Practica 1

UNIVERSIDADPOLITCNICADE CARTAGENA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

DE TELECOMUNICACIN

Laboratorio de Comuniaiones Espaiales

(Manual de Prtias)

Prtia 1:

Menia Orbital

Curso 2009-2010

AUTORES:

Fernando Quesada Pereira

Alejandro lvarez Meln

Se

in 1: Introdu

in 1

1. Introdu

in

En esta primera prtia de la asignatura de Comuniaiones Espaiales se estudian las leyes que

rigen la menia orbital. Es graias al onoimiento de estas leyes que es posible situar a un satlite

de omuniaiones en rbita alrededor de la Tierra.

En primer lugar, se repasan los oneptos bsios de menia orbital omo son las leyes de

Kepler(1571-1630) y su demostrain mediante la apliain de las leyes de Newton(1642-1727).

Seguidamente, se plantea la euain diferenial que desribe la trayetoria de una rbita. En la

prtia se trabajar on la soluin de diha euain diferenial en el plano que ontiene la rbita

del satlite y se representaran los tipos de rbitas eranas a la Tierra ms omunes.

Una vez que se tiene arateriza la rbita de un satlite en el plano que la ontiene, resulta

onveniente representar el movimiento del satlite artiial respeto a un sistema de referenia entrado

en la Tierra. En esta prtia se emplear el sistema de referenia geontrio euatorial, donde el eje

xi apunta a una dire

in ja en el espaio llamada punto de Aries, el ual resulta ms apropiado para

desribir la trayetoria de un satlite en el espaio. Por el ontrario, si lo que se pretende es loalizar

un satlite respeto a una estain terrena es ms adeuado utilizar un sistema de referenia que gire

on la propia Tierra. Para la desripin de la rbita en el espaio tridimensional haen falta otros

datos omo la inlinain i, el argumento del perigeo y la asensin reta del nodo asendente .

Un aspeto importante a tener en uenta a la hora de estudiar las rbitas de satlites son las

perturbaiones que estan sufren debido a determinados fatores omo la irregularidad del ampo gra-

vitatorio terrestre, la presin de la radiain solar, la atra

in del Sol y la Luna, la fri

in on las

apas altas de la atmosfera, et... Estas perturbaiones omplian el senillo modelo dado por las leyes

de Kepler y han de tenerse en onsiderain a la hora de disear las rbitas de los satlites de omuni-

ain o realizar las orre

iones orbitales neesarias. En la prtia, estudiaremos la regresin nodal

y apsidal produidas por la irregularidad del potenial gravitatorio Terrestre.

Las leyes de Kepler parten de la hiptesis de un uerpo de masa pequea que gira respeto a otro

de masa muho mayor. Si ste es el aso, el objeto pequeo orbita siguiendo una trayetoria elptia

respeto al de gran tamao, enontrndose ste en uno de los foos de la elipse. Si la masa de los

uerpos es similar, ambos giran respeto a un entro de masas omn, on lo ual el modelo de Kepler

se omplia. El matemtio, fsio y astrnomo Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), estudi en 1772

el problema astrnio de tres uerpos. Para este problema, onsiderando uno de los uerpos de masa

muho menor que los otros dos, desubri la existenia de 5 puntos de equilibrio en los uales el objeto

menor se enuentra en una posiin ja respeto a los dos mayores.

En la ltima parte de la prtia se estudiar el balane de fuerzas de los sistemas Tierra-Luna y

Tierra-Sol, que permite loalizar los puntos de Lagrange.

Universidad Politnia de Cartagena Comuniaiones Espaiales

Se

in 2: Menia orbital 2

(a) (b)

Figura 1: Astrnomos danes Tyho Brahe(1546-1601) y aleman Johannes Kepler(1571-1630).

