Posicion y Mov d Pryectil
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Vectores posicin, velocidad yaceleracin
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Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Sea el vector posicinr
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Sea el vector posicin
La curva que describe lapartcula es la trayectoria
r
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Sea el vector posicin
La curva que describe lapartcula es la trayectoria
Defino el desplazamiento:
r
r=r fr i
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Sea el vector posicin
La curva que describe lapartcula es la trayectoria
Defino el desplazamiento:
Defino velocidad promedio:
r
r=r fr i
v =rt
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Igual que antes defino la velocidad instantnea:
v=r=d rdt
=limt0rt
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Igual que antes defino la velocidad instantnea:
Observamos que la velocidad instantnea es tangente punto a punto a la curva de la trayectoria
v=r=d rdt
=limt0rt
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Anlogamente defino la aceleracin promedio y la aceleracin instantnea:
Aceleracin promedio:
Aceleracin instantnea:
a=r=
d2rdt2
=v=d vd t =limt0vt
a=vt
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Las mismas ecuaciones de Movimiento Uniformemente Acelerado de antes valen para un movimiento con aceleracin constante
r t =r iv it12at2
a
v t =v iat
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Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Las mismas ecuaciones de Movimiento Uniformemente Acelerado de antes valen para un movimiento con aceleracin constante
a
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Es til trabajar con componentes
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Es til trabajar con componentes
con
r t =r iv i t12at2=x t iy t j
x t =x iv xi t12 ax t
2
y t =y iv yi t12 ay t
2
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Es til trabajar con componentes
Anlogamente:
con
v t =r t =v iat=v x t iv y t j= x t i y t j
v x t = x t =v xiax t
v y t = y t =v yiay t
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Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Ejemplo
Una partcula parte delorigen de coordenadascon velocidad inicialdada por v
x0=20 m/s y
vy0
=-15 m/s.En todo instante suponemosque su aceleracin es constante y horizontal, dada por a
x=4,0 m/s2 (y a
y=0 m/s2).
Queremos hayar la velocidad y la posicin de la partcula comofuncin del tiempo.
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Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Ejemplo
Entonces, como tengomovimiento uniformementeacelerado
x t =x ivxi t12 ax t
2
y t =y ivyi t12 ay t
2=0m15m/st12 0m/s2t2=15m/s t
x t =0m20m/s t12 4,0m/s2t2=20m/st12 4,0m/s
2t2
-
Vectores posicin, velocidad yaceleracin
Ejemplo
Entonces, como tengomovimiento uniformementeacelerado
vx t =vxiax t
vy t =vyiay t=15m/s0m/s2t=15m/s=cte.
vx t =20m/s4,0m/s2t
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Movimiento de Proyectiles
-
Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente acelerado
-
Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoObservamos que el movimiento
es siempre parablico
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoObservamos que el movimiento
es siempre parablico
x t =x0vx0 t
y t = y0v y0 t12
g t 2
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoObservamos que el movimiento
es siempre parablico
La aceleracin horizontal es
nula y la aceleracion vertical
est dada por -g
x t =x0vx0 t
y t = y0v y0 t12
g t 2
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoObservamos que el movimiento
es siempre parablico
Si el mdulo de la velocidad
inicial es y el ngulo
que forma con la horizontal es 0, entonces
x t =x0vx0 t
y t = y0v y0 t12
g t 2
v0=v0
v x0=v0cos 0v y0=v0sin 0
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoSustituimos en las leyes horarias:
x t =x0v0cos 0 t
y t = y0v0sin 0t12
g t 2
-
Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoSustituimos en las leyes horarias:
Si adems asumimos que
partimos del origen de
coordenadas,
por lo cual las leyes horarias quedan como:
x t =x0v0cos 0 t
y t = y0v0sin 0t12
g t 2
x0=y0=0
x t =v0cos 0 ty t =v0sin 0t12
g t 2
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente acelerado
Utilizando la primera ecuacin:
x t =v0cos 0 t
y t =v0sin 0t12
g t 2
t= xv0cos 0
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente acelerado
Utilizando la primera ecuacin:
Sustituyendo en la segunda
tenemos:
x t =v0cos 0 t
y t =v0sin 0t12
g t 2
t= xv0cos 0
y=v0sin0xv0cos0
12
g x2
v0cos 02
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente acelerado
Utilizando la primera ecuacin:
Sustituyendo en la segunda
tenemos:
x t =v0cos 0 t
y t =v0sin 0t12
g t 2
t= xv0cos 0
y= tan 0 x g2v0cos02 x2
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente acelerado
Utilizando la primera ecuacin:
Sustituyendo en la segunda
tenemos:
x t =v0cos 0 t
y t =v0sin 0t12
g t 2
t= xv0cos 0
y= tan 0 x g2v0cos02 x2 Trayectoria
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoSi miramos la ley horaria en
forma vectorial:
Donde hemos supuesto que
r t =v0 t12
g t 2
g=g j
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoSi miramos la ley horaria en
forma vectorial:
Donde hemos supuesto que
Observamos las componentes del desplazamiento, visto como suma de vectores
r t =v0 t12
g t 2
g=g j
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoSi miramos la ley horaria en
forma vectorial:
Donde hemos supuesto que
Observamos las componentes del desplazamiento, visto como suma de vectores
En general, el movimiento de proyectil es una composicin de movimiento rectilneo uniforme en la horizontal, y movimiento uniformemente acelerado en la vertical (cada libre)
r t = v0 t12
g t 2
g=g j
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Movimiento de Proyectiles Usamos las ecuaciones de movimiento
uniformemente aceleradoObservamos los vectores velocidad
y aceleracin en cada punto de la
trayectoria
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectil
-
Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil.
