Análisis Espectral 1 / 30

POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO

Análisis Espectral 2 / 30

POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO

Recordemos: Para señales determinísticas . . . .

la potencia instantánea es

Para una señal aleatoria, es una VA para todo instante t. Por

lo tanto no hay un simple número para asociarlo con la “potencia

instantánea”. Para obtener la Potencia Instantánea Esperada

(promedio), debemos de calcular el promedio (ensamble)

estadístico de .

Análisis Espectral 3 / 30

POTENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO

Análisis Espectral 4 / 30

Relación entre la Potencia y la Autocorrelación

Análisis Espectral 5 / 30

Potencia vs Varianza

Análisis Espectral 6 / 30

Densidad Espectral de Potencia de un Proceso Aleatorio

Análisis Espectral 7 / 30

Densidad Espectral de Potencia de un Proceso Aleatorio

Para un Proceso Aleatorio: Cada realización (función

muestra) del proceso x(t) tiene una diferente TF y por

lo tanto una diferente Densidad Espectral de Potencia.

Ahora nuevamente vamos a usar el promedio para

obtener la DEP “esperada” o la DEP “promedio” . . .

Pero normalmente solo la llamamos la “DEP”

Análisis Espectral 8 / 30

DEP PARA UN PROCESO ALEATORIO ESA

Definimos la DEP de un proceso ESA x(t) como:

Pero esta representación no es muy útil para realizar un análisis, así que buscamos otra representación alternativa . .

El teorema de Wiener-Khinchine proporciona esta alternativa!!!

Análisis Espectral 9 / 30

Teorema de Weiner-KhinchineSea x(t) un proceso ESA con una función de AC dada por Rx(t) y con una DEP Sx(w). De tal forma que Rx(t) y

Sx(w) forman un par de la transformada de Fourier:

Análisis Espectral 10 / 30

Algunas propiedades de la DEP & AC

• 1) La DEP es una funcion par de para

un proceso real x(t).

Demostracion: Desde que cada funcion

muestra es evaluada en forma real,

entonces sabemos que |x( )| es par.

Es par: (par * par = par)

Asi por igual (checar en )

w

w

2

x w

SX w

Análisis Espectral 11 / 30

Algunas propiedades de la DEP & AC

• 2) es real y

• 3) es una funcion par de

SX w 0

R X t t

Análisis Espectral 12 / 30

Obtencion de la potencia a partir de la DEP

• Por definicion, la potencia es obtenida

como:

• Ahora vamos a demostrarla

Análisis Espectral 13 / 30

Cálculo de la Potencia a partir de la DEP

Nosotros

sabemos que:

Análisis Espectral 14 / 30

Unidades de la DEP

Análisis Espectral 15 / 30

Usando la simetría de Sx(wLa DEP es una función par de w para un proceso real x(t).

Análisis Espectral 16 / 30

DEP para un proceso discreto en tiempo

No hay muchos cambios, solo usamos la TF discreta en tiempo en lugar de la TF continua en tiempo.

Análisis Espectral 17 / 30

Relación entre la DEP y la AC

Análisis Espectral 18 / 30

Ruido BlancoEl termino ruido blanco se refiere a un proceso ESA cuya DEP es lisa en todo el rango de frecuencias.

Análisis Espectral 19 / 30

Ruido Blanco Continuo en TiempoEl ruido blanco continuo en tiempo tiene un potencia infinita:

Esto no existe en forma real, pero es aun un modelo muy útil para

análisis en modelos prácticos.

Cual es la autocorrelación del ruido blanco continuo en tiempo?

Tomamos la transformada inversa de Fourier de la DEP.

Análisis Espectral 20 / 30

Ruido Blanco Continuo en Tiempo

Análisis Espectral 21 / 30

Ruido Blanco Discreto en TiempoLa DEP es:

La Autocorrelación es:

Análisis Espectral 22 / 30

Ruido Blanco Discreto en TiempoDebemos de tener en cuenta lo siguiente:

El ruido blanco discreto en tiempo tiene potencia finita (contrario al ruido blanco continuo en tiempo)

Análisis Espectral 23 / 30

Ejem.#1 Ruido Blanco limitado en banda

La DEP es cero fuera del ancho de banda

La potencias es:

Análisis Espectral 24 / 30

Ejem.#1 Ruido Blanco limitado en banda

La autocorrelación (usando el par de transformadas de Fourier para las funciones rect y sinc) es:

Donde podemos ver que , ya que

Análisis Espectral 25 / 30

Ejem.#2 Sinusoide con fase aleatoria

Ya habíamos examinado este proceso anteriormente:

Usando el par de TF para función coseno, obtenemos la DEP:

Análisis Espectral 26 / 30

Ejem.#2 Sinusoide con fase aleatoria

Podemos obtener la Potencia de dos formas:

Análisis Espectral 27 / 30

Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo

Análisis Espectral 28 / 30

Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo

Para este caso ya habíamos mostrado anteriormente que la autocorrelación a la salida de este filtro estaba dada por:

La DEP de salida esta dada por:

Análisis Espectral 29 / 30

Ejem.#3 Filtración de un PA discreto en tiempo

Lo que podemos ver es que el filtro modifica la DEP de la entrada, de tal forma que suprime el contenido de potencia en las altas frecuencias.

Análisis Espectral 30 / 30

FIN