INTRODUCCION:

Una vez tratada en el tema anterior la concepción geométrica acerca de la forma

de la tierra, tomando como referencia un elipsoide de revolución, pasamos en este

tema a estudiar su forma desde el punto de vista físico. Para ello, se empezará

introduciendo el concepto de geoide, concepto que se encuentra íntimamente

relacionado con el estudio del campo de gravedad de la tierra, y por tanto, con la

determinación del potencial de la gravedad sobre su superficie y en su espacio

exterior.

Nos limitaremos aquí, a un estudio básico que permita definir la gravedad, el

potencial de la gravedad y el geoide. Para ello, recordaremos, en los primeros

párrafos de este tema, algunas nociones elementales sobre la teoría vectorial de

campos.

FUNCION VECTORIAL Y CAMPO VECTORIAL

Una función vectorial puntual, es una función, que a cada punto de una región del

espacio tridimensional, le asigna una dirección, sentido y magnitud. Por ejemplo,

la velocidad, en cada punto, de un volumen de fluido en movimiento, es una

función vectorial puntual.

Si ν^2(x, y, z), es una función vectorial,

correspondiente a los puntos (x, y, z) de una

región, se dice que ha sido definido un

campo vectorial para dicha región.

El valor de ν^2(x, y, z), es independiente del

sistema de referencia utilizado. Si se efectúa

un cambio de dirección en los ejes de

referencia, variaran las componentes de

ν^2(x, y, z), pero la dirección sentido y

magnitud de ν^2 permanecen invariantes en

el espacio. Así, la velocidad del fluid o es

independiente de que rotemos o no la

referencia.

3. FUNCION ESCALAR Y CAMPO ESCALAR

Una función escalar puntual es una función que a cada punto de una región del

espacio tridimensional le asigna un valor definido. Sea el caso dela temperatura en

cada punto del espacio, es una función escalar. Si definimos un sistema de

referencia x,y,z a cada punto (x,y,z) le corresponde una temperatura determinada.

Si (x,y,z) es una función escalar, correspondiente a los puntos (x,y,z) de una

región, se dice que ha sido definido un campo escalar para dicha región.

grad = ∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk =∇

∇= ∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk

El valor de (x,y,z) es independiente del sistema de referencia

utilizado. Por ejemplo, la temperatura de cada punto es independiente

de las direcciones y origen de los ejes elegidos.

La ecuación (x,y,z)=c, en la que c es una constante en el espacio tridimensional,

representa una superficie, es decir, los puntos de una región para los que una

función escalar (x,y,z) tomas un valor c, están sobre un misma superficie.

A las superficies (x,y,z)=c, a lo largo de las cuales el campo escalar es

constante, se les llama superficies de nivel o superficies equipotenciales del

campo.

4.GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Si la función (x,y,z) es derivable, sus tres derivadas

Interpretadas como componentes de un vector, se definen en cada

punto el vector llamado gradiente del campo escalar . Es decir:

Se suele escribir, también, ∇ , designado con la letra ∇ (nabla) el operador:

Veamos ahora la significación geométrica del vector ∇ .Sea (x,y,z) una

superficie. Tomemos dos puntos P (x,y,z) y Q (x+dx,y+ydy,z+dz) sobre una

superficie, de forma que estén en un mismo entorno. Como (x,y,z) = c es

constante, por ser una superficie, su diferencial será nula: d = 0 .

d = ∂

∂x𝑑𝑥+

∂

∂ydy+

∂

∂z𝑑𝑧=0

∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk 𝑦 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘

Por tanto:

De aquí se deduce que los vectores:

Son perpendiculares, ya que su producto escalar d es nulo. El vector es

precisamente = + + , por tanto

es perpendicular a

. Si ahora Q se aproxima a P, el vector , tiende a convertirse en el vector

tangente a la superficie en P, de ahí que el vector

es un vector

normal a la superficie en P. Por tanto se puede afirmar:

“El vector gradiente de un campo escalar es. En cada punto, perpendicular a

la superficie de nivel que pasa por él, he indicara la dirección de máxima

variación del campo”

5. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Dado un campo vectorial V

definido por tres componentes z)y ,Z(x, z),y , Y(x,z),y ,X(x,

que son funciones uniformes y derivables:

kz)y ,Z(x, jz)y , Y(x, iz)y ,X(x, V

Se define rotacional de V

al vector resultante de realizar el producto vectorial

simbólico siguiente V

:

k) -(j) -( i) -(

ji

V V rot

y

X

x

Y

x

Z

z

X

z

Y

y

Z

ZYX

zyx

k

6. CAMPO ESCALAR POTENCIAL

Si 0V rot

significa que las derivadas cruzadas de los componentes de V

son

iguales. Se dice entonces que existe un campo escalar U llamado potencial de V

,

o que el campo V

puede deducirse, o procede, de un potencial escalar U. Dicho

de otra manera:

0V rot UdgraV Si

Udgra V :que tal U 0V rot Si

(3.1)

“La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial proceda de

un campo escalar o función potencial, es que su rotacional sea nulo”.

Una vez determinado que un campo vectorial procede de una función potencial, se

puede hallar esta gracias a la expresión (3.1).

7.- ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE NEWTON, POTENCIAL GRAVITATORIO

De acuerdo con la ley de gravitacion de Newton, Dos puntos con masas y

, separados una distancia , se atraen el uno a otro con una fuerza

representada por el vector :

=

‖ ‖=

Esta fuerza esta dirigida a lo largo de la linea que une ambos puntos. El factor

es la constante de gravitacion de Newton, cuyo valor es:

=

Si se conviene en hacer la masa atraida igual a la unidad, y se llama a la masa

atrayente, la fuerza ejercida por sobre la unidad de masa a una distancia

sera el vector:

=

‖ ‖= {

= = } =

Por ser siempre irrotacional, es decir, = , existirá una función escalar

potencial tal que:

=

Si =

se puede comprobar facilmente que =

.

A este campo escalar se le llama Potencial Gravitatorio debido a la particula .

Extendiendo este concepto a la masa de la tierra, y suponiendo su volumen

homogeneo, se estara hablando de Potencial Gravitatorio Terrestre.

=

8.- FUERZA CENTRIFUGA, POTENCIAL CENTRÍFUGO

La fuerza centrifuga , que actúa sobre un cuerpo de masa , moviéndose

con velocidad angular con respecto a un eje de giro situado a una distancia de

él, es:

=

Por tanto, la fuerza centrifuga que actua sobre la unidad de masa en la

superficie de la Tierra sera:

=

| |= = ( )

Donde:

| | = √ +

es la velocidad angular de la Tierra, y es la distancia al

eje de rotacion de la Tierra. Esta fuerza esta dirigida en la direccion del

vector (hacia afuera).

Por ser la fuerza irrotacional, es decir,

= , existe una funcion escalar

potencial tal que:

=

El valor de este potencial es el siguiente:

=

( + )

Ya que:

= ( )

A este campo escalar , se le llama Potencial Centrifugo Terrestre.

10. POTENCIAL Y GRAVEDAD NORMAL

Se han tomado diversas consideraciones, entre las que se ha supuesto que la

tierra es esférica y que gira sobre sí misma, se ha obtenido una expresión para el

potencial de la gravedad. En estas condiciones, se puede demostrar que las

superficies equipotenciales del campo o potencial de gravedad son elipsoides de

revoluc ón. S se ut l an valores teór cos para G, M ω, se obtendrán, valores de

la gravedad para cualquier punto, para el modelo de tierra esférica. Así, se

obtienen para las siguientes latitudes los siguientes valores teóricos de gravedad

en metros por segundo (m/s):

= 0 = 0

= 0 =

= = 0

= 0 =

= 0 = 0

Si se comparan estos

valores ɣ con los reales

observados para los

polos y el ecuador, se

aprecia una diferencia

Los valores g reales son mayores que los teóricos ɣ en el polo y menores en el

ecuador. Esta diferencia se explica por el hecho de que la tierra esta achatada en

los polos y ensanchada en el ecuador. En consecuencia. El radio polar es menor

que el que se ha tomado para la esfera y el ecuatorial mayor, con el consiguiente

efecto para la atracción gravitacional.

Aunque en principio no lo parezca, la diferencia entre estos valores reales y

teóricos, son excesivamente grandes. Esto es debido a que el modelo utilizado, el

de la esfera, es el más simple, pero un alejado de la realidad. Estas diferencias, se

reducirán si se utiliza un modelo más próximo a la realidad física de la tierra, como

es el considerarla, con la forma de un elipsoide de revolución, con la misma masa

M y velocidad ω. Pues bien, al potencial de la gravedad correspondiente a estas

condiciones, se le llama potencial normal.

