Práctica 4 Rotación

Universidad Tecnológica de México

Área Mayor

Materia: Cinemática y dinámica

PRÁCTICA 4

Área: Ingeniería

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INFORMACIÓN CONFIDENCIAL

Cinemática y dinámica Procedimiento Malab. 03 Rev. 3 AGOSTO 2007 2

Práctica 4 Rotación, velocidad, aceleración y momento de inercia de un cuerpo.

Indicadores • Definir e identificar el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular. • Aplicar los conceptos anteriores a la aplicación de pruebas y problemas físicos. • Aplicar las relaciones entre velocidad y aceleración lineal con respecto a la velocidad y aceleración angular. Normas de seguridad:

Trabajar dentro de la línea de seguridad

Equipo de seguridad:

Bata Zapatos cerrados

Investigación previa

1. Define el concepto de movimiento de rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo. 2. Define y expresa el concepto de momento de inercia de un sólido. 3. Un ingeniero tiene una barra redonda de 20 cm de longitud y un cilindro de madera maciza de 5 cm de

radio y la misma longitud que la barra. ¿Cuál de esas dos piezas girará con mayor facilidad y por qué? 4. Realice una tabla de comparación de las ecuaciones para la aceleración lineal constante y la

aceleración angular constante.

Fecha de elaboración:_____ Fecha de revisión: _______ Responsable:____________




Equipo: • 1 Disco de perfocel o triplay de 30 cm de diámetro con carrete adherido (adherible).

• 1 Disco de perfocel o triplay de 20 cm de diámetro con carrete adherido (adherible).

• 1 Disco de perfocel o triplay de 10 cm de diámetro con carrete adherido (adherible).

• 1 flexómetro.

• juego de pesas.

• 2 soportes universales.

• 1 Deslizador de madera (que permita deslizar el círculo de perfocel).

• Cuerda o hilo cáñamo de 2 m de longitud.

• 1 un Lanzador de pelotas y pelota de plástico.

• 1 reloj digital con dos fotocompuertas. Marco teórico En la ingeniería moderna y en la industria reviste gran importancia el movimiento angular, con el cual vivimos todos los días y no nos damos cuenta de su importancia. Muchos enseres domésticos funcionan con movimiento angular como licuadoras, batidoras, taladros, etcétera. Nos transportamos en vehículos cuyas llantas tienen movimiento de rotación, el motor del auto desarrolla por ejemplo, su potencia por medio de la rotación que provocan los pistones al cigüeñal. Un hecho tan cotidiano como el día y la noche es consecuencia de que uno de los movimientos del planeta donde vivimos es de rotación. Por tal motivo, en nuestra materia debemos conocer las nociones básicas del movimiento angular y uno de sus casos especiales, el movimiento circular y las ecuaciones que nos permitan resolver problemas alusivos a ese tema. Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos, describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, θ En el instante (de tiempo) t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular está dada por el ángulo θ que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo, θ es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, y se expresa: θ = s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones. En cinemática es muy usual decir que la posición angular se mide en radianes.

O

P

s r

θ C




Velocidad angular, θ

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ'. El móvil se habrá desplazado, Δθ = θ’ – θ en el intervalo de tiempo Δt= t' - t , comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

tΔΔ

=θω …………….. (1)

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt

θθω =ΔΔ

=→Δ

lim0

…………….. (2)

Aceleración angular, α Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω’, la velocidad angular del móvil ha cambiado Δω = ω’ – ω en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media (α) al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

tΔΔ

=ωα (3)

La aceleración angular en un instante se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt

ωωα =ΔΔ

=→Δ

lim0

(4)




Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio:

´´

rs

rs

==θ

Derivando s = r θ respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular:

dtdr

dtds θ

= , ωrv =

La ecuación vectorial que define a la velocidad linal en función de la angular es:

rwv ×=

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial Aceleración tangencial Derivando esta última relación respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

dtdr

dtdv ω

= , αrat =

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo. Energía cinética de rotación Este concepto es aplicable a un objeto o cuerpo que está girando alrededor de un eje. Las partículas del sólido describen circunferencias concéntricas repecto al eje de rotación y su respectiva rapidez es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= θ ·ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación.

2

21 IwEc =

en donde: Ec: es la energía cinética de rotación del cuerpo I: es lo que se conoce como momento de inercia y que significa la oposición que presenta todo cuerpo a que lo hacen girar o dar vueltas alrededor de un eje.




Desarrollo: Experimento 1: Velocidad angular, aceleración angular y momento de inercia Objetivo Determina los valores teóricos y experimentales de la velocidad y aceleración angular de ciertos elementos sometidos a una fuerza que le genera movimiento. Procedimiento

a) Arma los siguientes dispositivos similares a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden una o dos pesas, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Ruedas o círculos de perfocel o carretes

b) Medir el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A

partir de los datos, de las masas de los cuerpos y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula la velocidad angular y la aceleración angular.

Altura h, (cm)

Tiempo de descenso (s)

t1 =

t2 =

t3 =

t 4=

t5 =

h = 40 cm o 50 cm

tprom =




Primer dispositivo La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía con los siguientes datos del dispositivo:

• Masa de la pesa m = 100 g • Radio del círculo interior r = 5 cm.

