 A (B-C)C= 1, 2, 3, 4d) [CC ∩ (A∪B)]∪(A∩B)CC= 1, 5, 6, 9A ∪ B= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9CC∩ (A∪B)= 1, 5, 6, 9A∩B= 3[CC ∩ (AUB)] ∪ (A∩B)= 1, 3, 5, 6, 9

Encuesta 500 se obtiene:- 120 estudian matemática.- 180 estudian física.- 300 estudian química.- 150 estudian física y química.- 120 estudian matemática y química.- 60 matemática y química.- 50 estudian las 3 materias.Cuantos estudiantes no revisan materia alguna.SOLUCIÒN.N(M)= 220N(F)= 180N(Q)= 300N(M∩F)= 60N(F∩Q)= 150N(M∩Q)= 120N(M∩F∩Q)= 50

CAPÌTULO UNO

N(M∩F∩Q)= N(M)+N(F)+N(Q)-(M∩F)-(F∩Q)-(M∩Q)+(M∩F∩Q)N(M∩F∩Q)= 220+180+300-60-150-120+50N(M∩F∩Q)= 700-330+50N(M∩F∩Q)= 750-330= 420 Sol.(M∪F∪Q)C= 500 – 420=80 Sol.N(M)= 220-(70+50+10)N(M)= 220-130N(M)= 90 Sol.N(M∩F)= 60-50=10N(F∩Q)=150-50=100N(M∩Q)= 120-50=70 Sol.N(F)=180- (10+100+50)N(F)=180-(160)N(F)= 20 Sol.N(Q)=300-(100+70+50)N(Q)= 300-(220)N(Q)= 80 Sol.EJERCICIOS EN CLASES:Se entrevista a 90 personas: 50 escuchan música, 20 ven películas, 60 escuchan músicas o ven películas ¿Cuántas personas realizan las dos actividades? N(M)= 50N(P)= 20N(M∪P)= 60N(Re)= 90N(M∪P)= N(M)+N(P)-N(A∩B)N(A∩B)= N(M)+N(P)-N(M∪P)N(A∩B)= 50+20-60N(A∩B)= 70-60N(A∩B)= 10

CAPÌTULO UNO

N(M)= 50-10=40N(P)= 20-10= 10PREDICADOS

Son expresiones en términos de un variable que al ser reemplazadas por elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si 𝓍 representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión (𝑥) se definirá como predicado.Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6(𝑥): 𝑥 es impar.(1)= es impar, es una proposición verdadera.(𝑥): 𝑥 es par.(5)= 5 es par, es una proposición falsa.CONJUNTOS DE VERDAD DE UN PREDICADO.Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. Se lo representa con la letra A. Ejemplos:A(𝑥)= 1, 2, 3 es verdadero.A(𝑥)= 2, 4, 6 es verdadero.A(𝑥)= 7 es falso.A(𝑥)= 8 es falso.Re= Quito, Lima, Bogotá, Caracas, Santiago

a) (𝑥): 𝑥 es capital de Ecuador.b) 𝑞(𝑥): 𝑥+2=5A(𝑥): Quito es capital de Ecuador.A(𝑥): ∅

CAPÌTULO UNO

Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10Determinar el conjunto de verdad del pre⊕ dicado: (𝑥): 𝑥 es⨳ un numero par.A(𝑥):2, 4, 6, 8, 10PROPIEDADES:A¬𝑝(𝑥)= AC𝑝(𝑥)A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)A(𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥).A(𝑝(𝑥)⟶𝑞(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪EJERCICIOS EN CLASE:Re= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7(𝑥): 𝑥 es un número primo.(𝑥): 𝑥≤5Determinar conjunto A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)).(𝑥)= 2, 3, 5, 7(𝑥)= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= 2, 3, 5Sea el conjunto referencial Re= 1, 2, 3, 4….. y los predicados: (𝑥): 𝑥 es un número impar.(𝑥): 𝑥 es un número par.Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:a) A(𝑝(𝑥)⟶ 𝑞(𝑥))⊆A 𝑞(𝑥) es verdadera.b) Re= A(𝑥)∪A𝑞(𝑥) es verdadera.

CAPÌTULO UNO

c) A(𝑥)= AC 𝑞(𝑥) es verdadera.d) A(𝑥)-A𝑝(𝑥)=ø es falsa.e) A(𝑞(𝑥)-𝑝(𝑥))-A𝑝(𝑥) es verdadera. Sea el Re=1, 2, 3, 4,5; p(x ): x es divisor de 12;q (x) : xes primo. Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a) ∀ x[p ( x )∨q ( x )] b) ∃ x[p ( x )∧q ( x )] c) ∃ x[¬p ( x )∧q ( x )]

p ( x ): 1, 2, 3, 4q ( x ): 2, 3a) ∀ x[p ( x )∨q ( x )] verdadero.b) ∃ x[p ( x )∧q ( x )] verdadero.c) ∃ x[¬p ( x )∧q ( x )] verdadero.