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
v y t =v y0g t=v0sin 0g t
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
Despejando el instante cuando se anula
la velocidad:
v y t =v y0g t=v0sin 0g t
t A=v0sin 0
g
-
Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
Despejando el instante cuando se anula
la velocidad:
Sustituyendo en la ley horaria
v y t =v y0g t=v0sin 0g t
t A=v0sin 0
g
h= y A=v0sin0 t A12
g t A2
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
Despejando el instante cuando se anula
la velocidad:
Sustituyendo en la ley horaria
v y t =v y0g t=v0sin 0g t
t A=v0sin 0
g
h=v0sin 0v0sin 0
g1
2g v0sin 0g
2
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilQuiero determinar la mxima altura h a la
que llega el proyectil. Esta altura se alcanza
cuando la componente vertical de la
velocidad se anula.
Despejando el instante cuando se anula
la velocidad:
Sustituyendo en la ley horaria
v y t =v y0g t=v0sin 0g t
t A=v0sin 0
g
h=v0sin0
2
gv0sin 0
2
2g=
v02sin202 g
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectil Ahora quiero determinar el alcance R,
que es la distancia horizontal a la que se
encontrar el proyectil en un tiempo t B=2 t A
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectil Ahora quiero determinar el alcance R,
que es la distancia horizontal a la que se
encontrar el proyectil en un tiempo
Sustituyo en la ley horaria:
t B=2 t A
x t B=R=vx0 t B=v0cos 02tA
R=v0cos02 v0sin 0
g
-
Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectil Ahora quiero determinar el alcance R,
que es la distancia horizontal a la que se
encontrar el proyectil en un tiempo
Sustituyo en la ley horaria:
Utilizando la identidad trigonomtrica
t B=2 t A
x t B=R=vx0 t B=v0cos 02t A
R=v0cos02 v0sin 0
gsin 2=2sincos
R=v02sin20
g
-
Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilDe la forma del alcance:
R=
v02sin20
g
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilDe la forma del alcance:
Es claro que el alcance mximo se obtiene
cuando , o sea cuando
, lo que corresponde a
R=v02sin 20
g
sin 20=1
20=900=45
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilObservamos que para cada posible
valor de R hay 2 posibles ngulos
de la velocidad inicial
(complementarios) para los cuales
el alcance de la trayectoria ser R.
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilEjemplo:
Un deportista de salto largo, deja el piso a una velocidad inicial de 11,0
m/s
de magnitud y un ngulo de 20,0 con
respecto a la horizontal. Queremos
saber, en la aproximacin de partcula
puntual, que tan lejos llega en la horizontal.
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilEjemplo:
Calculo el tiempo que demora en llegar al piso, que como antes es el doble del tiempo en el que llega al punto ms alto
t B=2 t A
t A=v0sin 0
g=11,0m/ ssin 20,0
9,80m /s2
t A=0, 384 st B=2 t A=20,384 s=0,768 s
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Movimiento de Proyectiles Alcance horizontal y mxima altura de un
proyectilEjemplo:
Sustituyo el tiempo en la ley horaria
de la horizontal:
Lo cual es un valor razonable para un salto de un atleta olmpico.
R=x tB=v0cos 0 tB
R=11,0m/ scos 20,0 0,768 s
R=7,94m
Pgina 1Pgina 2Pgina 3Pgina 4Pgina 5Pgina 6Pgina 7Pgina 8Pgina 9Pgina 10Pgina 11Pgina 12Pgina 13Pgina 14Pgina 15Pgina 16Objetivo a largo plazoPgina 18Pgina 19Pgina 20Pgina 21Pgina 22Pgina 23Pgina 24Pgina 25Pgina 26Pgina 27Pgina 28Pgina 29Pgina 30Pgina 31Pgina 32Pgina 33Pgina 34Pgina 35Pgina 36Pgina 37Pgina 38Pgina 39Pgina 40Pgina 41Pgina 42Pgina 43Pgina 44Pgina 45Pgina 46Pgina 47Pgina 48Pgina 49