Práctica de Análisis Matemático II COMPLETO (2)

8/13/2019 Prctica de Anlisis Matemtico II COMPLETO (2)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA E.A.P. INGENIERA CIVIL

Universidad Nacional de Huancavelica E.A.P. Ingeniera Civil - Hvca 1

O DE L CONSOLIDACIN ECONMICA YSOCI L DEL PER

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICA PROFESIONAL DEINGENIERACIVIL HUANCAVELICA

TRABAJO:

PR CTIC DES RROLL D DE NLISIS M TEMTICO II

CTEDRA: ANLISIS MATEMTICO II CATEDRTICO: Lic. CASTAEDA CAMPOSINTEGRANTES: HUINCHO OCHOA Jess

HUAMAN SOTO Marco antonyJIMENEZ ORTEGA NiltonNUEZ MARTINEZ VladimirESCOBAR SOTO PercyCRISOSTOMO SAENZ Elmer

HUANCAVELICA PER2010


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PRLOGO

El conjunto de problemas resueltos que conforman el presente trabajo son de laPRIMERA PRCTICA y la teora de los apuntes de clase del curso de ANLISISMATEMTICO II, va dedicado para los estudiantes de ingeniera que cursan losciclos bsicos, en especial para aquellos que siguen la excelente carrera deINGENIERA CIVIL-HVCA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAcuya exigencia es superior en comparacin a los dems, pues el estudiante debecontar con una base solida en anlisis matemtico y clculo para enfrentar con xito

las materias relacionados con la carrera y as poder concretizar sus objetivos.El equipo de trabajo agradecer cualquier crtica y sugerencia que ayude mejorar eltrabajo para presentaciones posteriores.Tambin queremos agradecer a nuestro docente Mg. Mat. Csar CastaedaCampos por sus enseanzas impartidas en el curso.

Los alumnos


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL - HVCA

PRIMERA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO II

DERIVADAS PARCIALES

Para hacer precisas nuestras ideas necesitamos una definicin de lo que queremos

decir con la frase es derivable en : de hecho, esta

definicin no es tan simple como parece. Para ese fin comenzamos con la nocin dederivada parcial .

DEFINICIN: Sea un conjunto abierto y supngase que es una funcin convalores reales. Entonces las derivadas parciales de respecto de laprimera, segunda,, n -ensima variable, son las funciones con valores reales de nvariables que, en el punto .

* DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

uando es onstante

0 1


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DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y SUS INVERSAS

DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBLICAS Y SUS INVERSAS


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I. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

a)

Analizando la funcin tenemos:1 Hallamos la derivada con respecto a consideramos a como unaconstanteSi La derivada de

es:


6/107



2 Hallando la derivada con respecto a y considerando a como unaconstante:

b)

*


7/107



c)

-


8/107



{ } { }

* d)


9/107



e)

f)


10/107



g)

*

*

h)


11/107



*

i)

*


12/107



j)

k)


13/107



l) {}

{}

{}


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REGLAS DE CADENA

Sea , donde es una funcin derivable de y . Si y ,donde y son funciones derivables de , entonces es una funcin derivable de.

REGLA DE CADENA DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea , donde es una funcin derivable de y . Si y son tales que las derivadas parciales de primer orden.

enton es

e isten est n dadas por

En lo siguiente son funciones de constantes (con restricciones sias se indica); es la base de los logaritmos naturales o neperianos,todos los ngulos estn dados en radianes.


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2. Encontrar la derivada de las funciones siguientes, haciendo uso de la regla dela cadena:

i. . /+

. /

. /


16/107



[ ,]. /+ ,

. /+ ,. /+[ . / ]

* * ii. . /+

./ . / . /


17/107



. /+, . /+ . /+ /+ 0 . /1 * 0./. / 1

iii.

+ *


18/107



* + *

iv.


19/107



* * + 0 1

v.


20/107



0 *1

* vi. *

0 . */1


21/107




22/107



0 . */1

. */+. */+. */+0.

*/ . */1 * 0 1

vii.

0 . */1


23/107



[ . */+ . */+

[ . */][ .


24/107


25/107



OPERACIONES CON VECTORES

Dados los siguientes vectores: u w . / Hallar lo siguiente:

a) La suma de dos vectores:

. / . /

. / . /

. / . /


26/107



. / . /

. / . / . / . / *

. /

*

*

.* / *

.

/


27/107



. /

. /


28/107



. /

. /

. / . /

. /

*

. /

. /


29/107



. /

. /

. / . /

El producto interno de cada par de ellos:

. /

. /


30/107



. /

*

*

*

. /

+

.

/


31/107



*

. / . /

. / . /

. / . /

.

/

+ . /


32/107



*

*

* *

* *

. /

+

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

1)

= =


33/107


34/107



= =

= = 8.318

5)

= =

= = 5.692

6)

= =

= = 07)


35/107



= =

= = 5.1758)

= =

= = 7.019

9)

= =

= = 1.85210)


36/107



= =

= = 4.526

11)

= =

= = 3.23512)

= =


37/107



= = 5.59213)

= =

= = 6.93314)

= =

= = 1.59915)


38/107



= =

= = 4.526

16)

= =

= = 3.34917)

1.