Todas las superficies equipotenciales o de nivel, del campo normal así definido,

son superficies de revolución achatadas en los polos, y simétricas con respecto al

ecuador. Además, entre todas ellas se elige una superficie de referencia, aquella

que coincide con el nivel medio de los océanos la cual con cierto margen de

precisión responde a la ecuación matemática de un elipsoide de revolución. Por

esta razón, las superficies equipotenciales de campo normal se conocen

generalmente con esferoides de nivel.

Una vez obtenido el potencial normal y con él los correspondientes

esferoides de nivel, se puede estudiar la llamada fuerza de gravedad

normal que es el valor teórico de la fuerza de gravedad sobre las superficies de

los esferoides. Esta magnitud, que se define como el gradiente de potencial

normal y se representa con el símbolo ɣ, es una magnitud vectorial dirigida según

las líneas de fuerza del campo normal, es decir, perpendicular en cada punto al

esferoide de nivel que pasa por él.

En la superficie del esferoide de referencia, aquella que se adopta como figura

dinámica aproximada de la tierra, la gravedad normal se representa por ɣ0, y su

dirección, traza en cada punto, la recta normal a dicha superficie.

En el año 1929 el geodesta italiano songliana obtuvo una expresión para la fuerza

de gravedad normal tomando como referencia para el campo normal de la tierra,

un elipsoide de revolución de semiejes a y b. Así, para un punto situado sobre el

el pso de a una lat tud geodés ca φ, s endo y los valores normales de la

gravedad en el ecuador y en los polos del elipsoide, respectivamente, dio la

siguiente expresión:

√

Existe otra variante de esta expresión denominada formula de clauriaut, en la que

se introduce el parámetro de aplanamiento f del elipsoide, correspondiente al

campo normal, otros β βt , según las expresiones que se dan a continuación:

=

=

=

= +

Si se mantienen en desarrollo del denominador, los términos de igual

orden que el cuadrado del planteamiento elipsoidal, se obtiene la

expresión de Clairaut:

= ( + )

Esta última expresión es una relación teórica en la que los coeficientes ɣ0, β βt ,

son desconocidos. Para determinarlos, se realizan mediciones gravimétricas,

observando el valor real de la fuerza de la gravedad g, en una serie de puntos de

latitud conocida, regularmente distribuidos sobre la superficie de la tierra. De esta

forma, se obtienen ecuaciones con tres incógnitas por cada observación:

= ( + )

Si se realizan n observaciones, se tendrá un sistema de n ecuaciones con tres

incógnitas, que se resuelve por mínimos cuadrados. Así, se han obtenido varias

expresiones para el cálculo de los valores normales de la fuerza de la gravedad.

Como ejemplo, se muestra la formula internacional de la gravedad o formula de

cassini, que se adoptó en 1930 con carácter mundial, por el Congreso

Internacional de Geodesia celebrado en Estocolmo, y en la que basaron sus

observaciones gravimétricas la mayor parte de los países de Europa y América.

Las constantes a y f que intervienen en ella, son las correspondientes al elipsoide

Internacional:

= 0 ( + 0 00 0 00000 )

Existen otras expresiones, que dan la variación de la gravedad normal con la

altura h, en función del valor de la gravedad del esferoide de referencia. Para

el elipsoide Internacional es:

= (0 0 0 000 ) + 0 0000

11.- GEOIDE

Para introducir el concepto de geoide, se planteara la siguiente pregunta: ¿como

se obtienen los valores de las alturas sobre el nivel del mar, que se representan en

los mapas? No es muy difícil adivinar como obtenerlos en zonas próximas a las

costas, pero ¿y en zonas del interior? ¿Como sabemos, por ejemplo, que la

carretera a su paso por el puerto de Navacerrada, esta a 1860 metros de altura

sobre el nivel del mar?

En un principio, las alturas correspondientes a las zonas de interior, se

determinaban por una técnica denominada nivelación. Esta técnica, consiste en la

medida directa de las diferencias de nivel entre puntos distantes unos 100 metros.