Personajes pioneros de las astronoma moderna

2. Menia orbital

Basndose en los datos experimentales reopilados por el astrnomo Tyho Brahe(1546-1601),

Johannes Kepler propuso tres leyes que desriben el movimiento de los planetas en su rbita alrededor

del Sol. Las tres leyes enuniadas por Kepler se resumen en:

1. La rbita de un uerpo pequeo en relain a otro de mayor tamao es siempre una elipse,

enontrndose situado el entro de masas del uerpo grande en uno de los foos de la elipse (ver

la Fig. 2(a)).

2. La rbita del uerpo pequeo barre reas iguales en tiempos iguales (ver la Fig. 2(b)).

3. El uadrado del periodo de revoluin del uerpo del uerpo pequeo respeto al grande es

proporianal al ubo de la longitud del semieje mayor de la rbita elptia (ver la Fig. 3). Es

deir, T 2 = (42a3)/, donde T es el periodo orbital, a la longitud del semieje mayor de la elipse,

y = 3,986004418 105 (km3/s2) la onstante de Kepler.

Tal y omo se ha omentado anteriormente, las leyes de Kepler se estableieron de forma empria.

No fue hasta que Newton (1642-1727) enuni sus famosas tres leyes y la ley de la gravitain universal,

que se pudieron demostrar los postulados de Kepler.

2.1. Euain diferenial de la trayetoria de una rbita

Para que un satlite se enuentre situado en una rbita estable alrededor de la Tierra, debe

produirse un equilibrio entre las distintas fuerzas que se aplian a ste. En un modelo simplado,


2.1 Euain diferenial de la trayetoria de una rbita 3

a

b

semieje mayore a

semieje menor

(a) (b)

Figura 2: Representaon gra de la primera y segunda leyes de Kepler

PSfrag replaements

O1

O2

Figura 3: Segn la terera ley de Kepler el uerpo situado en la rbita O1 presenta un periodoT ms orto que el situado en la O2.

slo se tienen en uenta la fuerza entripeta FIN , debida a la ley de la gravitain universal, y la

fuerza entrfuga FOUT que depende de la antidad de movimiento del satlite (ver la Fig. 4). Por otra

parte, en un satlite en rbita estable siempre se mantiene la suma de su energa potenial y su energa

intia.

Siguiendo un sistema de referenia entrado en la Tierra (ver la Fig. 5), on el eje x apuntando al

primer punto de Aries, y teniendo en uenta las leyes de la menia newtoniana se puede estableer

la relain de fuerzas que se reoge seguidamente.

La ley de la gravitain universal establee que la fuerza de atra

in entre dos uerpos sigue la

relain,

~F = GMEm~rr3

(1)

donde G = 6,672 1020 (Km3/(kgs2)) es la onstante de gravitain universal, ME = 5,97 1024Kgla masa de la Tierra y m la masa del satlite.

Asimismo, la segunda ley de Newton nos die que la suma de fuerzas apliadas sobre un uerpo

es igual a la masa de diho uerpo multipliada por la aelerain.



PSfrag replaements

FOUT =mv2

r

FIN =GMEm

r2

Tierra

(a)

PSfrag replaements

Tierra

(b)

Figura 4: Equilibrio de fuerzas en un satlite segn la menia newtoniana

PSfrag replaements

Rotain Terrestre

Plano Euatorial

Satlite

c

x

y

z

r

Figura 5: Sistema de referenia entrado en la Tierra, on eje x segn el primer punto de Aries

~F = md2~r

dt2(2)

Si se igualan ambas relaiones (1) y (2) se llega a:

~rr3 =

d2~r

dt2(3a)

d2~r

dt2+

~r

r3 = 0 (3b)

La anterior euain diferenial (3) es vetorial y de segundo orden. Debido a que se enuentran

presentes las derivadas segundas de las tres omponentes espaiales (x, y, z), son neesarios seis pa-



rmetros orbitales para poder desribir de forma unvoa la trayetoria de un satlite respeto a la

Tierra.