= =

= = 12.84218)


39/107



= =

= = 2.575

20)

= =

= = 7.22821)

= =

= = 0.82222)


40/107



= =

= = 5.92623)

= =

= = 7.45524)

= =

= = 1.532


41/107



25)

= =

= = 4.621

EL ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES

Sabemos que el Angulo formado esta dado por:

1)

*

* = *

* = * *

* = * *

= =

2)


42/107



= *

= * *

= * *

= =

3)

= *

= * *

= * *

= =

4)

= *

= * *

= * *

= =

5)


43/107



= * = * *

= * *

= =

6)

= *

= * *

= * *

= =52.077

7)

= *

= * *

= * *


44/107


45/107



= *

= * *

= * *

= =72.53

11)

= *

= * *

= * *

= =76.089

12)

= *

= * *

= * *


46/107



= =52.96

13)

= *

=

* *

= * *

= =87.797

14)

= *

=

* *

= * *

= =87.797

15)


47/107



= *

= * *

= * *

= =72.5316)

= *

= * *

= * *

= =76.089

17)

= *

= * *

= * *


48/107



= =52.96

18)

= *

= * *

= * *

= =87.356

19)

= *

= * *

= * *

= =78.830

20)


49/107



= *

= *

*

= * *

==29.826

21)

= *

= * *

= * *

= =170.343

22)

= *

= * *

= * *


50/107


51/107



= *

= * *

= * *

= =110.19926)

= *

= * *

= * *

= =78.049

b) El producto de un vector por la suma de dos de ellos (

( . / (

(


52/107



( * ( (

. *

.

c) El producto externo de un vector por la suma de ellos (

(

. / *

(


53/107



d) El vector unitarioe) | |

| |

| | f) | | | | . / | |

g)

. /


54/107


55/107


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DEFINICION:Un anillo conmutativo con elemento identidad se llama un cuerpo (otambin en un campo) si todo diferente de cero tiene un inverso multiplicativo,esto es, existe un elemento tal que

Un cuerpo es necesariamente un dominio de integridad, pues si yy , entonces

Hacemos notar que un cuerpo puede considerar como un anillo conmutativo en elcual los elementos diferentes de cero forman un grupo para la multiplicacin.

II. Anlisis vectorial

1. Dado los siguientes vectores:

,

Hallar lo siguiente:

a) La suma de dos vectores

b) El producto interno de cada par de ellosc) El producto interno de cada terna de ellosd) El producto externo de cada par de ellose) El producto externo de cada terna de ellosf) El producto de un vector por la suma de dos de ellosg) El producto externo de un vector por la suma de dos de ellosh) EL vector unitario

i) El ngulo formado por dos vectores


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j) El rea del paralelogramo formado por dos vectoresk) El volumen de la figura formada por tres vectoresl) Probar que es un grupo abeliano

Comprobacin:

es una ley de composicin interna en pues si es asociativa: Si

tenemos

tiene un elemento neutro o identidad

tiene elemento inverso aditivo , es decir:si es conmutativo pues: Sean

el par es un grupo abeliano

m) Probar que || || es un dominio de integridadn) Probar que es un grupo campoo) Probar que es un subgrupo

Tomamos el grupo del problema anterior tal que es un

subconjunto de

Evaluando:

i. Sea y

aparentemente es subgrupo de

ii. La asociatividad de se verifica en por

Sin embargo:

No todo elemento de admite su inverso en


58/107



Ejm:

Si no es un subgrupo de

p) Probar que es un cuerpo

El conjunto de los nmeros complejos se representa por . Formalmente,un nmero complejo es un par ordenado de nmeros reales.

Cumple la propiedad asociativa:

tenemos:

un elemento

Para cada un elemento

tenemos:

(Conmutativo)

, se cumple:


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1. INTERSECCIN CON LOS EJES COORDENADOS:

a) CON EL EJE

: En la ecuacin

se hace

b) CON EL EJE : En la ecuacin se hace c) CON EL EJE : En la ecuacin se hace 2. TRAZAS SOBRE LOS EJES COORDENADOS

Se llama traza a la curva de interseccin de la superficie y el planocoordenado. La traza se obtiene de la siguiente forma: a) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.b) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.c) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.

3. SIMETRA

Dos puntos son simtricos con respecto a un tercero, si el tercero es el puntomedio que une a los dos primeros. Dos puntos son simtricos con respecto a una recta, si la recta es ortogonal alsegmento que los une en su punto medio.

Dos puntos son simtricos respecto a un plano si y solo si, el plano es ortogonal alsegmento que los une en su punto medio.Una superficie es simtrica con respecto a un plano, si es simtrico a cada puntode este plano.La simetra de una superficie se determina de la siguiente forma:a) SIMETRA RESPECTO AL ORIGEN: Si en la ecuacin de la superficie se

cumple que:


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b) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumpleque:

c) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumpleque:

d) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumple

que:

e) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie secumple que:

f) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie secumple que: g) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie se

cumple que:

4. SECCINES PARALELAS O TRANSVERSALES

Las secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados sepueden obtener cortando la superficie por una serie de planos paralelos a losplanos coordenados.

a) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando enla ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.


