Práctica 2 La ecuación f(x)=0. v Problemas clásicos y modernos v Métodos Iterativos v Tipos de...
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Práctica 2Práctica 2
La ecuación f(x)=0La ecuación f(x)=0
La ecuación f(x)=0La ecuación f(x)=0
Problemas clásicos y Problemas clásicos y
modernosmodernos
Métodos IterativosMétodos Iterativos
Tipos de convergenciaTipos de convergencia
Método del Punto FijoMétodo del Punto Fijo
Método de BisecciónMétodo de Bisección
Regula-FalsiRegula-Falsi
Archivos de FunciónArchivos de Función
Entradas y salidasEntradas y salidas
Bucles: WHILE Bucles: WHILE
Bifurcaciones Bifurcaciones
Condicionales IFCondicionales IF
Comparaciones y Comparaciones y
operaciones lógicasoperaciones lógicas
Un problema clásicoUn problema clásico
La duplicación del cubo La duplicación del cubo
22xx
Apolo quería, en el templo Apolo quería, en el templo dedicado a él en Delfos, un dedicado a él en Delfos, un altar cúbico de volumen altar cúbico de volumen doble al del altar del templo doble al del altar del templo de Atenea...de Atenea...
xx33 = 2 = 2
Un problema modernoUn problema moderno
La amortización de un préstamoLa amortización de un préstamo
Para comprarte un coche, pides un préstamo de Para comprarte un coche, pides un préstamo de un millón a 5 años. Lo devuelves pagando 20.000 un millón a 5 años. Lo devuelves pagando 20.000 Pts. al mes. ¿Qué interés te han aplicado?Pts. al mes. ¿Qué interés te han aplicado?
C = 1.000.000C = 1.000.000 a = 20.000a = 20.000
n = 5*12 = 60n = 5*12 = 60 r = 1 + i (i=tanto por uno)r = 1 + i (i=tanto por uno)
a = C.i.r a = C.i.r nn/(r /(r nn–1)–1)
Archivos.mArchivos.m
Contienen órdenes de MATLAB.Contienen órdenes de MATLAB.
Se invocan desde la ventana de órdenes, Se invocan desde la ventana de órdenes, o desde otro archivo.m.o desde otro archivo.m.
Se editan y graban como ficheros ASCII.Se editan y graban como ficheros ASCII.
Extienden las funciones definidas en Extienden las funciones definidas en MATLAB.MATLAB.
Archivos.m de FunciónArchivos.m de Función
functionfunction [dif,pago] = plazo(C,n,a,i)[dif,pago] = plazo(C,n,a,i)
Palabra clavePalabra clave Nombre de funciónNombre de función
Argumentos de entradaArgumentos de entradaArgumentos de salidaArgumentos de salida
plazoplazo
CCnnaaii
difdifpagopago
Métodos Iterativos para la Métodos Iterativos para la ecuación f(x) = 0ecuación f(x) = 0
Estimación inicialEstimación inicial xx1 1 tal que f(x tal que f(x11) ) 00
Proceso iterativoProceso iterativo xx22, x, x33, ... , x, ... , xkk, ... , ... x x** : f(x : f(x**) = 0 ) = 0
Criterio de paradaCriterio de parada |x|xk+1 k+1 xxkk| < tol ó |f(x| < tol ó |f(xkk)| < tol)| < tol
k k maxiter maxiter
Tipos de convergenciaTipos de convergencia
Error del paso kError del paso k
eekk = |x = |xk+1 k+1 xxkk||
Convergencia linealConvergencia lineal
eek+1 k+1 / e/ ekk cte cte
Convergencia cuadráticaConvergencia cuadrática
eek+1 k+1 / e/ ekk22 cte cte
Método del Punto FijoMétodo del Punto Fijo
Transformar la ecuación Transformar la ecuación f(x) = 0f(x) = 0 en una en una
ecuación equivalente de punto fijo: ecuación equivalente de punto fijo: xx = = g(x)g(x)..
