Practica ´ 8 - dm.uba.ar€¦ · 6 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO...

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

C A

Mı Eı M S C 2007

P 8

1. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones

a) f (x, y) = x4 + 2xy + y3x − 1

b) f (x, y, z) = yex + z

c) f (x, y) = sen x

d) f (x, y, z) = xyz +1

x2 + y2 + z2

e) f (x, y, z) = z(cos(xy) + ln(x2 + y2 + 1))

f) f (x, y) = xex2+y2

g) f (x, y) = cos(yexy) sen x + arctg u

2. Sea f (x, y) =√|xy|

a) Calcular∂ f∂x

(x, 0) y∂ f∂y

(0, y) para x, y , 0

b) Calcular∂ f∂x

(0, 0) y∂ f∂y

(0, 0)

c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

3. Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de las siguien-tes funciones en el origen:

a) f (x, y) =

x3 − y3

x2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 is (x, y) , (0, 0)

b) f (x, y) =

xy

si y , 0

x si y = 0

c) f (x, y) =

x sen(4 arctg( x

y )) si y , 0

0 si y = 0

4. Para cada una de las formas cuadraticas siguientes, hallar la matriz asociada

a) φ(x, y) = 2x2 + 4xy + 5y2

b) φ(x, y) = −6xy + y2

c) φ(x, y, z) = −x2 + 8xz − 4yz + 3y2

d) φ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz

2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007

5. Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y es-cribir la ecuacion del plano tangente cuando este exista.

a) f (x, y) = xy + 1 − sen( x2

2 ) en (1, 5) y en (2, 2)

b) f (x, y) = x1/4y1/4 en (16, 1)

c) f (x, y) =xy

en (x0, y0) con y0 , 0

N: recordar que no es imprescindible probar por definicion que una funcion es diferenciable.

6. Sean f (u, v,w) = u2 + v3 + wu y g(x, y) = x sen y. Dadas,

u(t) = t2 − 1 v(t) = sen t w(t) = t − 1 x(t) = sen t y(t) = t

Calcularddt

f (u(t), v(t),w(t)) yddt

g(x(t), y(t))

a) usando la regla de la cadena

b) sustituyendo

7. Calcular ∇ f para

a) f (x, y, z) =√

x2 + y2 + z2

b) f (x, y, z) = xy + yz + xz

c) f (x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

8. Calcular la derivada direccional de f en x0 en la direccion v, siendo:

a) f (x, y) = sen x sen y x0 = (1, 1) , v = (√

22 ,

√2

2 )

b) f (x, y) = x4 + ln(xy) x0 = (e, 1) , v = ( 1√5, 2√

5)

c) f (x, y, z) = xyz x0 = (e, e, 0) , v = (0, 0, 1)

9. Calcular la derivada direccional en el punto P segun la direccion dada por el angulo α encada uno de los siguientes casos:

a) f (x, y) = x − 2y P = (1, 2) , α = 135o

b) f (x, y) = 2x − y3 P = (3,−1) , α = 5π4

10. Mostrar que el vector (0,√

22 ,

√2

2 ) es normal a la superficie

S : x2 + y2 + z2 = 1

en el punto (0,√

22 ,

√2

2 ) e interpretar geometricamente.

11. Hallar, cuando existan, la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a las superficiesdadas en los puntos indicados

FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 3

a) x10y − x cos z + 7 = 0 P = (7, 0, 0)

b) xy − z ln y + exz = 1 P = (0, 1, 1)

12. a) Sea A el primer cuadrante y B el segundo (ambos abiertos)

(i) ¿existe f : A ∪ B −→ R tal que ∇ f ≡ 0 , f (1, 1) = 4 y f (−1,−1) = −3?

(ii) ¿cuantas funciones g : A ∪ B −→ R hay que satisfacen ∇g ≡ 0 y g(1, 1) = 4?

b) Encontrar todas las f : R2 −→ R diferenciables tales que∂ f∂x

(x, y) = x2.

13. Hallar los puntos donde los planos tangentes a la superficie

S : x2 + 2y2 + 3z2 = 21

son paralelos al plano de ecuacion: x + 4y + 6z = 8.

14. Usar un resultado conocido para probar la siguiente desigualdad

|ex cos y − 1| 6 e|x|‖(x, y)‖

para todo (x, y) ∈ R2.

15. Calcular las derivadas parciales de segundo orden para las siguientes funciones, verificandola igualdad de las parciales mixtas en caso de ser de clase C2.

a) f (x, y) = x3y + exy2+ arctg(x3 − 2xy)

b) f (x, y, z) = ezy +ey

x+ xy sen z

c) f (x, y, z) =√

x2 + y2 + ln z

16. Hallar todas las funciones f : R3 −→ R tales que∂2 f∂xi∂x j

≡ 0 para todo i, j = 1, 2, 3.

17. Sean f (u, v) = cos(uv) , u(x, y) = x + y y v(x, y) = x − y. Calcular∂2

∂x2( f (u(x, y), v(x, y)))

(i) usando la regla de la cadena

(ii) sustituyendo

18. Hallar la matriz Hessiana de las siguientes formas cuadraticas

a) φ(x, y) = 2x2 + 4xy + 5y2

b) φ(x, y) = −6xy + y2

c) φ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz

19. Hallar la formula de Taylor de segundo orden para las siguientes funciones en el puntoindicado. Escribir la expresion del resto.

a) f (x, y) = (x + y)2 en (0, 0)


b) f (x, y) = ex+y en (0, 0)

c) f (x, y) = xy en (1, 2)

d) f (x, y) =√

x + 3√

y en (3, 4)

20. Hallar el polinomio de segundo grado que mejor aproxima en el origen a la funcion

ϕ(x, y) = sen x sen y

21. Hallar un polinomio Q(x, y) tal que

lım(x,y)→(0,0)

√1 + x + y − Q(x, y)

x2 + y2 = 0

22. Analizar la existencia de un polinomio P(x, y) de grado 2 tal que

lım(x,y)→(0,0)

ex + sen y − P(x, y)x2 + y2 = 0

En caso de existir, hallarlo.

23. Sea ψ : R −→ R de clase C3 tal que

ψ(t) = 2 − 2t + 4t2 + R2(t)

con lımt→0

R2(t)t2 = 0.

Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de f (x, y) = ψ(2x + 3y) en (0, 0).

24. Sean f : R2 −→ R3 y g : R3 −→ R2 dadas por

f(x1, x2) = (ex1 , x2, x1 + x2) y g(x1, x2, x3) = (sen x1, x2 + x3)

Calcular

a) MJ(f)(x1, x2) y MJ(g)(x1, x2, x3)

b) MJ(F)(x1, x2), siendo F = g ◦ f

25. Sea f : R2 −→ R3 dada por

f(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + 3x2)

Hallar las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y df(x). ¿Que relacion hayentre ambas?

26. Calcular df(x) para las siguientes funciones

a) f : R2 −→ R2 , f(x, y) = (x, y)

b) f : R2 −→ R3 , f(x, y) = (xey + cos y, x, x + ey)

c) f : R3 −→ R2 , f(x, y, z) = (x + ez + y, yx2)


d) f : Rn −→ R , f (x) = ‖x‖2

27. Imponiendo al campo escalar f propiedades adecuadas de diferenciabilidad, calcular

a)∂F∂r

y∂F∂θ

siendo F(r, θ) = f (r cos θ, r sen θ).

b)∂F∂r

,∂F∂θ

y∂F∂φ

siendo F(r, θ, φ) = f (r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ)

c)∂F∂r

,∂F∂θ

y∂F∂z

siendo F(r, θ, z) = f (r cos θ, r sen θ, z)

28. Determinar si las siguientes aplicaciones son localmente inversibles de clase C1 en el puntodado

a) F(x, y) = (x2 − y2, 2xy) en (x, y) , (0, 0)

b) F(x, y) = (sen x, cos(xy)) en (π, π2 )

29. Probar que c(t) es una lınea de flujo del campo F siendo

a) F(x, y) = (x,−y) , c(t) = (et, e−t)

b) F(x, y) = (−y, x) , c(t) = (cos t, sen t)

30. Sea U ⊂ Rn abierto y V : U −→ R diferenciable. Sea c(t) una lınea de flujo de un campogradiente F = −∇V . Probar que V(c(t)) es una funcion decreciente.