La soluin de la euain diferenial (3) es difil de enontrar de forma general, por lo que se

suele simpliar la situain resolviendo el problema en el plano que ontiene a la rbita del satlite

(ver la Fig. 6).

r

PSfrag replaements

c

x0

y0

zz0

Figura 6: Sistema de referenia entrado en el plano orbital

Si se esribe la euain diferenial (3), segn el nuevo sistema de referenia representado en Fig. 6,

sta queda de la siguiente forma:

x0

(d2x0dt2

)+ y0

(d2y0dt2

)+(x0x0 + y0y0)

(x20 + y20)

3/2= 0 (4)

Si se realiza un ambio a oordenadas polares (5), la euain diferenial se simplia an ms.

x0 = r0 cos0 (5a)

y0 = r0 sin0 (5b)

x0 = r0 cos0 0 sin0 (5)y0 = 0 cos0 + r0 sin0 (5d)

Una vez realizado el ambio de oordenadas, se tienen dos euaiones difereniales para ada una

de las oordenadas vetoriales.

d2r0dt2

r0(d0dt

)=

r20(6a)

r0

(d20dt2

)+ 2

(dr0dt

)(d0dt

)= 0 (6b)


2.2 Representain de la rbita de un satlite 6

Empleando proedimientos matemtios lsios se puede enontrar una soluin del anterior

sistema de euaiones difereniales (6) para el radio de la orbita del satlite r0, de la forma siguiente,

r0 =p

1 + e cos (0 0)(7)

donde p = (h2)/ es el semilatus retum de la elipse. Por otra parte, h es el modulo del momento

angular del satlite. Se umple tambin que p = a(1 e2), siendo a el semieje mayor de la elipse y esu exintridad. De este modo, la relain (7) se puede esribir alternativamente omo:

r0 =a(1 e2)

1 + e cos (0 0)(8)

Asimismo, el ngulo 0 sirve para orientar la elipse respeto a los ejes del plano orbital x0 e y0, por

lo que reorientando stos se puede haer que 0 = 0. Por lo tanto, omo expresin nal de la euain

de la rbita elptia utilizaremos:

r0 =a(1 e2)1 + e cos 0

(9)

Ejeriio 1. (Optativo) Demuestre que la soluin del sistema de euaiones difereniales (6) se puede

esribir omo (7). Nota: Se trata de un ejeriio optativo que el alumno deber realizar por su uenta

fuera del horario de laboratorio.

PSfrag replaements

C Oa

b

ae

a(1 + e) a(1 e)

0x0

y0

r0

Apogeo

Perigeo

Figura 7: Representain de un satlite en el plano de su rbita

2.2. Representain de la rbita de un satlite

En este apartado veremos omo alular la rbita de un satlite en su plano, en funin de una

serie de parmetros que la desriben. Para ello partiremos de la euain (9). En esta euain el

trmino 0 se denomina anomalia verdadera (en algunos libros aparee representada omo ) y es el



ngulo que forma el vetor de posiin del satlite desde el foo de la elipse on el eje x0 de sta, tal y

omo se representa en la Fig. 7.

Las oordenadas artesianas del satlite se alulan deshaiendo la transformain a oordenas

polares de la forma:

x0 = r0 cos0 (10a)

y0 = r0 sin0 (10b)

Un parmetro importante a la hora de araterizar la rbita de un satlite es la veloidad angular

media de ste, representada omo . En un periodo de T , el satlite reorre una distania angular igual

a 2, por lo que su veloidad angular media se puede alular omo:

= (2)/T = (1/2)/(a3/2) (11)

donde se ha tenido en uenta la terera ley de Kepler.

