PRACTICA [2] Vibraciones

UNASAM FIC PRÁCTICA CALIFICADA DE FISICA II Hz 17/07/2009 OLVG

1

1. La plataforma A de 50 kg está unida a los resortes B y D

de constante k = 1900 N/m cada uno. Se desea que la

frecuencia de vibración de la plataforma no varíe cuando

sobre ella se deposita un bloque de 40 kg, por lo que se

añade un tercer muelle C. Determine la constante del

resorte C.

2. Un bloque de 25 kg está soportado por un cable, que se

enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio

y está sujeto a un resorte como se muestra en la figura.

Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posición de

equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación

diferencial para el movimiento del bloque, (b) el período

natural de la vibración y (c) la velocidad máxima del

bloque.

3. Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está

articulada en A y unida a dos resortes, ambos de

constante elásticas k = 300 N/m. Halle: (a) la masa m del

bloque C para que el período de las pequeñas

oscilaciones sea T = 0,4 s, (b) Si el extremo se desplaza

40 mm y se suelta desde el reposo, halle la velocidad

máxima del bloque C.

4. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento c para

el cual el sistema está críticamente amortiguado si la

constante de cada resorte es k = 70 kN/m y m = 90 kg

5. El movimiento del cuerpo puntual E de la figura es armónico y lo define la ecuación yE =0,15 sen10t, donde yE y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de R1 es k1 = 150 N/m y la constante de R2 es k2 = 250 N/m. Se considera

despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W el cual tiene 15 kg de masa. Halle la solución estable (permanente) que describe el movimiento del sistema. (Sugerencia considere al sistema formado por las dos barras más el cuerpo W y hágalo girar en sentido horario)


2

PROBLEMA 01.

Datos e incógnitas

50 ; 1900 / ; 40 ; ???

var

A x xm kg k N m m kg k

f no ía

En la figura se muestra el DCL del sistema cuando se añade el

resorte y el bloque, en estado de equilibrio

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

1 2

0

( ) ( ) 0

y

A x s C s s

F

m m g k k k

En la figura se muestra el DCL del sistema para un

desplazamiento y a partir de la posición de equilibrio.

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

1 2( ) ( )( ) ( )

y A x

A x C s A x

F m m y

m m g k k k y m m y

Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene

1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( ) 0

y A x

C A x

A x C

F m m y

k k k y m m y

m m y k k k y

Cuando todavía no se coloca mx y kC, la ecuación anterior se

escribe

1 2( ) 0

40 3800 0

Am y k k y

y y

La frecuencia será

1

1

38008,72 2

50

1,39

n f

f hz

Cuando se coloca mx y kC, se tiene

1 2( ) ( ) 0

(40 50) (3800 ) 0

90 (3800 ) 0

A x C

C

C

m m y k k k y

y k y

y k y

En este caso la frecuencia es

2

2

38002

90

38001

2 90

Cn

C

kf

kf

Como las frecuencias son iguales, se tiene

1 2

380011,39

2 90

C

f f

k

Resolviendo la ecuación se tiene

3040 /Ck N m Rta

PROBLEMA 02

En la figura se muestra el DCL del bloque en equilibrio


0

0

0

y

B

F

m g T

(1)

En la figura se muestra el DCL del disco en equilibrio estático


3


0OM

0

0

( ) ( ) 0s

s

T R k R

T k (2)

Remplazando (1) en (2) resulta

0B sm g k (3)

Bloque desplazado una distancia y a partir de la posición de

equilibrio


B Bm g T m y (4)

En la figura se muestra el DCL del disco cuando gira un

ángulo θ en sentido horario

Ecuación de movimiento de rotación

( ) ( )

O O

s e O

M I

T R k x R I

( ) Os e

IT k x

R (5)

Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta

2( / 2)( ) D

B s e B

m Rm g k x m y

R

2

DB s e B

m Rm g k kx m y (6)

Remplazando la ecuación (3) en (6), resulta

02

DB e

m Rm y kx

De la cinemática de los desplazamientos se tiene

/ /

/ /

e e

e

x R x R y R

x R y R (7)

Al remplazar la ecuación (7) en (6) se tiene

( / ) 02

DB

m Rm y y R ky

02

(2 ) 2 0

DB

B D

mm y y ky

m m y ky

85 900 0y y (8)

La frecuencia circular será

900 2

10,58885

nT

De donde se obtiene el período

1,93T s

La solución de la ecuación diferencial es

( ) ( 10,588 )nx Asen t Asen t

La velocidad será

10,588 ( 10,588 )x A cos t

Remplazando las condiciones iniciales resulta

0,2

0 10,588 cos

Asen

A


4

2

0,2A

Remplazado estos valores en la velocidad se tiene

6,5 ( 10,588 / 2)x cos t

La velocidad máxima será

max max 2 10,588 0,65 /v x m s

PROBLEMA 03.