No olvidar que la masa se calcula a partir del peso con la fórmula siguiente:

m = w/g g= 9.81 m/s2

• La pesa de masa m desciende una altura h. • La pesa de masa m incrementa su velocidad en v • La rueda gira con acelerante angular α

La energía potencial disminuye en mgh. Su energía cinética se incrementa en mv2/ 2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en mv 2/ 2.

La ecuación del balance energético es:

22

21

21 ωImvmgh +=

La velocidad V corresponde a la pesa que desciende y el término ½ Iω2 s refiere al carrete que gira al descender la primera. La velocidad V se calcula a partir de la altura h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

212h at= de donde: a = 2h/t2

atv =

La velocidad angular ω está relacionada con la velocidad V de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde del carrete de radio r (siendo r el radio interior de la rueda).

rv ω=

Actividades Complementarias




Concluye la siguiente tabla y determina el momento de inercia:

Altura h Tiempo t (tiempo promedio) Velocidad angular ω Radio r Velocidad lineal v Masa m de la pesa Momento de inercia I del disco y carrete

Segundo dispositivo

a) Con los siguientes datos, arma el siguiente dispositivo:

• Peso de m1 primera pesa, w1 = 100 g • Peso de m2 de la segunda pesa, w2 = 200 g • Radio del circulo exterior R, 30 cm. • Peso de rueda con carrete w3 = ___ g, que servirá para calcular su masa y momento de inercia

• La pesa de masa m2 desciende una altura h. • La pesa de masa m1 asciende la misma

altura h. • La pesa de masa m1 aumenta en V su

velocidad. • Lo mismo le ocurre a la pesa de masa m2 • La rueda gira con velocidad angular ω .

b) Se formula el principio de conservación de la energía: 2

212

2212

121

12 ωlvmvmghmghm +++=

c) Calculando la velocidad V a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura,

partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular ω de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.

Completa la siguiente tabla y determina el momento de inercia:




Altura h Tiempo t Velocidad v Radio R Velocidad angular ω Masa m1 de la pesa 1 Masa m2 de la pesa 2 Momento de inercia I

Tercer dispositivo a) Armar el dispositivo con los datos siguientes:

• Masa m1 de la primera pesa 150 g • Masa m2 de la segunda pesa 200 g • Radio r2 interior 20 cm • Radio r1 exterior 30 cm • Peso de rueda y carrete = ___ g, lo cual servirá para conocer su masa y su momento de inercia.

b) Comparando el estado inicial y final con los siguientes datos observamos que:

• La pesa de masa m1 desciende una altura h1. • La pesa de masa m2 asciende una altura h2. • La pesa de masa m1 incrementa su velocidad

en V1. • La pesa de masa m2 incrementa su velocidad

en V2. • La rueda y el carrete al estar unidos, giran con

la misma velocidad ω.

c) Formulamos el principio de conservación de la energía: 2

212

22212

1121

2211 ωlvmvmghmghm +++=

d) Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre V1 y V2. Recordaremos que las magnitudes

angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación, mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

• V1=ω r1




• v2=ω r2 • h1=θ r1 • h2=θ r2

Donde:

ω es la velocidad angular de la rueda y θ es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h1, la altura a la que cae la pesa de masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda, podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los dispositivos anteriores. Completa la siguiente tabla y determina el momento de inercia:

Altura h1 Radio r1 Radio r2 Altura h2 Tiempo t Velocidad v1 Velocidad angular ω Velocidad v2 Masa m1 de la pesa 1 Masa m2 de la pesa 2 Momento de inercia I

Al concluir este experimento debes responder las siguientes preguntas:

1. ¿En qué sentido gira este dispositivo? 2. ¿A qué se debe este movimiento?

Experimento No. 2: Conservación del momento lineal y angular

Objetivo

Aplicar el principio de conservación del momento lineal y angular para determinar los valores teóricos y experimentales de la velocidad angular y del desplazamiento horizontal de ciertos elementos sometidos a una fuerza que le genera movimiento.

Arma el siguiente dispositivo:

1. Utilizando un círculo de perfocel de 30 cm. de diámetro, coloca en su centro un eje para que pueda girar sobre si mismo.

2. Monta el círculo en forma vertical sobre el deslizador de madera de forma tal que el círculo asemeje una llanta o rueda de bicicleta y no toque el suelo.

3. Coloca la cinta métrica de forma extendida en el suelo de manera que se asemeje a la figura siguiente:




Figura 2. Círculo de perfocel y cinta métrica

4. Con el lanzador colocado en el piso, con una intensidad en la cuarta o quinta ranura, según tú decisión, marca una distancia máxima de 1 m en el piso y toma el tiempo en que la pelota recorre esa distancia, de forma tal que determines la velocidad de la pelota.

FIGURA 3. Círculo de perfocel y cinta métrica

Vista aérea

5. Con la ayuda de una báscula, pesa los siguientes elementos: la pelota a ser lanzada y el círculo de 30 cm de diámetro de perfocel.

Primer Caso

Con el lanzador de pelotas fijo en una posición entre 40 y 50 cm del centro del círculo (aproximadamente como se muestra en la figura 2; hay cinco ranuras que proporcionan un cambio en la compresión sobre el

vo = 1.0 m/s




resorte dando cinco velocidades de lanzamiento, se recomienda emplear la cuarta o quinta ranura del lanzador), arroja el proyectil de forma que su impacto sea a una altura aproximada al centro del círculo (figura 4), su centro se desplazará con una velocidad Vc. Parte del momento lineal de la bala se transfiere al disco.

Figura 4. Impacto del proyectil a una altura igual al centro del círculo.

Los datos del primer caso son:

• Velocidad inicial de la pelota u = m/s • Masa de la bala m = g • Masa del círculo M = g • Radio del disco R = 0.3 m • Parámetro de impacto de la pelota respecto al centro x = 0

• La velocidad de traslación Vc del centro del disco se calcula aplicando el principio de conservación del momento lineal

dtdPFext = , Fext = 0 , P = cte

mu = (M+m) vc

La velocidad angular de rotación del disco ω se calcula aplicando el principio de conservación del momento angular

dtdLM ext = , Mext = 0 , L = cte

mu·x = (lc + m·x2) ω

Completa la siguiente tabla y determina la distancia recorrida, las velocidades de traslación y rotación del círculo de perfocel:

Distancia horizontal recorrida Velocidad de traslación del centro

del disco vc

ω de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro




Segundo Caso

Con el lanzador de pelotas fijo en una posición entre 40 y 50 cm del centro del círculo (aproximadamente como se muestra en la figura 2; hay cinco ranuras que proporcionan un cambio en la compresión sobre el resorte dando cinco velocidades de lanzamiento, se recomienda emplear la cuarta o quinta ranura del lanzador, arroja el proyectil de forma que su impacto sea a una altura por arriba del centro del círculo (figura 5; el centro del disco se mueve con la misma velocidad Vc, pero observamos que el disco gira con velocidad angular ω, alrededor de un eje perpendicular al disco que pasa por su centro. Hay una transferencia de momento angular desde la bala hacia el disco.

Figura 5. Impacto del proyectil a una altura “x” arriba del centro del círculo

Mide la distancia aproximada por arriba del centro “x”.

Los datos del segundo caso son:

• Velocidad inicial de la pelota u = m/s • Masa de la bala m = g • Masa del círculo M = g • Radio del disco R = 0.3 m • Parámetro de impacto de la pelota respecto al centro x = cm

La velocidad de traslación Vc del centro del disco se calcula aplicando el principio de conservación del momento lineal:

dtdPFext = , Fext = 0 , P = cte

mu = (M+m) vc

La velocidad angular de rotación del disco ω se calcula aplicando el principio de conservación del momento angular :

dtdLM ext = , Mext = 0 , L = cte.




mu·x = (lc + m·x2) ω

Completa la siguiente tabla y determina la distancia recorrida, las velocidades de traslación y rotación del círculo de perfocel:

Distancia horizontal recorrida Velocidad de traslación del centro

del disco vc

ω de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro

Conclusiones de aprendizaje Experimento 1: Experimento 2: Notas para los alumnos

1. El reporte final de la práctica deberá ser entregado en máquina de escribir o procesador de textos (PC), sin excepción.

2. Las prácticas impresas sólo sirven de guía y referencia. 3. No se aceptan copias fotostáticas en el reporte final. 4. La entrega del reporte de práctica es por alumno. 5. A consideración del profesor el reporte se puede entregar en equipo, dando una exposición de 15 min.,

Que abarcará la descripción de la práctica (no de la teoría) y de las conclusiones, inconvenientes percibidos y conocimientos adquiridos. A su vez, el profesor cuestionará a cada alumno sobre dichas conclusiones.

Bibliografía: • Tippens, Paul E., Física: conceptos y aplicaciones, 6ª ed. McGraw-Hill / Interamericana, México, 2001. • Anthony Bedf y Wallace Fowler, Mecánica para ingeniería: Dinámica, Addison-Wesley Logman. México,

2000. • Ferdinan, P. Beer, y E. Russell Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica, McGraw-Hill,

México, 2005. • Russell C. Hibbeler, Mecánica para Ingenieros: Dinámica, CECSA, Limusa, México, 1995. • Boresi Arthur P. y Richard J. Schmidt, Ingeniería Mecánica, Dinámica, Thomson Learning, México, 2001.




El presente documento es una obra colectiva, redactada bajo la metodología didáctica desarrollada por el Instituto de Investigación de Tecnología Educativa de la Universidad Tecnológica de México. Prácticas de Cinemática y dinámica Director de Desarrollo de Ingeniería: Ignacio Rodríguez Robles Colaboración en la redacción: Israel Enrique Herrera Díaz Colaboración en la validación técnica: Francisco Elías Ríos Hernández Colaboración en la revisión pedagógica: Olivia Quevedo Aguilar Colaboración en la revisión de estilo: Arturo González Maya

Práctica 4 Rotación

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