PSfrag replaements

C O

a

E

x0 x0

y0

y0

rbita

P

Figura 8: rbita de un satlite y iunferenia irunsrita

En una rbita genria elptia la veloidad angular ambia dependiendo de la posiin. Sin em-

bargo, en una rbita irular sto no suede, y el satlite se mueve on una veloidad angular onstante

. Un uerpo que desriba la trayetoria de la iunferenia irunsrita a la rbita elptia del satlite,

representada en la Fig. 8, on una veloidad angular onstante de valor , efetuar una vuelta en el

mismo tiempo T que diho satlite sobre su propia trayetoria.

Atendiendo a la Fig. 8, se dene omo anomala exentria E al ngulo que forma el eje x0 on

la lnea que une el entro de la irunferenia on el punto P . El punto P se obtiene prolongando una



lnea paralela al eje y0, que pasa por la loalizain del satlite, hasta que orta a la irunferenia

irunsrita.

El radio del satlite r0 se enuentra relaionado on la anomala exentria E mediante la relain:

r0 = a(1 e cosE) (12a)a r0 = ae cosE (12b)

Por otra parte se puede estableer una relain entre la anomala exentria y la veloidad angular

media de la forma:

dt = (1 e cosE) dE (13)

Integrando la euain (13) se llega a:

(t tp) = (E e sinE) (14)

donde tp es el denominado tiempo del perigeo, que es el orrespondiente a la aproximain mayor a la

Tierra por parte del satlite.

Asimismo, se dene la anomalia media M omo:

M = (t tp) = E e sinE (15)

Esta anomala media es la longitud del aro en radianes que el satlite habra reorrido desde el

paso por el perigeo si se moviese por la irunferenia irunsrita on una veloidad angular media .

Conoiendo los parmetros desritos anteriormente se puede determinar la posiin de un satlite,

siguiendo los siguientes pasos:

1. Se alula = (2)/T = 1/2/(a3/2).

2. Se alula M = (t tp) = E e sinE.

3. Se enuentra E despejando de la euain anterior (de forma numria).

4. Se alula r0, empleando E, de la relain a r0 = ae cosE.

5. De la euain r0 = a(1 e2)/(1 + e cos 0) se enuentra 0.

6. Se alula x0 = r0 cos0 e y0 = r0 sin0.

Una vez loalizado el satlite en su plano orbital, se debe enontrar la posiin del satlite respeto

a la Tierra, tal y omo veremos posteriormente.

Ejeriio 2. Considere un satlite de tipo Molniya, el ual desribe una trayetoria altamente exntria

(HEO) on e = 0,75. Diho satlite es de tipo geosnrono, ya que su periodo de rotain es igual a



T = DiaSideral/2 (un dia sideral tiene una durain de 23 h, 56 min y 4,1 s). Teniendo en uenta

los datos anteriores, alule la longitud del semieje mayor de la rbita elptia a, la veloidad angular

media , la altura del perigeo hp y del apogeo ha. Tenga en uenta que el radio medio de la Tierra es

RE = 6378,144 Km.

Ejeriio 3. Empleando la euain (9) y los parmetros neesarios que haya enontrado en el ejeriio

anterior, represente empleando Matlab la trayetoria del satlite on rbita de tipo Molniya (utilie el

omando axis equal de Matlab para que no se pierda la relain de aspeto) y tenga en uenta que la

anomala verdadera vara entre 0 0 < 2. Dibuje dentro de la misma gra la Tierra (marandosu entro) y la irunferenia irunsrita a la rbita elptia.

Ejeriio 4. Una vez que se ha representado la trayetoria del satlite, el siguiente paso es estudiar el

movimiento de ste a lo largo de la rbita. Para ello debe de seguir las instru

iones relatadas anterior-

mente. Calule la anomala media M on una variain temporal t de un dia sideral en inrementos

de 15 min, onsiderando que el tiempo del perigeo es tp = 0. Para alular la anomala exentria E,

para ada valor de M , debe resolver una euain que no tiene soluin analtia, por lo que se ha

de reurrir a tnias numrias. El software Matlab ontiene una funin espea para enontrar

los eros de funiones llamada fzero (en aso de versiones antiguas de Matlab se puede emplear la

tnia de Newton-Rhapson). Utilie diha rutina para enontrar los valores de la anomala exentria

orrespondiente. Para enontrar el valor de la anomala verdadera 0 puede despejar diretamente de

la euain (9), aunque es posible que tenga ambigedades de ngulo. Por ello, resulta ms onveniente

que use la relain:

tan (E/2) =

(1 e)(1 + e)

tan (0/2) (16)

