portal de pórticos: un programa de elementos finitos basado en la ...

iv

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE INGENIERÍA. MAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL.

PORTAL DE PÓRTICOS: UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS BASADO EN LA WEB.

Ing. Nayive Jaramillo S.

Mérida, Venezuela Mayo, 2004

v

AGRADECIMIENTO

En el transcurso de la vida, podemos contar con personas que nos impulsan, de una u otra manera al desarrollo de nuestras actividades, es por ello que como persona humilde quiero manifestar el reconocimiento de agradecimiento a: Dios y mis padres en primer instancia porque sin ellos Yo no existiría. A la profesora María Eugenia Marante quien dedicó su tiempo, conocimiento y orientación en su labor de Tutor. A los profesor Julio Flórez López y Ricardo Picón Rodríguez por su paciencia, confianza, ayuda, y por su valioso ejemplo de dedicación que me impulsaron para seguir adelante. A los profesores Hector Febres y Edward Thonson quienes de forma desinteresada brindaron su tiempo, su guía, sus conocimientos, su apoyo y colaboración en la realización de este trabajo. A todas aquellas personas que de una u otra forma me prestaron su ayuda incondicional. Gracias a todos.

Nayive Jaramillo Santana.


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RESUMEN En este trabajo se presenta el desarrollo de un instrumento computacional para la evaluación de la seguridad antisísmica de edificaciones (construidas o por construir) a través de la WEB denominado Portal de Pórticos (PDP). El mismo se encuentra disponible en: www.portaldeporticos.ula.ve:8080/PDP. PDP está formado principalmente por cinco enlaces: módulo preprocesador, módulo procesador, módulo postprocesador, manuales de usuario y manual de teoría. El preprocesador permite la digitalización de los datos de geometría, las especificaciones de los materiales (concreto y acero), las solicitaciones a las que se someterá el pórtico, con el fin de reproducir virtualmente la edificación. En el módulo procesador se realizan análisis estáticos y/o dinámicos mediante el uso de un programa que admite la inclusión de librerías de elementos finitos. Hasta el momento el elemento finito implementado está basado en la teoría de daño concentrado y considera fatiga de bajo ciclaje en estructuras planas de concreto armado. Finalmente en la interfaz gráfica postprocesador se pueden visualizar los resultados del análisis a través del mapa de daños estructurales donde se indica su magnitud y ubicación, así como de gráficas variable contra tiempo y variable contra variable. Para validar tanto el módulo preprocesador como el elemento finito se realizaron diversas simulaciones numéricas de ensayos experimentales encontrados en la literatura y se compararon ambos resultados, permitiendo así demostrar el buen comportamiento tanto del módulo preprocesador como del modelo propuesto. El sistema propuesto tiene tres características que lo diferencian substancialmente de otros programas de análisis estructural: El análisis estructural estará basado en la teoría del daño concentrado. El programa de cálculo reside en un centro de cálculo científico de alto rendimiento La comunicación entre el usuario y el programa se realiza a través de la WEB

mediante interfaces de pre y postprocesamiento endógenas diseñadas para ello. De esta manera se obtiene una tecnología de primera calidad desarrollada, acoplada y validada en Venezuela.

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ABSTRACT In this work the development of a computational instrument for the evaluation of the seismic security of buildings (constructed or for construct) via WEB denominated “PORTAL DE PORTICOS” (PDP) is presented. The portal can be accessed in the address: www.portaldeporticos.ula.ve:8080/PDP. PDP is constituted mainly by five links: preprocessor, processor, postprocessor, user’s manual and theory manual. The preprocessor allows the digitalization of the geometry data, the specifications of the materials (concrete and steel), the solicitations that will be applied to the frame, etc. with the purpose of reproducing the structure virtually. In the processor static and/or dynamic analyses are carried out by a program that admits the inclusion of user element library of finite elements. So far, the implemented finite element is based on lumped damage mechanics and considers low cycle fatigue in 2D RC structures. Finally, in the graphical interface postprocessor the results of the analysis can be visualized through the damage distribution over the frame, as well as variable versus time graphs and variable versus variable graphs. In order to validate the preprocessor and the finite element numerical, numerical simulations of experimental tests reported in the literature were made and both results were compared, thus demonstrating the good behavior of the preprocessor and the proposed model. The proposed system has three characteristics that substantially differentiate it from other programs of structural analysis:

• The structural analysis is based on lumped damage mechanics. • The calculation program resides in a scientific computer center of high

performance. • The communication between the user and the program is made via WEB through

endogenous interfaces specially designed for that purpose. In this way, it is obtained a first quality technology, entirely developed and validated in Venezuela.

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INDICE GENERAL

Pag.

AGRADECIMIENTOS...................................................................................................IV

RESUMEN ..................................................................................................................... VI

ABSTRACT .................................................................................................................. VII

INTRODUCCIÓN.............................................................................................................1

CAPITULO I .....................................................................................................................4

REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.........................................................................................4

CAPITULO II..................................................................................................................15

TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO. .....................................................................15

CAPITULO III ................................................................................................................61

DESCRIPCIÓN DEL PORTAL DE PÓRTICOS. ..........................................................61

CAPITULO IV ..............................................................................................................105

SIMULACIONES NUMÉRICAS Y EVALUACIÓN DEL MODELO.......................105

CAPITULO V ...............................................................................................................118

CONCLUSIONES.........................................................................................................118

REFERENCIAS. ...........................................................................................................120

. Índice de Flujogramas.

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INDICE DE FLUJOGRAMAS

Pag. FLUJOGRAMA 2.1.ESQUEMA GENERAL DEL PROBLEMA............................................................................... 48 FLUJOGRAMA 2.2. MDC. ............................................................................................................................ 50 FLUJOGRAMA 2.3. SUBRUTINA CAL_DEF1................................................................................................... 51 FLUJOGRAMA 2.4. SUBRUTINA CAL_PROP................................................................................................... 53 FLUJOGRAMA 2.6. CAL_RESIDU. ................................................................................................................. 57 FLUJOGRAMA 2.7. CAL_JACOB.................................................................................................................... 60

. Índice de Figuras.

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INDICE DE FIGURAS

Figura Título Pag. FIGURA 1.1 MODELADO DE UNA ESTRUCTURA CON GT STRUDL [13]......................................................... 5 FIGURA 1.2 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS POR ELEMENTOS FINITO.................................................................. 6 FIGURA 1.3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS CON LARSA [14]. .......................................................... 7 FIGURA 1.4 MODELADO DE ESTRUCTURAS A) ANÁLISIS DE UNA DE LAS PILAS DEL PUENTE GEORGE

WASHINGTON EN NEW YORK B) ANÁLISIS DE UN EDIFICIO EN CALIFORNIA [14]................................. 7 FIGURA 1.5 VISUALIZACIÓN EN 3D DE UNA ESTRUCTURA CON SAP2000 [15].............................................. 8 FIGURA 1.6 ESTADO DE ESFUERZOS DE UNA ESTRUCTURA ANALIZADA CON SAP2000 [15].......................... 9 FIGURA 1.7 PERSPECTIVA DE UNA ESTRUCTURA MODELADA CON ETABS [16]. ......................................... 10 FIGURA 1.8 MODELADO CON ELEMENTOS FINITOS EN STAAD [17]............................................................ 11 FIGURA 1.9 ESTADO DE ESFUERZO EN 3D. .................................................................................................. 12 FIGURA 2.1 PLACA CON AGUJERO ELÍPTICO SOMETIDA A TRACCIÓN UNIFORME EN EL INFINITO.................. 16 FIGURA 2.2 ENERGÍA TOTAL EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE LA FISURA. ................................................. 17 FIGURA 2.3 DAÑO EN MEDIO CONTINUO...................................................................................................... 18 FIGURA 2.4 ESFUERZO EFECTIVO. ............................................................................................................... 19 FIGURA 2.5. REPRESENTACIÓN DE: A) DAÑO EN COMPRESIÓN B) DAÑO EN TRACCIÓN................................. 21 FIGURA 2.6 COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO EMPLEANDO UN MODELO DE DAÑO UNILATERAL [25]...... 23 FIGURA 2.7 DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS DEL NODO I. ................................................................... 23 FIGURA 2.8 DEFORMACIONES GENERALIZADAS DEL MIEMBRO I-J (POSITIVAS)........................................... 24 FIGURA 2.9 DEFORMACIONES GENERALIZADAS EN EL MIEMBRO “IJ” PRODUCIDAS POR LOS MOVIMIENTOS

INFINITESIMALES DQ1, DQ2, DQ3 EN EL NODO I.................................................................................. 24 FIGURA 2.10 CONFIGURACIÓN DE UN ELEMENTO EN EL CASO DE GRANDES DESPLAZAMIENTOS. ................ 26 FIGURA 2.11 ESFUERZOS GENERALIZADOS EN UN MIEMBRO DE UN PÓRTICO PLANO. .................................. 26 FIGURA 2.12 FUERZAS GENERALIZADAS EN UN MIEMBRO DE UN PÓRTICO PLANO....................................... 27 FIGURA 2.13 SISTEMA APORTICADO PLANO CON FUERZAS EXTERNAS......................................................... 27 FIGURA 2.14 MODELO DE PLASTICIDAD CONCENTRADA. ............................................................................ 31 FIGURA 2.16. REPRESENTACIÓN DEL ESTADO DE DAÑO DE UN MIEMBRO DE CONCRETO ARMADO, BAJO LAS

ACCIONES POSITIVAS A FLEXIÓN........................................................................................................ 41 FIGURA 3.1 PANTALLA PARA DESCARGAR EL ARCHIVO “JAVA/PLUGIN/1.4/. ............................................... 61 FIGURA 3.2 PANTALLA PARA DESCARGAR EL ARCHIVO DE SEGURIDAD. .................................................... 62 FIGURA 3.3 PANTALLA PRINCIPAL DEL PORTAL. ......................................................................................... 62 FIGURA 3.4 PANTALLA PARA EL REGISTRO DE LOS DATOS DEL USUARIO................................................... 63 FIGURA 3.5 PANTALLA PARA ACCEDER A LOS MÓDULOS DEL SISTEMA. ...................................................... 64 FIGURA 3.6 PANTALLA PRINCIPAL DEL PREPROCESADOR............................................................................ 65 FIGURA 3.7 BARRA DE MENÚS.................................................................................................................... 65 FIGURA 3.8 PANTALLA DEL MENÚ ARCHIVO. ............................................................................................. 66 FIGURA 3.9 PANTALLA PARA GUARDAR ARCHIVOS. .................................................................................... 66 FIGURA 3.10 PANTALLA DE INFORMACIÓN O MENSAJE. ............................................................................. 66 FIGURA 3.11 PANTALLA DE DATOS ALMACENADOS .................................................................................... 67 FIGURA 3.12 PANTALLA “NUEVO ARCHIVO”. ............................................................................................. 67 FIGURA 3.13 PANTALLA QUE PERMITE ABRIR UN ARCHIVO DE DATOS EXISTENTE....................................... 67 FIGURA 3.14 MENSAJE PARA SALVAR ARCHIVO DE DATOS......................................................................... 68 FIGURA 3.15 PANTALLA DE MENÚ “PÓRTICO”............................................................................................ 68 FIGURA 3.16 PANTALLA DE DATOS GENERALES DEL ANÁLISIS.................................................................... 68 FIGURA 3.17 MENÚ PÓRTICO: GEOMETRÍA DEL PÓRTICO. .......................................................................... 69 FIGURA 3.18 SUBMENÚ NIVELES Y TRAMOS............................................................................................... 70 FIGURA 3.19 PANTALLA DE SECCIONES Y ELEMENTOS FINITOS.................................................................. 70 FIGURA 3.20 PÓRTICO DE DOS NIVELES Y UN TRAMO. ................................................................................. 71 FIGURA 3.21 PÓRTICO DE DOS NIVELES Y UN TRAMO CON UN ELEMENTO FICTICIO. .................................... 71 FIGURA 3.22 PANTALLAS PARA ELEMENTOS ADICIONALES. ....................................................................... 71 FIGURA 3.23 MENSAJE DE INFORMACIÓN EN LA PANTALLA DE ELEMENTOS ADICIONALES........................ 72 FIGURA 3.24 PANTALLA DONDE SE SUMINISTRAN LOS GRUPOS DE NODOS DEL PÓRTICO............................. 72 FIGURA 3.25 PANTALLA PARA GENERAR LOS GRUPOS DE ELEMENTOS DEL PÓRTICO................................... 73


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FIGURA 3.26 PANTALLA DONDE SE ESTABLECEN LAS RESTRICCIONES EN LOS NODOS DEL PÓRTICO. .......... 73 FIGURA 3.27 SUB-MENÚ ACEROS................................................................................................................ 74 FIGURA 3.28 MENSAJE DE ADVERTENCIA.................................................................................................... 74 FIGURA 3.29 SECCIÓN TRANSVERSAL. ........................................................................................................ 75 FIGURA 3.30 PANTALLA DE ACERO TRANSVERSAL DE LAS SECCIONES DEL PÓRTICO. ................................. 75 FIGURA 3.31 SECCIÓN TRANSVERSAL EN EL NODO I. ................................................................................... 76 FIGURA 3.32 PANTALLA DE ACEROS LONGITUDINAL EN EL NODO I. ............................................................ 77 FIGURA 3.33 SECCIÓN TRANSVERSAL EN EL NODO J.................................................................................... 78 FIGURA 3.34 CONVENIO DE SIGNO ESTABLECIDO PARA EL SISTEMA............................................................ 78 FIGURA 3.35 PANTALLA DE ACERO LONGITUDINAL EN EL NODO J............................................................... 79 FIGURA 3.36 SECCIÓN CON ESTRIBOS RECTANGULARES CON GANCHOS. ..................................................... 79 FIGURA 3.37 SECCIÓN CON ESTRIBOS SOLAPADOS. ..................................................................................... 80 FIGURA 3.38 PANTALLA DONDE SE SELECCIONA EL TIPO DE ESTRIBO DE LAS DISTINTAS SECCIONES DEL

PÓRTICO............................................................................................................................................. 80 FIGURA 3.39 SUB MENÚ MATERIALES: DONDE SE SUMINISTRA LAS PROPIEDADES DEL CONCRETO A

UTILIZAR............................................................................................................................................ 81 FIGURA 3.40 CURVA DE ESFUERZO DEL ACERO. .......................................................................................... 81 FIGURA 3.41 SUB MENÚ MATERIALES: DONDE SE SUMINISTRA LAS PROPIEDADES DEL ACERO A UTILIZAR. 82 FIGURA 3.42 PANTALLA SOLICITACIONES................................................................................................... 82 FIGURA 3.43 DIRECCIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS CONSIDERADOS EN EL SISTEMA. ........ 83 FIGURA 3.44 DEFINICIÓN DE LA CARGA EN LOS ELEMENTOS....................................................................... 84 FIGURA 3.45 PANTALLA DONDE SE DEFINE LA CARGA EN LOS NODOS......................................................... 84 FIGURA 3.46 PANTALLA PARA DEFINIR LOS DESPLAZAMIENTOS IMPUESTOS............................................... 84 FIGURA 3.47 PANTALLA “SISMOS”.............................................................................................................. 85 FIGURA 3.48 PANTALLA PARA LA DEFINICIÓN DE LOS PASOS DEL ANÁLISIS. ............................................... 86 FIGURA 3.49 FORMA COMO SE VISUALIZA LA NUMERACIÓN DE LOS NODOS Y ELEMENTOS DEL PÓRTICO.... 86 FIGURA 3.50 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA SI SE INTENTA GRAFICAR EL PÓRTICO SIN

TENER SUFICIENTES DATOS. ............................................................................................................... 87 FIGURA 3.51 PANTALLA DEL MENÚ DIAGRAMAS. ....................................................................................... 87 FIGURA 3.52 MENSAJE DE INFORMACIÓN: PARA INDICAR QUE SE HA GENERADO EL ARCHIVO.................... 87 FIGURA 3.53 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE INDICA QUE LOS DIAGRAMAS SE GENERARON CONSIDERANDO

PARA EL CONCRETO EL MODELO DE KENT Y PARK MODIFICADO. ..................................................... 88 FIGURA 3.54 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA CUANDO SE INTENTA GENERAR LOS

DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN Y EL SISTEMA NO ENCUENTRA EL ARCHIVO DE DATOS........................ 88 FIGURA 3.55 PANTALLA QUE PERMITE GENERAR LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN. ................................ 88 FIGURA 3.56 GRÁFICA DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE LAS SECCIONES DEL PÓRTICO. ................ 89 FIGURA 3.57 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA CUANDO INTENTA GUARDAR EL ARCHIVO INP.

.......................................................................................................................................................... 89 FIGURA 3.58 PANTALLA PARA ACCEDER A LOS DISTINTOS MÓDULOS DEL SISTEMA. ................................... 90 FIGURA 3.59 PANTALLA PARA CARGAR LOS ARCHIVOS A LA MÁQUINA LOCAL. .......................................... 90 FIGURA 3.60 PANTALLA PARA SELECCIONAR LOS ARCHIVOS .INP QUE DESEA DESCARGAR........................ 90 FIGURA 3.61 LISTADO DE LOS ARCHIVOS .INP QUE SE ENCUENTRAN EN LA MÁQUINA LOCAL. ................... 91 FIGURA 3.62 PANTALLA PARA DESCARGAR EL ARCHIVO INP..................................................................... 91 FIGURA 3.63 ARCHIVO .INP DESCARGADO. ................................................................................................ 92 FIGURA 3.64 PANTALLA DONDE SE INDICA EL DESTINO DEL ARCHIVO QUE SE DESEA GUARDAR. ................ 92 FIGURA 3.65 PANTALLA QUE INDICA QUE SE HA COMPLETADO LA DESCARGA. ........................................... 92 FIGURA 3.66 PANTALLA QUE INDICA QUE EL ARCHIVO HA SIDO ELIMINADO. .............................................. 93 FIGURA 3.67 PANTALLA PRINCIPAL DEL PROCESADOR. .............................................................................. 93 FIGURA 3.68 PANTALLA QUE DESPLIEGA LOS ARCHIVOS .INP QUE SE ENCUENTRAN EN LA MAQUINA LOCAL.

.......................................................................................................................................................... 94 FIGURA 3.69 ESTADO DE LA CORRIDA ........................................................................................................ 95 FIGURA 3.70 PANTALLA PRINCIPAL DEL POSTPROCESADOR........................................................................ 96 FIGURA 3.71 SUB MENÚ GRÁFICAS. ........................................................................................................... 96 FIGURA 3.72 PANTALLA QUE PERMITE SELECCIONAR LAS VARIABLES QUE SE DESEAN GRAFICAR. ............. 97 FIGURA 3.72 LISTADO DE LOS ARCHIVOS PARA GRAFICAR. ......................................................................... 97 FIGURA 3.73 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA AL SELECCIONAR EL ARCHIVO A GRAFICAR. . 98


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FIGURA 3.74 PANTALLA PARA SELECCIONAR LAS VARIABLES A GRAFICAR................................................. 98 FIGURA 3.75 SELECCIÓN DE LAS VARIABLES A GRAFICAR......................................................................... 100 FIGURA 3.76 SELECCIÓN DEL ELEMENTO O NODO QUE SE DESEA GRAFICAR. ............................................ 100 FIGURA 3.77 MENSAJE DE ADVERTENCIA QUE SE DESPLIEGA AL INTENTAR GRAFICAR SIN SELECCIONAR EL

NODO O ELEMENTO. ......................................................................................................................... 100 FIGURA 3.78 PANTALLA QUE PERMITE SELECCIONAR EL NODO O ELEMENTO A GRAFICAR........................ 101 FIGURA 3.79 GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO VERSUS TIEMPO QUE SE GENERA EN EL POSTPROCESADOR.. 101 FIGURA 3.80 TABLA X Y Y DE LA GRÁFICA GENERADA. ........................................................................... 102 FIGURA 3.81 PANTALLA QUE SE DESPLIEGA PARA GUARDAR LOS DATOS DE LA GRÁFICA. ........................ 102 FIGURA 3.82 MENSAJE DE INFORMACIÓN QUE SE DESPLIEGA CUANDO SE GUARDA EL ARCHIVO

SATISFACTORIAMENTE..................................................................................................................... 102 FIGURA 3.83. PANTALLA QUE SE DESPLIEGA PARA SELECCIONAR EL ARCHIVO A PROCESAR..................... 103 FIGURA 3.84. MAPA DE DAÑO DEL PÓRTICO ANALIZADO. ......................................................................... 103 FIGURA 3.85. TABLA DE LOS VALORES DE DAÑOS POSITIVOS Y NEGATIVOS DE LOS EXTREMOS “I” Y “J”. . 104 FIGURA 4.1 GEOMETRÍA DE LOS ESPECIMENES C1 Y C8............................................................................ 107 FIGURA 4.2. A) HISTORIA DE DESPLAZAMIENTO LATERAL Y B) BOSQUEJO DE LOS APARATOS EN LOS

ENSAYOS EXPERIMENTALES (C1) Y (C8).......................................................................................... 107 FIGURA 4.3. RELACIÓN MOMENTO VS. CURVATURA PARA FUERZA AXIAL CONSTANTE DEL A) ENSAYO

EXPERIMENTAL (C1) REALIZADO POR ABRAMS ET AL. [3] Y B) LA SIMULACIÓN DE ESPÉCIMEN (C1) CON EL MODELO MDC..................................................................................................................... 108

FIGURA 4.4. HISTORIA DE LA FUERZA AXIAL CON VARIACIÓN LINEAL RESPECTO AL DESPLAZAMIENTO LATERAL EN EL ESPÉCIMEN (C8)...................................................................................................... 108

FIGURA 4.5. CURVA DE COMPORTAMIENTO MOMENTO VS. CURVATURA CON VARIACIÓN EN LA CARGA AXIAL RESPECTO A LA DEFLEXIÓN A) DEL ENSAYO EXPERIMENTAL C8 Y B) DE LA SIMULACIÓN CON EL MODELO MDC DEL ESPÉCIMEN C8 REALIZADO POR ABRAMS ET AL. [3]. ........................................ 109

FIGURA 4.6. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL ESPÉCIMEN (SO) DE GUTIÉRREZ ET AL. [5]................ 110 FIGURA 4.7. HISTORIA DE DESPLAZAMIENTO LATERAL IMPUESTO AL ESPÉCIMEN (SO). ............................ 111 FIGURA 4.8 CURVA DE COMPORTAMIENTO FUERZA VS. DESPLAZAMIENTO BAJO CARGA AXIAL CONSTANTE

Y DEFLEXIÓN CÍCLICA UNÍAXIAL DEL A) ENSAYO EXPERIMENTAL (SO) REALIZADO POR BOUSIAS ET AL. [6] Y SU B) SIMULACIÓN TEÓRICA CON EL MODELO MDC......................................................... 112

FIGURA 4.9. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LOS ESPECIMENES (R3) Y (R6) ENSAYADOS POR BERTERO ET AL. [10]. ...................................................................................................................................... 113

FIGURA 4.10. CURVAS DE COMPORTAMIENTO HISTERÉTICO FUERZA VS DESPLAZAMIENTO DEL A) ENSAYO EXPERIMENTAL (R3), B) LA SIMULACIÓN NUMÉRICA CON EL MODELO MDC DEL ENSAYO (R3), C) EL ENSAYO EXPERIMENTAL (R6) REALIZADO POR BERTERO ET AL [10] Y LA D) SIMULACIÓN NUMÉRICA CON EL MODELO MDC DEL ENSAYO (R6). ....................................................................................... 114

FIGURA 4.11 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL PÓRTICO ENSAYADO POR VECCHIO ET AL. [9]. ......... 116 FIGURA 4.12. CURVA DE COMPORTAMIENTO FUERZA VS. DESPLAZAMIENTO A) EN EL ENSAYO

EXPERIMENTAL DEL PÓRTICO DE VECCHIO ET AL.[9] Y B) EN LA SIMULACIÓN NUMÉRICA CON EL MODELO MDC................................................................................................................................. 116

FIGURA 4.13. HISTORIA DE DESPLAZAMIENTO LATERAL. .......................................................................... 117 FIGURA 4.14. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DEL ESPÉCIMEN (LB1-6). ............................................... 117 FIGURA 4.15. COMPORTAMIENTO FUERZA VS. DESPLAZAMIENTO DEL A) ENSAYO EXPERIMENTAL (LB1-6)

REALIZADO POR FANG ET AL. [8] Y B) LA SIMULACIÓN DEL ESPÉCIMEN (LB1-6) CON EL MODELO MDC ............................................................................................................................................... 117

. Índice de Tablas.

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INDICE DE TABLAS

Tabla Título Pag. TABLA 2.1 CUADRO RESUMEN DE LOS DATOS DEL PROBLEMA, VARIABLES A DETERMINAR Y ECUACIONES A

RESOLVER.......................................................................................................................................... 47 TABLA 4.1 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES (ACERO Y CONCRETO) DEL ESPÉCIMEN

EXPERIMENTAL (SO). ....................................................................................................................... 110 TABLA 4.2 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES DEL PÓRTICO ENSAYADO POR VECCHIO ET

AL [9]............................................................................................................................................... 115


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INDICE DE CONTENIDO Pag.