EJERCICIOS EN CLASE.Dado el conjunto referencial Re= -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, encontrar:a) 𝑝(𝑥): 𝑥<0b) 𝑞(𝑥): -2<𝑥<4c) 𝑟(𝑥): 𝑥 es impar >1d) ¬𝑝(𝑥): 𝑥>0A(𝑥)= -5, -4, -3, -2, -1A(𝑥)=-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4A(𝑥)=3, 5A(𝑥)=1, 2, 3, 4, 5A¬(𝑥)=0, 1, 2, 3, 4, 5

CAPÌTULO UNO

Hallar el valor de verdad de los siguientes predicados:a) A¬𝑝(𝑥)b) A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))c) A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))d) A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))Solución:A¬(𝑥)= AC𝑝(𝑥)A¬(𝑥)=0, 1, 2, 3, 4, 5A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))=-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪A𝑟(𝑥)A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))=0, 1, 2, 3, 4, 5A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= A(¬𝑝(𝑥)∩𝑞(𝑥))A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= 0, 1, 2, 3, 4, 5Dado el conjunto referencial Re= 1, 2, 3, 4, 5, hallar el valor de verdad de los siguientes predicados:(𝑥)= 𝑥 es divisor de 12.(𝑥)= 𝑥 es primo.a) ∀[ 𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥)] Verdadero.b) ∃[ 𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)] Falso.c) ∃[¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)] Verdadero.Solución:A(𝑥)=1, 2, 3, 4A(𝑥)=2, 3, 5A¬(𝑥)=5A(𝑥)∨A𝑞(𝑥)= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)A(𝑥)∨A𝑞(𝑥)= 1, 2, 3, 4, 5A(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= A𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)

CAPÌTULO UNO

A(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= 2, 3A¬(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= AC𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)A¬(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= 5EJERCICIOS EN CLASE:Dado Re= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6(𝑥): 𝑥 es un número par. (𝑥): 𝑥 es mayor que 7=Ø(𝑥): 𝑥 es menor que 10(𝑥): 𝑥 es un número impar.Determinar conjuntos:a) A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)b) A𝑠(𝑥)∩A𝑟(𝑥)c) A𝑝(𝑥)∪A𝑠(𝑥)d) A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))e) A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]f) (Re-A𝑝(𝑥))∩(A𝑞(𝑥)∪A𝑠(𝑥))SOLUCIÒN:A(𝑥)= 2, 4, 6A(𝑥)= ØA(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6A(𝑥)= 1, 3, 5AC(𝑥)= 0, 1, 3, 5AC(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)= Ø, 2, 4, 6 A𝑠(𝑥)∩A𝑟(𝑥)= 1, 3, 5 A𝑝(𝑥)∪A𝑠(𝑥)= 1, 2, 3, 4, 5, 6 A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪𝑞(𝑥)A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))= Ø, 0, 1, 3, 5 A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]= (AC𝑝(𝑥)∪𝑠(𝑥))∪(AC𝑞(𝑥)∪𝑟(𝑥))AC(𝑥)∪𝑠(𝑥)= 0, 1, 3, 5AC(𝑥)∪𝑟(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

CAPÌTULO UNO

A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ((Re-A𝑝(𝑥))∩(A𝑞(𝑥)∪A𝑠(𝑥))= Ø, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6(Re-A(𝑥))= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6(A(𝑥)∪A𝑠(𝑥))= Ø, 1, 3, 5

PRODUCTO CARTESIANO.PAR ORDENADO: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a, b).PRODUCTO CARTESIANO:Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos: como A x B.A × B= (𝑥,)/ (𝑥∈A)∧(𝑦∈B)EJEMPLOS:A= *, &, #B= @, $, ⨳A×B= N(A)×N(B)A×B= (*, @), (*, $), (*, ), (&, @), (&, $), (&, ), (#, @), (#, &),⨳ ⨳ (#, )⨳

RELACIONES: R⊆A×B R(A×B)= 2N(A)×N(B)A= ?, ⊕B= a, b R1 A B R2 A B Ø ?, a ?

⊕a

b

?

⊕a

b

CAPÌTULO UNO

R3 A B R 4 A B ⊕, b ?, b

R5 A B R6 A B

R7 A B R8 A B

R9 A B R10 A B

R11 A B R12 A B

R13 A B R14 A B

?

⊕a

b

a

b

a

b

?

⊕

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

?

⊕

a

b

a

b

a

b

a

b

?

⊕

?

⊕?

⊕

?

⊕?

⊕

?

⊕?

⊕

?

⊕?