31. Hallar la solucion y = f (x) de la ecuacion

x2 − x3 + y2 = 0

en un entorno de los siguientes puntos

a) (5, 10)

b) (10,−30)

Escribir explıcitamente esos entornos.

32. Determinar las funciones que quedan definidas implıcitamente en un entorno del punto dadomediante relaciones siguientes

a)x2

4− y2 = 1 P = (2, 0)

b) x5 + y5 + xy = 3 P = (1, 1)

c) x3 + 2y3 + z3 − 3xyz − 2y − 8 = 0 P = (0, 0, 2)

33. Sea f (x, y, z) = x3 − 2y2 + z2. Demostrar que

S : f (x, y, z) = 0

define una funcion implıcita x = ϕ(y, z) en un entorno del punto (1, 1, 1). Encontrar lasderivadas parciales de ϕ en (1, 1).


34. Sea F(x, y) = x3 +y3−2xy. Mostrar que la ecuacion F(x, y) = 0 define –alrededor del punto(1, 1)– una funcion y = f (x).

Mostrar que, en un entorno de x = 1, f es estrictamente decreciente y concava.

N: la ecuacion F(x, y) = 0 define una curva llamada Folium de Descartes

35. Analizar la posibilidad de despejar u, v en terminos de x, y en el sistema

y + x + uv = 0

uxy + v = 0

cerca de x = y = u = v = 0 y comprobarlo directamente.

36. ¿Es posible despejar u(x, y, z) , v(x, y, z) en el sistema de ecuaciones

xy2 + xzu + yv2 = 3

u3yz + 2xv − u2v2 = 2

cerca de (x, y, z) = (1, 1, 1) , (u, v) = (1, 1)? Calcular ∂v∂y(1, 1, 1).

37. Encontrar los puntos crıticos y verificar que son puntos de ensilladura.

a) f (x, y) = x2 − y2

b) f (x, y) = x3 + y3 − 3x

c) f (x, y) = xy

d) f (x, y) =

e1/x2y si xy , 0

0 si xy = 0

e) f (x, y) = ax + by + c

En cada caso analizar si hay extremos que no sean puntos crıticos. Si los hay, hallarlos.

38. Sea f (x, y) = (y − 3x2)(y − x2). Probar que

a) (0, 0) es un punto de ensilladura

b) H f (0, 0) es semidefinida positiva

c) H f (x, y) es indefinida si x2 < 2y

d) f tiene un mınimo local en (0, 0) en cada recta que pasa por (0, 0); esto es: sig(t) = (at, bt), entonces f ◦g : R −→ R tiene un mınimo local en 0 para cada (a, b) ∈ R2.

39. Para las siguientes funciones, hallar los puntos crıticos y analizar cuales de ellos son maximoslocales, mınimos locales o puntos de ensilladura.

a) f (x, y) = (2x + 1 − y)2

b) f (x, y) = x2 − y2 − xy + 3x + 3y + 1

c) f (x, y) = 10x2 + 10y2 + 12xy + 2x + 6y + 1


d) f (x, y) = e1+x2+y2

e) f (x, y) = ln(2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1)

f) f (x, y) = x2e−y

g) f (x, y, z) = ‖(x, y, z)‖2 + 1 − x2

4− y2

9

h) f (x) =1

1 + ‖x‖2 (x ∈ Rn)

i) f (x, y) = ‖(x, y)‖2e−x2−y2

40. Hallar los extremos de f |A en los casos siguientes

a) f (x, y) = xy(x − y)2 A = {(x, y) ∈ R2 / x > 0 , y > 0}b) f (x, y) = xy(x − y)2 A = {(x, y) ∈ R2 / x > 0 , y > 0}c) f (x, y) = 2x2 − xy + y2 + 7x A = {(x, y) ∈ R2 / |x| 6 3 , |y| 6 3}

41. Hallar el punto de la parabola y = 4x cuya distancia al (1, 0) es mınima. Resolver el mismoproblema reduciendolo a trabajar con una funcion de una variable.

42. Hallar los maximos y mınimos de la funcion f (x, y) = x4 + y4 − x2 − y2 + 1 dentro del cırculounitario y en el borde.

43. Encontrar los extremos de f sujetos a las restricciones mencionadas

a) f (x, y, z) = x − y + z , x2 + y2 + z2 = 2

b) f (x, y) = x − y , x2 − y2 = 2

c) f (x, y, z) = x − y + z , x2 + y2 = 1 , 2x + z = 1

44. Hallar los extremos locales de f |S en los siguientes casos

a) f : R2 −→ R , f (x, y) = x2 + y2 , S = {(x, 2) / x ∈ R}b) f : R2 −→ R , f (x, y) = x2 + y2 , S = {(x, y) / y > 2}c) f : R2 −→ R , f (x, y) = x2 − y2 , S = {(x, cos x) / x ∈ R}d) f : R3 −→ R , f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , S = {(x, y, z) / 2 + x2 + y2 6 z 6 6}


A: D R

Derivada parcial

Sea U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R. Si existe el lımite

lımh→0

f (x1, . . . , x j + h, . . . , xn) − f (x1, . . . , x j, . . . , xn)h

se dice que f es derivable respecto de x j en el punto x ∈ U.

Observacion

Si {e1, . . . , en} es la base canonica de Rn, entonces

f (x1, . . . , x j + h, . . . , xn) − f (x1, . . . , x j, . . . , xn)h

=f (x + he j) − f (x)

h

Funcion derivada parcial

Sean U ⊂ Rn abierto , f : U −→ R y j 6 n. Si f es derivable respecto de x j en todo puntode U, la funcion

∂ f∂x j

: U −→ R dada por∂ f∂x j

(x) = lımh→0

f (x + he j) − f (x)h

se llama j−esima derivada parcial de f .O :

∂ f∂x j

(x) = f ′x j(x) = D j f (x)

Proposicion

Sean U ⊂ Rn abierto, f , g : U −→ R derivables respecto de x j en a ∈ U y α, β ∈ R.Entonces, las funciones α f + βg , f g y f /g (si g(a) , 0) son derivables respecto de x j en a y setiene

(i)∂(α f + βg)

∂x j(a) = α

∂ f∂x j

(a) + β∂g∂x j

(a)

(ii)∂( f g)∂x j

(a) = g(a)∂ f∂x j

(a) + f (a)∂g∂x j

(a)

(iii)∂( f /g)∂x j

(a) =

∂ f∂x j

(a)g(a) − ∂g∂x j

(a) f (a)

(g(a))2


Derivada direccionalSea U ⊂ Rn abierto, P ∈ U y u ∈ Rn un vector unitario. Si existe el lımite

lımh→0

f (P + hu) − f (P)h

se lo llama derivada direccional de f en P en la direccion u y se lo indica f ′u(P). Es decir,

f ′u(P) = lımh→0

f (P + hu) − f (P)h

O :f ′u(P) = Du f (P) = f ′(P; u)