RESUMEN................................................................................................................................................VI ABSTRACT ............................................................................................................................................ VII INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................... 1 CAPITULO I .............................................................................................................................................. 4 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA................................................................................................................. 4

1.1 PROGRAMAS O SOFTWARE COMERCIALES PARA EL CÁLCULO Y ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS..................................................................................................................................... 4

1.1.1 GT STRUDL............................................................................................................................... 4 1.1.2 LARSA........................................................................................................................................ 6 1.1.3 SAP2000..................................................................................................................................... 8 1.1.4 ETABS........................................................................................................................................ 9 1.1.5 STAAD. .................................................................................................................................... 10 1.1.6 ABAQUS. ................................................................................................................................. 13

CAPITULO II........................................................................................................................................... 15 TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO.............................................................................................. 15

2.1 CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA.............................................................. 15 2.1.1 Criterio de Griffith [21]........................................................................................................... 16

2.2 TEORIA DEL DAÑO CONTINUO. ............................................................................................... 18 2.2.1 Variable de daño continuo [22]............................................................................................... 18 2.2.2 Ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica [23]. ......................................... 19 2.2.3 Ley de evolución del daño para materiales frágiles. ............................................................... 20 2.2.4 Daño Unilateral [24]. .............................................................................................................. 21

2.3 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS [26]............................................................................... 23 2.3.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i”.......................................................................... 23 2.3.2 Deformaciones generalizadas.................................................................................................. 24 2.3.3 Ecuaciones de cinemática. ....................................................................................................... 24

2.4 CINÉTICA DE PÓRTICOS PLANOS [26]. .................................................................................... 26 2.4.1 Esfuerzos generalizados........................................................................................................... 26 2.4.2 Fuerzas internas generalizadas. .............................................................................................. 27 2.4.3 Fuerzas externas sobre los nodos del pórtico. ......................................................................... 27 2.4.4 Fuerzas de inercia.................................................................................................................... 28 2.4.5 Ecuaciones de equilibrio dinámico. ......................................................................................... 28

2.5 PORTICOS ELÁSTICOS LINEALES O NO LINEALES [2]......................................................... 30 2.5.1 Ley de comportamiento elástica lineal. ................................................................................... 30 2.6 PORTICOS ELASTOPLÁSTICOS. ............................................................................................. 31 2.6.1 Ley de comportamiento elastoplástica para miembros de un pórtico plano. .......................... 31 2.6.2 Pórticos elastoplásticos con endurecimiento. .......................................................................... 32 2.6.3 Análisis de pórticos elastoplásticos. ........................................................................................ 33

2.7 PORTICOS ELASTOPLÁSTICOS ACOPLADOS AL DAÑO. ..................................................... 34 2.7.1 Teoría del daño concentrado para cargas monotónicas [27].................................................. 34

2.7.1.1 Obtención de los parámetros del modelo simplificado de daño [28]. ............................................... 38 2.7.1.1.1 Constante “Gcr” del modelo de daño simplificado. ................................................................. 38 2.7.1.1.2 Constante “q” del modelo de daño simplificado. ..................................................................... 39 2.7.1.1.3 Constante “My” del modelo de daño simplificado................................................................... 39 2.7.1.1.4 Constante “c” del modelo de daño simplificado....................................................................... 40

2.8 MODELO HISTERÉTICO ELASTOPLÁSTICO DEGRADABLE CON FATIGA DE BAJO CICLAJE [29]........................................................................................................................................ 40

2.8.1 Ley de comportamiento para el modelo histerético elastoplástico degradable con fatiga de bajo ciclaje........................................................................................................................................ 41


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2.8.1.1 Ley de estado del modelo histerético degradable. ............................................................................ 42 2.8.1.2 Fuerzas termodinámicas asociadas al daño....................................................................................... 42 2.8.1.3 Leyes de evolución de las variables internas. ................................................................................... 43

2.8.1.3.1 Leyes de evolución de la plasticidad. ....................................................................................... 43 2.8.1.3.2 Leyes de evolución del daño [12, 30]....................................................................................... 44

2.9 IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO DE DAÑO CONCENTRADO, MDC [31]. . 45 2.9.1 Descripción Problema Global. ................................................................................................ 47 2.9.2 Descripción del Problema Local. ............................................................................................ 49

2.9.2.1 Solución numérica del problema local.............................................................................................. 51 CAPITULO III ......................................................................................................................................... 61 DESCRIPCIÓN DEL PORTAL DE PÓRTICOS. ................................................................................ 61

3.1 REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA. ........................................................................................... 61 3.1.1 Archivo de Seguridad............................................................................................................... 61

3.2 PANTALLA PRINCIPAL DEL SISTEMA..................................................................................... 62 3.2.1 Base de Datos. ......................................................................................................................... 62

3.3 MÓDULOS DEL SISTEMA. .......................................................................................................... 63 3.4 DESCRIPCIÓN DEL PREPROCESADOR. ................................................................................... 64

3.4.1 Pantalla Principal del Preprocesador. .................................................................................... 64 3.4.2 Barra de Herramientas y Barra de Menú. ............................................................................... 65 3.4.3 Barra de Menú. ........................................................................................................................ 65 3.4.4 Menú Archivo........................................................................................................................... 65

3.4.4.1 Menú de Archivo: Nuevo Archivo INP............................................................................................ 66 3.4.4.2 Menú Archivo: Generar un Archivo INP. ........................................................................................ 66 3.4.4.3 Menú de Archivo: Nuevo Archivo de Datos. ................................................................................... 67 3.4.4.4 Menú de Archivo: Abrir un Archivo de Datos. ................................................................................ 67 3.4.4.5 Menú de Archivo: Guardar Archivo de Datos. ................................................................................. 68

3.4.5. Menú Pórtico. ......................................................................................................................... 68 3.4.5.1 Menú de Pórtico: Datos Generales. .................................................................................................. 68 3.4.5.2 Menú Pórtico: Geometría de Pórtico. ............................................................................................... 69 3.4.5.3 Menú de Pórtico: Aceros. ................................................................................................................. 74

3.4.5.3.1 Áreas de Aceros: Acero transversal. ........................................................................................ 75 3.4.5.3.2 Áreas de Aceros: Acero Longitudinal i. ................................................................................... 76 3.4.5.3.3 Áreas de Aceros: Acero Longitudinal j. ................................................................................... 77 3.4.5.3.4 Áreas de Aceros: Tipos de Estribos.......................................................................................... 79

3.4.5.4 Menú pórtico: Materiales. ................................................................................................................ 80 3.4.5.5 Menú Pórtico: Solicitaciones............................................................................................................ 82

3.4.5.5.1 Cargas en los Elementos. ......................................................................................................... 83 3.4.5.5.2 Cargas en los Nodos................................................................................................................. 84 3.4.5.5.3 Desplazamientos Impuestos. .................................................................................................... 84 3.4.5.5.4 Sismos. ..................................................................................................................................... 85 3.4.5.5.5 Definición de pasos. ................................................................................................................. 85

3.4.6 Menú Ver.................................................................................................................................. 86 3.4.7 Diagramas. .............................................................................................................................. 87

3.5 MÓDULO PROCESADOR............................................................................................................. 89 3.6 ENVÍO DE ARCHIVOS.................................................................................................................. 89 3.7 ANÁLISIS. ...................................................................................................................................... 93 3.8 MÓDULO POST-PROCESADOR.................................................................................................. 96

3.8.1 Menú Graficas. ........................................................................................................................ 96 CAPITULO IV ....................................................................................................................................... 105 SIMULACIONES NUMÉRICAS Y EVALUACIÓN DEL MODELO. ............................................ 105

4.1 ENSAYO EXPERIMENTAL DE ABRAMS ET AL. [3]. ............................................................. 106 4.1.1 Simulación del ensayo experimental (C1).............................................................................. 107 4.1.2 Simulación del ensayo experimental (C8).............................................................................. 108

4.2 ENSAYO EXPERIMENTAL DE BOUSIAS ET AL. [6]. ............................................................. 109 4.3 ENSAYOS EXPERIMENTALES DE BERTERO ET AL. [10]. ................................................... 112


Tesis de maestría del Ing. Nayive Jaramillo. xvi

4.4 ENSAYO EXPERIMENTAL DE VECCHIO ET AL. [9]. ............................................................ 114 4.5 ENSAYO EXPERIMENTAL DE FANG ET AL. [8]. ................................................................... 116

CAPITULO V......................................................................................................................................... 118 CONCLUSIONES. ................................................................................................................................. 118 REFERENCIAS. .................................................................................................................................... 120

Introducción.

Tesis de maestría del Ing. Nayive Jaramillo. 1

Introducción. Desde 1990 en la Universidad de Los Andes (ULA), se ha desarrollado un programa de investigación en el área de la simulación numérica del proceso de daño en estructuras aporticadas, alcanzando esencialmente el desarrollo de un marco conceptual original que permite el análisis de estructuras tanto de acero como de concreto armado. En busca del desarrollo de un instrumento computacional de apoyo a la evaluación sismorresistente de edificios aporticados (existente o por construir) a través de la WEB, se desarrolla en la Universidad de Los Andes (ULA), con participación de la Universidad Centro-Occidental Lisandro Alvarado (UCLA) y de un equipo técnico calificado, un conjunto de programas que permiten a los ingenieros encargados de la evaluación, introducir al sistema los datos de geometría, las especificaciones de los materiales (concreto y acero) con el fin de reconstruir virtualmente la edificación, y así poder realizar su simulación mediante la teoría de concreto, del daño concentrado y algunos modelos del comportamiento del concreto armado. Con el fin de alcanzar el objetivo de desarrollar un instrumento computacional para la evaluación de la seguridad sismorresistente de edificaciones construidas o por construir, se propone un Portal de Pórticos (PDP). El sistema propuesto tiene tres particularidades que lo diferencian substancialmente de otros programas de análisis estructural: El análisis estructural está basado en la teoría del daño concentrado. El programa de cálculo reside en un Centro de Cálculo Científico de Alto

Rendimiento (CECALCULA). La comunicación entre el usuario y el programa se realiza a través de la WEB

mediante interfaces de pre y postprocesamiento endógenas diseñadas para ello. Resultando de esta manera PDP una tecnología de primer nivel desarrollada, acoplada y validada en Venezuela. El sistema generará un archivo que se crea en el enlace “Preprocesador”, dicho archivo será el archivo de entrada del pórtico analizar. Posteriormente el usuario envía el archivo de entrada al servidor de alto desempeño disponible vía WEB, para analizar el pórtico, mediante el enlace “Procesador”. El edificio puede ser sometido a análisis estáticos y/o dinámicos. El programa de cálculo debe ser eficiente y adecuadamente sofisticado como para garantizar una simulación suficientemente realista de lo que le ocurrirá al edificio, con tiempos de respuesta razonable. En el módulo “Procesador” se desarrolló y adaptó un programa para la solución de problemas no lineales, en una primera etapa es un programa secuencial, y actualmente se trabajara para su paralelización. Cuando la simulación ha sido terminada, los resultados se envían de nuevo a la oficina del evaluador vía Internet. Estos son visualizados mediante una interfaz gráfica, denominada “Postprocesador”. Como resultado de la simulación, se obtiene el mapa de daños estructurales donde se indica su magnitud y ubicación, las gráficas

Introducción.


de fuerza contra desplazamiento, variable contra variable. Una vez concluido este proceso, el evaluador dispondrá de resultados y análisis cuantitativos que le permiten certificar o no la estructura, recomendar su reacondicionamiento. El ensamblaje de los programas que permiten traducir y procesar tanto los datos de entrada como los de salida se encuentran en el portal: www.portaldeporticos.ula.ve:8080/PDP, el cual se divide principalmente en cinco enlaces: módulo preprocesador, módulo procesador, módulo postprocesador, sus respectivos manuales de usuario y manual de teoría. Este proyecto es financiado por FONACIT. Como se puede observar el proyecto en su totalidad involucra muchas actividades en las disciplinas matemática, computación, programación de los tres módulos (Preprocesador, Procesador, Postprocesador), de las etapas que generan diagramas de interacción de carga axial contra momentos, diagramas de interacción de los coeficientes inelásticos necesarios en el modelo de daño concentrado propuesto, el programa de un elemento finito desarrollado y propuesto en el ámbito del sistema, el programa de análisis no lineal. Los tres módulos son interfaces WEB realizadas en el lenguaje de programación Java y son cargadas por el usuario en su computador personal (maquina local). Todos los demás programas han sido desarrollados en el lenguaje de programación FORTRAN. En el ámbito de este trabajo de grado, se lista a continuación las actividades desarrolladas como contribución en el desarrollo del sistema general “Portal de Pórticos”: En la etapa Desarrollo de Arquitectura y la Integración del Sistema:

o Asistencia en el diseño, pruebas y depuración de errores de las interfaces gráficas del “Preprocesador”.

o Manual de usuario del “Preprocesador”. o Programación de los diagramas de interacción carga axial (N) contra

momento de agrietamiento (Mcr), momento plástico (Mp), momento último (Mu). Programa GENERADOR.

o Programación de los diagramas de interacción de los coeficientes inelásticos (c, q, My, Gcr) del modelo de daño concentrado. Programa GENERADOR_2.

En la etapa de desarrollo de un elemento finito para miembros de concreto armado:

o Gestión del método iterativo de Newton. o Gestión del predictor-corrector. o Programación de las funciones inelásticas, cálculo de la hipermatriz. o Ensamblaje y adaptación del elemento finito propuesto a programas de

elemento finitos, en este caso tanto para ABAQUS como para el PROCESADOR desarrollado en el portal de pórticos. Programa MDC.

o Prueba y depuración de errores. En la etapa de desarrollo del postprocesador.

o Manual de Usuario. Este trabajo de grado queda organizado de la siguiente manera:

Introducción.


En el Primer Capítulo se presenta una revisión bibliográfica donde se describen

algunos programas comerciales de análisis y/o diseño, tales como: GT STRUDL, LARSA, SAP2000, ETABS, STAAD, ABAQUS.

En el Segundo Capítulo se presenta la descripción de las variables cinemáticas y

de equilibrio así como las ecuaciones que las relacionan incluyendo la formulación en pequeños y grandes desplazamientos. Además se describen las leyes de comportamiento elástica lineal y no lineal con la inclusión de las deformaciones permanentes en estas leyes, a través del uso de los conceptos de ley de estado, variable interna, función de fluencia. Al final del Capítulo se presenta el procedimiento para el análisis numérico de un elemento finito propuesto (programa MDC) y su adaptación a cualquier programa de elementos finitos, siempre y cuando permita realizar un análisis no lineal y el uso de elementos finitos definidos por el usuario, como por ejemplo: el programa ABAQUS ó El PROCESADOR del portal de pórticos.

En el Tercer Capítulo se presenta los manuales de usuario de los módulos

PREPROCESADOR, PROCESADOR y POSTPROCESADOR del portal de pórticos.

En el Cuarto Capítulo se presenta la validación tanto del módulo preprocesador

como el elemento finito propuesto MDC. Para ello se realizarán simulaciones numéricas de ensayos experimentales encontrados en la literatura [3, 6, 8, 9, 10] y se comparan ambos resultados, para demostrar el buen comportamiento tanto del módulo preprocesador y del modelo propuesto.

En el Quinto Capítulo se presentan las conclusiones finales.

http://portaldeporticos.ula.ve Tesis de maestría del Ing. Nayive Jaramillo. 4

CAPITULO I

Revisión Bibliográfica.

1.1 PROGRAMAS O SOFTWARE COMERCIALES PARA EL CÁLCULO Y ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. Para facilitar el cálculo de estructuras, se han desarrollado diversos programas o software que permiten analizar y diseñar estructuras mediante modelos adecuados que se asemejen a la realidad, obteniendo resultados lógicos que puedan interpretarse y utilizarse en la práctica. Existe una diversidad de programas cuyas características principales dependen del modelo utilizado para el análisis de la estructura, la realización del modelado del pórtico y la presentación de resultados [19]; a continuación se describen, en forma resumida, los paquetes comerciales más importantes a nivel internacional.

1.1.1 GT STRUDL. El GT STRUDL [13, 19] es un programa utilizado para ingeniería civil, instalaciones, estructuras petrolíferas e instalaciones industriales. Dicho programa fue desarrollado en el “Computer Aided Structural Engineering Center (CASE Center), del Georgia Institute of Technology, Atlanta, E.E.U.U el cual a su vez es responsable de la investigación científica, desarrollo, control de calidad así como la distribución y los servicios técnicos del sistema. Dicho sistema es distribuido a nivel mundial por el grupo ISC, por medio de sus empresas ISC-TSO DE Milán, Italia, GTS STRUDL (UK) de Cambridge, Reino Unido, ISC Internacional de Río de Janeiro, Brasil y Micro ISC de Buenos Aires, Argentina y de una red adicional de sub-agentes. Este grupo se ocupa también del desarrollo adicional al sistema GT STRUDL, habiendo implementado los códigos de proyecto Europeo, alemán, brasileño, italiano, AASHTO y muchos otros programas. El sistema GT STRUDL [13] se encuentra disponible sobre diversas plataformas computacionales, incluyendo: Windows NT, Windows 95 y UNÍX. Entre las características principales del sistema GT STRUDL [13, 19] se tiene:

a) Análisis Básico: Donde se realiza un análisis lineal de estructuras de barras y de problemas formulados por medio del método de elementos finitos a través de herramientas de computación gráfica para visualización de datos y resultados. Cuenta además con una base de datos de información estructural y facilidades para post procesado de datos y resultados.

b) Análisis Avanzado: Análisis estático no lineal de estructuras de barras, elementos

finitos y cables. Análisis de pandeo. Consideración de apoyos no lineales. Análisis mediante técnicas de sub-estructuración.


c) GT-MENU: Permite el modelado estructural por medio de una interfase gráfica interactiva, utilizando herramientas de computación gráfica. El modelado incluye la geometría, conectividad, definición de propiedades geométricas y mecánicas de los componentes del modelo, condiciones de apoyo, estados de carga y otras informaciones relevantes para la definición y análisis del modelo estructural.

d) Análisis Dinámico: Análisis del problema de vibraciones libres, con cálculo de

hasta 1.500 modos y frecuencia naturales de vibración. Respuesta dinámica espectral, para análisis sísmico. Respuesta dinámica forzada por integración directa o superposición modal, para vibraciones armónicas, de estado permanente o de tipo arbitrario, considerando amortiguamiento modal compuesto.

e) Cálculo de estructuras de Acero: Verificación y dimensionado automático

utilizando distintas normativas y códigos, por ejemplo AISC ASD y LRFD, BS449, etc.

f) Cálculo de Estructuras de Concreto Armado: Verificación y dimensionado

automático utilizando los códigos ACI y British Standards CP100 Y BS8110.

g) Base de datos: Facilidades para la creación de aplicaciones de post-procesamiento.

h) Ingeniería Marítima (Offshore): Generación automática de fuerzas ambientales en el mar. Análisis de interacción suelo – estructura, proyecto con códigos API y NPD. Cálculo de vida útil considerando efectos de fatiga. Consideración de colapso hidrostático y punzonamiento. Lanzamiento y verticalización de estructuras offshore, movimientos de cuerpos flotantes.

Figura 1.1 Modelado de una estructura con GT STRUDL [13].

El sistema GT STRUDL [13, 19] permite la generación y visualización de datos así como la visualización de resultados de comportamiento estructural. El sistema GT STRUDL provee información al ingeniero, usando los siguientes medios:


a) Un archivo ASCII de impresión, editable con cualquier editor común.

b) Salida en pantalla. c) Salida gráfica en colores, en pantalla, impresora o plotter.

Figura 1.2 Análisis de estructuras por elementos finito.

1.1.2 LARSA. LARSA [14, 19] es un software integrado de análisis y diseño de estructuras metálicas y de concreto armado. Realiza análisis estático lineal y no lineal, análisis plástico (push over) así como análisis dinámico avanzado; contiene librerías de elementos finitos lineales y no lineales para estructuras. La entrada de datos para el modelado de la estructura es mediante CAD y hoja de cálculo. Este programa ha sido desarrollado para realizar análisis estructural no lineal de problemas de grandes desplazamientos como estructuras en suspensión y cables de puentes. Se ha extendido para satisfacer cualquier necesidad del análisis estructural que un ingeniero pueda tener.


Figura 1.3 Análisis y diseño de estructuras con LARSA [14]. La nueva versión agrega nuevas opciones de análisis y de elementos finitos además de varias mejoras en las antiguas funciones:

- El análisis no lineal dinámico histórico temporal se lleva a cabo ahora en forma incremental e incluye la posibilidad de realizar análisis no lineal dinámico.

- Inclusión de nuevos tipos de elementos finitos: placa/membrana, membrana no lineal, elemento de tensión y deformaciones planas.

- Mayor facilidad en la introducción por CAD y el post procesado: generación de ventanas, ficheros ASCII, plantillas de estructuras, generación de informes.

- Bases de Datos para secciones de acero, disponibles según Normativa Japonesa, británica, australianas y europeas además de las formas americanas y canadienses.

- Generación de malla de elementos finitos triangulares y cuadriláteros para superficies curvas.

Figura 1.4 Modelado de estructuras a) análisis de una de las pilas del puente George Washington en New York b) análisis de un edificio en California [14].

(a) (b)


1.1.3 SAP2000. Es un programa de análisis tridimensional por elementos finitos para ingeniería estructural. Fue desarrollado en la Universidad de California en Berkeley por el profesor Edward L. Wilson y el estudiante de doctorado Klaus Juergue Bathe, como programa de investigación y de propósito general para el análisis por elementos finitos. Posteriormente fue desarrollado como programa comercial por la empresa Computers and Structures, Inc. añadiéndole módulos de diseño, un post procesador gráfico y desarrollando diversas versiones tales como: SAP80, SAP90, etc. El programa SAP90 ha constituido un estándar a nivel mundial entre todos los programas de cálculo de estructuras y se había utilizado hasta ahora en centros de investigación como referencia para poder chequear los distintos programas tanto a nivel nacional como internacional que iban apareciendo. Se especializa en el cálculo dinámico donde ha tenido hasta ahora la mayor utilidad.

Figura 1.5 Visualización en 3D de una estructura con SAP2000 [15].

En el SAP2000 [15, 19] se generó un sistema CAD que ayuda en gran medida a la introducción de estructuras más complejas tales como puentes y edificios. Está programado bajo plataforma Windows 95/NT y ofrece un entorno gráfico de gran versatilidad unido a los últimos avances en técnicas analíticas. El proceso de análisis así como el de diseño y optimización están incluidos bajo la misma plataforma. Para el análisis de las estructuras se cuenta con diversos tipos de elementos: barras, placas, membranas, cáscaras y sólidos. Dichos elementos pueden ser no prismáticos y tener uniones no rígidas. Acepta distintos tipos de cargas en barras, desplazamientos y pretensados. Para el análisis no lineal existen elementos específicos tales como aislantes antisísmicos, muelles, disipadores energéticos, entre otros (dampers, hooks y gaps).


Además de las cargas estáticas pueden introducirse espectros múltiples de frecuencia con gran variedad del tipo de carga y del tipo de excitación para representar las cargas dinámicas. Permite la introducción de cargas de vehículos, carriles y trenes. Como opciones de diseño toma en cuenta la normativa de Acero Americana AISC, ASD Y LFRD, para el diseño con concreto armado el código ACI-89 y actualmente los eurocódigos. Actualmente existen tres versiones del SAP2000 [15, 19]: -SAP2000 Standard: Realiza Análisis Estático y Respuesta Dinámica en frecuencia para pórticos y Membranas, además del diseño en acero y concreto. Capacidad Máxima: 1.500 Nudos. -SAP2000 plus: Ofrece las mismas características que la versión Standard añadiendo análisis dinámico en el tiempo, y la inclusión de los elementos sólidos y análisis de puentes. Capacidad Máxima: Sin límite práctico. -SAP2000 Nonlinear: Añade a las opciones anteriores el análisis no lineal dinámico, y elementos de aislamiento de base, disipadores de energía, etc. Capacidad Máxima: Sin límite práctico.

Figura 1.6 Estado de esfuerzos de una estructura analizada con SAP2000 [15].

1.1.4 ETABS. El programa ETABS [16, 19] está enfocado para el análisis y diseño de estructuras altas, como edificios de oficinas, residenciales y hospitales. Realiza análisis estático y dinámico


lineal y no lineal, permite la utilización de elementos no lineales tales como: aislantes antisísmicos, disipadores, amortiguadores, etc. Permite el análisis y diseño de estructuras 3D combinando pórticos y muros pantalla a través de una completa interacción entre ambos. Al igual que en el programa Sap2000 permite diseñar estructuras de acero, concreto armado tomando en cuenta las principales normativas. ETABS está disponible en tres versiones: -ETABS Standard: Realiza análisis Estático y Dinámico para Edificación, con elementos viga, pilar, muro y losas. -ETABS plus: Las mismas capacidades que el Standard añadiendo Diseño de estructuras metálicas, de concreto y muros. -ETABS Nonlinear: Permite la realización de análisis dinámico no lineal con elementos aislantes no lineales.

Figura 1.7 Perspectiva de una estructura modelada con ETABS [16].

1.1.5 STAAD. Este programa [17, 19] se destaca por su extensa aplicación ya que permite el desarrollo del modelo estructural así como el análisis, dibujo, detallado y diseño de componentes individuales. Cuenta con distintos módulos, entre los que se destacan:

- STARDYNE: Contiene herramientas de análisis dinámico, sísmico, no-lineal, térmico, torsión y otras opciones de análisis avanzado mediante una extensa biblioteca de elementos finitos.


- FEMkit: Es un entorno de trabajo a través del cual se realiza el modelado por Elementos Finitos y contiene herramientas de verificación de modelo y avanzada tecnología para la generación de mallas en 2D/3D.

- FabriCAD: Es la herramienta que permite el diseño de detalles en acero, desde los cálculos de Fabricación hasta la generación de Planos de construcción.

- Visual DRAW: Permite la generación y detallado de planos con diferentes vistas, proporciona las opciones más avanzadas para la generación de dibujos, edición y preparación de planos.

- STRUCT: Es utilizado para el diseño de componentes estructurales, tales como: cimentaciones, muros de contención, mampostería, conexiones y otros detalles constructivos.

- STAAD: Constituye el módulo de “Análisis y Diseño Estructural” de STAAD/Pro [17,19]: Combina el STAADIII, software estructural y STARDYNE: El software para elementos finitos. Este módulo contiene una base de datos activa que permite una integración a través de las funciones críticas, desde el concepto análisis / diseño hasta la simulación y visualización.

Entre las características principales del entorno de trabajo se encuentra la escritura de datos a través de hojas de cálculo, vistas isométricas y en perspectiva con formas 3D y secciones transversales, vista de cargas, apoyos, propiedades, número de miembros / nodos, generación de nodos, miembros / elementos, mallas con numeración controlada, unidades métricas, SI e inglesas, alta calidad de presentación de gráficos y resultados en archivos de salida, lenguaje de programación tipo “script” para extracción de datos y ejecución de aplicaciones externas, entre otras.

Figura 1.8 Modelado con elementos finitos en STAAD [17].


Realiza análisis estáticos con la inclusión del efecto P-DELTA así como análisis dinámico que permiten el modelado de las masas, frecuencia de modos de vibración, espectro de respuestas, una combinación de fuerzas dinámicas con cargas estáticas, etc. Incluye la aplicación de cargas concentradas, uniformes, lineal, trapezoidal, de temperatura, deformación, entre otras, tanto en los nodos como en los elementos así como el desplazamiento de apoyos, de preesfuerzo y de extremo fijo. Permite la generación automática de cargas de movimientos por AASHTO o definida por el usuario, además de carga sísmicas según el Uniform Building Code (UBC) con distribución apropiada y cargas de vientos con factores de exposición. Para las opciones de diseño en acero utiliza los códigos de diseño: ASD/LRFD, AASHTO, BS5950, francés, alemán, canadiense, español, japonés, chino, hindú, coreano, australiano y escandinavo. Para el diseño en concreto armado de vigas, columnas, losas y cimientos se implementan los códigos ACI318, BS8110, canadiense, francés, alemán, español, escandinavo, japonés, chino, australiano, coreano e hindú. Por último, como opciones avanzadas toma en cuenta el análisis de fatiga, materiales compuestos múltiples, subestructuras múltiples, análisis de interacción suelo-estructura, etc.

Figura 1.9 Estado de Esfuerzo en 3D.


1.1.6 ABAQUS. Abaqus [18] es un software para realizar análisis por elementos finitos. Puede ser usado para simular la respuesta de estructuras o cuerpos sólidos a cargas, impactos, esfuerzos térmicos, etc. y visualizar los resultados por medio de la simulación. Este programa es conocido por su habilidad y eficacia para resolver muchos tipos de simulaciones, lo que permite entender el comportamiento detallado de ensamblajes complejos, explorar algunos conceptos para un diseño innovador o simular un proceso de fabricación. Abaqus consta de tres programas que contienen módulos adicionales que se adaptan a las necesidades de cada caso: − Abaqus/Standard: Proporciona tecnología para realizar análisis por elementos finitos

estáticos, dinámicos, térmicos, etc. mediante una gama de opciones de materiales no lineales y de contacto.

− Abaqus/Explicit: Proporciona técnicas de simulación por elementos finitos para solucionar una gran variedad de eventos dinámicos y quasi-estáticos en forma eficiente y aproximada

− Abaqus/CAE: Pre y post procesador de abaqus con ambiente de modelado y acceso directo a modelos CAD, mallados avanzados y herramientas de visualización. Abaqus/CAE integra modelos, análisis y visualización de resultados en un ambiente consistente y fácil de usar.

Según los programas comerciales analizados en este capítulo, se puede aseverar la tendencia existente de incluir el análisis no lineal en gran medida. Esta tendencia denota la importancia que están adquiriendo estas nuevas tecnologías en el campo de la ingeniería estructural, siendo cada vez más los ingenieros que las utilizan. El riesgo sísmico latente en las estructuras hace que los códigos de diseño estén cambiando constantemente, no sólo para garantizar que una estructura sea capaz de resistir un estado último de resistencia, pandeo o servicio, sino también, en la nuevas normativas (PERFORMANCE BASED DESIG ANALYSIS) se busca aprovechar al máximo la capacidad del material para que los posibles daños producidos por las acciones externas (terremotos, fuego, maremotos) sean mínimos.

Figura 1.10 Análisis por elementos finitos con Abaqus [18].


En Venezuela, todavía estamos muy lejos del diseño por desempeño y análisis no lineal, esto se debe fundamentalmente a que los códigos publicados hasta ahora sólo exigen análisis elástico-lineales y casi omiten todo comentario posible al análisis de segundo orden. Causas adicionales son la falta de conocimiento de las nuevas técnicas de análisis no lineal en los ingenieros, la necesidad de adquisición de costosas licencias de los programas comerciales que permiten realizar dichos análisis, que son de tiempo limitado (hay que renovar las licencias), y usan normativas de otros países. Sin embargo en miras de ir a las nuevas tendencias de análisis, se desarrolló un instrumento computacional para la evaluación de la seguridad sismorresistente de edificaciones construidas o por construir, denominado Portal de Pórticos (PDP). El sistema propuesto PDP al igual que otros programas comerciales, como por ejemplo ABAQUS ó SAP200, permite realizar análisis no lineal, análisis dinámicos y/o estáticos, usa la teoría de elementos finitos, tiene interfaces de pre y postprocesamiento. El Portal de Pórticos a diferencia de otros programas comerciales, como por ejemplo el LARSA, no permite el diseño de las estructuras. La comunicación entre el usuario y el PDP se realiza a través de la WEB, a diferencia de los otros programas comerciales que la comunicación entre el usuario y el programa en sí sólo se consigue instalando el Software en la maquina del usuario. En el Capítulo tres se describe el manual de usuario del sistema Portal de Pórticos.


