Potencia

El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo. El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición. Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor... - ¿Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo! El rey quedo atónito y no lo pudo creer,

¿Y como es posible esto?

Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el numero de granos es igual a uno, en el

segundo cuadro es dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64, este es un procedimiento muy

lento si.

¿Y que haríamos para simplificar este procedimiento?

•Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente. •Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.

¿Ósea que tendríamos que sumar 20+21+22+23..........hasta 263?

Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese

numero me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que nos falta sumar todos los números anteriores y

como veras no es un numero para nada pequeño.

Definición de potencia

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” es la cantidad de veces que se multiplica por si mismo.

Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Bueno, ¿entendieron lo que es realmente una potencia?

Yo si, pero parece que mi amigo no mucho

Bueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atención.

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3

4

4

2

2

Soluciones:

-16

16

Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial.

Ahora resuelve tú

Potencias con exponente 1Potencias con exponente 1

Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:1) 71=2) 221=3) 41=4) 61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1.

Potencias con exponente -1Potencias con exponente -1

es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:

a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2

Ejercita:

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

Soluciones:

1) 2

2) 10/23

3) 1/8

4) 3/10

Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

Multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Resuelve estos ejercicios para ver Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta como vas manejando esta

propiedadpropiedad

___)4

___55)3

___)2

___)1

242

4

632

53

yxyx aa

bbb

aa

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)a8

2)b11

3) 55

4)a3x+2y

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.


42626 : xxxx

)()()(

)( 232

3

bababa

ba

En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadpropiedad

_____:)4

_____5

2:

5

2)3

____)2

____)1

11

54

45

56

6

16

xx mm

xx

xx

m

m



1)m10

2)x2

3) 2/54)m2


Potencia con exponente 0Potencia con exponente 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos:

50=1

-40=-1

Ejercita:

1) 30=___ 3)-20=___

2) (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

Potencia con exponente negativoPotencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.

a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9

Ejercitemos:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___

2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

Soluciones:

1)-1/4 3)9

2)1/4 4)16

Potencia de una potencia

Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes.

(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.

an • m = (am)n


1. Desarrollemos (a2 :a6)2

Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término.

8841212

4

26

222

6

2 11

a

aaa

a

a

a

a

a



1) (a4b8)/x12

2) 72a2b19c9

3) 3x3y2z4) a3/16


Potencia de un producto

Elevamos el producto de las bases al exponente común.

an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn


605353 444

Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadesta propiedad

___278)4

___)3

___2)2

___8)1

1414

22

33

pp ba

qba

ax



1) (2ax)3

2) [2q(a+b)]2

3) (ab)4p-1

4) 63


Potencias de 10Potencias de 10

100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000

•Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera:

Notación científicaNotación científica

• Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños.

• Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.

• Ej.: - La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6

metros

Ejercitemos juntos, para aprender Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedadesta propiedad

Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más.

Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.

8

4

108000.000.800

1030003,0

Potencia con exponente fraccionarioPotencia con exponente fraccionario

• Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.

nn aa 1

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría

n mn

m

aa

3

53 5 aa

____161728)4

_____216125)3

_____8164)2

_____25)1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

2

2

1

2

1

Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

Ecuaciones exponencialesEcuaciones exponenciales

• Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación

• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases

• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes:

mnaa mn

• Ejemplos:a)32x-5=3x-3

2x-5=x-3x=2b)4x+3=82x+9

b)(22)x+3=(23)2x+9

x+3=2x+9

-4x=21x= -4/21

En el ejemplo b, se igualo para poder hacer la ecuación, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como

una ecuación de primer grado.

13)2

819)1)4(2

52

x

x

1

1

128)4

3244256)3

x

xx

Soluciones:

1) x=7/2 3)x=-1

2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales

Resuelve estos ejercicios para ver tu Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar aprendizaje, ya queda poco, para terminar

potenciaspotencias

___)4

11(

___)4

3(

___)1,1(

___10

___)2(

___3

___2

3

6

3

1

3

2

2

Reforzamientos varios:

___5

2

2

5

5

2

___5

311

___2

1

5

43

___)02,0()02,0(

___2221

___)12()12(

___2222

321

012

3021

22

321

11

3210

Problema de profundización:Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa?Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos.

Potencia

Education

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