⊕

CAPÌTULO UNO

R15 A B R16 A B

PROPIEDADES:N(A×B)= N(A)N(B)A×(B∩C)= (A×B)∩(A×C)A×(B∪C)= (A×B)∪(A×C)A×(B-C)= (A×B)-(A×C)A×(BΔC)= (A×B)∆(A×C)

EJERCICIOS EN CLASE:A= 1, 2, 3 B= a, b A×B= (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)A= (a, b)B= 1, 2A×B= 1(a, b), 2(a, b) A= 2, 4, 5B= 1, 3, 5R= (𝑥,)/𝑥+𝑦 es número primoR= (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3)DOMINIO DE UNA RELACIÒN.Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R.

a

b

a

b

?

⊕?

⊕

CAPÌTULO UNO

dom R= 2, 4EJERCICIOS EN CLASE:A= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9B= (0, 0), (3, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)Condición: a=b+c0+0=03+1=44+2=66+3=98+4=12R= (0, (0, 0), (4,(3,1)), (6,(4, 2), (9,(6, 3))dom R= 0, 4, 6, 9rg R= (0, 0), (3, 1), (4, 2), (6, 3)

R1 A B

FUNCIÒNUna relación de A en B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente, esta definición se representa por:1. dom R= A2. ∀𝑥∈A∀𝑦1, 𝑦2∈B[(𝑥 R 𝑦1)∧(𝑥 R 𝑦2)⇒(𝑦1= 𝑦2)]

0123456789

(0,0)(3,1)(4,2)(6,3

CAPÌTULO UNO

Para denotar funciones usualmente se utiliza la letra 𝑓 y se representa de la siguiente manera: 𝑓: a→b.A= a, b, c, dB= 1, 2, 3R1= (a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3) R2= (a, 1), (b, 2), (b, 3), (d, 1) 𝑓 𝑓 R1 A B R2 A B

TIPOS DE FUNCIÓN.INYECTIVA: Una 𝑓 es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de único elemento de dominio. Es necesario que N(A)≤N(B) para poder construir funciones inyectivas. Ejemplo:A= 2, 4, 5B= 8, 64, 125, 216𝑓: A→B, 𝑦 es el cubo de 𝑥𝑓: (2, 8), (4, 64), (5,125) 𝑓

A B

abcd123

abcd123dom2= a, b, d rgr= 1, 2, 3

dom1= a, b, c, d rgr= 1, 2, 3

245864125216 dom𝑓= Arg𝑓= 8, 64, 125

CAPÌTULO UNO

SOBREYECTIVA:Una 𝑓 es sobreyectiva si rg𝑓= B. Es necesario que N(A)≥N(B) para poder construir funciones disyuntivas. Ejemplo: A= -1, 0, 1B= 0, 1𝑓: A→B, 𝑦 es cuadrado de 𝑥.𝑓: (-1, 1), (0, 0), (1, 1) 𝑓 A B

BIYECTIVA:Una 𝑓es biyectiva si y sólo si una 𝑓 es inyectiva y𝑓 es sobreyectiva. Ejemplo:A= Guayas, El Oro, Los RíosB= Machala, Guayaquil, Babahoyo𝑓: A→B, 𝑦 es capital de 𝑥.𝑓:(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los Ríos, Babahoyo)

𝑓

0-11 01 dom𝑓= Arg𝑓= B

CAPÌTULO UNO

A B

EJEMPLOS:Determinar el valor de verdad:A= a, b, cB= 2, 4, 6, 8a)r= ∅ verdadero.b)r= (a, 2), (b, 6), (c, 8) verdadero.c)r= (2, a), (2, b), (2, c) falsa.R= (a, 2), (a, 4), (a, 6), (a, 8), (b, 2), (b, 4), (b, 6), (b, 8), (c, 2), (c, 4), (c, 6), (c, 8)A= a, b, c, dB= 2, 4, 6, 8r: A→BR= (a, 2), (a, 4), (a, 6), (a, 8), (b, 2), (b, 4), (b, 6), (b, 8) (c, 2), (c, 4), (c, 6), (c, 8), (d, 2), (d, 4), (d, 6), (d, 8)𝑓= (a, 2), (b, 2), (b, 8), (c, 4) 𝑓 A B

A= 2, 3, 4B= 4, 5, 7 r= A→Br= 𝑥 es divisor de 𝑦.

GuayasEl OroLos RíosMachala.GuayaquilBabahoyo.

dom𝑓= Arg𝑓= B

abcd2468

R1 ∪ R2

CAPÌTULO UNO

𝑓: (2, 4), (4, 4) A= a, b, c B= , R1= (a, ), (c, )R2= (b, )

𝑓 𝑓 A B A B

Si A y B son dos conjuntos finitos no vacíos donde N(A)¿ N(B) entonces cualquier función de A en B es inyectiva. Verdadero falsoA= 1, 2, 3, 4B=a, b, c, d R=(1,a),(1, b), (1,c),(1, d), (2,a),(2, b), (2,c),(2, d), (3,a),(3, b), (3,c),(3, d), (4,a),(4, b), (4,c),(4, d) 𝑓 A B

234457

abc

1234abcd