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b) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando enla ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.c) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando en

la ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.5. EXTENSIN

Consiste en determinar la variacin de las variables de la ecuacin 6. CONSTRUCCIN DE LA SUPERFICIE

Consiste en llevar a cabo todos los pasos anteriores.

III. Dibujo de figuras en R 3

a)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-


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2. TRAZAS:

3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.

4. SECCIONES PARALELAS

5. EXTENSIN:


64/107


65/107



2. TRAZAS:



5. EXTENSIN


66/107



c)

1. INTERSECCIONES:

-

No existe interseccin

-


-

2. TRAZAS:


67/107





5. EXTENSIN

d)


68/107



1. INTERSECCIONES:

-

-

-

2. TRAZAS:

3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y


5. EXTENSIN


69/107



e)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-

2. TRAZAS:


70/107





5. EXTENSIN

f)

1. INTERSECCIONES:


71/107



-

-

-

2. TRAZAS:

3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS

5. EXTENSIN


72/107



g)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-

2. TRAZAS:


73/107





5. EXTENSIN

h)

1. INTERSECCIONES:


74/107



-

-

-

2. TRAZAS:



5. EXTENSIN


75/107



i)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-

2. TRAZAS:


76/107



3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS

5. EXTENSIN

j)

1. INTERSECCIONES:


77/107



-


-


-

2. TRAZAS:

3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos


5. EXTENSIN


78/107



k)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-


79/107



2. TRAZAS:

3. SIMETRAS: Existe simetra con el plano


5. EXTENSIN:


80/107



l)

1. INTERSECCIONES:

-

-

-

2. TRAZAS:


81/107


82/107



1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:

3. SIMETRIAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.

4. SECCIONES PARALELAS:

5. EXTENSIN:

Solo es un punto


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n)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:




84/107



5. EXTENSIN:

o)

1. INTERSECCIONES:


85/107



o e iste interse i n 2. TRAZAS:



5. EXTENSIN:


86/107



p)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:


87/107



3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje los planos y 4. SECCIONES PARALELAS:

5. EXTENSIN:


88/107



q)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:

3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS:

5. EXTENSIN:


89/107


90/107




5. EXTENSIN:

s)

1. INTERSECCIONES:


91/107



2. TRAZAS:

3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos

y .


5. EXTENSIN:


92/107



t)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:

3. SIMETRIAS: Existe simetra con el plano 4. SECCIONES PARALELAS:


93/107



5. EXTENSIN:

u)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:


94/107



3. SIMETRIAS: Existe simetra con el plano

.


5. EXTENSIN:

v)

1. INTERSECCIONES:


95/107


96/107



w)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS: o e iste




97/107



5. EXTENSIN:

x)

1. INTERSECCIONES:

2. TRAZAS:


98/107



o e iste

3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos y .4. SECCIONES PARALELAS:

5. EXTENSIN:


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TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean y dos espacios vectoriales, sobre el mismo cuerpo . es un transformacinlineal si satisface las siguientes condiciones:

1) Para todo

2) Para todo y todo Es decir, Es lineal si preserva las dos operaciones bsicas de un espaciovectorial, la adicin de vectores y la multiplicacin por un escalar.

Para todo escalar y todo vector obtenemos, aplicando ambas

condiciones de linealidad.


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De forma general: escalar a,

k y todo vector ; obtenemos la propiedad

bsica de las aplicaciones.

NCLEO DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL

DEFINICIN: Sea una transformacin lineal, el ncleo o kernel de una

transformacin lineal se denota por o y se define como el conjunto delas pre-imgenes del vector nulo, es decir:

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL

DEFINICIN: Sea una transformacin lineal, se define la imagen de estatransformacin lineal como el conjunto que tiene al menos una pre-imagen, es decir:

IV. Transformaciones lineales

1. Probar que las siguientes transformaciones son lineales o no:a)

Sea: y , entonces

y

Tenemos: y

Luego:


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y

como y son arbitrarios

es una transformacin lineal.

b)

Sean: y

Entonces: y

Tenemos:

Luego:

no es una transformacin lineal

c)

Sean: y ; entonces:


102/107



y Tenemos:

Luego:

T no es una transformacin lineal.

d)

Sean: y , entonces

y Tenemos:

Luego:

T no es una transformacin lineal.


103/107



e)

Sean: y , entonces:

y Tenemos:

Luego:

Como son arbitrarios

T es una transformacin lineal.

f)

Sean: y ; entonces y Tenemos:

Luego:

Y


104/107




g)

Redefiniendo

Sean: y ; entonces: y

Tenemos:

Luego:

no es una transformacin lineal

h)

Sean: y ; entonces:

y

Tenemos:

Luego:


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y

Como y son arbitrarios


i) Sea una transformacin definida por. Pruebe que es lineal y encuentre la matriz de T respecto a la base

Sean:

Sea


j) Sea una transformacin lineal definida por

+ Donde es una base para y

es una base para . Hallar e


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107/107


Luego: Infinitas soluciones.

Hallando la imagen de

s un sistema ompati e indeterminado infinitas so u iones

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