Interpretacion geometrica

Con el objeto de poder graficar vamos a considerar que n = 2. Llamemos c(t) = P + tu yπ al plano vertical cuya interseccion con el plano xy es la traza de c; i.e., la recta que pasa porP = (a, b) con direccion u. La curva d(t) = (c(t), f (c(t))) tiene su traza contenida en grafico def y se proyecta sobre la traza de c. La siguiente figura ilustra este hecho

Plano xyx

y

z

P=(a,b) Q=(a,b,f(a,b))

P

Q

d

c

: su imagen es una recta contenida en el dominio de f

: curva sobre el gráfico de f que se proyecta sobre

su imagen es la intersección del gráfico de f con el plano

d

c

π

La traza de d es una curva contenida en el plano π entonces, identificandolo con R2,podrıamos decir que d es el grafico de una funcion de R en R: ϕ(t) = f (P + tu). Resultaque

lımh→0

f (P + hu) − f (P)h

= lımh→0

ϕ(h) − ϕ(0)h


Y por lo tanto concluimos que la derivada direccional de f en P en la direccion de u es elnumero ϕ′(0); i.e., la pendiente de la recta tangente al grafico de ϕ en el punto Q. Esto seilustra en la siguiente figura

P

Qd

c

c

c

u

u

Plano xy

Recta tangente en Q

π

: dirección paralela a la recta

La recta tangente en Q está contenida en

y se proyecta sobre

ObservacionCada derivada parcial es una derivada direccional en la direccion del correspondiente vector

de la base canonica. Es decir,∂ f∂x j

= f ′e j

Gradiente de un campo escalarSea U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R derivable respecto de cada una de sus variables. El vector

∇ f (x) =

(∂ f∂x1

(x), . . . ,∂ f∂xn

(x))

se llama gradiente de f en x.

ProposicionSean U ⊂ Rn abierto, f , g : U −→ R derivables parcialmente respecto de x j ( j = 1, . . . , n)

en x0 ∈ U y α, β ∈ R. Entonces,


(i) ∇(α f + βg)(x0) = α∇ f (x0) + β∇g(x0)

(ii) ∇( f g)(x0) = g(x0)∇ f (x0) + f (x0)∇g(x0)

(iii) ∇( f /g)(x0) =1

(g(x0))2

[g(x0)∇ f (x0) − f (x0)∇g(x0)

]

Diferenciabilidad

Las funciones derivables f : R −→ R tienen la propiedad de que cada punto de su grafico(x0, f (x0)) admite una recta tangente; es decir, entre todas las rectas L : y = m(x − x0) + f (x0)1

que pasan por ese punto, hay solo una –la que tiene pendiente f ′(x0)– que satisface que sugrafico y el de f estan muy proximos cerca de x0. Mas precisamente,

lımx→x0

f (x) − [ f ′(x0)(x − x0) + f (x0)]x − x0

= 0

Recta tangente

f

Es decir, la diferencia entre la funcion f (x) y la recta f ′(x0)(x − x0) + f (x0) tiende a 0 masrapido que el incremento de la variable: x − x0

2. Esto nos permite aproximar (alrededor dex0) a una funcion derivable por una recta; esta aproximacion sera mas precisa cuanto mas cercaestemos del punto x0.

Pretendemos generalizar esta situacion a funciones f : R2 −→ R. En este caso, dado queel grafico sera una superficie (en lugar de una curva), trataremos de ver que condicion debecumplir la funcion en el punto (a, b) de modo de poder asegurar que, entre todos los planos quepasan por el punto de su grafico (a, b, f (a, b)), haya uno que sea el que esta mas proximo algrafico de f cerca de (a, b).

1Ecuacion general de la recta –no vertical– que pasa por el punto (x0, f (x0)) (cf. Ejercicio 21 de la Practica 1)2Esto dice que la recta tangente satisface una condicion mas fuerte que la que cumplen las demas rectas:

m(x − x0) + f (x0) que pasan por ese punto, que solo verifican que f (x) − [m(x − x0) + f (x0)] −→ 0 cuandox − x0 → 0.


Plano tangente

f

P

Q

P=(a,b) Q=(a,b,f(a,b))

x

z

y

Cualquier plano (no vertical) que pase por (a, b, f (a, b)) tendra ecuacion

z = α(x − a) + β(y − b) + f (a, b) 3

Necesitamos entonces encontrar α y β de modo que

lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) − [α(x − a) + β(y − b) + f (a, b)]‖(x − a, y − b)‖ = 0

El hecho que este lımite doble exista y sea nulo nos dice que, en particular,

lımx→a

f (x, b) − [α(x − a) + β(b − b) + f (a, b)]‖(x − a, b − b)‖ = 0

y

lımy→b

f (a, y) − [α(a − a) + β(y − b) + f (a, b)]‖(a − a, y − b)‖ = 0

dado que si un lımite doble existe, existen todos los lımites radiales y valen lo mismo.Tenemos por tanto,

lımx→a

f (x, b) − [α(x − a) + f (a, b)]|x − a| = 0 y lım

y→b

f (a, y) − [β(y − b) + f (a, b)]|y − b| = 0

3cf. Ejercicio 21 de la Practica 1


Teniendo en cuenta quex − a|x − a| e

y − b|y − b| tienen modulo 1, estos lımites son equivalentes a

lımx→a

f (x, b) − [α(x − a) + f (a, b)]x − a

= 0 y lımy→b

f (a, y) − [β(y − b) + f (a, b)]y − b

= 0

Que pueden escribirse en la forma

lımx→a

f (x, b) − f (a, b)x − a

− α = 0 y lımy→b

f (a, y) − f (a, b)y − b

− β = 0

Esto nos dice que deben existir las derivadas parciales de f en el punto y que los valores deα y β son precisamente los de las derivadas parciales de f en el punto (a, b).

Resulta entonces que para que el plano 4 que estamos buscando aproxime al grafico de fcerca de (a, b) debera tener ecuacion

z =∂ f∂x

(a, b)(x − a) +∂ f∂y

(a, b)(y − b) + f (a, b)

Y en consecuencia, la condicion que debe cumplir f en el punto (a, b) para que esto pase esque sea derivable parcialmente en el punto y que ademas

lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) − f (a, b) −[∂ f∂x (a, b)(x − a) +

∂ f∂y (a, b)(y − b)

]

‖(x − a, y − b)‖ = 0

Decimos que toda funcion que cumpla esta condicion es diferenciable en (a, b). Resultaentonces, analogamente a lo que sucedıa con las funciones derivables de una variable real, queuna funcion f : R2 −→ R es diferenciable en un punto si y solo si su grafico admite planotangente en dicho punto.

Plano tangente al grafico de una funcion

Sea U ⊂ R2 abierto y f : U −→ R diferenciable en (a, b) ∈ U. Entonces, el plano deecuacion

z = f (a, b) +∂ f∂x

(a, b)(x − a) +∂ f∂y

(a, b)(y − b)

se llama plano tangente al grafico de f en (a, b).

La funcion T : R2 −→ R dada por

T (u, v) =∂ f∂x

(a, b) u +∂ f∂y

(a, b) v = ∇ f (a, b) · (u, v)

4Este plano se llama plano tangente al grafico de f en (a, b).


es una transformacion lineal que satisface

lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) − f (a, b) − T (x − a, y − b)‖(x − a, y − b)‖ = 0

Se la llama diferencial de f en (a, b) y se la denota por

T = d f (a, b)

para hacer referencia al nombre de la funcion y al punto donde se cumple la condicion dediferenciabilidad. De esta forma, d f (a, b) : R2 −→ R es la unica transformacion lineal quesatisface

lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) − f (a, b) − d f (a, b)(x − a, y − b)‖(x − a, y − b)‖ = 0

Vamos a generalizar ahora estas definiciones

Funcion diferenciableSea f : U ⊂ Rn −→ R , U abierto, y x0 ∈ U. Decimos que f es diferenciable en x0 si existe

una transformacion lineal T : Rn −→ R tal que

lımx→x0

f (x) − f (x0) − T (x − x0)‖x − x0‖ = 0

O, equivalentemente,

lımh→0

f (x0 + h) − f (x0) − T (h)‖h‖ = 0

NotacionEn caso de existir, la transformacion T de la definicion anterior resulta ser unica y recibe el

nombre de diferencial de f en x. Se la denota

T = d f (x)

ProposicionSea U ⊂ Rn y f : U −→ R diferenciable en x ∈ U. Entonces,

(i) existe∂ f∂x j

(x) para todo j = 1, . . . , n

(ii) d f (x)(u) =∂ f∂x1

(x)u1 + · · · + ∂ f∂xn

(x)un = ∇ f (x) · u para cada u ∈ Rn.