Despus de realizar los pasos anteriores y enontrados los valores de x0 e y0 orrespondientes a ada

instante temporal, represente el mvimiento del satlite en su rbita. Para que el efeto visual sea

el adeuado debe redibujar todas las gras para ada t. Asimismo, represente simultaneamente el

movimiento de un satlite que siga la trayetoria de la irunferenia irunsrita on la misma veloidad

angular media . Nota: Es onveniente que utilie el omando pause de Matlab para realentizar un tanto

la simulain y que el movimiento del satlite no sea tan rpido sobre la pantalla.

Ejeriio 5. Una vez que ha onseguido araterizar el movimiento del satlite en la rbita Molniya

responda a las siguientes preguntas:

1.

?

Cmo es la veloidad angular del satlite en la proximidad del perigeo?,

?

Y en el apogeo?.

2.

?

Qu relain guardan las rbitas del satlite que se mueve por la elipse y el qu lo hae por la

irunferenia irunsrita en el apogeo y en el perigeo?.

3.

?

Se umple aparentemente la segunda ley de Kepler?.

4. Si tuviese que dar obertura on un satlite que presenta una rbita muy exntria a una

determinada regin del mundo,

?

dnde tendra que estar situada diha regin, en el apogeo o en

el perigeo?. Razone la respuesta.


2.3 Representain de las rbitas tpias eranas a la Tierra. 10

2.3. Representain de las rbitas tpias eranas a la Tierra.

Sabemos de las lases de Teora de la asignatura de Comuniaiones Espaiales que las rbitas

tpias eranas a la Tierra (ver la Fig. 9) se pueden lasiar en funin de la prximidad a sta omo

LEO (Low Earth Orbit), MEO (Medium Earth Orbit) y GEO Geostaionarios).

Figura 9: rbitas tpias de Satlites en funin de su proximidad a la Tierra

En esta parte de la prtia se pretende realizar una simulain del movimiento rbital de al menos

un satlite en ada una de las rbitas araterstias anterioremente itadas. Para ello, se han esogido

los siguientes satlites:

1. Un satlite de tipo LEO araterstio del sistema IRIDIUM, que desribe una rbita irular a

750 Km de altura.

2. Un satlite en una rbita irular de tipo MEO on una altura de 10255 Km, orrespondiente al

sistema New-ICO.

3. Un satlite que desribe una rbita de tipo Tundra on una exentridad e = 0,4. Este tipo de

rbitas son geosnronas on un periodo igual a un dia sideral (23 h, 56m y 4,1 s).

4. Un satlite en rbita geoestaionaria.

Ejeriio 6. Para los satlites desritos anteriormente, enuentre los valores del semieje mayor de la

rbita a, el periodo rbital T , la veloidad angular media , la altura del perigeo hp y del apogeo ha,

y la exentriidad e.

Ejeriio 7. Siguiendo el proedimiento desrito en la se

in anterior 2.2, represente el movimiento

de los satlites en sus rbitas. Realie la simulain on una variain temporal de hasta dos dias

siderales, on saltos de t = 15 minutos. En todos los asos suponga que el tiempo del perigeo tp es

ero. Dibuje la Tierra en la simulain, marando su entro.


2.4 Loalizain de un satlite respeto a la Tierra 11

Ejeriio 8. Atendiendo a los resultados obtenidos,

?

se umple la Terera ley de Kepler?,

?

y la segunda?.