Tomar una estimación inicial Tomar una estimación inicial xx11 de la solución. de la solución.
Para Para k = 1, 2, 3, …k = 1, 2, 3, … hasta que converja, iterar hasta que converja, iterar
xxk+1k+1 = g(x = g(xkk))
La instrucción WHILELa instrucción WHILE
Bucle controlado por una condiciónBucle controlado por una condición Sintaxis:Sintaxis:
while while condicióncondición
instruccionesinstrucciones
endend Las instrucciones se repiten mientras Las instrucciones se repiten mientras
la condición se verifique.la condición se verifique.
La instrucción IFLa instrucción IF
Bifurcación condicionalBifurcación condicional Sintaxis:Sintaxis:
if if condicióncondición
instruccionesinstrucciones
endend Las instrucciones se realizan si la Las instrucciones se realizan si la
condición se verifica.condición se verifica.
IF - ELSEIF - ELSE
DilemaDilema
if if condicióncondición
instrucciones ciertainstrucciones cierta
elseelse
instrucciones falsainstrucciones falsa
endend
Se ejecutan unas u otras instrucciones Se ejecutan unas u otras instrucciones según se verifique o no la condición.según se verifique o no la condición.
Comparaciones y Comparaciones y operaciones lógicasoperaciones lógicas
Operaciones lógicasOperaciones lógicas
ConjunciónConjunción &&
DisyunciónDisyunción ||
O exclusivaO exclusiva xorxor
NegaciónNegación ~~
Comparaciones Comparaciones
MenorMenor <<
Mayor Mayor >>
Mayor o igual >=Mayor o igual >=
Menor o igual <=Menor o igual <=
IgualIgual ====
DistintoDistinto ~= ~=
Archivo pfijo.mArchivo pfijo.m
EncabezadoEncabezado Definir parámetros de entrada y salidaDefinir parámetros de entrada y salida
PreparaciónPreparación Inicializar variablesInicializar variables
ProcesoProceso Hallar nueva estimación de la soluciónHallar nueva estimación de la solución Actualizar variables para el paso siguienteActualizar variables para el paso siguiente
SalidaSalida Advertir en caso de no convergenciaAdvertir en caso de no convergencia
0 5 10 151
1.2
1.4
1.6g(x) = sqrt(2/x)
0 2 4 61
1.1
1.2
1.3
1.4g(x) = (2/x^2 + 2*x)/3
0 2 4 60
2
4
6
8g(x) = 2/x^2
0 20 400
0.5
1g(x) = sin(x)
Teorema de Punto FijoTeorema de Punto Fijo
[a,b] xpartida de punto cualquier
para converge fijo punto de iteracion La
]a,b[ xtodo para 1<K<g'(x)
b][a, en g de fijo punto x
derivable ntecontinuameR, [a,b] :g
1
*
Método de BisecciónMétodo de Bisección
Determinar un intervalo Determinar un intervalo [a,b][a,b] tal que tal que f(a)f(a)
tenga distinto signo que tenga distinto signo que f(b)f(b)..
Hallar el punto medio Hallar el punto medio cc del intervalo. del intervalo.
Elegir, entre Elegir, entre [a,c][a,c] y y [c,b][c,b], un intervalo en el , un intervalo en el
que la función cambie de signo.que la función cambie de signo.
Repetir los pasos Repetir los pasos 22 y y 33 hasta conseguir un hasta conseguir un
intervalo con la precisión deseada. intervalo con la precisión deseada.
Convergencia del método de Convergencia del método de BisecciónBisección
El error máximo se divide por El error máximo se divide por 22 en en
cada paso.cada paso.
Cota de la raíz: Cota de la raíz: (b(ba)/2a)/2kk..
La aproximación obtenida puede ser La aproximación obtenida puede ser
peor que la del paso anterior.peor que la del paso anterior.