CAPITULO II.

Teoría del Daño Concentrado. Las estructuras de concreto armado, deben ser capaces de ingresar en el rango plástico cuando son sometidas a movimientos sísmicos severos y tener un comportamiento estable de sus elementos estructurales aunque algunos de ellos hayan sufrido daños. La predicción del comportamiento de la estructura durante un evento sísmico depende de modelos analíticos que puedan representar el comportamiento, los daños y las deformaciones inelásticas, las cuales se concentran en ciertas regiones de la estructura. Es por ello que en la Universidad de Los Andes se ha desarrollado un método que combina la definición de la variable de daño de los medios continuos con el concepto de rótula plástica, adaptándolos a la teoría de pórticos. Este método permite la simulación, el modelado del comportamiento inelástico y daño en estructuras de concreto armado, y es capaz de hacer el análisis para la evaluación de las mismas. El modelo se fundamenta en la mecánica de la fractura, la teoría del daño continuo y el modelo de plasticidad concentrada. El mismo describe el comportamiento histerético de un pórtico de concreto armado bajo acciones sísmicas. Por esta razón, se puede simular el orden de aparición de los daños o grietas y de las deformaciones plásticas de la estructura; considerando la pérdida de rigidez, la plasticidad, la influencia de la carga axial en el comportamiento a flexión, secciones asimétricas y el efecto de la fatiga de bajo ciclaje en elementos de concreto armado. El análisis estructural de un pórtico bajo solicitaciones estáticas o dinámicas, puede verse como un “problema matemático compatiblemente determinado”, siempre y cuando se tenga el mismo número de incógnitas como de ecuaciones, donde los valores desconocidos y los datos se relacionan en ecuaciones mediante conceptos, tales como: cinemática de pórticos planos, cinética de los pórticos planos, pórticos elastoplásticos, la mecánica de la fractura frágil, teoría del daño continuo, plasticidad y fractura, entre otros.

2.1 CONCEPTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA. La aplicación de solicitaciones produce una degradación progresiva de las propiedades mecánicas de la estructura y del material, lo que conlleva a una pérdida gradual de su resistencia. En la mecánica de la fractura se supone que el material es elástico, pero se admite la existencia de fisuras macroscópicas que pueden propagarse. La propagación de fisuras conduce a la disminución de la resistencia y de la rigidez de la estructura y eventualmente a su colapso. La propagación de la fisura se describe mediante el criterio de Griffith.


2.1.1 Criterio de Griffith [21]. Según Griffith, la energía total de una placa fisurada puede expresarse de la siguiente manera:

sext WTWE +−= (2.1)

Figura 2.1 Placa con agujero elíptico sometida a tracción uniforme en el infinito.

Donde W es la energía de deformación elástica, Tex es el trabajo de las fuerzas externas y Ws corresponde a una energía superficial asociada a la aparición de nuevas superficies durante la propagación de la fisura. Para el caso particular de una placa infinita con un agujero elíptico (Figura 2.1), de espesor unitario y de un material isótropo, la energía de deformación es igual a:

EaSWW

22

0π

−= (2.2)

Donde W0 es la energía elástica de la placa cuando no hay fisura y E el módulo de elasticidad del material. Según la hipótesis de Griffith, el término Ws es proporcional a la longitud de la fisura y tiene por expresión:

a4Ws γ= (2.3) Donde γ es la densidad de energía por unidad de superficie. Supóngase ahora que la placa está sometida a desplazamientos impuestos constantes en el infinito, de tal manera que las reacciones a esos desplazamientos sean iguales a la tracción S. La expresión (2.1) sigue siendo válida en ese caso y, además, el trabajo de las fuerzas externas es nulo. Se tiene entonces:

0

22

4 WaE

aSEt ++−= γπ (2.4)

S

2a 2b σmax

X1

X2


La energía total de la placa puede representarse mediante una parábola cóncava tal y como se muestra en la figura 2.2:

Figura 2.2 Energía total en función de la longitud de la fisura. Esta figura muestra porqué hay fisuras que no se propagan. Supóngase que la longitud de la fisura en la placa tiene un valor inferior al que corresponde al máximo de la curva. Para propagar la fisura, es decir, para desplazar la longitud “a” hacia la derecha en el gráfico de la figura 2.2, es necesario aumentar la energía total de la placa. Sin embargo, la placa está sometida a desplazamientos impuestos constantes. Esto significa que no se le está suministrando energía mecánica adicional. La propagación de la fisura es por lo tanto imposible, independientemente del nivel de esfuerzo en la punta de la fisura, puesto que la energía necesaria para ello no está disponible. Supóngase ahora que la longitud de la fisura tiene un valor igual o mayor al correspondiente al máximo de la gráfica. La propagación de la fisura ocurre en este caso con una disminución en la energía total de la placa. Este remanente de energía se transforma en energía cinética y el proceso de propagación de la fisura es ahora físicamente posible. Este es el criterio de Griffith que se escribe como: dEt/da = 0. En el caso general el criterio de Griffith puede expresarse de la manera siguiente:

RG = (2.5) Donde:

( )extTWdadG −−= ;

dadW

R s= (2.6)

La variable G es denominada “tasa de disipación de energía” o “fuerza conductora de la grieta”. Puede observarse que G depende de la geometría, de las propiedades de la estructura y de sus solicitaciones. En otras palabras G es el resultado de un análisis estructural. El término R es llamado “Resistencia al agrietamiento” y se admite que es una propiedad del material, de la misma manera que el módulo de elasticidad E o el esfuerzo de fluencia σy lo son. La tasa de disipación de energía es el resultado de un análisis estructural, casi siempre numérico.

Et

a

Propagación posible


La resistencia al agrietamiento R es una propiedad del material que debe ser determinada experimentalmente. No obstante, se ha encontrado que en numerosos casos R no es constante sino que depende del incremento en la longitud de la fisura. En otras palabras, al alcanzarse la resistencia al agrietamiento se produce una propagación de la fisura que avanza una cierta distancia y se detiene. Para continuar la propagación es necesario aumentar la fuerza y del valor de la tasa de disipación de energía. Se produce de nuevo un incremento estable en la longitud de la fisura y así sucesivamente. Midiendo estos valores es posible determinar la curva R = R (∆a).

2.2 TEORIA DEL DAÑO CONTINUO. Con la propagación de una fisura en la punta se genera una zona de alta densidad de micro defectos y/o deformaciones plásticas, sin embargo para que los conceptos de la mecánica de la fractura sean válidos, es necesario que la zona de micro agrietamiento sea muy pequeña con respecto al tamaño de la estructura. Si por el contrario la zona de micro defectos es significativamente grande, la mecánica de la fractura frágil deja de ser válida y se hace necesario modelar el comportamiento del material durante la creación de la zona micro agrietada a través de la teoría de daño concentrada.

2.2.1 Variable de daño continuo [22]. Para caracterizar la densidad de micro defectos en el material, se introducirá una nueva variable interna, denominada daño, que se define a continuación: Sea “A” el área de la cara de un elemento de volumen representativo del material. Esta cara esta orientada según la normal n

r. Sea Ad el área de micro defectos en la misma cara. El

daño de esa cara ωn en el elemento de volumen representativo es:

AAd

n =ω (2.7)

Figura 2.3 Daño en medio continuo. Puede constatarse que ωn puede tomar valores en el intervalo (0,1). El valor de cero corresponde a un elemento de volumen que no tiene microdefectos según la normal n

r. El

valor de uno representa un elemento de volumen partido en dos pedazos según el plano normal n

r. En términos generales, el campo ωn ( )x

r representa la densidad relativa de

Ad = área de microdefectos A = área total


microdefectos en planos perpendiculares al vector normal nr

. Si se cumple la hipótesis de daño isótropo se simplifica la teoría de daño continuo, es decir se supone que el daño es aproximadamente constante en todas las direcciones n

r posibles:

n n

r∀ω≅ω (2.8)

El daño en un elemento de volumen representativo del material puede entonces ser representado mediante la variable escalar ω. De esta manera, se tiene que las zonas deterioradas indicadas en la figura 2.3 pueden ser caracterizadas como el conjunto de puntos donde la variable de daño continuo es diferente de cero. Ello sugiere un enfoque alternativo al problema de propagación de fisura. Una fisura podría definirse como el conjunto de puntos en los cuales el daño toma el valor de uno. De esta manera no sería necesario emplear los conceptos de la mecánica de la fractura a nivel macroscópico para predecir la propagación de la fisura. También pueden seguir usándose estos conceptos y utilizar la teoría del daño continuo únicamente para modelar el comportamiento del material en la zona microagrietada, o para predecir la iniciación de las fisuras en partes de la estructura donde estas no existen previamente.

2.2.2 Ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica [23]. La densidad de microdefectos tiene una influencia importante en el comportamiento elástico o elastoplástico del material. La introducción de la variable de daño en la ley de estado de un material elastoplástico, se realiza mediante el uso de dos conceptos: el esfuerzo efectivo y la hipótesis de equivalencia en deformación. Considérese una barra microagrietada, como se muestra en la figura 2.4, el esfuerzo de Cauchy en la barra es igual a la relación entre la fuerza aplicada sobre el área resistente: σ = P/A. El esfuerzo efectivo se define como la fuerza aplicada sobre el área resistente efectiva: )AA/(P d−=σ . El área efectiva se define como el área total A menos el área de microdefectos Ad. Una expresión que relaciona el esfuerzo efectivo con el esfuerzo de Cauchy y la variable de daño puede ser obtenida tomando en cuenta la definición de esta última:

ω−σ

=σ1

(2.9)

Figura 2.4 Esfuerzo efectivo. La hipótesis de equivalencia en deformaciones establece que el comportamiento de un material dañado puede ser expresado mediante las mismas ecuaciones que el correspondiente al material intacto, si se sustituye el esfuerzo de Cauchy por el esfuerzo

P


efectivo. Así, la ley de estado del material elastoplástico dañado puede ser obtenida a partir de la expresión:

)-( )E-(1 mismo lo es que lo o );(E PP εεω=σε−ε=σ (2.10) La función de fluencia de un material dañado también puede obtenerse siguiendo el mismo procedimiento. Por ejemplo si se considera un material que inicialmente es perfectamente plástico, se tiene:

01

),(f yy ≤σ−ω−

σ=σ−σ=ωσ (2.11)

La función de fluencia de los modelos con endurecimiento cinemático lineal o no, se derivan de manera similar. La ley de evolución de las deformaciones plásticas se representa de la siguiente manera:

=ωσ=ωσ≠ε

<ωσ<ωσ=ε

0 ),df(y 0 ),f( si 0d

0),df( o 0),f( si 0d

p

p (2.12)

2.2.3 Ley de evolución del daño para materiales frágiles. En la ley de estado, definida anteriormente (2.10), se ha introducido una nueva variable interna ω, razón por la cual se debe introducir una nueva ley de evolución. Esta ecuación adicional define por completo la ley de comportamiento uniaxial de un material dañado. Considerando únicamente el caso de materiales frágiles, en los cuales la deformaciones plástica son nulas o despreciables (εp=0), se puede describir el comportamiento de materiales como el concreto armado o la roca. La ley de evolución del daño de un material frágil puede ser obtenida suponiendo que el criterio de Griffith, también puede ser aplicado al caso de microfisuras caracterizadas por la variable de daño continuo ω . La densidad de energía de deformación W puede ser obtenida a partir de la ley de estado (2.10):

( ) 2E121),(W εω−=ωε (2.13)

La tasa de disipación de energía en un elemento de volumen puede definirse ahora como:

2E21WG ε=

ω∂∂

−= (2.14)

El criterio de Griffith al nivel del elemento de volumen definirá la ley de evolución de la variable interna ω , y se expresa como:


=ω=≠ω<ω<=ω

dRdG y )R(G si 0ddRdG o )(RG si 0d

(2.15)

La expresión (2.15) indica que no habrá evolución del daño si la tasa de disipación de energía G es inferior a la resistencia al agrietamiento del material R, o si se está iniciando una descarga elástica caracterizada por dRdG < . En cambio, habrá crecimiento de las microfisuras si la tasa de disipación de energía es igual a la resistencia al agrietamiento y no se esta iniciando una descarga elástica. Se admite que RG > es imposible.

2.2.4 Daño Unilateral [24]. En los modelos de daño descritos anteriormente, el daño en compresión y el daño en tracción se acumulan en una misma variable. Así la pérdida de rigidez o de resistencia ocasionadas en, por ejemplo, tracción afecta de la misma manera en tracción y en compresión. Sin embargo, se ha observado experimentalmente que, al menos en materiales frágiles, esto no es así. Es probable que ello sea consecuencia del fenómeno de cierre de fisuras. Tal y como se ilustra en la figura 2.5, la orientación de las fisuras de tracción y de compresión no es en general la misma. Las fisuras creadas en algunos de los casos, por ejemplo las de tracción, tienden a cerrarse al cambiar el signo del esfuerzo. Se admite que el daño asociado a las microgrietas de tracción o de compresión no tienen influencia en el comportamiento del material mientras éstas estén cerradas.

Figura 2.5. Representación de: a) daño en compresión b) daño en tracción. Para modelar matemáticamente este efecto, se introducirán dos variables de daño denominadas ω+ y ω-. La primera representa el daño en tracción y la última, el daño en compresión. Cuando se usan ambas variables para caracterizar el deterioro del material se dice que el daño es “unilateral”. El esfuerzo efectivo en el material para el caso de daño unilateral puede definirse de la siguiente manera:


<σω

σ=σ

>σω−

σ

=σ

+

0 si -1

0 si 0

0 si 1

-

(2.16)

El uso de la hipótesis de equivalencia en deformación con la nueva definición del esfuerzo efectivo permite obtener la ley de estado en el caso de daño unilateral:

( ) E)1(E1Ep −+ ω−

σ−−

ω−

σ=

σ=ε−ε (2.17)

Donde σ representa de nuevo a la parte positiva de σ. Puede constatarse que la única diferencia entre la ley de estado (2.10) y la expresión (2.17) es que en esta última, el módulo de elasticidad efectivo depende de ω+ y ω- según el signo del esfuerzo. Para hallar las tasas de disipación de energía asociada a las dos variables de daño, es preferible utilizar la energía de deformación complementaria W* que, en este caso coincide con la energía de deformación pero se expresa en función del esfuerzo y el daño. Para daño frágil con εp igual a cero, la expresión de la energía complementaria es:

( ) ( ) ( )

ω−

σ−σ−

ω−

σσ=σε=ωωσ −+

−+

E1E121

21,,W* (2.18)

Las dos tasas de disipación de energía, obtenidas a partir de (2.18) son:

E)1(21WG 2

*

+++

ω−

σσ=

ω∂∂

= E)1(2

1WG 2

*

−−−

ω−

σ−σ=

ω∂∂

= (2.19)

La evolución del daño unilateral puede describirse utilizando el criterio de Griffith dos veces, una para cada variable de daño, y empleando dos funciones de resistencia al agrietamiento diferentes. De esta manera puede obtenerse la envolvente parabólica en el caso del comportamiento en compresión y una envolvente bilineal para representar el comportamiento en tracción tal y como se muestra en la figura 2.6. La envolvente bilineal puede obtenerse usando, por ejemplo, la función de resistencia al agrietamiento R= A/(B-Cω)2. Donde A, B Y C son constantes que dependen de la pendiente de la segunda rama de la curva en tracción, el módulo de elasticidad E y de la resistencia en tracción del material.


Figura 2.6 Comportamiento del Concreto empleando un modelo de daño unilateral [25]. El comportamiento elastoplástico de un material unilateral puede describirse a partir de la función de fluencia obtenida con la hipótesis de equivalencia en deformaciones y la definición de esfuerzo efectivo (2.16).

2.3 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS [26]. En el movimiento de los pórticos planos analizado y modelado desde el punto de vista de la cinemática (estudio del movimiento sin considerar las causas que lo generan) se introducen los conceptos: desplazamiento y deformación, y las relaciones existentes entre ellos. El desplazamiento permite definir el movimiento de la estructura, mientras que la deformación representa el cambio de forma.

2.3.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i”. Se representan mediante una matriz columna {u}i

t = ( u1, u2, u3 ), donde u1 es el desplazamiento horizontal del nodo “i”, u2 es el desplazamiento vertical del mismo nodo y u3 es la rotación del nodo “i” con respecto a el eje perpendicular al plano que contenga el pórtico, ver figura 2.7. Los desplazamientos de cualquier miembro plano “m” se definen por la matriz columna

{ } { } { }( )tn

tttb uuuq ...}{ 21= . Los desplazamientos generalizados de todos los nodos de la

estructura se agrupan en una matriz columna {U}t = ( {u}it , {u}j

t , . . . , {u}nt ).

Figura 2.7 Desplazamientos generalizados del nodo i. Es importante considerar que la estabilidad de un sistema estructural aporticado se consigue limitando algunos desplazamientos, es decir, sus valores durante el movimiento de la estructura son conocidos e impuestos por el analista.

u2

u1

Nodo i

u3

X

Y

σ

ε


a) b) c)

dq1

α

dδ

dφi

dφj

dq2

dφj dφi

α

α

dδ

dq3

L L L

X

El conjunto de desplazamientos limitados de la estructura se agrupan en un conjunto Nu denominado los apoyos del pórtico expresados como: ( ) uNKpara ∈= tUU d

kk . El término ( )tU d

k son funciones conocidas en el tiempo y en la mayoría de los casos son nulas. También, puede definirse las velocidades o aceleraciones en los apoyos más las condiciones iniciales en el instante t = 0 permitiendo establecer la historia de las solicitaciones y analizar problemas de naturaleza sísmica.

2.3.2 Deformaciones generalizadas. Considerando un miembro “m” de un pórtico plano en el caso de pequeñas deformaciones las deformaciones generalizadas se agrupan en la matriz columna {φ}t = { φi , φj , δ}, en la cual se representan los cambios de forma de los miembros estructurales. Los valores φi y φj corresponden a las rotaciones de la tangente en los extremos i y j respecto a la cuerda “i-j” del miembro respectivamente y δ indica el alargamiento de la cuerda “i-j” del miembro respecto a la configuración inicial. La representación física y convenio de signos de las deformaciones generalizadas se indican en la figura 2.8.

Figura 2.8 Deformaciones Generalizadas del miembro i-j (positivas).

2.3.3 Ecuaciones de cinemática. Las ecuaciones de cinemática establecen las relaciones entre los desplazamientos generalizados y las deformaciones generalizadas. Las ecuaciones de cinemática se consiguen mediante relaciones geométricas al estudiar los movimientos producidos por incrementos infinitesimales “dq” en cada extremo del elemento, en las direcciones de los grados de libertad del miembro y suponiendo que actúan de manera independiente, es decir, uno a la vez mientras los demás son nulos. Ver figura 2.9. Figura 2.9 Deformaciones generalizadas en el miembro “ij” producidas por los movimientos infinitesimales

dq1, dq2, dq3 en el nodo i.

Cuerda

φi

φi

Tangente Tangente

(Posición deformada)

L + δ

(Posición original) i j

j´

i´

L


Al imponer un desplazamiento infinitesimal en la dirección horizontal como se observa en la figura 2.9.a, con la condición de que los demás posibles desplazamientos permanezcan nulos, se obtienen los siguientes incrementos en las deformaciones generalizadas:

α−=δα

=φα

=φ cosdqd;L

sendqd;L

sendqd 11j1i (2.20)

Donde α es el ángulo de inclinación entre la cuerda i-j y el eje horizontal “X” en la configuración (no necesariamente es la inicial) y L es la longitud de la cuerda i-j en ese instante. Realizando un análisis similar para el resto de los desplazamientos infinitesimales el extremo “i” que se representan en las figuras 2.9.b y 2.9.c, se demuestra las siguientes ecuaciones:

;sendqd;L

cosdqd;L

cosdqd 22j2i α−=δα

−=φα

−=φ (2.21)

.0d.;0d;dqd j3i =δ=φ=φ (2.22)

Similarmente se obtienen incrementos en las deformaciones generalizadas debido a los desplazamientos infinitesimales dq4, dq5 y dq6 del extremo “j”. Para el caso donde se producen pequeños desplazamientos, simultáneamente en todos los grados de libertad del miembro, se obtiene la siguiente expresión lineal de cinemática:

{ } [ ] { } 166313 dqBod ××× =φ (2.23) Donde: [ ] 63Bo × es la matriz de transformación local.

[ ]

ααα−α−

αα−

α−

α

αα−

α−

α

=×

0sencos0sencos

1L

cosL

sen0L

cosL

sen

0L

cosL

sen1L

cosL

sen

Bo 63 (2.24)

Para el caso general en el que α y L dependen de los desplazamientos (α (q), L(q) indica la no linealidad geométrica debido a grandes desplazamientos), se obtiene una expresión no lineal para la matriz de transformación. Es posible escribir una ecuación de compatibilidad no lineal para el caso general, la cual requiere ser integrada debido a que un miembro pasa por un infinito número de configuraciones intermedias desde la configuración inicial hasta la configuración final. La ecuación de cinemática se obtiene integrando la siguiente ecuación:


{ } [ ]{ }( )

( )

∫=q

dqqB0

1 )(φ (2.25)

Para obtener una formulación alternativa del conjunto de expresiones dadas en la ecuación (2.25), se considera directamente la transformación experimentada por el miembro desde la configuración inicial hasta una configuración deformada cualquiera como se observa en la figura 2.10; posteriormente usando consideraciones geométricas se consiguen las relaciones de cinemática indicadas en las ecuaciones (2.26).

Figura 2.10 Configuración de un elemento en el caso de grandes desplazamientos.

( )o)q(

214

225)q(qo6j

14

25qqo3i

LL

)qqX()qqY(Ly)(q

qqXqqY

arctan:donde)(q

−=δ

−+∆+−+∆=α−α−=φ

−+∆−+∆

=αα−α−=φ

(2.26)

2.4 CINÉTICA DE PÓRTICOS PLANOS [26]. Desde el punto de vista de la cinética (estudio del movimiento considerando las fuerzas y momentos que lo originan) se establece el equilibrio dinámico de la estructura mediante el principio de los trabajos virtuales considerando la relación entre los esfuerzos generalizados, fuerzas externas y fuerzas de inercia.

2.4.1 Esfuerzos generalizados. Los esfuerzos generalizados del miembro se denotan por: {M}t = { mi , mj , n }, donde mi y mj son los momentos flectores en los extremos i y j del miembro, respectivamente y n es la fuerza axial (ver figura 2.11).

Figura 2.11 Esfuerzos generalizados en un miembro de un pórtico plano.

∆X

∆Y

q5

q4 q2

q1

q3

q6

αo

αo αq

mi mj n


2.4.2 Fuerzas internas generalizadas. Las fuerzas internas generalizadas que actúan sobre el miembro en la configuración deformada, se agrupan en la matriz columna {Q}t = {Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6}t según se muestra en la figura 2.12. Los subíndices corresponden a los desplazamientos posibles de los nodos en los extremos del miembro.

Figura 2.12 Fuerzas generalizadas en un miembro de un pórtico plano.

2.4.3 Fuerzas externas sobre los nodos del pórtico. Las fuerzas externas serán definidas por medio de la matriz columna {P}t = {P1, P2, P3,P4,P5,..., P3n-2, P3n-1, P3n}t, donde: Los valores P1,P4,...,P3n-2 definen las fuerzas en la dirección del eje X aplicadas en las juntas 1,2,3,...,n respectivamente. Los términos P2,P5,...,P3n-1 representan las fuerzas en la dirección del eje Y aplicadas en las juntas 1,2,3,...,n respectivamente. Los valores P3,P6,...,P3n definen los momentos respecto a un eje perpendicular al plano donde esta contenida la estructura, aplicados en las juntas 1,2,3,...,n respectivamente. Al conjunto de fuerzas externas asociadas a los grados de libertad restringidos en la estructura (desplazamientos limitados, conjunto Nu) se les denomina reacciones y son desconocidas por tanto constituyen una incógnita del problema. En la matriz {P}t se incluyen las fuerzas actuantes aplicadas y las reacciones en los nodos con desplazamientos restringidos (apoyos de la estructura), ver figura 2.13.

Figura 2.13 Sistema aporticado plano con fuerzas externas.

Q1

Q2

Q4

Q3

Q6

Q5

i

j

m i j

Y

X

P3n-1

P3n-2 P3n

P3 P2

P1


2.4.4 Fuerzas de inercia. Las fuerzas de inercia de un miembro de un pórtico se representan por medio de la matriz:

{ } { } [ ]{ }( )qmasaI,...,II 61t &&== (2.27)

El término [ ]masa corresponde a la matriz de masas del elemento y { } 2

2

dtqdq =&& corresponde

a la matriz de aceleraciones generalizadas del mismo. La matriz de masa es un dato del problema y su determinación puede hacerse en base a los conceptos de la dinámica estructural. Alternativamente, pueden emplearse el vector de fuerzas de inercia { }

bgI y de masa

[ ]bgmasa de la barra b referida a los desplazamientos del pórtico. En ese caso, las fuerzas

de inercia son:

{ } { } [ ]{ }( )tgn31

tbg UmasaI,...,II &&== (2.28)

Donde { }U&& es la aceleración del pórtico. La matriz de fuerzas inerciales { }pórticoI del pórtico se obtiene sumando las fuerzas inerciales de los todos miembros,

{ } { } [ ] [ ]

=

== ∑∑

==

..m

1b

¨

g

m

1bbgpórtico UmasaUmasaII (2.29)

Donde: m el número de elementos que conforman el pórtico y [ ] [ ]∑=

=m

1bgmasamasa es la

matriz de masas del pórtico.

2.4.5 Ecuaciones de equilibrio dinámico. El principio de los trabajos virtuales establece que si a un pórtico plano constituido por n nodos y m elementos se somete a un desplazamiento virtual {U*}, el trabajo virtual de las fuerzas externas debe ser igual a la suma del trabajo virtual de las fuerzas internas y de las fuerzas de inercia. Lo anterior se puede establecer mediante la siguiente expresión [2]:

{ }**e

*a

*i U todoparaTTT =+ (2.30)

Si la expresión anterior se verifica, se dice que la estructura está en equilibrio dinámico. El trabajo virtual de las fuerzas internas en términos generales se define como el producto de los esfuerzos por las deformaciones generalizadas. A tal efecto se tiene para toda la estructura que:


{ } { }b

t

b

m

1b

**i MT ∑

=

φ= (2.31)

El trabajo virtual de las fuerzas externas para toda la estructura, se formula como:

{ } { }PUT t**e = (2.32)

El trabajo virtual realizado por las fuerzas de inercia según el desplazamiento virtual { }*U se calcula como:

{ } { }IUT t**a = (2.33)

Sustituyendo las expresiones (2.31), (2.32) y (2.33) en la ecuación de trabajo (2.30) se obtiene:

{ } { } { } { } { } { } { }*t*m

1b

t*b

tb

* U todoparaPUIUM →=+φ∑=

(2.34)

Donde { }*φ son las deformaciones producidas por los desplazamientos infinitesimales virtuales { }*U . Usando ecuaciones cinemáticas y la expresión (2.29) la expresión (2.34) se puede escribir:

{ } [ ] { } { } [ ]{ } { } { } { }*t*m

1b

t*b

tb

t* U PUUmUMBU ∀→=+∑=

&& (2.35)

Teniendo en cuenta que la expresión (2.35) se debe cumplir para cualquier desplazamiento virtual { }*U , se consigue la siguiente ecuación de equilibrio dinámico:

[ ] { } [ ]{ } { }PUmMBm

1bb

tb∑

=

=+ && (2.36)

En el caso de análisis estático la ecuación de equilibrio se reduce ya que el segundo término de la ecuación (2.36) se elimina debido a que no existen aceleraciones en los nodos. De esta manera se consigue la expresión del equilibrio estático en los nodos:

[ ] { } { } ( ){ } { }PqQoPMBm

1b

m

1bb

tb == ∑∑

==

(2.37)

El término { } [ ] { }M)q(B)q(Q t

b= representa el equilibrio de un miembro; el cual será utilizado para resolver el problema local en la implementación numérica del problema, como se vera en el la sección 2.9.


