PotenciaciónPropiedades de las potencias

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

Por ejemplo: 24=2 x 2 x 2 x 2 = 16

Una potencia se designa de la siguiente manera:

1. Un número elevado a 0 es igual a 1.

Ejemplo: a0=1, 50=1.

2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.

Ejemplo: a1=a, 51=5.

3. El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente

es la suma de los exponentes. Su expresión general: am · an = am+n.

Ejemplo: 25 · 22=25+2 = 27.

4. La división de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente

es la diferencia de los exponentes. Su expresión general: am : an = am – n.

Ejemplo: 25 : 22=25 - 2 = 23.

5. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto

de los exponentes. Su expresión general: (am)n=am · n.

Ejemplo: (25)3=215.

Propiedades de la potencias de números naturales

Propiedad distributiva del producto:

El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an · bn=(a · b)n.

Ejemplo: 23 · 43=(2 · 4)3 = 83.

Propiedad distributva del cociente:

El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn=(a : b)n.

Ejemplo: 63 · 33=(6 : 3)3 = 23.

Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10 En las potencias con base 10, el resultado será la unidad

desplazada tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

10-5=0,0000110-4=0,000110-3=0,00110-2=0,0110-1=0,1100=1101=10102=100103=1.000104=10.000105=100.000106=1.000.000

Potencia de números complejos

Artículo principal: Fórmula de De Moivre

Para cualquiera de los números reales a, b, c, d se tiene la identidad:

Referencias

1. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.

2. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.

3. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.

4. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.

5. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!».

6. Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.».

7. Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (00 queda indefinido).»

Webs

1. http://enciclopedia.us.es/index.php/Potenciaci%C3%B3n.

2. http://descartes.isftic.mepsyd.es/edad/1234.htm.3. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/

iesarroyo/matematicas/eso.htm.