(iii) la matriz de d f (x), expresada en la base canonica de Rn, es(∂ f∂x1

(x) · · · ∂ f∂xn

(x))

Con lo cual,

d f (x)(u) =(∂ f∂x1

(x) · · · ∂ f∂xn

(x))

u1...

un

= ∇ f (x) · u


ProposicionSea L : Rn −→ R una transformacion lineal. Entonces, L es diferenciable en todo punto y

para todo x ∈ Rn se tiene,dL(x) = L

CorolarioLas transformaciones lineales

Πk : Rn −→ R dada por Πk(x) = xk (k = 1, . . . , n)

son diferenciables y sus diferenciales satisfacen: dΠk(x)(v) = Πk(v) = vk.

NotacionSi identificamos Πk con su imagen xk, podemos escribir dΠk(x) = dxk. Entonces, dxk(v) = vk.

Con lo cual, si f es diferenciable en x,

d f (x)(v) = ∇ f (x) · v =

n∑

k=1

∂ f∂xk

(x)vk =

n∑

k=1

∂ f∂xk

(x)dxk(v) =

n∑

k=1

∂ f∂xk

(x)dxk

(v)

Esto nos permite escribir,

d f (x) =∂ f∂x1

(x)dx1 + · · · + ∂ f∂xn

(x)dxn

ProposicionSean U ⊂ Rn abierto, f , g : U −→ R diferenciables en x0 ∈ U y α, β ∈ R. Entonces, las

funciones α f + βg , f g y f /g (si g(x0) , 0) son diferenciables en x0 y se tiene

(i) d(α f + βg)(x0) = αd f (x0) + βdg(x0)

(ii) d( f g)(x0) = g(x0)d f (x0) + f (x0)dg(x0)

(iii) d( f /g)(x0) =1

(g(x0))2

[g(x0)d f (x0) − f (x0)dg(x0)

]

ProposicionSi f es diferenciable en el punto x0 ∈ U, U ⊂ Rn abierto, entonces

d f (x0)(u) = ∇ f (x0) · u = f ′u(x0)

para todo u ∈ Rn.

ProposicionToda funcion diferenciable es continua.


Regla de la cadena

Sean U ⊂ Rn abierto, x0 ∈ U y f : U −→ R diferenciable en x0.

? P V: Si g : (a, b) −→ U es derivable en t0 ∈ (a, b) tal que g(t0) = x0, la funcionf ◦ g : (a, b) −→ R es derivable en t0 y

( f ◦ g)′(t0) = d f (g(t0))(g′(t0)) = ∇ f (g(t0)) · g′(t0)

Ejemplo

Sean f (x, y) = x2−y3 y g(t) = (sen t, cos t). Ambas cumplen las hipotesis de diferenciabilidadque requiere la regla de la cadena, por lo tanto

( f ◦ g)′(t) = ∇ f (g(t)) · g′(t) = ∇ f (sen t, cos t) · (cos t,− sen t)

= (2 sen t,−3 cos2 t) · (cos t,− sen t) = 2 sen t cos t + 3 cos2 t sen t

¿De que otra manera podrıa haber calculado ( f ◦ g)′(t)?

? S V: Si g : (a, b) −→ R es derivable en f (x0) ∈ (a, b) se tiene que g ◦ f esdiferenciable en x0 y

d(g ◦ f )(x0) = g′( f (x0))d f (x0)

esta es una igualdad entre funciones 5 Dicho en terminos de gradientes se expresa en la forma

∇(g ◦ f )(x0) = g′( f (x0))∇ f (x0)

Ejemplo

Sean g(t) = e7t y f (x, y) = x2 + y. Tambien en este caso ambas funciones cumplen lashipotesis de la regla de la cadena, con lo cual

∇(g ◦ f )(x, y) = g′( f (x, y))∇ f (x, y) = 7e7x2+7y (2x, 1) = (14x e7x2+7y, 7e7x2+7y)

Clase C1

Sea U ⊂ Rn abierto. Una funcion f : U −→ R se dice que es de clase C1 si existen sus

derivadas parciales∂ f∂x j

: U −→ R ( j = 1, . . . , n) y son continuas.

Proposicion

Toda funcion de clase C1 es diferenciable.5recuerde que d f (x0) no es ni un numero ni un vector, es el nombre de la transformacion lineal diferencial de

f en x0


Teorema del Valor MedioSea U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R diferenciable. Sean a,b ∈ U tales que el segmento que

los une [a,b] = {(1 − t)a + tb / 0 6 t 6 1} ⊂ U. Entonces, existe c ∈ [a,b] tal que

f (b) − f (a) = d f (c)(b − a) = ∇ f (c) · (b − a)

CorolarioSea U ⊂ Rn abierto y tal que todo par de puntos de U se pueden unir por un camino poligonal

contenido en U y sea f : U −→ R diferenciable. Entonces, si d f (x) ≡ 0 para todo x ∈ U, f esconstante en U.

ProposicionSea U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R diferenciable en x0 ∈ U. Entonces, si ∇ f (x0) , 0,

(i)∇ f (x0)‖∇ f (x0)‖ indica la direccion en la que f crece mas rapido.

(ii) − ∇ f (x0)‖∇ f (x0)‖ indica la direccion en la que f decrece mas rapido.

x

y

z

∇ f (0,0)

Entre todas las curvas contenidas en el gráfico de f

que se proyectan sobre rectas que pasan por el origen

del plano xy, la de mayor pendiente es la que corresponde

a la recta dirigida por el gradiente de f

ProposicionSea U ⊂ R3 abierto y F : U −→ R diferenciable en U. Sea

S = {(x, y, z) ∈ R3 / F(x, y, z) = c}


la superficie de nivel c y (x0, y0, z0) ∈ S tal que ∇F(x0, y0, z0) , 0. Si g : (−1, 1) −→ S es unacurva tal que g(0) = (x0, y0, z0), entonces el vector tangente g′(0) ⊥ ∇F(x0, y0, z0).