Ejeriio 9. (Optativo). Simule las rbitas de los antiguos nueve planetas del sistema solar (ver la

Fig. 10) (ahora son oho) siguiendo las leyes de Kepler. Como ondiin iniial suponga que todos los

planetas se enuentran on un mismo tiempo de perigeo tp que por onvenienia puede ser igual a ero.

Realie la busqueda de los datos neesarios de las rbitas por Internet. Tenga en uenta que el plano

de referenia que se utiliza para denir las rbitas de los planetas es el de la elptia (plano orbital de

la Tierra). El resultado que obtenga se aproximar bastante al real, pero no ser exato debido a la

intera

in existente entre los distintos uerpos eleste, la ual no se tiene en uenta en una primera

instania.

Figura 10: rbitas de los antiguos nueve planetas del sistema solar

2.4. Loalizain de un satlite respeto a la Tierra

Una vez que se ha araterizado la rbita de un satlite en su plano, el siguiente paso natural es

representar diha rbita respeto a un sistema de oordenadas tridimensional entrado en la Tierra,

tal y omo se reeja en la Fig. 5. Para poder araterizar ompletamente la rbita en este nuevo

espaio, es neesario onoer tres parmetros ms, omo son la asensin reta del nodo asendente ,

la inlinain i y el argumento del perigeo , representados en la Fig. 11.

Despus de haber alulado la posiin del satlite en su plano orbital, se puede pasar al nuevo

sistema de referenia tridimensional mediante una simple transformain matriial (17) en la que

intervienen los parmetros , e i.

xiyi

zi

= [R]

[x0

y0

](17)

En la expresin anteriores, el punto (x0, y0) son las oordenadas del satlite en el plano de su


2.4 Loalizain de un satlite respeto a la Tierra 12

PSfrag replaements

Perigeo

i

xi

yi

zi

Figura 11: Loalizain de un satlite respeto a un sistema de oordenadas jo entrado en la

Tierra

rbita, mientras que (xi, yi, zi) son las oordenadas de este mismo satlite en el sistema de referenia

tridimensional representado en la Fig. 11. La matriz de transformain presenta el aspeto reogido a

ontinuain:

R =

(cos cos sin sin cos i) ( cos sin sin cos cos i)(sin cos + cos sin cos i) ( sin sin + cos cos cos i)

(sin sin i) (cos sin i)

(18)

Ejeriio 10. Teniendo en uenta la transformain de oordenadas expuesta anteriormente (17),

represente utilizando Matlab (omando plot3) las trayetorias de las rbitas de los satlites propuestos

en la se

in anterior 2.2 en el nuevo sistema de oordenadas tridimensional. Asimismo, inluya la

representain de la Tierra tridimensional, utilizando el omando sphere de Matlab. Para este ejeriio

tenga en uenta los siguientes datos de las rbitas de ada uno de los satlites:

1. Para el satlite en rbita LEO, onsidere que sta es polar, la asensin reta del nodo asendente

= 90o y que el argumento del perigeo es irrelevante al tratarse de un rbita irular.

2. Para el satlite en rbita irular de tipo MEO, onsidere una inlinain i = 30o y una asensin

reta del nodo asendente = 0o

3. Para el satlite de tipo Tundra onsidere una inlinain i = 63, 4o, una asensin reta del nodo

asendente = 180o y un argumento del perigeo = 270o.

4. Para el satlite geoestaionario reuerde que i = 0, y que por las araterstias de la rbita no

tiene sentido dar un valor a la asensin reta del nodo asendente , ni al argumento del perigeo

. Razone en la memoria de la prtia a qu se debe lo anterior.


2.5 Perturbaiones en las rbitas 13

Ejeriio 11. De forma similar a omo hizo en la se

in anterior, represente el movimiento de los

satlites siguiendo su trayetorias tridimensionales. Para ello, alule en primer lugar la posiin ins-

tantnea de los satlites en el plano de su rbita, para posteriormente realizar la transformain al

espaio tridimensional. Considere un tiempo de perigeo tp = 0 para todas las rbitas, un tiempo de

simulain de dos dias siderales y un t = 15 min.

