INSTITUTO POLITCNICO NACIONALUnidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas

Control de Sistemas Mecatrnicos

Prctica 2

Alumno:Daniel Alberto Cadena Daz

Profesor:Dr. Juan Luis Mata Machuca

Grupo: 4MV306/05/2015

ContentsIntroduccin2Desarrollo2Para la matriz 2a)Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:2b)Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor:3c)Ahora se obtiene la matriz 3d)Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .4e)Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.5Para la matriz 6a)Se obtiene el polinomio caracterstico de la ecuacin6b)Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:7c)Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor:7d)Ahora se obtiene la matriz 7e)Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .8f)Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.8Para la matriz 9a)Se obtiene el polinomio caracterstico de la ecuacin9b)Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:9c)Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor:9d)Ahora se obtiene la matriz 10e)Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .11f)Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.11

IntroduccinLa presente prctica busca aplicar los valores propios de una matriz para posteriormente hacer el clculo de los vectores propios y/o generalizados. Obteniendo stos puntos se procede a calcular la matriz de la forma cannica de Jordan, utilizando los valores propios obtenidos anteriormente, adems de que se debe considerar el caso en el que se llegue presentar multiplicidad en los mismos. Finalmente se calcula la funcin de salida , respecto a condiciones iniciales dadas.DesarrolloPara el desarrollo de esta prctica se requieren la realizacin sucesiva de los siguientes pasos:a) Obtener el polinomio caracterstico de la matrizb) Obtener los valores propios de la matriz, es decir las races del polinomio caractersticoc) Obtener los vectores propios asociados a cada una de las races, adems de obtener la matriz de vectores propiosd) Obtener la matriz de e) Obtener la respuesta del sistema f) Graficar la respuesta

Las matrices utilizadas para este ejercicio se muestran a continuacin:

La condicin que se va a utilizar es la siguiente para todas las matrices:

Para la matriz Al obtener el determinante de la matriz obtenemos que:

Por lo que el polinomio caracterstico de la ecuacin es:

a) Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:

b) Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor::

,::

:

::

:

c) Ahora se obtiene la matriz Sabemos que la matriz de tiene la forma de:

Donde:: es la matriz asociada a los eigenvectores de la matriz .: es la inversa de la matriz anterior.: es la matriz en la forma cannica de Jordan, la cual se representa como:

Siempre y cuando sean races reales y distintas; en caso de que se presente multiplicidad en las races tenemos que:

Como en este caso las races son reales y distintas, se utiliza la primera forma de la matriz cannica de Jordan, quedndonos:Si obtenemos la matriz inversa de , se obtiene lo siguiente:

Por lo que nos queda que la matriz es:Al realizar la multiplicacin obtenemos que:

d) Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .

e) Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.

Lo que se encuentra en el diagrama de bloques de la izquierda es lo siguiente:

Y en el bloque de la derecha tenemos que:

Como este es el caso homogneo, podemos notar que en tanto B como sIABut son cero, para evitar que la salida se modifique. En caso de que tengamos una funcin inicial dada, ser necesario que se modifiquen stos valores.

Con esto obtenemos lo siguiente:

Como se puede apreciar en la imagen, ambas rectas se empalman, por lo que podemos declarar que la solucin obtenida es la correcta.A continuacin se realizar el mismo procedimiento para las dems matrices sin entrar a detalles, puesto que se realizar lo mismo que se acab de explicar, salvo que aparezca algn cambio, se dar nota del mismo.Para la matriz a) Se obtiene el polinomio caracterstico de la ecuacin

Al obtener el determinante de la matriz obtenemos que:

Por lo que el polinomio caracterstico de la ecuacin es:

b) Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:

c) Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor::

,::

:

::

:

d) Ahora se obtiene la matriz Sabemos que la matriz de tiene la forma de:

Como en este caso las races son reales y distintas, se utiliza la primera forma de la matriz cannica de Jordan, quedndonos:Si obtenemos la matriz inversa de , se obtiene lo siguiente:

Por lo que nos queda que la matriz es:Al realizar la multiplicacin obtenemos que:

e) Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .

f) Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.

Como se puede apreciar en la imagen, ambas rectas se empalman, por lo que podemos declarar que la solucin obtenida es la correcta.Para la matriz a) Se obtiene el polinomio caracterstico de la ecuacin

Al obtener el determinante de la matriz obtenemos que:

Por lo que el polinomio caracterstico de la ecuacin es:

b) Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:

c) Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor::

,::

se tiene un caso particular, ya que en sta matriz se tienen dos races iguales, por lo que se presenta multiplicidad, para ello habr que calcular el vector generalizado asociado a cada uno de los eigenvalores repetidos como se muestra a continuacin:

Es decir, se utilizar el eigenvector anterior para poder generar el siguiente vector, pero en ste caso en vez de ser propio, ser un vector generalizado:

::

:

d) Ahora se obtiene la matriz Sabemos que la matriz de tiene la forma de:

Como en este caso las races son reales e iguales, se utiliza la segunda forma de la matriz cannica de Jordan, quedndonos:Si obtenemos la matriz inversa de , se obtiene lo siguiente:

Por lo que nos queda que la matriz es:Al realizar la multiplicacin obtenemos que:

e) Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .

f) Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.

Como se puede apreciar en la imagen, ambas rectas se empalman, por lo que podemos declarar que la solucin obtenida es la correcta.Para la matriz a) Se obtiene el polinomio caracterstico de la ecuacin

Al obtener el determinante de la matriz obtenemos que:

Por lo que el polinomio caracterstico de la ecuacin es:

b) Para calcular los valores propios o eigenvalores de la matriz, se iguala el polinomio caracterstico con cero y se encuentran las races:

c) Ya que se obtuvieron los eigenvalores, se obtienen los eigenvectores para cada eigenvalor::

,::

:

::

:

d) Ahora se obtiene la matriz Sabemos que la matriz de tiene la forma de:

Como en este caso las races son reales e iguales, se utiliza la segunda forma de la matriz cannica de Jordan, quedndonos:Si obtenemos la matriz inversa de , se obtiene lo siguiente:

Por lo que nos queda que la matriz es:Al realizar la multiplicacin obtenemos que:

e) Ya que tenemos la matriz se obtiene la respuesta del sistema . Recordemos que la condicin inicial que utilizaremos es .

f) Utilizando Matlab y el siguiente diagrama a bloques, se realiz la simulacin de la respuesta obtenida anteriormente, con el mtodo de integracin propio de Matlab.

Como se puede apreciar en la imagen, ambas rectas se empalman, por lo que podemos declarar que la solucin obtenida es la correcta.