Plano tangente a una superficie de nivel

Sea U ⊂ R3 abierto y F : U −→ R diferenciable. Sea

S = {(x, y, z) ∈ R3 / F(x, y, z) = c}

la superficie de nivel c y a = (x0, y0, z0) ∈ S tal que ∇F(a) , 0. El plano de ecuacion

∇F(x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0

se llama plano tangente a S en (x0, y0, z0).La siguiente figura ilustra un caso particular

F( )a a

x

x

y

y

zz

∇

0

0

0S

S: F(x,y,z)=c

Observacion

Sea f : R2 −→ R una funcion diferenciable. El grafico de f

G = {(x, y, z) ∈ R3 / z = f (x, y)}

se puede pensar como una superficie de nivel de la funcion F : R3 −→ R dada por

F(x, y, z) = f (x, y) − z


En efecto,G : F(x, y, z) = 0

La siguiente figura ilustra esta situacion y la relacion entre los gradientes de f en (x0, y0) y deF en a = (x0, y0, f (x0, y0))

f(x ,y )∇

f(x ,y )

F( )a

a

xx

yy

z

∇

0

00

0

G=graf(f)

G: F(x,y,z)=0

00

Tenemos entonces en este caso dos definiciones de plano tangente en el mismo punto(x0, y0, f (x0, y0)):

π1 : z = f (x0, y0) + ∇ f (x0, y0) · (x − x0, y − y0)

si lo pensamos como grafico de la funcion f .Y tambien

π2 : ∇F(x0, y0, f (x0, y0)) · (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) = 0

pensandolo como superficie de nivel (0) de F.Esto no es ambiguo ya que, por ser

∇F(x0, y0, f (x0, y0)) =

(∂ f∂x

(x0, y0),∂ f∂y

(x0, y0),−1)

se puede comprobar facilmente que ambos planos son en realidad el mismo; es decir,

π1 = π2


Contraejemplos importantes

Sean

F1(x, y) =

xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0), F2(x, y) = |x| + |y|

F3(x, y) =

x2yx4 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

F4(x, y) =

(x2 + y2) sen

1√

x2 + y2

si (x, y) = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

F5(x, y) =

(x2 + y2) sen

(1

x2 + y2

)si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

F6(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) , (0, 0)

En el origen,

a) F1 es discontinua aunque existen las derivadas parciales.

Esto muestra que la existencia de derivadas parciales en un punto no garantiza la con-tinuidad de la funcion. Sı lo hace la diferenciabilidad en el punto.

b) F2 no admite derivadas parciales pero es continua.

Esto muestra que la continuidad no garantiza la existencia de derivadas parciales.

c) F3 admite derivadas direccionales segun la direccion de cualquier vector pero es discontinua.

Esto muestra que aun la existencia de todas las derivadas direccionales no garantiza lacontinuidad de la funcion.

d) F4 es diferenciable pero sus derivadas parciales son discontinuas.

Esto muestra que la diferenciabilidad no garantiza la continuidad de las derivadas par-ciales. Se concluye entonces que la continuidad de las derivadas parciales es un conceptomas fuerte que la diferenciabilidad.

e) F5 tiene derivadas parciales discontinuas que no estan acotadas en ningun entorno del origen.Sin embargo, es diferenciable.

Este ejemplo refuerza lo dicho en el item anterior.

f) F6 es continua y tiene las derivadas parciales acotadas en un entorno de (0, 0) pero no esdiferenciable.


N: no es imprescindible que verifique estas afirmaciones, estan solo a tıtulo informativo.

Campos escalares de Clase Ck

Sea U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R. Se dice que f es de clase C2 en U si existen todas susderivadas parciales de segundo orden y son continuas en U.

Se dice que es de clase Ck si existen todas sus derivadas parciales de orden k y son continuasen U.

Es decir, f es de clase Ck si tiene derivadas parciales hasta el orden k y todas ellas sonfunciones continuas.

Notacion

Si existen las derivadas parciales de f y son derivables parcialmente,

∂2 f∂x2

i

=∂

∂xi

(∂ f∂xi

),

∂2 f∂xi∂x j

=∂

∂xi

(∂ f∂x j

)

O :

∂2 f∂xi∂x j

= D ji f = f ′x j xi

Teorema

Sean U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R de clase C2. Entonces, las derivadas parciales mixtascoinciden, es decir,

∂2 f∂xi∂x j

=∂2 f∂x j∂xi

Matriz Hessiana

Sea f : U ⊂ Rn −→ R una funcion definida en el abierto U que admite derivadas parcialesde segundo orden en U. Se llama matriz Hessiana de f en a ∈ U a

MH f (a) =

∂2 f∂x2

1(a) · · · ∂2 f

∂xn∂x1(a)

.... . .

...∂2 f

∂x1∂xn(a) · · · ∂2 f

∂x2n(a)


Forma Hessiana

Sea f : U ⊂ Rn −→ R una funcion de clase C2, se llama forma Hessiana de f en a a laforma cuadratica H f (a) : Rn −→ R asociada a la matriz Hessiana, es decir

H f (a)(h) =12

hMH f (a)ht =12

n∑

i, j=1

∂2 f∂xi∂x j

(a) hih j

Teorema (Formula de Taylor para funciones de una variable real)

Si se supone que la funcion f : R −→ R y sus derivadas hasta el orden n: f ′, f ′′, . . . , f (n)

existen en un entorno (a− δ, a + δ) del punto a, la formula de Taylor para |h| < δ es la siguiente

f (a + h) = f (a) +h1!

f ′(a) +h2

2!f ′′(a) + · · · + hn

n!f (n)(a) + Rn(h)

donde el termino complementario, resto o error Rn(h) puede expresarse en la forma

Rn(h) =hn

n!f (n)(c)

para un c tal que |c − a| < |h|.

El polinomio

Pn(a + h) = f (a) +h1!

f ′(a) +h2

2!f ′′(a) + · · · + hn

n!f (n)(a)

se llama polinomio de Taylor de orden n de f en a.

Teorema 1 (Formula de Taylor de Primer Orden)

Sean U ⊂ Rn abierto y f : U −→ R diferenciable en a ∈ U. Entonces,

f (a + h) = f (a) +

n∑

i=1

∂ f∂xi

(a)hi + R1(h)

= f (a) + ∇ f (a) · h + R1(h)

conlımh→0

R1(h)‖h‖ = 0 (1)

Notacion

El polinomioP(a + h) = f (a) + ∇ f (a) · h

se llama polinomio de Taylor de orden 1 de f .Lo que caracteriza a este polinomio es que es el unico polinomio de orden 1 que satisface la

condicion (1), es decir, el unico que cumple

lımh→0

f (a + h) − P(a + h)‖h‖ = 0


Teorema 2 (Formula de Taylor de Segundo Orden)

Sean U ⊂ Rn abierto, f : U −→ R de clase C2 y a ∈ U. Entonces,

f (a + h) = f (a) +

n∑

i=1

∂ f∂xi

(a)hi +12

n∑

i, j=1

∂2 f∂xi∂x j

(a) hih j + R2(h)

= f (a) + ∇ f (a) · h + H f (a)(h) + R2(h)

conlımh→0

R2(h)‖h‖2 = 0 (2)

Notacion

El polinomioP(a + h) = f (a) + ∇ f (a) · h + H f (a)(h)

se llama polinomio de Taylor de orden 2 de f .Lo que caracteriza a este polinomio es que es el unico polinomio de orden 2 que satisface la

condicion (2), es decir, el unico que cumple

lımh→0

f (a + h) − P(a + h)‖h‖2 = 0

Formas del resto de Taylor

(I) Si f es de clase C2, el resto se puede escribir en la forma

R1(h) =12

n∑

i, j=1

∂2 f∂x j∂x j

(c)hih j

= H f (c)(h)

donde c esta sobre el segmento que une a a con a + h.

(II) Si f es de clase C3, el resto se puede escribir en la forma

R2(h) =13!

n∑

i, j,k=1

∂3 f∂x j∂x j∂xk

(c) hih jhk

donde c esta sobre el segmento que une a con a + h.

