I. RESUMEN

Se realizo un experimento para estudiar el mo-vimiento de un sistema acoplado(sistema carro enriel de baja friccion-baln de acero, donde el balnse mueve en su propio riel). Este fue montado de talforma que se pudiera aproximar a un movimiento detipo rectilneo uniforme y unidimensional(a lo largodel eje x en nuestro sistema de coordenadas). Esta-blecimos como fuente de movimiento una polea, detal forma que el experimento fuera facilmente repro-ducible. Se procedio a analizar los datos obtenidosen 3 diferentes tomas(cada una con una camara co-mo observador inercial externo al sistema, y otracamara como observador inercial ensamblado al sis-tema) con el fin de comprobar experimentalmenteel teorema de adicion Galileana para velocidades,tambien llamado Relatividad Galileana,de formaque se busco obtener la velocidad del baln respectoa la camara en reposo como una suma de la velo-cidad del baln respecto a la camara que era partedel sistema acoplado, mas la suma de este sistemarelativa a la camara en reposo). Todo esto fue reali-zado en intervalos muy cortos de tiempo( donde fueposible emular el tipo de movimiento antes mencio-nado, difcil de lograr especialmente por las fuerzasde contacto y dispersion presentes en el sistema).Los resultados obtenidos fueron consistentes con lateora .

II. MARCO TEORICO:

Sistema de referencia inercial: Describir el mo-vimiento de un sistema o masa puntual unicamentetiene sentido cuando este es medido respecto a unparticular sistema de coordenadas. Por lo que es vi-tal especificar nuestro sistema de coordenadas paradescribir el movimiento. En lo que respecta a esteexperimento, se hizo uso de un sistema de coordena-das fijo a un riel de baja friccion por el cual se des-plazo el sistema acoplado, con origen en una marcade cinta que el equipo coloco en este. En un siste-ma de coordenadas moviendose uniformemente concon respecto al riel, el sistema de masas sobre elque no actua ninguna fuerza se movera con veloci-dad constante. A este tipo de sistemas coordenadosse les conoce como sistemas de referencia inercial1No todos los sistemas de coordenadas son inercia-les. en contraste, si se observara desde un sistemade coordenadas que esta acelerando con respecto alriel, la velocidad del sistema aparentara estar cam-biando con transcurso del tiempo. A este tipo desistemas se les conoce como sistemas no inerciales.

Relatividad Galileana(Transformaciones Galilea-nas): Las leyes de la mecanica son las mismas entodos los sistemas de referencia inercial2 Lo que seresume en: Translaciones: No hay un punto espe-

cial en el universo. Rotaciones: no hay una direc-cion especial en el universo. Impulsos: No hay unavelocidad especial en el universo(Notese que Eins-tein demostro siglos despues que si existe velocidadespecial:la de la luz..3 Aplicando estos conceptos abase de geometra se tiene que: Sea S un sistema decoordenadas x, y, z; ySunsistemadecoordenadasx, y, zDondeSsemueveaunavelocidadvconstanterelativaaSalolargodex.Lastransformacionesgalileanasdeposicionson :x =x+vty = yz = zLastransformacionesgalileanasdevelocidadson :ux =ux + vuy = u

yuz = u

z

En resumen, tenemos que la adicion de veloci-dades esta dada por la siguiente suma vectorial, queno es mas que una translacion:

s = v + uDonde s es la velocidad del baln respecto a la

camara en reposo, v la sistema acoplado respectoa la camara en reposo, y u, la velocidad del balnrespecto al sistema acoplado.

Mnimos cuadrados:Como nuestro modelo es li-neal, se hizo uso de la tecnica de mnimos cuadradospara conseguir la recta mas proxima al movimiento.