2.5 PORTICOS ELÁSTICOS LINEALES O NO LINEALES [2]. Las ecuaciones de cinemática y de cinética definidas anteriormente, no son suficientes para realizar el análisis de una estructura, ya que en ninguna de ellas se ha tomado en cuenta el material del cual están constituidos los miembros del pórtico. Para definir completamente el problema se incluirá en el sistema una nueva ecuación matricial para cada miembro del pórtico plano, en la que se definirán relaciones entre los esfuerzos generalizados {M} y las deformaciones generalizadas {φ}. Estas relaciones se llamarán “Ley de comportamiento”, en las cuales se toman en cuenta al material del pórtico, de manera que, para dos pórticos de geometrías semejantes pero diferentes materiales (concreto y acero por ejemplo) las ecuaciones de compatibilidad y las de equilibrio son totalmente iguales y sólo las leyes de comportamiento diferencian ambos casos.

2.5.1 Ley de comportamiento elástica lineal. La ley de comportamiento del elemento viga- columna elástico lineal se obtiene realizando un análisis del miembro tomando como base la teoría clásica de vigas de la resistencia de materiales o vigas de Euler-Bernoulli (no se considera las flechas debidas a las fuerzas cortantes). Mediante esta teoría se relacionan las flechas, las fuerzas externas distribuidas, las fuerzas axiales y los desplazamientos axiales; Flórez [2] demuestra dichas relaciones obteniendo finalmente que la ley de comportamiento elástico lineal del elemento viga-columna para cargas distribuidas nulas, se define como:

{ } [ ]{ } ó00

00

SM j

i

lAE

lEI4

lEI2

lEI2

lEI4

δφφ

=φ= (2.38 a)

{ } [ ]{ }

−

−==φ

nmm

0000

MF j

i

AEL

EI3L

EI6L

EI6L

EI3L

(2.38 b)

Donde: [S] es la matriz de rigidez del miembro y [F] es la matriz de flexibilidad del miembro. En el caso general donde las cargas distribuidas sobre el miembro no sean nulas, es necesario añadir a la expresión (2.38 a) un término adicional debido a que las condiciones de borde son diferentes del caso anterior. El término adicional define los esfuerzos generalizados iniciales, representado por {Mo} y solo depende de la carga externa aplicada al miembro. En consecuencia, la ley de comportamiento elástica \ lineal de un elemento viga-columna con cargas externas diferentes de cero, se define como:

{ } [ ]{ } { }oMSM +φ= (2.39)


2.6 PORTICOS ELASTOPLÁSTICOS. El modelo elástico no considera la posibilidad de que bajo solicitaciones externas se produzcan deformaciones generalizadas permanentes, es decir, deformaciones remanentes bajo cargas nulas. No obstante, la evidencia experimental muestra que cuando una estructura se somete a cargas externas que sobrepasen cierto límite, se presentan deformaciones permanentes, que pueden ser muy significativas. Los modelos que toman en cuenta este fenómeno son denominados modelos plásticos o elastoplásticos.

2.6.1 Ley de comportamiento elastoplástica para miembros de un pórtico plano. Partiendo de la hipótesis de plasticidad concentrada, la cual supone que un miembro de un pórtico está compuesto por una viga-columna elástica (lineal o no) y dos rótulas plásticas en los extremos, (ver figura 2.14) se introduce una nueva variable interna, el vector de deformaciones plásticas generalizadas: {φ}t = {φi

p, φjp, 0.}t.

Donde: φi

p define la rotación plástica en la rotula i, y φjp define la rotación plástica en la

rotula j, ambas medidas con respecto a la cuerda deformada.

Figura 2.14 Modelo de plasticidad concentrada.

Las deformaciones totales del miembro {φ}, se descomponen en las deformaciones de la viga-columna {φvc} más las deformaciones de las rótulas plásticas {φp}.

{ } { } { }pvc φ+φ=φ (2.40) La ley de comportamiento es el conjunto de expresiones que permiten calcular los esfuerzos conocida la historia de deformaciones. Al sustituir la expresión (2.40) en la expresión (2.39). Se obtiene la ley de estado de un elemento elastoplástico. Esta no puede ser considerada como la ley de comportamiento, puesto que el vector de deformación plástica {φp} no es conocido a priori y depende también de la historia de las deformaciones. Es por ello que la ley de comportamiento se definirá por medio de la ley de estado (2.41) y las leyes de evolución de las nuevas variables internas,{φp}. La ley de estado (relación entre los esfuerzos generalizados, deformaciones generalizadas y las variables internas) para un miembro elastoplástico, se escribe como:

{ } [ ]{ } { }op MSM +φ−φ= (2.41) Donde: { }oM es el vector de los esfuerzos generalizados iniciales. [ ]S es la matriz de rigidez de la viga columna elástica.

Viga- Columna Elástica

Rotulas plásticas


Para definir por completo la ley de comportamiento es necesario obtener una nueva relación que permita calcular las nuevas incógnitas,{φp}. Estas relaciones se obtienen a través de las leyes de evolución y funciones de fluencia o criterio de plasticidad. En cada rótula plástica existe una función de fluencia; estas en el caso de rótulas plásticas perfectas son:

( )( ) 0mmmjf

.0mmmif

yjj

yii

≤−=

≤−= (2.42)

Donde: fi y fj son las funciones de fluencia de las rótulas i y j respectivamente, y my es el momento de fluencia de la sección transversal del miembro. La ley de evolución de las deformaciones plásticas generalizadas del miembro está constituida por:

==≠φ

<<=φ

activa dPlasticida0)im(idf ó 0)im(if si 0pid

inactiva dPlasticida 0)im(idf ó 0)im(if si 0pid

(2.43.a)

==≠φ

<<=φ

activa dPlasticida0)jm(jdf ó 0)jm(jf si 0pjd

inactiva dPlasticida 0)jm(jdf ó 0)jm(if si 0pjd

(2.43.b)

La ley de estado (2.41), y las leyes de evolución (2.43) constituyen la ley de comportamiento generalizada del modelo elastoplástico perfecto para un miembro de un pórtico plano. Las ecuaciones cinemáticas (2.25), las ecuaciones de equilibrio (2.36) y (2.37) y las ecuaciones de comportamiento del miembro (2.41) y (2.43) permiten definir el comportamiento de pórticos elastoplásticos.

2.6.2 Pórticos elastoplásticos con endurecimiento. El comportamiento de la rótula no tiene que ser perfectamente plástico, es posible introducir términos dentro de la función de fluencia que tomen en cuenta el endurecimiento por deformación, como se manifiesta en los ensayos experimentales. El endurecimiento puede ser incorporado por el desplazamiento del dominio elástico sin aumento de su tamaño, el cual se denomina endurecimiento cinemático, como se muestra en la figura 2.15a. Por definición el dominio elástico es el rango de valores de los esfuerzos generalizados a flexión donde se cumplen las funciones de fluencia. También el endurecimiento puede ser representado por un aumento del tamaño del dominio elástico sin desplazamiento de su centro, denominado endurecimiento isótropo, indicado en la figura 2.15.b.


Considerando ambos efectos de endurecimiento, cinemático e isótropo, la función de fluencia aplicada a cada rótula puede escribirse de la siguiente manera:

( )( )jyjjj

iyiii

RmXmf

RmXmf

+−−=

+−−= (2.44)

Las variables “X” corresponden a la posición del centro del dominio elástico en el espacio de momentos flectores. La ley de evolución de cada variables “X” considerando un endurecimiento lineal se definen como: pcX φ= . Donde: c representa a una constante que es una propiedad. El valor de “R” en las ecuaciones (2.44) representa el efecto de endurecimiento isótropo. La ley de cada variable “R” considerando un endurecimiento lineal se define como: cpR = , donde: p representa la máxima deformación plástica

2.6.3 Análisis de pórticos elastoplásticos. El análisis de pórticos elastoplásticos se puede resolver de dos formas. La primera, sería, un análisis estructural que puede ser transformado en una serie de problemas elásticos con articulaciones internas. Este procedimiento es aplicable sólo si el problema planteado es geométricamente lineal, estático y con rótulas perfectas. Cada uno de los problemas elásticos corresponde a un incremento de carga y las rotulas plásticas que aparecen en la estructura son representadas por medio de articulaciones internas. Esto es posible ya que durante un incremento de carga, el incremento de momento en la rótula plástica es nulo. Cuando se introduce alguno de los términos no lineales o dinámicos en el problema o cuando las rótulas presentan endurecimiento, se empleará otra manera para resolver el análisis estructural. En este caso es necesario emplear un procedimiento paso a paso y discretizar las aceleraciones nodales usando algún algoritmo de integración numérica, como por ejemplo el método de Newmark. También es necesario resolver un sistema de ecuaciones compuesto por la ley de estado, las leyes de evolución de las rotaciones

Figura 2.15 Representación de los dos tipos de endurecimiento: a) Endurecimiento cinemático lineal. b)

Endurecimiento Isótropo.

R

θp

My

-My

M

R

My +R

-My-R

Dominio elástico inicial

Dominio elástico después del endurecimiento

a) b)c

θp

My

-My

M

c

X

My+X

-My+X

Dominio elástico inicial

Dominio elástico


plásticas y las funciones de fluencia. El método comúnmente utilizado para resolver este sistema de ecuaciones se llama algoritmo predictor-corrector. En los pórticos elastoplásticos no se tiene un límite en la deformación, ni se considera pérdida de rigidez, es decir hay ductilidad infinita y no existe cambio de rigidez. En el modelo que se presenta más adelante se tomaran en cuenta estos efectos.

2.7 PORTICOS ELASTOPLÁSTICOS ACOPLADOS AL DAÑO. Las estructuras durante su vida útil pueden ser sometidas a solicitaciones significativas eventuales, tales como: sismos, impactos, asentamientos inesperados en los apoyos, entre otros. Debido a las sobrecargas a las que se sometería la estructura se generar daños localizados y bien significativos en los elementos de la estructura. Evaluar o predecir los daños causados por las sobrecargas es un problema muy importante en el ámbito de la ingeniería estructural. Es por ello que en la Universidad de los Andes se ha creado un modelo que combina los conceptos de rótula plástica con la teoría del daño continuo. Es decir, los modelos de pórticos con plasticidad concentrada se modificaron para incluir los conceptos de la teoría de daño, dando como origen a la “teoría del daño concentrado”.

2.7.1 Teoría del daño concentrado para cargas monotónicas [27]. Para modelar el problema se utiliza el modelo de disipación concentrada, el cual representa cada miembro de la estructura como el ensamblaje de una viga-columna elástica y dos rótulas inelásticas ubicadas en los extremos de la viga-columna, como se mostró en la figura 2.14. El modelo admite que la disipación de energía, daños y plasticidad, se concentran en las rótulas mientras que el tramo central de la viga-columna permanece elástico (lineal o no). Siguiendo el mismo esquema teórico, las deformaciones generalizadas totales {φ} del miembro aporticado inelástico están definidas por la suma de las deformaciones de la viga-columna elástica {φvc} más las deformaciones generalizadas plásticas {φp} (debido a la fluencia del acero), más las deformaciones generalizadas debidas al daño {φd} (por el agrietamiento del concreto o pérdida de rigidez y pérdida de resistencia), resultando:

{ } { } { } { } [ ]{ } { } { }dpdpvc MF φ+φ+=φ+φ+φ=φ (2.45) Para obtener la ley de estado de un elemento elastoplástico degradable es necesario definir la forma de obtener las deformaciones generalizadas debido al daño {φd }. Según la teoría de daño continuo para modelar el proceso de degradación mecánica del material y su comportamiento resultante, se introduce una variable (daño) que toma valores entre cero y uno. El daño en ese caso mide la densidad relativa de los microdefectos en el material. Tomando este concepto, en el modelo de pórticos elastoplástico degradable, se


considera el conjunto de variables de daño {D}t = {di,dj,dn}, las cuales representan el daño por flexión en la rótula i y en la rótula j y el daño axial del miembro respectivamente. Flórez-López [2], postula que las deformaciones debido al daño son:

{ } [ ]{ }MC )D(d =φ (2.46)

Donde:

[C(D)] es la matriz diagonal de flexibilidad de las rotulas inelásticas. {M} son los esfuerzos generalizados del miembro.

[ ]

−

−

−

=

o33

n

n

o22

j

j

o11

i

i

)D(

Fd1

d.0.0

.0Fd1

d.0

.0.0Fd1

d

C (2.47)

Sustituyendo la expresión (2.46) en (2.45) se tiene:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } [ ] [ ][ ]{ }MCFMCMF )D(p

)D(p0 +=φ−φ⇔+φ+=φ (2.48)

Definiendo [F(D)] = [F0] + [C(D)] como la matriz de flexibilidad de un miembro elastoplástico degradable y a su inversa como la matriz de rigidez del mismo ([S(D)]=[F(D)]-1), se consigue la siguiente ley de estado para el miembro:

{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }p)D()D(

p SMMF φ−φ=⇔=φ−φ (2.49) En el caso de pequeñas deformaciones y para un miembro de sección transversal constante A, Inercia I, módulo de elasticidad E y longitud L, la matriz de flexibilidad [F(D)] y de rigidez [S(D)] se escriben como:


[ ]

[ ]

−

−

−−

−

−−−

−−

−

−−

=

−

−−

−−

=

LAE)d1(.0.0

.0LEI4

dd4)d4)(d1(

LEI2

dd4)d1)(d1(4

.0LEI2

dd4)d1)(d1(4

LEI4

dd4)d4)(d1(

S

)d1(EAL.0.0

.0)d1(EI3

LEI6L

.0EI6L

)d1(EI3L

F

n

ji

ij

ji

ji

ji

ji

ji

ji

)D(

n

j

i

)D(

(2.50)

Por otro lado, se demuestra que las deformaciones generalizadas {φ - φp} y los esfuerzos generalizados {M} pueden deducirse tomando como base la energía complementaria U* del miembro y la energía de deformación U del miembro. La energía complementaria de un miembro elastoplástico degradable (U*) se expresa como la suma de la energía complementaria de la viga-columna elástica (U*

vc) más la energía complementaria de las rotulas inelásticas (U*

r). Si se consideran pequeñas deformaciones, la energía de deformación del miembro (U) debido al aporte de la viga-columna elástica más el aporte de las rótulas inelásticas, se puede formular como se indica en la expresión 2.51 c.

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }MCMMFMUUU )D(t

21t

21*

r*vc

* +=+= (2.51 a)

{ } [ ]{ }MFMU )D(t

21* = (2.51 b)

{ } [ ]{ }p)D(

tp S21U φ−φφ−φ= (2.51 c)

Según la teoría clásica de la mecánica de la fractura y el daño continuo, las fuerzas que producen daño {G} pueden interpretarse como las fuerzas termodinámicas asociadas a las variables internas daño {D}. Estas fuerzas se definen como la derivada de la energía de deformación complementaria con respecto al daño:


{ }

−

−

−

=

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

=

2

n

o33

2

j

jo22

2

i

io

11

n

*

j

*i

*

*

)d1(N

2F

)d1(m

2F

)d1(m

2F

dU

dU

dU

DUG (2.52)

Al ingresar las nuevas variables internas tales como el daño {D} y las deformaciones plásticas {φp}, se debe introducir nuevas ecuaciones denominadas leyes de evolución de las variables internas, logrando con estas leyes y la ecuación (2.49) definir por completo la ley de comportamiento. Las leyes de evolución se expresaran con ayuda de las funciones de fluencia (f) y de daño (g) para cada rótula inelástica. Dichas funciones dependen de las tazas de disipación ({M} y {G}) y las variables internas ({φp} y {D}). Las funciones de fluencia se obtienen en base a la hipótesis de equivalencia en deformaciones, la cual consiste en admitir que el comportamiento del material dañado es igual al de un material intacto siempre y cuando se sustituya el esfuerzo por el esfuerzo efectivo [2]. En elementos de concreto armado de sección transversal constante sometidos a flexión y despreciando los efectos axiales, se proponen las funciones de fluencia (f) y daño (g) siguientes:

−−

+−=

−−−

=

)d1()d1ln(qGGg

MXd1

Mf

cr

y

(2.53)

En donde la función de fluencia presenta un término de endurecimiento cinemático (X). Este término de endurecimiento será función de las características del elemento y de las variables internas (deformaciones plásticas). De una manera empírica se puede expresar el término de endurecimiento X de la siguiente forma:

pcX φ= (2.54) Donde “c” y “My” son constantes que caracterizan al miembro. En las funciones del daño, el termino G representa la fuerza termodinámica asociada al daño, “Gcr” y “q” son constantes que caracterizan al miembro. Razonando los límites de la plasticidad, es decir las funciones de fluencia, se tienen las siguientes leyes de evolución para las deformaciones plásticas en cada rótula:


==≠φ<<=φ

==≠φ<<=φ

0dfy0fsi0dActiva dPlasticida0dfó0fsi0dInactiva dPlasticida

jRotula

0dfy0fsi0dActiva dPlasticida0dfó0fsi0dInactiva dPlasticida

iRotula

jjpj

jjpj

iipi

iipi

(2.55)

La propagación del daño (aumento en los valores del daño) se garantiza, usando el criterio de Griffith, cuando la tasa de disipación de energía (G) se hace igual a el valor crítico (Gcr +(q/(1-d))*Ln(1-d)) denominado “la resistencia del agrietamiento”. Las leyes de Evolución del daño en cada rotula se escriben como:

==≠<<=

==≠<<=

0dgy0gsi0ddcuandodañoExiste0dgó0gsi0ddcuandodañohayNo

jRotula

0dgy0gsi0ddcuandodañoExiste0dgó0gsi0ddcuandodañohayNo

iRotula

jjj

jjj

iii

iii

(2.56)

2.7.1.1 Obtención de los parámetros del modelo simplificado de daño [28]. Los parámetros “c”, “My”, “Gcr” y “q” no tienen una interpretación física, sin embargo pueden ser calculados mediante la resolución de un sistema de ecuaciones no lineales para condiciones limites. Estos parámetros son función de las propiedades del miembro, tales como el momento de agrietamiento, Mcr, el momento plástico, Mp, el momento último, Mu, y la deformación plástica última, φp

u. En el caso de cargas monotónicas el sistema a resolver es el siguiente:

)d()c()b()a(

.0fy.0g,MMSi.0gy0dMMMSi

.0fy.0g,0MMSi.0gy.0dMMSi

pu

pu

u

pp

cr

==φ=φ⇒===⇒=

===φ⇒===⇒=

(2.57)

2.7.1.1.1 Constante “Gcr” del modelo de daño simplificado. Para determinar Gcr, se usa la función de daño “g” y la condición de borde dada en 2.57(a), la cual indica que el miembro todavía no se ha dañado pero inicia el proceso de daño, d = 0 y g = 0.

2

2o

crcr )d1(2MFG)52.2(resiónexplasegún,GG

)d1()d1ln(qGG.0g

−==⇒

−−

−−==

Sustituyendo M = Mcr y d = 0 se obtiene el siguiente valor de Gcr:


2MF

G2cr

o

cr = (2.58)

2.7.1.1.2 Constante “q” del modelo de daño simplificado. El parámetro q se consigue mediante la condición de borde dada en 2.57(c), la cual indica que existe un valor de daño igual al daño último (d = du) la función de daño “g” es cero (g = 0). Se Despeja el valor de la tasa de disipación de energía, G, quedando:

2

2o

crcr )d1(2MF

)d1()d1ln(qGG0

)d1()d1ln(qGGg

−=

−−

+=⇒=−−

−−= (2.59)

Subsiguientemente se derivara implícitamente respecto al daño la expresión obtenida para “G”, y se sustituye dM = 0, quedando:

[ ] 0q)d1ln(q)d1(G22

dMMF2cr

o

=+−−−−= (2.60)

Aplicando las condiciones de borde M = Mu y d = du, en las expresiones (2.59) y (2.60) finalmente se plantea un sistema de ecuaciones para obtener el valor del daño último (du) y el parámetro “q”, dicho sistema se formula en (2.61):

[ ]

−=

−−

+

=+−−−−

2u

2u

o

u

ucr

uucr

)d1(2MF

)d1()d1ln(

qG

01)d1ln(q)d1(G2 (2.61)

2.7.1.1.3 Constante “My” del modelo de daño simplificado. Debido a que existe daño en el miembro, se sigue cumpliendo que g = 0; ahora si se considera el instante donde comienza la plasticidad (f = 0) y se sustituye M = Mp, φp = 0, d = dp en las ecuaciones (2.53), resulta un sistema de ecuaciones no lineal, dicho sistema se obtiene usando la condición de borde 2.57(b) como se muestra continuación:

)d1(MpMy

MMydd,0si

0M)d1(c)d1(Mf

.0)d1()d1ln(qGGg

p

ppp

yp

cr

−=

⇒===φ

=−−φ−−=

=−−

−−=

(2.62 a)

)d1()d1ln(

qG)d1(2

MFG

p

pcr2

p

2p

o

−−

+=−

= (2.62 b)


Al resolver el sistema definido por (2.62 a) y (2.62 b), se obtendrán los valores del parámetro “My” y del daño “dp”. 2.7.1.1.4 Constante “c” del modelo de daño simplificado. El parámetro “c” se obtiene haciendo cumplir la condición de borde 2.54 (d), en la cual existe deformación plástica y daño último. De la expresión (2.50) se despeja el valor de “c” haciendo cumplir la plasticidad f = 0, luego se sustituye M = Mu, φp = φu

p , resultando:

pu

u

u

yp

My)d1(

M

c

.0M)d1(c)d1(Mf

φ

−−

=

=−−φ−−=

(2.63)

La teoría del daño simplificado permite obtener resultados satisfactorios en simulaciones de pórticos planos bajo solicitaciones monotónicas. Sin embrago, una estructura en su vida útil podrá estar sometida a cargas cíclicas, razón por la cual no es conviene usar el modelo simplificado debido a que dicho modelo no puede representar el comportamiento histerético del daño ni la fatiga de bajo ciclaje. Razón por la cual se debe modificar el modelo simplificado para lograr representar tales efectos. La fatiga de bajo ciclaje es debida a que el incremento del daño puede ocurrir durante fases de carga aún cuando el valor del desplazamiento máximo se haya alcanzado en el primer ciclo de carga. A continuación se define en un modelo de daño concentrado que solventa las limitaciones del modelo simplificado.

2.8 MODELO HISTERÉTICO ELASTOPLÁSTICO DEGRADABLE CON FATIGA DE BAJO CICLAJE [29]. Basándose en el modelo de daño concentrado, se plantea un nuevo modelo, en el cual se incorporan los efectos histerético del daño y la fatiga de bajo ciclaje [12]. Este nuevo modelo es denominado Modelo Histerético de Daño con Fatiga de Bajo Ciclaje (MDC). En el caso histerético de daño se consideran secciones asimétricas de concreto armado (cantidades diferentes de acero superior e inferior), razón por la que existirán propiedades positivas y negativas. Para considerar el efecto variable del daño, se admiten tanto las variables de daño por flexión debido a las acciones positivas ({D+} = {di

+ , dj+}) como las

debido a las acciones negativas ({D-} = {di- , dj

-}), ver figura 2.16.


Figura 2.16. Representación del estado de daño de un miembro de concreto armado, bajo las acciones positivas a flexión.

Si un parámetro de daño por flexión toma un valor de cero, entonces el modelo representa en los extremos una unión rígida (no hay deterioro del material). Si toma un valor de uno, el modelo representa en los extremos el comportamiento de una articulación interna en el pórtico elástico. La evolución del daño por flexión debido a acciones positivas, no tienen ninguna influencia sobre el comportamiento del miembro bajo acciones negativas. En miembros de concreto armado este tipo de comportamiento puede justificarse como consecuencia del cierre de grietas cuando la carga cambia de signo.

2.8.1 Ley de comportamiento para el modelo histerético elastoplástico degradable con fatiga de bajo ciclaje. Para definir la ley de comportamiento en este caso, es necesario modificar la ley de estado, los términos de endurecimiento, las funciones de fluencia así como las leyes de evolución del daño del modelo de daño concentrado, definido anteriormente. Considerando la posibilidad de cargas reversibles (positivas y negativas), la energía de deformación complementaria de un miembro elastoplástico degradable puede expresarse:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }−−++

−−−−++++

−+

−+

+=

+++=

MFM21MFM

21U

MCM21MFM

21MCM

21MFM

21U

)D(

t

)D(

t*

)D(

tot

)D(

tot*

(2.64)

<≥

=+

0M si 00M si M

M y

≥<

=−

0M si 00M si M

M

{ }

φ∂∂= UM (2.65)

Mi > 0

Mj > 0

di- = 0

di+ > 0

dj+ > 0

dj- = 0


Donde: [F(D+)] = [Fo] + [C(D+)] define la matriz de flexibilidad de un miembro dañado bajo las acciones positivas, [F(D-)] = [Fo] + [C(D-)] es la matriz de flexibilidad de un miembro dañado bajo las acciones negativas, {M+} define el vector de esfuerzos generalizados debido a las acciones positivas, y {M-} define el vector de esfuerzos generalizados debido a las acciones negativas.

2.8.1.1 Ley de estado del modelo histerético degradable. Al derivar la energía de deformación complementaria de un miembro histerético degradable (expresión (2.64)) respecto a los esfuerzos generalizados, se obtiene la ley de estado del modelo histerético, como se expresa en (2.66):

{ } { } [ ]{ } [ ]{ }−+−+ +=

∂∂

=φ−φ MFMFMU

)D()D(

*p (2.66)

2.8.1.2 Fuerzas termodinámicas asociadas al daño. En el modelo histerético para pórticos planos, se establece que para cada término de daño (di

+,di-,dj

+,dj-) existe una fuerza termodinámica asociada al mismo, lo que permite decir que

se tiene un total de cuatro fuerzas termodinámicas asociadas al daño (Gi+, Gi

-, Gj+, Gj

-). Dichas fuerzas representan la taza de disipación de la energía de deformación complementaria del miembro respecto al daño. A continuación se formulan dichas fuerzas:

{ }

{ }

−

−

=

=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

−=

−

−

=

=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

−=

−

−

−

−

−

−

−

−

−−

+

+

+

+

+

+

+

+

++

2

j

jo22

2

i

io

11

j

i

j

*i

*

*

2

j

jo22

2

i

io

11

j

i

j

*i

*

*

d1m

2F

d1m

2F

G

G

dU

dU

DUG

d1m

2F

d1m

2F

G

G

dU

dU

DUG

(2.67)

En el nuevo modelo de daño que se describe (MDC), se deben cumplir las siguientes condiciones de admisibilidad de acuerdo a los principios de la termodinámica:


0dd0dd0d)XX()d1)(d1(

m2

0dd0dd0d)XX()d1)(d1(

m2

jipjjj

jj

j

jipiii

ii

i

>>≥φ

+−

−−

>>≥φ

+−

−−

−−−+−+

++−+−+

(2.68)

2.8.1.3 Leyes de evolución de las variables internas. En el nuevo modelo, MDC, las variables internas siguen siendo las deformaciones plásticas y las deformaciones debido al daño, como en el modelo del daño descrito en la sección 2.7.1. 2.8.1.3.1 Leyes de evolución de la plasticidad. Las leyes de evolución de la plasticidad en el modelo MDC son similares a las empleadas en el modelo de daño concentrado monotónico. Sólo existe discrepancia en las funciones de fluencia, ya que en ellas se modifican los términos de endurecimiento (X, R) para tomar en cuenta el comportamiento histerético. Ahora la función de fluencia de las rótulas i y j del miembro tienen dos expresiones, una para las acciones positivas y otra para las acciones negativas. Las funciones de plasticidad en cada articulación son:

−+−

−=

−−−

=

−+−

−=

−−−

=

−−−

−−

+++

++

−−−

−−

+++

++

jjj

jj

jjj

jj

iii

ii

iii

ii

RXd

mf

RXd

mf

jRotulaRX

dm

f

RXd

mf

iRotula

)1(

)1(

)1(

)1( (2.69)

Donde:

Xi+, Xi

-, Xj+, Xj

-son los términos de endurecimiento cinemático en la rotula i y j , bajo las acciones positivas y negativas, respectivamente.