Comentario

Llamando x = a + h, los polinomios de Taylor de una funcion f que satisface las necesariascondiciones de diferenciabilidad –y las condiciones que verifican sus respectivos restos– seexpresan en la forma


P1(x) = f (a) + ∇ f (a) · (x − a) , lımx→a

R1(x)‖x − a‖ = lım

x→a

f (x) − P1(x)‖x − a‖ = 0

P2(x) = f (a) + ∇ f (a) · (x − a) + H f (a)(x − a) , lımx→a

R2(x)‖x − a‖2 = lım

x→a

f (x) − P2(x)‖x − a‖2 = 0

Funciones vectoriales

Sea f : Rn −→ Rm. Denotamos con f1, . . . , fm a sus componentes, es decir,

f(x1, . . . , xn) = ( f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

Cada una de sus componentes, fi : Rn −→ R, resulta un campo escalar.Decimos que f(x) converge a b cuando x → a (a ∈ Rn , b ∈ Rm) —y lo denotamos

lımx→a

f(x) = b— cuando para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

0 < ‖x − a‖ < δ =⇒ ‖f(x) − b‖ < ε

Una demostracion analoga a la hecha para el caso n = 1 muestra que

f(x) −−−→x→a

b ⇐⇒ fi(x) −−−→x→a

bi para todo i = 1, . . . ,m

Una consecuencia inmediata de este hecho es que una funcion f : Rn −→ Rm es continua si ysolo si cada componente lo es.

De igual forma se trata el tema de las derivadas parciales. Si cada componente de f esderivable parcialmente, tendremos definidos m gradientes: ∇ f1, . . . ,∇ fm. Estos vectores definenuna matriz —llamada matriz jacobiana de f— cuyas filas son precisamente esos gradientes

MJ(f)(x) =

∇ f1(x)...

∇ fm(x)

=

∂ f1

∂x1(x) · · · ∂ f1

∂xn(x)

......

∂ fm

∂x1(x) · · · ∂ fm

∂xn(x)

Cuando m = n, se define el jacobiano de f como

J(f)(x) = det(MJ(f)(x))

O :J(f) =

∂( f1 . . . fn)∂(x1 . . . xn)

Proposicion

Sea T : Rn −→ Rm una transformacion lineal. Entonces,

a) Si A es la matriz de T en las bases canonicas, MJ(T )(x) = A para todo x ∈ Rn


b) Si n = m, J(T )(x) = det(A) para todo x ∈ Rn.

Funcion diferenciable

Sea f : A ⊂ Rm derivable parcialmente en a ∈ A, A abierto. Decimos que f es diferenciableen a si

lımh→0

‖f(a + h) − f(a) − df(a)(h)‖‖h‖ = 0

siendo df(a) : Rn −→ Rm la transformacion lineal asociada a la matriz jacobiana de f en a. Esdecir,

df(a)(u) = MJ(f)(a)ut =

∇ f1(a) · u...

∇ fm(a) · u

para cada u ∈ Rn.

Observacion

Teniendo en cuenta que

f(a + h) − f(a) − df(a)(h)‖h‖ =

( f1(a + h) − f1(a) − ∇ f1(a) · h, . . . , fm(a + h) − fm(a) − ∇ fm(a) · h)‖h‖

=

(f1(a + h) − f1(a) − ∇ f1(a) · h

‖h‖ , . . . ,fm(a + h) − fm(a) − ∇ fm(a) · h

‖h‖)

es claro que

f es diferenciable en a ⇐⇒ cada fi lo es (i = 1, . . . ,m)

y ademas,

df(a)(u) = (d f1(a)(u), . . . , d fm(a)(u))

para cada u ∈ Rn.

Funcion de clase Ck

Una funcion vectorial f : A ⊂ Rn −→ Rm –A abierto– se dice de clase Ck (k ∈ N) si cadauna de sus componentes es de clase Ck.

Proposicion

Toda funcion vectorial de clase C1 es diferenciable.

Proposicion

Sean f, g : A ⊂ Rn −→ Rm diferenciables en el punto a del abierto A y α, β ∈ R. Entonces,


a) αf + βg es diferenciable en a y vale

d(αf + βg)(a) = αdf(a) + βdg(a)

b) f · g es diferenciable en a y vale

d(f · g)(a)(u) = f(a) · dg(a)(u) + df(a)(u) · g(a)

para cada u ∈ Rn.

c) si m = 3, f × g es diferenciable en a y vale

d(f × g)(a)(h) = f(a) × dg(a)(u) + df(a)(u) × g(a)

para cada u ∈ Rn.

Regla de la cadena (version general)

Sean f : U ⊂ Rn −→ Rm y g : V ⊂ Rm −→ Rk con U y V abiertos tales que f(U) ⊂ V . Si fes diferenciable en a ∈ U y g es diferenciable en b = f(a) ∈ V , entonces g ◦ f : U ⊂ Rn −→ Rk

es diferenciable en a y valed(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a)

O bien, dicho en terminos de las matrices jacobianas,

MJ(g ◦ f) = MJ(g)(f(a)).MJ(f)(a)

Campo vectorial

Un campo vectorial es una aplicacion F : A ⊂ Rn −→ Rn, A abierto.

Teorema de la Funcion Inversa

Sea f : A ⊂ Rn −→ Rn de clase C1 en el abierto A y sea a ∈ A. Entonces, si J(f)(a) , 0,existen entornos abiertos U de a y V de b = f(a) tales que

f : U −→ V

es biyectiva.Ademas, su inversa f−1 : V −→ U es de clase C1 y se tiene

d(f−1)(f(a)) = (df(a))−1

En terminos de matrices jacobianas,

MJ(f−1)(f(a)) = (MJ(f)(a))−1


Coordenadas Polares en R2

La transformacion T : R>0 × (0, 2π) −→ R2 − (R>0 × {0}) dada por

T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ)

es biyectiva y tanto ella como su inversa son de clase C∞. Ademas,

J(T )(r, θ) = r

Coordenadas Cilındricas en R3

La transformacion T : R>0 × (0, 2π) × R −→ R3 − (R>0 × {0} × R) dada por

T (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z)


J(T )(r, θ) = r

Coordenadas Esfericas en R3

La transformacion T : R>0 × (0, 2π) × (0, π) −→ R3 − (R>0 × {0} × R) dada por

T (r, θ, φ) = (r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ)


J(T )(r, θ) = −r2 sen φ

Diferenciacion implıcita

Supongamos que F y f son dos funciones vinculadas por la siguiente ecuacion

F(x, f (x)) = k

donde k es una constante. Si pudieramos asegurar que F es diferenciable y f derivable podrıamosderivar usando la regla de la cadena

∂F∂x

(x, f (x))∂x∂x

+∂F∂y

(x, f (x)) f ′(x) = 0

es decir,∂F∂x

(x, f (x)) +∂F∂y

(x, f (x)) f ′(x) = 0

En un punto x = a donde∂F∂y

(a, f (a)) , 0


podemos despejar el valor de f ′(a)

f ′(a) = −∂F∂x

(a, f (a))

∂F∂y

(a, f (a))

N: este resultado resulta util cuando se conoce la formula de F(x, y) pero no la de f (x) y unonecesita tener informacion sobre f ′(x), pues nos permite saber cuanto vale f ′(x) sin necesidadde conocer la expresion de esta funcion.

Ejemplo

Consideremos la funcion F(x, y) = x+y sen(xy), que claramente es diferenciable y suponga-mos que f es una funcion derivable que satisface

F(x, f (x)) = 1 y f (1) = π

es decir,x + f (x) sen(x f (x)) = 1 y f (1) = π

Si nos piden calcular f ′(1) lo primero que uno intentarıa es despejar f (x) de la ecuacion anterior,derivar y especializar en x = 1. Pero resulta que no es tan simple despejar 6 por lo cual por ahıno vamos a llegar a la respuesta. En cambio, si utilizamos el resultado anterior,

∂F∂x

(x, y) = 1 + y2 cos(xy) ,∂F∂y

(x, y) = sen(xy) + xy cos(xy)

luego,

∂F∂x

(x, f (x)) = 1 + f (x)2 cos(x f (x)) ,∂F∂y

(x, y) = sen(x f (x)) + x f (x) cos(x f (x))

cuando x = 1 (recordando que f (1) = π)

∂F∂x

(1, π) = 1 − π2 ,∂F∂y

(1, π) = −π

obtenemos entonces el valor buscado

f ′(1) = −1 − π2

−π =1π− π

Esta informacion que parece un tanto irrelevante, por ejemplo nos dice que alrededor de x = 1,f es estrictamente decreciente 7. Ademas, con un poco de paciencia y pidiendo un grado mayorde diferenciabilidad, se puede volver a derivar la ecuacion para obtener f ′′(1) y, a partir de suvalor, poder determinar si es concava o convexa alrededor de x = 1. Es decir, podemos teneridea de su grafico cerca del punto x = 1 sin conocer su expresion.