III. Desarrollo Experimental

MATERIALES :2 x Rieles de baja friccion de aluminio 1 x baln

(Diametro: 2,0(+0,4cm) y masa: 44,7(+,5cm)) 3x carros dinamicos.(2 magneticos y 1 de colisiones)2 x camaras de video 1 x regla de 60 cm 1 x reglade 30 cm 1 x riel (plano inclinado cerrado) 1 metrode hilo 2 x varillas 1 x nuez 1 x polea 1 x soporteuniversal 1 x contrapeso (147,5 +0,01g) 1 x cintaadhesiva 1 x nivel 1 x tripie

Procedimiento En este experimento, se comenzo ar-mando un prototipo para estudiar el movimiento deun sistema acoplado. Se utilizaron 2 carros dinami-cos sobre un riel, los cuales se unieron en un extre-mo(por magnetismo) ,y luego se coloco una reglade 30cm exactamente en la union de ambos; estosse sujetaron con cinta adhesiva para que la regla ylos carritos estuvieran firmes durante el experimen-to. El extremo de la regla que quedo libre entre losdos carritos, se utilizo para acoplar el sistema de losdos carritos con otro carrito en un riel paralelo alriel original. La regla se sujeto con cinta adesiva alultimo carro dinamico de tal forma que durante elexperimento, ambos carritos tuvieran la misma ve-locidad(vital para el experimento ya que una cama-ra ira montada sobre el carrito del segundo riel).Posteriormente, al extremo de los carros unidos sele sujeto un hilo con un nudo(cuyo objetivo era pro-porcionarle movimiento al sistema a traves de unapolea). Se procedio colocando un soporte universalsobre la mesa, y luego se coloco una varilla con unanuez; en esta nuez se coloco una segunda varilla yen esta una polea en la cual se introdujo un hilo, elcual sujetaba un contrapeso de (147.5g +- 0.01g).

1

Despues se coloco un riel (plano inclinado cerrado),el cual al tener una base de madera fue colocado so-bre el sistema de los dos carros dinamicos del primerriel, y se sujeto con cinta adhesiva hasta obtener unsistema firme. En la base del plano se coloco concinta una regla (60cm) con el objetivo de ser utili-zada como referencia y unidad de dimension en elprograma Tracker. Procedimos separando uno delotro a los rieles de baja friccion a una distancia de(15cm +- 0.05cm),luego se coloco un nivel el cualfue usado para nivelar los rieles de baja friccion evi-tando que el sistema fuera acelerado durante el tra-yecto de los carritos y el baln. Se coloco una delas camaras sobre el carro dinamico unido con laregla(segundo riel), y se sujeto con cinta adhesivay con el lente apuntado hacia el riel en el cual secoloco el baln,de tal forma que cada toma captu-rara el mov. del baln y de los carritos . Por ultimo,se coloco un tripie y una camara la cual apuntabadirectamente a todo el sistema acoplado(en reposoy fuera del sistema en movimiento), a una distanciade (135 cm +- 0.05cm).

Funcionamiento del experimento armado: Paraestudiar el movimiento de nuestro sistema acopla-do, al principio de cada toma, el procedimiento con-sista en que un miembro del equipo encenda lasdos camaras al mismo tiempo, e inmediatamentecolocaba al baln sobre su riel (plano inclinado ce-rrado) a una altura de (3.5cm +- 0.05cm) y unainclinacion de 18,8 respecto a la horizontal; todoesto mientras otro miembro del equipo suelta elcontra peso de la polea el cual recorre (24.5cm +-0.05cm), con el fin de obtener una coordinacion enel movimiento. Al comenzar el movimiento la cama-ra exterior del sistema grababa todo el movimientocompleto (observador inercial externo al sistema), mientras que la camara dentro del sistema (ob-servador inercial ensamblado al sistema) al estarcoordinada con el movimiento de los carritos gra-baba al baln en la parte de la trayectoria dondeera mas pausible obtener una lectura de velocidadconstante(aproximadamente la mitad del trayecto).Al llegar los carritos al final de los rieles de bajafriccion el sistema se detena, y luego se apagabanlas camaras. Todo este proceso se repitio en cadatoma realizada.

