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EcuacionesEcuaciones3º de ESO3º de ESO


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El signo igualEl signo igual El signo igual se utiliza enEl signo igual se utiliza en:: Igualdades numéricasIgualdades numéricas::

2 + 3 = 52 + 3 = 5 Identidades algebraicas:Identidades algebraicas:

(( x x + 4) ∙+ 4) ∙ x x == x x 22 + 4+ 4 x x Frmulas:Frmulas: El !rea"El !rea" A A" de un c#rculo de radio" de un c#rculo de radio r r es:es: A A == $∙$∙r r 22

Ecuaciones:Ecuaciones: 22 x x + % = 3+ % = 3

x x 22 & 3& 3 x x + 2 = '+ 2 = '

ué signi*ca el signo igual en una ecuacinué signi*ca el signo igual en una ecuacin ,lo se -eri*ca la igualdad .ara determinados,lo se -eri*ca la igualdad .ara determinados

-alores de la -ariable"-alores de la -ariable" x x //


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Soluciones de una ecuaciónSoluciones de una ecuación 0na ecuacin con una incgnita es una igualdad entre dos0na ecuacin con una incgnita es una igualdad entre dos

e1.resiones algebraicas en la ue se uiere calcular lose1.resiones algebraicas en la ue se uiere calcular los-alores de la -ariable .ara los ue se -eri*ca la igualdad/-alores de la -ariable .ara los ue se -eri*ca la igualdad/ as e1.resiones ue a a cada lado del signo igual sonas e1.resiones ue a a cada lado del signo igual son

los miembros de la ecuacin/los miembros de la ecuacin/ a -ariable se denomina incgnita/a -ariable se denomina incgnita/ 0na solucin de una ecuacin es el -alor de la incgnita0na solucin de una ecuacin es el -alor de la incgnita

ue ace cierta la igualdad/ue ace cierta la igualdad/

En la ecuacin 2En la ecuacin 2 x x + % = 3+ % = 3 El .rimer miembro es:El .rimer miembro es: 22 x x + %+ %

El segundo miembro es:El segundo miembro es: 33 6 la solucin es: 6 la solucin es: x x = %" a ue= %" a ue 2∙% + % = 32∙% + % = 3

En la ecuacinEn la ecuacin x x 22 & 3& 3 x x + 2 = '+ 2 = ' El .rimer miembro es:El .rimer miembro es: x x 22 & 3& 3 x x + 2+ 2 El segundo miembro es:El segundo miembro es: '' 0na solucin es0na solucin es x x = %" a ue= %" a ue %%22 & 3∙% + 2 = '& 3∙% + 2 = ' 7tra solucin es7tra solucin es x x = 2" a ue= 2" a ue

2222

& 3∙2 + 2 = '& 3∙2 + 2 = '


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Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo las ecuaciones 2Por ejemplo las ecuaciones 2 x x + 1 = 3 !+ 1 = 3 ! x x + 3 = " son equivalentes.+ 3 = " son equivalentes. #a soluci$n de las dos ecuaciones es:#a soluci$n de las dos ecuaciones es: x x = 1= 1 #as ecuaciones#as ecuaciones x 2 % 3 x + 2 x 2 % 1 no son equivalentes& aunque am'asno son equivalentes& aunque am'as

tienen la soluci$n com(ntienen la soluci$n com(n x x = 1& la primera tiene adem)s la soluci$n= 1& la primera tiene adem)s la soluci$n x x ==2 la se*unda la soluci$n2 la se*unda la soluci$n x x = 1= 1

Para o'tener ecuaciones equivalentes se tienen en cuenta las si*uientesPara o'tener ecuaciones equivalentes se tienen en cuenta las si*uientespropiedades:propiedades:

,i se suma o resta a los dos miembros de una ecuacin un mismo,i se suma o resta a los dos miembros de una ecuacin un mismon8mero o término en 1" se obtiene una ecuacin eui-alente/n8mero o término en 1" se obtiene una ecuacin eui-alente/

,i se multi.lican o di-iden los dos miembros de una ecuacin .or,i se multi.lican o di-iden los dos miembros de una ecuacin .orun mismo n8mero" distinto de cero" se tiene una eui-alente/un mismo n8mero" distinto de cero" se tiene una eui-alente/

Por ejemplo en la ecuaci$n:Por ejemplo en la ecuaci$n: 2, + 12 = 3-& restando 12 en los dos miem'ros se tiene:2, + 12 = 3-& restando 12 en los dos miem'ros se tiene: 2, = 1& dividiendo am'os miem'ros entre 2 se o'tiene:2, = 1& dividiendo am'os miem'ros entre 2 se o'tiene: , = "& que es la soluci$n de la ecuaci$n., = "& que es la soluci$n de la ecuaci$n.


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Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado

/na ecuaci$n de primer *rado con una inc$*nita se puede e,presar/na ecuaci$n de primer *rado con una inc$*nita se puede e,presarpor:por:

ax ax == bb && x x es la inc$*nita es la inc$*nita aa&& bb son n(meros.son n(meros.

9i.os de ecuaciones:9i.os de ecuaciones:

SiSi aa 0 - la ecuaci$n tiene una (nica soluci$n0 - la ecuaci$n tiene una (nica soluci$n x = b/a x = b/a Por ejemplo la soluci$n de la ecuaci$n: 2Por ejemplo la soluci$n de la ecuaci$n: 2 x x = 3 es:= 3 es: x x = 32= 32

SiSi aa = - = - bb 0 - la ecuaci$n no tiene soluci$n0 - la ecuaci$n no tiene soluci$n Por ejemplo la ecuaci$n: -Por ejemplo la ecuaci$n: - x x = 3 no tiene soluci$n= 3 no tiene soluci$n

SiSi aa = - = - bb = - la ecuaci$n tiene innitas soluciones= - la ecuaci$n tiene innitas soluciones Por ejemplo en la ecuaci$n: -Por ejemplo en la ecuaci$n: - x x = -& cualquier n(mero real es= -& cualquier n(mero real es

soluci$n.soluci$n.


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Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado

0na ecuacin con una incgnita se llama de segundo0na ecuacin con una incgnita se llama de segundogrado si se .uede e1.resar de la orma:grado si se .uede e1.resar de la orma:

aa x x 22 + b+ b x x + c = '" con a ; '+ c = '" con a ; ' as ecuaciones:as ecuaciones: x x 22 & 5& 5 x x + 4 = '


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Resolución de ecuaciones deResolución de ecuaciones de

segundo grado incompletassegundo grado incompletas ?esol-er una ecuacin es calcular sus?esol-er una ecuacin es calcular sus

solucionessoluciones

?esolucin de la ecuacin a?esolucin de la ecuacin a x x 22 + b+ b x x = '"= '" a ; ':a ; ': ,e saca,e saca x x actor com8n:actor com8n: x x (a(a x x + b) = '+ b) = ' @ara ue un .roducto de dos actores sea '" uno de ellos@ara ue un .roducto de dos actores sea '" uno de ellos

debe -aler '" luegodebe -aler '" luego x x = ' o a= ' o a x x + b = '+ b = ' as soluciones son:as soluciones son:

EAem.lo:EAem.lo: as soluciones de la ecuacin 2as soluciones de la ecuacin 2 x x 22 + 4+ 4 x x = ' son:= ' son:

x x 11 = ' = ' x x 22 = >2= >2

a

b x y x

−

==21

0


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Resolución de ecuaciones deResolución de ecuaciones de

segundo grado incompletassegundo grado incompletas ?esolucin?esolucin de la ecuacin ade la ecuacin a x x 22 + c = '"+ c = '" a ; ':a ; ': ,e des.eAa 1,e des.eAa 122:: x x 22 = > cBa= > cBa ,e calcula la ra#z cuadrada,e calcula la ra#z cuadrada as soluciones son:as soluciones son:

,lo se .uede calcular la ra#z cuadrada si el cociente >,lo se .uede calcular la ra#z cuadrada si el cociente >cBa es un n8mero .ositi-o/ ,i es negati-o se dice uecBa es un n8mero .ositi-o/ ,i es negati-o se dice uela ecuacin no tiene solucin/la ecuacin no tiene solucin/

EAem.los:EAem.los: as soluciones de la ecuacin 2as soluciones de la ecuacin 2 x x 22 > 4 = ' son:> 4 = ' son: x x 11 = 2 = 2 x x 22 = >2= >2 a ecuacin 2a ecuacin 2 x x 22 + 4 = '" no tiene solucin+ 4 = '" no tiene solucin

a

c x y

a

c x

−−=

−=

21


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Fórmula general de laFórmula general de la

ecuación de segundo gradoecuación de segundo grado as soluciones de la ecuacin aas soluciones de la ecuacin a x x 22 + b+ b x x + c = '" a+ c = '" a

; ' son:; ' son:

7bser-a ue a dos soluciones una sumando la7bser-a ue a dos soluciones una sumando lara#z la otra" rest!ndola/ra#z la otra" rest!ndola/

EAem.los:EAem.los:

as soluciones de la ecuacinas soluciones de la ecuacin x x 22 > 5> 5 x x + 4 = ' son:+ 4 = ' son: x x 11 = % = % x x 22 = 4= 4

a ecuacina ecuacin x x 22 ++ x x + % = '" no tiene solucin/+ % = '" no tiene solucin/

a

acbb x

2

42−±−

=


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El discriminante.El discriminante.

El discriminante" C" es la e1.resin ue aEl discriminante" C" es la e1.resin ue adentro de la ra#z en la rmula de las solucionesdentro de la ra#z en la rmula de las solucionesde una ecuacin de segundo grado/de una ecuacin de segundo grado/

CC = b= b22 > 4ac> 4ac

7bser-a ue:7bser-a ue: ,i C D '" la ecuacin tiene dos soluciones reales/,i C D '" la ecuacin tiene dos soluciones reales/ ,i C = '" la ecuacin tiene una solucin real/,i C = '" la ecuacin tiene una solucin real/ ,i C D '" la ecuacin no tiene soluciones reales/,i C D '" la ecuacin no tiene soluciones reales/ etermina el n8mero de soluciones de las ecuaciones:etermina el n8mero de soluciones de las ecuaciones: a) 2a) 2 x x 22 + + x x + 5= '< b)+ 5= '< b) x x 22 + 4+ 4 x x + 4 = '< c)+ 4 = '< c) x x 22 ++ x x > = '> = ' a) o tiene solucin< b) tiene una solucin c) tiene 2 soluciones/a) o tiene solucin< b) tiene una solucin c) tiene 2 soluciones/


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Suma y producto de las solucionesSuma y producto de las soluciones

,i,i x x 11 x x 22 son las soluciones de la ecuacin deson las soluciones de la ecuacin de

segundo gradosegundo grado x x 22 + b+ b x x + c = '+ c = ' x x 22 + b+ b x x + c = (+ c = ( x x && x x 11)∙()∙(11 && x x 22) =) = x x ∙∙(( x-x x-x 22) &) & x x 11∙∙(( x-x x-x 22) =) =

x x 22 && xx xx 22 && x x 11 x + x x + x 11 x x 22 == x x 22 & (& ( x x 11+x +x 22)) x x ++ x x 11 x x 22

@or lo tanto:@or lo tanto: x x 22 + b+ b x x + c =+ c = x x 22 &(&( x x 11++ x x 22)) x x ++ x x 11 x x 22 x x 11++ x x 22 = >b = >b x x 11∙∙ x x 22 = c= c

Este resultado .ermite resol-er mentalmenteEste resultado .ermite resol-er mentalmenteestas ecuaciones de segundo grado/estas ecuaciones de segundo grado/

En general" siEn general" si x x 11 x x 22 son las soluciones de lason las soluciones de la

ecuacin de segundo grado aecuacin de segundo grado a x x 22 + b+ b x x + c = '+ c = '

x x 11++ x x 22 = >bBa = >bBa x x 11∙∙ x x 22 = cBa= cBa


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Suma y producto de las solucionesSuma y producto de las soluciones

?esuel-e mentalmente las siguientes ecuaciones:?esuel-e mentalmente las siguientes ecuaciones: x x 22 > > x x + 5 = '+ 5 = ' ,oluciones:,oluciones: x x 11 = % = % x x 22 = 5= 5

x x 22 > 5> 5 x x + = '+ = '

,oluciones:,oluciones: x x 11 = 2 = 2 x x 22 = 3= 3 x x 22 >> x x > = '> = '

,oluciones:,oluciones: x x 11 = >2 = >2 x x 22 = 3= 3

x x 22 ++ x x > = '> = '

,oluciones:,oluciones: x x 11 = >3 = >3 x x 22 = 2= 2 x x 22 + 5+ 5 x x + = '+ = '

,oluciones:,oluciones: x x 11 = >3 = >3 x x 22 = >2= >2

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