Se comienza la nivelación el nivel del mar, y se van sumando las diferencias de

nivel, entre las distintas parejas de puntos, hasta llegar el punto deseado, ya en el

interior. El concepto es sencillo, pero mas sencillo, pero mas bien lento, pesado,

caro e incorrecto.

A principios de la década de los 60, se comenzaron a utilizar satélites artificiales

para el cálculo de estas alturas. Estaban diseñados para proporcionar posiciones

en forma de coordenadas tridimensionales, para cualquier punto sobre la

superficie de la tierra. El problema de las alturas obtenidas, es que vienen

referidas a centro de la tierra, en vez de hacerlos con respecto al nivel del mar, por

lo que su valor no es de mucha utilidad practica ¿Cómo podríamos estar

interesados en márgenes de altura que oscilan entre los 6 378 137 mts al nivel del

mar en el ecuador, y los 1 356 752 mts, al nivel del mar en los polos?

Si las alturas de los mapas estuvieran referidas al centro de la tierra, ocurría por

ejemplo, que el pico Chimborazo, en ecuador (altura en el mapa de 6272 mts) con

una altura geocéntrica de 6 384.383 mts debería se el punto ms alto de la tierra de

la tierra, ya que la cima del Everest solo tendría una altura de 6381.941 mts.

(Altura en el mapa 8848mts)

Para transformar las alturas geocéntricas a alturas sobre el nivel del mar se

deberá conocer precisamente, cual es la distancia que separa el nivel del mar, en

cada puntos del centro de la tierra ¿pero como podemos determinar estas

distancias en zonas del interior? Es entonces cuando se hace necesario introducir

el concepto geoide.

Fue el matemático alemán gauss, hace unos 200 años, quien

dándose cuenta que el nivel del mar (desafectado de perturbaciones )

representa una ininterrumpida superficie de nivel, introdujo la idea de extender

virtualmente esta superficie bajo las masas continentales. Llamo a esta superficie

GEOIDE y es una determinada superficie que debe ser conocida para transformar

las alturas geocéntricas a alturas sobre el nivel del mar. Desde la época de gauss,

las geodestas han intentado determinar esta superficie virtual cada vez con mayor

precisión.

Por tanto, podemos definir el geoide como una superficie equipotencial del campo

de gravedad de la tierra, coincidente con el nivel medio de los océanos,

prescindiendo de efectos perturbados como viento, presión, corriente, etc.,

prolongada de forma libare y virtual por el interior de las masas continentales.

¿Como se determinaba esta superficie equipotencial? Gran parte de las

características del geoide se pueden obtener de la observación de las

irregularidades que presentan las orbitas de los satélites, pero con este método se

obtienen precisiones en la determinación de alturas del orden de 10 mts. Esta

precisión no es lo suficientemente buena para resolver nuestro problema.

La forma de obtenerla con mayor precisión, es a través de diversas medidas sobre

la superficie de la tierra, y los correspondientes cálculos. El principal tipo de datos

que se necesita para efectuar estos cálculos, son observaciones de la gravead,

alturas obtenidas a través de nivelaciones, y densidad de masas obtenidas de

mapas geológicos.

Hay en ida, a raíz del lanzamiento de satélites artificiales, el campo de graveada

terrestre se estudia observando las orbitas reales de esos satélites. Para este

estudio, se utiliza el desarrollo en serie del potencial de la gravedad dado por

infinitos términos en base a los armónicos esféricos solidos, y en cuya expresión

es de la siguiente forma.

( ) =

[ ∑ (

)

∑ ∑ (

)

( + i )

] +

( i )

Si la tierra fuese una esfera perfecta los satélites describirían orbitas

elípticas en torno suyo. Conforme a las leyes de Kepler, pero lo que se

observa no es esto, ya que las ondulaciones del geoide, y del campo de

gravedad real del planeta, modifican las orbitas reales, y se definen

matemáticamente, será posible conocer las discrepancias con las

correspondientes orbitas keplerianas. De este modo el estudio de las

perturbaciones de las trayectorias permite deducir laos valores de los coeficientes

del desarrollo en serie del potencial U , lo que se realiza resolviendo por mínimos

cuadrados grandes sistemas de relaciones de observación.