2.5. Perturbaiones en las rbitas

El modelo anteriormente utilizado para araterizar las rbitas de los satlites es ideal, ya que

onsidera que la Tierra es un uerpo homogneo y perfetamente esfrio, mientras que por otra parte

no se tienen en uenta la a

in de fuerzas adiionales omo la inuenia gravitatoria del Sol y la Luna,

la presin de la radiain solar o el rozamiento on la atmsfera. Los fatores anteriormente itados

provoan que la trayetoria orbital de los satlite no permaneza ja on el tiempo, sino que tenga un

omportamiento dinmio.

En esta se

in veremos en que se tradue la variain de iertos parmetros orbitales omo

onseuenia de la irregularidad del potenial gravitatorio Terrestre. La variain de dihos parmetros

orbitales es la siguiente,

d

dt=

3

4AJ2[5 cos

2 i 1] (rad/s) (19)d

dt= 3

2AJ2 cos i (rad/s) (20)

dM

dt= 0[1 +

3

4A1 eJ2(3 cos2 i 1)] (rad/s) (21)

donde,

A =R2

E

a2(1e2)2

RE Es el radio medio de la Tierra.

e La exentriidad de la rbita.

a La longitud del semieje-mayor de la rbita.

i Es la inlinain de la rbita.

= 2piT Es la veloidad angular media del satlite.

J2 = 1,0827 103 Es el primer armnio zonal par (onseuenia del ahatamiento en los polos).

Ejeriio 12. Para los ino satlites (Molniya, Tundra, LEO, MEO y GEO) desritos en la prtia,

alule las derivas produidas en los parmetros orbitales , y M , produidas por las irregularidades

del ampo gravitatorio terrestre. Diga, unto habrn ambiado ada una de esas magnitudes despus

de un da sideral.

Ejeriio 13. Manteniendo invariables el resto de parmetros orbitales, represente las urvas

ddt (i),

ddt (i) y

dMdt (i), para los ino satlites propuestos. Asimismo, onsteste a las siguientes preguntas:


2.6 Puntos de Lagrange 14

1.

?

En qu ngulos de inlinain se produen las variaiones mnimas para ada uno de los par-

metros (, e i)?,?

y las mximas?.

2.

?

Por qu las rbitas Molniya y Tundra se disean on una inlinain de i = 63, 4o?.

3.

?

Para que tipo de rbitas se tienen las mayores variaiones?.

4.

?

Cmo esogera los parmetros orbitales para que el satlite mantuviese una rbita heliosnrona?

(tenga que la posiin del sol vara d/dt = 0,9856o por da).

Aunque ha obtenido iertos resultados para los satlites en rbitas GEO, es menester deir que

en este aso existen perturbaiones muy importantes produidas por otros fatores omo pueda ser

la atra

in gravitatoria de la Luna y el Sol. Por lo tanto, para tener un modelo exato hay que

tener en uenta multitud de ontribuiones. En la prtia de la asignatura, simplemente se pretende

profundizar en el onepto bsio de perturbain orbital.

Ejeriio 14. Despreiando la variain de la anomala media dM/dt, represente de forma dinmia

las rbitas de los satlites de la se

in anterior teniendo en uenta el efeto de las variaiones d/dt

y d/dt para ada t, es deir:

1 =d

dtt+0 (22)

1 =d

dtt+ 0 (23)

Represente tambin el movimiento de los satlites en dihas rbitas ambiantes.