6Sugerencia: intentelo7¿por que?


Teorema de la Funcion Implıcita (una ecuacion)

Sea F : Rn+1 −→ R de clase Ck (k > 1). Denotamos los puntos de Rn+1 en la forma (x, z),donde x ∈ Rn y z ∈ R. Si F satisface

F(x0, z0) = 0 y∂F∂z

(x0, z0) , 0

entonces hay un entorno U de x0 en Rn y un entorno V de z0 en R tales que existe una unicafuncion g : U −→ V que verifica

F(x, z) = 0 si y solo si z = g(x)

para cada x ∈ U, z ∈ V .Ademas, g es de clase Ck.

N: se puede decir que en tal caso es posible despejar z como funcion de las variables (x1, . . . , xn)

Observacion

Notese que, como x0 ∈ U , z0 ∈ V y F(x0, z0) = 0, se debe cumplir que

z0 = g(x0)

La siguiente figura ilustra la situacion que plantea el teorema anterior en R3 y para la funcionF(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4 y el punto P = (0, 0, 2)

xy

z

2

U

U: entorno de (0,0)

V

V: entorno de 2

gráfico de g

S : esfera (superficie de nivel de F)

Es claro que la esfera completa no puede ser nunca el grafico de una funcion 8. Sin embargo,si solo tomamos un casquete, sı se puede conseguir la funcion g. En este caso particular inclusopodemos conocer su expresion

g(x, y) =√

4 − x2 − y2

8¿por que?


Corolario

Con las notaciones e hipotesis anteriores,

∂g∂xi

(x) = −∂F∂xi

(x, g(x))

∂F∂z

(x, g(x))(i = 1, . . . , n)

Esta igualdad vale para los x ∈ U tales que∂F∂z

(x, g(x)) , 0.

Ejemplo

Veamos un caso muy particular de la situacion anterior que es posible resolver con muchafacilidad de manera directa y lo vamos a confrontar con la que obtendrıamos usando el Teoremade la Funcion Implıcita.

Partimos de una funcionF(x, y, z) = ax + by + cz + d

que claramente es de clase C1 y consideramos una superficie de nivel de esta funcion

S : ax + by + cz + d = 0

(un plano) que contiene al punto P = (1, 2, 3).El objetivo es mostrar que existe una funcion f : R2 −→ R tal que

S : z = f (x, y)

i.e., S coincide con el grafico de f –al menos– cerca del punto P y tratar de obtener la mayorinformacion sobre esta funcion f .

v R

Lo que necesitamos es poder despejar la variable z de la ecuacion que define a S

ax + by + cz + d = 0

Es claro que sea posible necesitamos la condicion

c , 0 9

En tal caso,

z = −dc− a

cx − b

cy

y entonces, llamando

f (x, y) = −dc− a

cx − b

cy

9Si c = 0, S es un plano vertical que desde luego no se puede pensar como el grafico de una funcion z = f (x, y)


resulta que f : R2 −→ R y ademas

(x, y, z) ∈ graf( f ) ⇐⇒ z = f (x, y) ⇐⇒ ax + by + cz + d = 0

⇐⇒ (x, y, z) ∈ S

i.e., S = graf( f ) con f : R2 −→ R, f (x, y) = − dc − a

c x − bc y.

Hemos obtenido de esta forma la informacion completa 10 sobre la f que buscabamos 11

v R T F Iı

Ya observamos antes que F es de clase C1 de modo que, para saber si podemos despejar a zcomo funcion de (x, y) alrededor del punto P = (1, 2, 3) ∈ S , solo tenemos que comprobarque

∂F∂z

(1, 2, 3) , 0

Pero es inmediato que∂F∂z

(x, y, z) = c. De esta forma, la condicion que debe cumplir F para

poder aplicar el teorema vuelve a ser la que necesitamos imponer en la resolucion anterior

c , 0

En tal caso, el Teorema de la Funcion Implıcita nos asegura que existen entornos

U ⊂ R2 de (1, 2) y V ⊂ R de 3

y una (unica) funciong : U −→ V

tal queF(x, y, z) = 0 ⇐⇒ z = g(x, y)

cada vez que (x, y) ∈ U y z ∈ V .

Ademas, este teorema nos asegura que

∂g∂x

(x, y) = −∂F∂x

(x, y, g(x, y))

∂F∂z

(x, y, g(x, y)),

∂g∂y

(x, y) = −∂F∂y

(x, y, g(x, y))

∂F∂z

(x, y, g(x, y))

para los (x, y) ∈ U que ademas cumplen∂F∂z

(x, y, g(x, y)) , 0. Cuando, en particular,

(x, y, z) = (1, 2, 3)

∇g(1, 2) =

(−a

c,−b

c

)

Desde luego que esta g no puede ser otra que la f hallada antes dado que es unica.

10ya que tenemos su formula11Notese que esta f resulto ser unica


Es evidente que la informacion que nos proporciona el teorema es mucho menor que laobtenida por resolucion directa donde obtuvimos que, en realidad,

U = R2 , V = R , g(x, y) = f (x, y) = −dc− a

cx − b

cy

C

Si uno puede despejar a mano, no hace falta aplicar el teorema. Su utilidad se nota en loscasos en que la opcion anterior no es posible.

Una manera de ver si se entendio este tema es tratar de reproducir lo que acabamos de hacercon la funcion

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 9

alrededor del punto (0, 0, 3).

Observacion

Antes de generalizar este resultado al caso en que se tiene un sistema de ecuaciones en lugarde una sola ecuacion, recordemos una situacion analoga estudiada en Algebra Lineal. Dado elsistema de dos ecuaciones lineales

ax + by + cu + dv − α = 0

a′x + b′y + c′u + d′v − β = 0

es sabido que cuando

det c dc′ d′

, 0 (3)

es posible despejar las variables u y v en terminos de las variables independientes x e y. Masprecisamente,

u =

∣∣∣∣∣∣α dβ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

−

∣∣∣∣∣∣a da′ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

x −

∣∣∣∣∣∣b db′ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

y , v =

∣∣∣∣∣∣α cβ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

−

∣∣∣∣∣∣a ca′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

x −

∣∣∣∣∣∣b cb′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

y

Si llamamos

g1(x, y) =

∣∣∣∣∣∣α dβ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

−

∣∣∣∣∣∣a da′ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

x −

∣∣∣∣∣∣b db′ d′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣c dc′ d′

∣∣∣∣∣∣

y , g2(x, y) =

∣∣∣∣∣∣α cβ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

−

∣∣∣∣∣∣a ca′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

x −

∣∣∣∣∣∣b cb′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣d cd′ c′

∣∣∣∣∣∣

y

resulta que solo pidiendo la condicion (3) pudimos despejar a las dos ultimas variables u y vcomo funcion de las dos primeras

u = g1(x, y) , v = g2(x, y)


con g1, g2 : R2 −→ R. Esto tambien se puede expresar en la forma

(u, v) = g(x, y) = (g1(x, y), g2(x, y))

En caso de tener un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas (n > m), ¿cual esla condicion que garantiza que se pueden despejar las ultimas m variables como funcion de lasn − m primeras?