Datos e incógnitas

1 2

max

0,75 ; 300 /

( ) ??; 0,4 ;( ) ??

AB

C

m kg k k N m

a m T s b v

En la figura se muestra el DCL de la barra más el bloque m.


2 2 1 1

0

(0,8) (0,55) (0,5) (0,5) 0

A

C AB s s

M

m g m k k

2 1(0,8) (0,55) ( )(0,5) 0C AB s sm g m k (1)

En la figura se muestra el DCL del sistema barra más bloque

cuando se ha desplazado un ángulo θ en sentido anti horario.

Aplicando la ecuación de movimiento de rotación a la barra se

tiene.

2 2

1 1

(0,8cos ) (0,55cos ) ( )(0,5cos )

( )(0,5cos )

A A

C AB s e

s e A

M I

m g m k y

k y I

Para ángulos pequeños y ,

1 2

1 2

(0,8) (0,55) ( 2 )(0,5)

(0,8) (0,55) ( )(0,55) 0,5 (2 ) (2)

C AB s s e A

C AB s s e A

m g m k y I

m g m k k y I

Remplazando la ecuación (1) en (2) resulta

0A eI ky (2)

De la gráfica se tiene

0,5 0,5ey sen (3)

El momento de inercia está dado por

2 2

var

2 2

1(0,8 )

3

1(0,75)(1,1) (0,8)

3

A illa collar AB C

A C

I I I m L m m

I m

20,3025 (0,8)A CI m (4)

Remplazando la ecuación (3) (4) en (2) resulta

0,64 0,3025 (0,5 ) 0

1500

(0,64 0,3025)

C

C

m k

m

La frecuencia angular viene dada por

150 2

0,64 0,3025n

Cm T

El período es

(0,64 0,3025)2 0,4

150

CmT

La masa se obtiene despejando de la ecuación anterior

0,477Cm kg

Remplazando este valor en la frecuencia circular


5

15015,7 /

0,64(0,477) 0,3025n rad s

Aplicando las condiciones iniciales resulta

0 0

0 0

( ) 0,036

cos( ) 0 cos

n

n n n

sen t sen

t

0

2

0,036

La velocidad angular máxima será

max

0,036(15,7)cos 15,7

0,5652 /

t

m s

La velocidad lineal máxima es

max

max

0,5652(0,8)

0,45 /

mas Cv r

v m s

PROBLEMA 04

En la figura se muestra el DCL del bloque m en equilibrio

Aplicando la ecuación de equilibrio se tiene

0

3

y

s

F

k mg

En la figura se muestra el DCL del bloque m en movimiento,

para una posición y


3 ( ) 2

y

s

F my

mg k y cy my

Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene

2 3 0

90 2 3(70000) 0

90 2 210000 0

22333,3 0

90

my cy ky

y cy y

y cy y

cy y y

La razón de amortiguamiento está dada por

2 / 90

2 2 1(2333,3)

eff

eff eff

c c

m k

El amortiguamiento crítico ocurre cuando

/ 901

1(2333,3)

4347,4 . /

c

c N s m

PROBLEMA 05

En la figura se muestra se muestra el DCL del sistema girado

un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio

Las ecuaciones de movimiento serán

2 2 2 1 1 1( )(1,2cos ) ( )(0,6cos )

(1,2 )

A A

E e e

A

M I

k y y k y

mg sen I


6

2 2 2 1 1 1( )(1,2) ( )(0,6) (1,2 ) (1)E e e Ak y y k y mg I

En el equilibrio, θ = 0°, y1e = 0, y2e = 0, y yE = 0, entonces se

tiene

2 2 1 1( )(1,2) ( )(0,6) 0k k (2)

Remplazando al ecuación (2) en (1) resulta

2 2 1 1 21,2 0,6 1,2 1,2A e e EI k y k y mg k y

2 1 2

2 2 2

2 1 2

2 2 2

2 1 2

1,2 (1,2 ) 0,6 (0,6 ) 1,2 1,2

(1,2) 1,2 0,6 1,2 1,2

(1,2) (1,2 0,6 1,2 ) 1,2

A E

E

E

I k k mg k y

m k k mg k y

m k k mg k y

Remplazando los valores del enunciando resulta

21,6 590,4 45 10sen t (3)

La solución estable será

10

10 cos10

100 10

m

m

m

sen t

t

sen t

(4)

Al remplazar las ecuaciones (4) en (3), resulta

21,6( 100 10 ) 590,4( 10 ) 45 10

2160 590,4 45

0,028

m m

m m

m

sen t sen t sen t

Por tanto la solución estable será

0,028 10

0,028 10

sen t

sen t

PRACTICA [2] Vibraciones

Documents

Transcript of PRACTICA [2] Vibraciones