MATEMÁTICA: Números Racionales: POTENCIACIÓN y RADICACIÓN

PROF. José Luis Gallardo - 2º Año

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POTENCIACIÓN: Es la operación que indica la multiplicación sucesiva de un mismo número b (llamado base), tantas veces

como lo indique un número n (llamado exponente)

p = bn b = base

n = exponente bn = b . b . b . . . . . . . . . . . . .b = p

p = potencia o resultado

n veces

Ejemplos: (3)4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (0,2)

3 = (0,2) . (0,2) . (0,2) =0,008

16

25

4

5

4

5

4

52

125

8

5

2

5

2

5

2

5

23

CASOS ESPECIALES:

1) El uno como exponente: a 1 = a Ej: 5 1 = 5 El resultado es la base

2) El uno como base: 1 n = 1 Ej: 1

6 = 1 Pues: 1.1.1.1.1.1= 1 El resultado es 1

3) El uno como base y exponente: 1 1 = 1 Por cumplimiento de las condiciones 1) y 2)

4) El cero como exponente: a 0 = 1 Ej: 7

0 = 1 El resultado es siempre 1

Demostración: Tomando la propiedad de Cociente de potencias de igual base ( Ver punto siguiente)

a 5 – 5

= a 0 = a

5 = a. a .a . a . a = Simplificando = 1

a 5 a .a . a . a .a

5) El cero como base 0 n = 0 Ej: 0

3 = 0 Pues : 0.0.0 = 0 El resultado es siempre 0

6) El cero como base y exponente: 0 0 = indeterminado Como base daría: 0 0 = 0

Como exponente daría: 0 0 = 1

Como se ve ambos resultados son distintos.

REGLA DE LOS SIGNOS:

1) Base positiva: Exponente par: El resultado es positivo ( + 8) 2 = + 64

Exponente impar: El resultado es positivo ( + 5) 3 = + 125

2) Base negativa: Exponente par: El resultado es positivo ( - 3) 2 = + 9

Exponente impar: El resultado es negativo ( -2 ) 5

= - 32

El único caso en que la potencia es negativa es cuando la base es negativa y el exponente impar.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1) Producto de potencias de igual base: Se suman los exponentes mnmn xxx .

Ej: a 3 . a

2 = a

3 + 2 = a

5

2 3 . 2 . 2

0 . 2

5 = 2

3 + 1 + 0 + 5 = 2

9

(- 3)

-1 . ( -3)

0 . (-3)

4= ( -3 )

- 1 + 0 + 4 = ( -3 )

3

2) Cociente de potencias de igual base: Se restan los exponentes mnmn xxx :

Ej: a 5 : a

2 = a

5 - 2 = a

3

5 3 : 5 -1 = 5 3 –(-1) = 5 4

(- 7) 5 : ( -7) 2 = ( -7 ) 5 - 2 = ( -7 ) 3

3) Potencia de otra potencia: Se multiplican los exponentes mnx

mnx.

Ej: 1025 aa 25644 632 1333 00.1.4

014

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4) Propiedad distributiva: SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnnbaba ..

Ej: ( 3 . 5 ) 2 = 3 2 . 5 2

15 2 = 9 . 25

225 = 225

Respecto a la suma nnnbaba

Ej: ( 4 + 6 ) 2 4 2 + 6 2

10 2 16 + 36

100 52

Respecto al cociente nnnbaba ::

Ej: ( 16 : 8 ) 2 = 16 2 : 8 2

2 2 = 256 : 64

4 = 4

Respecto a la resta nnnbaba

Ej: ( 7 - 3 ) 2 7 2 - 3 2

4 2 49 - 9

16 40

CONCLUSIÓN: La potencia es distributiva respecto del producto y el cociente, y no lo es respecto de la suma y la resta.

POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO:

r

r

r

bbb

11

Por ejemplo: 27

1

3

1

333

1

33333333

33333

3

3333:3

38

538585 quedandoSimplifica

8

27

2

3

3

233

16

1

4

14

2

2

125

27

5

3

3

533

NOTACIÓN CIENTÍFICA: Las potencias de 10 tienen especial importancia, tanto en Matemática como en otras ciencias, ya que nos permiten escribir

números muy grandes o muy pequeños en forma sencilla.

Por ejemplo la masa de un protón es 1,67 . 10 –27

kg. , y la masa de la Tierra es 5,98 . 10 24

kg.

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de una potencia de 10 por otro número,

cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10

647,25 tiene 3 cifras enteras, por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la izquierda dos lugares.

Entonces queda 647,25 = 6,4725 . 10 2

0,00000894 tiene una cifra entera nula, por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la derecha hasta la primera cifra

decimal no nulo, es decir seis lugares. . Luego 0,00000894 = 8,94 . 10-6

Los cálculos con números muy grandes o muy pequeños se realizan fácilmente al trabajar con notación científica:

67568

5

68

10.810.8,010.6,3

2,1.4,2

10.6,3

10.2,1.10.4,2

000036,0

0000012,0.240000000

RADICACIÓN: Es la operación inversa de la potenciación. (Así como la división lo es de la multiplicación y la resta de la suma)

Se llama raíz enésima de un número a al numero b tal que b elevado al exponente n de por resultado el

número a n = Índice Radical

n n a = Radicando

a = b a = b b = raíz o resultado

= Signo radicando

Observación: En este curso trabajaremos con raíces cuyo resultado sean racionales (exactas).