Ri+, Ri

-, Rj+, Rj

-son los términos de endurecimiento isótropo en la rotula i y j , bajo las acciones positivas y negativas, respectivamente. Las funciones de “X” y “R”, positivo y negativo en cada rótula del elemento, se escriben como:

φα=φα=

φα=φα=

−−−

+++

−−−

+++

pjjjj

pjjjj

piiii

piiii

cXcX

jRotulacXcX

iRotula (2.70)

+β=

+β=

+β=

+β=−−−−

++++

−−−−

++++

jyjjjj

jyjjjj

iyiiii

iyiiii

MpcR

MpcRjRotula

MpcRMpcR

iRotula (2.71)


Donde: “α”, “c”, “β” y “My” son constantes que caracterizan al miembro en ese instante, y corresponden a los nudos “i” y “j”del miembro bajo el signo de las acciones (positivo o negativo), y “p” define la máxima deformación plástica alcanzada en cada rótula, se considera como un valor absoluto.

Los términos “α” y “β”son siempre valores positivos en el intervalo comprendido entre cero y uno (0,1) y se relacionan mediante la siguiente expresión: α + β = 1. Dichos términos (α y β) pueden ser interpretados como el porcentaje de la contribución del endurecimiento cinemático e isotrópo, respectivamente, al endurecimiento que depende de las deformaciones plásticas del modelo MDC. Durante el análisis los valores “α” y “β” se consideran constantes. Se recomienda que en estructuras de concreto armado se tome valores de α entre 0.80 a 0.95. 2.8.1.3.2 Leyes de evolución del daño [12, 30]. Las leyes de evolución del daño no son iguales a las del modelo anterior, ya que se deben modificar para tomar en cuenta la fatiga de bajo ciclaje. Sin embargo las nuevas leyes representan el caso monotónico, como un caso particular. Las leyes de evolución del daño, en el modelo MDC, se definen como funciones de daño independientes tanto para las acciones positivas como las negativas en cada rótula, i y j. Las leyes de evolución del daño bajo acciones positivas, se formulan como:

<=

≥

∂

∂

=

<=

≥

∂∂

=

+•+

+

+

++

+•+

•+

+•+

+

+

++

+•+

•+

+

+

+

+

crjj

crj

j

jzj

zj

jj

crii

cri

i

izi

zi

ii

GGsi.0d

GGsi

dR

)R(

)G(Gd

jRotula

GGsi.0d

GGsi

dR)R(

)G(GdiRotula (2.72)

Las leyes de evolución del daño bajo acciones negativas, se formulan como:

<=

≥

∂

∂

=

<=

≥

∂∂

=

−•−

−

−

−−

−•−

•−

−•−

−

−

−−

−•−

•−

−

−

−

−

crjj

crj

j

jzj

zj

jj

crij

cri

i

izj

zi

ii

GGsi.0d

GGsi

dR

)R(

)G(Gd

jRotula

GGsi.0d

GGsi

dR)R(

)G(Gd

iRotula (2.73)

Donde:

* Los términos “Gi+”, “Gi

-”, “Gj+”, “Gj

-” representan las fuerzas termodinámicas asociadas al daño positivo y negativo en las rotulas i y j respectivamente, definidas en la expresión (2.64).


* Los términos “Ri+”, “Ri

-”, “Rj+”, “Rj

-” definen la resistencia al agrietamiento para la parte positiva y negativa en las rótulas i y j respectivamente, formuladas en (2.68). * Los parámetros “z+” y “z-” controlan el incremento del daño por fatiga de bajo ciclaje en cada ciclo de carga. Estos parámetros son función del daño, mediante una relación cuadrática [12]. El valor de “z” disminuye al aumentar el daño y varía entre el intervalo de cero a treinta (0 ≤ Z ≤30). Para obtener el valor del parámetro se evalúa la siguiente expresión:

)30a(a,)1du(du

)1du(305.2a:donde,30dadaz o1o12

o +−=−

−+=++=

En la cual, “d” representa el daño en instante considerado y “du”define el daño último. * Los términos “Gcr” son los mismos parámetros definidos en el modelo anterior, pero calculados para acciones positivas y negativas en cada rótula.

En las nuevas leyes de evolución del daño se considera que el incremento del daño puede ocurrir durante las fases de carga aún cuando el valor del desplazamiento máximo se halla alcanzado en el primer ciclo de carga, además se toma en cuenta que el incremento del daño es nulo durante las descargas elásticas. El modelo de daño concentrado con fatiga de bajo ciclaje, queda finalmente definido mediante las ecuaciones de cinemática (2.23) o (2.26), dependiendo si existen grandes o pequeños desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio (2.36) ó (2.37), análisis dinámico o estático, la ley de estado (2.66) las leyes de evolución de plasticidad (2.55) en las cuales se considera “fi” y “fj”como el mayor valor entre las función de fluencia dadas en (2.69), respectivamente; las leyes de evolución del daño (2.72) y (2.73). La solución matemática del problema se detallará en la sección siguiente.

2.9 IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO DE DAÑO CONCENTRADO, MDC [31]. La solución matemática del modelo de daño concentrado con fatiga de bajo ciclaje se describirá en esta sección. El modelo propuesto en la sección anterior, es implementado como un elemento finito nuevo en un programa comercial de elementos finitos, llamado ABAQUS y en el PROCESADOR desarrollado en el portal de pórticos. La implementación del modelo puede ser utilizada en cualquier otro programa comercial, siempre y cuando permita realizar un análisis no lineal y el uso de elementos definidos por el usuario. El implementar el modelo permite el análisis de estructuras aporticadas bajo acciones histeréticas o acciones sísmicas, y así obtener el comportamiento de la estructura analizar. Para realizar el análisis de una estructura aporticada de concreto armado se debe dividir el problema en dos partes, un Problema Global y un Problema Local para cada elemento del pórtico. El primero se resuelve mediante un programa de elementos finitos (ABAQUS ó


Procesador del PDP). El problema global consiste en la resolución numérica del sistema de ecuaciones de equilibrio de los nodos para obtener los desplazamientos de la estructura { }X . El segundo problema es resuelto mediante el programa MDC, basado por el modelo desarrollado por Marante [20] y modificado en este trabajo para considerar el caso de pórticos planos y la fatiga de bajo ciclaje. El modelo MDC se puede acoplar a cualquier programa comercial de elementos finitos y es desarrollado para hacer análisis estáticos y dinámicos del modelo histerético de daños y fatiga de bajo ciclaje. ABAQUS es un programa que permite agregar nuevos modelos de elementos finitos a su librería y procesa tanto la entrada de datos como la resolución de la estructura por el método paso a paso y la salida de datos. La resolución del problema local es realizada por un programa desarrollado en el lenguaje de programación FORTRAN 77, el cual calcula las deformaciones, fuerzas internas, esfuerzos, variables internas y el jacobiano local en coordenadas globales de la contribución de cada miembro. La resolución numérica de este análisis se plantea de tal manera que a partir de los datos del problema se determinen los desplazamientos, deformaciones y esfuerzos generalizados, variables y fuerzas internas. Dicha resolución se divide en dos problemas, como se mencionó anteriormente, problema global y problema local. En el análisis de la estructura implica la resolución numérica de un sistema de ecuaciones no lineales, en cada incremento de tiempo, mediante la solución de un problema global y “m” problemas locales, siendo “m” el número total de miembros de la estructura. El la tabla 2.1 se sintetiza los datos del problema, las variables a determinar y ecuaciones a resolver. Cuando se considera el comportamiento del material no lineal es necesario utilizar un método de resolución paso a paso. En estos métodos, se discretiza el intervalo de tiempo en el cual se analiza la estructura, en pequeños pasos, se calculan las incógnitas en los pasos escogidos y se supone en cada uno de ellos un comportamiento lineal de la estructura, por lo tanto se deben discretizar las ecuaciones a verificar. Datos del problema Variables a determinar Ecuaciones a verificar Geometría de la estructura:

coordenadas de los nodos,

restricciones de los apoyos.

Características de los miembros de la estructura:

ceros

Desplazamientos:

{ } { }{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }t

jti

t

tn

tj

ti

t

321ti

U;Uq

U;U;UX

U;U;UU

=

=

=

L

Velocidades:

{ } { }{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }t

j

t

it

t

n

t

j

t

i

t

321

t

i

U;Uq

U;U;UX

U;U;UU

&&&

&L&&&

&&&&

=

=

=

Aceleraciones:

{ } { }{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }t

j

t

it

t

n

t

j

t

i

t

321

t

i

U;Uq

U;U;UX

U;U;UU

&&&&&&

&&L&&&&&&

&&&&&&&&

=

=

=

Ecuaciones de cinemática: Pequeños desplazamientos

{ } [ ]{ }qB=φ Grandes desplazamientos,

representadas en la ecuaciones (2.26).

Ecuaciones de equilibrio de la estructura:

Caso dinámico (2.36):

{ } [ ] ( ){ } ( ){ } 0tPtqmQn

1b

n

1bb =−+∑ ∑

= =

&&

Caso estático (2.37):

[ ] { } { }PMBn

1bb

t∑=

=

Ecuaciones de equilibrio del miembro:


numéricos, masa, coeficientes del

modelo. Historia de carga y/o desplazamientos aplicados en los nodos en un intervalo de tiempo.

Deformaciones en los miembros: { } { }δφφ=φ ;; ji

t Esfuerzos internos en los miembros: { } { }n,m;mM ji

t = Variables internas: daños y plasticidad: { } { }{ } { }{ } { }p

jpi

tp

ji

t

ji

t

;

d;dD

d;dD

φφ=φ

=

=−−−

+++

Fuerzas Internas: { } { }6321

t Q;Q;Q;QQ L=

Grandes desplazamiento. { } ( )[ ] { }b

t MqBQ = Pequeños desplazamientos.

{ } [ ] { }bt MBoQ =

Ley de comportamiento: Ley de Estado,

representada en la ecuación (2.66).

Leyes de Evolución de la plasticidad y de los daños, presentadas en las ecuaciones (2.69), (2.72) y (2.73) respectivamente.

Condiciones de admisibilidad termodinámicas, para verificar si las variables internas (plasticidad y daños) están activas o no.

Tabla 2.1 Cuadro resumen de los datos del problema, variables a determinar y ecuaciones a resolver.

2.9.1 Descripción Problema Global. Para determinar los desplazamientos nodales de la estructura { }X , la ecuación de equilibrio se discretizada de la forma siguiente:

( ){ } { } [ ] ( ){ } { }∑∑==

=−+=n

1bb

n

1bb 0PXqmQxL && .Representándose asimismo un análisis no lineal,

el cual debe ser resuelto por un método iterativo, por ejemplo el método de Newton, donde cada iteración “i” consiste en resolver el siguiente problema lineal:

( ){ } ( ){ } { } { }( ) 0XXXLxLxL 1ii

1i1ii =−

∂∂

+≅ −−

− , donde el Jacobiano del problema Global se

define por: [ ]

∂∂

+

∂∂

−=

∂∂ ∑∑

== −− 4434421

&&

43421Inercial. Jacobiano

n

1bb

globales scoordenadaen Local Jacobiano

n

1b 1i1i Xqm

XQ

XL . El vector { } 1iX − contiene

los desplazamientos generalizados de la estructura calculados en la iteración anterior a la “i”. Los términos que definen el Jacobiano del problema Global son determinados en el Problema Local y transferidos al problema Global para el análisis de la estructura. La implementación del modelo en ABAQUS se realiza creando un elemento finito (MDC) y añadiéndolo a su librería por medio de una subrutina llamada UEL. Este programa puede realizar análisis lineal o no lineal. La subrutina UEL es utilizada cada vez que ABAQUS necesite información de los elementos. En ella debe estar definida la contribución de cada elemento en la estructura. ABAQUS al llamar a UEL, le provee de las variables de los nodos que correspondan al elemento en el paso actual del análisis, como los


desplazamientos, las velocidades y aceleraciones de los nodos de la estructura. Existe un intercambio de datos controlados que dependen del tipo de elemento y de su contribución en la estructura como el vector residual, el jacobiano local en coordenadas globales, variables asociadas al elemento. Esto sirve para que ABAQUS determine los nuevos desplazamientos de los nodos de la estructura para el siguiente paso como se observa en el flujograma 2.1.

Flujograma 2.1.Esquema general del problema.

El intercambio frecuente de datos entre ABAQUS y MDC requiere de dos subrutinas, una que interpreta las variables de ABAQUS para que puedan ser leídas por MDC y la otra para hacer la interpretación inversa. La primera subrutina se llama TRAD_ABAQUS_MDC, y la segunda subrutina se llama TRAD_MDC_ABAQUS. Esto se hace con el propósito de obtener un programa general MDC, que implemente el elemento finito acoplándose a cualquier programa comercial de elementos finitos no lineal, y que las únicas modificaciones necesarias sean en estas dos subrutinas, como se muestra en el flujograma 2.1. La solución del problema global de la estructura realizada por ABAQUS ó el PROCESADOR, integra el problema dinámico mediante el siguiente sistema de ecuaciones (2.74), el cual es a su vez resuelto por el método iterativo de Newton:

( ) ( ){ } { } [ ] ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } .0LPP1qmQQ1 tttttttttt =+α+α+−+α−α+ ∆+∆+∆+∆+ && (2.74) La no linealidad del material hace que el algoritmo que resuelve la ecuación del movimiento a veces no converja sea continua en el paso seleccionado y por lo tanto sea necesario seleccionar un paso menor. La idea consiste, que en el paso escogido, el algoritmo define las velocidades y las aceleraciones al final de dicho paso con condiciones al inicio del mismo, suponiendo que las aceleraciones varían linealmente. Se obtendrá un equilibrio en el instante ( )tt ∆+ y por lo tanto se asegura un equilibrio y condiciones iniciales del próximo paso a analizar.

Problema Local

Traductor ABAQUS -MDC

Traductor MDC -ABAQUS

MDC

UEL (Elemento de usuario)

Programa Comercial de elementos

finitos (P.C.E.F.) no lineal

(ABAQUS ó PROCESADOR PDP)Problema Global

Interfaz para hacer un elemento finito compatible con cualquier P.C.E.F.


Si se usa el portal de pórticos para analizar una estructura, el usuario debe llenar la tabla mostrada en la figura 3.48 para asegurar que en el paso se logre el buen funcionamiento del procedimiento y la convergencia en el mismo.

2.9.2 Descripción del Problema Local. El problema local implica el cálculo numérico de las deformaciones totales, las fuerzas internas, variables internas, el jacobiano local en coordenadas globales, el jacobiano inercial en función de los desplazamientos de los miembros y las fuerzas residuales al final del paso, a través del algoritmo llamado “MDC”. Este algoritmo se basa en determinar estas variables para cada iteración. MDC consiste básicamente en ocho subrutinas (ver flujograma 2.2). Cada una de ellas se describirá brevemente con ayuda de flujogramas. Las subrutinas que conforman MDC son:

1. Cálculo del vector de deformaciones totales al final del paso (DEF1). 2. Lazo para la gestión del paso local, en el cual se desarrollan:

a. Cálculo de las deformaciones intermedias para la gestión del paso local. b. Cálculo de los coeficientes del modelo para el elemento en función de la

carga axial (CAL_PROP). c. Cálculo de los esfuerzos y variables internas (DEG). d. Cálculo de los esfuerzos, las variables internas y fuerzas termodinámicas al

final del paso (ESFUERZO). e. Gestión del paso local (CAMBIO_DE_PASO)

3. Cálculo de Las fuerzas residuales internas (CAL_RESIDU) 4. Cálculo del jacobiano local e inercial (CAL_JACOB). 5. Cálculo de la matriz de masa (CAL_MASA).


Flujograma 2.2. MDC.

Comienzo MDC

Calculo de las deformaciones

Totales cal_def1

Fin MDC

Calculo de las deformaciones intermedias

Calculo de los Esfuerzos, Variables Internas y Fuerzas termodinámicas

esfuerzo

Gestión del paso local.

cambio_de_paso

Fuerzas Residuales internas. cal_residu

No convergencia ó α=1.0

Jacobiano Global. cal_Jacob

masa cal_masa

α=1.0 convergencia = falsa

Calculo de los coeficientes del modelo

cal_prop (c, q, My,Gcr)


2.9.2.1 Solución numérica del problema local. La determinación de las fuerzas internas y el jacobiano global se obtienen siguiendo el procedimiento dado en el flujograma 2.2, el cual se explica a continuación: Primero se calculan las deformaciones generalizadas a partir de los desplazamientos generalizados, obtenidos en la iteración anterior. Esto se lleva a cabo mediante la subrutina cal_def1. Las deformaciones generalizadas pueden ser obtenidas a partir de los desplazamientos generalizados empleando las ecuaciones de cinemática, en pequeños o grandes desplazamientos; es decir usando las ecuaciones (2.23) ó (2.26) respectivamente, ver flujograma 2.3 Posteriormente, se realizar un lazo para la gestión del paso local, en la cual se determinarán tanto las variables internas activas y pasivas como los esfuerzos generalizados en el paso considerado. Seguidamente, se procede a calcular tanto las fuerzas residuales internas como el jacobiano global con los esfuerzos y variables internas correctas en el paso, como se expresó en el flujograma 2.2.

Flujograma 2.3. Subrutina cal_def1 En el lazo para la gestión de paso, se procede siguiendo cuatro etapas: En la primera etapa, se calculan las deformaciones intermedias para la gestión del paso local. Segundo, con la subrutina cal_prop se determinan las constantes del modelo (c, q, My, Gcr), que son consideradas no variables en el intervalo de tiempo de análisis, pero sí varían de acuerdo al valor de la carga axial, en el análisis de toda la estructura. Estos coeficientes a su vez dependen de otros parámetros tales como: el momento de agrietamiento (Mcr), momento plástico o de fluencia (Mp), momento último (Mu) y la deformación plástica última (fpu).

Comienzo cal_def1

Matriz de transformación [ ] B o

Pequeños desplazamientos

{ } [ ] { } q t

o B = φ

{ } ( )( )

− − + − +

=

=

o o o

j

i

L q L q q q q

) ( ) ( ) (

6 3

θ θ θ θ

δ

φ φ

φ

Fin cal_def1

si no


Los valores de (Mcr, MP, Mu y fpu) son función de las propiedades geométricas de la sección y de las características del material, y son determinados de acuerdo a la teoría clásica de concreto armado para secciones sometidas a flexo-compresión. De esta manera es posible obtener curvas de interacción carga axial-momento flector, que permiten representar el comportamiento de la sección transversal de cada miembro de la estructura para diferentes niveles de cargas axiales. Estos diagramas de interacción son calculados a través de un algoritmo desarrollado por María Elena Perdomo [11] y modificado en este trabajo he implementado en un programa llamado GENERADOR. Los coeficientes del modelo (c, q, My, Gcr) son determinados aplicando el procedimiento dado en la sección 2.7.1.1, para diferentes niveles de carga axial. En este trabajo se desarrolló otro programa en el lenguaje FORTRAN 77 que permite generar diagramas de interacción de los coeficientes del modelo para diferentes niveles de carga axial en cada elemento de la estructura, el cual se llama GENERADOR_2. Este programa interactúa con el portal de pórticos para generar las propiedades (diagramas de interacción de los coeficientes inelásticos del modelo) de cada elemento y escribirlas en el archivo de datos del pórtico a analizar (archivo con extensión .INP). El archivo .INP contendrá tanto las coordenadas de los nodos que definen el pórtico, como la definición, propiedades de los elementos del pórtico y las solicitaciones a las que se someterá la estructura a analizar. Cálculo de los coeficientes inelásticos. El proceso para determinar los coeficientes en un instante de tiempo del análisis, es el siguiente:

Se determinar el nivel de carga axial “N”, a partir de las deformaciones { } { }δφφ=φ ,, ji

t del miembro en el paso considerado. Ya que “δ ” representa el alargamiento o acortamiento de la cuerda del miembro, y conociendo el

comportamiento del material se obtiene que: ( )qL

AEN δ= .

Con el valor de la carga axial “N” se determinan las constantes del modelo histerético de daño y fatiga de bajo ciclaje c, q, My, Gcr. Esto se realiza mediante la interpolación para el nivel de carga axial “N” en los diagramas de interacción de los coeficientes inelásticos del modelo (c, q, My, Gcr) en el instante de tiempo a estudiar, ver flujograma 2.4.


Flujograma 2.4. Subrutina cal_prop.

En la tercera etapa del lazo para la gestión del paso local, se determinan los esfuerzos generalizados y de las variables internas. Esta fase se realiza con ayuda de la subrutina esfuerzo, ver flujograma 2.5. La determinación de los esfuerzos generalizados, en función de las deformaciones, se realiza a través de la Ley de comportamiento, y consiste en resolver un sistema de ecuaciones donde las únicas incógnitas son los esfuerzos generalizados { }M y las variables internas{ } [ ] [ ]−+φ D;D;p . Esta Ley de Comportamiento formada por la Ley de Estado (ecuación 2.66) y las Leyes de Evolución (ecuaciones 2.69, 2.72 y 2.73) conforman un sistema de ecuaciones, el cual se representa:

{ }

{ } { } [ ] [ ] { }( )

{ } { } [ ] [ ] { }( )

{ } [ ] [ ] { }( ){ }0

,D,D,G

,D,D,,MT

,D,D,,MR

RTG

p

p

p

=

φφ

φφ

φφ

=

−+

−+

−+

(2.75)

Donde:

{ }R es la ley de estado, en función de los esfuerzos { }M , las deformaciones { }φ , y las variables internas del modelo{ } { }−−++φφ= jiji

pj

pi

t d,d,d,d,,vint_var , como se especificó en la ecuación 2.64. { }T representan las leyes de evolución de las variables internas { } [ ] [ ]( )−+φ D,D,p del miembro, como se explicó en las ecuaciones (2.55), (2.72) y (2.73). Para el procedimiento numérico se escriben de la siguiente manera: { } { } .6,,2,1kT,,T,TT k21

tLL =∀=

Comienzo cal_prop

Fin cal_prop

Calculo Fuerza Axial,

LEAn δ

=

Cálculo de los coeficientes del modelo

,g,m,q,c

,g,m,q,c

jcrjyjj

icriyii

±±±±

±±±±


En el que, kT corresponde a la ley de evolución de la variable interna “k” y se define como:

−=∆φ

= − Activa. esta No v varint_si)vint_varvint_var(vvarint_Activa. esta vvarint_si),vint_var,M(f

Tk

1ak

akk

kkkkk ,

donde: kf es una función de fluencia o de daño de la variable interna kvint_var ,

kvint_var∆ es el incremento de la variable interna “k” en el paso considerado. { }G representan las rotaciones plásticas máximas en el extremo “i” y “j” del miembro.

El sistema de ecuaciones antes mencionado, { } 0RTG = , es posible resolverlo aplicando el método de Newton, sin embargo surge el inconveniente de que no se conoce cuales variables internas están activas durante el paso en cuestión. Para resolver este inconveniente se empleó un algoritmo llamado “predictor-corrector-verificador”, el cual consiste en determinar los esfuerzos generalizados y las variables internas en tres etapas. La primera etapa se denomina “predicción elástica”; la segunda etapa “corrección inelástica” y la última etapa es la verificación.

Primera etapa: predicción elástica. En este primer paso se determinan los esfuerzos generalizados suponiendo que no hay incrementos en ninguna variable interna { } [ ] [ ]( )0DDp ===φ −+ . Los esfuerzos generalizados son encontrados por medio de

la ley de estado (ecuación 2.66) en el paso considerado. Esta predicción puede verificarse calculando las funciones inelásticas { }f con los esfuerzos generalizados encontrados.

Se pueden obtener dos posibilidades: una, que todas las funciones inelásticas sean negativas o nulas { }( )0f ≤ , esto significa que la predicción es correcta, en otras palabras, no hay incrementos de ninguna variable interna durante el paso y los esfuerzos generalizados calculados en la predicción son correctos. En este caso terminaría el cálculo de los esfuerzos al final del paso. La segunda posibilidad es cuando una o varias funciones inelásticas serán positivas { }( )0f > . Esto significa que la predicción no es correcta y que existe incremento en al menos una de las variables internas durante el paso. Se hace necesario pasar a la segunda etapa.

Segunda etapa: Corrección inelástica. Esta corrección consiste en recalcular los esfuerzos generalizados y las variables internas al final del paso, sabiendo que existen incrementos de al menos una variable interna del modelo. Se supondrán activas aquellas variables cuya función inelástica kf ha dado valores positivos durante la predicción inelástica, las restantes se supondrán pasivas. Esta etapa puede ahora ser resuelta por el método de Newton, obteniéndose los esfuerzos generalizados y los valores de las variables internas al final del paso (subrutina rfssedp). Se debe verificar si las variables internas activas supuestas lo son, y esto se hace en la tercera etapa.


Tercera etapa: Verificación. En esta última etapa se verifican las supuestas variables internas activas y pasivas en el incremento, que permitieron la corrección inelástica. Esta verificación se hace en dos fases:

En la primera fase, se calculan las funciones inelásticas de las variables internas que fueron supuestas pasivas en la corrección, con los nuevos valores obtenidos para las variables internas al final del paso (subrutina cal_rtg). Si alguna de estas funciones es positiva, entonces la variable interna que corresponde a esta función está activa durante el incremento, las hipótesis realizadas para la corrección son erradas y debe por lo tanto realizarse una nueva corrección inelástica. En la subrutina conver se verifica que las funciones inelásticas sean positivas y en consecuencia la convergencia. En la segunda fase, se calculan los términos de disipación de las desigualdades termodinámicas (dadas en la ecuación 2.68) asociadas a las variables internas que fueron supuestas activas durante la corrección. Esta fase se realiza en la subrutina verif. Al proceder paso a paso estas desigualdades se traducen como:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0XXd1d1

mj20XXd1d1

mi2

0dddi0dddi

1apja

pjjj

jj1a

pia

piii

ii

1aj

aj

1ai

ai

≥φ−φ

−−

−−≥φ−φ

−−

−−

≥−=∆≥−=∆

−−+

−+−−+

−+

−−

(2.76)

Si alguna de estas desigualdades no se cumple quiere decir que la variable interna asociada a la desigualdad en cuestión no está activa y las hipótesis en la etapa de corrección no son válidas por lo que debe realizarse otra corrección. Si al cumplir las dos fases de verificación no se produce cambio alguno en los estados de las variables internas entonces los valores obtenidos de los esfuerzos generalizados y de las variables internas son los correctos.

Al concluir las tres etapas quedan definidas cuales variables internas están activas y cuales pasivas en el paso que se está analizando y al mismo tiempo los esfuerzos generalizados en cada miembro de la estructura.

Determinación de las fuerzas termodinámicas asociadas a las variables internas ( )−−++

jiji d,d,d,d . Las fuerzas termodinámicas se calculan en la subrutina fterm, mediante las siguientes expresiones:

{ } ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

−−−−=

−

−

−

−

+

+

+

+

EIL

d

mEIL

d

mEIL

d

mEIL

d

mfterm

j

j

i

i

j

j

i

it

3*

12;

3*

12;

3*

12;

3*

12 2

2

2

2

2

2

2

2

(2.77)


Flujograma 2.5. Esfuerzo.

{r}: Ley de estado{t}: Ley de evolución de las variables internas {g} : Rotación plástica máxima

ite_cambio = ite_cambio + 1Convergencia = falsa i_ite=0 max_ite= param (4)

cambio = verdad

convergencia = falsa

Hipermatríz [ ] { } { }[ ] [ ]

φ∂

∂=

−+ D,D,MRTGH

p, cal_hiper

Solución del Sistema de Ecuaciones [ ]{ } { }RTGSDVH −=∆

(Método de Newton), rfssedp

Actualización de Esfuerzos y variables internas (SDV),

actualizacion

Ensamblaje {RTG}

Verificar Convergencia {RTG} = 0, conver

Contador ite= ite + 1

ite ≥ max_itesi

no

Chequeo de las ecuaciones de termodinámica, verif

Verificar variables internas activas f(i) > tol, activ

Calculo del Residual inicial RTG = {{r},{t},{g}}

ite_cambio = 0.