El siguiente resultado generaliza esta situacion al caso en cual las ecuaciones no son nece-sariamente lineales.

Teorema de las Funciones Implıcitas (sistema de ecuaciones)

Sea A ⊂ Rn × Rm abierto, F : A −→ Rm una funcion de clase Ck (k > 1) y (x0, y0) ∈ A talque F(x0, y0) = 0. Se considera la matriz cuadrada

M(x, y) =

∂F1∂y1

(x, y) · · · ∂F1∂ym

(x, y)...

. . ....

∂Fm∂y1

(x, y) · · · ∂Fm∂ym

(x, y)

donde F1, . . . , Fm son las componentes de F.Entonces, si det(M(x0, y0)) , 0 existen entornos abiertos: U ⊂ Rn de x0 y V ⊂ Rm de y0

tales que U × V ⊂ A y una unica funcion f : U −→ V tal que

f(x0) = y0 y F(x, f(x)) = 0 para todo x ∈ U (4)

para todo x ∈ U.Ademas, f es de clase Ck.

ObservacionLa ecuacion vectorial de (4) se puede escribir en forma de sistema

F1(x1, . . . , xn, f1(x), . . . , fm(x)) = 0

F2(x1, . . . , xn, f1(x), . . . , fm(x)) = 0...

Fm(x1, . . . , xn, f1(x), . . . , fm(x)) = 0

CorolarioCon las notaciones e hipotesis anteriores,

∇ f1...

∇ fm

= −M−1

∇F1...

∇Fm

Esta igualdad es valida para x ∈ U , y ∈ V tales que M(x, y) resulte inversible.


E L

Extremos: maximos y mınimos

Sea f : U ⊂ Rn −→ R, U abierto, a ∈ U. Se dice que en a

? f tiene un mınimo local (resp.: estricto) si existe un δ > 0 tal que

f (a) 6 f (x) (resp.: f (a) < f (x))

para todo x ∈ B(a, δ).

f( )a

a

a

x

yz B( , )δ

? f tiene un maximo local (resp.: estricto) si existe un δ > 0 tal que

f (a) > f (x) (resp.: f (a) > f (x))

para todo x ∈ B(a, δ).

B( , )

f( )a

a

a

xy

z

δ

? f tiene un extremo local si tiene un maximo o un mınimo local.

? f tiene un punto crıtico o estacionario si f es diferenciable en a y ∇ f (a) = 0.


? f tiene un punto de ensilladura si en a hay un punto crıtico que no es extremo.

B( , )

f( )a

a

ax

y

z

δ

Observacion

Si f : U ⊂ Rn −→ R tiene un extremo local en el punto a ∈ U y g : (−ε, ε) −→ Rn es unacurva tal que g(0) = a, entonces f ◦ g tiene en 0 el mismo tipo de extremo y con el mismo valorque f .

En consecuencia,

? si existe una curva g tal que g(0) = a y f ◦ g no tiene extremo en 0, entonces f no tieneextremo en a.

? si existen dos curvas g1, g2 tales que gi(0) = a, f ◦ g1 tiene maximo local en 0 y f ◦ g2

tiene mınimo local en 0, entonces f no tiene extremo en a.

Proposicion

Sea f : U ⊂ Rn −→ R diferenciable, U abierto. Todo punto donde hay un extremo de f espunto crıtico.

Proposicion

Sean f : U ⊂ Rn −→ R de clase C2, U abierto, a ∈ U un punto crıtico de f . Entonces,

a) si la matriz Hessiana en a tiene un autovalor λ > 0 y u es un autovector asociado a el, f tieneun mınimo local estricto sobre la recta r1(t) = a + tu

b) si la matriz Hessiana en a tiene un autovalor µ < 0 y v es un autovector asociado a el, f tieneun maximo local estricto sobre la recta r2(t) = a + tv.


TeoremaSean f : U ⊂ Rn −→ R de clase C2, U abierto y a ∈ U un punto crıtico de f .

a) Si para todo x en un entorno de a, H f (x) es semidefinida negativa (resp.: positiva) entoncesf tiene un maximo (resp.: mınimo) local en a.

b) Si H f (a) es definida negativa (resp.: positiva) entonces f tiene un maximo (resp.: mınimo)local estricto en a.

c) Si f tiene un maximo (resp. mınimo) local en a, entonces H f (a) es semidefinida negativa(resp.: positiva).

d) Si MH f (a) tiene un autovalor positivo y un autovalor negativo, entonces f tiene un puntode ensilladura en a.

Teorema (Criterio de la derivada segunda)

Sea f : U ⊂ R2 −→ R de clase C2, U abierto. En (a, b) ∈ U hay un

? mınimo local estricto si se cumplen las siguientes condiciones:

a) ∇ f (a, b) = 0

b)∂2 f∂x2 (a, b) > 0

c) det(MH f (a, b)) =

(∂2 f∂x2 (a, b)

) (∂2 f∂y2 (a, b)

)−

(∂2 f∂x∂y

(a, b))2

> 0

? maximo local estricto si se cumplen las siguientes condiciones:

a) ∇ f (a, b) = 0

b)∂2 f∂x2 (a, b) < 0

c) det(MH f (a, b)) =

(∂2 f∂x2 (a, b)

) (∂2 f∂y2 (a, b)

)−

(∂2 f∂x∂y

(a, b))2

> 0

? punto de ensilladura si det(MH f (a, b)) < 0.

ObservacionEste resultado no se puede trasladar textualmente a funciones f : R3 −→ R. Por ejemplo, la

funcion f (x, y, z) = x2 − y2 − z2 tiene un unico punto crıtico en (0, 0, 0) y su matriz Hessiana enese punto es

2 0 00 −2 00 0 −2

Aunque su determinante es positivo —por tener dos autovalores de distinto signo— se concluyeque el origen es un punto de ensilladura.


E C

Teorema

Sea K ⊂ Rn un conjunto compacto y f : K −→ R una funcion continua. Entonces, existenpuntos a,b ∈ K tales que

f (a) 6 f (x) 6 f (b)

para todo x ∈ K. Es decir, f alcanza su maximo y su mınimo valor en K.

M L

Teorema (Multiplicadores de Lagrange: una condicion)

Sean f , g : U ⊂ Rn −→ R de clase C1, U abierto, S = {x ∈ U / g(x) = 0} y a ∈ S ∩ U.Entonces, si

. ∇g(a) , 0 y

. f |S : S ∩ U −→ R tiene un extremo local en aexiste λ ∈ R tal que

∇ f (a) = λ∇g(a)

Proposicion

Si al restringir f a una superficie S tiene un un extremo en a, entonces ∇ f (a) es perpendi-cular a S en a.

Teorema (Multiplicadores de Lagrange: m condiciones)

Sean f , g1, . . . , gm : U ⊂ Rn −→ R de clase C1, U abierto, m 6 n,

S = {x ∈ U / gi(x) = 0 , i = 1, . . . ,m}

y a ∈ S ∩ U. Entonces, si

. la matriz(∂gi

∂x j(a)

)tiene rango m y

. f |S : S ∩ U −→ R tiene un extremo local en aexisten λ1, . . . , λm ∈ R tales que

∇ f (a) =

m∑

i=1

λi∇gi(a)


Notacion

Los numeros λ1, . . . , λm se llaman multiplicadores de Lagrange y la funcion F : Rn×Rm −→ R

dada por

F(x,λ) = f (x) −m∑

i=1

λigi(x)

se denomina funcion de Lagrange.

Practica ´ 8 - dm.uba.ar€¦ · 6 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO...

Documents

Transcript of Practica ´ 8 - dm.uba.ar€¦ · 6 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO...