P O N T I F I C I A U N I V E R S I D A D C A T Ó L I C A D E L P E R Ú ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

C á l c u l o 4 Solucionario de la Práctica No. 1

2010-2

1. Calcule

r r v Jo Jo

(3 pt)

•y3 d x d y .

%csoíu.ción. La región de integración es el cuadrado R = [0,4] x [0,4]. Observemos que para deshacernos del valor absoluto debemos averiguar en qué subconjuntos el integrando es positivo y negativo. Así, si resolvemos

x 3 - y 3 = ( x - y ) { x 2 + xy +y2) > 0,

vemos que el factor que decide si el integrando es positivo o negativo es |x —y |. Dibujamos entonces la región de integración con la recta x — y = 0,

Ke g c en CCYI K - y >, 0

Particionamos entonces el integrando en dos regiones, como se muestra en la figura de arriba, y calculamos:

í í \x-y\(x2 + xy+y2)dxdy= í f ( x 3 - y 3 ) d y dx 7 í f ( x 3 - y 3 ) d y d x ] V ^ ^

4 3 * 4 I , , 3 x 4 d x - (4x 3 64) dx

- ( 4 x 3 + 64)dx=^=^. • Jo 2 . 5 i ? ,

«4

2. Calcúlela integral J J (x + y f e ^ ^ ' d x d y , donde B = {{x,y) e R 2 : O í x í 1, O í y í

1{íSoíución. Reescribimos el integrando como [x + y)2 é-x+y^z~y^ y graneamos la región de integración.

(3 pt)

Vemos que (x + y) aparece e n el integrando y como una curva frontera de la región de integración. Como la

exponencial contiene también al factor (x — y), esto sugiere considerar la transformación inversa1

u ~ x + y í T)e.A -WVUL 1/ra.vt-Syer-«' = *-> J Y»***™

Esta transformación lleva la región de integración B que vive en el plano XY al plano t/ V7. En este plano, deseamos saber como luce la imagen de R bajo T _ I . Para ello, describimos las fronteras de R:

C1:x + y = \,ye[0,\}l \

C 2 : x = 0, y e [0,1],

C 3 : y = 0, x e [ 0 , l ] .

Luego, aplicando T~l a cada curva obtenemos:

T-\d): u = l, V€[—1,1]

r _ 1 ( C 2 ) : u = -v, u€(0,l]

T'\C3): u = v, U€[0,1]

Con lo cual obtenemos una región de integración en el plano UV, la cual llamaremos|A, como en la siguiente figura

1 T -

é V C/Yi JOCA c v i

3

Calculamos el jacobiano de T"1: J d{u,v) UX Uy i r d(x,y) yx Vy _ 1 - 1

-> (7-S '- jaxcLc QL.MC

Así, el jacobiano de T es - | . De esta manera, usando la fórmula del cambio de variable para integrales dobles tenemos

JJ (x + y f e ^ - ^ d x d y = JJ w 2 e " " du dv

u¿e""dvdu = - I « ( e " - e - " ) d u 2 Jo

f \A - .C 2

(3 pt) 3. Calcule la integral e - * 2 - ' 2 d x d y .

%tsoíución. Podemos escribir la integral como jjR e~*2~y2 dA, donde R es la región mostrada en la siguiente figura.

y

1 E l motivo de adjuntar la palabra inversa es debido a que en el cambio de variables de una integral doble, uno comúnmente usa una transformación que lleve una región del p lano UV al p lano XY. Recuérdese que el jacobiano que se usa en la fórmula del c a m b i o de variable hace referencia a esta transformación, y no a su inversa.

2

. 0_ 5 j« .co»£o^»e

C. 5 jh* "•u/e-! t c V K ¿tcp

Hacemos un cambio a coordenadas polares y obtenemos

•u/3 r2

7 =

Jo ->0

4. Sea O el sólido en el primer octante restringido por las siguientes desigualdades

Halle el volumen de íí.

Resolución. Se sabe que Vol(H) = J X f n d V . Pasando a coordenadas cilindricas el sólido de integración queda descrito por la unión de los siguientes sólidos:

(4 pt)

Luego,

íí 1 = |(r,9,z): - ^ 9 ^ - , 0 ^ r $ i / 2 , f l ^ z ^ r } ,

n 2 = |(r,9,z) : j^e^^, v / 2 ^ r ^ 2 , 0 se z i " A - r 2 } ,

te

0.5 1 Te Y ^ r á p i

Vol(fi) r 1 /f? r2 r

r d z d r d e l h Jo _J

- ( 4 + ^ ) .

4.0 — * c ^ ¿ í o o <T(a/^e

¿ t cune «Te Cocía.

5. Sea /<" el sólido descrito por O.S: CÁcxJU -i,o , CiíoJr.

ce me t*tíe«jr<xK.

(3 pt)

K: x2 + y2^l,

x2+yz + z2^2.

Halle la masa de K si la densidad en cada uno de sus puntos está dada por S(x ,y ,z) = y/x2+y2

Resolución. La masa está dada po^M = JjK L • dV^ La descripción del sólido K en esféricas está dada por el

esc p $-Z2, / sólido y?

O.S '. pcrvTU-licX H: it 3rc

4 4 0 ^ 9 ^ 2 n .

•{#0 : ' l ^ o v ^ d o * K^u/*\¿

e q rau.cn

Luego, por el teorema del cambio de variable

1 M =

H v / p 2 s e n 2 9

cZn /*3tt/4 rsfl

p 2 s e n i f dpdif d8 = I p d p d ^ d B 0 J n/4 Jcsc^ iS : CílJLr

•3,/4 2

— /TI/4 2

p=V2

p=cscip 3TC/4

(-3H/4

dip = TC ( 2 - c s c 2 i p ) d ^

= n[2ip + c o t i p Q 4 = « ( n - 2 ) .

6. a) Seala transformación T: K 3 —> R3 definida por T(u, v, w) = (u3, v3, w3). Calcule el jacobiano de esta transforma- (1 pt) ción,

b) Calcule el volumen del sólido acotado por la superficie con ecuación x 2 / 3 +y2,3+z2/3 = a 2 / 3 , con a > 0 constante. (3 pt)

Resolución.

\

t

\

(a) El jacobiano viene dado por

3{x,y,z) d(u, v, w)

%u %v

yu yv yw = 27u2v2w2,

0,5 : FnceiíÍPour eev*cWu ¡m¿

0 . 5 ; cAferiruiíwH^e

(b) Bajo la transformación de la parte (a), el sólido del espacio X Y Z , acotado por la superficie x2/3 +y2/3 + z 2 / 3 = a 2 / 3

viene a ser la imagen de la bola B (del espacio UVW) acotada por la ecuación u2 + v2 + w2 = a 2 / 3 . Usando la fórmula del cambio de variables de una integral triple, el volumen viene dado por

V = 27 jj^u2v2w2du\lvdw.

Ahora, usamos coordenadas esférjcQsXfhJf7&j~€ríel espacio UVW. Como

'. iWícgroAMJLl CC irCCVO"

tenemos

4-0 : Cd/cJír

« y w = (p sen ip eos 8 )(p sen ip sen 8 )(p eos ip),

- <3.S

!os 2 8 sen 2 8 sen 5 ip eos 2 ipp 8 pp dtp d8 . J

(1 — eos 2 ip) 2 eos 2 ip sen <p dip d8

cem cíe? 4YI

San Miguel , 18 de setiembre de 2010.

4