Max_ite_cambio = param(4)

No hay convergencia del problema local

(Retorna a cambio de paso)

ite_cambio ≥ Max_ite-cambio si

no Calculo de las fuerzas internas asociadas a las

variables internas, cal fterm

Comienzo esfuerzo

Fin esfuerzo


Calculo de las fuerzas internas y fuerzas residuales al final del paso. Las fuerzas internas se calculan a partir de los esfuerzos generalizados aplicando directamente las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones 2.36 ó 2.37) del miembro. En el caso dinámico es necesario calcular las fuerzas inerciales y sumarlas a las fuerzas internas para obtener la contribución del elemento en las fuerzas nodales de la estructura. En el modelo MDC, esté calculo se produce en la subrutina cal_residu, ver flujograma 2.6.

Flujograma 2.6. Cal_residu. Cálculo del jacobiano local en coordenadas globales. El jacobiano local en coordenadas globales en el modelo MDC se obtiene a través de la subrutina cal_jacob, ver flujograma 4.7. Esté jacobiano se puede determinar en dos procesos: en el primero, se calcula el

jacobiano local en coordenadas locales { }

φ∂

∂ M , y en el segundo proceso, se determina el

jacobiano local en coordenadas globales,

∂∂XL .

Cálculo del jacobiano local en coordenadas locales.

El jacobiano local en coordenadas locales se define como la derivada de los esfuerzos con

respecto a las deformaciones { }

φ∂

∂ M . Su cálculo se hace a partir de las deformaciones y

esfuerzos generalizados calculados previamente. Derivando { }RTG (ecuación 2.75) parcialmente con respecto a las deformaciones obtendremos el siguiente sistema de matrices:

Comienzo cal_residu

Cálculo fuerzas internas

{ } [ ] { }ata MBQ =

Análisis dinámico

Cálculo de las fuerzas inerciales

{ } [ ]{ }qmasainerc_f &&=

Cálculo de las fuerzas residuales

{ } { } ( ){ } { }1aa QQ1inerc_fresidu −α−+α+=

Cálculo de las fuerzas residuales

{ } { }aQresidu =

SiNo

fin cal_residu


[ ] { }[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] { }[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] { }[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

−=++

−=++

−=++

φ∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

φ∂∂

∂∂

Raint_varaint_var

Gvint_varvint_var

GMMG

Taint_varaint_var

Tvint_varvint_var

TMMT

Raint_varaint_var

Rvint_varvint_var

RMMR

(2.78)

Por conveniencia se definen las variables internas como: { } { }−−++φφ= jiji

pj

pi

t d,d,d,d,,vint_var y { } { }jit P,Paint_var = . La expresión (2.78)

constituye un sistema de ecuaciones matriciales con tres incógnitas: las matrices { }[ ] [ ] [ ]φ∂

∂φ∂

∂φ∂

∂ aint_varvint_varM ,, . La primera matriz es el jacobiano local en coordenadas locales, el cual se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones matriciales propuesto:

( )( )

{ }

{ }{ }

φ∂

∂

−=

φ∂φ∂

φ∂∂ −+

−+

.0

.0

R

D,D,,MD,D,,M

RTG p

p (2.79)

Cálculo del jacobiano local en coordenadas globales.

El jacobiano local en coordenadas globales

∂∂

qQ , se obtiene derivando la ecuación de

equilibrio del miembro en el caso dinámico con respecto a los desplazamientos del miembro:

[ ] { } [ ] { }

∂

∂+

∂∂

=

∂∂

qM)q(BM

q)q(B

qQ t

t

(2.80)

El primer término de la ecuación (2.80) se anula en el caso de pequeños desplazamientos, en caso contrario en el modelo MDC lo determina usando la ecuación (2.81):

[ ]{ } [ ]JLNM

q)q(B

2

t

=∂

∂ (2.81)

Donde:

[ ]

ααα−α−αααα−αααα−

α−ααααα−ααα−αα−α

=

.0.0.0.0.0.0

.0CosCosSen.0CosCosSen

.0CosSenSen.0CosSenSen

.0.0.0.0.0.0

.0CosCosSen.0CosCosSen

.0CosSenSen.0CosSenSen

J

22

22

22

22

(2.82)


“N” es la carga axial del miembro en el paso que se esté analizando, “L” es la longitud del miembro, y “α” es la inclinación del miembro con respecto a los ejes de referencia.

El segundo término de la ecuación (2.80) se expresa en función del jacobiano local en coordenadas locales de la siguiente manera: Recordando la regla de la cadena, se obtiene:

{ } { } { } [ ])q(BM

qM

qM

φ∂

∂=

∂φ∂

φ∂

∂=

∂

∂ (2.83)

Por consiguiente,

[ ] { } [ ] { } [ ])q(BM)q(BqM)q(B tt

φ∂

∂=

∂

∂ (2.84)

Definitivamente, el jacobiano local en coordenadas globales se constituye de la siguiente manera:

[ ] [ ] { } [ ])q(BM)q(BNLN

qQ t

2

φ∂

∂+=

∂∂ (2.85)

Al considerarse un el análisis dinámico aparece un jacobiano inercial, el cual se determina al derivar las fuerzas inerciales del miembro, ecuación (2.27), con respecto a los desplazamientos del mismo, obteniendo de la siguiente manera:

[ ]{ } [ ] { } [ ] { }

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂qqmasaq

qmasa

q)qmasa( &&

&&&&

(2.86)

Las derivadas de las aceleraciones con respecto a los desplazamientos generalizados dependen del algoritmo empleado. En el caso del modelo MDC, se utilizó el método de newton, consecuentemente el jacobiano inercial en coordenadas globales [ ]inercial_Jacob , se define de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ] [ ] 6x612 It

1masaXqmasainercial_Jacob

∆β

=

∂∂

=&&

(2.87)

Donde: [ ] 6x61I es una matriz unitaria de orden seis, “ t∆ ” es el incremento de tiempo utilizado en el paso que se esté analizando, “β ” es un parámetro de integración del método de newton para obtener exactitud y estabilidad en la integración numérica. Finalmente, se puede expresar el jacobiano local en coordenadas globales, considerando las fuerzas internas y la fuerzas inerciales de la estructura, de la siguiente manera:


[ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] 6x6122t I

t1masaJ

LN)X(BM)X(B

X)X(L

∆β

++

φ∂

∂=

∂∂ (2.88)

Flujograma 2.7. Cal_jacob.

Comienzo cal_jacob

Cálculo del jacobiano local, resolviendo el sistema de ecuaciones (4.6)

{ } [ ]gtanM≡

φ∂

∂, cal_tang

[ ] { } [ ]BMBqQ t

φ∂

∂=

∂∂ contribución local

interna al jacobiano global.

Grandes desplazamientos

[ ] { } [ ] [ ]JLNBMB

qQ

2

t +

φ∂

∂=

∂∂

Si

No

Análisis Dinámico

[ ] [ ] [ ] 6x612I

t1masainerc_Jacob

∆β

= ,

ecuación (2.87)

[ ] { } [ ] [ ] [ ]inerc_JacobJLNBMB

qQ

2

t ++

φ∂

∂=

∂∂

Fin cal_jacob

Si

No


CAPITULO III

Descripción del Portal de Pórticos.

3.1 REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA. Para poder utilizar el portal de pórticos el usuario debe tener instalado en la máquina local, desde donde se conectará remotamente al cluster (computador que se desempeña como servidor), lo siguiente:

• Navegador: Netscape o Internet Explorer. Las pruebas hasta ahora se han realizado utilizando el Netscape 4.0 e Internet Explorer 5.0.

• Plugin: Herramienta que permite ejecutar Applets de Java en los Navegadores. Se puede obtener en: http://java.sun.com/products/plugin/1.4/ Cuando el usuario intenta correr por primera vez el módulo preprocesador o procesador al entrar a la página web, deberá aparecer la siguiente pantalla, la cual indica que el navegador no soporta los programas Java:

Figura 3.1 Pantalla para descargar el archivo “java/plugin/1.4/.

Este mensaje sólo aparecerá la primera vez que el usuario corra el sistema. El usuario deberá descargar dicho plugin de la pantalla desplegada.

• El archivo de seguridad. Se describe a continuación,

3.1.1 Archivo de Seguridad. El Portal de Pórticos esta implementado sobre un Applet, que son programas que pueden utilizarse a través de la Web. Por tratarse de un sistema que funciona a través de una página Web, Java impone ciertas restricciones de seguridad entre las cuales la más importante es la imposibilidad de trabajar en los ficheros de los usuarios a menos que este lo permita. Una de las soluciones encontrada para esta versión del Pórtal, es que cada uno de los usuarios que desee usar el sistema baje a la máquina local el archivo .java.policy.zip que se encuentra en el enlace Archivo de Seguridad. Una vez que se haya bajado debe descomprimirse y guardarlo en el computador local. Este paso lo hará el usuario solamente la primera vez que entre al sistema, con el fin de poder guardar en el disco de la máquina local los archivos que se creen en el sistema. A continuación se listan los sistemas operativos con el directorio donde debe ser almacenado dicho archivo:


Windows 98: C:/Windows Windows 2000: C:/Documents and Settings/nombre_usuario Windows Milleniun: C:/Windows Windows XP:C:/Documents and Settings/nombre_usuario Linux: /home/nombre_usuario.

El nombre_usuario se refiere al nombre del login del usuario. El sistema despliega automáticamente el siguiente mensaje, cuando el usuario seleccione el

enlace Archivo de Seguridad:

Figura 3.2 Pantalla para descargar el Archivo de Seguridad.

Es importante que el usuario copie el archivo de seguridad en el lugar especificado, de otro modo el sistema no podrá funcionar de la manera adecuada. Actualmente se esta haciendo una revisión de este aspecto con el fin de lograr, mediante una firma del Applet a través del uso de un certificado de seguridad que esté proceso sea automático.

3.2 PANTALLA PRINCIPAL DEL SISTEMA. El usuario al conectarse en el portal http://portaldeporticos.ula.ve:8080/PDP/index.html tendrá acceso al sistema. Dicho portal tiene como primera presentación la siguiente página:

Figura 3.3 Pantalla Principal del portal.

3.2.1 Base de Datos. El sistema posee una base de datos, en la cual el usuario deberá registrarse. Una vez hecho esto, podrá acceder a los enlaces del sistema (Preprocesador, Procesador y Postprocesador). El usuario deberá registrarse la primera vez que ingresé al sistema, suministrando los


siguientes datos: nombre, apellidos, número de cédula, dirección, número telefónico, contraseña, para que pueda hacer uso del Portal de Pórticos; este paso lo hará el usuario solamente la primera vez que entre al sistema.

Figura 3.4 Pantalla para el Registro de los Datos del Usuario. Una vez registrado entrará en el enlace que le permite acceder a los módulos: Pre-procesador, Procesador, Post-procesador. Si el usuario ya se ha registrado, podrá entrar al sistema cuando escriba su nombre y clave.

3.3 MÓDULOS DEL SISTEMA. Entre los módulos del sistema se encuentran:

Pre-procesador: Permite definir la geometría de las estructuras y sus apoyos, las propiedades de los elementos estructurales y las solicitaciones. Procesador: Permite al usuario enviar sus archivos con extensión .inp previamente generados con el Preprocesador a su cuenta en el servidor (máquina donde se analiza el sistema total), además le ofrece la opción de correr (procesar) dichos archivos utilizando un programa de elementos finitos. Los archivos generados como resultados de esta corrida serán visualizados en el módulo Postprocesador. Post-procesador: Permite mostrar al usuario por medio de gráficos, distribuciones y animaciones el comportamiento de su estructura.

El usuario escribirá y enviará tanto su nombre como clave en la página principal cada vez que quiera usar cualquiera de los módulos del sistema, recordando que previamente se debe registrar en el sistema. La página que se despliega cuando entra al sistema es:


Figura 3.5 Pantalla para acceder a los módulos del sistema.

En esta página se encuentran los cinco principales enlaces del sistema, a los cuales puede acceder el usuario (Preprocesador, Procesador, Postprocesador, Manual de Usuario, Manual de teoría).

3.4 DESCRIPCIÓN DEL PREPROCESADOR. El preprocesador es un interfaz web realizado en el lenguaje de programación Java, que permite, la digitalización del pórtico, la generación de un archivo con extensión .inp. El usuario debe introducir primero los datos en cada una de las pantallas que le presenta el sistema en el módulo Preprocesador, una vez que ha llenado todas las pantallas, generado los diagramas de interacción y graficado el pórtico debe proceder a generar el archivo inp. Para generar el archivo inp el usuario no debe cerrar ninguna de las pantallas del módulo Preprocesador, de otro modo los datos se perderán. Debido a esto el usuario tiene la opción de minimizar cada una de las pantallas del sistema de manera que el uso del mismo sea más cómodo.

3.4.1 Pantalla Principal del Preprocesador. La pantalla principal del sistema es un Applet de Java lo que hace que el programa pueda ser visto a través de una página web. Está compuesta por 5 Menús (Archivo, Pórtico, Ver, Diagramas, Idiomas) y una Barra de Herramientas, es por medio de esta pantalla que se tiene acceso al Preprocesador.


Figura 3.6 Pantalla principal del Preprocesador.

3.4.2 Barra de Herramientas y Barra de Menú. Permite, mediante el uso de los íconos realizar algunas operaciones sobre el sistema sin necesidad de recurrir al menú principal. A continuación se describen cada uno de los íconos:

Abrir: Permite abrir un archivo de datos previamente creado por el usuario.

Nuevo: Permite crear un nuevo archivo de datos.

Guardar: Permite guardar un nuevo archivo de datos.

Ver: Permite dibujar el pórtico una vez introducidos los valores necesarios.

Ayuda: Hacer un llamado a la ayuda del sistema.

3.4.3 Barra de Menú. Como se mencionó anteriormente el sistema está compuesto por cinco menús, cada uno de los cuales permite al usuario realizar diversas actividades sobre el sistema.

Figura 3.7 Barra de Menús.

3.4.4 Menú Archivo. El menú archivo está compuesto por cinco submenús, ver figura 3.8. Es importante que el usuario siga las instrucciones sugeridas en el enlace archivo de seguridad de la página principal, de otro modo este menú no funcionará apropiadamente.


Figura 3.8 Pantalla del Menú Archivo.

3.4.4.1 Menú de Archivo: Nuevo Archivo INP. Al presionar este submenú se muestra la siguiente pantalla, en la cual el usuario va a seleccionar la ubicación y el nombre del archivo .inp en la máquina local. Es decir va a crear un espacio en el disco local donde se almacenará posteriormente el archivo .inp.

Figura 3.9 Pantalla para guardar archivos. El usuario debe seleccionar el nombre del archivo con extensión .inp donde se almacenan los datos suministrados a la interfaz gráfica. Posteriormente el sistema despliega una pantalla con la ruta donde fue creado el espacio para el archivo inp, como por ejemplo:

Figura 3.10 Pantalla de Información o Mensaje.

3.4.4.2 Menú Archivo: Generar un Archivo INP. Permite almacenar los datos en el archivo .inp seleccionado. El usuario deberá seleccionar Generar un Archivo INP después de llenadas todas las pantallas (geometría, aceros, materiales y las solicitaciones) que definen el pórtico a analizar y generado los diagramas de interacción. La salida final es un archivo de formato específico con extensión .inp, la extensión del archivo debe ser colocada por el usuario al momento de crearlo. Si el archivo se genera exitosamente, se despliega el siguiente mensaje:


Figura 3.11 Pantalla de datos almacenados.

3.4.4.3 Menú de Archivo: Nuevo Archivo de Datos. Al presionar este submenú se despliega la siguiente pantalla:

Figura 3.12 Pantalla “Nuevo Archivo”.

El usuario debe colocar el nombre del archivo de su preferencia con extensión .txt, este archivo permitirte al usuarios guardar los datos que fueron almacenados en cada una de las pantallas del sistema, de manera que si se desea reutilizar sus datos no deberá rellenar toda la interfaz nuevamente. Este menú se deber usar subsiguientemente del llenado de todas las demás pantallas del sistema.

3.4.4.4 Menú de Archivo: Abrir un Archivo de Datos. Al presionar este submenú se despliega la siguiente pantalla:

Figura 3.13 Pantalla que permite abrir un archivo de datos existente. Permitiéndole al usuario abrir un archivo de datos (extensión .txt) previamente creado. El usuario para usar nuevamente la información suministrada al sistema, debe abrir en primer lugar el archivo .txt y posteriormente abrir todas las pantallas para que estas desplieguen los datos almacenados en el archivo, de lo contrario el sistema no responderá.


3.4.4.5 Menú de Archivo: Guardar Archivo de Datos. Una vez que el usuario introduzca todos los datos correspondientes del pórtico a analizar podrá guardar todos esos datos creando un nuevo archivo con extensión .txt y luego guardándolos bajo el nombre suministrado mediante el uso de este submenú. Si el archivo se crea exitosamente el siguiente mensaje se despliega por pantalla.

Figura 3.14 Mensaje para Salvar Archivo de datos.

3.4.5. Menú Pórtico. Es en este menú donde el usuario va a introducir los datos correspondientes al pórtico que desea analizar.

Figura 3.15 Pantalla de Menú “Pórtico”.

3.4.5.1 Menú de Pórtico: Datos Generales. Permite introducir la información correspondiente a los datos generales del pórtico: 1. Nombre del Calculista. 2. Nombre del Pórtico. 3. Ubicación. 4. Descripción.

Figura 3.16 Pantalla de datos generales del análisis. El nombre del Pórtico siempre debe comenzar con una letra.


3.4.5.2 Menú Pórtico: Geometría de Pórtico. Está compuesta por seis pantallas, cada una de ellas le indica al usuario cuales son los valores que debe introducir.

1. Niveles y tramos. 2. Secciones y Elementos Ficticios. 3. Elementos Adicionales. 4. Grupos de Nodos. 5. Grupos de Elementos. 6. Juntas Restringidas.

Es importante resaltar que el separador decimal a utilizar es el punto (.).

Figura 3.17 Menú Pórtico: Geometría del Pórtico. A continuación se explica brevemente cada una de ellas:

1. Niveles y Tramos Niveles: el usuario debe primero seleccionar cuantos niveles va a tener el pórtico; automáticamente el sistema despliega una tabla de dos columnas: la primera columna lista y asigna el número de niveles suministrados, en la segunda columna, el usuario debe proveer la altura de entrepisos, la cual indica la longitud de cada uno de los niveles del pórtico. Para modelar un elemento estructural tipo viga, en altura de entrepiso se debe colocar 0.00. Tramos: Está compuesta por una tabla, correspondiente a los números de tramos que posee el pórtico analizar y por la longitud de los tramos del pórtico. El usuario debe introducir tanto el número de tramos como la longitud que va a tener cada uno de esos tramos. Para modelar un elemento estructural tipo columna, en longitud tramo se coloca 0.00.


Figura 3.18 Submenú Niveles y Tramos.

Recomendación: El usuario debe presionar el menú ver, para graficar el pórtico definido en la pantalla Niveles y tramos. Para más detalle ver menú Ver.

Con el número de tramos y niveles que el usuario suministró, el preprocesador genera una malla de elementos y los numera. Los elementos no deseados se eliminan clasificándolos como ficticios, como se especifica más adelante.

2. Secciones y Elementos Ficticios: En esta pantalla el usuario debe introducir los diferentes tipos de secciones que tiene el pórtico, suministrando número de secciones diferentes, base y altura de cada sección.

Figura 3.19 Pantalla de Secciones y Elementos Finitos. Además, el usuario podrá seleccionar cuáles elementos son ficticios dentro de su pórtico. Para lograr esto debe hacer click en el elemento que desea como ficticio y se debe graficar el pórtico. Para visualizarlo se presiona el botón “Graficar Ficticios”. Ejemplo: Pórtico de dos niveles y un tramo, el elemento 1 se va a tomar como ficticio. El usuario debe graficar el pórtico, posteriormente seleccionar elemento ficticio en la lista de elementos que se despliega automáticamente en la pantalla Secciones y Elementos ficticios, en este caso Elemento 1. Para graficar el elemento ficticio seleccionado se debe presionar el botón graficar Ficticios.


Figura 3.20 Pórtico de dos niveles y un tramo.

Figura 3.21 Pórtico de dos niveles y un tramo con un elemento ficticio.

3. Elementos Adicionales: Esta opción le permite al usuario definir y dibujar elementos adicionales. El usuario debe seleccionar el número de elementos adicionales, posteriormente introducir los nodos entre los cuales se van a encontrar dichos elementos. El usuario debe presionar el botón “Graficar Adicionales” para visualizar los elementos adicionales.

Figura 3.22 Pantallas para Elementos Adicionales.

Nota: El usuario antes de trabajar con la pantalla Elementos Adicionales debe graficar el pórtico a analizar. En caso contrario se desplegara el siguiente mensaje:


Figura 3.23 Mensaje de Información en la Pantalla de Elementos Adicionales.

4. Grupos de Nodos: Este submenú permite que el usuario agrupe los nodos que tiene el pórtico. Para formar grupos de nodos el usuario debe:

a. Seleccionar el número de grupos que desea formar, posteriormente el sistema desplegara automáticamente un número de filas igual al número de grupos seleccionado por el usuario, luego se deberá llenar las columnas nombres y nodos.

b. Colocar en cada grupo el nombre y los nodos que lo conforman, los nodos que conforman cada grupo deben ir separados por comas. Por ejemplo:

Número de grupos de nodos: 2 Grupo: 1 Nombre: Apoyos Nodos: 1,2

Lo que quiere decir que existen un grupo de nodos, cuyo nombre es: Apoyos, el cual está compuesto por los nodos: 1 y 2.

Nota: El usuario deberá verificar que todos los campos se llenen bien, no “perder foco”, es decir se obligara a presionar la tecla “enter” en los campos que vaya llenando, para que el sistema los tome realmente.

Figura 3.24 Pantalla donde se suministran los grupos de nodos del pórtico.


5. Grupos de Elementos: Esta opción permite agrupar los elementos, al igual que para el caso de los grupos de nodos, el usuario debe seleccionar primero el número de grupos que desea hacer, especificar que nombre va a tener cada grupo así como los elementos que lo conforman separados por comas. Asegurándose que cada grupo de elementos creado agrupe elementos de igual longitud, sección e igual cantidades de refuerzo transversal y longitudinal.

Figura 3.25 Pantalla para generar los grupos de elementos del pórtico.

6. Juntas Restringidas: Esta opción permite establecer las restricciones que se le van a imponer a los nodos del pórtico, el usuario tiene la posibilidad de imponer restricciones sobre un grupo completo de nodos o sobre un nodo en particular. En la columna Apoyo se asigna con un número entero desde el uno hasta el seis el tipo de vínculo que se puede imponer.

Figura 3.26 Pantalla donde se establecen las restricciones en los nodos del pórtico.

Para establecer las condiciones de apoyo en el pórtico se debe seleccionar primero el número de restricciones que se desea, posteriormente especificar en qué grupo de nodo o nodos se va a localizar y especificar el tipo de apoyo. Como se puede ver en la figura anterior, los valores de los tipos de apoyo van del 1 al 6. Donde:


El valor 1 define un empotramiento perfecto, el cual genera restricciones en el desplazamiento horizontal (dirección 1), en el desplazamiento vertical (dirección 2) y la rotación alrededor del eje perpendicular al plano que contenga el pórtico (dirección 6). El valor 2 define un apoyo, donde se restringen los desplazamientos en la dirección 1 y 2. El valor 3 define un rodillo vertical, el cual impide el movimiento en la dirección 2. El valor 4 define un rodillo horizontal, el cual impide el movimiento en la dirección 1. El valor 5 define un empotramiento con posibilidad a desplazarse horizontalmente, es decir restringe el movimiento en la dirección 2 y dirección 6. El valor 6 define un empotramiento con posibilidad a desplazarse verticalmente, es decir restringe el movimiento en la dirección 1 y dirección 6.

El usuario debe saber que los elementos que no fueron agrupados en la pantalla Grupos de Elementos del menú geometría, no serán tomados en cuenta cuando se procesen los datos finales para la generación del archivo .inp.

3.4.5.3 Menú de Pórtico: Aceros. “Aceros” es el tercer submenú del menú pórtico. Al seleccionar este submenú el sistema despliega una pantalla llamada Áreas de acero, la cual se subdivide a su vez en cuatro pantallas: Acero transversal, Acero longitudinal i, Acero longitudinal j, y Tipo de estribos.

Figura 3.27 Sub-menú Aceros. La pantalla de advertencia siguiente se despliega antes que la pantalla Áreas de Acero.

Figura 3.28 Mensaje de advertencia.


rh

rv dE

El usuario debe chequear la advertencia. Si se presiona el icono “Si” indica que se tienen los grupos de elementos necesarios, por lo tanto el sistema desplegará la pantalla “Áreas de Aceros”, en cambio si se presiona el icono “No” se debe regresar a la pantalla “Geometría” para llenar la información de los grupos de elementos necesarios. Posteriormente se debe seleccionar nuevamente el submenú “Aceros” para introducir la información de los Aceros en cada grupo de elementos. 3.4.5.3.1 Áreas de Aceros: Acero transversal. En esta pantalla se introducen los datos correspondientes a los recubrimientos hasta el centro del estribo, el diámetro del estribo y su separación en la zona confinada de los elementos o de cada uno de los grupos de elementos formados en el menú Geometría/ Grupos de elementos. Estos datos son de vital importancia para la generación de los diagramas de interacción, curvas de niveles de carga axial contra momento. El sistema despliega automáticamente un número de filas igual al número de grupos de elementos creados anticipadamente. El campo Grupo se llena automáticamente con los Nombres de los grupos de elementos creados por el usuario. El usuario debe llenar los campos correspondientes a rh, rv, dE, s, para cada grupo de elementos existente. Donde:

rh: Recubrimiento horizontal, hasta el centro del estribo, en centímetros. rv: Recubrimiento vertical, hasta el centro del estribo, en centímetros. dE: Diámetro de los estribos, en centímetros. S: Separación de los estribos, en centímetros.

Figura 3.29 Sección Transversal.

Figura 3.30 Pantalla de acero transversal de las secciones del pórtico.


Cada elemento del pórtico tiene dos nodos, un nodo “i” y un nodo “j”, como se muestra en la figura 3.34. En cada elemento horizontal (viga), el nodo “i” es representado por el extremo izquierdo del elemento, y el nodo “j” se representa por el extremo de la derecha. En cambio, en los elementos verticales (columnas), el nodo “i” se representa por el nodo inferior del elemento, y el nodo “j” se define como en nodo superior del mismo. En las secciones 3.4.5.3.2 y 3.4.5.3.3 se explica como se procede para introducir en el portal de pórticos el refuerzo longitudinal de cada elemento. 3.4.5.3.2 Áreas de Aceros: Acero Longitudinal i. El sistema despliega en esta pantalla dos tablas, en la tabla superior el usuario deberá introducir las áreas de acero longitudinal correspondientes al nodo i (Asi-, as1-i, as2-i, as3-i, as4-i, as5-i, Asi+) de cada grupo de elementos; y en la tabla inferior el usuario debe llenar las respectivas distancias de cada capa de acero (reci-, d1_i, d2_i, d3_i, d4_i, d5_i, reci+). El usuario seleccionara en la columna Capas, el número de capas que posean sus elementos estructurales, se admite un mínimo de dos capas de aceros y un máximo de siete capas de acero. A continuación se bosqueja una sección transversal explicando cada valor que puede suministrar el usuario en la pantalla Acero longitudinal i:

Figura 3.31 Sección transversal en el nodo i. Donde: Área de acero en centímetros cuadrados y la distancia en centímetros. Asi+: acero positivo i (ver figura 3.34). Asi-: acero negativo i. (ver figura 3.34). As1_i: acero positivo i en una capa intermedia 1. As2_i: acero positivo i en una capa intermedia 2. As3_i: acero positivo i en una capa intermedia 3. As4_i: acero positivo i en una capa intermedia 4.

rec i-

d1_i

d2 _i

d4_i

d5_i

d3_i

rec i+

Asi -

As1_i

As2_i

As4_i

As5_i

As3_i

Asi +


As5_i: acero positivo i en una capa intermedia 5. rec i +: recubrimiento positivo i. rec i -: recubrimiento negativo i. d1_i: distancia positiva a la primera capa de acero intermedia. d2_i: distancia positiva a la segunda capa de acero intermedia. d3_i: distancia positiva a la tercera capa de acero intermedia. d4_i: distancia positiva a la cuarta capa de acero intermedia. d5_i: distancia positiva a la quinta capa de acero intermedia. La pantalla de Acero Longitudinal en el nodo i del sistema es:

Figura 3.32 Pantalla de aceros longitudinal en el nodo i.

Siempre se debe introducir los datos área de acero y recubrimiento tanto del acero positivo como del acero negativo (Asi+, Asi-, rec i +, rec i -), esto corresponde a dos (2) capas de acero y se denominarán valores obligatorios. Como el sistema acepta un máximo de siete (7) capas, sólo se puede introducir un máximo de cinco (5) capas intermedias. Si el número de capas es menor a siete el sistema cargará automáticamente con valor cero (0.) tanto los campos de las áreas de acero como sus respectivas distancias en algunas capas intermedias. Y sólo se debe llenar tanto los valores obligatorios (Asi+, Asi-, rec i +,rec i -) como las áreas de acero y las distancias en las capas intermedias que el sistema no haya llenado con cero. 3.4.5.3.3 Áreas de Aceros: Acero Longitudinal j. En esta pantalla se introduce la información del refuerzo longitudinal del extremo j de cada grupo de elementos. Se procede de forma similar que en el llenado de los valores del acero longitudinal del nodo i. El sistema despliega dos tablas; en la tabla superior el usuario debe introducir las áreas de acero correspondientes al extremo j (Asj-, as1_j, as2_j, as3_j, as4_j, as5_j, Asj+). Y en la tabla inferior el usuario debe introducir las distancias correspondientes a cada nivel de acero, recj-, d1_j, d2_j, d3_j, d4_j, d5_j, recj +. La distancia de cada capa de acero intermedia, que pide el sistema, se mide desde la fibra más traccionada de la sección según el nodo y convenio establecido en el sistema. A continuación se presenta la sección transversal en el nodo j:


i j

Convenio positivo.

Asj+

Asj-

Asi-

Asi+

Figura 3.33 Sección transversal en el nodo j. En la siguiente figura de muestra el convenio positivo del sistema:

Figura 3.34 Convenio de signo establecido para el sistema.

rec j+

d1_i

d2 _j

d4_j

d5_j

d3_j

rec j-

Asj

As5_j

As4_j

As2_j

As1_j

As3_j

Asj-


Figura 3.35 Pantalla de acero longitudinal en el nodo j. 3.4.5.3.4 Áreas de Aceros: Tipos de Estribos Está pantalla es la ultima del submenú Áreas de aceros. En la tabla el usuario debe escoger en la columna "Tipo" la opción que desea aplicar a cada uno de los grupos. Cada opción posee valores por defecto, los otros valores deben ser suministrados por el usuario. Opción A: define estribos rectangulares con ganchos. En esta opción la variable “L” es igual a 0. El usuario debe proporcionar el número de ramas actuantes en cada dirección, Rx y Ry (ver ejemplo a). Opción B: define estribos solapados, las variables Rx y Ry toman valor 0. El usuario debe proporcionar la longitud (perímetro) de estribo empleada en el reforzamiento transversal (ver ejemplo b). Donde: Rx: define el número de ramas en la dirección x de la sección transversal. Ry: define el número de ramas en la dirección y de la sección transversal

L: define la longitud de estribos usada (perímetro). Ejemplo a: Estribos rectangulares con ganchos, ver figura 3.36: Rx = 2, existen dos ramas paralelas a X Ry = 5 existen cinco ramas paralelas a Y L = 0.

Figura 3.36 Sección con estribos rectangulares con ganchos.

x

y


Ejemplo b: Estribos solapados, ver figura 3.37: Rx = 0. Ry = 0. L =150, 22 cm.

Figura 3.37 Sección con estribos solapados.

Figura 3.38 Pantalla donde se selecciona el tipo de estribo de las distintas secciones del pórtico.

3.4.5.4 Menú pórtico: Materiales. Esta pantalla está compuesta por dos pestañas: Concreto y Acero. Permite al usuario introducir los materiales correspondientes a cada uno de los grupos de elementos del pórtico. Nota: El sistema asume que todos los grupos de elementos van a tener los mismos materiales. En la pestaña Concreto, el usuario debe proveer al sistema de los datos de: Resistencia del concreto (f´c, en Kg/cm2), Deformación máxima del concreto (eo <0.0020) Deformación última del concreto no confinado (euc, 0.003 ó 0.004), Opciones de diseño (Confinado, No Confinado), Tasa de Deformación (alta o baja), Módulo de Elasticidad del concreto (E, Kg/cm2), y Deformación última del concreto confinado (eccu), aplica sólo si la opción de diseño

seleccionada es Confinado, (Eccu, >0.004).

y

x

22cm

22


Figura 3.39 Sub Menú Materiales: donde se suministra las propiedades del concreto a utilizar.

El sistema aplica el modelo de esfuerzo deformación de Hognestad para el concreto no confinado; para la opción de diseño Confinado considera el modelo de Kent y Park modificado. Si es esta ultima la opción seleccionada, el usuario debe introducir también el valor de la deformación última en el concreto confinado, eccu, la cual es un valor mayor o igual a 0.004. La Tasa de Deformación se refiere a la rapidez con la cual se aplica la carga al pórtico a analizar. Generalmente, se considera la tasa de deformación baja cuando las cargas son aplicadas lentamente, es decir en el caso estático; mientras que la opción alta de utiliza cuando las cargas son aplicadas rápidamente, en el caso dinámico. En la pestaña Aceros: El usuario debe especificar la curva esfuerzo deformación del acero utilizado, suministrando la siguiente información: Deformación máxima (esm) Deformación de cedencia del acero (ey) Deformación al final de la cedencia (esh) Esfuerzo de fluencia (Fy, en Kg/cm2) Esfuerzo último del acero (fsu, en kg/cm2) Esfuerzo de fluencia del acero del refuerzo transversal (fyh, en Kg/cm2)

Figura 3.40 Curva de esfuerzo del acero.

ey esh esm

fsu

Fy

Defor.

Esfuerzo


Figura 3.41 Sub menú Materiales: donde se suministra las propiedades del acero a utilizar.

3.4.5.5 Menú Pórtico: Solicitaciones. La pantalla Solicitaciones permite al usuario introducir los datos referentes a:

• Cargas distribuidas • Cargas concentradas • Cargas en nodos • Desplazamiento en los nodos • Sismos

Lo primero que el usuario debe hacer es escoger el número de pasos (steps) que desea utilizar.

Figura 3.42 Pantalla Solicitaciones.


Antes de describir tanto la pantalla solicitaciones como los valores que debe suministrar el usuario, definiremos las direcciones que considera el sistema. Los nodos en la estructura aporticada sufren desplazamientos debido a las solicitaciones que se aplican. Los desplazamientos generalizados en el nodo están representados por el vector {U}t = {U1,U2,U3}t, donde U1 es el desplazamiento traslacional en la dirección de X del nodo, U2 es el desplazamiento traslacional en la dirección de Y del nodo, y U3 es la rotación del nodo respecto al eje perpendicular que contiene a la estructura. Llamaremos dirección 1 a la dirección X, la dirección 2 será la dirección Y, la dirección 6 será la dirección de la rotación respecto al eje perpendicular al plano que contiene el pórtico.

Figura 3.43 Dirección de los desplazamientos de los nodos considerados en el sistema. A continuación se describen los tipos de solicitaciones que el usuario podrá imponerle al pórtico que analiza, y las pantallas que tendrá que llenar. 3.4.5.5.1 Cargas en los Elementos. Cargas Distribuidas. Las cargas distribuidas se pueden aplicar a un elemento en particular o a un grupo de elementos. Se debe seleccionar el número de cargas distribuidas a ser aplicadas. Luego se debe especificar la magnitud con su respectivo signo, la dirección (ver figura 3.43) y el paso. En la versión actual del preprocesador, solamente se admiten cargas uniformemente repartidas en los elemento. Cargas Concentradas Se aplican a un elemento en particular. Se debe especificar el elemento al cual se le desea aplicar la carga, la dirección, la magnitud con su respectivo signo, la ubicación (distancia “a”) respecto al nodo i del elemento y el paso donde se desea aplicar la misma.

D

irec

ción

2

Dirección 6

Convenio de signos incluso para las cargas.

+ Dirección 2


Figura 3.44 Definición de la carga en los elementos. 3.4.5.5.2 Cargas en los Nodos. Las cargas para este caso pueden escribirse en nodos individuales o en grupos de nodos. Para este caso, también deben definirse la dirección, la magnitud con su respectivo signo (ver figura 3.43) y el paso de aplicación correspondiente.

Figura 3.45 Pantalla donde se define la carga en los nodos. 3.4.5.5.3 Desplazamientos Impuestos. Se debe especificar el nodo al cual se le desea aplicar el desplazamiento, la dirección, la magnitud del mismo con su respectivo signo y el paso donde se va aplicar.

Figura 3.46 Pantalla para definir los desplazamientos impuestos.

i

j i j

a

a


3.4.5.5.4 Sismos. Se deben especificar tanto los nodos o grupo de nodos a los cuales se les aplicara el sismo, como el paso y el sismo que desea aplicar. Al escoger la columna sismo se despliega una librería de eventos sísmicos donde el usuario seleccionará un sismo a su conveniencia.

Figura 3.47 Pantalla “Sismos”. 3.4.5.5.5 Definición de pasos. Para realizar el análisis de una estructura aporticada de concreto armado se debe dividir el problema en dos partes, un Problema Global y un Problema Local para cada elemento del pórtico. El primero se resuelve mediante un programa de elementos finitos (ABAQUS ó Procesador del PDP). El problema global consiste en la resolución numérica del sistema de ecuaciones de equilibrio de los nodos para obtener los desplazamientos de la estructura. El segundo problema es resuelto mediante el programa que considera el caso de pórticos planos y la fatiga de bajo ciclaje, para hacer análisis estáticos y dinámicos. Cuando se considera análisis no lineal es necesario utilizar un método de resolución paso a paso, tal como: el método iterativo de Newton. En este método, se discretiza el intervalo de tiempo en el cual se analiza la estructura, en pequeños pasos, se calculan las incógnitas en los pasos escogidos y se supone en cada uno de ellos un comportamiento lineal de la estructura, por lo tanto se deben discretizar las ecuaciones a verificar. La idea consiste, que en el paso escogido, el algoritmo define las incógnitas al final de dicho paso con condiciones al inicio del mismo, suponiendo que estas varían linealmente. Se obtendrá un equilibrio en el instante ( )tt ∆+ y por lo tanto se asegura un equilibrio y condiciones iniciales del próximo paso a analizar. En la pantalla que se muestra en la figura 3.48, el usuario podrá especificar las características principales de cada uno de los pasos, las cuales son necesarias para que el sistema pueda determinar, en el procesador, la solución (convergencia) del paso que se analiza, y asi poseer límites para el rango del incremento. El sistema comienza con un incremento inicial como punto de partida, luego si se obtiene solución (convergencia) muy rápidamente el valor se aumenta, en caso contrario se disminuye, pero siempre respetando los valores máximos y mínimos suministrados por el usuario.


Siempre ha de cumplirse que el valor del incremento inicial debe ser un valor mayor al incremento mínimo y un valor menor o igual al incremento máximo. Las características son:

Descripción del paso. Incremento inicial. Duración del paso. Incremento Mínimo. Incremento Máximo. Frecuencia, representa cada cuanto se debe almacenar los resultados del análisis.

Usar frecuencias bajas cuando el tiempo total del análisis es corto, Por el contrario, si el tiempo total de análisis es alto usar frecuencias mayores.

Figura 3.48 Pantalla para la definición de los pasos del análisis.

3.4.6 Menú Ver. Esta compuesto de el submenú “Ver Pórtico” que le permite al usuario visualizar el pórtico.

Es necesario graficar después de definir los niveles y tramos que posee el pórtico a analizar. El sistema puntualiza en esta pantalla los nodos con números escritos en color rojo, e identifica los elementos con números escritos en color verde justo al lado de la línea color negro que define cada elemento, mientas que los ejes de los tramos y los niveles los señala en letras verdes con un tamaño mayor que el anterior.

Figura 3.49 Forma como se visualiza la numeración de los nodos y elementos del pórtico.


Es importante resaltar que para poder visualizar el pórtico el usuario debe introducir los datos mínimos necesarios. Estos son los niveles y los tramos con sus respectivas longitudes, en caso contrario, el sistema no graficará el pórtico y desplegará el siguiente mensaje:

Figura 3.50 Mensaje de Información que se despliega si se intenta graficar el pórtico sin tener suficientes datos.

3.4.7 Diagramas. Permite al usuario visualizar los diagramas de interacción de momento de agrietamiento (Mcr), momento plástico (Mp), momento último (Mu) y de curvatura última (fup) versus carga axial (N) para cada uno de los elementos del sistema, tanto para el extremo “i”, como para el extremo “j” en la condición positiva y negativa.

Figura 3.51 Pantalla del menú Diagramas. Cuando se pulsa cálculo de diagramas aparecen las siguientes opciones:

1. Generar Diagramas: Al presionar esta opción el sistema llama al servidor donde se ejecutará un programa (llamado Generador) realizado en el lenguaje de programación Fortran, que hace el cálculo del archivo donde se guardan los diagramas. Si el archivo se genera exitosamente, se despliega el siguiente mensaje:

Figura 3.52 Mensaje de Información: para indicar que se ha generado el archivo.


Nota: si los valores de las deformaciones últimas máximas en el concreto confinado no fueron escritos en función del modelo de Kent y Park modificado se despliega el siguiente mensaje:

Figura 3.53 Mensaje de Información que indica que los diagramas se generaron considerando para el concreto el Modelo de Kent y Park Modificado.

2. Guardar: Permite al usuario guardar el archivo generado por Generador1 al disco,

de manera que se puedan verificar las salidas. Dichas salidas son los diagramas de interacción de carga axial (N) y momento flector (Mcr±, Mp±, Mu±), carga axial (N) y curvatura (fup±).

3. Extremo i, Extremo j: Permite al usuario graficar los diagramas de interacción. Para visualizar los diagramas, el usuario debe seleccionar el nombre del grupo de elementos y presionar los botones Extremo i ó Extremo j; dependiendo de los gráficos que desee graficar. En caso de que el sistema no encuentre los datos correspondientes a estas gráficas, el siguiente mensaje será desplegado:

Figura 3.54 Mensaje de Información que se despliega cuando se intenta generar los diagramas de interacción

y el sistema no encuentra el archivo de datos.

4. Diagramas de Interacción: Para la versión actual la carga axial se expresa en toneladas, y el momento flector en toneladas centímetros. Para graficarlos se debe hacer click en cada una de las opciones correspondientes.

Figura 3.55 Pantalla que permite generar los Diagramas de Interacción.


Se visualizara lo siguiente:

Figura 3.56 Gráfica de los Diagramas de Interacción de las secciones del pórtico. El usuario después de haber graficado y verificado sus diagramas, que es el último paso correspondiente al preprocesador, debe hacer click en el submenú Nuevo Archivo INP del menú Archivo, en la cual el usuario va a seleccionar la ubicación y el nombre del archivo .inp en la maquina local. Es decir va a crear un espacio en el disco local donde se almacenará posteriormente el archivo .inp; luego debe hacer click en Generar archivo INP, el cual permite almacenar los datos en el archivo .inp seleccionado. El sistema le desplegara el siguiente mensaje una vez generado el archivo INP:

Figura 3.57 Mensaje de Información que se despliega cuando intenta guardar el archivo INP.

3.5 MÓDULO PROCESADOR. Permite al usuario enviar sus archivos .INP previamente generados con el Preprocesador a su cuenta en el servidor, y le da la opción de correr dichos archivos utilizando el programa de elementos finitos. Los archivos generados como resultados de esta corrida podrán ser utilizados para su visualización en el Postprocesador.

3.6 ENVÍO DE ARCHIVOS. Para enviar archivos .INP desde la maquina local al servidor ubicado en Cecalcula, el usuario debe hacer click en la opción Archivo de la barra de la derecha.


Figura 3.58 Pantalla para acceder a los distintos módulos del sistema. La página que se despliega cuando se selecciona esta opción es:

Figura 3.59 Pantalla para cargar los archivos a la máquina local. Esta pantalla muestra la lista de archivos .INP que el usuario tiene en el servidor. Para subir un archivo desde la máquina local al servidor ubicado en Cecalcula, el usuario debe seguir los siguientes pasos: Nota: este procedimiento es solo válido para llevar archivos con extensión .INP 1) El usuario debe seleccionar la opción examinar, la cual despliega la siguiente pantalla:

Figura 3.60 Pantalla para seleccionar los archivos .INP que desea descargar.


Esta opción le permite al usuario indicar la ubicación y el nombre del archivo .INP de la maquina local que desea subir. Posteriormente el sistema en la opción “Cargar Archivo” despliega la ruta donde se encuentra el archivo .INP. 2) Para subir el archivo se pulsa la opción “Subir Archivo”. El usuario puede verificar la acción anterior, a través de la tabla superior de Listado de Archivos que contiene: Nombre de los archivos que el usuario tiene en el servidor así como el tamaño del mismo. Por ejemplo: se coloco en el servidor un archivo .INP llamado Pórtico 2

Figura 3.61 Listado de los archivos .INP que se encuentran en la máquina local. 3) El usuario tiene dos opciones: descargar archivos o eliminarlos Descargar Archivo: Esta opción le permite al usuario bajar a su maquina local un archivo .INP que se encuentre en el servidor. Si presiona esta opción le aparecerá lo siguiente:

Figura 3.62 Pantalla para descargar el Archivo INP. Si selecciona “Abrir” se despliega una pantalla que le muestra el archivo .INP que desea llevar a su máquina.


Figura 3.63 Archivo .INP descargado.

Si selecciona “Guardar” el usuario debe indicar la ubicación donde se desea guardar el archivo .INP en la máquina local.

Figura 3.64 Pantalla donde se indica el destino del archivo que se desea guardar. Luego se despliega la siguiente pantalla, la cual indica el estado de la descarga:

Figura 3.65 Pantalla que indica que se ha completado la descarga. Eliminar Archivos: esta opción le permite al usuario eliminar archivos que se encuentren en el servidor. Al presionar la opción eliminar, se despliega la siguiente pantalla.


Figura 3.66 Pantalla que indica que el archivo ha sido eliminado.

3.7 ANÁLISIS.

1. Para analizar las estructuras deseadas, el usuario debe hacer click en la opción Procesador

2. La pantalla que se despliega es la siguiente:

En esta pantalla el usuario tiene la opción de correr dichos archivos, utilizando el programa de elementos finitos.

Figura 3.67 Pantalla principal del Procesador. Al hacer click en “Analizar Archivos”, aparece la siguiente pantalla, la cual muestra los archivos .INP que el usuario tiene en su cuenta.


Figura 3.68 Pantalla que despliega los archivos .INP que se encuentran en la maquina local. 3. El usuario al seleccionar el archivo que desea correr debe hacer click en la opción

“Analizar” ubicada a la derecha de la pantalla.

A partir de este momento comienza un análisis No-Lineal del pórtico a través de un programa de elementos finitos que considera el Modelo Histerético de Daño con Fatiga de Bajo Ciclaje (MDC). Durante este proceso se generan como resultado los archivos .dat, .sta, y .fin que serán usados en el Postprocesador. Los archivos generados durante el proceso de análisis que se ubicarán en la cuenta del usuario. A continuación se describe cada uno de los archivos generados por el Procesador (.dat, .sta, .fin, .VE.txt, .RP.txt, .fis): Archivo .dat: Archivo de datos en el cual se almacenan los resultados de las variables

manejadas por el programa de elementos finitos (sdv) tales como: rotación total del nodo, deformación axial del elemento, momento flector, carga axial, rotación plástica permanente, daño positivo y negativo, rotación plástica máxima, tasa de disipación de energía en las rótulas debido al agrietamiento positivo y negativo, desplazamientos, reacciones, momentos, tiempo, velocidad y aceleraciones.

Archivo .sta: En este archivo se almacena la información sobre el estado del análisis, es

decir: pasos (Step) analizados, número total de iteraciones realizadas para cada incremento, tiempo total del paso, tiempo del paso analizado, incremento del tiempo, porcentaje total del análisis ejecutado exitosamente.

Archivo .fin: Archivo utilizado por el post-procesador para generar las gráficas y mapa

de daño de la estructura analizada. Archivo .VE.txt: Archivo de errores donde se le indicará al usuario a través de un

número y/o una letra el error por el cual se detuvo el análisis. Archivo .RP.txt: Archivo de datos en el cual se indica los elementos y el tiempo en que

fue necesaria una reducción del paso cuando el programa no consigue convergencia.


Archivo .fis: Archivo de datos en el cual se indica si el proceso ha culminado exitosamente o se ha detenido la ejecución.

4. El usuario puede visualizar el estado de su corrida a través de la opción “Recargar”

ubicada en la parte derecha de la pantalla de archivos .INP. Al seleccionar esta opción aparece la siguiente pantalla:

Figura 3.69 Estado de la Corrida. En esta pantalla aparecerá la siguiente información relacionada con el análisis: Columna 1: Paso (Step) que se está analizando. Columna 2: Numero total de iteraciones realizadas para cada incremento. Columna 3: Tiempo total del paso. Columna 4: Tiempo del paso que se esta analizando. Columna 5: Incremento del tiempo. Columna 6: Porcentaje total del análisis ejecutado exitosamente. Si el análisis no se realiza exitosamente se despliega la siguiente pantalla que indica el error a través de un número y/o una letra, para indicar la razón por la cual el programa no terminó el análisis. Tipos de error: 1 A Error en la escritura de los nodos en el archivo inp 1 B Error en la escritura de los conjuntos de nodos en el archivo inp 1 C Error en la escritura de los datos asociados a la palabra clave “USER ELEMENT” en

el archivo inp 1 D Error en la escritura de los elementos en el archivo inp 1 E Error en la escritura de los conjuntos de elementos en el archivo inp 1 F Error en la escritura de las propiedades de los elementos 1 G Error en la escritura de las condiciones de empotramiento del pórtico (asociado a la

palabra reservada “BOUNDARY” que se encuentra fuera de los steps)


1 H Error en los datos asociados a la palabra reservada *STEP 1 I Error en los datos asociados a la palabra reservada STEP pero cuando posee no

linealidad geométrica (*STEP, NLGEOM) 1 J Error en los datos relacionados con la palabra reservada *HEADING 1 K Error en la escritura del archivo de aceleraciones en el archivo inp. Datos

relacionados con la palabra reservada *AMPLITUDE 2 El programa se detuvo debido a que redujo el paso a su mínima expresión sin

conseguir convergencia global. 3 El programa se detuvo debido a que se alcanzo el numero máximo de iteraciones

globales de forma repetida sin poder avanzar en el análisis.

3.8 MÓDULO POST-PROCESADOR. Permite mostrar al usuario por medio de gráficos, distribuciones y animaciones el comportamiento de su estructura. Al seleccionar el Módulo 3 (Post-procesador) de la página principal del sistema, se despliega la siguiente pantalla, la cual presenta tres menú: Graficas, Ventanas y Ayuda.

Figura 3.70 Pantalla principal del Postprocesador.

3.8.1 Menú Graficas. Al seleccionar este menú, se debe hacer click en el sub.-menú “Iniciar Graficador”.

Figura 3.71 Sub Menú Gráficas. El cual muestra la siguiente pantalla:


Figura 3.72 Pantalla que permite seleccionar las variables que se desean graficar. Esta pantalla le permite al usuario seleccionar las variables a graficar. Para graficar, el usuario debe primero seleccionar el archivo de resultados generado a través del Procesador haciendo click en el botón “Examinar”. La pantalla que se despliega es la siguiente:

Figura 3.72 Listado de los archivos para graficar. Esta pantalla tiene la opción de mostrar todos los archivos que el usuario tiene en su cuenta o bien la opción de hacer un filtrado con la finalidad de mostrar solo los archivos con extensión (.fin ó .dat). Para realizar un filtrado el usuario selecciona la opción .fin ó .dat y hace click en el botón actualizar, de esta manera en la lista de archivos solo aparecerá los archivos con la extensión seleccionada. Nota: Para visualizar los resultados se debe seleccionar el archivo .fin correspondiente.


Una vez que el usuario ha seleccionado el archivo con extensión .fin, debe hacer click en aceptar. Mientras se procesa aparece el siguiente mensaje.

Figura 3.73 Mensaje de información que se despliega al seleccionar el archivo a graficar. La página que se despliega es la siguiente:

Figura 3.74 Pantalla para seleccionar las variables a graficar. La pantalla presenta la siguiente información: Nombre del archivo de datos con extensión .fin, del cual el usuario va a obtener por medio de gráficos, distribuciones y animaciones el comportamiento de su estructura. Tipos de variables: Las variables están constituidas por dos componentes “Y” y “X” como se muestra en la figura 3.74 y pueden ser para nodos o elementos. Si se desea graficar la información de un nodo, aparecen las siguientes componentes “Y” y “X” que el usuario puede seleccionar: U1: Desplazamiento en la dirección horizontal del nodo (Dirección 1, según figura 3.43). U2: Desplazamiento en la dirección vertical del nodo (Dirección 2, según figura 3.43). U3: Rotación del nodo, en la dirección del eje perpendicular al plano que contiene el pórtico (Dirección 6, ver figura 3.43). rf1: Reacción en la dirección horizontal (Dirección 1, ver figura 3.43), sólo valido para los nodos que definen las condiciones de apoyo. rf2: Reacción en la dirección vertical (Dirección 2, ver figura 3.43), está variables es válida únicamente para los nodos que definen las condiciones de apoyo del pórtico.


rf3: Reacción en la dirección seis (ver figura 3.43), únicamente permitido para los nodos que definen las condiciones de apoyo del pórtico. f1: Fuerza del nodo en la dirección 1. f2: Fuerza del nodo en la dirección 2. m3: Momento flector del nodo en la dirección 6. t: Tiempo Velocidades Aceleraciones Si se desea graficar para un elemento aparecen las siguientes componentes “Y” y “X” que el usuario puede seleccionar: Rotación total del nodo i (sdv1) Rotación total del nodo i (sdv2) Deformación axial del elemento (sdv3) Momento flector nodo i (sdv4) Momento flector nodo i (sdv5) Carga axial (sdv6) Rotación plástica permanente en la rotula i (sdv7) Rotación plástica permanente en la rotula j (sdv8) Daño positivo en la rotula i (sdv9) Daño positivo en la rotula j (sdv10) Daño negativo en la rotula i (sdv11) Daño negativo en la rotula j (sdv12) Rotación plástica máxima en la rotula i (sdv13) Rotación plástica máxima en la rotula j (sdv14) Tasa de disipación de energía en la rotula i agrietamiento positivo (sdv15) Tasa de disipación de energía en la rotula j agrietamiento positivo (sdv16) Tasa de disipación de energía en la rotula i agrietamiento negativo (sdv17) Tasa de disipación de energía en la rotula j agrietamiento negativo (sdv18) Tiempo Para graficar el usuario debe seleccionar una componente “Y” y una componente “X”, por ejemplo u1 y t; luego hace click en la opción agregar y en la parte inferior de la pantalla aparece la componente Y y X seleccionada. Este procedimiento se puede repetir dependiendo del número de graficas a realizar.


Figura 3.75 Selección de las variables a graficar. Finalmente, para indicar el nodo o elemento que se desea graficar, se debe seleccionar una fila y haciendo click con el botón derecho, aparece la opción “Modificar”.

Figura 3.76 Selección del elemento o nodo que se desea graficar. Si no se selecciona ninguna fila aparecerá el siguiente mensaje:

Figura 3.77 Mensaje de Advertencia que se despliega al intentar graficar sin seleccionar el nodo o elemento. Al hacer click en la opción “Modificar” se puede escoger el número del nodo o del elemento a graficar, a través de la siguiente pantalla.