IV. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Las mediciones se realizaron por medio del usodel Tracker, para determinar las trayectorias (uni-

Cuadro 1: Datos y promedio del carroTiempo Distancia Distancia Distancia Distancia

(Toma10) (Toma9) (Toma7) Promedio

[seg] 0,05[m] 0,05[m] 0,05[m] 0,05[m]

0 0 0 1.45E-04 4.84E-050.0418 0 0 -1.09E-04 -3.62E-050.0843 0 0 1.39E-04 4.63E-050.126 0 0 1.39E-04 4.63E-050.168 0 -8.81E-05 1.39E-04 1.69E-050.209 1.65E-04 -1.01E-04 3.93E-04 1.52E-040.251 1.65E-04 -1.01E-04 3.93E-04 1.52E-040.294 6.67E-04 3.97E-04 3.93E-04 4.85E-040.335 2.45E-03 3.97E-04 1.93E-03 1.59E-030.377 5.25E-03 1.39E-03 3.96E-03 3.53E-030.418 8.81E-03 4.36E-03 7.00E-03 6.73E-030.461 1.39E-02 7.86E-03 1.13E-02 1.10E-020.502 1.97E-02 1.28E-02 1.69E-02 1.65E-020.545 2.69E-02 1.83E-02 2.33E-02 2.28E-020.587 3.58E-02 2.53E-02 3.17E-02 3.09E-020.629 4.47E-02 3.32E-02 4.00E-02 3.93E-020.67 5.56E-02 4.29E-02 5.07E-02 4.98E-02

0.711 6.79E-02 5.34E-02 6.17E-02 6.10E-020.753 8.16E-02 6.53E-02 7.38E-02 7.36E-020.795 9.61E-02 7.78E-02 8.83E-02 8.74E-020.837 1.12E-01 9.17E-02 1.03E-01 1.02E-010.879 1.29E-01 1.08E-01 1.19E-01 1.19E-010.921 1.47E-01 1.25E-01 1.38E-01 1.37E-010.963 1.66E-01 1.43E-01 1.58E-01 1.56E-01

1 1.87E-01 1.62E-01 1.77E-01 1.75E-011.05 2.09E-01 1.79E-01 1.99E-01 1.96E-011.09 2.31E-01 2.02E-01 2.20E-01 2.17E-011.13 2.54E-01 2.25E-01 2.44E-01 2.41E-011.17 2.82E-01 2.48E-01 2.69E-01 2.66E-011.21 3.07E-01 2.71E-01 2.95E-01 2.91E-011.26 3.36E-01 2.97E-01 3.22E-01 3.18E-011.3 3.63E-01 3.28E-01 3.50E-01 3.47E-01

1.34 3.96E-01 3.56E-01 3.79E-01 3.77E-011.38 4.29E-01 3.83E-01 4.10E-01 4.07E-011.42 4.58E-01 4.15E-01 4.42E-01 4.38E-011.46 4.91E-01 4.52E-01 4.75E-01 4.73E-011.51 5.25E-01 4.77E-01 5.06E-01 5.03E-011.55 5.60E-01 5.09E-01 5.44E-01 5.38E-011.59 5.88E-01 5.45E-01 5.75E-01 5.69E-011.63 6.22E-01 5.76E-01 6.11E-01 6.03E-011.67 6.57E-01 6.07E-01 6.41E-01 6.35E-011.72 6.88E-01 6.44E-01 6.76E-01 6.69E-011.76 7.22E-01 6.74E-01 7.08E-01 7.01E-011.8 7.54E-01 7.03E-01 7.41E-01 7.33E-01

1.84 7.87E-01 7.36E-01 7.73E-01 7.65E-011.88 8.22E-01 7.67E-01 8.03E-01 7.97E-011.93 8.51E-01 7.98E-01 8.37E-01 8.29E-011.97 8.85E-01 8.29E-01 8.71E-01 8.61E-012.01 9.15E-01 8.60E-01 9.00E-01 8.92E-012.05 9.46E-01 8.92E-01 9.32E-01 9.23E-012.09 9.78E-01 9.23E-01 9.63E-01 9.55E-012.13 1.01E+00 9.54E-01 9.95E-01 9.86E-012.18 1.04E+00 9.85E-01 1.02E+00 1.02E+002.22 1.07E+00 1.01E+00 1.06E+00 1.05E+002.26 1.10E+00 1.04E+00 1.09E+00 1.08E+002.3 1.13E+00 1.07E+00 1.12E+00 1.11E+00

2.34 1.16E+00 1.10E+00 1.15E+00 1.14E+002.39 1.19E+00 1.13E+00 1.18E+00 1.17E+002.43 1.22E+00 1.16E+00 1.21E+00 1.20E+002.47 1.25E+00 1.19E+00 1.24E+00 1.23E+002.51 1.28E+00 1.22E+00 1.27E+00 1.26E+002.55 1.31E+00 1.25E+00 1.30E+00 1.29E+002.59 1.34E+00 1.28E+00 1.33E+00 1.31E+002.64 1.37E+00 1.31E+00 1.36E+00 1.34E+002.68 1.39E+00 1.34E+00 1.38E+00 1.37E+002.72 1.42E+00 1.36E+00 1.41E+00 1.40E+002.76 1.45E+00 1.39E+00 1.44E+00 1.43E+002.8 1.48E+00 1.42E+00 1.47E+00 1.45E+00

2.85 1.51E+00 1.44E+00 1.50E+00 1.48E+002.89 1.53E+00 1.47E+00 1.52E+00 1.51E+002.93 1.56E+00 1.50E+00 1.55E+00 1.54E+002.97 1.58E+00 1.53E+00 1.57E+00 1.56E+003.01 1.58E+00 1.54E+00 1.58E+00 1.57E+00

dimensionales) en los tiempos determinados, reali-zados sobre 2 objetos: el carrito de baja friccion,

2

Cuadro 2: Datos y promedio del balin (Estatico)T iempo Distancia Distancia Distancia Distancia

(Toma10) (Toma9) (Toma7) Promedio[seg] 0,05[m] 0,05[m] 0,05[m] 0,05[m]1.26 -2.13E-01 -2.08E-01 -2.04E-01 -2.08E-011.3 -1.66E-01 -1.61E-01 -1.54E-01 -1.60E-01

1.34 -1.19E-01 -1.14E-01 -1.09E-01 -1.14E-011.38 -7.11E-02 -6.87E-02 -5.96E-02 -6.65E-021.42 -2.17E-02 -2.12E-02 -9.26E-03 -1.74E-021.46 2.61E-02 2.58E-02 3.93E-02 3.04E-021.51 7.39E-02 7.16E-02 8.70E-02 7.75E-021.55 1.22E-01 1.17E-01 1.38E-01 1.26E-011.59 1.69E-01 1.63E-01 1.86E-01 1.73E-011.63 2.15E-01 2.15E-012.22 8.77E-01 9.00E-01 8.89E-012.26 9.24E-01 8.90E-01 9.46E-01 9.20E-012.3 9.69E-01 9.34E-01 9.93E-01 9.66E-01

2.34 1.02E+00 9.77E-01 1.04E+00 1.01E+002.39 1.06E+00 1.02E+00 1.08E+00 1.06E+002.43 1.11E+00 1.07E+00 1.13E+00 1.10E+002.47 1.15E+00 1.11E+00 1.17E+00 1.14E+002.51 1.20E+00 1.15E+00 1.22E+00 1.19E+002.55 1.24E+00 1.20E+00 1.27E+00 1.23E+002.59 1.29E+00 1.24E+00 1.31E+00 1.28E+002.64 1.33E+00 1.28E+00 1.36E+00 1.32E+002.68 1.38E+00 1.32E+00 1.40E+00 1.37E+002.72 1.42E+00 1.37E+00 1.45E+00 1.41E+002.76 1.47E+00 1.41E+00 1.49E+00 1.46E+002.8 1.51E+00 1.45E+00 1.53E+00 1.50E+00

2.85 1.55E+00 1.49E+00 1.58E+00 1.54E+002.89 1.60E+00 1.54E+00 1.62E+00 1.59E+002.93 1.64E+00 1.58E+00 1.67E+00 1.63E+002.97 1.69E+00 1.62E+00 1.71E+00 1.67E+003.01 1.66E+00 1.66E+00

Cuadro 3: Datos y promedio del balin (Acoplado)T iempo Distancia Distancia Distancia Distancia

(Toma10) (Toma9) (Toma7) Promedio[seg] 0,02[m] 0,02[m] 0,02[m] 0,02[m]1.72 -9.92E-04 5.09E-03 2.05E-031.76 -1.79E-03 1.20E-02 1.97E-02 9.97E-031.8 1.03E-02 2.50E-02 3.61E-02 2.38E-02

1.84 2.46E-02 4.01E-02 5.03E-02 3.83E-021.88 4.05E-02 5.52E-02 6.61E-02 5.39E-021.93 5.46E-02 6.95E-02 8.09E-02 6.83E-021.97 7.00E-02 8.43E-02 9.62E-02 8.35E-022.01 8.55E-02 9.74E-02 1.12E-01 9.81E-022.05 1.00E-01 1.12E-01 1.27E-01 1.13E-012.09 1.15E-01 1.26E-01 1.42E-01 1.28E-012.13 1.30E-01 1.40E-01 1.57E-01 1.42E-012.18 1.43E-01 1.54E-01 1.22E-01 1.40E-012.22 1.59E-01 1.67E-01 1.63E-01

grabado por la camara en reposo (Cuadro 1), y elbaln grabado por la camara en reposo (Cuadro 2)y por la camara acoplada con el sistema (Cuadro3), resumidas en la Figura 1.

Debido a que fue reproducible facilmente, y quelos datos eran congruentes con el modelo teorico,se decidio tomar solo ciertas tomas, la toma 10,9y 7; para realizar el analisis. Las incertidumbres sesacaron con la diferencia maxima entre los valoresmedidos y el valor promedio, y usando la maximade todas esas incertidumbres.

Notese que para simplificar el analisis no se agre-ga la incertidumbre en el tiempo, que en base a laescala mnima de la camara (los fotogramas por se-gundo) es de +0.2 seg, pero se justifica mencio-nando que es la misma camara y el error entre ca-da medida se espera constante para cada intervalode tiempo. Es de notar tambien que los valores delbaln respecto a la camara estatica presentan unadiscontinuidad, esto fue debido a la propia cama-ra (la camara acoplada); sin embargo este error seaprovechara en el analisis.

Figura 1: Grafico de Datos Experimentales contraPromedio de Datos del Carrito

V. ANALISIS DE DATOS

Se procedio a verificar por medio del el Coe-ficiente de correlacion lineal de Pearson, que tanproximo eran los datos a los del modelo en linea rec-ta, obteniendose un altsimo coeficiente de .999737;por lo que es una aproximacion muy cercana a unalinea recta. En base al resultado, se procedio a desa-rrollar el modelo (lineal) de la grafica del promediode las graficas con minimos cuadrados, que devol-vio la ecuacion.

x(t) = 0,741t 0,604

Donde 0,741m/s corresponde a la velocidad prome-dio del carrito (Figura 2).

Tambien se comprobo el Pincipio de Relatividadde Galileo(vease marco teorico), que describe comose relacionan magnitudes en dos sistemas inerciales,en este caso el reposo contra el movimiento del ca-rrito (que ya se demostro que es cercano al inercial).

Como el movimiento es unidimensional, se lepuede asignar la direccion al vector desplazamientounicamente con el signo, aqu se aprovecha el que latrayectoria del baln no logro asignar en cierto in-tervalo de tiempo (la mencionada discontinuidad),prediciendo su desplazamiento en base de los datosdel desplazamiento relativo de el baln con la cama-ra y del movimiento del carrito, usando la ley deadicion de Galileo(vease marco teorico).

3

Figura 2: Grafico de Minimos Cuadrados contraPromedio de Datos del Carrito (Vease Cuadro 4)

Sea x la posicion del baln con respecto al repo-so, x la posicion del baln con respecto al carrito, yv la velocidad del carrito, por la ley de invarianzade Galileo, tenemos:

x(t) = x(t) vt x(t) = x(t) + vtPero vt = xc es la posicion del carrito a cada inter-valo de tiempo y as se puede determinar grafica-mente, del cual se desprende el Cuadro 4, asociadaa la figura 3.

x(t) = x(t) + xc

Hay solo una correccion a la formula, se debeconsiderar una sencilla traslacion en el eje de coor-denadas, que corresponde a que los desplazamientosdel baln no se midieron bajo mismos ejes coordena-dos en los videos, la traslacion se logra restando ax(t) 0,374 0,002m, que ya se incluye en el calculoy cuya incertidumbre es despreciable.