Toda potencia con exponente negativo es igual a otra potencia con la base

invertida y el mismo exponente pero positivo. Se conserva el signo de la base

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Ejemplos:

4

9

2

3

4

9

2

3

2

3

4

92

2

Pues

125

27

5

3

5

3

125

273

3

Pues 273327

33 Pues

REGLA DE LOS SIGNOS:

Indice par Radicando positivo : La raíz es doble tomando valores opuestos

255525

255525

2

2

Radicando negativo : No existe Solución en los números

racionales

49497

49497

49

2

2

queya

RenExisteNo

Indice impar Radicando positivo : El resultado es positivo 822833

Radicando negativo El resultado es negativo 27332733

Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnn baba ..

1010

5.21000

125.8125.8

3

333

Respecto a la suma nnn baba

75

4325

169916

Respecto al cociente nnn baba ::

22

3:64

9:369:36

Respecto a la resta nnn baba

24

3516

925925

PROPIEDAD ASOCIATIVA ( Reciproca de la DISTRIBUTIVA)

Respecto al producto nnn baba ..

1212

17283.4

27.6427.643

333

Respecto a la suma nnn baba

1723

289815

6422564225

Respecto al cociente nnn baba ::

1010

1002:20

4:4004:400

Respecto a la resta nnn baba

51

251213

144169144169

CONCLUSIÓN:

La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente, y no lo es respecto de la suma y la resta.

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EJERCITACIÓN: 1.+ ESCRIBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS EN FORMA DE UNA SOLA POTENCIA Y CALCULEN: 1. 3

3.3

4:3

1= 2. 5

7:5

3= 3. (5

3)

4 4. 2

4.2

5:2

3= 5. (2

5.2

3:2

7)

2=

Los siguientes ejercicios, se representan las fracciones como barra oblicua, ustedes deben escribirlos como barra horizontal,

NO LO OLVIDEN !!!

6. (-1/3)3= 7. (-2/5)

-2 = 8. (2/3)

2 = 9. (1/2)

5 = 10. (2/5)

-2 =

11. (-5/3)3 = 12. (-2)

-2= 13. (-3)

-2= 14. (8/9)

1= 15. (-2)

-4=

En los siguientes ejercicios, convertir los números decimales en fracciones, simplificar y luego resolver.

16. (-0,4)3= 17. (0,5)

2 18. (0,02)

3= 19. (0,3)

-2= 20. (0,6)

-3=

2.+ APLIQUEN LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y RESUELVAN: 1. (-1/2)

7 : (-1/2)

3= 2. 0,2 . 0,2

3 . 0,2

-2 = 3. (-1/5)

3 : (-1/5)

2=

4. (-3/10)-5

: (-3/10)2 . (-3/10)

-3 = 5. (2

5 . 2

4 : 2

3 : 2

5)

-2 6. (10/49 . 18/15)

-3=

7. ((0,2)8 : (0,2)

5 . (0,2)

-2)

-2 = 8. (1/5)

4 . (1/5)

-2 + 0,2 = 9. (1/5)

2 + (5)

-1 – (2/10)

2 =

3. RESUELVAN LAS SIGUIENTES POTENCIAS:

1.

2

7,02

1

2.

2

20

15,0.3,1

= 3.

4

2

1:

3

2

6

5

= 4.

2

13

2

=

5.

2

2

9:

4

3

= 6.

5

2

31

= 7.

3

5

4:2

= 8.

2

12

5:

4

5

3

2

=

4.+ CALCULEN LAS SIGUIENTES RAÍCES:

1. 49

25= 2.

625

81= 3. 4

81

16= 4. 44.1 =

5. 3 064.0 = 6. 0121.0 = 7. 81

25= 8. 3

27

8=

5.+ APLIQUEN LAS PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Y RESUELVAN:

1. 49

25.

4

9= 2. 3

64

125.

8

27= 3.

25

36:

81

144= 4.

16

81=

6.+ RESUELVAN:

1. 3

8

71 = 2.

4

1

2

1 = 3. 1

25

16 = 4. 4

16

492 =

5. 22

15.

100

36 = 6. 33

16

5.1

5

3

= 7. 3

3

50.

9

1

3

7

8.

16

72 =

7.+ RESUELVAN LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS, SIMPLIFICANDO SIEMPRE QUE SEA POSIBLE.

1. 25

12

4

3.

3

51 1

= 2. 4:8

3

5

2

4

132

12

33

=

3. 3

10.

3

1

2

14:

10

3

3

2 1

2

= 4. 25

12.

3

51

12

11.

3

76

2

=