Figura 3.78 Pantalla que permite seleccionar el nodo o elemento a graficar. Una vez que se ha seleccionado el nodo o elemento según sea el caso, se hace click en la opción “Graficar”

Las gráficas resultantes tienen la siguiente forma:

Figura 3.79 Grafica de desplazamiento versus tiempo que se genera en el postprocesador. Además cuentan con la posibilidad de mostrar la tabla de resultados para cada una de las gráficas, a través de la opción “Ver Tabla”.


Figura 3.80 Tabla X y Y de la gráfica generada. Si el usuario desea guardar la tabla de resultados para su posterior uso, selecciona la opción “Guardar” y se indica la ubicación donde desea guardar el mismo.

Figura 3.81 Pantalla que se despliega para guardar los datos de la gráfica. Si el archivo se escribió correctamente se despliega el siguiente mensaje:

Figura 3.82 Mensaje de información que se despliega cuando se guarda el archivo satisfactoriamente. El usuario tendrá la opción de generar el mapa de daño de la estructura analizada por medio del submenú Mapa de daño. El mapa de daño es una representación gráfica del conjunto de valores de las variables de daño que se obtuvieron en el análisis de una estructura, como se muestra en la figura 3.84. El usuario puede visualizar el mapa de daño, una vez concluido el análisis, tanto en cada instante intervalo de tiempo como al final del análisis Haciendo click en “cargar pórtico nuevo” tendrá la opción de seleccionar del listados de archivos que posee en la cuenta del servidor, el archivo que desee, recordando que solo los archivos con extensión .fin pueden ser usados para generar los mapas de daños de la estructura. Se desplegará una pantalla como la siguiente:


Figura 3.83. Pantalla que se despliega para seleccionar el archivo a procesar. Una vez seleccionado el archivo, aparecerá en pantalla la geometría de la estructura; haciendo click en el segundo icono “dibujar mapa de daño” se muestra el nivel de daño alcanzado por los elementos de la estructura al final del análisis, obsérvese que la barra deslizable del tiempo debe estar posicionada al extremo derecho, lo que indica el final del análisis. Si se desea obtener los daños alcanzados por los elementos en cualquier intervalo de tiempo del análisis basta con mover dicha barra hasta posicionarla en el tiempo deseado. El usuario tendrá la opción de importar el mapa de daño desde el postprocesador como un archivo .jpg para su posterior uso. El icono de “Animación” que se encuentra en el submenú “Mapa de daño” permite obtener una historia de la aparición de los daños en cada elemento a través del tiempo.

Figura 3.84. Mapa de daño del pórtico analizado. Como se observa en la figura, los daños son representados por círculos de distintos tamaños que indican el nivel de daño alcanzado en el elemento; este nivel de daño toma valores entre 0 y 1, donde cero (0) indica un elemento intacto, que no ha sufrido daño, mientras que


el valor de uno (1) representa un elemento completamente dañado, es decir el nivel de agrietamiento en el elemento es tal, que no se considera reparable. En los recuadros ubicados en la parte superior derecha de la pantalla se observan los valores de daño positivo y negativo para cada elemento, dichos valores son obtenidos haciendo click sobre el círculo correspondiente a dicho elemento. En el icono “ver tabla” se podrán obtener los valores de daño positivo y negativo de todos los elementos tanto en el extremo i como en el extremo j, además el usuario tiene la opción de guardar en su máquina local dicha tabla.

Figura 3.85. Tabla de los valores de daños positivos y negativos de los extremos “i” y “j”.

Capitulo IV Simulaciones numéricas y evaluación del modelo.


CAPITULO IV

Simulaciones numéricas y evaluación del modelo. El modelo histerético de daño y fatiga de bajo ciclaje, fué ensamblado y adaptado en un programa llamado MDC, como se indicó en el capítulo dos sección 2.9. Dicho programa fue acoplado a los programas de elementos finitos: ABAQUS y el PROCESADOR del Portal de Pórticos (PDP). De esta manera, el programa de elementos finitos permite realizar análisis no lineal de estructuras planas de concreto armado con el modelo MDC. Los datos de entrada que requiere el sistema PDP para el análisis de la estructura son: Geometría de la estructura: Coordenadas de los nodos. Condiciones de los apoyos: Restricciones de los nodos de apoyo. Definición de los elementos: Elemento finito definido por el usuario. Propiedades de los elementos: Distribución del refuerzo transversal y longitudinal,

características de los materiales concreto y acero. Historia de carga y/o desplazamientos (tipo de análisis estático y/o dinámico).

Los resultados obtenidos del programa de elementos finitos (ABAQUS o PROCESADOR del PDP) y el modelo histerético de daño y fatiga de bajo ciclaje (MDC), después de interactuar, son los siguientes: Deformaciones totales {φ} en los extremos de los elementos de los miembros. Momentos en los extremos y fuerzas axiales de los miembros {M}. Rotaciones plásticas en los extremos de los miembros {φp}. Daños en los extremos de los miembros { }−−++

jiji d,d,d,d . Fuerzas termodinámicas asociadas al daño y a las deformaciones plásticas {G}. Desplazamiento, velocidad y aceleración de los nodos, { } { } { }X,X,X &&& . Reacciones en los apoyos.

Con el fin de validar el módulo “Preprocesador”, verificar el ensamblaje y adaptación del elemento finito propuesto (MDC) en el programa no lineal de elementos finitos “Procesador” del sistema PDP, se realizaron siete simulaciones numéricas de ensayos experimentales encontrados en la literatura usando la implementación numérica del modelo histerético de daño y fatiga de bajo ciclaje descrita en el capítulo dos. El elemento finito implementado incluye la caracterización de los siguientes efectos: pérdida de resistencia y rigidez, fatiga de bajo ciclaje, flexión con fuerzas axiales variables, secciones transversales asimétricas y efecto Baushinger, modelado de la evolución del daño en estructuras planas aporticadas de concreto armado. En el marco conceptual desarrollado en la Universidad de Los Andes para la simulación numérica del proceso de daño en estructuras aporticadas, se han validado otros modelos de elementos finitos, como:

• Modelo de daño concentrado considerando el deslizamiento del refuerzo y el concreto en juntas viga plana-columna [12].



• Modelo de daño concentrado para la mampostería [33]. • Modelo de daño concentrado considerando elevados esfuerzos cortantes [34]. • Modelo de daño concentrado en elementos tridimensionales [31,32].

MDC es el primer modelo que se adapta al sistema PDP. En un futuro, se incluirán al sistema PDP una mayor librería de elementos finitos que permitan caracterizar otros efectos, como por ejemplo el estrangulamiento en el comportamiento histerético de los elementos estructurales. Para incluir los modelos anteriores en la librería de elementos finitos al sistema PDP, se deberá realizar su adaptación, ya que el sistema requiere una optimización en la programación de los mismos para obtener un análisis más eficiente. A continuación se presenta las simulaciones realizadas con el modelo MDC de ensayos experimentales encontrados en la literatura.

4.1 ENSAYO EXPERIMENTAL DE ABRAMS ET AL. [3]. Abrams et al. [3] ensayaron diez (10) especimenes de columnas sometidas a desplazamientos laterales reversibles con el propósito de estudiar la influencia de la variación de la fuerza axial en el comportamiento histerético a flexión en las columnas de concreto armado. En esta sección se presentan dos simulaciones de diferentes ensayos experimentales realizados por Abrams et al. [3]. El primer ensayo (C1) son elementos verticales sometidos a carga axial constante. El segundo ensayo experimental (C8) simulado fue sometido a carga axial variable. Todos los especimenes ensayados consisten en columnas vaciadas monolíticamente con su viga de fundación. Los mismos tenían como refuerzo longitudinal cuatro barras número seis (6) y como refuerzo transversal barras número tres (3) separadas cada sesenta y cuatro milímetros (64mm = 2.5 pulg.). La sección transversal es de trescientos cinco milímetros por doscientos treinta milímetros (305mm x 230mm). La altura de cada columna es de un metro sesenta (1.6m). El esfuerzo de fluencia del acero (Fy) utilizado es de cuatrocientos veintitrés mega pascales (423Mpa = 4313.42Kg/cm2). Las características geométricas de las columnas se muestran en la figura 4.1.



Figura 4.1 Geometría de los especimenes C1 y C8.

4.1.1 Simulación del ensayo experimental (C1). El ensayo experimental (C1) realizado por Abrams et al. [3] fue sometido a una fuerza axial (N) de compresión constante de trescientos diez kilonewton (310KN = 31.61ton) y a una historia de desplazamiento lateral (δ), como se muestra en la figura 4.2a. Los especimenes (C1) poseían una resistencia última del concreto de cuarenta y dos punto tres mega pascales (f´c = 42.3Mpa = 431.34Kg/cm2).

Figura 4.2. a) Historia de desplazamiento lateral y b) bosquejo de los aparatos en los ensayos experimentales (C1) y (C8).

En la figura 4.3a se muestra los resultados experimentales obtenidos para el espécimen (C1), y en la figura 4.3b se muestra la curva de comportamiento obtenida en la simulación del ensayo (C1) con el modelo MDC.

5 10

15

Tiempo

Des

plaz

amie

nto

60 mm

60 mm

Bloque de reacción de concreto

Espécimen

Actuador 155 KN

Actuador 735

δ

N

b) a)

4 barras # 6

230

mm

305 mm

44 m

m 44 mm

Sección A-A

A A 1.

6m

050

m0.

76m

1.82 m

δ- δ+



Figura 4.3. Relación Momento vs. Curvatura para fuerza axial constante del a) ensayo experimental (C1)

realizado por Abrams et al. [3] y b) la simulación de espécimen (C1) con el modelo MDC. Se observa en la curva de comportamiento momento-curvatura del ensayo experimental control (C1), ver figura 4.3a, que la relación momento-curvatura fue simétrica en cada medio ciclo de carga, y no se obtuvo una significativa disminución en la resistencia para los ciclos donde la rotación es mayor a 0.03 radianes. La semejanza entre las curvas del ensayo experimental (C1) y la simulación proporciona la bondad del modelo MDC para simular los efectos histerético del daño y la fatiga de bajo ciclaje.

4.1.2 Simulación del ensayo experimental (C8). El ensayo experimental (C8) realizado por Abrams et al. [3] consistió en un elemento vertical, empotrado en uno de sus extremos y sometido a desplazamientos histeréticos en el extremo libre y a una fuerza axial variable. La variación de la carga axial se consideró como una función lineal de la deflexión lateral, como se muestra en la figura 4.4. El rango de la fuerza de compresión axial se encontró entre los valores de cuarenta y cinco a quinientos setenta y cinco Kilonewton (45 a 575 KN). La geometría de la estructura es similar al ensayo C1. La resistencia última del concreto en el espécimen (C8) es de cuarenta y cinco punto nueve mega pascales (f´c = 45.9Mpa = 468.05Kg/cm2).

Figura 4.4. Historia de la fuerza axial con variación lineal respecto al desplazamiento lateral en el espécimen (C8).

Fuer

za a

xial

(KN

)

Desplazamiento (δ)

575 KN

310 KN

45 KN

2∆y = 1.6 cm

Derecha

Izquierda

H

P P

∆

a) C1

-120

-100-80

-60-40

-200

2040

6080

100

-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04θ

M (KN)

Todos los ciclos.

b)

7 a 16 ciclos.

M plástico



C8

-140

-100

-60

-20

20

60

100

-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04

θ

M (KN-m)

Todos los ciclos Ciclos del 7 al 16

a) b)

La curva de comportamiento histerético del ensayo experimental (C8) se muestra en la figura 4.5a y la curva de la simulación realizada con el modelo MDC se muestra en la figura 4.5b. En la curva de comportamiento momento–curvatura del ensayo experimental (C8), figura 4.5a, se observa que la relación entre el momento y la rotación fue asimétrica aún cuando la sección transversal es simétrica, es decir acero positivo igual al acero negativo, como se muestra en la figura 4.1. Además se observa que la forma de los lazos histeréticos fue influenciada por la variación de la fuerza axial con los cambios en la deflexión lateral. La simulación numérica del ensayo (C8), figura 4.5b, muestra mucha similitud con el ensayo experimental (C8) de Abrams et al. [3], admitiendo así que el modelo de daño concentrado (MDC) permite representar también el comportamiento histerético de los elementos estructurales cuando la carga axial varía con la deflexión.

Figura 4.5. Curva de comportamiento Momento vs. Curvatura con variación en la carga axial respecto a la deflexión a) del ensayo experimental C8 y b) de la simulación con el modelo MDC del espécimen C8

realizado por Abrams et al. [3].

4.2 ENSAYO EXPERIMENTAL DE BOUSIAS ET AL. [6]. Bousias et al. [6] ensayaron doce especimenes tipo columnas para estudiar el efecto de la trayectoria de la carga en el comportamiento biaxial de columnas con carga axial. En esta sección se describe el ensayo experimental (So) y su respectiva simulación con el modelo MDC. El ensayo experimental (So) realizado por Bousias et al. [6] es similar a el espécimen que analizó Gutiérrez et al. [5] en el estudio del efecto de la rapidez de carga en columnas de concreto armado. El ensayo (So) es un elemento tipo columna de concreto armado de uno punto cinco metros (1.5m) de altura y vaciada monolíticamente con la base de fundación de un



metro (1m) de largo por medio metro (0.5m) de alto. La sección transversal del espécimen (So) es de veinticinco centímetros por veinticinco centímetros (25x25cm). Se uso para el diseño y detalles de los aceros de refuerzo el código EUROCODE 8 (1988) para construcciones en zonas sísmicas. El refuerzo longitudinal consiste en ocho (8) barras de acero de diámetro de dieciséis milímetros (16 mm). Estribos barras de diámetro de ocho milímetros (8mm) separados cada setenta milímetros (70mm), como se muestra en la figura 4.6. Las características mecánicas de los materiales usados en el espécimen (So) se detallan en la tabla 4.1.

Característica del material Valor Resistencia del concreto (f`c) 30.75Mpa = 313.56kg/cm2 Esfuerzo de cedencia del acero (Fy) 460Mpa = 4690.71Kg/cm2 Esfuerzo último del acero (fsu) 710Mpa = 7240.0Kg/cm2 Deformación última del acero (esm) 11%

Tabla 4.1 Características mecánicas de los materiales (acero y concreto) del espécimen experimental

(So).

Figura 4.6. Características geométricas del espécimen (So) de Gutiérrez et al. [5]. Bousias et al. [6] estudiaron el espécimen (So) bajo carga axial constante y deflexión cíclica uniaxial, aplicando tres secuencias de ciclos de deflexión. Cada secuencia de ciclos consiste de trece (13) ciclos. En los siete primeros ciclos se incrementa la amplitud y en los siguientes seis ciclo la amplitud va disminuyendo, como se muestra en la figura 4.7.

40 mm Lamina de carga

70 mm

15 mm

16 mm

Pieza del pórtico de carga

12

100

1490 mm

500 mm

1000 mm

30

250 mm

Acero longitudinal: 8 Barras de diámetro 16 mm. Estribos: Barras de diámetro 8 mm.



Figura 4.7. Historia de desplazamiento lateral impuesto al espécimen (So).

En las dos primeras secuencia de ciclos se observa una degradación significativa de la rigidez en los lazos de Fuerza vs. Deflexión para los ciclos donde disminuía la amplitud en comparación con los ciclos donde se incrementa la amplitud, tal degradación es menos evidente en la tercera secuencia de ciclos, ver figura 4.8a. En la simulación numérica del ensayo (So) se obtuvo niveles de carga similares a los indicados en el ensayo experimental (So), resaltándose una diferencia aproximadamente del 15%. También se observa en las curvas de respuesta Fuerza vs. Desplazamiento de la simulación numérica del espécimen (So) que poseen forma y tendencia similar a las curvas de respuesta del ensayo experimental (So), logrando representar la degradación tanto de la rigidez como de la resistencia, ver figura 4.8b. En las figuras 4.8a. y 4.8b. se observa un comportamiento simétrico en los lazos de Fuerza vs. Desplazamiento debido a que el espécimen (So) posee un refuerzo longitudinal simétrico (ver figura 4.6).

-100

-50

0

50

100

Tiempo

Des

plaz

amie

nto

(mm

)



Figura 4.8 Curva de Comportamiento Fuerza vs. Desplazamiento bajo carga axial constante y deflexión

cíclica uníaxial del a) Ensayo experimental (So) realizado por Bousias et al. [6] y su b) Simulación teórica con el Modelo MDC.

4.3 ENSAYOS EXPERIMENTALES DE BERTERO ET AL. [10]. Para conocer el comportamiento histerético de elementos en voladizo Bertero et al. [10] ensayaron varios especimenes consistentes en vigas en volado con diferentes secciones transversales y longitudes. A continuación se describen los ensayos experimentales (R3) y (R6). El ensayo experimental (R3) consistió en una viga en volado con longitud de 1.5875 metros, empotrada en uno de sus extremos y sometida a desplazamientos histeréticos en el extremo libre. El espécimen (R6) tiene una longitud de 1.65 metros con geometría similar a el ensayo (R3). Los detalles de la sección transversal de ambas vigas y sus características geométricas se muestran en la figura 4.9.

-80

-40

0

40

80

-100 -50 0 50 100

-80

-40

0

40

80-80,0

-40,0

0,0

40,0

80,0

Fuer

za (

KN)

Fuer

za (

KN)

Fuer

za (

KN)

Desplazamiento (mm)

b)a)

Fuer

za (

KN)

Fuer

za (

KN)

Fuer

za (

KN)

Desplazamiento (mm)



Figura 4.9. Características geométricas de los especimenes (R3) y (R6) ensayados por Bertero et al. [10]. Al comparar la viga (R3) con la viga (R6) se puede notar que existe diferencia en la sección transversal y en la longitud. Las curvas de comportamiento fuerza-deflexión del ensayo experimental y de las simulaciones realizadas con el modelo MDC se muestran en la figura 4.10.

10 pies 16”

52”

52”

17”

16”

δ

L=61,5 pulg. = 158.75 31,5 pulg.

100” = 254 cm.

"2 41

"13 83

"7 41

45º Estribos más ganchos

superpuestos,#2

4#6

3#5

"16

"9b) Sección transversal del espécimen R3

"2 41

"13 83

"7 41

45º

Estribos dobles con barras #2

4#6

4#6

"16

"9 c) Sección transversal

del espécimen R6

1pies = 12”

Historia de desplazamiento del espécimen R6

Des

plaz

amie

nto

(pul

g.)

Historia de desplazamiento del espécimen R3

Des

plaz

amie

nto

(pul

g.)



Figura 4.10. Curvas de comportamiento histerético fuerza vs desplazamiento del a) ensayo experimental (R3), b) la simulación numérica con el modelo MDC del ensayo (R3), c) el ensayo experimental (R6)

realizado por Bertero et al [10] y la d) simulación numérica con el modelo MDC del ensayo (R6). El ensayo experimental (R3) presenta un nivel de estrangulamiento mayor que el ensayo (R6), como se observa al comparar las figuras 4.10a y 4.10c, esto se atribuye a que (R3) posee una longitud menor respecto a (R6). En las simulaciones numéricas obtenidas usando el modelo MDC se observa la degradación de resistencia, ver figuras 4.10b y 4.10d. Además, en las simulaciones se logró representar el comportamiento histerético obteniendo valores de fuerza y de desplazamiento similares a los resultados experimentales como se muestra en la figura 4.10.

4.4 ENSAYO EXPERIMENTAL DE VECCHIO ET AL. [9]. Vecchio et al. [9] ensayaron un pórtico a escala real para corroborar un procedimiento analítico que permite determinar la influencia de la deformación por corte en el comportamiento de los pórticos de concreto armado. El pórtico analizado a escala real consta de un tramo, cuya luz es de tres mil quinientos milímetros (3500 mm), y dos niveles de entrepiso. El primer nivel posee una altura de dos mil doscientos milímetros

R6

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D esplazamiento (pulg.)Desplazamiento ( l )

Fuer

za

c) d)

R3

-20

-10

0

10

20

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Desplazamiento (pulg.)

P (KIPS)

Desplazamiento

P a) b)



(2200 mm), mientras que la altura del segundo nivel es de dos mil milímetros (2000mm). Las secciones transversales de todos los miembros del pórtico son de trescientos milímetros (300mm) de ancho por cuatrocientos milímetros de profundidad (400mm) con un refuerzo longitudinal de ocho barras Nº 20, la barra Nº 20 posee un área transversal de trescientos milímetros cuadrados (300mm2). El refuerzo transversal consta de barras Nº 10 espaciadas cada ciento veinticinco milímetros (125mm), la barra de acero Nº 10 tiene un área transversal de cien milímetros cuadrados (100mm2) El pórtico fue vaciado monolíticamente con una base de fundación grande y altamente reforzada. Los detalles de las secciones y del pórtico son dados en la figura 4.11. Las características mecánicas de los materiales usados en el pórtico se dan en la tabla 4.2.

Característica del material Valor Resistencia del concreto (f`c) 30 Mpa = 305.91Kg/cm2 Esfuerzo de cedencia del acero (Fy) 418Mpa = 4262.35Kg/cm2 Esfuerzo último del acero (fsu) 596Mpa = 6077.41Kg/cm2 Deformación última del acero (esm) 11%

Tabla 4.2 Características mecánicas de los materiales del pórtico ensayado por Vecchio et al [9].

El pórtico analizado se sometió a cargas axiales constante de setecientos Kilonewton (700KN) en cada columna combinada con una carga lateral aplicada monotónicamente en la viga del nivel superior del pórtico hasta llegar a su capacidad última.

En la figura 4.12a se observa la respuesta total carga-deformación del pórtico ensayado. El desplazamiento lateral medido es graficado en el tope del pórtico versus la carga lateral aplicada. La predicción teórica del comportamiento del pórtico fue obtenida usando el modelo MDC, considerando para su análisis la geometría del pórtico ensayado y los detalles del refuerzo así como las propiedades mecánicas del material. Como se observa en la figura 4.12b la respuesta carga-deformación y la capacidad de carga última del pórtico pueden ser simuladas con una aproximación razonable.

La respuesta carga-deformación, la capacidad de carga última y los mecanismos de falla de un pórtico así como el comportamiento local pueden ser simulados de manera adecuada con el modelo propuesto.



Figura 4.11 Características geométricas del pórtico ensayado por Vecchio et al. [9].

Figura 4.12. Curva de comportamiento Fuerza vs. Desplazamiento a) en el ensayo experimental del

pórtico de Vecchio et al.[9] y b) en la simulación numérica con el modelo MDC.

4.5 ENSAYO EXPERIMENTAL DE FANG ET AL. [8]. Fang et al. [8] ensayaron quince especimenes para estudiar el comportamiento cíclico en vigas cortas en voladizo de concreto de alta resistencia y poca cantidad de reforzamiento a flexión. Los especimenes fueron sometidos a cargas monotónicas y varios tipos de cargas cíclicas. En esta sección se describe el espécimen (LB1-6) el cual es un elemento en voladizo cuya sección transversal es asimétrica. El mismo se sometió a carga lateral como se muestra en la figura 4.13. El valor de la resistencia del concreto es de sesenta y ocho punto dos mega pascales (f´c = 68.2 Mpa. = 600 Kgf/cm2). Los detalles del espécimen y las características geométricas se indican en la figura 4.14. El

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Desplazamiento (mm)

Fuer

za (K

N)

Fuer

za (

KN

)

Desplazamiento (mm)

900 400 3100 5700

400 900 400

400

1800

1600

4600 400

Todas las dimensiones en mm.

700 kN 700 kN

Q

400

4 # 20

300

#10

Sección B-B

4 # 20

320 20 202020

300

300

30

30 20

4 # 20

4 # 20

3020203075 50 75

Sección A-A

A

A

A

A

B B

B B

B B

B B



comportamiento histerético del ensayo experimental (LB1-6) y su simulación numérica realizada con el modelo MDC se muestra en la figura 4.15.

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 30

µ=∆/

∆y

Figura 4.13. Historia de desplazamiento lateral.

Figura 4.14. Características geométricas del espécimen (LB1-6).

En los resultados experimentales del espécimen (LB1-6) se observa que existe un comportamiento cíclico asimétrico el cual se debe a la presencia de refuerzo longitudinal asimétrico. También se evidencia la degradación de resistencia, ver figura 4.15a. La respuesta del espécimen (LB1-6) en su simulación numérica realizada con el modelo MDC se observa un comportamiento muy similar a los resultados experimentales, tanto en los valores de fuerza-desplazamiento como en el comportamiento cíclico asimétrico como se evidencia en la figura 4.15b.

Figura 4.15. Comportamiento Fuerza vs. Desplazamiento del a) ensayo experimental (LB1-6) realizado

por Fang et al. [8] y b) la simulación del espécimen (LB1-6) con el modelo MDC.

750 mm 1150 mm

520

mm

400

mm

δ

A

A

200 mm

200

mm

4 φ # 5

2 φ # 5

Sección A-A

Estribos barras # 3

LB 1 - 6

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120

Desplazamiento (mm)

a) b)

Conclusiones.


CAPITULO V

Conclusiones. El modelo de daño concentrado desarrollado está basado en los conceptos básicos de mecánica de la fractura y la teoría del daño continuo combinados el concepto de rótula plástica. En el caso particular del concreto armado el cual constituye la inmensa mayoría de las edificaciones aporticadas, este marco conceptual permite representar la mayor parte de los efectos identificados. Específicamente, el modelo incluye la caracterización de los siguientes fenómenos: pérdida de resistencia y rigidez, fatiga de bajo ciclaje, flexión con fuerzas axiales variables, secciones transversales asimétricas y efecto Baushinger. Las ventajas del enfoque del modelo MDC con respecto a los modelos alternativos en la literatura son las siguientes:

• Está basado en principios físicos fundamentales. En los modelos alternativos más empleados el comportamiento se describe mediante un conjunto de rectas cuyas pendientes se calculan sobre la base de criterios semi-empíricos.

• Los coeficientes necesarios para las simulaciones pueden ser calculados con métodos sencillos y prácticos, una vez que sean determinados parámetros tales como la rigidez del elemento, rotaciones plásticas últimas ante momentos positivos y negativos, los momentos de agrietamiento, de plastificación y últimos resistentes durante una solicitación monotónica. Estos parámetros característicos de cada elemento estructural se pueden determinar empleando la teoría elemental de concreto armado. En los modelos descritos en la literatura, para lograr las simulaciones se requiere la determinación de numerosos coeficientes empíricos que requieren de una identificación experimental, notándose así una ventaja fundamental para el uso práctico del modelo.

• El análisis del daño estructural se realiza simultáneamente con el análisis estructural. Ambos cálculos están acoplados, ya que en el modelo desarrollado la rigidez de la estructura depende de su estado de daño y este a su vez de la repartición de fuerzas sobre los elementos del pórtico. En los modelos alternativos más utilizados, el análisis de daño se hace después del análisis estructural y requiere del empleo de parámetros semi-empíricos adicionales.

• Adicionalmente, su implementación en el portal de pórtico es sencilla. El desarrollo del programa de elementos finitos asistido por la Web ofrece a las oficinas de cálculo de obras civiles y también a las Universidades que lo deseen, un sistema para la evaluación del comportamiento de estructuras aporticadas durante eventos sísmicos. Y por ser un sistema al cual se accede a través de la Internet, el costo de una simulación sería más económica que con un software comercial. En el sistema PDP se implementarán otros modelos de elementos finitos, que ya han sido validados en la Universidad de Los Andes, que influirán la caracterización de otros efectos como por ejemplo: el estrangulamiento en el comportamiento histerético de los

Conclusiones.


elementos de concreto, esfuerzos cortantes elevados, el modelo de daño en la mampostería.

Referencias.


REFERENCIAS.

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[9] Vecchio Frank J. and Emara Mohamed Basil. “Shear Deformations in Reinforced Concreto Frames.” ACI Structural Journal, Technical Paper, Title no. 89-S6, January-February 1992, pp. 46-56.

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[16] Breve descripción del programa ETABS. [Pagina Web en línea] Disponible en: http://www.csiberkeley.com/ETABS_Software.html.

[17] Breve descripción del programa STAAD. [Pagina Web en línea] Disponible en: http://www.staadpro.co.uk/.

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