Figura 3: Grafico de posicion estimada contra posi-cion relativa(Vease Cuadro 4)

Para la propagacion de incertidumbres, como seusa los promedios de las mediciones la incertidum-bre de x(t) y de xc se conserva (suma de incerti-dumbres y division por escalares) y finalmente solose suma, quedando una incertidumbre de 0.7 cm.

Podemos verificar el modelo usando minimos cua-drados a los datos del balin por la camara estaticocontra los datos estimados en el modelo; asi com-paramos en el Cuadro 5, la formula conseguida deminimos cuadrados x(t) = 1,05t 1,34 con los da-tos mencionados en el Cuadro 4 y se verifica que losdatos de minimos cuadrados estan dentro del rangoesperado por la prediccion

Figura 4: Grafico de Posicion estimada contra mini-mos cuadrados del balin estatico(Vease Cuadro 5)

VI. CONCLUSIONES

Como se vio, se logro el objetivo de reproducirun sistema inercial acoplado a otro sistema inercial,el dispositivo dio la libertad de que los resultadosfueran consistentes a lo largo de las pruebas, lo quefacilito su analisis.

Ademas, se puedo comprobar experimentalmen-te la ley de invarianza de Galileo, porque el modelodescribe de forma adecuada el comportamiento delbaln.

Destaca el uso del Tracker, que fue una herra-mienta sumamente util, casi imprescindible, ya quefacilito las observaciones y disminuyo las incerti-dumbres de manera sustancial.

VII. REFERENCIAS

[1]Daniel Kleppner y Kolenkow, Introduction to Me-chanics, captulo 2:Newtons Laws , 1967, Cam-bridge Press. [2]http://www.physics.umd.edu/courses/Phys270/Jenkins/LectureChapter37v6.pdf[3] A. Beiser. Concepts of Modern Physics. Sextaedicion. McGrawHill, 2003.

4

Cuadro 4: Desplazamiento estimado vs Desplaza-miento oservado del balin

T iempo Distancia Distancia[seg] 0,07[m] 0,05[m]1.09 -0.211.13 -0.161.17 -0.111.22 -0.071.26 -0.021.30 0.031.35 0.081.39 0.131.43 0.171.48 0.211.521.57 0.291.61 0.331.65 0.381.70 0.431.74 0.471.78 0.521.83 0.571.87 0.611.91 0.661.96 0.712.00 0.752.04 0.772.09 0.82 0.892.13 0.922.17 0.972.22 1.012.26 1.062.30 1.102.35 1.142.39 1.192.43 1.232.48 1.282.52 1.322.57 1.372.61 1.412.65 1.462.70 1.502.74 1.542.78 1.592.83 1.632.87 1.672.91 1.66

Cuadro 5: Datos del balin Acoplado y minimos cua-drados del balin estatico

T iempo Distancia Distancia[seg] [m] 0,07[m]1.09 -0.191.13 -0.151.17 -0.111.22 -0.051.26 -0.011.30 0.031.35 0.081.39 0.121.43 0.171.48 0.221.52 0.261.57 0.31 0.291.61 0.36 0.331.65 0.40 0.381.70 0.45 0.431.74 0.49 0.471.78 0.54 0.521.83 0.59 0.571.87 0.63 0.611.91 0.67 0.661.96 0.73 0.712.00 0.77 0.752.04 0.81 0.772.09 0.86 0.822.13 0.902.17 0.952.22 1.002.26 1.042.30 1.082.35 1.142.39 1.182.43 1.222.48 1.272.52 1.322.57 1.372.61 1.412.65 1.452.70 1.502.74 1.552.78 1.592.83 1.642.87 1.682.91 1.73

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