Como consecuencia de los mencionado se puede obtener con una gran

aproximación la ecuación matemática del geoide W-Ws con lo cual, al

compararon el potencial normal Us , correspondiente a un determinado elipsoide,

concéntrico con el geoide y con los mismos parámetros de rotación , se puede

evaluar de forma bastante correcta la diferencia Ws-Us que se denomina potencial

perturbador T.

=

Con esa magnitud y los valores normales de la gravedad y se puede calcular por

la formula de bruns, la llamada ondulación del geoide:

=

De esta manera, es posible levantar una carta del geoide con respecto al

elipsoide, con gran precisión. El conocimiento del geoide, se ha convertido en una

necesidad para el desarrollo de todo tipo de aplicaciones dentro de la

oceanografía, hidrografía, geofísica, etc. Su principal aplicación es, sin embargo la

de resolver el problema de la altimetría. Por esta razón, cada vez más organismos,

están interesados en determinar el geoide, dentro de sus zonas de

responsabilidad, con la mayor precisión posible.

Son de destacar los modelos de geoide elaborados conjuntamente por la NASA,

la NIMA (national imagery and mapping agency) y la Ohio state University a nivel

nacional. Se trata del modelo OSU 91A y el que derivo de él, el geoide

EGM96 que se representa en la siguiente figura

En este grafico

se representa las ondulaciones sobre WGS 84 , para cada lugar de la tierra ,

distancias entre el elipsoide correspondiente el sistema WGS 84 y el geoide. Se

puede observar que estas distancias varían entre 105 y 85 metros , es decir, el

geoide se encuentra unas veces por encima del elipsoide y otras por debajo.

Según el código de colores empleados en la figura original, se puede observar que

la zona de la península ibérica, tienen el geoide por encima del elipsoide WGS84.

A nivel europeo se ha desarrollado el modelo EGG 97 (european graviemtric geoid

1997) que se ha

mejorado recientemente

con su versión GPM

3E97A. Para la

península ibérica se

desarrollo el GEOIDE

IBERICO 1995 por

M.j.sevilla sobre GRS

80, representado en la

figura. Actualmente se

trabaja en el modelo

IBERGEO 2006. Hay

que recalcar que los

modelos que

presentados y otros

muchos, han utilizado

como modelo de partida el modelo global OSU 91A para,

posteriormente refinar en los modelos locales, tanto la cantidad de

observaciones efectuadas como la precisión en los cálculos realizados.

12.- ONDULACION DEL GEOIDE

Hasta ahora se han estudiado dos formas de abordar el problema de determinara

la figura de la tierra. Una, empleando herramientas de geometría clásica para

estudiar el elipsoide de revolución, como referencia matemática a la figura de la

tierra. Otra, utilizando la física para llegar a definir una superficie lo más próxima a

la verdadera figura de la tierra, que es el geoide. La primera de ellas resuelve el

problema de la determinación de puntos sobre la superficie terrestre, pero deja de

lado el cálculo de altitudes sobre otra superficie que no sea la geométrica. Con la

introducción del concepto de geoide, se resuelve el problema de la determinación

de puntos sobre la superficie terrestre, pero deja de lado el cálculo de latitudes

sobre otra superficie que no sea la geométrica. Con la instrucción del concepto de

geoide, se resuelve el problema de la altitud, ya que se describen superficies de

nivel que son definidas a partir de las superficies geométricas o elipsoides de

referencia. la combinación de estas dos superficies de referencia nos ayuda a

abordar de forma cumple el

problema de la geodesia.

También se ha visto que la ultima

tendencia es utilizar, cuanto antes

, el sistema WGS84 . Si se emplea

un sistema de posicionamiento

GPS para situar un punto sobre la

tierra, se obtendrán tres

coordenadas latitud, longitud y

altura elipsoidal. La altura sobre el

geoide que se pueda calcular,

será tanto mas precisa cuanto

mas preciso se a el modelo de

geoide utilizado en la zona en

cuestión.

El geoide queda definido a partir de la superficie del elipsoide por una cantidad

N denominada ondulación del geoide. La altura h del punto o vértice sobre el

terreno respecto a las superficie del elipsoide se llama altura elipsoidal. La altura H

entre el vértice y el geoide se denomina altura ortometrica, y es aquella que se

representa en los mapas y que se suele utilizar como tercera coordenada en la

determinación de posiciones de vértices geodésicos.

Existen dos formas de proyectara la situación de un vértice sobre el geoide y el

elipsoide.