2.6. Puntos de Lagrange

El matemtio, fsio y astrnomo italiano Lagrange(1736-1813), basndose en la menia newto-

niana, estudio el problema de la intera

in gravitatoria entre tres uerpos. Si uno de los uerpos es de

masa reduida en omparain on los otros dos, se puede oloar en unos puntos de equilibrio, sobre los

uales no ambia su posiin relativa en relain a los objetos de mayor masa. A esas loalizaiones de

equilibrio se las denomina puntos de Lagrange, los uales son las ino posiiones en el espaio interpla-

netario donde un objeto pequeo afetado slo por la gravedad puede estar teriamente estaionario

respeto a dos objetos ms grandes (Ej. Sistema TierraLuna, Sistema TierraSol).

En los puntos de Langrange la fuerza gravitatoria de las dos masas grandes y la fuerza entrfuga

en el objeto pequeo se anelan (de forma anloga a las rbitas geosnronas permiten a un objeto

estar en una posiin ja en el espaio en lugar de una rbita en que su posiin relativa ambia

ontinuamente).

Tres de los puntos que son inestables (L1,L2 y L3) y dos estables (L4 y L5). El punto L1 ha sido

aprovehado por las misiones ientas de observain del Sol (ACE, Genesis, ISEE y SOHO). El

punto L2 ha sido aprovehado por el Wilkinson Mirowave Anisotropy Probe (WMAP).



(a) (b)

Figura 12: Lagrange y la situain de las puntos de equilibrio de Lagrange en el sistema Tierra-

Sol

Para poder loalizar los puntos de Lagrange se debe umplir el equilibrio entre tres fuerzas. Por

ejemplo, para el sistema Tierra-Sol, se ha de ompensar la fuerza entripeta del satlite on las de

atra

in gravitatoria del Sol y la Tierra que atan sobre ste, es deir:

~FSol + ~FT ierra + ~FOut = 0 (24)

Ejeriio 15. Estableza el balane de fuerzas de la euain (24) atendiendo a la Fig. 13.

Ejeriio 16. Represente el balane de fuerzas anterior en el plano XY (para ello utilie los omandos

de Matlab meshgrid e images). Asimismo, tenga en uenta los valores de las siguientes onstantes:

Masa de la Tierra mE = 5,97 1024 Kg, masa del Sol mS = 1,9891 1030 Kg, periodo orbital de laTierra TE = 365,2564 das, exentriidad de la rbita de la Tierra eE = 0,0167, longitud del semieje

mayor de la rbita elptia de la Tierra aE = 149597887,5 Km, distania media de la Tierra al Sol

RES = 149597871 Km. Nota: para poder observar el balane de fuerzas represente el mdulo de ste

en dB, debido al gran margen dinmio existente. Site la Tierra a su distania media respeto al Sol.

El entro de masas segn el sistema de oordenadas empleado se alula omo Cmasas =mE RES+mS 0

mE+mS,

al enontrarse el Sol entrado en el origen. Haga la representain desde 1,3 afelio a 1,3 afelio.

Ejeriio 17. Represente el balane de fuerzas anterior en un orte que inluya al Sol, la Tierra y los

puntos de Lagrange L1, L2 y L3.?

A qu distania se enuentran estos puntos de la Tierra y del Sol?

Ejeriio 18. Repita los tres ejeriios anteriores para el sistema Tierra-Luna. Tenga en uenta el

valor de la masa de la Luna mL = 7,348 1022 Kg, su periodo orbital es TL = 27,32166155 das, laexentriidad de la rbita eL = 0,0549, la longitud del semieje mayor de la rbita de la Luna alrededor

de la Tierra es aL = 384582 Km y la distania media de la Tierra a la Luna REL = 384400 Km.



satelite

PSfrag replaements

Perigeo

x

y

Sol

Tierra

~FSol ~FT ierra

Satelite

~FOut

CSol Cmasas

CT ierra

Figura 13: Balane de fuerzas para loalizar los puntos de Lagrange.

Es posible que los puntos de Lagrange L4 y L5 no se observen filmente. Para poder apreiarlos

multiplique la masa de la Luna por diez.


Practica 1

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