Proyección de pizzetti

Se proyecta primero el vértice P sobre el geoide a lo largo de la line de la

plomada (ligeramente curvada), quedando la proyección en Po, este punto se

proyecta, nuevamente sobre el elipsoide de referencia según la recta norma

elipsodica, obteniéndose así un punto Qo sobre el elipsoide.

Proyección de helmert

Es más simple, consiste en proyectar el punto P, desde la superficie física de la

tierra, directamente sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal

elipsodica, obteniéndose así el punto Q.

La diferencia practica, entre ambas proyecciones es pequeña. La altitud elipsodica

H, es igual a H+N a la fracción de milímetro. Por tanto, en la mayoría de los casos

se puede despreciar la diferencia entre las dos proyecciones. Se establece,

entonces, la siguiente expresión que relaciona geoide y elipsoide.

= +

Además de la ondulación del geoide , existe otro parámetro que relaciona

elipsoide y geoide . se trata de la desviación que presentan sus normales en un

punto determinado. Esta diferencia recibe el nombre de desviación de la vertical y

se estudiara en el siguiente tema.

13.-FIGURA DE LA TIERRA

Como se ha ido estudiando son varios métodos que se hacen utilizado a lo largo

de la historia para determinar la forma y dimensiones de la tierra. A modo de

resumen los podemos clasificar según los procedimientos que mencionamos a

continuación.

13.1.- MÉTODO DE ARCOS

Como se estudio en el primer tema, desde tiempos inmemorables se idearon

métodos para conocer la figura de la tierra, mediante el cálculo de los perímetros y

radio de la esfera terrestre, a base de obtener medidas de arcos y ángulos por

ellos subtendidos desde el centro de la tierra. En los dos últimos siglos,

conociendo que la tierra esta achatada por los polos, se invirtieron grandes

esfuerzos en determinar la forma del elipsoide mas adecuado a la forma real de la

tierra. Para ello, y con la misma idea, se realizaron observaciones de longitudes S

de arcos entre dos latitudes conocida mediante observaciones astronómicas, de

forma que era posible conocer el ángulo correspondiente a dicho arco mediante la

diferencia de latitudes

Entre ambos. Con S y se obtuvieron valores para el radio de curvatura

correspondiente p mediante la expresión S= Si se realizan n observaciones

de arcos S y es la latitud media entre los puntos considerados, se tendrán n

parejas de datos ( ) ( ) de esta forma, es posible estableces un

sistema de ecuaciones sobredimensionados de n ecuaciones.

= ( )

En ella, los datos son el radio de curvatura y la latitud y como incógnitas se

toman los dos valores que definen el elipsoide: a y f. El sistema de ecuaciones

quedaría de la forma.

( )

( )

( )

Una vez resuelto este sistema de ecuaciones sobredimensionamiento, por el

método de los mínimos cuadrados, se obtendrán los parámetros a y f .Del

elipsoide mas adecuados a la zona en cuestión.

13.2.-METODO DE LAS ÁREAS

Consiste en utilizar los valores de la desviación de la vertical. Se trata de medir, en

diversos puntos el ángulo formado entre la vertical física y la norma al elipsoide.

Aquel elipsoide que haga mínima, la suma de los cuadrados de esas

desviaciones, será el que se adopte como más probable. Este método fue el

empleado para obtener los parámetros del elipsoide de hayford entre otros.

13.3.-METODO GRAVIMÉTRICO

Consiste en obtener los parámetros a y f del elipsoide, mediante mediciones de

gravedad que posibilitan el planeamiento de un sistema de ecuaciones

sobredimensionado, como el que se menciono en el apartado 10, pero en las que

se suprime el término correspondiente a así se deducen los valores de

con una de las formulas:

=

Se obtiene una relación entre a y f con la cual, obtiene el aplanamiento f a partir

del valor del semieje a, Que se debe calcular por otros procedimientos.

Para finalizar el tema, se muestra una sección meridiana terrestre concreta

obtenida por comparación del modelo geoide respecto a la forma del elipsoide. En

esta figura se ha exagerado convencionalmente la ondulación respecto al radio

terrestre para su mejor apreciación. Hay que señalar que esta figura puede variar

sensiblemente dependiendo de la longitud geodésica que se considere para elegir

la sección meridiana correspondiente.